241028_103715-4.基础习题册高数第四章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_03.基础定制_01.高数_讲义

第四章 不定积分
4-1 基础过关
1.【答案】（1）
1
2
l n
| e
e
x
x


1
1
|
 C ；（2） l n x  s i n x  C ；（3） l n x ( l n l n x  1 )  C ；
（4）
1
2
a r c t a n s i n 2 x  C ； （5）
1
3
t a n 3 x  t a n x  x  C ；
（6）
1
4
l n | x | 
1
2 4
l n ( x 6  4 )  C .
【解析】（1）将分子分母同乘 e x ，转化成关于 e x 的函数.

e x
d

x
e  x




1
2
1
2
e
2 e

l n
x d
x
( e
|
x

x
e
e
1
1

x
x

1


)
1
1


|
e

x d e
2 x 
1
x ( e
C
1
 1

)

d e
( e
x
x


1
2
d
1
e
) (
l n
x
e x
e
e

x
x
1


)
1
1
 C
（2）观察分子分母之间的关系，进行凑微分运算.
1cosx 1
 dx d(xsinx)ln xsinx C
xsinx xsinx
（3）观察分子分母之间的关系，进行凑微分运算，被积函数是对数函数，使用分部积分
法.
lnlnx lnxu
 dxlnlnxdlnx lnudu
x
1
ulnuudlnu ulnuu du
u
ulnu1du ulnuuC
lnxlnlnxlnxC lnx(lnlnx1)C
（4）分子有一个单独的cosx，凑微分转化成关于 s i n x 的函数.sinxcosx sinx 1 1
 dx dsinx  dsin2 x
1sin4 x 1sin4 x 2 1sin4 x
1 1 1
  dsin2 x= arctansin2 x+C
2 1(sin2 x)2 2
（5）利用 t a n 2 x  1  s e c 2 x 将被积函数化简.
 t a n 4 x d x 









1
3
1
3
2 ( s e c
4 s e c
2 s e c
2 ( t a n
3 t a n
3 t a n
x
x d
x d
x
x
x

x
t



1 )

a n
1 )
t a
t a
2
2
d
n
n
d x 
 s e
x  2
t a n
x 
x 
 (
2 c x
t a n
x 
2 t a
x 
4 s e c
d x 
x 
2 t a n
n x 
C
x

x

1
x
x
d


2
x
s
x
C
e c 2 x  1 ) d x
（6）分子分母同时乘以 x 5 ，凑 d x 6 .

x ( x
d
6
x
 4 )




1
6
1
4
x

l
6
1
4
n
5 x d x
6 ( x 
1

6 x
| x | 
4 )

x
1
2 4

6
l
1
6
1

n (

4
x
6 x
d x
6 
(
6
4
d
x

)
x
6

6
 4
1
2 4
C
)
[ l n x 6  l n ( x 6  4 ) ]  C
2.【答案】（1） a a r c s in
x
a
 a 2  x 2  C ；（2） ln x 
1
2
 x ( x  1 )  C ；
1ex 1
（3）ln C
1ex 1
【解析】（1）分子分母同时乘以 ax ，然后三角函数换元

a
a


x
x
d x  
a
a


x
x

a
a


x
x
d x
(ax)2 ax xasinx aasint
 dx dx  acostdt
a2 x2 a2 x2 acostx
a(1sint)dt atacostC aarcsin  a2 x2 C
a
（2）配成完全平方，然后三角函数换元
dx 1 1
  dx dx
x(1x) 1 1 2
x2 x   1 1
x 
4 4  
 2 4
1 1
x   s e c t
2 2 
s e c
t
t
a
t
n
a
t
n t
d t   s e c t d t  l n s e c t  t a n t  C
ln (2x1)2 x2 x C 
1
ln x 
1
2
 x ( x  1 )  C
（3）
dx 1ex=t 1 2t 1  1 1 
   dt 2 dt   dt
 
