曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3.5 函数的零点与方程的根
三年模拟
一、选择题
2
1.(2022哈尔滨呼兰一中检测(二),5)函数f(x)=log x- 的零点所在的区间是( )
2 |x-1|
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
答案 C f(2)=log 2-
2
2 2 2
=-1<0, f(3)=log23- =log23-log22>0,∴f(2)f(3)<0,根据零点存在性定理可得函数f(x)=log2x-
|2-1| |3-1| |x-1|
的零点所在的区间是(2,3),故选C.
2.(2022江西萍乡二模,10)已知函数f(x)={(x-1)2,x≥0, 1的所有零点之
则y=f(x)-
|x+1|,x<0, 2
和为 ( )
√2+1 1-√2
A. B. C.2 D.0
2 2
1 √2
答案 D x≥0时,由(x-1)2- =0得x=1± ,
2 2
1 1 3
x<0时,由|x+1|- =0得x=- 或x=- ,
2 2 2
√2 √2 1 3
所以四个零点之和为1+ +1- - - =0.故选D.
2 2 2 2
3.(2022四川泸州三模,10)已知函数f(x)={ x+2,x<0, 则“k∈(-∞,3]”是“函数
log (x+k),x≥0,
3
F(x)=f(x)-1有两个零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B f(x)的图象如图所示.
函数F(x)=f(x)-1有两个零点,即y=f(x)的图象与y=1的图象有两个交点,
由图可知,log k≤1,即0<k≤3.
3
∴“k∈(-∞,3]”是“函数F(x)=f(x)-1有两个零点”的必要不充分条件.故选B.
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4.(2022西城期末,8)已知函数f(x)的图象在区间[0,2]上连续不断,则“f(0)+f(1)+f(2)=0”是
“f(x)在[0,2]上存在零点”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 充分性:若f(0)+f(1)+f(2)=0,则f(0)、f(1)、f(2)中可能有两正一负、两负一正、
一正一负一零或f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)在[0,2]上存在零点,充分性成立;必要性:f(x)在
[0,2]上存在零点,则不一定有f(0)+f(1)+f(2)=0,如函数f(x)=2x-3,所以必要性不成立,故选
A.
5.(2022西城二模,8)已知f(x)=|lg x-a|,记关于x的方程f(x)=1的所有实数根的乘积为g(a),
则g(a)( )
A.有最大值,无最小值
B.有最小值,无最大值
C.既有最大值,也有最小值
D.既无最大值,也无最小值
答案 D 由f(x)=1,得|lg x-a|=1,所以x=10a+1或10a-1,故g(a)=102a=100a,所以函数g(a)既无
最大值,也无最小值.故选D.
6.(2022安徽模拟,12)已知函数f(x)=
{
x,x<0,
1 恰有3个不同的实根,则实数a的
1 1 若方程f(x)=ax-
x3- (a+1)x2+ax,x≥0, 48
3 2
取值范围为( )
A.(-∞,2) B.( 1 )
- ,1
2
C.( 1 ) (1 )
- ,2 D. ,1
2 2
1 1
答案 B 当x<0时,y=f(x)-ax+ =(1-a)x+ ,最多有1个零点.当x≥0时,y=f(x)-ax+
48 48
1 1 1 1
= x3- (a+1)x2+ ,所以y'=x2-(a+1)x,若a+1≤0,即a≤-1,则y'≥0,所以y=f(x)-ax+
48 3 2 48
1 1 1 1
在[0,+∞)上单调递增,此时函数最多有1个零点,不合题意;若a+1>0,则a>-1,令y'>0,得x>a+1,此时函数单调递增,令y'<0,得0<x<a+1,此时函数单调递减,函数最多有2个零点.要使方程f(x)=ax- 恰有3个不同的实根,则函数y=f(x)-ax+ 在(-∞,0)上有1个零点,在[0,+∞)上有2个零点,y=f(x)-ax+
48 48 48 48
的大致图象如图,
1
-
所以 48 1 1 1 1<a<1.
