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专题 05 勾股定理逆定理综合应用
专题说明
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它
通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小
边的平方和与较长边的平方作比较。
解题思路
考点1 勾股数的应用
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ，
为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等
③用含字母的代数式表示 组勾股数：
（ 为正整数）；
（ 为正整数）
（ ， 为正整数）
考点2 判断三角形的形状
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为
斜边。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化
为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三
角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。（定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如
若三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角
形，但是 为斜边）；
【典例分析】
【考点1 勾股数的应用】
【典例1】下列各数组中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．2，2，2
C．1，1， D．0.4，0.3，0.5
【答案】A
【解答】解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，符
合题意；
B、22+22≠22，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
C、1，1， 不都是正整数，不是勾股数，不符合题意；
D、0.4，0.3，0.5都不是正整数，不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】下列4组数据中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．6，7，8
【答案】C
【解答】解：A．12+22≠32，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
B．22+32≠42，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
C．32+42＝52，因此是勾股数，故此选项符合题意；
D．62+72≠82，因此不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：C．
【变式1-2】下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．9、12、15 B．5、12、13 C．8、15、17 D．12、18、22
【答案】D
【解答】解：A．∵92+122＝152，∴是勾股数，不符合题意；B．∵52+122＝132，∴是勾股数，不符合题意；
C．∵82+152＝172，∴是勾股数，不符合题意；
D．∵122+182≠222，∴不是勾股数，符合题意；
故选：D．
【典例2】勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速
判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：
a b c
1 3＝1+2 4＝2×1×2 5＝2×2+1
2 5＝2+3 12＝2×2×3 13＝4×3+1
3 7＝3+4 24＝2×3×4 25＝6×4+1
4 9＝4+5 40＝2×4×5 41＝8×5+1
… … … …
n a＝ b＝ ） c＝
（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上）
（2）你能发现a，b，c之间的关系吗？
（3）你能用以上结论解决下题吗？
20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2
【解答】解：（1）由表中数据可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n
（n+1）+1，
故答案为：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1；
（2）a2+b2＝c2，理由是：
∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1，
∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1
c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1
∴a2+b2＝c2；
（3）当2n+1＝2019时，n＝1009，
∴当 n＝1009 时，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n
（n+1）+1]2＝[2020×1009+1]2，
∵a2+b2＝c2；
∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2＝0．
【变式2-1】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称 3，4，5为勾股数组，
记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），
（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证
明．
【解答】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，
82+152＝172，102+242＝262，
即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
所以第六组勾股数为14，48，50．
（2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1，证明如下：
（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2．
【变式2-2】已知：整式 A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式
A．发现A＝B2．求整式B．
联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角
三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边 n2﹣1 2n B
勾股数组Ⅰ 1 5 8 1 7
勾股数组Ⅱ 35 1 2 3 7
【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）
2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
直角三角形三边 n2﹣1 2n B勾股数组Ⅰ 15 8 17
勾股数组Ⅱ 35 12 37
故答案为：15，17；12，37．
【考点2 判断三角形的形状】
【典例 3】在四边形 ABCD 中，已知 AB＝5，BC＝3，AD＝4，CD＝4 且
AC⊥BC于点C．试求：
（1）AC的长；
（2）∠BCD的度数．
（3）四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝4，
∴AC的长为4；
（2）∵AC＝4，AD＝4，CD＝4 ，
∴AC2+AD2＝42+42＝32，CD2＝（4 ）2＝32，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∵AC＝AD＝4，
∴∠ACD＝∠D＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°，∴∠BCD的度数为135°；
（3）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝ AC•CB+ AD•AC
＝ ×4×3+ ×4×4
＝6+8
＝14，
∴四边形ABCD的面积为14．
【变式3-1】如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，
∠B＝90°．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角，
∴CD⊥AD；
（2）解：S ＝S +S
四边形ABCD △ABC △ADC
＝ AB•BC+ AD•CD
＝ ×20×15+ ×24×7
＝234．【变式3-2】如图，在四边形ABCD中，AB＝24，BC＝15，CD＝20，AD＝7，
∠C＝90°．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连接BD，
在Rt△BCD中，BC＝15，CD＝20，∠C＝90°，
∴BD2＝BC2+CD2＝152+202＝625，
∴BD＝25；
（2）在△ABD中，AB＝24，AD＝7，
∴AB2＝576，AD2＝49，
∴AB2+AD2＝576+49＝625．
由（1）知，BD2＝625，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴∠BAD＝90°．
∴S ＝S +S ＝ ×15×20+ ×7×24＝234．
四边形ABCD △BDC △ABD【典例4】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝
4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．
【解答】解：连接AC，
∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝5（m），
∴S ＝ ＝ 3×4＝6（m2），
Rt△ADC
在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，
∵AC2+AB2＝52+122＝169，BC2＝132＝169，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△CAB为直角三角形，
∴∠CAB＝90°，
∴S ＝ ＝ ×5×12＝30（m2），
Rt△CAB
∴菜地的面积＝S ﹣S ＝24（m2），