1ex t t2 1 t2 1 t1 t1
 l n t  1  l n t  1  C  l n
1
1


e
e
x
x


1
1
 C  l n
1
1


e
e
x
x


1
1
 C
3.【答案】（1）
x 2
x
 1
 C ；（2）
3
1
a 4

a
3
2
x
 x 2

( a 2
x

3
x 2 ) 3

 C ；
（3） 
(1 
3 x
x
3
2 ) 3

1 
x
x 2
 C ；
（4） 
1
3
1  x 2 ( x 2  2 ) a r c c o s x 
1
9
x ( x 2  6 )  C
【解析】（1）
dx xsect secttant 1
  dt  dt
x2 x2 1 sec2ttant sect
x2 1
 costdt sintC  C
x（2）
dx xasint acost 1 1 1
  dt   dt  sec2tdtant
(a2 x2)5/2 a5cos5t a4 cos4t a4
1 1 tan3t 
 (tan2t1)dtant   tantC
a4 a4  3 
1  3x x3 
   C
3a4  a2 x2 (a2 x2)3 
（3）

x 4
d
1
x
 x 2
x  t a n t

t a
s
n
e
4
c
t
2
s
t
e c t
d t  
s e c
t a n
t
4 t
d t  
c
s
o
i
s
n
3
4
t
t
d t  
c
s
o
i
s
n
2
4
t
t
d s i n t
1sin2t u sint 1u2 1 1 1 1
 dsint  du  du du   C
sin4t u4 u4 u2 3u3 u
1 1 (1x2)3 1x2
  C   C
3sin3t sint 3x3 x
（4）
x3arccosx xcost cos3tt
 dx  (sint)dt cos3ttdt cos2ttdsint
1x2 sint
  ( s i n 2 t  1 )  t d s i n t   t s i n 2 t d s i n t   t d s i n t 
1
3
 t d s i n 3 t  t s i n t   s i n t d t
1 1 1 1
 tsin3t sin3tdttsintcost  tsin3t (1cos2t)dcosttsintcost
3 3 3 3

1
3
t s i n 3 t 
1
3
c o s t 
1
9
c o s 3 t  t s i n t  c o s t  C
 
1
3
1  x 2 ( x 2  2 ) a r c c o s x 
1
9
x ( x 2  6 )  C
4.【答案】（1）
e
x
x
e

x
1
 l n (1  e x )  C ；
（2）xln2(x 1x2)2 1x2 ln(x 1x2)2xC；
（3）(x1)arctan x  x C【解析】（1）

( e
x
x
e

x
1 ) 2
d x  
( e x
x
 1 ) 2
d e x    x d
e x
1
 1
 
e x
x
 1
 
e x
1
 1
d x  
e x
x
 1
 
1 
e
e
x
x


1
e x
d x
 
e x
x
 1
 x  
e
e
x
x
 1
d x  
e x
x
 1
 x  
e x
1
 1
d e x
 
e x
x
 1
 x  l n ( e x  1 )  C 
e
x
x
e

x
1
 l n ( e x  1 )  C
（2）
1
ln2(x 1x2)dx xln2(x 1x2)2xln(x 1x2) dx
1x2
 x l n 2 ( x  1  x 2 )  2  l n ( x  1  x 2 ) d 1  x 2
 xln2(x 1x2)2ln(x 1x2) 1x2 2 1x2dln(x 1x2)
 x ln 2 ( x  1  x 2 )  2 1  x 2 ln ( x  1  x 2 )  2 x  C
（3）
x 1
arctan xdx xarctan x   dx
1x 2 x
 x a r c t a n x  
x 
1
1


x
1

2
1
x
d x  x a r c t a n x  
2
1
x
d x  
1
1
 x

2
1
x
d x
1
 xarctan x  x  d x  xarctan x  x arctan x C
1x
 ( x  1 ) a r c t a n x  x  C
1 1 1 2x 1 x
5.【答案】（1）  C ；（2） ln  arctan C.
2(1x)2 1x 32 2x 16 2
x x11 1 1
【解析】（1） dx dx dx dx
(1x)3 (1x)3 (1x)2 (1x)31 1
  C
2(1x)2 1x
（2）
dx dx 1  1 1 
   



