文档文本内容
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
一元二次方程：
填空：
1．一元二次方程x2﹣3x=4 中，b2﹣4ac= ．
2．一元二次方程x（x﹣1）=0 的解是 ．
3．若x=2是关于
x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为 ．
4．如果二次三项式x2﹣6x+m2是一个完全平方式，那么m的值为 ．
5．若关于
x 的方程x2﹣2x﹣m=0 有两个实数根，则m 的取值范围
是 ．
6．已知a、b 是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0 的两个实数根，则代数式（a﹣b）
（a+b﹣2）+ab 的值等于
．
7．某城市2013 年年底绿地面积有200 万平方米，计划经过两年达到242 万平
方米，则平均每年的增长率为 ．
8．一块正方形钢板上截去3cm 宽的长方形钢条，剩下的面积是54cm2，则原
来这块钢板的面积是
块钢板的面积是 cm2．
9．用配方法解方程2x2+4x+1=0 时，原方程应变形为 ．
10．用公式法解方程x2=﹣8x﹣15，其中b2﹣
4ac= ．x1= ，x2= ．
11．已知于
x 的方程3x2﹣5x+k=0 的一个根是﹣1，则另一个根为 ，
k 的值为 ．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
12．写出以﹣1，2 为根的一元二次方程 ．
13．用一根长24cm 的铁丝围成一个斜边长是10cm 的直角三角形，则两直角
边长分别为 ．
14．若n（n≠0）是关于
x 的方程x2+mx+2n=0 的根，则m+n 的值
为 ．
15．已知一元二次方程x2+px+3=0 的一个根为﹣3，则p= ．
16．若x=1 是一元二次方程x2+x+c=0 的一个解，则c2= ．
17．已知x=1 是关于
x 的一元二次方程2x2+kx﹣1=0 的一个根，则实数k 的
值是 ．
18．已知关于
x 的方程x2﹣5x+m=0 的一个根是1，则m 的值是 ．
19．已知x=1 是方程ax2+x﹣2=0 的一个根，则a= ．
20．已知x=﹣1 是关于
x 的方程2x2+ax﹣a2=0 的一个根，则a= ．
21．若x=0 是方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0 的解，则m= ．
22．关于
x 的两个方程x2﹣x﹣2=0 与
有一个解相同，则
a= ．
23．已知x 是一元二次方程x2+3x﹣1=0 的实数根，那么代数式
的值为 ．
24．已知关于
x 的方程2x2﹣kx+1=0 的一根为x=1，则k 的值为 ．
25．已知x=﹣1 是方程x2+mx+1=0 的一个根，则m= ．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
26．已知a≠0，a≠b，x=1 是方程ax2+bx﹣10=0 的一个解，则
的值
是 ．
27．若关于
x 的方程x2+mx﹣6=0 有一个根是2，则m 的值为 ．
28．若x=1 是一元二次方程ax2+bx﹣2=0 的根，则a+b= ．
29．如果﹣4 是关于
x 的一元二次方程2x2+7x﹣k=0 的一个根，则k 的值
为 ．
30．一元二次方程2x2﹣6=0 的解为 ．
31．方程x2+1=2 的解是 ．
32．方程（x﹣1）2=4 的解为 ．
33．一元二次方程x2=16 的解是 ．
34．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：
则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）
☆x=13 的解为x= ．
35．将4 个数a，b，c，d 排成2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成
，定
义
=ad﹣bc，上述记号就叫做2 阶行列式．若
=6，则
x= ．
36．方程x2﹣2=0 的解为 ．
37．用配方法解方程x2﹣4x=5 时，方程的两边同时加上 ，使得方
程左边配成一个完全平方式．
38．二次三项式x2﹣4x﹣1 写成a（x+m）2+n 的形式为 ．
39．若代数式x2﹣6x+b 可化为（x﹣a）2﹣1，则b﹣a 的值是 ．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
40．方程x2+x﹣1=0 的根是（ ）
41．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则
相等的实数根，则b2﹣4ac
满足的条件是（ ）
42．关于
x 的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0 有实数根，则a 满足（ ）
43．关于
x 的一元二次方程x2﹣6x+2k=0 有两个不相等的实数根，则实数
相等的实数根，则实数k 的
取值范围是（ ）
44．关于
x 的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0 有实数根，则整数a 的最大值是（ ）
45．关于
x 的方程ax2﹣（a+2）x+2=0 只有一解（相同解算一解），则a 的值
为（ ）
46．若关于
x 的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0 无实数根，则一次函数y=（n+1）
x﹣n 的图象不经过
经过第（象限）
47．若关于
x 的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则
相等的实数根，则k 的
取值范围是（ ）
48．已知a，b，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0
的根的情况是（ ）
49．关于
x 的一元二次方程x2﹣mx+（m﹣2）=0 的根的情况是（ ）
50．已知（m﹣1）x2+2mx+（m﹣1）=0 有两个不相等的实数根，则
相等的实数根，则m 的取
值范围是（ ）
51．如果关于
x 的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0 有两个不相等的实数
相等的实数
根，那么k 的取值范围是（ ）
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
52．已知关于
x 的一元二次方程x2﹣m=2x 有两个不相等的实数根，则
相等的实数根，则m 的取
值范围是（ ）
53．已知关于
x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0 有两个不相等
相等
的实数根，则m 的取值范围是（ ）
54．若关于
x 的一元二次方程x2﹣2x+m=0 没有实数根，则实数m 的取值是
（ ）
55．一元二次方程x2﹣5x+6=0 的两根分别是x1，x2，则x1+x2 等于（
（ ）
56．已知x=0 是方程x2+2x+a=0 的一个根，则方程的另一个根为（ ）
q 的值分别是（ ）
57．如果关于
x 的一元二次方程x2+px+q=0 的两根分别为x1=2，x2=1，那么
p，
58．已知方程x2﹣5x+2=0 的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（ ）
59．一元二次方程x2+x﹣2=0 的两根之积是（
积是（ ）
