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实变函数第二章点集模拟试卷
《实变函数》第二章 点集 模拟试卷
本习题参考教材为[1] 程其襄,张奠宙,胡善文,薛以锋. 实变函数与泛函分析基础[M]. 4版. 北京:高等教育出版社,2019.
一、选择题
第1题
设 ，则 的导集 、闭包和边界分别为（）A. B. C. D.
答案为B选项注： 当中任意一点都是集合 的聚点，故导集 。由闭包定义，得到 。集合 没有内点，即；由边界公式，有。
第2题
设 ，则集合列的上极限 为（）A. B. C. D.
答案为B选项注：集合上极限定义有对任意给定的 ，；再对 取交：。
第3题
设 且 ，则必有（）A. B. 是闭集C. 是开集D. 是紧集
答案为C选项注： 代表 的全体内点构成的集合，所以 当中每一个点都是内点。而集合所有点都是内点的集合称为开集，因此 是开集。
第4题
对任意 ，下列等式中恒成立的是（）A. B. C. D.
答案为BD选项注：对于A选项，应改为 对于B 选项，交的内部等于内部的交对于C 选项，由边界的定义，对于D选项，
第5题
设 紧，是 的开覆盖。由紧性可推出（）A. 存在有限子集 使 B. 存在唯一的有限子覆盖C. 每个 都含有 D. 必为开集
答案为A选项注：对于B，有限子覆盖并不唯一对于C，开覆盖只要求全部集合的并包住 ，不需要每一个集合都包含 对于D， 中紧集等价于有界闭集，不一定是开集
第6题
Cantor 三分集 的补集 具有的性质是（）A. 是一个开区间B. 是至多可数个互不相交开区间的并C. 是可数集D. 是闭集且无内点
答案为B选项注：Cantor集 ，是闭集。闭集的补集是开集。而中非空开集必然是至多可数个互不相交开区间的并。对A，不是单个，是无穷多段开区间的并对于C选项，该补集是无穷不可数集合对于D， 是开集，康托集本身无内点
第7题
若序列 ，为紧集，则以下结论正确的是（）A. 必收敛B. 必有收敛子列且极限属于 C. 必有单调子列D. 的所有子列都收敛
答案为BC选项解析：对于A，序列不一定收敛，如，序列震荡不收敛对于B 选项， 有界，而 内紧集等价于有界闭集，故序列 也是有界的。由Bolzano‑Weierstrass定理，有界序列必有收敛子列； 是闭集，极限一定属于 对于C，对一般的实数序列，该结论都成立最后，对于D，并非所有子列都收敛
第8题
关于完备集与闭集，下列正确的是（）A. 中完备集必闭B. 中闭集必有界C. 开集必完备D. 紧集不一定完备
答案为AD注：完备集定义：。对于A，，满足闭集定义，完备集一定是闭集对于B，有反例 本身是闭集，但是无界对于C，也有反例 ，聚点 不属于集合，不是完备集对于D ，单点集 是紧集，，不完备，因此紧集不一定完备
第9题
Cantor 集 的正确性质组合是（）A. 开、稠密、可数B. 闭、无内点、不可数C. 闭、有内点、可数D. 非闭、完备、不可数
答案为B选项注：Cantor集地性质是闭集、完备集、没有内点、不可数。
第10题
有限集合 的导集为（）A. B. C. D. 不可确定
答案为A选项注：有限集合没有聚点，根据导集定义，导集 。
二、填空题
第1题
题目：集合 的所有聚点组成的集合记为 ____________。
注： 称为集合 的导集，导集就是全部聚点构成的集合。
第2题
时，的内部满足 ____________。
注：补集的内部等于全空间去掉原集合的闭包。
第3题
可数个可数集的并仍是 ____________ 集。
可数
第4题
题目：有限集在 中的聚点集为 ____________。
第5题
若 的闭包等于 ，则 称为 ____________ 集。
闭
第6题
有限个紧集的并是 ____________ 集。
紧
注：紧集的并保持紧性
第7题
Cantor 集是一个非空的 ____________ 集。
完备（闭 / 无内点 / 不可数）
注：Cantor集最标志性性质是完备集 。但我有个很棒的馊主意，就是你可以写“无内点不可数完备闭”
第8题
中闭集的补集是 ____________ 集。
开
三、判断题（正确写“√”，错误写“×”）
第1题
每个开集都是闭集。
×
第2题
每个闭集都是其所有聚点的集合。
×单点集是闭集，导集为空
第3题
在 中是稠密集。
√
第4题
可数集的任意子集都是可数集。
√
第5题
中有界闭集必为紧集。
√
第6题
紧集的任意闭子集仍为紧集。
√有界闭集是紧集。
第7题
集合的内部、闭包和边界三者总是两两不交。
×
第8题
Cantor 集没有内点。
√
第9题
若 ，则 。
√内部运算具备保序单调性
第10题
若 是完备集，则 必为闭集。
√由完备集定义有，自然推出
第11题
若 是开集，则 。
