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石景山区 2022 年高三统一练习
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得集合 ，结合集合补集的概念及运算，即可求解.
【详解】由题意，集合
又由 ，所以 .
故选：A.
2. 若复数 满足 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：由 ，得 ，再利用复数乘法、除法的运算法则求解即可.
详解：由 ，得 ，故选D .点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意 和
以及 运算的准确性，否则很容易出现
错误.
3. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是(
)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设事件 为“第i次抽到偶数”，i＝1，2，则所求概率为
【详解】设事件 为“第i次抽到偶数”，i＝1，2，
则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为：
.
故选：D.
4. 设 是直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项
B；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判
断选项D；
【详解】对于选项A：若 ， ，则 或 与 相交，故选项A不正确；
对于选项B：若 ， ，则 或 ，故选项B不正确；
对于选项C：若 ， ，则 或 或 与 相交，故选项C不正确；
对于选项D：若 ，由线面平行的性质定理可得过 的平面 ，设 ，则 ，所以 ，
再由面面垂直的判定定理可得 ，故选项D正确；
故选：D
5. 已知圆C： ，过点 的直线l与圆C交于A，B两点，则弦 长度的最小值为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，可得当直线l垂直于过圆心C与定点 的直线 时，弦 长度取得最小值.
【详解】解：由题意，因为 ，所以点 在圆C内，
因为直线l过点 与圆C交于A，B两点，
所以当直线l垂直于 时弦 长度取得最小值，
因为 ，
所以 ，
故选：B.
6. 函数 的图象大致为（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
因此，函数 的图象为选项D中的图象.
故选：D.
7. 在等差数列 中， ，设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 12 B. 99 C. 132 D. 198
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质，以及前 项和公式，即可求解.
【详解】 ， ，
.
故选：C8. 在 中， ，若 ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断 的形状，即可判断选项.
【详解】因为 ，所以 ，
由余弦定理可知 ，
即 ，得 ，
所以 是等边三角形， .
故选：C
9. “ ”是“ 在 上恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】在给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断
【详解】 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
故
“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B10. 设A，B为拋物线C： 上两个不同的点，且直线 过抛物线 的焦点 ，分别以A，B为切点
作抛物线 的切线，两条切线交于点 ．则下列结论：
①点 一定在拋物线 的准线上；
② ；
③ 的面积有最大值无最小值．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由直线与抛物线知识，对结论依次判断
【详解】抛物线焦点 ，可设直线 方程为 ，
联立直线与抛物线方程得 ，有
，
切线 的方程为 ，化简得
同理切线 的方程为
联立解得 ，故①正确
， ，故②正确
对于③，当 时， 有最小值，无最大值，故③错误
故选：C
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由真数大于0和分母不等于0建立不等式组即可求解.
【详解】解：由 ，可得 ，
所以函数 的定义域是 ，
故答案为： .
12. 的展开式中 的系数是______.（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
【详解】由题意，二项式 展开的通项 ，令 ，得 ，
则 的系数是 .
考点：1.二项式定理的展开式应用.
13. 正项数列 满足 ， ．若 ， ，则 的值为_________．
【答案】【解析】
【分析】根据 可知该数列为等比数列，根据 ， 求出其公比和首项即可求 .
【详解】 ， ，
，
是等比数列，设 公比为q，且 ，
由 ， 得， ，
∴ .
故答案为： .
14. 设点 ， 分别为椭圆C： 的左，右焦点，点 是椭圆 上任意一点，若使得
成立的点恰好是4个，则实数 的一个取值可以为_________．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】当 时，说明椭圆上存在4点满足条件.
【详解】当 时， ，则 ,
由椭圆方程可知， ， ， ，因为 ，所以以 为直径的圆与椭圆有4个交点，使
得 成立的点恰好有4个，所以实数 的一个取值可以为0.故答案为：0（答案不唯一）
15. 已知非空集合A，B满足： ， ，函数 对于下列结论：
①不存在非空集合对 ，使得 为偶函数；
②存在唯一非空集合对 ，使得 为奇函数；
③存在无穷多非空集合对 ，使得方程 无解．
其中正确结论的序号为_________．
【答案】①③
【解析】
【分析】通过求解 可以得到在集合A，B含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在
能取到相同函数值的不同元素，所以即使当 与 都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的
情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程 判
断③是否正确
【详解】①若 ， ，则 ， ，
若 ， ，则 ， ，
若 ， ，则 ， ，
若 ， ，则 ， ，
综上不存在非空集合对 ，使得 为偶函数
②若 ，则 或 ，当 ， 时， 满足当 时 ，所
以 可统一为 ，此时 为奇函数
当 ， 时， 满足当 时 ，所以 可统一为，此时 为奇函数
所以存在非空集合对 ，使得 为奇函数，且不唯一
③ 解的 ， 解的 ，当非空集合对 满足 且 ，则方程无解，又
因为 ， ，所以存在无穷多非空集合对 ，使得方程 无解
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理
①通过对 所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对 使得函数 为偶函数
②观察可以发现 为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式 归并到 当中，使得
成为奇函数
③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程.