dx
16x4 (4x2)(4x2) 8 4x2 4x2 

1
8

1
4


2
1
 x

2
1
 x

d x 
1
8

4
1
 x 2
d x 
3
1
2
l n
2
2


x
x

1
1
6
a r c t a n
x
2
 C
6.【答案】（1）  l n c s c x  1  C ；（2） l n t a n x 
2 t a
1
n 2 x
 C ；
（3）
1
3
l n ( 2  c o s x ) 
1
2
l n (1  c o s x ) 
1
6
l n (1  c o s x )  C ；
【解析】（1）

1
c

o
s
t
i
x
n x
d x  
s i n x
c
(
o
1
s

x
s i n x )
d x  
s i n x ( 1
1
 s i n x )
d s i n x

u
l

n
s
s
i n
s
i n
i
x
n
x

x

u
1
( u

1

C
1

)
d

u
l

n

c s

c
1
u
x


u
1
1


1
C

d u  l n
u
u
 1
 C
（2）
1
dx cos4 x sec4 x tan2 x1
  dx dx dtanx
sin3 xcosx tan3 x tan3 x tan3 x
 
t a
1
n x
d t a n x  
t a
1
n 3 x
d t a n x  l n t a n x 
2 t a
1
n 2 x
 C
（3）
dx sinx 1
  dx dcosx
(2cosx)sinx (2cosx)sin2 x (2cosx)(1cos2 x)
1 cosxu 1
 dcosx  du
(2cosx)(cos2 x1) (2u)(u2 1)
1
3

2
1
 u
d u 
1
2

u
1
 1
d u 
1
6

u
1
 1
d u
1 1 1
 ln 2u  ln1u  ln1u C
3 2 6
1 1 1
 ln(2cosx) ln(1cosx) ln(1cosx)C
3 2 6
4-2 基础真题
1.【答案】当 a  0 ， b  0 时，

a 2 s i n 2 x
1
 b 2 c o s 2 x
d x 
1
a b
a r c t a n
 a
b
t a n x

 C ；
当 a  0 ， b  0 时，

a 2 s i n 2 x
1
 b 2 c o s 2 x
d x 
1
b 2
t a n x  C ；
当 a  0 ， b  0 时，
1 1
 dx cotxC.
a2sin2 xb2cos2 x a2
【解析】当 a  0 , b  0 时，

a 2 s i n 2 x
1
 b 2 c o s 2 x
d x  
a 2 t a n
1
2 x  b 2
d ( t a n x ) 
1
a b
a r c t a n
 a
b
t a n x

 C
当 a  0 , b  0
1 1 1 1
时， dx  dx tanxC
a2sin2 xb2cos2 x b2 cos2 x b2
1 1 1 1
当a 0,b0时， dx  dx cotxC
a2sin2 xb2cos2 x a2 sin2 x a2
其中C为任意常数.
2.【答案】( 2x11)e 2x1 C
【提示】遇到 axb ， 通常直接令t  axb 化简.
【解析】令 2x1t，有 e 2 x  1 d x   e tt d t  t e t   e td t  t e t  e t  C  ( 2 x  1  1 ) e 2 x  1  C ，
其中 C 为任意常数.
3.【答案】 
l
1
n x
 C
【提示】分母有一个单独的 x ，其余都是关于lnx的函数，可以直接将
1
x
凑微分
【解析】 
x
d
l n
x
2 x
= 
d 
l n
l n
2
x
x

= 
l
1
n x
 C ，其中，C为任意常数.
4.【答案】

1 
1
x

l n (1  x )  C
【提示】分子拆成两部分相加，当被积函数为两种不同的函数相乘时，可以使用分部积分
法.
【解析】原式  
1
x
d x   l n ( 1  x ) d
 1
x