√由开集定义有，集合中每一点都是内点，。又内点集一定包含于原集合 ，于是等号成立。
第12题
闭包运算满足 。
√
第13题
聚点一定属于原集合。
×在 中， 是 的聚点，但是
第14题
单点集在 中是紧集。
√单点集是有界闭集
第15题
是完备集。
×，导集不等于原集合
第16题
两个稠密集的交仍然稠密。
× 和 都在 稠密，但是 ，不是稠密集。
第17题
每个紧集都是有界集。
√
第18题
若序列有收敛子列，则原序列必收敛。
×，存在收敛子列，但是原序列震荡发散。
第19题
Cantor 集是不可数集。
√
第20题
的任意闭子集都是紧集。
× 本身是闭集，但是无界，因此不是紧集。
四、叙述或解答题
第1题
叙述 中开集的构造定理，并说明分解的唯一性。
定理：直线 上任意一个非空开集 ，都可以表示为至多可数个互不相交开区间的并。这些开区间称为该开集 的构成区间，构成区间满足 ，并且端点 。
唯一性：若把 分解成两两不交开区间之并，则这些开区间只能是 的全部构成区间，该分解方式唯一。
第2题
叙述紧集的定义，并说明有界闭集与紧集的关系。
定义：设 ，如果 的任意一个开覆盖，都一定存在有限的子覆盖，则称集合 为紧集。
关系：在一维实数空间 中，一个集合是紧集当且仅当它是有界闭集。
第3题
叙述 Cantor 集的构造过程，并列出它的三个基本性质。
过程(1)从闭区间 开始，去掉中间的开区间 ，剩余两个互不相交闭区间 ，记它们的并为 ；(2)对 当中每一个闭区间，都去掉各自中间长度为 的开区间，得到 ；(3)以此类推，第 次操作，将 中每个闭区间三等分，去掉中间开区间，剩下的闭区间之并记作 ；(4)Cantor集定义为。
性质(1) 是闭集（无穷多个闭集的交仍然是闭集）；(2) 没有内点；(3) 是完备集，满足 ，但是Cantor集为不可数集。
五、证明题
第1题
设 ，证明：(1) ； (2)
证(1) 证 $$\begin{aligned}x\in (E^\circ)^c &\iff x\notin E^\circ \&\iff \text{对 }x\text{ 的任意邻域 }U(x),\text{ 都有 }U(x)\not\subset E \&\iff \text{任意邻域 }U(x),\ U(x)\cap E^c \neq \emptyset \&\iff x\in \overline{E^c}\end{aligned}$$根据集合相等定义，得到 。
(2) 证 $$\begin{aligned}x\in (\overline E)^c &\iff x\notin \overline E \&\iff \text{存在 }x\text{ 的邻域 }U(x),\text{ 使得 }U(x)\cap E=\emptyset \&\iff U(x)\subset E^c \&\iff x\text{ 是 }E^c\text{ 的内点，即 }x\in (E^c)^\circ\end{aligned}$$于是 。
证毕。
第2题
设 是 中两个互不相交的闭集，证明：存在两个互不相交的开集 ，使得 。
证对任意 ，定义点到集合距离为因为 是闭集，，故 。同理 。取 是若干开区间的并，因此都是开集；显然 。下证 。反证：若 ，则存在 ，使得而 得到矛盾 ，故 。
证毕。
第3题
证明：若 闭且有界，则 是紧集。
证 有界，故存在闭区间 ，满足 。先证明闭区间 是紧集。设 是 的任意开覆盖，反证假设不存在有限子覆盖。将 二等分，至少有一半不能被有限子覆盖，记这个区间为 ；继续二等分，得到区间套 ，满足：，且，以及每一个 都不能被 当中有限个集合覆盖根据闭区间套定理，存在唯一一点 。，于是存在某个 ，满足 。 是开集，存在邻域 ；当 充分大时，，说明 可被单个开集覆盖，矛盾。因此闭区间 是紧集。是闭集，故 为紧集。
证毕。
第4题
证明：中任一有界无限集至少有一个聚点（Bolzano‑Weierstrass定理）。
证设 为有界无限集合。 有界，存在闭区间 。反证法：假设集合 没有聚点，即 ，于是 是闭集。由聚点定义：，存在 的邻域 ， 至多含有 的有限个点。 构成 的开覆盖。已经证明 是紧集，存在有限子覆盖 。每一个 只含有 的有限个点，则它们的并只含有 有限个点，与 是无限集矛盾。因此假设不成立， 至少存在一个聚点。
证毕。
第5题
题目：证明：每个闭集必是可数个开集的交；每个开集可以表示成可数个闭集的并。
证① 设 为闭集，下证存在开集列 ，使得 。令集合 是开集；显然 ，于是 。任取 ，则 。令 ， 。因为 是闭集，，于是 。所以 ，闭集是可数个开集之交。② 设 为开集，下证存在闭集列 ，使得 。 是闭集，利用上面结论，存在开集列 ，满足两边取补，由德摩根公式： 是开集，故是闭集。于是 。
证毕。
