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2024 北京牛栏山一中高三考前热身
数学
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则复数 的虚部是（ ）
A. 1 B. C. D. i
【答案】B
【解析】
【分析】由对应点坐标写出复数，结合复数除法运算化简复数即得虚部.
【详解】由题意可得： ，则 ，
所以复数 的虚部是 .
故选：B.
2. 已知集合 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用列表法求集合A、B，进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断.
【详解】对于 可得：
x -1 1
y
-1 -2 0
1 0 2
可得集合 ；
对于 可得：x -1 1
y
-1 0 2
1 -2 0
可得集合 ，所以 ，
则 成立， 不成立， ，
所以A正确，B、C、D错误.
故选：A.
3. 已知 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 的展开式的各项系数之和为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒
【详解】由题知 ，由组合数性质解得n＝6，
∴ ＝ ，
令x＝1，得展开式各项系数之和为 ，
故选：C.
4. 设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则【答案】D
【解析】
【分析】根据线面的位置关系可判断A；举反例判断B、C；由面面垂直的判定定理可判断D，进而可得正
确选项.
【详解】对于A：若 ， ，则 或 ，故选项A不正确；
对于B：如图平面 为平面 ，平面 为平面 ，直线 为 ，直线 为 ，满足
， ， ，但 与 相交，故选项B不正确；
对于C：如图在正方体 中，平面 为平面 ，平面 为平面 ，直线
为 ，直线 为 ，满足 ， ， ，则 ，故选项C不正确；
对于D：若 ， ，可得 或 ，若 ，因为 ，由面面垂直的判定定理可得
；若 ，可过 作平面与 相交，则交线在平面 内，且交线与 平行，由 可得交线与
垂直，由面面垂直的判定定理可得 ，故选项D正确；
故选：D.5. 已知 ， 分别是双曲线C： （ ， ）的两个焦点，P为双曲线C上
一点， 且 ，那么双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值.
【详解】设双曲线的半焦距为 ，则 ，
由题意可得： ，
因为 ，整理得 .
故选：D.
6. 已知无穷数列{a}满足a ＝a+t（t为常数），S 为{a}的前n项和，则“t≥0”是“{a}和{S}都有最小项”
n n+1 n n n n n
的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】∵a ＝a+t，∴数列{a}为等差数列，且公差为t，
n+1 n n
①当t≥0时，若t＝0，a＝﹣2时，数列{a}为常数列，且a＝﹣2，
1 n n
∴S＝﹣2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立，
n
②当{a}和{S}都有最小项，
n n
∵a＝a+(n﹣1)t＝tn+(a﹣t)，
n 1 1
S＝na t n2+(a )n，
n 1 1则 或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，
∴t≥0是{a}和{S}都有最小项的必要不充分条件，
n n
故选：B．
7. 已知函数 则下列结论正确的是（ ）．
A. ， B. ，
C. 函数 在 上单调递增 D. 函数 的值域是
【答案】D
【解析】
【详解】
作出函数 的图象，由图可知函数 是奇函数，即对 ， ，故 错误；
当 时，满足 ，此时 ， 不成立，故 项错误；
函数 在 上是减函数，在 上是增函数，在 上是减函数，故 项错误；
函数 的值域是 ，故 项正确．
故选 ．
点睛：研究函数的奇偶性和单调性，可做出函数的图象，图象关于y轴对称时函数为偶函数的充要条件，
图像关于原点对称是函数为奇函数的充要条件.
对于正弦函数 有 .8. 已知直线 ， 为圆 上一动点，设 到直线 距离的最大值
为 ，当 最大时， 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得出直线 过定点 ，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出 的值.
【详解】因为 ，所以直线 过定点 ，圆 可化为
，则圆心 ， ，由圆的对称性可知，当 时， 到直线 距离的最大，
则 ， .
故选：A
9. 已知函数 ， 图像上每一点的横坐标缩短到原来的 ，得到 的图像，
的部分图像如图所示，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】利用向量数量积的定义可得 ，从而可得 ，进而得出 ，即
，求出 .
【详解】根据
，
可得 ，故 ，
所以 ，故 的周期为24，所以 ， ，
故选：A．
10. 某游戏开始时，有红色精灵 个，蓝色精灵 个．游戏规则是任意点击两个精灵，若两精灵同色，则
合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏
结束时，剩下的精灵的颜色（ ）
A. 只与 的奇偶性有关 B. 只与 的奇偶性有关
C. 与 ， 的奇偶性都有关 D. 与 ， 的奇偶性都无关
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得到每一次两个精灵相碰，蓝色精灵的奇偶性不变，精灵总个数少一个，当最后只剩下
一个精灵时，碰了 次，再分别讨论 的奇偶性即可得到答案.
