241108_142618-6.基础习题册高数第六章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_03.基础定制_01.高数_讲义

第六章 定积分的应用
6-1 基础过关
1.【答案】（1）
1
6
；（2） 1 ；（3）
3 2
3
；（4）
3 2
3
【解析】
（1） S  
1
0
( x  x ) d x 
 2
3
x
32

1
2
x 2

1
0

1
6
；
（2） S  
1
0
( e  e x ) d x  ( e x  e x )
1
0
 1 ；
1
1  1  32
（3）S  (3x2 2x)dx  3x x3x2   ；
3  3  3
3
3
3  1  32
（4）S  (2x3x2)dx  x2 3x x3   .
1  3  3
1
2.【答案】
9
4
【解析】y2x4所以 y ( 0 )  4 ， y ( 3 )   2 ，所以x0， x  3 处的切线方程分
别为 y  4 x  3 ，y 2x6交点为
 3
2
, 3

，所以
3
3
S 2[4x3(x2 4x3)]dx [2x6(x2 4x3)]dx
3
0
2
3
3

1
x3
2

1
x33x2 9x


9
 
3 3 3 4
0
2
16
3.【答案】
p2
3
p  p
【解析】y2 2px对x求导得2yy2p，所以y ，所以y
 
1，所以
y  2 
p  p 3
x  处的法线方程为：y p  x 即y x p，抛物线y2 2px交点
2  2  2 p 
 , p，
 2 
 9
2
p
,  3 p

，所以
p
p 3  y2  3 1 y3  16
S   p y    dy  py y2    p2.
3p2  2p 2 2 6p 3
3p
4.【答案】 3 π a 2
【解析】
xa(tsint)
2πa 2π
S   ydx  a2(1cost)2dt
0 0
t
2π t u π
  4a2sin4 dt 2  8a2sin4udu
0 2 0
π 3 1 π
16a22sin4udu 16a2   3πa2.
0 4 2 2
5.【答案】
a
4
2
( e 2 π  e  2 π )
【解析】 S
π
π
1
2
r 2 d
π
π
1
2
a 2 e 2 d
a
4
2
e 2
π
π
a
4
2
( e 2 π e 2 π )      

 



   .
6.【答案】
e
2
【解析】设切点为 x  x
0
，则切线方程为 y  e x0  e x0 ( x  x
0
) ，过 ( 0 , 0 ) ，所以
x 1，所以
0
S  
1
 
e x d x 
1
2
 1  e  e x
1
 

e
2

e
2
.
7.【答案】 2 π a x 20
【解析】 V
x
 
x0
0
π y 2 d x  
x0
0
π 4 a x d x  2 π a x 2
x0
0
 2 π a x 20 .
128 64
8.【答案】V  π，V  π
x 7 y 5
2
2 πx7 128π
【解析】方法一：V  πx6dx  .
x 0 7 7
0V
y
 
2
0
2 π x  f ( x ) d x  
2
0
2 π x  x 3 d x  2 π 
2
0
x 4 d x  2 π 
x
5
5
2
0

6 4
5
π
.
方法二： V
x
 
2
0
π x 6 d x 
π x
7
7
2
0

1 2 8
7
π
，
8
8 2 3 5 64π
V 2π28π y3dy 32π πy3  .
y 0 5 5
0
9.【答案】 V 
1
3
0
2
5
π a 3
【解析】
V
x


2
6

π
a
0
a
π
3
2 y
π
 2
0
d
s
x
i n
x
7 t

( 1
a

c o
s i n
3 s
2
t
t )
2
d

t
0
π2

π a
6
2
π
s
a
i n

3 
6 
6
7
3 a
4

5
c o

s
2
3
2

t 
8
9
( 

6
7
s i

n
4
5
t )

d
2
3
t


1
3
0
2
5
π a 3
.
10.【答案】（1）
1
3
0
π ；（2）
1
4
π 3  2 π ；（3） 1 6 0 π 2 ；（4） 7 π 2 a 3
【解析】（1） V
y
 
1
0
2 π x ( x  x 2 ) d x  2 π
 2
5
x
52

1
4
x 4

1
0
 2 π
 2
5

1
4


3
1
π
0
.
（2）
1 1 12xarcsinx
V  π(arcsinx)2dxπ[x(arcsinx)2  dx
x
0 0 0 1x2
π2 1  π2 1 1 
π