△CAB △ADC
∴这块菜地的面积为24m2．
【变式4-1】如图，在四边形 ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，
∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝ ＝5，
在△ACD中，∵AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴S ＝S +S
四边形ABCD △ABC △ACD
＝ AB•BC+ AC•CD
＝ ×3×4+ ×5×12
＝6+30
＝36．
【变式4-2】如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B
＝90°．
（1）连接AC，求AC的长．
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连接AC，
在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴ ；
（2） ，
在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴ ，
∴四边形ABCD的面积＝S +S ＝6+30＝36，
△ABC △ACD
答：四边形ABCD的面积为36．
【夯实基础】
1．若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】B
【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝ ＝5，是勾股数，符合题意；
当4时最大时，a＝ ＝ ，不是正整数，不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
2.（2021春•长沙县期末）如图，小方格都是边长为1的正方形．
（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；
（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．
【答案】（1） ， ， （2）∠ABC＝90°
【解答】解：（1） ， ，
（2）如图，连接AC，在Rt△ACG中，AG＝5，CG＝1，
∴AC＝ ，
由（1）可得AB2+BC2＝＝26＝AC2，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ABC＝90°．
3.如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，
求BC的长．
【解答】解：∵AD2+BD2＝82+62＝64+36＝100，AB2＝102＝100，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝15，
∵BD＝6，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21．
4.（2021春•海珠区期末）在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD
＝5，AC＝15．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．【答案】（1）∠ADB＝90° （2）DC＝ ＝9
【解答】（1）证明：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°；
（2）解：∵∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，DC＝ ＝9．
5.（2021秋•拱墅区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD
＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四边形的面积．
【答案】234
【解答】解：∵AB＝24，BC＝7，∠B ＝90°，
由勾股定理得AC2＝242+72＝625．
又∵CD＝15，AD＝20，
∴CD2十AD2＝152+202＝625，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝ ×24×7+ ×15×20＝234．
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点A，B，C，D是网
格线的交点．（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）四边形ABCD的面积为 ．
【解答】（1）证明：连接AC，
由题意得：AD2＝12+22＝5，
CD2＝22+42＝20，
AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）解：如图：
由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
＝ AC•DF+ AC•BE
＝ ×5×2+ ×5×1＝5+
＝ ，
故答案为： ．
7．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝
26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接AC．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝10．
∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S ＝S ﹣S ＝ ×10×24﹣ ×6×8＝120﹣24＝96．
阴影 △ACD △ABC
故阴影部分的面积是96．8．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝ ，
CD＝2，AD＝2 ．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝ ，
∴AC＝ ，
∵CD＝2，AD＝2 ，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：∵AB＝ ，BC＝1，
∴S ＝S +S ＝ ．
四边形ABCD △ABC △ACD
9．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有
“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整
数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股数．把勾股
数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派
生勾股数”．因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大 3，我们把这种勾股数称为
“新新勾股数”．
（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；
（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．
【解答】解：（1）∵9＝3×3，12＝4×3，16÷3≠5，
∴9，12，16不是“派生勾股数”；
∵10＝5×2，24＝12×2，26＝13×2，
∴10，24，26是“派生勾股数”；
（2）勾股数3，4，5，把勾股数同时乘以 3可得9，12，15，15﹣12＝3，
9，12，15是“新新勾股数”；
勾股数5，12，13，把勾股数同时乘以3可得15，36，39，39﹣36＝3，15，
36，39是“新新勾股数”；
勾股数7，24，25，把勾股数同时乘以3可得21，72，75，75﹣72＝3，21，
72，75是“新新勾股数”；
勾股数9，40，41，把勾股数同时乘以3可得27，120，123，123﹣120＝3，
27，120，123是“新新勾股数”；
勾股数11，60，61，把勾股数同时乘以 3可得33，180，183，183﹣180＝
3，33，180，183是“新新勾股数”．
综上所述，斜边小于 200 的所有“新新勾股数”有 9，12，15；15，36，
39；21，72，75；27，120，123；33，180，183．
10．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组
数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发
现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下
问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 6 0 、 6 1 ；
（2）若第一个数用字母 a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含 a
的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律 4＝
，12＝ ，24＝ …，于是他很快表示了第二数为 ，则用含a的代数式表示第三个数为 ；
（3）用所学知识加以说明．
【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为 ，
则用含a的代数式表示第三个数为 ，
故答案为： ；
（3）∵a2+（ ）2＝ ，
（ ）2＝ ，
∴a2+（ ）2＝（ ）2
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a， ， 三个数组成的数是勾股数．
【能力提升】
11．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始
沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运
动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动
点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，
求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，
∴t＝12﹣3t，
解得：t＝3，
答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）①若∠APQ＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴12﹣3t＝2t，
∴t＝ ，
②若∠AQP＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣3t），
∴t＝ ．
∴当t＝ 或 时，△APQ是直角三角形．
