2022 年吉林省初中学业水平考试
一、单项选择题(每小题2 分,共12 分)
1.(2022 吉林,1,2 分)吉林松花石有“石中之宝”的美誉,用它制作的砚台叫松花砚,
能与中国四大名砚媲美.下图是一款松花砚的示意图,其俯视图为( )
A
B
C
D
2.(2022 吉林,2,2 分)要使算式(-1)□3 的运算结果最大,则“□”内应填入的运算
符号为( )
A.+ B.- C.× D.÷
3.(2022 吉林,3,2 分)y 与2 的差不大于0,用不等式表示为
( )
A.y-2>0
B.y-2<0
C.y-2≥0
D.y-2≤0
4.(2022 吉林,4,2 分)实数a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,则a,b 的大小
关系为( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.无法确定
5.(2022 吉林,5,2 分)如图,如果∠1=∠2,那么AB∥CD,其依据可以简单说成(
)
A.两直线平行,内错角相等
B.内错角相等,两直线平行
C.两直线平行,同位角相等
D.同位角相等,两直线平行
6.(2022 吉林,6,2 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A 为圆心,
r 为半径作圆,当点C 在☉A 内且点B 在☉A 外时,r 的值可能是
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(每小题3 分,共24 分)
7.(2022 吉林,7,3 分)-√2的相反数是 .
8.(2022 吉林,8,3 分)计算:a·a2= .
9.(2022 吉林,9,3 分)篮球队要购买10 个篮球,每个篮球m 元,一共需要
元.(用含m 的代数式表示)
10.(2022 吉林,10,3 分)《九章算术》中记载了一道数学问题,其译文为:有大小
两种盛酒的桶,已知5 个大桶加上1 个小桶可以盛酒3 斛(斛,音hú,是古代一种
容量单位),1 个大桶加上5 个小桶可以盛酒2 斛.1 个大桶、1 个小桶分别可以盛
酒多少斛?设1 个大桶可以盛酒x 斛、1 个小桶可以盛酒y 斛.根据题意,可列方程
组为 .
11.(2022 吉林,11,3 分)第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中
国结和雪花两种元素.如图,这个图案绕着它的中心旋转角α(0°<α<360°)后能够
与它本身重合,则角α 可以为 度.(写出一个即可)
12.(2022 吉林,12,3 分)如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),点B
在y 轴正半轴上,以点B 为圆心,BA 长为半径作弧,交x 轴正半轴于点C,则点C
的坐标为 .
13.(2022 吉林,13,3 分)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,点E
是边AD 的中点,点F 在对角线AC 上,且AF=1
4AC,连接EF.若AC=10,则EF=
.
14.(2022 吉林,14,3 分)如图,在半径为1 的☉O 上顺次取点A,B,C,D,E,连接
AB,AE,OB,OC,OD,OE.若∠BAE=65°,∠COD=70°,则´BC与´DE的长度之和为
(结果保留π).
三、解答题(每小题5 分,共20 分)
15.(2022 吉林,15,5 分)如图,AB=AC,∠BAD=∠CAD.求证:BD=CD.
16.(2022 吉林,16,5 分)下面是一道例题及其解答过程的一部分,其中A 是关于
m 的多项式.请写出多项式A,并将该例题的解答过程补充完整.
17.(2022 吉林,17,5 分)长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家
森林公园是吉林省著名的三个景区.甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要
去的景区.他们准备了3 张不透明的卡片,正面分别写上长白山、松花湖、净月
潭.卡片除正面景区名称不同外其余均相同,将3 张卡片正面向下洗匀,甲先从中
随机抽取一张卡片,记下景区名称后正面向下放回,洗匀后乙再从中随机抽取一
张卡片,请用画树状图或列表的方法,求两人都决定去长白山的概率.
18.(2022 吉林,18,5 分)图①,图②均是4×4 的正方形网格,每个小正方形的顶点
称为格点.其中点A,B,C 均在格点上.请在给定的网格中按要求画四边形.
(1)在图①中,找一格点D,使以点A,B,C,D 为顶点的四边形是轴对称图形;
(2)在图②中,找一格点E,使以点A,B,C,E 为顶点的四边形是中心对称图形.