60．设a，b 是方程x2+x﹣2009=0 的两个实数根，则a2+2a+b 的值为（ ）
61．已知关于
x 的一元二次方程x2﹣6x+k+1=0 的两个实数根是x1，x2，且
x12+x22=24，则k 的值是（ ）
62．若方程x2﹣3x﹣1=0 的两根为x1，x2，则
的值为（ ）
63．设x1，x2 是关于
x 的一元二次方程x2+x+n﹣2=mx 的两个实数根，且
x1
＜0，x2﹣3x1＜0，则m 和n 的取值范围分别是
64．已知a，b 是关于
x 的一元二次方程x2+nx﹣1=0 的两实数根，则式子
的值是（ ）
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
65．若x1，x2 是方程x2﹣2x﹣4=0 的两个不相等的实数根，则代数式
相等的实数根，则代数式2x12﹣
2x1+x22+3 的值是（ ）
66．已知a，b 为一元二次方程x2+2x﹣9=0 的两个根，那么a2+a﹣b 的值为
（ ）
67．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（ ）
68．解方程
= ．如果有一个实根，用这个根和它的相反数为二根作
个根和它的相反数为二根作
一个一元二次方程；如果有两个实根，分别用这两个实根的倒数为根作一个一元
两个实根的倒数为根作一个一元
二次方程．
69．
．
70．解方程：
．
解答：
1．解方程：
（1）x2﹣6x﹣16=0
（2）x2+4x﹣1=0．
2．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长
与宽之比为
比为2：1 在温室内，
沿前侧内墙保留3m 宽的空地．其他三侧内墙各保留2m 宽的通道．当矩形温室
的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是
宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是275m2？
3．如图，在△ABC 中．∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P 从点A 开始沿AB
边向点B 以1cm/s 的速度
移动，点
，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的
速度
移动．
．
（1）如果点P、Q 分别从A、B 同时出发，那么几秒后△PBQ 的面积等于
4cm2？
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
（2）在（1）中△PBQ 的面积能否等于
7？请说明理由．
4．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克
40 元，按每千克
60 元出售，平
均每天可售出100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低
，后来经过市场调查发现，单价每降低2 元，则平均每
天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每
种核桃要想平均每天获利2240元，
请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客
，赢得市场，该店应
应
按原售价的几折出售？
5．一个广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在
不超过规定面积
定面积A
（m2）的范围内，每张广告收费1 000 元，若超过Am2，则除了要交这
1 000
元的基本广告费以外，超过部分还要按每平方米
要按每平方米50A 元缴费．下表是该公司对
两家用户广告的面积及相应收费情况的记载：
单位
广告的面积（m2）收费金额（元）
烟草公司
6
1400
食品公司
3
1000
红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，它的四周是空白，如果
上、下各空0.25m，左、右各空0.5m，那么空白部分的面积为6m2．已知矩形
材料的长比宽多1m，并且空白部分不收广告费，那么这张广告的费用是多少？
张广告的费用是多少？
6．有﹣块长32cm，宽14cm 的矩形铁皮．
（1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底
面积为280cm2 的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．
（2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生
需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生
设计了如图2 的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影
部分为正方形，问能否折出底面积为180 的有盖盒子？如果能，请求出盒于的
的
体积；如果不能，请说明理由．
能，请说明理由．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
7．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2=（2x+3）2
（2）x2+4x﹣5=0
（3）
（4）4（2x+1）2﹣4（2x+1）+1=0．
8．按指定的方法解方程：
（1）9（x﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣8=0（配方法）
（3）6x2﹣5x﹣2=0（公式法）
（4）（x+1）2=2x+2（因式分解法）
9．已知于
x 的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0．
（1）请选取一个你喜欢的m 的值代入方程，是方程有两个不相等的实数根，并
说明它的正确性．
（2）设x1，x2 是（1）中所得方程的两个根，求
的值．
10．若α 是方程x2+x﹣1=0 的根，求代数式2000α3+4000α2 的值．
11．如图是一块长方形的土地，长50m，宽48m，由南到北，由东到西各修筑
一条同样宽度的彩石路，要使空地的面积是2208m2，求小路的宽．
12．一条长为12cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的
面积和等于
5cm2，求这两个正方形的周长分别是多少？
两个正方形的周长分别是多少？
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
13．如图是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图中阴影部分是草坪和
健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其
余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的2 倍．这块休闲场所南北
块休闲场所南北
长18m，东西宽16m．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为
休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为
168m2，请问主干道的宽度为多少米？
14．如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图
