四川省成都市第七中学2027届高三上学期开学考试数学试卷第14题——一道复合函数的零点问题：转化思想+函数与方程思想

题目：已知函数  有且仅有一个零点，则  的最小值为________。

【答案】

方法一：官方标准解析（整体换元与函数极值法）

【分析】通过巧妙变形，将原函数转化为同构形式，换元后利用函数的极值点（最小值）来求解。

【详解】因为 ， 将指数部分改写，可得：

设 ，由于 ，所以  的取值范围是全体实数。 构造函数 ，求导得：

令 ，解得 ；令 ，解得 。 所以  在  上单调递减，在  上单调递增。

若满足函数有且只有一个零点，则只能是其极小值（也是最小值）等于 ：

即 ，化简得 ，从而 。 代入所求式：

令 ，求导得：

令 ，解得 ；令 ，解得 。 所以  在  上单调递减，在  上单调递增。 故当  时， 取得最小值：

所以  的最小值为 。

方法二（付）：转化为直线与曲线相切问题

【分析】核心思路是“分离参数与同构换元”，将函数零点问题转化为一条直线与一条对数曲线仅有一个交点（即相切）的几何问题，利用导数求出切线斜率，进而求出  的表达式，最后求目标函数的最小值。

【详解】原函数定义域为 。 令 ，即 。 利用同构思想，令 。因为 ，显然有 。 同时，对  取自然对数：

于是原方程等价转化为关于  的方程：

题目条件“有且仅有一个零点”，即等价于：直线  与曲线  有且仅有一个公共点。 因为对数曲线  是上凸的且a>0，直线与其只有一个公共点时，必定是相切。

设切点为 ，由于 ，所以切线斜率为：

又因为切点在直线上，代入直线方程得：

将  代入：

即 。 将  代入，得到：

要求的目标函数为：

设 ，求导得：

令 ，解得 。 当  时，， 单调递减； 当  时，， 单调递增。 所以  在  处取得最小值：

故  的最小值为 。