<0且 (a+1)3- (a+1)(a+1)2+ <0,解得-
1-a 3 2 48 2
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7.(2022安徽模拟,12)已知函数f(x)=
{
x,x<0,
1 恰有3个不同的实根,则实数a的
1 1 若方程f(x)=ax-
x3- (a+1)x2+ax,x≥0, 48
3 2
取值范围为( )
A.(-∞,2) B.( 1 )
- ,1
2
C.( 1 ) (1 )
- ,2 D. ,1
2 2
1 1
答案 B 当x<0时,y=f(x)-ax+ =(1-a)x+ ,最多有1个零点.当x≥0时,y=f(x)-ax+
48 48
1 1 1 1
= x3- (a+1)x2+ ,所以y'=x2-(a+1)x,若a+1≤0,即a≤-1,则y'≥0,所以y=f(x)-ax+
48 3 2 48
1
在[0,+∞)上单调递增,此时函数最多有1个零点,不合题意;若a+1>0,则a>-1,令y'>0,得
48
x>a+1,此时函数单调递增,
令y'<0,得0<x<a+1,此时函数单调递减,函数最多有2个零点.要使方程f(x)=ax-
1 1 1
恰有3个不同的实根,则函数y=f(x)-ax+ 在(-∞,0)上有1个零点,在[0,+∞)上有2个零点,y=f(x)-ax+
48 48 48
的大致图象如图,
1
-
所以 48 1 1 1 1<a<1.
<0且 (a+1)3- (a+1)(a+1)2+ <0,解得-
1-a 3 2 48 2
8.(2022长沙长郡中学联考,11)已知定义域为R的奇函数f(x)满足:f(x)=
{ xlnx,0<x≤1, 1
若方程f(x)=kx- 在[-1,2]上恰有三个实根,则实数k的取值范围
2f (x-1),x>1, 2
是( )
A.[1 ) [1 1]
,1-ln2 B. ,
4 4 2
C.(1 e ] ( 1)
, -1 D. 1-ln2,
2 2 2
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1 1
答案 D 方程f(x)=kx- 在[-1,2]上恰有三个实根,即直线l:y=kx- 与函数
2 2
y=f(x)的图象恰有三个交点.
由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0.
当0<x≤1时, f(x)=xln x,则f '(x)=ln x+1,
1 1
当0<x< 时, f '(x)<0,当 <x≤1 时, f '(x)>0,
e e
所以f(x)在( 1 ) (1 ]上单调递增,且0<x≤1时, f(x)≤0,结合奇函
0, 上单调递减,在 ,1
e e
数图象的对称性和“周期现象”得f(x)在[-1,2]上的图象如图:
直线l:y=kx-1 ( 1),
过定点A 0,-
2 2
1 1
如图,连接A,B两点的直线l 的方程为y= x- ,
1
2 2
过点 A 作曲线 f(x)=xln x(0<x ≤ 1) 的切线 l ,
2
设切点为P(x ,y ),其中y =x ln x , f '(x)=ln x+1,则斜率
0 0 0 0 0
( 1),
k =ln x0+1,切线l2:y-x0ln x0=(ln x0+1)(x-x0)过点A 0,-
l 2 2
1 1
则- -x0ln x0=(ln x0+1)(0-x0),即x0= ,
2 2
1
则k =ln +1=1-ln 2.
l 2 2
当直线l:y=kx-1 绕点A ( 0,- 1)在l 1 与l 2 之间旋转时,直线l与函数y=f(x)在[-1,2]上的
2 2
图象恰有三个交点,故k∈(
1-ln2,
1).故选D.
2
9.(2022湖北模拟,12)已知函数f(x)={|log
5
(1-x)|,x<1,
则方程f
(
x+
1
-2
)=a的实
-(x-2)2+2,x≥1, x
根个数不可能为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
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{ log (1-x),x≤0,
5
答案 D 化简得f(x)= -log (1-x),0<x<1,
5
-(x-2)2+2,x≥1.
1
f(x)的大致图象如图所示,令t=x+ -2.
x
由所给选项知,只需考虑0<a≤2的情况.
1
当0<a<1时, f(x)=a有3个根,当x<0时,由0<log (1-x)<1得-4<x<0,而t=x+ -2≥0或t=x+
5
x
1
-2≤-4,故此时f(t)=a有4个实根.
x
4
因为当f(x)=1时,x=1或3或 或-4,
5
1 4
所以当a=1时,x+ -2=1或3或 或-4,
x 5
1 1
又因为x+ -2≥0或x+ -2≤-4,
x x
1
所以,当x+ -2=-4时,只有一个根x=-1.
x
其他情况都有2个根,故此时所求的方程有7个根;
当1<a<2时,y=f(x)的图象与直线y=a有4个交点,故有8个根;
当a=2时,y=f(x)的图象与直线y=a有3个交点,故有6个根.