格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图
形并解答有关问题．
解答有关问题．
（1）在第n 个图中，第一横行共 块瓷砖，第一竖列共有
块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y 与
（
（1）中的n 的函数；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了
样的矩形地面共用了506 块瓷砖，求此时n 的
值；
（4）黑瓷砖每块4 元，白瓷砖每块3 元，问题（3）中，共花多少元购买瓷砖；
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由．
白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由．
15．教材或资料会
出现这样
样的题目：把方程x2﹣x=2 化为一元二次方程的一般
形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2 所化的一元二次方程的一般形式？
（答案只写序号）
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤
x2
﹣2
x﹣4
=0．
（2）方程x2﹣x=2 化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项
系数，常数项之间具有什么关系？
间具有什么关系？
16．（1）计算：（x+3）2﹣（x﹣1）（x﹣2）
（2）化简：
（3）解方程：x2﹣2x﹣3=0
17．（1）请从三个代数式4x2﹣y2，2xy+y2，4x2+4xy+y2 中，任选两个构造一
选两个构造一
个分式，并化简该分式；
化简该分式；
（2）解方程：（x﹣1）2+2x﹣3=0．
18．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b=a2﹣b2，求方程（4⊕3）
⊕x=24 的解．
19．解方程：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2．
20．解一元二次方程：（x﹣1）2=4．
21．解方程：x（x+8）=16．
22．解方程：x2﹣6x﹣6=0．
23．（1）计算：（﹣1）2÷ +（7﹣3）× ﹣（）0；
（2）计算：[（2x﹣y）（2x+y）+y（y﹣6x）]÷2x；
（3）解方程：x2﹣6x+1=0．
24．解方程：x2+4x+2=0．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
25．观察下列方程及其解的特征：
（1）x+ =2 的解为x1=x2=1；
（2）x+ = 的解为x1=2，x2= ；
（3）x+ =
的解为x1=3，x2= ；
…
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+ =
的解为 ；
（2）请猜想：关于
x 的方程x+ = 的解为x1=a，x2= （a≠0）；
（3）下面以解方程x+ =
为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为5x2﹣26x=﹣5．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
26．用配方法解方程：6x2﹣x﹣12=0．
27．解方程：x2﹣6x﹣2=0．
28．用配方法解方程：2x2+1=3x．
29．解方程：
（1）
；
（2）x2+2x﹣2=0．
30．解方程：x2+4x﹣1=0．
31．用配方法解方程：2x2﹣x﹣1=0．
32．（1）解方程：2x2﹣2x﹣1=0；
（2）先化简后求值：
，其中x=
+2．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
33．（1）解不等式：
等式：
，并将解集表示在数轴上．
将解集表示在数轴上．
（2）解方程：4x2+8x+1=0．
34．用配方法解方程：x2﹣4x+1=0
35．解方程：x2+4x﹣5=0
36．解方程：
．
37．解方程：x3﹣2x2﹣3x=0．
38．已知关于
x 的一元二次方程（k+4）x2+3x+k2+3k﹣4=0 的一个根为0，
求k 的值．
39．已知关于
x 的一元二次2x2﹣（2m2﹣1）x﹣m﹣4=0 有一个实数根为．
（1）求m 的值；
（2）求已知方程所有不同的可能根的平方和．
同的可能根的平方和．
40．解方程
或不等式组；
等式组；
（1）
；
（2）
．
41．解方程：
42．解方程：
43．解方程：
44．解方程：
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
45．已知方程
的解是k，求关于
x 的方程x2+kx=0 的解．
46．解方程：
．
47．解方程：x+ =3
48 . 解方程或方程组．在本题中将给你两种选择，你可以根据自己的学习情况
方程组．在本题中将给你两种选择，你可以根据自己的学习情况
任意选择一道适合于你的试题解答，如果两题都给出解答．阅卷时将不
论对错只
论对错只
选择第一道题的解答评分．
第一题：
第二题：
．
49．解方程：
．
50．解方程：
51．已知x=3 是方程
的一个根，求k 的值和方程其余的根．
52．解方程：
53．解方程：
54．解方程：
．
55．解方程：
．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
56．解方程：
57．解方程：x2﹣
=2x﹣1
58．解分式方程：
59．用换元法解方程：x2+3x﹣
=﹣1．
60．探究下表中的奥秘，并完成填空：
完成填空：
一元二次方程 两个根
二次三项式因式分解
x2﹣2x+1=0
x1=1，x2=1
x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）
x2﹣3x+2=0
x1=1，x2=2
x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）
3x2+x﹣2=0
x1= ，x2=﹣1
3x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）
2x2+5x+2=0 x1=﹣，x2=﹣2
2x2+5x+2=2（x+ ）（x+2）
4x2+13x+3=0
x1= ，
x2=
4x2+13x+3=4（x+ ）
（x+ ）
将你发现的结论一般化，并写出来．
写出来．
61．附加题：（如果你的全卷得分不足
足150 分，则本题的得分将计入总分，但计
入总分后全卷不得超过
得超过150 分）
（1）解方程x（x﹣1）=2．
有学生给出如下解法：
∵x（x﹣1）=2=1×2=（﹣1）×（﹣2），
∴
或
或
或
解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得x=2 或x=﹣1．
∴x=2 或x=﹣1．
请问：这个解法对吗？试说明你的理由．
个解法对吗？试说明你的理由．
（2）在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大．
使用上边的事实，解答下面的问题：
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm）的五根木
根木棒围成一个三角形（允许
连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．