2 arcsinxd 1x2

 π

2 1x2 arcsinx 2 dx

 4 0   4 0 0 
π2  π3
π 2  2π
 
 4  4
（3）
4 4
V  π(5 16x2)2dx π(5 16x2)2dx
x
4 4
4 1
π 20 16x2dx20π π42 160π2
4 2 .（4）
V  2
x
 8
 8
t
2
 8
 8
 7
 π

 a
2 π a
2 π a

2 π a
2 π a
2 π a
( 2 a
( t 
3 
3 
u
3 
3 
3
π a 2  )  π a  π (
0
s i n t )
2 3 8 π a 
π
3  2 π a (1  c o
0
π
3 4  2 π a 4 c o s
0
2 3 3 8 π a  3 2 π a
3 1 
3 3 2 π a  

4 2 
2 3 π a
 2 2 a  y ) d x

π   2 π 2 a  a (1 
0
2 s t ) (1  c o s t ) d t
t t
2  2 s i n d t
2 2
π
4  c o s u  (1  c o 2
0
π 5 3 1 π 
   

2 6 4 2 2 
c
s
o
2
s
u
t
)
)
d
2 
u
a (1  c o s t ) d t
11.【答案】 2 π 2 a 2 b
【解析】
V 

a

 a
4 π
2

π
0
( x


b
2
b
π
)
a

2
2


a 2
2

π 2
x
a
2
2
d
b
x  4 π


a
 a
x a 2  x 2 d x  b 
a
 a
a 2  x 2 d x

12.【答案】
4
3
3
R 3
【解析】
R 1 R
V  2 R2 x2  3 R2 x2dx 3 (R2 x2)dx
R2 R
R
1 4 3
2 3(R2x x3)  R3
3 3
0
13.【答案】2π2
π π π π
【解析】方法一：V  2πxsinxdx2π xsinxdx2π  sinxdx2π2
y 0 0 2 0方法二： V
y
  π
0
2 π x s i n x d x  2 π [  x c o s x π
0
  π
0
c o s x d x ]  2 π 2 .
14.【答案】 1 
1
2
ln
3
2
【解析】
s 


3

2
8
3
u 2
u
1

2

1

(

1
y
1
)
d
2 d
u
x




3
2

8
3
1 
1
u

2
1


1
x
1


2
d
d
u
x




u
8
3

1
2
1
l

x
n
x
u
u
2


d
1
1
x
3

2

x
1
2


1
2
1
l

n
u
3
2

3
2 u
u
2
2
 1
d u
15.【答案】 2 3 
4
3
【解析】
s 



1
2
1
2
3
1


3
1
2
1
x

x
12
(


y
1
)

2
3
2
x
x
d x

32 

2 d
3
1

x

3
1

2
1
1
2

3
1
4
3

1


4
3
x


x
12


12

x 12
x

12
2

d
2
x
d x


 3
1
1
2

1
3
1


x
1
4


12
x

 1
x

12
x

d

x
2  d x
16.【答案】 6 a
【解析】
s 


4
4
1
π
 2
0
π
 2
0
2 a
s
[ x
9
i n
2
( t
2 a
2 t
2 ) ]
c o s
π2

0

2
[
t
6
y
s
a
(
i n
t )
2
]
t
2
d
d
t
t


4
4

π
 2
0
π
3 2
0
a
(
s

i
3
n
a
t
c o
c o
s
s
2
t d
t
t
s i

n
1
t )
2
2
a


( 3
π
s 2
0
a
i n
s
t
i
d
n 2
s i
t
n
c
t
o s t ) 2 d t
1a2
17.【答案】
(ea1)
a
【解析】s
0
2 ( ) 2 d
0
e 2 a a 2 e 2 a d 1 a 2
0
e a d 1 a 2
e a
a
1    
                   

18.【答案】 2  1 c m
【解析】 W
1
 
1
0
k x d x 
k
2
， W
2
 
1
1
 h
k x d x 
k
2
( h 2  2 h ) ，
k k
W W   (h2 2h) h 1 2（舍），h 1 2 .
1 2 2 2 1 2
所以问锤击第二次时，铁钉又击入木板 2  1 c m .
19.【答案】 5 7 6 9 7 .5 k J
【解析】取过圆锥底面圆的直径和圆锥顶点的截面，建立如图所示坐标系
W
1 5
0
g π
g
4
9
π
5
2
3
x 3
x
2
(1
4 x
4
5
1 5
0
x ) d
1
x
8 7 5
g
g
π
π
4
9
1
0
5
x 2 (1 5 x ) d x  
 