综上,不可能有5个根,故选D.
10.(2022河南第一次联合调研,12)已知f(x)={|2x+1|,x<1, g(x)为三次函数,其图象
log (x-1),x>1,
2
如图所示.若y=f(g(x))-m有9个零点,则m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,3) C.( 5) (5 )
1, D. ,3
3 3
答案 A 作出f(x)的图象如图所示.
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由g(x)的图象可知,g(x)的极大值为g(0)=m+2,极小值为g(2)=m-3.
y=f(g(x))-m有9个零点,令t=g(x),结合f(x)和g(x)的图象可知,
f(t)=m有3个解,分别设为t ,t ,t ,且t <t <t ,
1 2 3 1 2 3
则g(x)=t ,g(x)=t ,g(x)=t 各有3个解,
1 2 3
由图可知:0<m<3,且t 1∈(
-2,-
1),t 2∈(
-
1
,1
),t 3∈(2,9),
2 2
由函数f(x)的解析式知:
m+1 m-1
t =- ,t2= ,t =2m+1,
1 3
2 2
由g(x)图象可知,t
1
,t
2
,t 3∈(m-3,m+2),
m+1
{m-3<- <m+2, 5 5
2 {- <m< ,
3 3
m-1
则 m-3< <m+2, 解得 -5<m<5, 得0<m<1,
2
0<m<1,
m-3<2m+1<m+2,
0<m<3,
0<m<3,
故选A.
3
11.(2022山西二模,12)已知a是f(x)=-x3- x2+6x-5的一个零点,b是g(x)=ex+x+1的一个零
2
g
点,c=2lo 5,则( )
1
3
A.a<c<b B.a<b<c
C.b<c<a D.a<c<b或c<b<a
答案 A f '(x)=-3x2-3x+6=-3(x+2)(x-1),所以f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在(-2,1)上是增函
数,在(1,+∞)上是减函数,因为f(1)=-
3 19 1 1
<0,所以f(x)仅有1个零点,因为f(-3)=- <0,所以a<-3.因为g(x)=ex+x+1是增函数,且g(-1)= >0,g(-2)=
2 2 e e2
g
-1<0,所以-2<b<-1,因为c=2lo 5=-log 25,2<log 25<3,所以-3<c<-2,所以a<c<b.故选A.
1 3 3
3
lnx a
12.(2022安徽滁州二模,12)已知函数f(x)= ,关于x的不等式1- >0的解集中
x2 f (x)
有且只有一个整数,则实数a的范围是( )
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A.[ln3 ) [ln3 ln2)
,ln2 B. ,
3 9 4
C.[2ln3 ) [ln6 ln2)
,ln2 D. ,
9 9 2
ln1 a
答案 B 因为f(1)= =0,所以x=1不是不等式1- >0的解.
1 f (x)
当0<x<1时, f(x)无整数零点.
lnx
当x>1时, f(x)= >0,
x2
a lnx
则1- >0⇔f(x)-a>0⇔a< .
f (x) x2
a lnx
不等式1- >0有且只有一个整数解等价于a< 有且只有一个整数解,
f (x) x2
即f(x)的图象在直线y=a的上方只有一个横坐标为整数的点.
1-2lnx
f '(x)= ,令f '(x)=0,则x=√e,当x∈(1,√e)时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
x3
当x∈(√e,+∞)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,作出f(x)的大致图象, 如图.
ln3 ln2
由图象可知a的取值范围为f(3)≤a<f(2),即 ≤a< ,故选B.
