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第2课时 比较线段的长短
教学步骤 师生活动
例1 如图，这是A，B两地之教间学的目公标路，在公路工程改造计划时，为使 【教学建议】
A，B两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由。 在解决有关路
课题 第2课时 比较线段的长短 授课人 程、距离等最短的实
1.掌握几何事实：两点之间线段最短。能在相关情境中运用其解决实际问题，积累际数问学题活时动，经常验。将实物
2.会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义，理解两点之间距离转的化意为义点，，能进度而量利和用表
素养目标
达两点间的距离，发展学生几何直观感知能力、合情的推理能力以及探究意识。“两点之间线段最
3.能用尺规作图：作一条线段等于已知线段，培养学生动手操作的能力。 短”来解决。教师鼓
教学重点 线段的几何事实，线段的中点的概念以及线段的和、差，用尺规作线段，比较线段励的学长生短仿。照例题，自
教学难点 线段的和、差计算中所涉及的数学思想（如分类讨论思想）。 主完成解答，感受生
解：为使A，B两地行程最短，应沿线段AB设计线路，如图所示。
教学活动 活中处处有数学。
理由：两点之间线段最短。
教学步骤 【对应训练】 师生活动
活动一：回忆旧知， 【回1顾.把引原入来】弯曲的河道改直，这种操作所蕴含的数学原理 【教学建议】
新课导入 把现实生活中常见的
是我两们点在之小学间的线时段候最已短经。会比较物体的长短了，比一比，下面两组学具中
设计意图 物体的长短比较，转化
哪个更长？在对应的方框内打“√”。
借助具体实物的长短 为数学中线段的长短比
比较，为进入新课做 2.如图，直线MN表示一条河流，在河流两旁有两点A，B表示两块稻 较，引发学生思考。教
铺垫。 田，若要在河岸边某一位置开渠引水灌溉稻田，则在河岸哪个位置开渠可使水 师可通过多媒体教具展
到两块（稻1田）的距离之和最小？为什么？ 现更多生活中关于长短
比较的实例，激发学生
的探索热情。
（2）
比较上面两组学具的长短，我们直接观察就能轻松得出结论，你还有没
解：如图，连接AB交直线MN于点P，在交点P处开渠可使得水到两块
有其他更严谨的比较方法呢？如果把它们抽象为线段，又该如何比较长短
稻田的距离之和最小，依据的是“两点之间线段最短”。
设计意图 探呢究？点让2我 们比在较接线下段来的的长学短习及中尺一规起作找图寻方法吧！ 【教学建议】
结活合动实二例：引交入流线合段作长， 探究点问题1 1与 线下段图有中关哪的棵几树何较事高实？及哪两支点铅之笔间较的长距？离窗框相邻的两条边哪条较 【教学教建学议】中鼓励学生
短比较探的究方新法知，分析 长？你问是题怎1么 比如较图的1？，现实生活中，为什么草地中间会被人走出一条“捷 先独以立人思们考在自生己活的中方每
叠合法设比计较意两图条线段 径”？ 天法都，必然须后经与历同伴的进活行动
长通短过的现各实种情可境能明性确，两 —交—流“，走路最”后为归背纳景总，
通点过之叠间合线法段自最然短引这入一 得结到。“注两意点提之醒间学线生段在最
作几一何条事线实段，等并于引已入知两 短比”较这不一易几直何接事观实察，的学
线点段之的间尺的规距作离图这，一并概 生线更段容长易短理时解，，用在叠此合基
辅念以，练设习置强题化目学巩生固对学 问题2 怎样比较两条线段的长短？与同伴进行交流。 础法上或介度绍量两法点均之可间，的但距
于生新的知掌的握掌情握况。。 （1）度量法：用刻度尺量出它们的长度，再进行比较。度量法举例如 离用。度量法会产生误
下： 差，不如前者精准。
因为人们认为这是一条近路。
问题2 如图2，从A地到C地有四条道路，哪条路最近？
③最近。
概念引入：
1.与线段有关的几何事实：两点之间的所有连线中，线段最短。这
一
注事意实事项可：以利简用述度为量：法两测量点时之，间一线般段采最用短相同。的测量工具，单位要
统2.我一们，把精两确点度之要间一线致段。的长度，叫作这两点之间的距离。
（2）叠合法：把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端
点重合注在意一：起两加点以之比间较的。距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接
两点的叠线合段法的示长例度如，下而：不是线段本身。 【教学建议】
这是学生首次接
触尺规作图，为降低
难度，建议教师板书
作图给学生做示范，
并加以适当的引导，
注意事项：叠合线段时要注意两条线段的一个端点对齐（重合）， 只要求学生能完成作
另一个端点落在同一侧。 图，并保留作图痕
迹，不要求写作法。
问题3 你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？ 教师可跟学生明确
尺、规各自的数学功
能，学生如果对圆规使用不熟练，需引导
学生正确使用圆规，
并提醒学生作图后要
标注字母，写出结
果。
例2 （教材P115例题）如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已
知线段AB。
【对应训练】
教材P115随堂练习第1~3题。
探究点3 线段的中点
问题1 在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的两个端点重
合，折痕与线段的交点是线段的什么位置？
中点位置。
问题2 将纸展平，对照图形，描述一下线段中点的概念。
概念引入：
如问题2图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点
M叫作线段AB的中点。 【教学建议】
在教学中应要求
教师总结：
学生先根据问题中的
语言描述画出相应的
图形，然后根据图形
中线段之间的关系进
设计意图
行推理和计算。教师
引入线段中点的概
可对规范的解题步骤
念，并给出相关题目
进行板演，让学生感
引导学生作图解答，
受和模仿，注意提醒
加深理解。
学生：利用线段中点