  
其中103kg/m3， π  3 . 1 4 , g  9 . 8 N / k g ，所以 W  5 7 6 9 7 .5 k J .
20.【答案】 2 0 5 . 8 k N
【解析】垂直于水平面建立如图所示坐标系，坐标原点O在水平面， x轴正半轴垂
直水平面向下5 5 F  gx2dxgx2 21g，其中
2 2
1 0 3 k g / m 3   ， g  9 . 8 N / k g
所以 F  2 0 5 .8 k N .
21.【答案】 1 7 .3 k N
【解析】建立如图所示坐标系，坐标原点 O 在椭圆的中心
y2
椭圆方程为 x2  1
2
3
 
4
3 3  y2 3 3 y2 3 y2
F  4 g  y 2 1 dy 24 g 1 dy24 gy 1 dy
 
 3 4  3 2  3 4 3 2  3 3 2
4 4 4
     
4 4 4
3 3 2 9
24 g  y2dy  πg
 
 3 4 16
4
其中103kg/m3，π3.14，g 9.8N /kg. 所以F 17.3kN .22.【答案】 1 4 3 7 3 k N
【解析】建立如图所示坐标系，其中原点 O 在底边为 1 0 m 的边的中点， x 轴正半轴
垂直长底边向下
20
20  x  x3  4400
F  gx

10

dxg

5x2 

 g
0  5  15 3
0
其中 1 0 3 k g / m 3   ，g 9.8N /kg， F  1 4 3 7 3 k N .
23.【答案】 1 .6 5 N
【解析】建立如图所示坐标系，坐标原点 O 距水平面0.03m在三角形的顶点， x轴
垂直于水平面向下0.06
0.06 4 4 0.03x2 x3 
F  g(0.03x) xdx g



0.000168g
0 3 3  2 3 
0
其中 1 0 3 k g / m 3   ， g  9 . 8 N / k g ，所以 F  1 . 6 5 N .
6-2 基础真题
1.【答案】（1）当 t 
1
2
时， S  S
1
 S
2
最小；（2）当 t  1 时， S  S
1
 S
2
最大
t 2
【解析】（1）S t3 x2dx t3，
1 0 3
S
2
 
1
t
x 2 d x  ( 1  t ) t 2 
2
3
t 3  t 2 
1
3
4 1
S S(t)S S  t3t2  ，
1 2 3 3
0  t  1 ，令 S   4 t 2  2 t  2 t ( 2 t  1 )  0 ，在 ( 0 , 1 )
内得 t 
1
2
，有 S
 1
2


1
4
. 又 S 在 [ 0 , 1 ] 两端点处的值为 S ( 0 ) 
1
3
2
，S(1) .
3
由此可见，（1）当 t 
1
2
时，S S S 最小；
1 2
（2）当t 1时， S  S
1
 S
2
最大.
 a b 
2.【答案】P

,

 2 2
xx yy
【解析】设所求点为P(x ,y )，则该点处的切线方程为 0  0 1，切线在
0 0 a2 b2
y 轴上的
b2 a2 a2b2 1
截距为 ，在x轴上的截距为 . 图形面积为S   πab,x (0,a).（椭圆面
y x 2x y 4 0
0 0 0 0
积为 π a b
1
，第一象限椭圆的面积是整个的 ）.
4
bx
设A x y  0 a2 x2 ，则
0 0 a 0
A  
b
a
a 2
a

2
2

x
x
20
20
，令 A   0
a
，可得x  . 当
0 2
a a a
x  时，A0；x  时，A0，则x  为A的极大值点，即S的极小
0 0 0
2 2 2
b  a b 
值点，此时，y  ，即所求点为P  , .
0
2  2 23.【答案】1
【解析】 S  

0

x e  x d x   x e  x

0

 

0

e  x d x   e  x

0

 1 .
1
4.【答案】 (e4πa 1)
4a
【解析】 S
1
2
2
0
( e a ) 2 d
1
2
2
0
e 2 a d
4
1
a
e 2 a
2
0
4
1
a
( e 4 a 1 )       

 



   .
5.【答案】 x  l n y 
2
1
y

1
2
【解析】由题设 S
1
( x )  S
2
( y ) ，知
x
0
e t
1
2
(1 e t ) d t
1
y
[ l n t ( t ) ]d t  