9 4
{2x+2,-2≤x≤1,
13.(多选)(2021沈阳市郊联体一模,12)已知函数f(x)= 若关于x的方程
lnx-1,1<x≤e,
f(x)=m恰有两个不同解x ,x (x <x ),则(x -x )f(x )的取值可能是( )
1 2 1 2 2 1 2
A.-3 B.-1 C.0 D.2
m-2
答案 BC 因为f(x)=m的两根为x 1 ,x 2 (x 1 <x 2 ),所以x 1 = ,x 2 =em+1,m∈(-1,0],从而(x 2 -
2
x
1
)f(x
2
)=(
em+1-
m-2)
m=mem+1-
m2
+m,令g(x)=xex+1-
1x2+x,x∈(-1,0],则
2 2 2
g'(x)=(x+1)ex+1-x+1,x∈(-1,0].因为x∈(-1,0],所以x+1>0,ex+1>e0=1,-x+1>0,所以g'(x)>0在
(-1,0]上恒成立,从而g(x)在(-1,0]上单调递增.又g(0)=0,g(-1)=-5,所以g(x)∈(
-
5
,0
],即
2 2
(x
2
-x
1
)·f(x
2
)的取值范围是(
-
5
,0
],故选BC.
2
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14.(多选)(2021山东日照一模,11)已知函数f(x)对于任意x∈R,均满足f(x)=f(2-x).当x≤1时,
f(x)={lnx,0<x≤1,若函数g(x)=m|x|-2-f(x),则下列结论正确的为( )
ex,x≤0,
A.若m<0,则g(x)恰有两个零点
3
B.若 <m<e,则g(x)有三个零点
2
3
C.若0<m≤ ,则g(x)恰有四个零点
2
D.不存在m使得g(x)恰有四个零点
答案 ABC 由f(x)=f(2-x)可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称.作出函数f(x)的图象
如图所示.
令g(x)=0,即m|x|-2=f(x),令h(x)=m|x|-2,则函数g(x)的零点个数为函数f(x)、h(x)的图象的
交点个数.∵h(x)的定义域为R,且h(-x)=m|-x|-2=m|x|-2=h(x),∴函数h(x)为偶函数,且函数
h(x)的图象恒过定点(0,-2),当函数h(x)的图象过点A(2,1)时,有h(2)=2m-2=1,解得m=
3 1 1 1
.过点(0,-2)作函数y=ln x(0<x<1)的图象的切线,设切点为(x0,ln x0),y'= ,所以,函数y=ln x的图象在点(x0,ln x0)处的切线方程为y-ln x0= (x-x0),切线过点(0,-2),所以-2-ln x0=-1,解得x0=
2 x x e
0
,则切线斜率为e,即当m=e时,函数y=h(x)的图象与函数y=ln x(0<x<1)的图象相切.若函
数g(x)恰有两个零点,由图可得m≤0或m=e,A选项正确;若函数g(x)恰有三个零点,由图
3 3
可得 <m<e,B选项正确;若函数g(x)恰有四个零点,由图可得0<m≤ ,C选项正确,D选项
2 2
错误,故选ABC.
二、填空题
15.(2022昌平二模,14)若函数f(x)={2x-b,x<0,有且仅有两个零点,则实数b的一个取
√x,x≥0
值为 .
1
答案 (答案不唯一)
2
解析 因为x≥0时,函数y=
1
√x有唯一零点0,所以只需x<0时,函数y=2x-b有一个零点,则只需0<b<1,所以实数b的一个取值为
2
.(答案不唯一)
16.(2022海淀一模,15)已知函数f(x)=
cos πx 1
,给出下列四个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)有无数个零点;③f(x)的最小值为-
x2+1 2
;④f(x)的最大值为1.其中,所有正确结论的序号为 .
答案 ①②④
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cos(-πx) cos πx
解析 因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)= = =f(x),所以
(-x)2+1 x2+1
该函数是偶函数,故①正确;
cos πx π 1
令f(x)= =0⇒cos πx=0⇒πx=kπ+ (k∈Z)⇒x=k+ (k∈Z),所以f(x)有无数个零点,故
x2+1 2 2
②正确;
f(x)=cos πx ⇒f '(x)=-π(x2+1)sin πx-2xcos πx
,因为f(1)=-
1
,f '(1)=
1
x2+1 (x2+1)2 2 2
1
≠0,所以函数f(x)的最小值不可能为- ,故③错误;
2
当x=0时,函数y=cos πx有最大值,最大值为1,函数y=
1 cos πx
有最小值,最小值为1,所以当x=0时,函数f(x)= 有最大值,最大值
x2+1 x2+1
为1.故④正确.