图①
图②
四、解答题(每小题7 分,共28 分)
19.(2022 吉林,19,7 分)刘芳和李婷进行跳绳比赛.已知刘芳每分钟比李婷多跳
20 个,刘芳跳135 个所用的时间与李婷跳120 个所用的时间相等.求李婷每分钟
跳绳的个数.
20.(2022 吉林,20,7 分)密闭容器内有一定质量的气体,当容器的体积V(单位:
m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ 与体积V 是反比例
函数关系,它的图象如图所示.
(1)求密度ρ 关于体积V 的函数解析式;
(2)当V=10 m3时,求该气体的密度ρ.
21.(2022 吉林,21,7 分)动感单车是一种新型的运动器械.图①是一辆动感单车的
实物图,图②是其侧面示意图.△BCD 为主车架,AB 为调节管,点A,B,C 在同一直
线上.已知BC 长为70 cm,∠BCD 的度数为58°.当AB 长度调至34 cm 时,求点A
到CD 的距离AE 的长度(结果精确到1 cm).(参考数据:sin 58°≈0.85,cos
58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
22.(2022 吉林,22,7 分)为了解全国常住人口城镇化率的情况,张明查阅相关资
料,整理数据并绘制统计图如下:
2017—2021 年年末全国常住人口城镇化率
(以上数据来源于《中华人民共和国2021 年国民经济和社会发展统计公报》)
注:城镇化率=城镇常住人口
总人口
×100%.例如,城镇常住人口60.12 万人,总人口100 万人,则城镇
化率为60.12%.
回答下列问题:
(1)2017—2021 年年末,全国常住人口城镇化率的中位数是 %;
(2)2021 年年末全国人口141 260 万人,2021 年年末全国城镇常住人口为
万人;(只填算式,不计算结果)
(3)下列推断较为合理的是 (填序号).
①2017—2021 年年末,全国常住人口城镇化率逐年上升,估计2022 年年末全国
常住人口城镇化率高于64.72%.
②全国常住人口城镇化率2020 年年末比2019 年年末增加1.18%,2021 年年末比
2020 年年末增加0.83%,全国常住人口城镇化率增加幅度减小,估计2022 年年末
全国常住人口城镇化率低于64.72%.
五、解答题(每小题8 分,共16 分)
23.(2022 吉林,23,8 分)李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同
质量的水,甲壶比乙壶加热速度快.在一段时间内,水温y(℃)与加热时间x(s)之
间近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图象如下:
(1)加热前水温是 ℃;
(2)求乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式;
(3)当甲壶中水温刚达到80 ℃时,乙壶中水温是 ℃.
24.(2022 吉林,24,8 分)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记,请认真阅读并
补充完整.
【作业】如图①,直线l1∥l2,△ABC 与△DBC 的面积相等吗?为什么?
图①
解:相等.理由如下:
设l1与l2之间的距离为h,
则S△ABC=1
2BC·h,S△DBC=1
2BC·h.
∴S△ABC=S△DBC.
【探究】(1)如图②,当点D 在l1,l2之间时,设点A,D 到直线l2的距离分别为
h,h',则S△ABC
S△DBC
= h
h'
.
图②
证明:∵
S △ABC=
(2)如图③,当点D 在l1,l2之间时,连接AD 并延长交l2于点M,则S△ABC
S△DBC
= AM
DM
.
图③
证明:过点A 作AE⊥BM,垂足为E,过点D 作DF⊥BM,垂足为F,则
∠AEM=∠DFM=90°,
∴AE∥ .
∴△AEM∽ .
∴AE
DF
= AM
DM
.
由【探究】(1)可知S△ABC
S△DBC
= ,
∴S△ABC
S△DBC
= AM
DM
.
(3)如图④,当点D 在l2下方时,连接AD 交l2于点E.若点A,E,D 所对应的刻度值
分别为5,1.5,0,则S△ABC
S△DBC
的值为 .
