小学数学里的鸡兔同笼问题到底在训练什么思维?

小学数学里的鸡兔同笼问题到底在训练什么思维？

大家好，我是蔡老师，一直在广州带晚辅托管。

一说到鸡兔同笼，有些家长脑子里马上就会冒出两个词，奥数、公式。孩子能不能把它算出来，似乎成了判断数学思维好不好的标准。

可我更关心的是，孩子第一次碰到这种题时，会先做什么。

是盯着35个头、94只脚发愣，还是愿意先把数字变小？是想到一个答案就急着写上去，还是能根据条件不断调整？这些反应，比最后有没有算对，更值得我们留意。

鸡兔同笼是《孙子算经》里的一道经典数学趣题，也出现在小学数学的相关教学内容中。

它真正有意思的地方，不在于鸡和兔的数量，而在于一道看起来没有直接算法的题，怎样被孩子一步步想明白。

1、第一种思维，是遇到复杂问题，知道先把它变简单

先看原题，笼子里有鸡和兔，一共有35个头、94只脚，问鸡和兔各多少只。

对刚开始接触这类问题的小学生来说，这两个数字不算小，如果上来就要求他迅速列式，很多孩子会不知道从哪儿下手。

那我们换一道小题。笼子里一共有8只鸡和兔，合起来28只脚，问各有多少只。数字少了，条件和问题却完全没变。孩子可以画8个圈代表8个头，再慢慢思考这些头下面应该配几只脚。

我觉得这一步很重要。真正会思考的孩子，不一定一开始就有办法，但他能够把暂时解决不了的问题，改成一个自己可以动手试的问题。画图也好，拿小棒摆一摆也好，都不是幼稚，而是在为推理找到一个起点。

如果家长上来就说，这种题有专门公式，你记住就行，孩子当然可能很快算出答案。但他会失去一个非常宝贵的机会，自己发现复杂问题其实可以从简单情况入手。

这种能力还会用到。遇到数字很大的应用题，先研究小数字的变化；遇到条件很多的题目，先挑出最关键的关系；看到难题不立刻放弃，也不急着找现成套路。鸡兔同笼练的第一件事，就是敢于把难题拆开。

2、第二种思维，不是乱猜，而是有顺序地试

还是8个头、28只脚。如果孩子说，我猜有4只鸡、4只兔，这当然可以。算一下，4只鸡有8只脚，4只兔有16只脚，一共24只，比题目给出的28只少了4只。

接下来该怎么办？有的孩子会换个数继续乱猜，今天碰巧猜对了，明天数字一大又没主意。我更希望他能注意到一个变化，鸡换成兔，总头数没有变，脚却增加了2只。

既然现在少4只脚，那就把2只鸡换成2只兔。于是鸡剩2只，兔变6只，总脚数正好28。你看，真正关键的不是猜中了什么，而是孩子能不能利用刚刚算出来的信息，让下一次尝试更接近答案。

如果他暂时找不到这个变化，也可以从8只全是鸡开始列表。8只鸡有16只脚，换成7只鸡、1只兔就有18只，再换成6只鸡、2只兔就有20只。列表不必写到最后才有价值，写到这里，孩子就有机会发现每替换一只，脚数总是增加2只。

我很看重这一点，因为小学里不少孩子的问题，并不是完全不会做，而是思考缺少顺序。遇到应用题，一会儿加、一会儿减；做几何题，这里量一下、那里猜一下，尝试了很多次，却没有积累任何有用的信息。

学会有序地试，孩子就开始知道，做错一次也不是白做。上一步的结果，可以帮我们决定下一步。数学思维并不要求孩子永远第一次就答对，而是让他越来越少地依赖碰运气。

3、第三种思维，是先作假设，再用差距反推结果

等孩子理解了列表，才适合进一步看假设法。假设8只全是鸡，一共应该有8×2＝16只脚，可题目说有28只，少了12只。这个时候，不用忙着套公式，先问孩子一句，少的12只脚从哪里来？

原因并不复杂。我们把兔子都当成了鸡，而每只真正的兔子比鸡多2只脚。少掉的12只脚，每2只对应一只兔子，所以兔有12÷2＝6只，鸡有8－6＝2只。

这里完成了一次推理。先故意设定一个不符合实际的情况，再拿它和真实条件比较，利用差距找到答案。不是所有假设都正确，但合理的假设可以让看不见的数量关系变得清楚。

我不希望孩子只记住总脚数减头数乘2，再除以2。因为只要题目换成鸭和羊，或者换成两种票价，这句口诀就不再那么好背了。孩子如果理解的是每替换一个对象会产生多少差额，题目换个外壳，也能重新想出来。

当然，假设法不是每个孩子第一次学就必须掌握得特别熟。刚开始连画图和列表都还没有弄明白的孩子，直接要求一步列出综合算式，很可能只是把思维题重新学成背公式的计算题。

我更希望听到的，就是孩子说出原来差的这12只脚，是因为我把兔子看成了鸡。他能讲出这个原因，才说明那个除法不是凭空冒出来的。

4、第四种思维，是题目换了名字，还能认出同一种关系

有家长可能会问，鸡兔同笼学完有什么用，难道真的要数笼子里的脚吗？当然不是。我们练它，是为了让孩子知道，有些题虽然故事不同，背后其实是同一种数量关系。

我来给你们举个生活化的例子。

某场活动卖出8张票，成人票每张30元，儿童票每张20元，一共收入200元，成人票和儿童票各卖了多少张？题目里已经没有鸡和兔，也没有头和脚，孩子能不能认出两类票的总张数已知、总金额已知、单价不同？

如果假设8张全是儿童票，收入就是160元，比实际少40元。每换成一张成人票，收入增加10元，因此成人票有4张，儿童票也有4张。你会发现，思考的过程几乎一样，只是脚数差变成了票价差。

这就是我认为很值得训练的迁移能力。孩子不能只会认“鸡兔同笼”这四个字，看到笼子就会，看到买票就不会；也不能记了一堆不同题型的口诀，却说不清它们为什么能用相似的方法。

不过，家长也不要因此每天安排十几道复杂变式题。小学阶段的重点，应该先让孩子理解基本关系，再逐渐接触不同情境。如果连原题的变化规律都不清楚，就开始练绕来绕去的题目，很容易把兴趣和信心一起磨掉。

那家长在家怎么判断孩子到底学会了没有？我会建议用三个很简单的问题试试。

第一，你能不能不看答案画出来？第二，如果总头数不变、总脚数增加2只，鸡和兔的数量会怎样变化？第三，把鸡兔换成两种不同价格的物品，你还能不能说清思路？

这些问题不一定都要一次答出来。孩子讲不清，就让他用画图、摆物品或者列表的办法重新试，而不是立刻把公式告诉他。

我们的目的不是让他在家里表演一道难题，而是看他的思考能不能自己往前走。

广州的家长如果正在考虑给孩子安排数学思维训练，我也想提醒一句，不要只凭会不会鸡兔同笼来判断孩子有没有数学天赋。

这类问题很适合观察推理方式，但孩子的数学学习还包括数与运算、图形、统计和真实问题解决，不能拿一道题给孩子定性。

对有些孩子来说，能列出一张有顺序的表，就是进步；对另一些孩子来说，能够从列表走向假设，再把方法用到新情境里，才是下一步值得挑战的地方。每个孩子的起点不同，要求也应该有所区别。

以后你再看到孩子做鸡兔同笼，不妨先忍住问答案是多少。看看他怎样开始、怎样发现错误、又怎样调整自己的想法。

比算出几只鸡几只兔更值得保留下来的，是他遇到一个陌生问题时，知道自己可以从哪里想起。