实变函数第三章测度论模拟试卷

《实变函数》第三章 测度论 模拟试卷

本习题参考教材为[1] 程其襄,张奠宙,胡善文,薛以锋. 实变函数与泛函分析基础[M]. 4版. 北京:高等教育出版社,2019.

一、选择题

第1题

Carathéodory可测性判据是：集合 可测，当且仅当对任意集合 ，有（）A. B. C. D. 

答案为B选项

第2题

在 中，下列集合中一定是 Lebesgue 可测集的是（）A. 任意集合B. 任意开集C. 任意不可数集D. 任意稠密集

答案为B选项注：中的开集一定是Lebesgue可测集。

第3题

若 是零测度集，则 的任意子集（）A. 一定不可测B. 一定可测，且测度为零C. 只有可数时才可测D. 只有闭集时才可测

答案为B选项

第4题

的 Lebesgue 测度为（）A. B. C. D. 不存在

答案为C选项注：有理数集的子集和有理数集都是可测集，并且是Lebesgue测度为0的可测集。

第5题

可测集类对下列运算封闭的是（）A. 可数并B. 可数交C. 补集D. 以上都正确

答案为D选项注：Lebesgue可测集构成代数，对补集、可数并、可数交全部封闭。

第6题

若 是一列可测集，则（）A. 可测B. 可测C. 可测D. 以上都正确

答案为D选项注：，是可数并再可数交，依然可测。

第7题

若 是递减可测集列，且 ，则（）A. B. C. D. 无法确定

答案为A选项

第8题

若 是可测集且 ，则（）A. B. C. D. 无法比较

答案为B选项注：测度具有单调性。

第9题

若 是不交的可测集，则（）A. B. C. D. 无法确定

答案为A选项注：测度有限可加性。

第10题

关于 Borel 集，下列说法正确的是（）A. Borel 集一定是 Lebesgue 可测集B. Lebesgue 可测集一定是 Borel 集C. Borel 集只能是开集D. Borel 集只能是闭集

答案为A选项注：反之，Lebesgue可测集未必是Borel集。Borel集包含开集、闭集。

第11题

关于 Borel 集与 Lebesgue 可测集，下列说法正确的是（）A. 二者完全相同B. Lebesgue 可测集包含所有 Borel 集，并且可能还包含其他集合C. Borel 集包含所有 Lebesgue 可测集D. 二者没有包含关系

答案为B选项注：Lebesgue可测集中除了Borel集外还有零测集。

第12题

若 可测，且 是零测度集，则（）A. 可测B. 可测C. 可测D. 以上都正确

答案为D选项

第13题

对任意集合 ，外测度通常满足（）A. B. C. D. 

答案为B选项注：外测度有次可加性，但一般不满足等式可加，只有满足Carathéodory条件才可加。

第14题

下列说法正确的是（）A. 任意集合都满足测度的可数可加性B. 只有可测集才具有测度意义下的可数可加性C. 外测度对任意集合都可数可加D. 不可测集一定是零测度集

答案为B选项注：外测度仅仅次可数可加，而不是可数可加。

第15题

若 是两两不交的可测集列，则（）A. B. C. D. 只有有限个集合时成立

答案为A选项注：由可数可加性有 。

二、填空题

第1题

外测度 的单调性是：若 ，则 ____________。

第2题

满足 Carathéodory 条件的集合称为 ____________ 集。

Lebesgue可测

第3题

开集、闭集和 Borel 集都属于 ____________ 集。

Lebesgue可测

第4题

区间 的测度都等于 ____________。

第5题

若 且 两两不交可测，则 ____________。

三、判断题（正确写“√”，错误写“×”）

第1题

外测度对任意集合都可数可加。

×外测度只是次可数可加。

第2题

每个开集都是 Lebesgue 可测集。

√

第3题

零测集的任意子集都可测。

√零测集子集仍是零测集，零测集必然可测。

第4题

若 ，则 。

×外测度相等集合不一定相等，例如和。

第5题

Lebesgue 测度是平移不变的。

√

第6题

可测集的可数并仍可测。

√

第7题

存在不可测的有界集。

√

第8题

若 且 可测，则 必可测。

×可测集的子集未必可测。

第9题

有限测度集的任意子集都具有有限测度。

√若且可测，则由外测度单调性。

第10题

可测集族是一个 -代数。

√

第11题

所有有界集合都是可测的。

×存在有界不可测集。

第12题

所有可数集的 Lebesgue 测度为 。

√

第13题

若 可测，则 可测。

√，可测集对交、补封闭。

第14题

测度具有可数次次可加性。

√

第15题

当且仅当 。

×Cantor集外测度为0，但不是空集。

第16题

Borel -代数包含所有开集。

√Borel -代数由全部开集生成。

四、叙述或解答题

第1题

叙述 Carathéodory 可测性条件。

设，若对任意集合，都满足 ，则称集合是Lebesgue可测集，上面这个等式称为Carathéodory可测性条件。

第2题

叙述零测集与可测集的关系，并简单说明原因。

全体零测集构成可测集类的一个子集，原因如下：(1)零测集一定是Lebesgue可测集。证：设，对任意集合，由单调性，于是；又，；结合外测度次可加性，得到Carathéodory等式，故可测。(2)零测集的任意子集仍是零测集，从而也一定可测。

第3题

说明 Borel 集与 Lebesgue 可测集的包含关系，并举出说明严格性的例子。

Borel集Lebesgue可测集。这是因为Borel 代数由所有开集生成；开集都是Lebesgue可测集，Lebesgue可测集全体构成代数，因此所有Borel集都是Lebesgue可测集。对于严格性，例如Cantor集是Borel集，Cantor集存在它的一个子集不是Borel集，但是因为Cantor集测度为0，该子集是零测集，因此它是Lebesgue可测集。

五、证明题

第1题

设 是一列可测集，证明：和 都是可测集且 。

证由集合上下极限定义：因为均可测，可测集类对可数交、可数并封闭，所以可测，进一步可数并可测；同理可测，可数交可测。记，则是递增可测集列，且。由测度单调性有。根据递增集列测度连续性有丶由于，两边取下极限 ，有，于是得到、

证毕。

第2题

证明：若 可测，则 也可测。

证由可测，按Carathéodory条件，，要证可测，即证对任意集合，都有注意，于是右端，恰好为Carathéodory等式的右端。因此等式成立，满足可测条件，可测。

证毕。

第3题

证明：若 ，则 的任意子集可测且测度为 。

证设。由外测度单调性，有，于是有。下证满足Carathéodory可测条件。任取集合，，则 。由外测度次可加性，有上面不等式两端都等于，于是故是可测集，并且。

证毕