图④
六、解答题(每小题10 分,共20 分)
25.(2022 吉林,25,10 分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6 cm.动
点P 从点A 出发,以2 cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动.以PA 为一边作
∠APQ=120°,另一边PQ 与折线AC-CB 相交于点Q,以PQ 为边作菱形PQMN,
点N 在线段PB 上.设点P 的运动时间为x(s),菱形PQMN 与△ABC 重叠部分图
形的面积为y(cm2).
(1)当点Q 在边AC 上时,PQ 的长为 cm;(用含x 的代数式表示)
(2)当点M 落在边BC 上时,求x 的值;
(3)求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围.
26.(2022 吉林,26,10 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c(b,c 是
常数)经过点A(1,0),点B(0,3).点P 在此抛物线上,其横坐标为m.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当点P 在x 轴上方时,结合图象,直接写出m 的取值范围;
(3)若此抛物线在点P 左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2-m.
①求m 的值;
②以PA 为边作等腰直角三角形PAQ,当点Q 在此抛物线的对称轴上时,直接写
出点Q 的坐标.
2022 年吉林省初中学业水平考试
1.C 从上向下看,其俯视图是两个同心圆,故选C.
2.A (-1)+3=2;(-1)-3=-4;(-1)×3=-3;(-1)÷3=-1
3
.四个结果中最大的为(-1)+3=2,故选A.
3.D y 与2 的差不大于0,用不等式表示为y-2≤0,故选D.
4.B 在数轴上,右边的点表示的数大于左边的点表示的数,a 在数轴上对应的点在原点的左侧,b
在数轴上对应的点在原点的右侧,所以a<b,故选B.
5.D ∠1 和∠2 是同位角,如果∠1=∠2,那么AB∥CD,其依据为同位角相等,两直线平行,故选
D.
6.C ∵∠ACB=90°,AB=5,BC=4,∴AC=3.当点C 在☉A 内且点B 在☉A 外时,3<r<5,∴r 的值可
能是4,故选C.
7.答案 √2
解析 只有符号不同的两个数叫做互为相反数,
∴-√2的相反数是√2.
8.答案 a3
解析 a·a2=a1+2=a3.
9.答案 10m
解析 篮球队要购买10 个篮球,每个篮球m 元,一共需要10m 元.
10.答案 {
5 x + y =3
x +5 y =2
解析 由5 个大桶加上1 个小桶可以盛酒3 斛,可得5x+y=3.由1 个大桶加上5 个小桶可以盛酒
2 斛,可得x+5y=2.∴可列方程组为{
5 x + y =3,
x +5 y =2.
11.答案 60(答案不唯一)
解析 把图案的六个端点连接起来组成一个正六边形,它的中心角为60°,这个图案绕着它的中
心旋转n·60°(n 为正整数)后能够与它本身重合,答案不唯一,写出一个即可.
12.答案 (2,0)
解析 根据题意可得OB⊥AC,垂足为O,根据垂径定理可得OA=OC.因为点A 的坐标为(-2,0),
所以点C 的坐标为(2,0).
13.答案 5
2
解析 ∵四边形ABCD 为矩形,且O 为矩形对角线的交点,∴OA=OB=OC=OD,∴OA=1
2
AC.∵AF=1
4
AC,∴AF=1
2
OA,∴点F 是OA 的中点.又∵点E 是AD 的中点,∴EF 为△AOD 的中位
线,∴EF=1
2
OD.∵AC=10,∴OC=OD=5,∴EF=5
2
.
14.答案 π
3
解析 ∵∠BAE=65°,∴∠BOE=2∠BAE=130°,
∵∠COD=70°,∴∠BOC+∠DOE=130°-70°=60°.
∴´BC与´DE的长度之和为60×π ×1
180
=π
3
.
解题关键
求´BC与´DE的长度之和,需求它们所对圆心角的度数和,而不是单独求每个弧所对的圆心
角度数.
15.解析 在△ABD 和△ACD 中,
{
AB = AC ,
∠BAD =∠CAD ,
AD = AD ,
∴△ABD≌△ACD,∴BD=CD.
16.解析 由题意知m(A)=m2+6m=m(m+6),∴A=m+6.
∴m(m+6)-6(m+1)
=m2+6m-6m-6
=m2-6.
17.解析 把写有长白山、松花湖、净月潭的卡片分别记为A、B、C,画树状图如下.
