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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
学习目标：1.认识圆，理解圆的本质属性.
2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，
并了解它们之间的区别和联系.
3.初步了解点与圆的位置关系.
重点：认识圆，理解圆的本质属性.
难点：认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了
解它们之间的区别和联系.
自 主 学
习
一、知识链接
1.说一说你在生活中哪些地方见过圆？
2.你知道车轮为什么要做成圆形的吗？做成三角形、正方形可以吗？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：探究圆的概念
情景 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当
排成什么样的队形？
问题1 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
第 1 页 共 6 页知识要点
（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做_______．以点
O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
(2)固定的端点O叫做______，线段OA叫做______，一般用r表示．
问题2 观察下列图形，想一想，确定一个圆的要素有哪些？
_______相同，______不同 ________相同，________不同
知识要点 确定一个圆的要素：一是_____________;二是_____________.
想一想 从画圆的过程可以看出什么呢？
(1) 圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于 ．
(2) 到定点的距离等于定长的点都在 ．
要点归纳：圆的基本性质——同圆的半径相等.
典例精析
例1 (教材P80例1)矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上.
探究点2：圆的有关概念
知识要点：连接圆上任意两点的线段(如图中的AC)叫做弦.经过圆心的弦(如图中的AB)叫做直径．
问题 圆中最长的弦是什么？为什么？
要点归纳：1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；2.直径是圆中最长的弦.
知识要点：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 ，
读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每
一
第 2 页 共 6 页条弧都叫做半圆．小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的 ；大于半圆的弧叫做优弧.如
图中的 .
例2 如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧；
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
(3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
知识要点：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出等圆是两个半径相等的圆.在同圆或等圆中，能够互相重合
的弧叫做等弧.
想一想 长度相等的弧是等弧吗？
例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，求
∠ACD的度数.
注意：在圆中常利用半径相等得等腰三角形求角度.
变式 如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求
∠AOC的度数．
三、课堂小结
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成
旋转定义 的图形叫做圆．要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径.
圆的定义
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的
集合定义
集合．
连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径．
弦 直径是圆中最长的弦.
圆的有关
圆上任意两点间的部分叫做弧；
概念
弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧.
能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.
等圆
第 3 页 共 6 页在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
等弧
当堂检
测
1.填空.
(1) 是圆中最长的弦，它是 的2倍．
(2) 图中有 条直径， 条非直径的弦，圆中以A为一个
端点的圆弧中，优弧有 条，劣弧有 条．
2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
3.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且
AD∥OC，求∠AOD的度数.
4. 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上.
(1) 求证：OB=OC.
(2)设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为______. A D
M B O C N
变式 如图，在扇形MON中，∠MON=45°，半径MO=NO=10，正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点
A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
第 4 页 共 6 页N
A D
MB C O
图5
参考答案
自主学习
一、知识链接
1. 解：比如车轮，硬币，呼啦圈、井盖等.
2. 解：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，是因为圆形易滚动，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等于半
径，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变，有利于车子平稳行驶；不可以做成三角形或正方
形.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：
情景 解：不公平；在目标周围围成一个圆排队，因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
问题1 解：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形就是圆.
知识要点 （1）圆 （2）圆心 半径
问题2 圆心 半径 半径 圆心
知识要点 圆心 半径
想一想 （1）定长r 同一个圆上
典例精析
1 1
例1 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC= AC，OB=OD= BD. 又∵AC=BD，
2 2
∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
探究点2：
问题 解：圆中最长的弦是直径. 如图所示，连接OC,在△AOC中，根据三角形
三边关系有AO+OC>AC，而AB=2OA，AO=OC，所以AB>AC.
例2 解:(1)劣弧: 优弧：
(2) 弦AF，AB，AC.其中弦AB又是直径. (3) 答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是
想一想 解：不可能，等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
例3 解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°-2×50°=80°，
∴∠ACD=90°-80°=10°.
变式 解：连接OD，如图.∵AB=2DE，AB=2OD，∴OD=DE，
∴∠DOE=∠E=20°.∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°∵OC=OD，
第 5 页 共 6 页∴∠C=∠ODC=40°.∴∠AOC=∠C+∠E=60°．
当堂检测
1. （1）直径 半径 （2） 一 二 四 四
2.（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）× （6）√ （7）×
3. 解：∵AD∥OC，∴∠AOC=∠DAO=70°，又∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180-70°-70°=40°．
4. （1）证明：如图，连接OA，OD.∴OA=OD.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD.
在Rt△ABO和Rt△DCO中， ∴Rt△ABO≌Rt△DCO.∴OB=OC.
(2) 解析：设OB=x，则AD=BC=OB+OC=2x.在Rt△ABO中， 即 ，
解得x= ∴正方形ABCD的边长为2x= .
变式 解：连接OA. ∵ABCD为正方形，∴AB=BC =CD，∠ABC=∠DCB=90°.又∵∠DOC=45°，
∴DC=CO.设OC=x，则AB=BC=DC=OC=x.又∵OA=OM=10,∴在Rt△ABO中，
即 ∴ .
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