北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
§2.6 函数的零点与方程的根
— 五年高考 —
考点 函数的零点
1.(2020天津,9,5分)已知函数f(x)={x3,x≥0,若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则
-x,x<0.
k的取值范围是 ( )
A.( 1)∪(2 ,+∞) B.( 1)∪(0,2 )
-∞,- √2 -∞,- √2
2 2
C.(-∞,0)∪(0,2√2) D.(-∞,0)∪(2√2,+∞)
答案 D
{2√x,0≤x≤1,
2.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=-1x+a(a∈R)恰有
1
, x>1. 4
x
两个互异的实数解,则a的取值范围为 ( )
A.[5 9] B.(5 9]
, ,
4 4 4 4
C.(5 9]∪{1} D.[5 9]∪{1}
, ,
4 4 4 4
答案 D
{
x, x<0,
3.(2019浙江,9,4分)设a,b∈R,函数f(x)= 若函数y=f(x)-
1 1
x3- (a+1)x2+ax, x≥0.
3 2
ax-b恰有3个零点,则 ( )
A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0
C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0
答案 C
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4.(2017山东理,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=√x+m的图象有且只有
一个交点,则正实数m的取值范围是 ( )
A.(0,1]∪[2√3,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,√2]∪[2√3,+∞) D.(0,√2]∪[3,+∞)
答案 B
5.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
1 1 1
A.- B. C. D.1
2 3 2
答案 C
6.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①若k=0,则f(x)有两个零点;
②∃k<0,使得f(x)有一个零点;
③∃k<0,使得f(x)有三个零点;
④∃k>0,使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是 .
答案 ①②④
7.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数, f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,
{k(x+2),0<x≤1,
且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时, f(x)= ,g(x)= 其中k>0.若在区
√1-(x-1)2 1
- ,1<x≤2,
2
间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是 .
答案 [1 √2)
,
3 4
以下为教师用书专用(1—8)
1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)={2-|x|, x≤2, 函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-
(x-2)2, x>2,
g(x)的零点个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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答案 A 由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)={|x-2|+1,x≥0, 函数y=f(x)-g(x)的零点个数即
3-x2, x<0.
为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象
如图所示.
由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.
6
2.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)= -log x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是 ( )
2
x
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
6 3
答案 C ∵f(1)=6-log 1=6>0, f(2)=3-log 2=2>0,f(4)= -log 4= -2<0,∴包含f(x)零点的区间是
2 2 2
4 2
(2,4),故选C.
3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为 ( )
A.( 1 ) B.( 1)
- ,0 0,
4 4
C.(1 1) D.(1 3)
, ,
4 2 2 4
答案 C 显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数
f(x)=ex+4x-3的零点一定落在区间( 3)内,又f(1)= -2<0, f(1)= -1>0.故选C.
0, √4 e √e
4 4 2
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评析 本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难
度试题.
4.(2016山东文,15,5分)已知函数f(x)={|x|, x≤m, 其中m>0.若存在实数b,使
x2-2mx+4m, x>m,
得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
答案 (3,+∞)
解析 f(x)的图象如图所示,
若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,又
m>0,所以m>3.
方法总结 分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思
想方法来解决.
评析 本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题.
5.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=
{x2+(4a-3)x+3a,x<0, (a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两
log (x+1)+1, x≥0 3
a
个不相等的实数解,则a的取值范围是 .
答案 [1 2)
,
3 3
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4a-3
{- ≥0,
解析 ∵函数f(x)在R上单调递减,∴ 2 解得1≤a≤3.在同一直角坐标系下作出
0<a<1, 3 4
3a≥1,
x
函数y=|f(x)|与y=2- 的图象,如图所示.
3
x x
方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2- 的图象恰有两个交点,
3 3
2 1 2
则需满足3a<2,得a< ,综上可知, ≤a< .
3 3 3
4a-3
{- ≥0,
易错警示 (1)f(x)在R上单调递减,需满足 2 缺少条件是失分的一个原因;
0<a<1,
3a≥1,
(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数
的问题是解决这类问题常用的方法.
评析 本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数
问题转化为两个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.
6.(2015湖南理,15,5分)已知函数f(x)={x3,x≤a,
若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,
x2,x>a.
则a的取值范围是 .
答案 (-∞,0)∪(1,+∞)
解析 当a<0时,若x∈(a,+∞),则f(x)=x2,当b∈(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x=-
1
√b,x=√b.