1 1
ln x  ln(1x) dx
x x(1x)
1 1 1 
ln x  ln(1x)  dx
 
x  x 1x
1
ln x  ln(1x)ln x ln(1x)C
x
 1
 1 ln(1x)C
 
 x
其中 C 为任意常数.
5.【答案】 
1
8
x c s c 2
x
2

1
4
c o t
x
2
 C
x x
xcos4 xcos
1
2 2
【解析】原式 dx  dx
x x 8 x
8sin3 cos3 sin3
2 2 2 
1
8
 x d

s i n  2
x
2

 
1
8
x s i n  2
x
2

1
8

s i
d
n
x
2
x
2
1 x 1 x
 xcsc2  cot C
8 2 4 2
其中 C 为任意常数.
6.【答案】
x
4
2

1
4
x s i n 2 x 
1
8
c o s 2 x  C
【解析】原式   x
1  c o
2
s 2 x
d x   x
1  c o
2
s 2 x
d x 
1
2
 x d x 
1
4
 x d ( s i n 2 x )

x
4
2

1
4
x s i n 2 x 
1
4
 s i n 2 x d x 
x
4
2

1
4
x s i n 2 x 
1
8
c o s 2 x  C
其中 C 为任意常数.
7.【答案】 x a r c t a n x 
1
2
l n ( 1  x 2 ) 
1
2
( a r c t a n x ) 2  C
【解析】 I  

1 
1 
1
x 2

a r c t a n x d x   a r c t a n x d x   a r c t a n x d ( a r c t a n x )
 x a r c t a n x  
1 
x
x 2
d x 
1
2
a r c t a n 2 x  x a r c t a n x 
1
2
l n ( 1  x 2 ) 
1
2
a r c t a n 2 x  C
其中C为任意常数.
1 3 1
8.【答案】 (1x2)2 (1x2)2 C
3
【解析】方法一：原式
x2 1  1  1 3 1
 d(1x2)  1x2  d(1x2) (1x2)2 (1x2)2 C
2 1x2 2  1x2  3
其中 C 为任意常数.
方法二：x=tant tan3t tan3t
原式  dtant  sec2tdt tan3tsectdt
1tan2t sect
tan2tdsect (sec2t1)dsect
1
 sec3tsectC
3
回代
1 2 1
(1x2)3 (1x2)2 C
sect= 1x2 3
9.【答案】  e  x a r c c o t e x  x 
1
2
l n ( 1  e 2 x )  C
【解析】
I 








e
e
e
a



r
x
x
x
c
a
a
a
c
r
r
r
o
c
c
c
t
c
c
c
e
o
o
o
x
t
t
t
d
e
e
e
e
x
x
x




x 


x
1




1
e
1

1
2
 x a r c c o
d x
2 x e
2 x e
2 x 1  e
l n (1  e
t e

d x 
2 x )
x


C
 e  x
1 
e x
e 2 x
d x
其中 C 为任意常数.
10.【答案】 2 x e x  1  4 e x  1  4 a r c t a n e x  1  C
【解析】令 u  e x  1 ，则 x  l n ( 1  u 2 ) ， d x 
1
2

u
u 2
d u ，从而
xex (1u2)ln(1u2) 2u
 dx  du
ex 1 u 1u2
 2  l n (1  u 2 ) d u  2 u l n (1  u 2 )  
1
4

u 2
u 2
d u
 2 u l n ( 1  u 2 )  4 u  4 a r c t a n u  C
2x ex 14 ex 14arctan ex 1C
其中C为任意常数.11.【答案】
1
2
l n 2 x
【提示】两个定积分相加，可通过化简将积分上下限保持一致，被积函数直接相加.
1
t 
1 1 lnt y x ln y
【解析】 f   x dt  dy，于是
 x 1 1t 1 y(1 y)
f  x   f
 1
x

 
x
1
l
1
n

t
t
d t  
x
1 t (
l
1
n

t
t )
d t  
x
1
l n
t
t
d t 
1
2
l n 2 x .
12.【答案】（B）
【提示】已知的是 f ( x ) 的导函数，可以求出 f ( x ) ，再积分.
【解析】由题设可知 f ( x )  s i n x ，于是 f ( x )   f ( x ) d x   c o s x  C
1
.
从而 f ( x ) 的原函数
F(x) f(x)dx(cosxC )dxsinxC xC ，其中
1 1 2
C
1
, C
2
为任意常数.
令 C
1
 0 ， C
2
 1 ，即得 f ( x ) 的一个原函数为 1  s i n x .
13.【答案】 2 l n ( x  1 )  x  C
【解析】因为 f ( x 2  1 )  l n
(
(
x
x
2
2