 

   ，
即
x
0
1
2
e t
1
2
d t
1
y
[ l n t ( t ) ]d t  



   ，两边对x求导，得
1
2
e x
1
2
[ l n y ( y ) ]
d
d
y
x
   
由 y  e x 得
1
2
e x
1
2
[ x ( e x ) ] e x     ，于是 ( e x ) x
2
1
e x
1
2
    ，从而
( y ) l n y
2
1
y
1
2
   
故曲线 C
3
1 1
的方程为xln y  .
2y 2
6.【答案】
π
2
( 8  3 π )
π π1cos2x  π
【解析】V π (sint1)2dxπ

2sinx1

dx (83π).
0 0  2  2
7.【答案】B
【解析】 V
x
 π 
π
0

s i n
32
x

2
d x  π 
π
0
s i n 3 x d x  2 π 
π2
0
s i n 3 x d x  2 π 
2
3

4 π
3
.
π
8.【答案】（1）(1,1)；（2）y 2x1；（3）V 
30
【解析】设切点A的坐标为(a,a2)，则过点A的切线的斜率为y 2a，切线方程为
xay  a 2  2 a ( x  a ) ，即 y  2 a x  a 2 .
a 
切线与x轴的交点为 ,0 ，曲线、x轴及切线所围图形面积为
2 
S  
a
0
x 2 d x 
a
4
3

a
3
3

a
4
3

a
1
3
2
由题设 S 
1
1
2
，因此 a  1 . 于是：
（1）切点 A 的坐标为(1,1)；
（2）过切点(1,1)的切线方程为y 2x1；
（3）旋转体的体积为 V  
1
0
π ( x 2 ) 2 d x  
1
12
π ( 2 x  1 ) 2 d x 
3
π
0
.
9.【答案】C
π π 1 π π2
【解析】V π2 cos2 xdx2π2cos2 xdx2π  = .
x  π 0 2 2 2
2
10.【答案】 a  
5
4
； b 
3
2
； c  0
【解析】因为曲线过原点，所以 c  0 . 由题设有 
1
0
( a x 2  b x ) d x 
a
3

b
2

1
3
，即
b 
2
3
( 1  a ) ，则
V  π 
1
0
( a x 2  b x ) 2 d x  π
 a
5
2

1
2
a b 
b
3
2 
 π
 a
5
2

1
3
a (1  a ) 
2
4
7
(1  a ) 2

.
令 V a  π
 2
5
a 
1
3

2
3
a 
8
2 7
(1  a )

 0 ，得 a  
5
4
，代入 b
3
的表达式得b  .
2
又因 V


a 

5
4


1
4
3 5
π  0
5
及实际情况，知当a   ，
4
b 
3
2
，c0时，体积 V 最小.
π
11.【答案】
6【解析】设所作切线与抛物线相切于点 ( x
0
, x
0
 2 ) ，因为 y 
x  x0

2 x
1
0
 2
，
1
故此切线方程为y x 2  (xx )，又因该切线过点P(1,0)，所以
0 0
2 x 2
0
 x
0
 2 
2 x
1
0
 2
(1  x
0
) ，即 x
0
 3 ，从而，切线方程为 y 
1
2
( x  1 ) .
因此，所求旋转体的体积 V = π 
3
1
1
4
( x  1 ) 2 d x  π 
3
2
( x  2 ) d x 
π
6
.
12.【答案】
1
2
π
【解析】在 [ 1 , 2 ] 上取积分元，体积微元 d V  2 π x y d x .
2 2 1
旋转体的体积V  2πx y dx2π x(x1)(x2)dx π.
1 1 2
13.【答案】 l n 3 
1
2
【解析】
S 

1
 2
0
[ l n ( 1
1


x
y
)
2 

d
l
x
n (

1 

12
0
x )
1


x

]
1
120



2 x
x
l n
2
3
 2

d x
1
2
 
12
0
1
1


x
x
2
2
d x  
12
0

1
1
 x

1
1
 x
 1

d x
14.【答案】 8
dx dy
【解析】 sint， 1cost. 为
dt dt
d s  s i n 2 t  ( 1  c o s t ) 2 d t  2 ( 1  c o s t ) d t  2 s i n
t
2
d t
所以 S  
2
0
π
2 s i n
t
2
d t  8 .
15.【答案】8a
【解析】r()asin，ds r2 r2 d a  1 c o s  2  s i n  2 d 2 a c o s
2
d