允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．
62．解方程：
63．已知下列n（n 为正整数）个关于
x 的一元二次方程：①x2﹣1=0，②x2+x
﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，…（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0．
（1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）；
（2）请你指出这
n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
64． k 取什么值时，方程组：
有一个实数解
并求出这时方程组的解．
时方程组的解．
65．已知关于
x 的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1=0 有两个不相等的实
相等的实
数根x1，x2．
（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k，使
+
=1 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，
存在，
请说明理由．
66．已知关于
x 的一元二次方程x2+k（x﹣1）﹣1=0
（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；
个方程总有两个实数根；
（2）是否存在正数k，使方程的两个实数根x1，x2 满足x12+kx1+2x1x2=7﹣3
（x1+x2）？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由．
存在，请说明理由．
67．已知关于
x 的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0
（1）当m 取值范围是多少时，方程有两个实数根；
（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个
不相等的实数根，并求出这两个
两个
实数根．
68．己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数
相等的实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
69．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且
x1+3x2=3，求m 的值．
70．关于
x 的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0 有两实数根x1，x2，
（1）求p 的取值范围；
（2）若[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求p 的值．
71．已知关于
x 的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2 的两实数根为x1，x2
（1）求m 的取值范围；
（2）设y=x1+x2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．
求出最小值．
72．已知关于
x 的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k 为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
相等的实数根；
（2）设x1，x2 为方程的两个实数根，且
x1+2x2=14，试求出方程的两个实数根
和k 的值．
73．从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．
题甲：若关于
x 一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0 有实数根a，β．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）设
，求t 的最小值．
题乙：如图所示，在矩形ABCD 中，P 是BC 边上一点，连接DP 并
延长，交
延长，交
AB 的延长线于点
点Q．
（1）若
= ，求
的值；
（2）若点P 为BC 边上的任意一点，求证：
意一点，求证：
﹣
=．
我选做的是 题．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
74．在等腰△ABC 中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于
x 的方程x2+
（b+2）x+6﹣b=0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．
75．已知方程x2﹣4x+m=0 的一个根为﹣2，求方程的另一根及m 的值．
76．已知x1，x2 是方程x2﹣2x+a=0 的两个实数根，且
x1+2x2=3﹣
．
（1）求x1，x2 及a 的值；
（2）求x13﹣3x12+2x1+x2 的值．
77．设x1，x2 是关于
x 的方程x2﹣4x+k+1=0 的两个实数根．试问：是否存在
实数k，使得x1•x2＞x1+x2 成立？请说明理由．
（温馨提示：关于
x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0 时，
则它的两个实数根是：
）
78．已知关于
x 的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1=0 有两个不相等的实数根．
相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于
0？若存在，求出k
的值；若不存在，说明理由．
存在，说明理由．
79．阅读材料：如果x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根，那么有x1+x2=
﹣，x1x2= ．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，
系数的关系，我们利用它可以用来解题，
例x1，x2 是方程x2+6x﹣3=0 的两根，求x12+x22 的值．解法可以这样：
样：∵x1+x2=
﹣6，x1x2=﹣3 则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣6）2﹣2×（﹣3）=42．
请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2 是方程x2﹣4x+2=0 的两根，求：
（1）
的值；
（2）（x1﹣x2）2 的值．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
80．（1）解方程求出两个解x1、x2，并计算两个解的和与积，填人下表
积，填人下表
方程
x1
x2
x1+x2
x1•x2
9x2﹣2=0
2x2﹣3x=0
x2﹣3x+2=0
关于
x 的方程
ax2+bx+c=0
（a、b、c 为常数，
且a≠0，b2﹣4ac≥0）
（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积
与原方程的系数之间的关系有什
间的关系有什