1
1
)
)


1
1
，所以 f ( x )  l n
x
x


1
1
.
(x)1
又 f[(x)]ln lnx，从而
(x)1
(
(
x
x
)
)
1
1
x




 ， ( x )
x
x
1
1
 


. 于是
x1
(x)dx dx2ln(x1)xC，其中C为任意常数.
x1
14.【答案】 x  e x  C
【解析】在 f ( l n x )  1  x 中，令 l n x  t ，则 f(t)1et，从而
f ( t )   ( 1  e t ) d t  t  e t  C ，其中 C 为任意常数.4-3 拓展拔高
1.【答案】D
【解析】
 1
2
( e 2 x  e  2 x )


 e 2 x  e  2 x  e 2 x  e  2 x . 故应选（D）.
2.【答案】D
【提示】不定积分算出全体原函数，由给出来的 F (1 ) 
3
2
π 确定C .
【解析】由题意 F ( x )  
1
d

x
x 2
 a r c s i n x  C . 又 F (1 ) 
3
2
π
3
，则arcsin1C  π，所以
2
C  π . 故答案选（D）.
3.【答案】 x 
1
2
x 2
【提示】 f(x)dx F(x)C
【解析】因为 f ( c o s 2 x )  s i n 2 x  1  c o s 2 x ，用 t 换式中的 c o s 2 x . 则有 f ( t )  1  t 积分得
f ( t )  t 
2 t
2
 C ，即 f ( x )  x 
x
2
2
 C . 当x0时， f ( 0 )  0 代入上式得C 0.
故应选（D）.
4.【答案】 a r c s i n x  ln ( x  1  x 2 )  C
【提示】分母根号里是平方差公式，对平方差公式进行因式分解
【解析】 
1  x 2
1

 x
1
4
 x 2
d x  

1
1
 x 2

1
1
 x 2

d x  a r c s i n x  ln ( x  1  x 2 )  C .
5.【答案】 
1
2
c o t x 
1
2
x  C
【提示】 c o s 2 x  1  2 s i n 2 x
1sin2x 1sin2x 1 1 1
【解析】 dx dx (csc2x1)dx cotx xC
1cos2x 1(12sin2x) 2 2 2
6.【答案】Bf(lnx) 1
【解析】 dx f(lnx)d(lnx)df(lnx) f(lnx)Celnx C C，
x x
故应选（B）
7. 【答案】（1）
1
4
[ f ( x 2 ) ] 2  C ；（2） a r c s i n ( ln x )  C
【解析】（1）设 u  x 2 ，则 x f  ( x 2 ) d x 
1
2
f ( x 2 ) d x 2 
1
2
f ( u ) d u 
1
2
d f ( u ) .
综上，有  x f ( x 2 ) f ( x 2 ) d x 
1
2
 f ( u ) d f ( u ) 
1
4
[ f ( u ) ] 2  C 
1
4
[ f ( x 2 ) ] 2  C .
（2） 
x 1
d

x
ln 2 x
 
d
1
(

ln x
ln
)
2 x
 a r c s i n ( ln x )  C .
8.【答案】 s i n x 
2
3
s i n 3 x 
1
5
s i n 5 x  C
【解析】
 c o s 5 x d x 



