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石景山区 2025 年高三统一练习
数 学
本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点坐标为 ，则实数 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
3. 在 的二项展开式中,x的系数为( )
A. 10 B. -10 C. 40 D. -40
4. 在 中，若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
5. 已知x， ，且 ，则（ ）
.
A B.
C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 ，则（ ）A. B. C. D.
7. 等比数列 中， ，设甲： ，乙： ，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数 （a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）
代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未
溶解糖块的质量为3.5克，则 （ ）
A. B. C. D.
9. 已知点M，N为圆 上两点，且 ，点P在直线 上，点Q
为线段 中点，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
的
10. 如图，在棱长为2 正方体 中，M，N，P分别是 ， ， 的中点，Q
是线段 上的动点（不包含端点），给出下列三个命题：
①对任意点Q，都有 ；
②存在点Q，使得 平面 ；
③过点Q且与 垂直的平面截正方体 所得截面面积的最大值为 ．
其中正确的命题个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若 ，则 ___________.
12. 如图，角 以 为始边，它的终边与单位圆 相交于点 ，且点 的横坐标为 ，则 的
值为______
13. 设 ， ， ，则 ______．
14. 已知双曲线 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，
B，C，D使得四边形 为正方形，则m的一个取值为______．
15. 高斯取整函数 的函数值表示不超过x的最大整数，例如， ， ．有如下
四个结论：
①若 ，则 ；
②函数 与函数 无公共点；
③ ；
④所有满足 的点 组成区域的面积为 ．其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 （其中 ， ， ）．从条件①、条件②、条件③这三
个条件中选出两个作为已知，使得函数 唯一确定．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值．
条件①： ；
条件②： 是 的对称中心；
条件③： 可以由函数 平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．
17. 某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、
女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按 ， ， ， ， 五个分
数段进行分组，统计如下：
成绩
男生人数 3 6 11 8 2
女生人数 a b 12 4 2
（1）在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2
人分数段不同的概率；
的
（2）从该市参赛 男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的
分布列和数学期望；
（3）试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明）18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ， ，
， ，N为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）点M在线段 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点M到平面 的距离．
19. 已知椭圆 过点 ，短轴长为4．
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 与 轴的交点为 ， （点 位于点 的上方），直线 与椭圆 交于不同的两点
， ．设直线 与直线 相交于点 ．试问点 是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若
不是，说明理由．
20. 已知函数 ．
（1）若 ，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）证明：函数 在区间 上有且只有一个零点．
（2）若实数 使得 对 恒成立，求 的取值范围．21. 已知有穷数列 ： ， ，…， 经过一次M变换后得到数列 ： ，
，…， ， ．
其中， 表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为 ．
（1）若 ：1，3，2，4，写出数列 并求 ；
（2）若 ： ， ，…， 是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当 时，4，1，3，2可
以为1，2，3，4的一个排列．
（i）当 时，求 的最小值；
（ii）若 经过一次M变换后得到数列 ，求 的最小值．
