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遇到中点引发六联想
联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们
当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？相信你阅读下文后，能给你带来一定的启示。
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
例1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则
MN等于【 】(2008年安徽省)
A．6 B．9 C．12 D．16
5 5 5 5
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
分析：
由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；
由点M为BC中点，如果连接AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边BC
上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一
半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。
解:
连接AM，
因为，AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；
因为，点M为BC中点，
则根据等腰三角形的三线合一，得到AM⊥BC，
在直角三角形AMC中，
AC=5，CM= BC=3,
所以，AM= =4，所以，三角形ABC的面积是： ×BC×AM= ×6×4=12,
所以，三角形ACM的面积是：6；
[来源:学科网]
所以，6= ×AC×MN，
所以，MN= .
所以，选择C。
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC
的中点，
[来源:学科网]
求证：四边形EFGD是等腰梯形。
分析：
由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
根据三角形中位线定理，知道FG∥BC,FE∥AC，FE= AC，
由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG= AC，
所以，EF=DG，这样，我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。
证明：
因为，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
所以，FG∥BC ， FE∥AC，FE= AC，
所以，FG∥ED，
因为，FE∥AC，DG与AC是相交的，
所以，DG与EF也是相交的，
所以，四边形EFGD是梯形，
因为，AD是三角形的高，所以，三角形ADC是直角三角形，
因为，DG是斜边上的中线，
因此，DG= AC，
所以，DG=EF,
[来源:学科网]
所以，梯形EFGD是等腰梯形。
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
例1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。
已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：
四边形EFGH是平行四边形。
分析：
由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
我们就自然联想到三角形的中位线定理，
但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我
们需要的三角形了。
证明：
如图5所示，连接AC，
因为，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
所以，EF是三角形ABC的中位线，GH是三角形ADC的中位线，
所以，
EF∥AC ，EF = AC， GH∥AC，GH= AC，
因此，EF∥GH，EF=GH，
所以，四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形
例4、如图6所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE，求证：S = S 。
△ABE 四边形ABCD
分析：
如果直接证明，是不容易，联想到AD∥BC，点E是CD的中点，
我们延长AE，与BC 的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，
并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就
好解决了。
证明：
如图7所示，延长AE，与BC 的延长线交于点F，
因为，AD∥BC，
所以，∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，
因为，点E是CD的中点，
所以，DE=CE，
所以，△ADE≌△FCE，
所以，AE=EF，
所以，S = S ，
△ABE △BEF
因为，S = S + S = S + S ，
△BEF △BEC △ECF △BEC △ADE
所以，S = S + S ，
△ABE △BEC △ADE
因为，S + S + S = S ，
△ABE △BEC △ADE 四边形ABCD
所以，2 S = S ，
△ABE 四边形ABCD
所以，S = S 。
△ABE 四边形ABCD
5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
例5、如图8所示， 是⊙O的弦，点 是AB的中点，若 ， ，则
⊙O的半径为 cm．分析：
由点C是AB 的中点，联想到圆的垂径定理，知道OC⊥AB，这样在直角三角形AOC中
根据勾股定理，就可以求得圆的半径。
解：
因为，点C是AB 的中点，
所以，OC⊥AB，
因为，AB=8,
所以，AC=4,在直角三角形AOC中，
AC=4,OC=3,
所以，OA= =5(cm)，
因此，圆的半径是5cm。
6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等
例6、如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
等于：
A、 B、 C、 D、
分析：
如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公
共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。
解：
如图10所示，连接BG，
因为，E是线段AB的中点，
所以，S = S =x， S = S =y，
△AEG △BEG △BGF △GCF
设AB=2a，BC=2b，
所以，矩形的面积是：2a×2b=4ab，根据题意，得：
2 y +x= ×BC×BE=ab，
2x+y= ×BA×BF=ab，
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
所以，2x+y=2y+x，即x=y= ，
所以，4x= = 矩形的面积，
所以，S = 矩形的面积，
四边形AGCD
所以， 等于 ，
所以，选D。