么规律？写出你的结论．
律？写出你的结论．
81．已知x1，x2 是关于
x 的一元二次方程x2﹣6x+k=0 的两个实数根，且
x12x22
﹣x1﹣x2=115．
（1）求k 的值；
（2）求x12+x22+8 的值．
82．已知关于
x 的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0…①
（1）若x=﹣1 是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；
（2）对
于任意实数
意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
说明理由．
83．设x1，x2 是关于
x 的一元二次方程x2+2ax+a2+4a﹣2=0 的两实根，当a
为何值时，x12+x22 有最小值？最小值是多少？
84．（1）解分式方程：
（2）如果﹣1 是一元二次方程x2+bx﹣3=0 的一个根，求它的另一根．
85．阅读并解答：
解答：
①方程x2﹣2x+1=0 的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1．
②方程2x2﹣x﹣2=0 的根是x1=
，x2=
，则有x1+x2= ，x1x2=﹣
1．
③方程3x2+4x﹣7=0 的根是x1=﹣，x2=1，则有x1+x2=﹣，x1x2=﹣．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于
x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2 与
系数
系数a、b、c 有什么关系？请写出你的
猜想并证明你的猜想；
证明你的猜想；
（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：
已知关于
x 的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0 有实数根x1，x2，且
x12+x22=11，
求k 的值．
86．已知x=1 是一元二次方程ax2+bx﹣40=0 的一个解，且
a≠b，求
的
值．
87．设x1、x2 是方程2x2﹣5x﹣6=0 的两根，求
的值．
88．已知a，b 是方程x2+2x﹣1=0 的两个根，求代数式
的值．
89．已知关于
x 的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣2m2+m=0（m 为实数）有
两个实数根x1、x2．
（1）当m 为何值时，x1≠x2；
（2）若x12+x22=2，求m 的值．
90．已知关于
x 的方程x2﹣2（m﹣2）x+m2=0．问是否存在实数m，使方程
的两个实数根的平方和等于
56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
存在，请说明理由．
91．已知：x1，x2是关于
x 的方程x2﹣（m﹣1）x+2m=0 的两根，且满足
满足x12+x22=8，
求m 的值．
92．先阅读，再填空解答：
方程x2﹣3x﹣4=0 的根是：x1=﹣1，x2=4，则x1+x2=3，x1x2=﹣4；
方程3x2+10x+8=0 的根是：x1=﹣2，
，则x1+x2=﹣
，x1x2= ．
（1）方程2x2+x﹣3=0 的根是：x1= ，x2= ，则
x1+x2= ，x1x2= ；
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
（2）若x1，x2 是关于
x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，且
a，b，c 为常
数）的两个实数根，那么x1+x2，x1x2 与
系数
系数a，b，c 的关系是：
x1+x2= ，x1x2= ；
（3）如果x1，x2 是方程x2+x﹣3=0 的两个根，根据（2）所得结论，求x12+x22
的值．
93．设x1、x2 是关于
x 的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m=0（m≠0）的两个根，且满
满
足
+
=﹣，求m 的值．
94．为了营造出“城在林中、道在绿中、房在园中、人在景中”的城市新景象，
市园林局计划在一定时间内完成100 万亩绿化任务．现为配合东部城区大开发
务．现为配合东部城区大开发
的需要，市政府在调研后将原定计划调整为：绿化面积在原计划的基础上增加
在调研后将原定计划调整为：绿化面积在原计划的基础上增加
20%，并且需提前
需提前1 年完成．园林局经测算知，要完成新的计划，平均每年的
绿化面积必须比原计划平均每年多10 万亩．求原计划平均每年的绿化面积．
95．近年来，由于受国际石油市场的影响，
润滑油价格不断上涨．某种润滑油
断上涨．某种润滑油
今年5 月份的价格比去年
的价格比去年5 月份每桶多
每桶多2 元，客户小王用了120 元购买这种润
种润
滑油，比去年5 月份恰好
恰好少买了2 桶，问今年5 月份这种润滑油每桶的价格是
种润滑油每桶的价格是
多少元？
96．我市某县要在2006 年通过自治区“两基”达标验收，县内﹣初级中学有
360 套旧课桌椅需要修理，现有甲、乙两个木工小组都想承接这项修理业务．经
项修理业务．经
商谈知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组多用
批桌椅比乙小组多用10 天；乙小组每天比甲小组多
修理6 套．求甲、乙两小组每天各修理桌椅多少套？
97．甲、乙两地间铁路长2400 千米，经技术改造后，列车实现了提速．提速后
比提速前速度增加20 千米/时，列车从甲地到乙地行驶时间减少4 小时．已知
列车在现有条件下安全行驶的速度不超过
超过140 千米/时．请你用学过的数学知识
说明这条铁路在现有条件下是
否还可以再次提速？
可以再次提速？
98．近年来，由于受国际石油市场的影响
，汽油价格不断上涨，请你根据下面
断上涨，请你根据下面
的信息，帮小明计算今年5 月份汽油的价格．
汽油的价格．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
99． “南友高速公路”开通后，南宁至崇左的路程为120 千米，本市某单位职
工在星期一早上分别乘甲、乙两辆汽车从南宁同时赶往崇左上班，因为甲车每小
时比乙车少走20 千米，所以甲车比乙车晚12 分钟到达崇左，问甲、乙两车平
均每小时各走多少千米？
100．今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，
月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，
规
定若干天内完成．
定若干天内完成．
（1）已知甲组单独完成这
项工程所需时间比规定时间的
定时间的2 倍多4 天，乙组单独
完成这项工程所需时间
比规定时间的
定时间的2 倍少16 天．如果甲、乙两组合做24 天
完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？
定时间内完成？
（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的
项工程的后，工程队又承包了东
段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组
务考虑，你认为抽调哪一组
最好？请说明理由．
101．据报道，徐州至连云港铁路的提速改造工程已于
2005 年4 月20 日全面
开工建设，工程完成后，旅客列车的平均速度比现在提高50 千米/时，运行时间