         ，
π
π  
由对称性得L2 2acos d8asin 8a.
0 2 2
0
16.【答案】
π
6
(1 1 5  1 )
【解析】切点的横坐标为 x
0
，则切点 ( x
0
, x
0
 1 ) ，曲线 y  x  1 在此点的切线斜率
为
2
1
x
0
 1
1
，于是切线方程为y x 1 (xx )，
0 0
2 x 1
0
又因它经过原点，以点 ( 0 , 0 ) 代入，得
 2  x
0
 1    x
0
，
1
解得x 2，于是切线方程为y1 (x2)，即
0 2
y 
1
2
x ，切点为 ( 2 , 1 ) .
由曲线段y  x1(1 x2)绕 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为
S
1
 
2
1
2  y 1  y  2 d x   
2
1
4 x  3 d x 

6

5 5  1

x
.
1
由直线段y  x(0 x2)绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为
2
2 1 5
S  2 x dx 5
2 0 2 2

因此，所求旋转体的表面积为S S S  (11 51).
1 2 617.【答案】（1）2；（2）1
【解析】（1）
t
S  2y 1 y2dx
0
2
tex ex  e2x 2e2x tex ex 
2   1 dx2   dx
0 2  4 0 2 
2
tex ex 
V(t)π   dx，所以
0 2 
S
V
(
(
t
t
)
)
 2 .
（2） F ( t )  π y 2
x  t
 π
 e t 
2
e  t 
2
l i
t
m

S
F
(
(
t
t
)
)
 l i
t
m

2 π
t

0
π


e
e
x
t

2

2
e
e


x
t
2
2

d x
 l i
t
m

2
 e
2
t


2
e
e
t 
2
 t 
e

 t
t e
2


2
e  t 
 l i
t
m

e
e
t
t


e
e


t
t
 1 .
8.【答案】 9 1 5 0 0 J
【解析】 从井口作为原点，向下作 轴. 将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功
W  W
1
 W
2
 W
3
其中 W
1
是克服抓斗自重所作的功， W
2
是克服缆绳重力所作的功； W
3
为提出污泥所作的
功. 由题意知 W
1
 4 0 0  3 0  1 2 0 0 0 ( J ) ，将抓斗由 x 处提升到 x  d x 处，克服缆绳重力
30
所作的功为dW 50(30x)dx，从而W  50(30x)dx22500J
2 2
0
在时间间隔[t,tdt]内提升污泥需作功为 d W
3
 3 ( 2 0 0 0  2 0 t ) d t
x
30
将污泥从井底提升至井口共需时间 10(s)，所以
3
10
W  3(200020t)dt 57000(J)
3
0
因此，共需作功W 12000225005700091500(J).19.【答案】（1） 1  r  r 2 a
a
；（2）
1r
【解析】（1）设第 n 次击打后，桩被打进地下 x
n
，第 n 次击打时，气锤所做的功为
n
( n 1 , 2 , )   . 由题可知，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为
k x
x k x k k
，所以   1kxdx x2,x a；   2kxdx  x2  x2；
1 0 2 1 1 2 x 2 2 2 1
1
x k k
   3kxdx  x2  x2；所以
3 x 2 3 2 2
2
1 2 3
k
2
x 23       . 又
3
r
2
r 2
1
     ，从而
k
2
x 23 ( 1 r r 2 )
1
( 1 r r 2 )
k
2
a 2        .
于是 x
3
 1  r  r 2 a ( m ) .
（2）由归纳可得 x
n
 1  r   r n  1 a 
1
1


r
r
n
a ( m )
a
，limx  m （因为
n n 1r
0r 1，因此limrn 0）.
n
20.【答案】2m.
【解析】建立如图所示的坐标系，
则闸门下部边缘抛物线的方程为 y  x 2 (  1  x  1 ) . 由侧压力公式知，闸门矩形部分所承
h1
h1  y2
受的水压力为P   2g(h1 y)dy 2g

(h1)y

gh2
1 1  2 
1
其中为水的密度，g为重力加速度. 同理，闸门下部承受的水压力为P
2
1
0
2 g ( h 1 y ) y d y 2 g
2
3
( h 1 ) y
32 2
5
y
52
1
0
4 g
1
3
h
1
2
5
       

 





