曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3.2 函数的基本性质
三年模拟
一、选择题
1.(2022广西4月大联考,5)下列函数中,既是奇函数,又在定义域上单调递增的是( )
x
A.y=cos x B.y=
x2+1
C.y=ln|x| D.y=2x-2-x
答案 D ∵函数y=cos x(x∈R)为偶函数,∴A不符合题意;
令f(x)=ln|x|(x≠0),∵f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x),∴函数y=ln|x|为偶函数,C不符合题意;
x
令f(x)= (x∈R),∵f(-x)=
x2+1
-x x 1 2
=-f(x),∴函数y= 为奇函数,∵当x=1时,y= ,x=2时,y= ,
(-x)2+1 x2+1 2 5
x
∴函数y= 在定义域上不是单调递增函数,B不符合题意;
x2+1
令f(x)=2x-2-x(x∈R),∵f(-x)=2-x-2x=-f(x),又函数y=2x在定义域上单调递增,函数y=2-x在定
义域上单调递减,∴函数y=2x-2-x既是奇函数,又在定义域上单调递增,故选D.
2.(2022华大联考3月质量测评,3)函数f(x)=|4-x|·(x-1)的单调递增区间为( )
A.(5 ) B.(1,4)
,4
2
C.(-∞,4) D.( 5),(4,+∞)
-∞,
2
{(4-x)(x-1),x<4,
答案 D 依题意,f(x)=
(x-4)(x-1),x≥4,
作出函数f(x)的大致图象如图所示.
观察图象可知,函数f(x)在( 5),(4,+∞)上单调递增,故选D.
-∞,
2
3.(2022南昌二模,7)若f(x)={ 2x,x>0, 为奇函数,则g(-2)=( )
g(x)+x2,x<0
A.-8 B.-4 C.-2 D.0
答案 A 因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-4,
又f(-2)=g(-2)+4,所以g(-2)=-8.故选A.
4.(2022西城二模,4)下列函数中,与函数y=x3的奇偶性相同,且在(0,+∞)上有相同单调性的
是( )
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A.y=(1) x B.y=ln x
2
C.y=sin x D.y=x|x|
答案 D y=x3为奇函数且在(0,+∞)上单调递增.
y=(1) x 、y=ln x都是非奇非偶函数,排除选项A、B;
2
y=sin x为奇函数,在(0,+∞)上不单调,排除选项C;
选项D:y=x|x|={ x2,x>0, 令y=f(x),显然f(x)的定义域关于原点对称且f(-x)=-f(x),故
-x2,x≤0,
y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增.故选D.
{x+a,x<0,
5.(2022海淀二模,5)若f(x)= 是奇函数,则( )
bx-1,x>0
A.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=1 D.a=-1,b=-1
答案 C f(1)=b-1,f(-1)=-1+a,因为f(-1)=-f(1),所以a+b=2①;f(2)=2b-1,f(-2)=-2+a,因为
f(-2)=-f(2),所以a+2b=3②,由①②解得a=b=1,故选C.
一题多解 设x<0,则-x>0,f(-x)=-bx-1,因为f(-x)=-f(x),所以-bx-1=-x-a,对任意x<0恒成立,
所以a=b=1,故选C.
6.(2022安徽安庆质检,5)已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(x-2)为偶函数,且当0<x≤2时,
f(x)=log (2x),则f(201)+f(202)=( )
2
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 B 由f(x)是定义在R上的奇函数, f(x-2)为偶函数,可得f(-x)=-f(x), f(-x-2)=f(x-2),
则f(-x)=f(x-4),所以f(x-4)=-f(x),即有f(x+4)=-f(x),可得f(x+8)=-f(x+4)=f(x),则f(x)的周期
为8.当0<x≤2时, f(x)=log (2x),则
2
f(201)+f(202)=f(8×25+1)+f(8×25+2)=f(1)+f(2)=log 2+log 4=1+2=3.
2 2
7.(2022江西金太阳联考,9)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=6,则f(4)=(
)
A.-6 B.6 C.-12 D.12
答案 D 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.因为f(1+1)+f(1-1)=6,所以f(2)=6,
则f(-2)=-f(2)=-6.又f(-3+1)+f(1+3)=6,
所以f(4)=6-f(-2)=12.
8.(2022河南安阳模拟,12)定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(x+1),当x≥1时, f(x)=
{-x2+5,1≤x<2,若对任意的x∈[t,t+1],不等式f(x)≤f(1-t-x)恒成立,则实数t的取值范围
2-log x,x≥2,
2
是( )
A.(-∞,-1]∪[ 1 )
- ,+∞
3
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B.(-∞,-2]∪[1 )
,+∞
3
C.[ 1]
-2,
3
D.[ 1]
-1,-
3
答案 D 当1≤x<2时,y=-x2+5单调递减, f(x)>-22+5=1;
当x≥2时, f(x)单调递减,
又-22+5=2-log 2,故f(x)在[1,+∞)上连续且单调递减.
