(182)--第3次课后作业解答_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第 3 次课作业解答
 1 xcosxsinx
1.【解1】 原式lim   （有理化）
x0 1xcosx  1sinx x3 
1 xcosxsin x
 lim （极限非零的因子极限先求出来）
2 x0 x3
1 cosxxsinxcosx
 lim （洛必达法则）
2 x0 3x2
1

6
1
(xcosxsin x)
2 
【解2】 原式lim (拉格朗日中值定理)
x0
x3
1 xcosxsin x
 lim （极限非零的因子极限先求出来）
2 x0 x3
1 xcosxx xsin x
 [lim lim ]
2 x0 x3 x0 x3
1 1 1
 [  ]
2 2 6
1

6
12sin x x1 12sin x x1
2.【解1】 lim lim （等价无穷小代换）
x0 xln(1 x) x0 x2
cosx
1
12sin x
lim （洛必达法则）
x0 2x
1 cosx 12sin x
lim
x0 12sin x 2x
cosx
sin x
12sin x 1
lim  .
x0 2 2
12sin x x1 12sin x x1
【解2】 lim lim （等价无穷小代换）
x0 xln(1 x) x0 x2
1 12sin x(x1)2
lim  （分子有理化）
x0 12sin x x1 x2
1 2(sin xx)x2 1
 lim  .
2 x0 x2 2
13.【解1】由洛必达法则，得
1x 2 2
2arctanxln 
1x 1x2 1x2
lim lim
x0
xn
x0
nxn1
4x2 4
lim lim c0
x0 nxn1(1x4) x0 nxn3
4
则 n3,c .
3
1 1
【解2】由xarctanx～ x3得，xarctanx  x3(x3)
3 3
1
arctanx  x x3(x3)
3
x2 x3
又 ln(1x) x  (x3)
2 3
x2 x3
ln(1x)x  (x3)
2 3
1x 4
2arctanxln  x3(x3)
1x 3
则 lim lim c0
x0
xn
x0
xn
4
n3,c .
3
 x (1t2)et2 dt ex2 x2ex2
4.【解】 lim 0  lim
x
xex2 xex2 2x2ex2
1
1
x2 1
 lim 
x 1 2
2
x2
x
 f(t)dt(xa)f(a)
5.【解】 原式lim a
x
xa (xa)f(a) f(t)dt
a
x
 f(t)dt(xa)f(a)
x x
lim a [ f(t)dt～ f(a)dt (xa)f(a)]
xa (xa)2 f 2(a) a a
f(x) f(a)
lim (洛必达法则)
xa 2(xa)f 2(a)
f(a)
 （导数定义）
2f 2(a)
2x x 1
6.【解】由于当x0时，arcsinx2 ~ x2,则 arcsint2dt ~  t2dt  x3.
0 0 3
cosx2
x x
又lim 1,则 cost2dt ~  1dt  x.
x0 1 0 0
x2 (arctanx)2 (xarctanx)(xarctanx)
lim lim
x x 1
x0  arcsint2dt cost2dt x0 x3x
0 0 3
1
x3
xarctanx 3 x3
3[lim lim ] (xarctanx ~ )
x0 x x0 x3 3
1
3[2 ]2
3
 x
arctan
4 x1
7.【解1】原式 lim
1
x
x
1 (x1)x
 
x (x1)2
1( )2
x1
 lim （洛必达法则）
1
x

x2
x2 1
 lim 
x2x2 2x1 2
 x   x 
【解2】 lim x arctan   lim xarctan1arctan .
x  4 x1 x  x1
x  x 
 lim 1  (拉格朗日中值定理)
x12  x1
1 x 1
 lim 
2x1x 2
x
 2 
8.【解】考虑极限 lim  arctanx
x 
x x
 2   2 
lim  arctanx  lim 1[ arctanx1]
x  x  
2
arctanx1
2 
lim [ arctanx1]x lim
x  x 1
x
32 1
1x2 2
 lim 
x 1 

x2
 2  n  2
则 lim arctann e 
n 
3
9.【解】 lim x2( x1 x12 x）
x
1 1
 lim x2( 1  1 2）
x x x
1 1 1 1
( 1) ( 1)
1 1 1 1 1 1
 lim x2[(1  2 2 （ )) (1  2 2 （ ))2]
x 2x 2! x2 x2 2x 2! x2 x2
1 1 1 1
 lim x2[( （ )] 
x 4 x2 x2 4
f(x)2x f(x)2
10.【解1】 lim lim （洛必达法则）
x0 x2 x0 2x
1 f(x) f(0)
 lim
2 x0 x
f(0)
 （导数定义）
2
1

2
【解2】函数 f(x)带有佩亚诺余项的二阶麦克劳林公式为
f(0)
f(x) f(0) f(0)x x2 (x2)
2!
1
即 f(x)2x x2 (x2)
2
1
x2 (x2)
f(x)2x 1
2
则 lim lim 
x0 x2 x0 x2 2
f(x)2x f(x)2 f(x) f(0) 1
【注】 经典错误： lim lim lim   .
x0 x2 x0 2x x0 2 2 2
4