的性质可得到多条线
段间的相等或倍数关
例3 （教材P115尝试·思考）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得
系，所以对于同一条
AB=4cm，BC=3cm。如果点O是线段AC的中点，那么线段AC和OB的长度
线段长度可能存在不
分别是多少？
同的求法，比如例 3
解：作图如图所示。
中也可以先计算出OC
的长，再用 OC-BC 得
由图可知，AC=AB+BC=4+3=7（cm）， 到OB的长；还可以用
因为点O是线段AC的中点， AC-OA-BC 得到 OB 的
长。
所以OA=
所以OB=AB-OA=4-3.5=0.5（cm）。
所以线段AC和OB的长度分别是7cm，0.5cm。
【对应训练】
1.若点C是线段AB的中点，且BC=3cm，则AB的长是（ D ）
A.1.5cm B.3cm C.4.5cm D.6cm
2.［例 3 变式题］在直线 l 上取 A，B，C 三点，使得 AB=5cm，
BC=3cm，如果点O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？
解：因为A，B，C三点不是在直线l上顺次取的，所以有两种情况：第一种情况如图所示，点C在点A，B之间。
因为AB=5cm，BC=3cm，所以AC=AB-BC=5-3=2（cm）。
因为点O是线段AC的中点，所以OC=
所以OB=OC+BC=1+3=4（cm）。
第二种情况如图所示，点C在AB的延长线上。
依照例3思路可求得OB=1cm。
综上，线段OB的长度是4cm或1cm。
例 如图，已知线段ɑ和射线AP。 【教学建议】
学生分组交流合
作完成解答，教师再
（1）用圆规在射线AP上截取AB=3A（保留作图痕迹）； 集中讲评。题目具有
（2）若点C为线段AB的中点，点D在射线BP上，且AD=4ɑ，请你画 一定的综合性，需要
活动三：综合演练， 出图形，并求出C，D两点之间的距离（用含ɑ的代数式表示）。 学生先自主画图，再
巩固提升 解：（1）如图所示。 进行推理或计算。注
设计意图 意求作线段的和或倍
本节课的知识点整合 数时，是在射线上顺
后在题目中呈现，有 （2）如图所示。 次同向截取已知线段
一定综合性，有利于 （教师可向学生提问
学生对概念更好地吸 求作线段的差的步
收和掌握。 骤）。
因为点C为线段AB的中点，所以
所以CD=AD-AC=4ɑ-1.5ɑ=2.5ɑ。
又因为C，D两点之间的距离即为线段CD的长，
所以C，D两点之间的距离为2.5ɑ。
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.你能举例说明“两点之间线段最短”这一事实吗？什么是两点之间的距离？
2.你会用几种方法比较两条线段的长短？具体怎么操作？
3.什么是尺规作图？你是否掌握了作一条线段等于已知线段的方法？
4.什么是线段的中点？线段的中点具有哪些性质？。
【知识结构】
活动四：随堂训练，
课堂总结
【作业布置】
1.教材P116~118习题4.1第3，4，5，8题。
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练。
第2课时 比较线段的长短
1.几何事实：两点之间线段最短。
2.两点之间的距离：两点之间线段的长度。
板书设计
3.比较两条线段的长短：（1）观察法；（2）度量法；（3）叠合法。
4.尺规作图：作一条线段等于已知线段。
5.线段的中点的概念及性质。
本节课首先通过选择最短路径的情境让学生感受和了解线段的性质，引出比较线段长短的必要
性，然后在此基础上提供三组需要比较线段长短的实例，让学生充分思考和交流比较方法及策略，最后
教学反思
通过叠合法自然引出用尺规作线段以及线段的中点。通过本节课的学习，学生经历了识图、辨析、观
察、猜测、验证等数学探究过程，锻炼了思维能力，提高了解决问题的积极主动性。解题大招一 比较线段的长短
比较线段的长短除了直接观察法、度量法、叠合法这三种方法，有时候也会根据题目中给出的已知
线段的数量关系，利用线段的和差去解决，如：已知线段ɑ，b的长，c是另一条线段，则有ɑ+c=b+c。
例1 （1）如图AB=CD，则AC与BD的大小关系是（ C ）
A.AC>BD B.AC<BD C.AC=BD D.无法确定
（2）点C为线段AB的延长线上的一点，则下列各式中成立的是（ D ）
A.BC>AB B.AB>BC C.AB=BC D.AC>AB
【解析】如图，AB与BC的大小无法确定，
因为AC=AB+BC，所以AC>AB，故选D。
例2 体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，
则表示他最好成绩的点是（ C ）
A.M B.N C.P D.Q
解题大招 二线段的有关计算
1.利用和差关系直接计算线段的长
解决有关线段的长的问题时，常将其转化为其他线段的和差来求解。
例3 如图，C，D是线段AB上两点，AC∶BC=3∶2，点D是线段AB的中点，AB=30，求线段CD
的长。
解：因为点D是线段AB的中点，所以 因为AC∶BC=3∶2，所以
12，所以CD=BD-BC=15-12=3。
2.利用分类讨论思想计算线段的长
当题目条件中没有图形，而有些条件的表述不明确时，通常要用到分类讨论思想，分类的标准就是
“对不明确的地方的几种可能性进行分类”。
例4 已知两根木条分别长50cm，100cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，则两根木条的中
点之间的距离是多少？
分析：
解：设较长木条为线段AB，较短木条为线段BC，AB的中点为点M，BC的中点为点N，则
AB=100cm，BC=50cm。
因为AB的中点为点M，BC的中点为点N，
所以
当两根木条重合放置，即点C在线段AB上时，MN=BM-BN=25cm；当两根木条拼接放置，即点C在线段AB的延长线上时，MN=BM+BN=75cm。
综上所述，两根木条的中点之间的距离是25cm或75cm。
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