2
当0≤a≤1时,f(x)的图象如图所示,
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易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.
当a>1时, f(x)的图象如图所示,
当b∈(a2,a3]时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x=√3 b,x=√b.
1 2
综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
7.(2015北京理,14,5分)设函数f(x)={ 2x-a, x<1,
4(x-a)(x-2a), x≥1.
①若a=1,则f(x)的最小值为 ;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .
答案 ①-1 ②[1 )∪[2,+∞)
,1
2
解析 ①当a=1时, f(x)={ 2x-1,x<1, 其大致图象如图所示:
4(x-1)(x-2),x≥1,
由图可知f(x)的最小值为-1.
②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;
当0<a<1时,易知f(x)在(-∞,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x≥1时, f(x)有且只有
1 1
一个零点,结合图象可知,2a≥1,即a≥ ,则 ≤a<1;
2 2
当a≥1时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x≥1时, f(x)有2个零点,
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则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.
综上可知,满足条件的a的取值范围是[1 )∪[2,+∞).
,1
2
8.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sin xsin( π)-x2的零点个数为 .
x+
2
答案 2
解析 f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y=sin 2x与y=x2图象
1 2
的交点个数,在同一坐标系中画出y=sin 2x与y=x2的图象如图所示:
1 2
由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点 函数的零点
1.(2019广东汕头达濠华侨中学,东厦中学第二次联考,12)设函数f(x)是定义在R上周期为2的
函数,且对任意的实数x,恒有f(x)-f(-x)=0.当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-log x在x∈(0,+∞)
a
上有且仅有三个零点,则a的取值范围为 ( )
A.[3,5] B.[4,6] C.(3,5) D.(4,6)
答案 C
2.(2020湖南长沙明德中学3月月考,10)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),当x≤2
时, f(x)=xex,若关于x的方程f(x)=k(x-2)+2有三个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 (
)
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-e,0)∪(0,e) D.(-e,0)∪(e,+∞)
答案 A
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{2x+2,-2≤x≤1,
3.(多选题)(2021辽宁沈阳市郊联体一模,12)已知函数f(x)= 若关于x的方
lnx-1,1<x≤e,
程f(x)=m恰有两个不同解x,x(x<x),则(x-x)f(x)的取值可能是 ( )
1 2 1 2 2 1 2
A.-3 B.-1 C.0 D.2
答案 BC
4.(2021福建三明三模,15)函数f(x)=ln x+2x-6零点的一个近似值为 .(误差不超过
0.25,自然对数的底数e≈2.72)
答案 2.45(可填(2.36,2.54)中的任一实数)
5.(2021湖北九师联盟2月质量检测,15)若函数f(x)={x3-3x+1-a,x>0,
恰有3个零点,则
x3+3x2-a,x≤0
实数a的取值范围为 .
答案 (-1,0)∪[1,4)
B组 综合应用题组
时间 : 30 分钟 分值 : 35 分
一、单项选择题(每小题5分,共15分)
1.(2020河北新时代NT教育模拟自测)已知函数f(x)={|lnx|,x>0, 若f(x)=kx有两个不
x2+2x+2,x≤0,
等实根,则实数k的取值范围是 ( )
1
A.2-2√2<k<0或k= B.k<2-2√2
e
1
C.2-2√2<k<0 D.k<2-2√2或k=
e
答案 D
2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数f(x)=2x,函数g(x)与p(x)=1+ln(-2-x)的图象关
于点(-1,0)对称,若f(x)=g(x),则x+x 的最小值为 ( )
1 2 1 2
ln2-1 1
A.2 B. C. ln 2 D.ln 2
2 2
答案 C
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3.(2019河北衡水中学第二次调研,12)已知函数f(x)={x2+4x,x≤0,g(x)=kx-1,若方程f(x)-
xlnx,x>0,
g(x)=0在x∈(-2,e2)上有3个实根,则k的取值范围为( )
A.(1,2]
B.( 3]∪{2}
1,
2
C.( 3)∪(3 )
1, ,2
2 2
D.(
1,
3)∪(3
,2+
1 )
2 2 e2
答案 B
二、多项选择题(每小题5分,共10分)
4.(2021湖南衡阳联考(一),12)已知函数f(x)=esin|x|+e|sin x|,以下结论正确的是 ( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的最小值为2
C. f(x)在区间( π)上单调递减
-π,-
2
2
D.g(x)=f(x)- x的零点个数为5
π
答案 ABD
5.(2021山东日照一模,11)已知函数f(x)对于任意x∈R,均满足f(x)=f(2-x).当x≤1时, f(x)=
{lnx,0<x≤1, 若函数g(x)=m|x|-2-f(x),则下列结论正确的为( )
ex,x≤0,
A.若m<0,则g(x)恰有两个零点
3
B.若 <m<e,则g(x)有三个零点
2
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3
C.若0<m≤ ,则g(x)恰有四个零点
2
D.不存在m使得g(x)恰有四个零点
答案 ABC
三、填空题(每小题5分,共10分)
6.(2021山东济南十一学校联考,16)如果两个函数存在零点,分别为α,β,且满足|α-β|<n,则称两
个函数互为“n度零点函数”.若f(x)=ln(x-2),g(x)=ax2-ln x互为“2度零点函数”,则实数a的
取值范围为 .