将缩短38 分钟，徐州站到连
云港之间的行程约为
间的行程约为190 千米，那么提速后旅客列
车的平均速度是多少？
102．去年年底，东南亚地区发生海啸，给当地人民带来了极大的灾难，听到这
个消息，某校初中毕业班中的30 名同学踊跃捐款，支援灾区人民，其中女同学
共捐款150 元，男同学共捐款120 元，男同学比女同学平均每人少捐款2 元，
男、女同学平均每人各捐款多少元？
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
103． A、B 两地的路程是12 千米．甲从A 地出发步行前往B 地，20 分钟后，
乙从B 地出发骑车前往A 地，乙到达A 地后停留了40 分钟，然后按原路以原
来速度骑车返回，结果甲、乙两人同时到达
回，结果甲、乙两人同时到达B 地．如果乙骑车比甲步行每小时
多走8 千米，求甲、乙两人的速度．
104．某中学库存960 套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校现有甲、乙两个木工
贫困山区学校现有甲、乙两个木工
小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲
项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用
批桌凳比乙小组多用
20 天；乙小组每天比甲小组多修8 套；学校每天需付甲小组修理费80 元，付
乙小组120 元．
（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？
（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工
进行质量监督，并由学校负担
由学校负担
他每天10 元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：
．现有以下三种修理方案供选择：①由甲单独修理；②
由乙单独修理；③由甲、乙共同合作修理．你认为哪种方案既省时又省钱？试比
较说明．
105．某车间要加工170 个零件，在加工完90 个以后改进了操作方法，每天多
了操作方法，每天多
加工10 个，一共用了5 天完成了任
务．改进操作方
操作方法后每天加工的零件个数为
个．
106．为了确保我市国家级卫生城市的称号，市里对主要街道的排污水沟进行改
行改
造．其中光明施工队承包了一段要开挖96 米长的排污水沟，开工后每天比原计
划多挖2 米，结果提前4 天完成任务，问原计划每天挖多少米？
务，问原计划每天挖多少米？
107．就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用
1 200 元，后来又有2 名同学参加进来，但总费
用不变，于是每人可少分摊
是每人可少分摊30
元，试求原计划结伴游玩的人数．
108．某校初中三年级270 名师生计划集体外出一日游，乘车往
返，经与客运公
客运公
司联系，他们有座位数
不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比
车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比
中巴车多
车多15 个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用
车和大客车的座位数计算后得知，如果租用
中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且
师生坐完后还多
多30 个座位．
（1）求中巴车和大客车各有多少个座位？
车和大客车各有多少个座位？
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
（2）客运公司为学校这次活动提供的报价是：租
用中巴车每辆往返费用
费用350元，
租用大客车每辆往返费用
费用400 元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种
车，其中大客车比中巴车多
车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，
按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车
大客车
各少多少元？
109．如图，▱ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB 的长是关于
x
的一元二次方程x2﹣7x+12=0 的两个根，且
OA＞OB．
（1）求sin∠ABC 的值；
（2）若E 为x 轴上的点，且
S△AOE=
，求经过D、E 两点的直线的解析式，并
判断△AOE 与△DAO 是否相似？
（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F，使以A、C、
F、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请
存在，请
说明理由．
110．如图，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P 是
AD 上一动点（不与
A、D 重合），PE⊥BP，P 为垂足，PE 交DC 于
点
点E．
（1）△ABP 和△DPE 是否相似？请说明理由；
（2）设AP=x，DE=y，求y 与x 之间的函数关系式，并
指出
指出x 的取值范围；
（3）请你探索在点P 运动的过程中，四边形
的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求
出AP 的长；如果不能，请说明理由；
能，请说明理由；
（4）请你探索在点P 的运动过程中，
过程中，△BPE 能否构成等腰三角形？如果能．求
出AP 的长；如果不能，请说明理由．
能，请说明理由．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
111．在数学活动课时，王倩
同学出了这样一道题：
样一道题：“已知x1、x2 是方程x2﹣
x+1=0 的两个实数根，求x12+x22 的值．”很快，张智同学便给出了如下的解
答：“∵x1+x2=1，x1•x2=1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣1．”
（1）你对王倩同学出的这道题及张智同学
给出的解答是否有不同的看法？若有，
同的看法？若有，
请写出你的见解；
（2）写出一个你喜欢的一元二次方程，并求出
求出
的值．
112．已知：关于
x 的方程x2+4x+a=0 有两个实数根x1、x2，且
2x1﹣x2=7，
求实数a 的值．
113．已知关于
x 的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0．
求证：不论
论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
相等的实数根．
114．已知x1、x2 是一元二次方程2x2﹣2x+1﹣3m=0 的两个实数根，且
x1、
x2 满足不等式
等式x1•x2+2（x1+x2）＞0，求实数m 的取值范围．
115．已知x1，x2 是方程x2﹣2x﹣2=0 的两实数根，不解方程求下列各式的值：
解方程求下列各式的值：
（1）
；
（2）
．
116．已知x1、x2 是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0 的两个实根．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）如果m 满足不等式