.
按题意
P
P
1
2

5
4
，因而有
4 g
g
1
3
h
h
2
1
2
5
5
4





 ，即 3 h 2  5 h  2  0 ，解之得
1
h2,h （舍去）. 因此闸门矩形部分的高应为
3
2 米.
21.【答案】A
【解析】 d F
( a
k m
x ) 2
d x



，则 F
0
l ( a
k m
x ) 2
d x

 
 
.
6-3 拓展拔高
1.【答案】 2  1
【解析】设 s i n x  k ， y  s i n x ( 0  x 
π
2
)，由题意知，两个函数图形的交点是唯一
的，则 S
1
 
x
0
( k  s i n t ) d t  k x  c o s x  1 ， S
2
2
x
( s i n t k ) d t c o s x k x
1
2
k

       .
将 k  s i n x 代入上两式，得 S
1
 x s i n x  c o s x  1 ， S
2
 c o s x  x s i n x 
1
2
π s i n x ，
 π 
故S S S (2xsinxcosx)  1 sinx ，
1 2  2 
0  x 
π
2
，
π
则SS S 2xcosx cosx0，得唯一驻点
1 2 2
x 
π
4
. 又
π π π π
S(0)1，S
 
 21，S
 
 1. 所以S 的最小值为S
 
 21.
4 2 2 4
16
2.【答案】y  x2
9
1
【解析】由题知，C:yx2，C : y  x2，令C :x f(y)，P点坐标为(x,y)，则
1 2 2
x 1  1 y 2 3 y


t2  t2

dt  x3 ，S  [ u  f(u)]du  y2  f(u)du，
0  2  6 B 0 3 01 2 3 y
所以 x3  y2  f(u)du，因为点
6 3 0
P 在曲线 C 上，所以有
y 2 3 1 1 x2 1
 f(u)du  y2  x3  x3，即 f(u)du  x3，两边对
0 3 6 2 0 2
x 求导，得
3
2x f(x2) x2，即
2
f ( x 2 ) 
3
4
x . 从而，曲线C 的方程为
2
x  f ( y ) 
3
4
y ，
即 y 
1 6
9
x 2 .
3.【答案】 a  
9
6
【解析】设曲线 y  a  x  x 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为，(   )，由条件得
0
( a x x 3 ) d x ( a x x 3 ) d x
 

        ，
移项得
0
( a
( 4
x
a
x
2
3 ) d x
3 )
( a
0
x x 3 ) d x
0
( a x x 3 ) d x 0
  

  


 
 
 

      
因为 0   ，所以 4 a 2 3 0      . 又因为 ( , 0 )  为曲线 y  a  x  x 3 与 x 轴的交点，
所以有 a 3 0      ，从而有 3 a a 3 a 2 7 a 3 0 a
9
6
          .
4.【答案】
3 π
8
a 2
【解析】
由对称性，得面积A 

4
1

2
a
y
0
π
 2
0
d
a
x
2 (

s i

n
4
4

t
0
π2

a
s
s i
i n
n
6
4
t
t 
) d
3
t
a

c o
3
s
π
8
2
a
t
2
d t  1 2 
π2
0
a 2 s i n 4 t  c o s 2 t d t
5.【答案】
3
2
π 2  4 π
【解析】
V 

π
 π
0

π

(
3
2
s i
x
n

x
2

c
1
o
)
s
2 d
x
x


1
4
π
s
π

0
i n

2
1
x

∣
2
π0
s

i n
3
2
x
π

2
1


4
c
π
o
2
s 2 x 
d x
或使用二重积分方法计算，有
V
x
2 π
D
y d 2 π
π
0
d x
sin
0
x 1
y d y π
π
0
( s i n x 1 ) 2 d x
3
2
π 2 4 π       

    
6.【答案】（1） π 2
 π
2
 1

 π
 π
4
2
 2


π
4
3
 π 2  2 π ；（2） 2 π 2
【解析】
（1）任取[y,ydy][0,1]，则微元d V
1


π
 π
2
 2
 π
 π
2
 x
 2 
d y   π 2 a r c s i n y  π ( a r c s i n y ) 2  d y
则
V
1




π
π
1
d
0
2
2
V
(

1
y
π
2
a

r

c
π
s
1
1
2 
0
i n y



a
π
r c


s i n
1
2 π
4
y


d
y
2
y
2


1
)
0

 π

π
4
1
0
π
3
( a
[ y

r c s i n
( a r c
2 π 
y
s i n
2 π
) 2 d
y
y
2 )  2 1  y 2 a r c s i n y  2 y ]
1
0
（2）任取 [ x , x  d x ]  [ 0 , π ] 则微元 d V
2
 2 π x  s i n x d x ，故 V
2
 