共有9 种等可能的结果,甲、乙两人都抽中长白山的结果有1 种,所以两人都决定去长白山的概
率为1
9
.
18.解析 答案不唯一,以下答案仅供参考.
(1)
(2)
19.解析 设李婷每分钟跳绳x 个,则刘芳每分钟跳绳(x+20)个,
根据刘芳跳135 个所用的时间与李婷跳120 个所用的时间相等得, 135
x +20
=120
x
,
方程两边同乘x(x+20)得,135x=120(x+20),
解得x=160.
经检验,x=160 是原分式方程的解,且符合题意.
答:李婷每分钟跳绳160 个.
20.解析 (1)设密度ρ 关于体积V 的函数解析式为ρ= k
V
,
把A(4,2.5)代入得2.5=k
4
,∴k=10,∴ρ=10
V
.
(2)∵V=10 m3,∴ρ=10
10
=1(kg/m3),
∴当V=10 m3时,该气体的密度ρ 为1 kg/m3.
21.解析 ∵AB=34 cm,BC=70 cm,
∴AC=34+70=104(cm),
由题意知∠AEC=90°.
在Rt△ACE 中,sin∠BCD= AE
AC
,
∴sin 58°= AE
104
,∴0.85≈AE
104
,
∴AE=88.4 cm≈88 cm.
答:点A 到CD 的距离AE 的长度约为88 cm.
方法指导
运用解直角三角形的方法解决实际问题:①审题,根据题干作出正确的平面图,在图形中弄
明白哪些是已知量,哪些是未知量;②将已知条件转化为示意图中的边角关系,把实际问题转化
为解直角三角形问题;③选择适当的关系式解直角三角形.
22.解析 (1)62.71.
详解:题图中的五个数据是从小到大排序的,
中间的数是62.71,所以中位数是62.71%.
(2)141 260×64.72%.
详解:2021 年年末全国城镇常住人口为141 260×64.72%万人.
(3)①.
详解:由题图知,2017—2021 年年末,全国常住人口城镇化率逐年上升,全国常住人口城镇化率
2020 年年末比2019 年年末增加63.89%-62.71%=1.18%,2021 年年末比2020 年年末增加64.72%-
63.89%=0.83%,增加幅度减小,但仍在增加,所以由变化趋势估计2022 年年末全国常住人口城镇
化率比2021 年年末增加,即高于64.72%,①较为合理.
23.解析 (1)20.
详解:由题图可得加热前水温是20 ℃.
(2)设乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y=kx+b,∵甲壶比乙壶加热速度快,∴把
(0,20),(160,80)代入得{
b=20,
160k +b=80,
解得{
k = 3
8 ,
b=20,
∴y=3
8
x+20(0≤x≤160).
(3)65.
详解:由题图可设甲壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y=k'x+20,把(80,60)代入得
80k'+20=60,解得k'=1
2
,∴y=1
2
x+20,
令1
2
x+20=80,解得x=120,
把x=120 代入y=3
8
x+20,得y=3
8
×120+20=65.
故当甲壶中水温刚达到80 ℃时,乙壶中水温是65 ℃.
24.解析 (1)证明:∵S△ABC=1
2
BC·h,S△DBC=1
2
BC·h',
∴S△ABC
S△DBC
=
1
2 BC·h
1
2 BC·h'
= h
h'
.
(2)DF;△DFM; AE
DF
.
(3)7
3
.
详解:过点A 作AG⊥BC,垂足为G,过点D 作DH⊥BC,垂足为H,则
∠AGC=∠DHE=90°,∴AG∥DH,
∴△AEG∽△DEH,∴AG
DH
= AE
DE
,
由探究(1)可知S△ABC
S△DBC
= AG
DH
,
∴S△ABC
S△DBC
= AE
DE
= AD - DE
DE
=5-1.5
1.5
=7
3
.
解后反思
对于探究问题,首先借助题干信息,应用相关定理、性质尝试计算出所求信息,其次在类比
延伸中尝试应用探究的方法解决问题,最后在拓展迁移中,应用前两问的解题办法,从而使问题
得以解决.
25.解析 (1)2x.