( c
(1
o

s 2
2
x
s
2 )
i n
c
2
o
x
s

x d
s i
x
n

4 x
 (1
)d (

s i
s
n
i n
x
2
)
x

)
s
2
i
d
n
( s
x
i n

x
2
3
)
s i n 3 x 
1
5
s i n 5 x  C
9.【答案】
1
2
t a n 2 x  ln | c o s x |  C
【解析】
tan3xdxtan2xtanxdx(sec2x1)tanxdxsec2xtanxdxtanxdx
sinx 1
tanxd(tanx) dx tan2xln|cosx|C
cosx 2
10.【答案】
1
5
a r c t a n
t a n
5
x
 C
【解析】
dx dx sec2xdx d(tanx)
   
sin2x5cos2x cos2x(5tan2x) 5tan2x ( 5)2 tan2x
1 tanx
 arctan C
5 5
11.【答案】6(6 xarctan6 x)C【解析】设 x  t 6 ( t  0 ) ，则 t  6 x ，有
dx dt6 6t5dt t2 t2 11
   6 dt6 dt
x(1 3 x) t3(1t2) t3(1t2) 1t2 1t2
 1 
6 1 dt6(tarctant)C6(6 xarctan6 x)C
 
 1t2 
12.【答案】
1
5
( 4  x 2 )
52

4
3
( 4  x 2 )
32
 C
【解析】令 x  2 s i n u ，dx2cosudu，则
 x 3 4  x 2 d x 


 8
3 2
3 2
5
3 s i n u 
2  c o s u
5 c o s u
2
( c

c o
o s
3 2
3
s u
2 u
c o
 2 c o s
 1 ) d (
3 s u 
u
c
C
d
o
u
s

u

)
1
5
3

(
2
3
4

2

c o

x
2 s u
( c o
5
2 ) 2
s i n
4 s u
4

3
3

(
u
4
d u
c o

2 s u
2 x )
)d
32
(

c o
C
s u )
13.【答案】 a r c t a n

1
x
 x 2

 C
【解析】设xtanu，则 d x  s e c 2 u d u ，
d x
 
2 2 ( 2 x  1 ) x  1


a
c
r
o
c
s
t a
u
n
d
 ( 2
( s i n
u
t a
u
n
)
2

u
C
 1

)
a

r c

t a
2
n
s

i n
c o
2
1
s
u
x

u

x
d u
c o

2 
2 s

u
C
 
1
d

s
s
i n
i n
u
2 u
14.【答案】 x ln ( x  x 2  1 )  x 2  1  C
【解析】
1  x 
ln(x x2 1)dx xln(x x2 1)x 1 dx
x x2 1 x2 1
x
xln(x x2 1) dx
x2 1
xln(x x2 1) x2 1C
1 1 1
15.【答案】  lnx C
lnx x x
【解析】
x
(

x
ln
ln x
3
)
x
2
d x 



1
x ln
1
ln x
2 x

d
1
x
x 
ln

x
ln
x

x
2

d
1
x
x
2
d

x


ln

1
2 x
1
ln
d
x
ln

x
1
x

ln

x
ln

x d
1
x



C
1
x

16.【答案】 
1
2
( e  2 x a r c t a n e x  e  x  a r c t a n e x )  C
【解析】

a r c t
e
a
2
n
x
e x
d x 



1
2
1
2

(
a r c
 2 x e
t a
a
n
r c
e
t
x d
a n
(
e
 e
x
2

x )
e

 x


1
2
a

e 
r c t

a
2 x
n
a
e
r
x
c
)
t a

n
C
e x  
e 2 x
d
(1
e

x
e 2 x )

17.【答案】 
1
4
ln ( x 2  1 ) 
2 ( x
1
 1 )

1
2
ln | x  1 |  C
【提示】
( x  a ) 2 ( x
1
2  b x  c ) 2

x
A
 a

( x
B
 a ) 2

x
C
2
x


b x
D
 c

( x 2
E

x
b

x
F
 c ) 2
【解析】设
( x 2  1
1
) ( x  1 ) 2

A
x
x
2


B
1

( x
C
 1 ) 2

x
D
 1
，通分得
1  ( A x  B ) ( x  1 ) 2  C ( x 2  1 )  D ( x  1 ) ( x 2  1 )
比较 x 的各次幂的系数得
 A
2
A
B