等式7+4x1x2＞x12+x22，且
m 为整数．求m 的值．
117．已知关于
x 的一元二次方程2x2+4x+m=0
（1）x=1 是方程的一个根，求方程的另一个根；
（2）若x1，x2 是方程的两个不同的实数根，且
x1 和x2 满足x12+x22+2x1x2﹣
x12x22=0，求m 的值．
118．解方程：
．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
119．已知a、b、c 分别是△ABC 的三边，其中a=1，c=4，且关于
x 的方程x2
﹣4x+b=0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．
120．已知：△ABC 的两边AB、AC 的长是关于
x 的一元二次方程x2﹣（2k+3）
x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边BC 的长为5．试问：k 取何值时，△ABC
是以BC 为斜边的直角三角形？
121．如图，在直角坐标系xOy 中，Rt△OAB 和Rt△OCD 的直角顶点A，C 始
终在x 轴的正半轴上，B，D 在第一象限内，点B 在直线OD 上方，OC=CD，
OD=2，M 为OD 的中点，AB 与OD 相交于
E，当点B 位置变化时，Rt△OAB
的面积恒为．
试解决下列问题：
（1）点D 坐标为（ ）；
（2）设点B 横坐标为t，请把BD 长表示成关于
t 的函数关系式，并化简；
化简；
（3）等式BO=BD 能否成立？为什么？
（4）设CM 与AB 相交于
F，当△BDE 为直角三角形时，判断四边形BDCF 的
形状，并证明你的结论．
证明你的结论．
122．如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD 恰好落在AC 上．设
F，H 分别是B，D 落在AC 上的两点，E，G 分别是折痕CE，AG 与AB，CD
的交点．
（1）求证：四边形AECG 是平行四边形；
（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF 的长．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
123．下面方格中是美丽可爱的小金鱼，在方格中分别画出原图形向右平
移五个
个
格和把原图形以点A 为旋转中心顺时针方向旋转90°得到的小金鱼（只要求画出
平移、旋转后的图形，不要求写出作图步骤和过程）．
要求写出作图步骤和过程）．
若每个小方格的边长均为1cm，则小金鱼所占的面积为 cm2．（直
接写出结果）
已知关于
x 的方程kx2+2（k+1）x+（k﹣1）=0
（1）若此方程有两个实数根（包括重根的情况），求k 的取值范围；
（2）k 为何值时，此方程的两根
之和等于两根之积．
积．
124．本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题
计分．
甲题：关于
x 的一元二次方程x2+（2k﹣3）x+k2=0 有两个不相等的实数根
相等的实数根α、
β．
（1）求k 的取值范围；
（2）若α+β+αβ=6，求（α﹣β）2+3αβ﹣5 的值．
乙题：如图，在正方形ABCD 中，E、F 分别是边AD、CD 上的点，AE=ED，
DF= DC，连接EF 并
延长交
延长交BC 的延长线于点
点G
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG 的长．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
125．已知，如图，AD 为Rt△ABC 斜边BC 上的高，点E 为DA 延长线上一点，
连接BE，过点C 作CF⊥BE 于
点
点F，交AB、AD 于M、N 两点．
（1）若线段AM、AN 的长是关于
x 的一元二次方程x2﹣2mx+n2﹣mn+ m2=0
的两个实数根，求证：AM=AN；
（2）若AN=
，DN= ，求DE 的长；
（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段
线段BF 与EF 的长是关于
y 的一元二次方程5y2﹣16ky+10k2+5=0 的两个实数根，求BC 的长．
126．某种产品的年产量不超过
超过1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）
费用（万元）
之
间的函数关系如图（
间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间
间
的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，
当年可获得7500 万元毛利润？
（毛利润
利润=销售额﹣费用）
127．某批发商以每件50 元的价格购进
800 件T 恤，第一个月以单价80 元销
售，售出了200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出
变，预计仍可售出200 件，批发商为
增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1 元，可多售出10 件，
但最低单价应高
于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的
的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性
清仓销售，清仓时单价为
时单价为40 元，设第二个月单价降低x 元．
（1）填表：（不需化简）
需化简）
时间
第一个月第二个月清仓时
时
单价（元）
80
40
销售量（件）200
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
（2）如果批发商希望通过销售这批
批T 恤获利9000 元，那么第二个月的单价应
是多少元？
128．如图，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点
点P、
Q 分别从点A、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动
，一直到达
，一直到达B 为
止，点Q 以2 cm/s 的速度向D 移动
．
．
（1）P、Q 两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ 的面积为33cm2；
（2）P、Q 两点从出发开始到几秒时？点P 和点Q 的距离是10cm．
129．如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从A、B、C、
D 出发沿AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所
，当有一个点先到达所
在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若
即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），
则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x 为何值时，以PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC）的一部分