答案 ( 1 ]
0,
2e
7.(2020山东淄博实验中学模拟,16)已知函数f(x)=(2-a)·(x-1)-2ln x.若函数f(x)在( 1)上无
0,
2
零点,则a的最小值为 .
答案 2-4ln 2
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)已知x 是函数f(x)=x2ex-2+ln x-2的零点,则下列结论错误的是( )
0
A.ln x=2-x
B.e2-x
0+ln x=2
0 0 0
1
C.x∈(1,2) D.ln x- >0
0 0 x
0
答案 D
2.(2021 5·3原创题)已知函数f(x)={|x+2|,x≤0, 关于x的方程[f(x)]2=mf(x)+1有4个不同
log x,x>0.
2
的实数根,则实数m的取值范围为 ( )
A.( 3 ) B.( 3] C.( 3] D.( 3)
- ,1 -∞, 1, -∞,-
2 2 2 2
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答案 B
3.(2021 5·3原创题)已知f(x)={lnx,x≥1, 若g(x)=f 2(x)+mf(x)+2有5个零点,则实数m的取
x2,x<1,
值范围为 ( )
A.(-∞,-2√2) B.(-∞,-3)
C.(-∞,-3] D.(-2√3,-3)
答案 B
4.(2021 5·3原创题)已知函数F(x)=(x3+x) 3 +x3+x-2x,设x,x(x<x)是函数的两个非零零点,
1 2 1 2
2 2
则函数y=2
(x
1
+2x
2
)t+2 (2x
1
+x
2
)t+1(t∈R)的最小值为
( )
A.2√2 B.0 C.1 D.4
答案 A
2
5.(2021 5·3原创题)已知函数f(x)=|x|(x+1),若函数g(x)=f(x)+ +m有四个不同零点
f (x)
x,x,x,x,则实数m的取值范围是 ;若x<x<x<x,则f(x)f(x)f(x)f 3(x)的值是 .
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
答案 ( 33);8
-∞,-
4
6.(2021 5·3原创题)函数f(x)=|cos x|-msin x-3m无零点,则m的取值范围是 .
答案 (-∞,0)∪(√2 )
,+∞
4
7.(2021 5·3原创题)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时, f(x)=
{ 3x-7,0<x≤2, g(x)=f(x)-a.
|x-5|-1,x>2.
(1)若函数g(x)恰有三个不相同的零点,求实数a的值;
(2)记h(a)为函数g(x)的所有零点之和.当-1<a<1时,求h(a)的取值范围.
解析 (1)作出函数f(x)的图象,如图,
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由图象可知,当且仅当a=2或a=-2时,直线y=a与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,∴当且
仅当a=2或a=-2时,函数g(x)恰有三个不相同的零点.
(2)由f(x)的图象可知,当-1<a<1时,g(x)有6个不同的零点.设这6个零点从左到右依次为
x,x,x,x,x,x.
1 2 3 4 5 6
则x+x=-10,x+x=10,x 是方程-3-x+7-a=0的解,x 是方程3x-7-a=0的解.
1 2 5 6 3 4
7+a
∴h(a)=-10-log (7-a)+log (7+a)+10=log .
3 3 3
7-a
∵当-1<a<1时,7+a= 14 -1∈(3 4),
,
7-a 7-a 4 3
∴h(a)∈(1-2log 2,2log 2-1).
3 3
∴当-1<a<1时,h(a)的取值范围为(1-2log 2,2log 2-1).
3 3
技巧点拨 遇到函数零点求和时,往往要结合函数的图象,注意函数图象的对称性,理清零点
间的关系再求和.
12 / 12
