GESP2026 年 9 月 C++ 三级真题：编程题一

公共二进制位

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题目描述

小红有  个非负整数 。她将每个整数转换为二进制后，想知道有多少个二进制位在所有整数中均为 。

二进制位从右向左编号为 。若某个整数的二进制表示中没有第  位，则认为它的第  位为 。

请你求出满足条件的二进制位数量。

输入格式

第一行一个整数 ，表示整数的个数。 第二行  个非负整数 。

输出格式

输出一个整数，表示所有整数的二进制表示中均为  的二进制位数量。

样例输入1

313715

样例输出1

2

样例解释1

三个整数二进制分别为 、 和 。 其中第  位和第  位均为 ，因此答案为 。

数据范围

题解一：思路

题目要求统计：所有数字二进制中，全部数字该位都为1的位的总个数。

思路：开数组cnt，cnt[k]记录第k个二进制位上等于1的数字一共有多少个。遍历每一个数字，拆解其二进制每一位，如果某一位是1，就把对应cnt[k]加1。全部处理完后，如果cnt[i]==n，说明全部n个数这一位都是1，答案计数+1。

小技巧：一个数最大，二进制不会超过32位，数组开32足够。

#include<iostream>usingnamespacestd;intmain(){// cnt数组：cnt[k]统计第k位二进制上为1的数字总个数int n,x,cnt[32]={0},k=0;cin>>n;   //读入数字总个数for(int i=1;i<=n;i++){cin>>x;       //读取当前处理的数字  k=0;          //k代表二进制位编号，从0开始（最低位）while(x>0){// x%2取当前二进制最低位，如果等于1，该位计数+1if(x%2==1){    cnt[k]++;   }   k++;        //准备处理下一位（向左移动一位）   x=x/2;      //整数除以2等价二进制右移一位，丢弃已经处理完的最低位  } }int ans=0;//遍历全部32个二进制位for(int i=0;i<32;i++){// 如果第i位上1的数量等于n，说明所有数字这一位全是1if(cnt[i]==n){   ans++;  } }cout<<ans;return0;}

补充说明（易错点）

1. 如果某个数字x某一位是0：不会执行cnt[k]++，数组保持原值，符合题意，没有出现的位视作0。
2. 位编号k从0开始，和题目描述从右向左编号0、1、2完全匹配。
3. 上限，最多30位左右，数组开32足够覆盖全部情况。
4. 等价位运算写法：x%2等价x&1；x=x/2等价x >>=1。

样例模拟：输入3 13 7 15

• 13二进制：1101 → 第0位=1，第2位=1
• 7二进制：0111 → 第0位=1，第1位=1，第2位=1
• 15二进制：1111 → 第0,1,2,3位=1cnt[0]=3，cnt[2]=3，等于n=3，ans=2，输出2，和样例输出一致。

题解二：思路

核心思想：按位与&的性质：只有所有数的某一位全部为1，按位与结果的这一位才是1；只要有任意一个数该位是0，按位与结果这一位就变成0。

1. 将所有数字依次做按位与运算，得到结果r。r里面为1的二进制位，就是全部n个数字都为1的位。
2. 统计r的二进制里面1的总个数，就是本题答案。

对比上一种解法：不需要开cnt计数数组，利用按位与特性直接筛选出公共全1位，代码更简短，效率更高。

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(){int n,x,r;   // n数字个数；x读入每个数字；r保存所有数连续按位与的结果cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>x;if(i==1){   r=x;        // 第一个数，直接赋值给r，作为按位与初始值  }else{   r = r&x;    // 将r和当前数字x按位与，等价 r &= x;  } }int ans=0;// 统计r的二进制中1的总位数while(r>0){if(r&1>0){   // r&1取出r的最低位，如果最低位是1，答案+1   ans++;  }  r=r>>1;      // 右移1位，等价 r >>= 1; 丢掉已经检查完的最低位 }cout<<ans;return0;}

样例模拟（样例输入：3，13 7 15）

• ，，

1. 初始 = 13
2. r = 13 &7 = 0101（十进制5）
3. r =5 &15 =0101（十进制5，二进制0101，第0位、第2位是1）
4. 统计r=5二进制中1的数量，得到ans=2，输出2，和样例输出一致。

关键知识点

1. 按位与&：全1出1，有0出0。多个数字连续按位与，最终结果保留的1，必须每一个数字这一位都是1。
2. r & 1：取出整数二进制最低位，用来判断该位是否为1。
3. r >> 1：二进制整体右移一位，相当于整数除以2，丢弃最低位。

两种解法对比

边界测试点提醒

1. 如果输入里面存在数字0：所有数按位与结果r=0，循环不执行，ans=0，输出0，正确；
2. 数据范围，int可以存下，不会溢出。