每日一题第2897题(2026年全国高中数学联赛内蒙古预赛解答11)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联内蒙古预赛的解答题的第11题，难度中等。

这道题的叙述感觉奇奇怪怪的，好像是一个解答题直接把前面比较简单问删掉得来的。题干中给出了双曲线方程，从方程变成的标准形式可以得到a>1，并且还可以得到上顶点A的坐标(0,1)，同时和y=-x交于点P，那么就直接联立求解，得到x^2=a^2，所以P点坐标有两个(a,-a)和(-a,a)。同时，从双曲线方程还可以得到渐近线方程，那么通过渐近线斜率的范围就可以进一步得到a的范围是[2,3]。

然后又以A为焦点，M(0,m)为顶点向下作抛物线，那么抛物线方程就可以写出来了，如果觉得不习惯的话，可以向下平移m个单位，得到标准情况下的开口向下的抛物线，这样抛物线方程就好写了，然后平移回去就好了，不过这里要注意的是x^2=-2py这种形式的平移并不是上加下减，可以写成y=……x再平移。

在有了抛物线方程之后，抛物线过点P，那么代入P点坐标，就可以得到a和m的关系，那么最终要求的直线PM的斜率就可以表示为a和m的式子，但这里根据关系不太好凑什么不等式之类的来求最值，所以根据式子是一个关于a或m的二次方程，考虑直接求根，消元之后求导找最值。