2
由f(1-x)=f(x+1)得f(x)的图象关于直线x=1对称.
因为对任意的x∈[t,t+1],不等式f(x)≤f(1-t-x)恒成立,
所以|x-1|≥|1-t-x-1|,即(1-x)2≥(x+t)2,
即2(t+1)x+t2-1≤0对任意的x∈[t,t+1]恒成立,
所以{ 2(t+1)t+t2-1≤0,
2(t+1)(t+1)+t2-1≤0,
1
解得-1≤t≤- ,故选D.
3
9.(2022河南天一联考(五),3)已知函数f(x)=x3-x,则下列函数图象关于点(1,0)对称的是(
)
A. f(x-1)+sin πx B. f(x+1)+sin πx
C. f(x-1)+cos πx D. f(x+1)+cos πx
答案 A 易知函数f(x)为奇函数,
则其图象关于(0,0)对称,
故f(x-1)的图象关于(1,0)对称,
又y=sin πx的图象的对称中心为(k,0)(k∈Z),
所以f(x-1)+sin πx的图象关于(1,0)对称.故选A.
10.(2022安徽安庆示范高中4月联考,5)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于原点及
(2,1)对称.当x∈[0,2]时, f(x)=log
3
(x+1),则下列叙述正确的是( )
A. f(x)是周期函数
B. f(x)的图象关于直线x=-2对称
C. f(x)在(-∞,+∞)单调递增
D. f(x)的值域为[-1,1]
答案 C 函数f(x)的定义域为R,其图象关于原点及(2,1)对称,且x∈[0,2]
时,f(x)=log (x+1),其图象如图所示:
3
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由函数图象知: f(x)为奇函数,在(-∞,+∞)单调递增,其值域为R,不是周期函数,图象也不关
于直线x=-2对称,故选C.
1
11.(多选)(2022广东南山蛇口育才中学月考)已知函数f(x)= ,则( )
1+2x
1
A.f(log 3)=
2
4
B.f(x)是R上的减函数
C.f(x)的值域为(-∞,1)
D.不等式f(1+2x)+f(x)>1的解集为( 1)
-∞,-
3
1 1 1
= =
答案 ABD f(log 2 3)= 1+2log
2
3 1+3 4 ,A正确;
y=1+2x恒正且在R上递增,故y=
1 1 1 1 1 2x 1 ( 1)
是R上的减函数,B正确;y=1+2x的值域是(1,+∞),故f(x)= 的值域是(0,1),C错误;f(x)+f(-x)= + = + =1,故不等式f(1+2x)+f(x)>1等价于f(1+2x)+f(x)>f(x)+f(-x),即f(1+2x)>f(-x),又f(x)是R上的减函数,故1+2x<-x,解得x<- ,故原不等式的解集为 -∞,-
1+2x 1+2x 1+2x 1+2-x 1+2x 1+2x 3 3
.D正确.故选ABD.
12.(多选)(2022山东学情10月联考,9)下列既是奇函数,又是增函数的是( )
A.f(x)=x|x|
B.g(x)=4x-1
2x
C.φ(x)={ x2+2x,x>0
-x2-2x,x<0
D.h(x)=log (√x2+1-x)
1
2
答案 ABD A.函数y=f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),为奇函数,
f(x)=
{ x2,x≥0, 1
结合f(x)的图象可知,函数y=f(x)是增函数.B.函数y=g(x)的定义域为R,关于原点对称,g(x)=2x-
-x2,x<0, 2x
,显然,函数y=g(x)既是奇函数又是增函数.C.函数y=φ(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原
点对称.结合图象可知,函数φ(x)的图象不关于原点中心对称,故函数y=φ(x)不是奇函
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数.D.函数y=h(x)的定义域为R,关于原点对称.因为h(-x)+h(x)=log (√x2+1+x)+lo
1
2
g (√x2+1-x)=log 1=0,∴y=h(x)为奇函数,又h(x)=lo g 1 在(0,+∞)上单调递
1
2
1
2
1
2
√x2+1+x
增,h(0)=0且函数图象在定义域上连续,∴函数y=h(x)在R上单调递增,∴函数y=h(x)既是
奇函数又是增函数.
二、填空题
{(x-a)2,x≤0,
13.(2022宁夏六盘山二模,16)已知函数f(x)= 若f(0)是函数f(x)的最小值,
1
x+ +a,x>0,
x
则实数a的取值范围为 .