A


D

2
C
B
B




0
D
C
D



1
D
0
 0


A
B
C
D





0
1
21
2
1
2
故

( x 2  1
1
) ( x  1 ) 2
d x 



1
2
1
4

ln
x
(
2
x
x

2
1

d
1
x
)


1
2
2 (

x
1
(

x
1
1

)
1

) 2
1
2
d x
ln

|
1
2
x 

1
x
|
1


1
C
d x
4 11 1
18.【答案】  C
x2 2 (x2)21 A B C
【提示】   
(xa)3 xa (xa)2 (xa)3
【解析】设
(
4
x
x


2
3
) 3

x
A

1
2

( x
A

22
) 2

( x
A

3
2 ) 3
A 0
1 
，通分比较系数得4A  A 4
1 2

4A 2A  A 3
1 2 3
解得 A
1
 0 ， A
2
 4 ， A
3
 1 1 . 故
(
4
x
x


2
3
) 3

( x
4
 2 ) 2

( x
1

1
2 ) 3
.
4x3 dx dx 4 11 1
 dx4 11   C.
(x2)3 (x2)2 (x2)3 x2 2 (x2)2
19.【答案】
1
2
[ x  ln | s i n x  c o s x |]  C
【提示】设 s i n x  a ( s i n x  c o s x )  b ( c o s x  s i n x )
【解析】设 s i n x  a ( s i n x  c o s x )  b ( c o s x  s i n x )  ( a  b ) s i n x  ( a  b ) c o s x
比较系数，得
 a
a


b
b


1
0


a
b


1
2

2
1
，故

s i n
s
x
i n

x
c o s x
d x 

1
2
1
2

[ x
( s

i n
ln
x
|

s i
c
n
o s x )
s i n x
x  c


o
(
c
s
c
o
x
o s x
s x
|] 

C
s i n x )
d x 
1
2

 d x  
c
s
o
i n
s x
x


s
c
i
o
n
s
x
x
d x

20.【答案】
2
5
ln 2 t a n x  1 
1
5
ln 1  t a n 2 x 
1
5
x  C
【提示】令tanxt，化为有理式的积分
cosx 1
【解析】 dx dx，令tanxt，xarctant ，
2sinxcosx 2tanx1
d x 
1
d

t
t 2
，则
2 s i n
c o
x
s

x
c o s x
d x 




4
5
2
5
2
5
2 t

ln
ln
1 1

 1 1  t
d t 1

2 t  1 5
2 t  1 
2 t a n x 
2

1
5
1
d t
2
1
ln

1

5
t d t
2  t
1 
1
ln
5


2 t
1

2 
1
5


4
t  1
1

1 
1
a r
5
2 t a n
2 t  1

2 1  t
d t
2 t
c t a n t 
1
x  x
5

C

d t
C
21.【答案】 ln
1
1


x
x


1
1


x
x
 2 a r c t a n
1
1


x
x
 C
【提示】通过变量代换去掉根式，化为有理函数的积分
【解析】令
1
1


x
x
 t ，则

1
1


x
x

d x
x




2
ln
t



2 t
1 
2 t
1
1

t
1



1
2
1
x
x

(



 4
2 t 
1
2 t 
1 
1 
t
1 )
1
x
x
2

d t
d t



2
4
ln
a r

( t
t 
t 
c t a n
2
1
1
 1

1
1
2 t
) (
2


2 t
a r
x
x

c

t
1
a
C
)
n
d t
t  C
22.【答案】 2 1  x  3 3 1  x  6 6 1  x  6 ln 6 1  x  1  C
【提示】被积函数中出现两个根号 a f ( x ) 与 b f ( x ) ，一般设 t  c f ( x ) ，其中 c 为 a ，
b 的最小公倍数
【解析】令61x t，xt6 1，dx6t5dt，则
1 1 t3 t311
 dx 6t5dt 6 dt 6 dt
1x  31x t3 t2 t1 t1
 1 
6

t2 t1

dt 2t33t2 6t6ln t1C
 t1
2 1x 331x 661x 6ln 61x 1C