π
0
2 π x s i n x d x  2 π 2 .
7.【答案】 5 π 2 a 3
【解析】
由已知体积公式，得 V  
2
0
π a
π y 2 ( x ) d x ，令 x  a ( t  s i n t ) ，x[0,2πa]， t  [ 0 , 2 π ] ，
则
V 





1
3
2
0
2
0
6
2
π a
2 π y ( x ) d
π
3 π a ( 1  c
π
3  π a s i n
0
5  3 
3 π a
6  4 
x
o
6
1
2

s t
u d
π
2
2 π
 π
0
3 ) d t
u  3
 5 π
a

2
2
2
π
π
a
( 1
a
a
3

3 
3 
c
2
0
π2
0
o
π
s
s
8
i
t
s
n
2 )
i n
6 u
x
6
d
(
t
2
u
t )
d
d
t
t
4
8.【答案】 3
15
【解析】求垂直于x轴截面的面积 A ( x )
1
2
( x 2 1 ) 2 s i n
3 4
3
( x 2 1 ) 2

    ，
则所求体积为
1
1 3 1 3 1 3 x5 2 
V  A(x)dx  (x2 1)2dx  (x2 1)2dx   x3 x
1 4 1 2 0 2  5 3 
0
4
 3
15
π2 2π
9.【答案】 
2 3
【解析】
取 [ x , x  d x ]  [ 0 , 1 ] ，则 dV 2π(2x)( 2xx2 x)dx，
V 2π 1 (2x)( 2xx2 x)dx2π 1 (2x)  1(x1)2 x  dx
 
0 0
令x1sint，则 V  2 π 
0

π2
( 1  s i n t ) ( c o s t  1  s i n t ) c o s t d t 
π
2
2

2 π
3
.
448π
10.【答案】
15
【解析】取 [ x , x  d x ]  [ 0 , 1 ] ，dV π[32 (1x2)2]dxπ(82x2 x4)dx，
1
1
V π (82x2 x4)dx，取
1
0
[ x , x  d x ]  [1 , 2 ] ，
dV π32 (x2 1)2dxπ(82x2 x4)dx，
2  
V
2
 π 
2
1
( 8  2 x 2  x 4 ) d x ，
2 448π
所求体积V 2(V V )2π (82x2 x4)dx .
1 2 0 15
11.【答案】 2 0 π
【解析】由题得如下
又由
x
y
2
2
( 1
( 1
c
c
o
o
s
s
)
)
c
s
o
i
s
n
,
,
 
 
 



则旋转体的体积为
4 0
V  πy2dx π4(1cos)2sin22(sin2sincos)d
π
0
2
π
8π2(1cos)2sin3(12cos)d
0
20π
综上所述，选（A）.12.【答案】
1 8
3
π
5
【解析】
曲线 y  1  x 2 绕x轴旋转，由旋转体体积公式 V
1
 π 
1
0
y 2 d x  π 
1
0
( 1  x 2 ) d x 
2
3
π .
曲线
 x
y


c
s
o
i
s
n
3
3
t ,
t .
绕x轴旋转，由旋转体体积公式
V
2



π
3
3

π
π
1
0


y
π2
0
6
7
2
(
d
s

x
i n
4
5

7

0

π2
t 
2
3
( s i n
s i n
8

9
3 t )
9 t ) d
6

7
2 d
t

(

4
5
c o
3

3 s
 π
2
3
t )
π
s 2
0




i n
1
1
3
7
6
0
 π
t d
π
5
π2
0
t
.
s

i n
3
6
π
t c
π
 2
0
o
s
s
i n
2 t
9
s
t d
i n
t
t d t
所求旋转体体积为 V  V
1
 V
2

1 8
3
π
5
.
13.【答案】
3 π
2
a
【解析】
3π 3π    3π 
s   r2 r2d  a2sin6 a2sin4 cos2 da sin2 d
0 0 3 3 3 0 3
令 t
3


3π  π 3πa
，有s a sin2 d3a sin2tdt  .
0 3 0 2
14.【答案】4
【解析】利用弧长公式，有s
π
0
π
0
r
2
2
(1
r
c
2
o
d
s ) d
π
0
(1
2
π
0
c
c
o
o
s
s
2
)
d
2 (
4
s i n
s i n
)
2
2 d
π0 4
   