答案 [0,2]
解析 当x>0时,f(x)=x+
1 1
+a在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,所以当x=1时,f(x)=x+ +a取得最小
x x
值2+a,又因为f(0)是f(x)的最小值,所以a≥0且(0-a)2≤2+a,解得0≤a≤2.故答案为[0,2].
14.(2022房山二模,14)已知函数f(x)={x,x≤a, 若函数f(x)在R上不是增函数,则a的一
x3,x>a.
个取值为 .
答案 -2(答案不唯一)
解析 若函数f(x)在R上不是增函数,则a>a3,得a(a-1)·(a+1)<0,解得a<-1或0<a<1.可取
a=-2.答案不唯一.
15.(2022平谷零模,14)能说明“若f(x),g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,则f(x)·g(x)在[-2,2]
上是增函数”为假命题的一组函数:f(x)= ,g(x)= .
答案 x+1;x-1(答案不唯一)
解析 f(x)=x+1在[-2,2]上是增函数,g(x)=x-1在[-2,2]上是增函数,但f(x)·g(x)=x2-1在
[-2,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数.本题答案不唯一.
x
16.(2020河北一模,15)已知函数f(x)= ,x∈R,分别给出下面几个结论.
1+|x|
①等式f(-x)+f(x)=0在x∈R时恒成立;
②函数f(x)的值域为(-1,1);
③若x ≠x ,则一定有f(x )≠f(x );
1 2 1 2
④函数g(x)=f(x)-x在R上有3个零点.
其中正确结论的序号是 .
答案 ①②③
解析 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,故①正确.
x 1
=
当x>0时, f(x)=1+x 1,该函数在(0,+∞)上单调递增,且x→0时, f(x)→0;x→+∞时,
1+
x
f(x)→1,
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结合f(x)是奇函数,作出f(x)的大致图象如图,
易知函数的值域是(-1,1),故②正确.
因为函数f(x)为定义域内的增函数,所以③正确.
x -x2
当x≥0时,g(x)=f(x)-x= -x= ,
1+x 1+x
令f(x)-x=0,得x=0,故此时g(x)只有一个零点0,易知g(x)是奇函数,故函数g(x)只有一个零
点,所以④错误.故正确结论的序号是①②③.
一年创新
1.(2022贵州模拟,12)已知函数f(x)=1 1 1 2x+2 图象
+ + +3图象与函数g(x)=
x x-2 x-4 2x-2+1
m
的交点为(x ,y ),(x ,y ),……,(x ,y ),则∑(x+y)=( )
1 1 2 2 m m i i
i=1
A.20 B.15 C.10 D.5
1 1 1
答案 A 函数f(x)= + + +3的定义域为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,4)∪(4,+∞),
x x-2 x-4
其图象由4条曲线组成,在区间(-∞,0),(0,2),(2,4),(4,+∞)上都单调递减,
当x<0时,f(x)<3;当0<x<2或2<x<4时,f(x)取一切实数;当x>4时,f(x)>3,
f(4-x)+f(x)=( 1 1 1 ) 1 1 1 +3 =6,即f(x)的图象关于点(2,3)对
- - - +3 + + +
x-4 x-2 x x x-2 x-4
称.
8
函数g(x)=4- ,定义域为R,在R上单调递增,值域为(2,4),其图象夹在平行直线
2x+4
y=2,y=4之间,
g(4-x)+g(x)=( 8 ) ( 8 ) (2·2x 8 )=6,g(x)的图象关于点(2,3)
4- + 4- =8- +
24-x+4 2x+4 2x+4 2x+4
对称,
因此,函数f(x)的图象与g(x)的图象有4个交点,即m=4,它们关于点(2,3)对称,不妨令点
4
(x ,y )与(x ,y )相互对称,(x ,y )与(x ,y )相互对称,则x +x =x +x =4,y +y =y +y =6,所以∑
1 1 4 4 2 2 3 3 1 4 2 3 1 4 2 3
i=1
(x+y)=20.故选A.
i i
{ m,x≤0,
2.(2022 5·3原创题)已知f(x)= 若g(x)=f(x)+ax是偶函数,则a+m=
3x-1,x>0,
.
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5
答案 -
2
{ m+ax,x≤0,
解析 g(x)=f(x)+ax= 由题意得g(-x)=g(x),令x>0,则-x<0,所以-
(3+a)x-1,x>0,
ax+m=(3+a)x-1,
{m=-1,
即{ m=-1, 5.
得 3 所以a+m=-
-a=3+a, a=- , 2
2
小题巧解 本题也可以利用特殊值法求解,如利用g(-1)=g(1),g(2)=g(-2)列方程组求解.
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