故答案为①②④.
{
|log x|,0<x<3,
3
17.(2022石家庄二模,15)已知函数f(x)= 若存在实数x ,x ,x ,x ,满
(π ) 1 2 3 4
sin x ,3≤x≤15,
6
足x <x <x <x ,且f(x )=f(x )=f(x )=f(x ),则x x = ,(x -3)(x -3)的取值范围是
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
.
答案 1;(0,27)
{
|log x|,0<x<3,
3
解析 作出函数f(x)= 的图象,如图所示,
(π )
sin x ,3≤x≤15
6
因为f(x )=f(x )=f(x )=f(x ),x <x <x <x ,
1 2 3 4 1 2 3 4
x +x
所以由图可知,-log x =log x , 3 4=9,且3<x <6,即x x =1,所以(x -3)(x -3)=x x -
3 1 3 2 3 1 2 3 4 3 4
2
3(x +x )+9=x (18-x )-45=- +18x -45,
3 4 3 3 x2 3
3
因为y=- +18x -45在(3,6)上单调递增,
x2 3
3
所以0<y<27,即(x -3)(x -3)的取值范围是(0,27).
3 4
一年创新
1.(2022黑龙江齐齐哈尔二模,12)定义:满足方程f '(x)+f(x)=1的解x 叫做函数f(x)的“自
0
足点”,则下列函数不存在“自足点”的是( )
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1
A. f(x)=x2-3x B. f(x)=x+
x
C. f(x)=ln x D. f(x)=ex-sin x+3
答案 D 对于A, f(x)=x2-3x,则f '(x)=2x-3, f(x)+f '(x)=x2-x-3=1,即x2-x-4=0,Δ=1+16>0,
因此, f(x)=x2-3x存在“自足点”;
1 1 1 1
对于B, f(x)=x+ ,则f '(x)=1- , f(x)+f '(x)=x+ - +1=1,可得x3+x-1=0,
x x2 x x2
其中x≠0,令g(x)=x3+x-1,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g
(1) 3 (1 ) 1
=- <0,g(1)=1>0,所以,函数g(x)在 ,1 上存在零点,即函数f(x)=x+
2 8 2 x
存在“自足点”;
1
对于C, f(x)=ln x,则f '(x)= ,其中x>0,因为f '(1)+f(1)=1,故函数f(x)=ln x存在“自足
x
点”;
对于D, f(x)=ex-sin x+3,则f '(x)=ex-cos x,
由f(x)+f '(x)=2ex-sin x-cos x+3=1,可得2ex-sin x-cos x+2=0,因为sin x≤1,cos x≤1,所以
2ex-sin x-cos x+2=2ex+(1-sin x)+(1-cos x)≥2ex>0,
所以方程2ex-sin x-cos x+2=0无实数解,即f(x)=ex-sin x+3不存在“自足点”.
故选D.
2.(2022西城一模,15)已知函数f(x)=|2x-a|-kx-3,给出下列四个结论:
①若a=1,则函数f(x)至少有一个零点;
②存在实数a,k,使得函数f(x)无零点;
③若a>0,则不存在实数k,使得函数f(x)有三个零点;
④对任意实数a,总存在实数k,使得函数f(x)有两个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
解析 令f(x)=0,得|2x-a|=kx+3,所以函数f(x)的零点个数等于函数y=|2x-a|与y=kx+3图象
的交点个数.
①当a=1时,|2x-1|=kx+3,在同一坐标系中作出y=|2x-1|,y=kx+3的图象,如图1所示.
图1
图2
因为直线y=kx+3过定点(0,3),所以函数f(x)至少有一个零点,故①正确.
②当a=-4,k=0时,作出y=|2x+4|,y=3的图象,如图2,由图象知,函数f(x)无零点,故②正确.
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页曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
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③当a=6,k=- 时,在同一坐标系中作出y=|2x-6|,y=- x+3的图象,如图3所示.
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图3
由图象知:函数f(x)有三个零点,故③错误.
④在同一坐标系中画出函数y=|2x-a|与y=kx+3的图象.如图4.
图4
由图象知:对任意实数a,总存在实数k,使得函数f(x)有两个零点,故④正确.
综上,正确结论的序号是①②④.
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