详解:当点Q 在边AC 上时,
∵∠APQ=120°,∠A=30°,
∴∠AQP=30°,∴∠A=∠AQP,
∴AP=PQ=2x cm.
(2)当点M 落在边BC 上时,
由(1)得AP=PQ=2x cm,
∵四边形PQMN 为菱形,∴PN=PQ=MN=2x cm,∠PNM=120°,∴∠MNB=60°,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,
∴△BMN 为等边三角形,∴BN=MN=2x cm,
∴AB=AP+PN+BN=2x+2x+2x=6 cm,
∴x=1.
(3)当0<x≤1 时,菱形PQMN 与△ABC 重叠部分图形的面积就是菱形PQMN 的面积,此时
y=2x·2x·sin 60°=2√3x2.
当1<x≤1.5 时,如图,设CB 与MN 交于点G,与MQ 交于点H,
∵AP=PN=2x,∴NB=AB-AP-PN=6-4x,
易知△NBG 和△MGH 都为等边三角形,∴NG=NB=6-4x,
∴MH=MG=MN-NG=2x-(6-4x)=6x-6,
∴y=S 菱形PQMN-S△MGH
=2x·2x·sin 60°-1
2
(6x-6)2·sin 60°
=2√3x2-9√3x2+18√3x-9√3
=-7√3x2+18√3x-9√3.
当1.5<x<3 时,菱形PQMN 与△ABC 重叠部分的面积就是△PQB 的面积,易知△PQB 为等边三角
形,∴PQ=PB=6-2x.
∴y=S△PQB=1
2
(6-2x)2·sin 60°=√3x2-6√3x+9√3.
综上,y={
2√3 x
2,0< x ≤1,
-7√3 x
2+18√3 x -9√3,1< x ≤1.5,
√3 x
2-6√3 x +9√3,1.5< x<3.
方法指导
数学中的动点问题一般都是用未知数表示发生变化的量,然后用含有未知数的代数式去表
示其他相关的量,得出函数,同时注意自变量的取值范围带来的图形的变化.
26.解析 (1)把A(1,0),B(0,3)代入y=x2+bx+c,得{
1+b+c =0,
c =3,
解得{
b=- 4 ,
c =3,
∴y=x2-4x+3.
(2)m<1 或m>3.
详解:令x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,
∴抛物线与x 轴的交点坐标为A(1,0)和(3,0),
∵点P 在x 轴上方,∴由题图可知m 的取值范围为m<1 或m>3.
(3)①y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1).
当m<2 时,抛物线在点P 左侧部分的最低点就是点P,所以m2-4m+3=2-m,即m2-3m+1=0,
解得m1=3+√5
2
(舍),m2=3-√5
2
.
当m≥2 时,抛物线在点P 左侧部分的最低点是抛物线的顶点,所以2-m=-1,∴m=3.
综上,m=3-√5
2
或m=3.
②(2,1)或(2,-1)或(2,√5).
详解:由①可得点P 坐标为(
3-√5
2
, √5+1
2 )
或(3,0).
当点P 坐标为(3,0)时,∵△APQ 为等腰直角三角形,
∴点Q 到x 轴的距离为1,∴点Q1坐标为(2,1),点Q2坐标为(2,-1).
当点P 坐标为(
3-√5
2
, √5+1
2 )
时,∵△APQ 为等腰直角三角形,∴AP=PQ,过P 作PF⊥x 轴于
F,过Q3作Q3E⊥FP 交FP 的延长线于E,易得△APF≌△PQ3E,
∴AF=PE=1-3-√5
2
=√5-1
2
,
∴EF=PE+PF=√5-1
2
+√5+1
2
=√5.
∴点Q3坐标为(2,√5).
综上,点Q 的坐标为(2,1)或(2,-1)或(2,√5).
方法指导
针对二次函数与几何综合的题目,首先要考虑的是代数与几何知识之间的相互关系,找出其
内在联系,问题(3)主要考查分类讨论思想,在分类的时候要注意考虑各种情况,不能遗漏,另外,
要注意题目的具体要求,如本题中规定点Q 在对称轴上,所以不是所有情况都成立.