 
  






  
 
 



15.【答案】4
【解析】函数 y  
x
π

2
c o s t d t 的定义域为


π
2
,
π
2

，则全长
s  
π2π

2
1  y  2 d x  
π2π

2
1  c o s x d x d x  
π2π

2
2 c o s
x
2
d x  4 .
16.【答案】
8
3
π
【解析】摆线一拱弧长
s 


2
2
0
a
π

2
0
[
π
x
s
(
i n
t ) ]
t
2
2
d

t
[

y ( t
 4
)
a
] 2
c
d
o
t
s

t
2
a
2
0

π
2
0

π
8 a
( 1  c o s t ) 2  ( s i n t ) 2 d t
摆线一拱绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为
S 


2
8
6
π
π
4
3
2 π

0
2  a
π a
y
2 π
0
2
( t )
s i n 3
[
t
2
x ( t
d t
)

] 2
8

π
[
a
y
2
( t )
2 π

0
]

2
1
d

t 
c o
2
s
π
2

t
2
2 π
0

a
s i
2
n
( 1
t
2

d
c
t
o s t ) ( 1  c o s t ) 2  ( s i n t ) 2 d t
64 3
由题知， πa2 8a，所以a  .
3 8π
17.【答案】2πa2(2 2)
【解析】由对称性知，计算第一象限的曲线绕 x 轴旋转一周的曲面面积，且 r a c o s 2   ，于是
S 2
4
4
2
π
π
π
a
a
a
π4
0
2
2 π
π4
0
π4
0
( 2
r
c
c
s
o
o
i n
s
s
2
2
2
)
s
s
r
i
i
2
n
n
r 2
a
d
2
c
c o
a
o s
s
2
4
2
π
d
a
π4
0
2 a s
c o
4
c o s
2 i n
s 2
2 π a
2
2
π4
0
d
s
s
i n
i n
d
a 2 c o s 2
a (
2
2
c
s
o
i n
s
2
2
) 2
d

     


   

    





 








 


 
 
  
18.【答案】
π
6
(1 1 5  1 )
【解析】设切点为 ( a , a  1 )
1
，则过原点的切线方程为y  x，将
2 a1
( a , a  1 ) 代
入切线方程，得 a  2 , a  1  1
1
，故切线方程为y  x，由曲线
2
y  x  1 在 [1 , 2 ] 上
的一段绕x轴一周所得旋转面的面积
2 2 2 π
S  2πyds 2π x1 1 y2dx π 4x3dx (5 51)
1 1 1 1 6
切线 y 
1
2
x 在区间 [ 0 , 2 ] 上一段绕 x 轴一周所得旋转面的面积
2 2 1
S   2πyds  π x 1 dx 5π，
2 0 0 4
π
所求旋转曲面的表面积为S S S  (11 51).
1 2 6
19.【答案】
2
2
G  
【解析】结合图形建立坐标系，用微元法.取 y 轴上的 [ y , y  d y ]  [ 0 , 1 ] ，此微段细杆对质点的引力大小为 d F G
1
d y
y 2

 

，其在x
轴正向的分力为 d F
x 1
1
y 2
d F
( 1
G d
y
y
2 )
32




 

，于是在 x 轴正向的分力为
 
1 G 
F   dy，令y tant，有
x 0  3 
 (1 y2)2 
F
x
1
0
(1
G
y 2 )
32
d y C
34
0
c o s t d t
2
2
G

   




    .
20.【答案】
4 π R
3
4
g
【解析】以球顶部与水面相切的点为坐标原点， x 轴铅直向下，取[x,xdx][0,2R]，
由于球密度与水的密度相同，所以水面以下不做功
dW (2Rx)π[R2 (Rx)2]1gdxπx(2Rx)2gdx
2R
4πR4
W  πx(2Rx)2gdx g.
0 3
64
21.【答案】 πg
3
【解析】结合图形建立直角坐标系，取 [ x , x  d x ]  [  2 , 2 ] ，则
dW gdv[x(2)]g(x2)πy2dxπg(x2)(4x2)dx
从而 W π g
2
2
( x 2 ) ( 4 x 2 ) d x 4 π g
3
0
( 4 x 2 ) d x 4 π g 8
8
3
6 4
3
π g      

      



 .