【详解】任意两个精灵相碰，有三种情况：
第一种情况：红色，红色相碰，合并成一个红色精灵，
此时红色精灵少1个，蓝色精灵个数不变，
第二种情况：蓝色，蓝色相碰，合并成一个红色精灵，
此时红色精灵加1个，蓝色精灵个数少2个，
第三种情况：红色，蓝色相碰，合并成一个蓝色精灵，
此时红色精灵少1个，蓝色精灵个数不变.
综上：每一次两个精灵相碰，蓝色精灵的奇偶性不变，精灵总个数少一个，所以当最后只剩下一个精灵时，碰了 次.
当 为奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵，
当 为偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵，
那么游戏结束时，剩下 的精灵的颜色只与 的奇偶性有关.
故选：B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知抛物线 上一点 ，则抛物线的准线方程为________；点P到焦点的距离为________．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】由抛物线方程求其准线方程，再结合抛物线定义求点P到焦点的距离.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，焦点 的坐标为 ，
因为点 在抛物线 上，
由抛物线定义可得点P到焦点的距离等于点 到准线 的距离，
所以点P到焦点的距离为 .
故答案为： ；2.
12. 已知向量 与 共线，则 __________.
【答案】 .
【解析】
【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.
【详解】由题意知，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .故答案为： .
13. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，
其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．
【答案】5
【解析】
【分析】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值
及取最大值的条件即可.
【详解】设区域代号为 ，种植密度为 ，单株产量为 ，则 ，
由图象可得种植密度 是区域代号 的一次函数，
故设 ， ，
由已知函数 的图象经过点 , ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
由图象可得单株产量 是区域代号 的一次函数，
故可设 ， ，
观察图象可得当 时， ，当 时， ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以总产量
当 时，函数 有最大值，即 号区域总产量最大，最大值为 .
故答案为：5.
14. 已知函数 ， ， ，其中 表示a，b中最
大的数．若 ，则 ________；若 对 恒成立，则t的取值范围是________．
.
【答案】 ① ②. .
【解析】
【分析】由函数 的定义，求 ，由 时， ，当 时， 可得已
知条件等价于 在 上恒成立，化简可求 的范围．
【详解】由已知 ，
若 ，则 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
因为 对 恒成立；
所以当 时， 恒成立，
所以当 时， 恒成立，
若 ，则当 时， ，矛盾，
当 时，可得 恒成立，所以 ，所以t的取值范围是为 ，
故答案为： ， .
15. 在数列 中各项均为正数，且 ，给出下列四个结论：
①对任意的 ，都有
②数列 不可能为常数列
③若 ，则数列 为递增数列
④若 ，则当 时，
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可.
【详解】解：对于①，在数列 中， ，则 ，
又对于任意的 都有 ，则 ，即 ，
即对于任意的 ，都有 ，故①项正确；
对于②，不妨设数列 可能为常数列，则 ，
又 ，则 ，则 ，
即 时，数列 为常数列，故②项错误；
对于③，
又 ，则 ，即 ，
同理，当 ，都有 ，即 ，
即 ，即数列 为递增数列，故③项正确；对于④， ，则 ，即 ，
同理，当 ，都有 ，
又 ，即数列 为递减数列，
即当 时， ，故④项正确.
故答案为：①③④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在△ABC中，已知
（1）求B的大小；
（2）在下面3个条件中选一个，使得△ABC唯一存在，并求其面积．
① ② ③
【答案】（1）
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边变角，然后整理化简可得B的大小；
.
（2）利用正弦余弦定理求出三角形其他边角，再利用面积公式求出面积
【小问1详解】
由正弦定理得
，
，即 ，
又 ， ；【小问2详解】
选①：
或 ，所以△ABC不唯一存在
所以①不能选；
选②： ，即
选③
即
或 （舍）
.
17. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职
工乙微信记步数情况：（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为 ，求
的分布列及数学期望；
（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布
直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第
142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）3月3日
【解析】
【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.
（2）根据题意得到 ， ， ， ，
再写出分布列数学期望即可.
（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.
【小问1详解】
令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，
从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，
故 .
【小问2详解】
由（1）知： ，
， ， ，
的分布列为：
【小问3详解】
根据频率分步直方图知：微信记步数落在 ， ， ， ，
（单位：千步）区间内的人数依次为 人， 人，
人， 人， 人，
由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，
根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.
由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，
根据折线图知：只有3月3日和3月6日，
所以3月3日符合要求.