16. 已知函数 只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数 的最大值为2；
②函数 的图象可由 的图象平移得到；
③函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出 的解析式；
（2）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，求 面积的最大
值．
【答案】（1）满足①③，（2）
【解析】
【分析】（1）分析条件中的矛盾之处，判断后求解
（2）先求出 的值，再由余弦定理与面积公式，利用基本不等式求最值
【小问1详解】
（1）分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③，
由③知 ，则
故
【小问2详解】
，由 ，由余弦定理得 ，当且仅当 时等号成立
又 ，故面积最大值 为
17. 某学校高一 、高二 、高三三个年级共有 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层
抽样获得了 名教师一周的备课时间 ，数据如下表（单位 ：小时）：
高一年级
高二年级
高三年级
（1）试估计该校高三年级的教师人数 ；
（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲 ，高二年级选出
的人记为乙 ，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 ；
（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是 （单位：
小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中的数据平均数记为 ，试
判断 与 的大小. （结论不要求证明）【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
【详解】试题分析：（1）直接根据分层抽样方法，可得高三年级的教师共有 （人）；
（2）根据互斥事件、独立事件的概率公式求解；（3）分别求出三组总平均值 ，
以及新加入的三个数 的平均数为9，比较大小即可.
试题解析：（1）抽出的20位教师中，来自高三年级的有8名，
根据分层抽样方法，高三年级的教师共有 （人）
（2）设事件为 “甲是现有样本中高一年级中的第 个教师”， ，
事件 “乙是现有样本中高二年级中的第 个教师”， ，
由题意知： ， ，
设事件 为“该周甲的备课时间比乙的备课时间长”，由题意知，
所以
故 ；
（3） ， ，三组总平均值 ，
新加入的三个数 的平均数为9，比 小，
故拉低了平均值，∴ ．
18. 如图1，在平面四边形 中， ， ， ， ．将
沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示．
（1）设平面 与平面 的交线为 ，求证： ；
（2）在线段 上是否存在一点 （点 不与端点重合），使得二面角 的余弦值为 ，请
说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在点 为 的中点时，使得二面角 的余弦值为 ，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）延长 相交于点 ，连接 ，得到 为平面 与平面 的交线 ，结合线面
垂直的判定定理，证得 平面 ，得到 平面 ，进而证得 .
（2）以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系，求得平面 和平面 的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可求解.
【小问1详解】
证明：延长 相交于点 ，连接 ，则 为平面 与平面 的交线 .
证明如下：
由平面 平面 ， ， 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ，
又由 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 .
【小问2详解】
解：由（1）知： ，
以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得 ，则 ，
设 其中 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
又由 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
则 ，解得 ，所以存在点 为 的中点时，使得二面角 的余弦值为 .
19. 设函数 ．
（1）若 ，
①求曲线 在点 处的切线方程；
②当 时，求证： ．
（2）若函数 在区间 上存在唯一零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）① ；②证明见解；
（2） .
【解析】
【分析】（1）①当 时，求得 ，得到 ，进而求得曲线在点
处的切线方程；
②令 ，利用导数求得 在 单调递减，得到 ，即可求解；
（2）求得 ，令 ，分 和 两种情况，结合和单调性，求得 ，设 使得 ，利用函数的单调性，得到 ，
即可求解.
【小问1详解】
解：①当 时， ，可得 ，
则 ，
可得曲线 在点 处的切线方程 ，即 .
②令 ，
则 ，
当 ，可得 ， 在 单调递减，
又因为 ，所以 ，即 ，即 ，
即当 时， ．
【小问2详解】
解：由函数 ，可得 ，
令 ，
当 时， ，即 ， 在区间 上单调递增，
因为 ，所以 ，
所以函数 在区间 上没有零点，不符合题意；
当 时，函数 的图象开口向上，且对称轴为 ，
由 ，解得 ，当 时， 在区间 上恒成立，
即 ， 在区间 上单调递减，
因为 ，所以 ，
所以函数 在区间 上没有零点，不符合题意；
综上可得 ，
设 使得 ，
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增，
因为 ，要使得函数 在区间 上存在唯一零点，
则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
20. 已知椭圆C： 的短轴长等于 ，离心率 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过右焦点 作斜率为 的直线 ，与椭圆 交于A，B两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，
判断 是否为定值，请说明理由．
【答案】（1）（2）定值为 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出 的方程组，求得 的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程组得到 ，进而求得
，得出中垂线的方程，求得 ，再由弦长公式求得 ，
即可求解.
【小问1详解】
解：由椭圆C： 的短轴长等于 ，离心率 ．
可得 ，解得 ，所以椭圆的方程为 .
【小问2详解】
解：由椭圆的方程 ，可得右焦点 ，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，
所以 ，则 ，即 ，
则中垂线 的方程为 ，令 ，可得 ，所以 ，
又由
，
所以 （定值）.
21. 若数列 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称 为“等比源数列”．
（1）已知数列 为4，3，2，1，数列 为1，2，6，24，分别判断 ， 是否为“等比源数列”，
并说明理由；
（2）已知数列 的通项公式为 ，判断 是否为“等比源数列”，并说明理由；
（3）已知数列 为单调递增的等差数列，且 ， ，求证 为“等比源数列”．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中定义判断
（2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解
（3）假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解
【小问1详解】
是“等比源数列”， 不是“等比源数列”．
中“ ”构成等比数列，所以 是“等比源数列”；
中“ ”，“ ”，“ ”，“ ”均不能构成等比数列，所以 不是“等
比源数列”．
【小问2详解】不是“等比源数列”．
假设 是“等比源数列”，因为 是单调递增数列，即 中存在的 （ ）三项
成等比数列，也就是 ，即 ，
，两边时除以 得 ，
等式左边 为偶数，
等式右边 为奇数．
所以数列 中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得 不是“等比源数列”．
【小问3详解】
证明：因为等差数列 单调递增，所以 ．
因为 则 ，且 ，所以数列 中必有一项 ．
为了使得 为“等比源数列”，只需要 中存在第 项，第 项（ ），
使得 成立，即 ，
即 成立．
当 ， 时，上式成立．所以 中存在 成等比数列．所以，数列
为“等比源数列”．