18. 如图，在四棱锥 中， 平面PAD，△PAD为等边三角形， // ，
，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．（1）求证： ∥ ；
（2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在点G，使得 ∥平面AEF？若存在，求 的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；
（2）根据题意可在 平面 ，建系，利用空间向量求面面夹角；
（3）设 ，求点G的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算.
【小问1详解】
因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 直线l，
所以 ∥ .
【小问2详解】
取 的中点 ，连接 ，由题意可得： // ，且 ，
则 为平行四边形，可得 // ，
且 平面PAD，则 平面PAD，
由 平面PAD，则 ，
又因为△PAD为等边三角形，则 为 的中点，可得 ，
， 平面 ，则 平面 ，
如图，以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
由题意可知：平面PAD的法向量 ，
可得 ，
所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值 .【小问3详解】
由（2）可得： ，
设 ， ，则 ，
可得 ，解得 ，
即 ，可得 ，
若 ∥平面AEF，则 ，
可得 ，解得 ，
所以存在点 ，使得 ∥平面AEF，此时 .
19. 已知 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）判断 极值点个数，并说明理由；
（3）解不等式 ．
【答案】（1） ；（2）函数 极值点个数为 ，理由见解析；
（3）不等式 的解集为 .
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程；
（2）利用导数判断函数 的单调性，结合零点存在性定理求零点，并判断其两侧的导数值的正负，
由此确定函数 的极值点的个数；
（3）根据函数 的单调性，极值及 确定不等式 的解集.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，导函数 ，
所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为1，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
【小问2详解】
设 ，则 ，
令 ，可得 ，又 为 上的增函数，
当 时， ，函数 在上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以存在 使得 ，当 时， ，即 ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，即 ，函数 在 上单调递增，
所以 为函数 的极大值点， 为函数 的极小值点，
所以函数 有两个极值点；
【小问3详解】
因为函数 在 上单调递增， ， ，
所以当 时，不等式 的解为 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 上的最小值为 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以当 时，不等式 的解为 ，
所以不等式 的解集为 .
20. 已知椭圆C： 的离心率为 ，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，
当直线l与x轴垂直时， ．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）当直线l的斜率为k 时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA
与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解 ，即可得结果；
（2）根据题意分析可得x轴为直线PA与直线PB的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解.
【小问1详解】
设椭圆C的半焦距为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
【小问2详解】
由（1）可得： ，
根据题意可设直线 ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ，
可得 ，①由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，
整理得 ，②
将①代入②得： ，解得 ，
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时 .
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
21. 设A是由 个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该
行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实
数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：
1 2 3
1 0 1
表1
（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均
为非负整数，求整数a的所有可能值：
a表2
（3）对由 个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每
行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
【答案】（1）答案见解析；
（2） 或
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，
改变第4列也可得（写出一种即可）；
（2） 每一列所有数之和分别为2，0， ，0，每一行所有数之和分别为 ，1；①如果先操作第三列，
第一行之和为 ，第二行之和为 ，再考虑第二次操作，由此列出不等关系解得 ；②如果操作
第一行，再根据各列的和考虑第二次操作，由条件列不等式求 ，（3） 按要求对某行（或某列）操作一
次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增
大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，由此证明结论．
【小问1详解】
法1：
1 2 3 1 2 3 1 2 3
改变第四列 改变第二行
1 0 1 1 0 0
法2：
1 2 3 1 2 3 1 2 3
改变第二行 改变第四列
1 0 1 0 0
法3：
1 2 3 2 3 2 3
改变第一列 改变第四列
1 0 1 0 0
（写出一种即可）
【小问2详解】
数表A每一列所有数之和分别为2，0， ，0，每一行所有数之和分别为 ，1;
①如果先操作第三列，则
则第一行之和为 ，第二行之和为 ，
若 ，则 ，即 ，
再操作第二行，则
此时第四列为负数，不满足要求；
若 ，则 ，即 ，
再操作第一行，则
由已知， ，又a为整数，
解得 或 ，
若 ，则
若 ，则所以 或 满足要求，
②如果先操作第一行，则
则第一列的所有数的和为 ，第二列的所有数的和为 ，
第三列的所有数的和为 ，第四列的所有数的和为 ，
若 ，则 ，与已知矛盾，
若 ，则 ，与已知矛盾，
若 ，则 ，又a为整数，
由已知 ，所以 或 ，
若 ，则
再操作第三列即可，
若 ，则
再操作第三列即可.
综上， 或 ，
【小问3详解】
按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该
行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中 个数之和增加，且增加的幅度大于等于
，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中 个数之和必然小于等于 ，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的
行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但
是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不
变应万变才是制胜法宝.