为第三边构成一个三角形；
（2）当x 为何值时，以P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P、Q、M、N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；
如果不能，请说明理由．
能，请说明理由．
130．如图1 的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角
均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．
去的宽度．
一元二次方程200 题（含解析）---朱韬老师共享
（1）如图2，《思维游戏》这本书的长为
本书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，现有
一张面积为875cm2 的矩形纸包好了这本书，展开后如图
本书，展开后如图1 所示．求折叠进去的
去的
宽度；
（2）若有一张长为60cm，宽为50cm 的矩形包书纸，包2 本如图2 中的书，
书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图
包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1 所示．问折叠进去的宽
去的宽
度最大是多少？
一元二次方程200 题（含解析）---解析
解析：
填空：
1．解：方程化为x2﹣3x﹣4=0，
所以△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）=25．故答案为
答案为25．
2．解：x（x﹣1）=0，
x=0，x﹣1=0，
x1=0，x2=1，故答案为：
答案为：x1=0，x2=1．
3．解：把x=2 代入方程x2﹣x﹣a2+5=0 得：4﹣2﹣a2+5=0，
解得：a=±
．故答案为：
答案为：±
．
4．解：据题意得，m2=9，∴m=±3．
5．解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，解得m≥﹣1．
故
答案为
答案为m≥﹣1．
6．解：∵a、b 是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0 的两个实数根，
∴ab=﹣1，a+b=2，
∴（a﹣b）（a+b﹣2）+ab=（a﹣b）（2﹣2）+ab，
=0+ab，=﹣1，故答案为：﹣
答案为：﹣1．
7．解：设每年绿地面积平均每年的增长率为x，由题意得：
200（1+x）2=242，
解得：x1=10%，x2=﹣210%（舍去）．
答：每年绿地面积平均每年的增长率为10%．故答案为：
答案为：10%．
8．解：设正方形的边长为x，根据题意得：x2﹣3x=54，
解得x=9 或
﹣
﹣6（不合题意，舍去）．故这块钢板的面积是
块钢板的面积是x2=9×9=81cm2．
9．解：∵2x2+4x+1=0，∴2x2+4x=﹣1，∴x2+2x=﹣，
∴x2+2x+1=﹣+1，∴（x+1）2= ，故答案为（
答案为（x+1）2= ．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
10．解：x2=﹣8x﹣15，x2+8x+15=0，
b2﹣4ac=82﹣4×1×15=4，
x=
，x1=﹣3，x2=﹣5，故答案为：
答案为：4，﹣3，﹣5．
11．解：设方程另一个根为x1，
根据题意得x1+（﹣1）=﹣
，解得x1=
而x1•（﹣1）= ，
所以×（﹣1）= ，解得k=﹣8．故答案为
答案为，﹣8．
12．解：∵﹣1+2=1，（﹣1）×2=﹣2，
∴以﹣1，2 为根的一元二次方程可以是x2﹣x﹣2=0（答案不唯一）．
唯一）．
故
答案为：
答案为：x2﹣x﹣2=0（答案不唯一）．
唯一）．
13．解：设一直角边长为xcm，根据勾股定理得
（14﹣x）2+x2=102 解之得，
得，x1=6，x2=8 答：两直角边长分别为6cm，8cm．
14．解：把n 代入方程得到n2+mn+2n=0，
将其变形为n（m+n+2）=0，因为n≠0 所以解得m+n=﹣2．
15．解：把x=﹣3 代入方程可得：（﹣3）2﹣3p+3=0，解得p=4
16．解：根据一元二次方程的解得定义，把x=1 代入方程x2+x+c=0得到2+c=0，
解得c=﹣2，则c2=22=4，若x=1 是一元二次方程x2+x+c=0 的一个解，则c2=4．
故
本题答案为则
本题答案为则c2=4．
17．解：把x=1 代入方程得：2+k﹣1=0，解方程得k=﹣1．故答案为：
答案为：1
18．解：把x=1 代入方程可得：1﹣5+m=0，解得m=4．
19．解：根据题意得：a+1﹣2=0 解得a=1
20．解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0 解得a=﹣2 或1．故答案为：﹣
答案为：﹣2 或1．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
21．解：把x=0 代入方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0，
可得m2+2m﹣8=0，解得m=2 或
﹣
﹣4，
当m=2 时，方程为3x=0，
当m=﹣4 时，方程为﹣6x2+3x=0，满足条件，故答案为：
答案为：2 或
﹣
﹣4．
22．解：解方程x2﹣x﹣2=0 得：x=2 或
﹣
﹣1；
把x=2 或
﹣
﹣1 分别代入方程
，
当x=2 时x﹣2=0，方程不成立；
成立；
当x=﹣1 时，得到
，解得a=﹣5．
23．解：∵x 是一元二次方程x2+3x﹣1=0 的实数根，
∴x2+3x=1，
∴
=
÷
=
•
=
= ．
24．解：把x=1 代入方程2x2﹣kx+1=0，
得2﹣k+1=0，即k=3．
25．解：把x=﹣1 代入方程可得：1﹣m+1=0，解得m=2．故填
填2．
26．解：
=
=
，
将x=1 代入方程ax2+bx﹣10=0 中可得a+b﹣10=0，
解得a+b=10 则
=5，
27．解：把x=2 代入方程可以得到：4+2m﹣6=0，解得：m=1
一元二次方程200 题（含解析）---解析
28．解：把x=1 代入方程ax2+bx﹣2=0，可得：a+b﹣2=0，解得：a+b=2．
29．解：把x=﹣4 代入方程可得：32﹣28﹣k=0，解得k=4．
30．解：2x2﹣6=0，2x2=6，x2=3，x=±
．
31．解：移项，得
项，得x2=2﹣1，合并，得
，得x2=1，开方，得x=±1．
32．解：（x﹣1）2=4，即x﹣1=±2，所以x1=3，x2=﹣1．
33．解：开方得x=±4，即x1=4，x2=﹣4．
34．解：其规则为：
则为：a☆b=a2﹣b2，
则方程（4☆3）☆x=13 解的步骤为：
（42﹣32）☆x=13，
7☆x=13，49﹣x2=13，x2=36，∴x=±6．
35．解：定义
=ad﹣bc，
若
=6，∴（x+1）2+（x﹣1）2=6，化简得x2=2，即x=±
．
36．解：移项得：
项得：x2=2，开方得：x=±
．
37．解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，
∴用配方法解方程x2﹣4x=5 时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一
个完全平方式．
38．解：原式=x2﹣4x+4﹣5=（x﹣2）2﹣5．
39．解：x2﹣6x+b=x2﹣6x+9﹣9+b=（x﹣3）2+b﹣9=（x﹣a）2﹣1，
∴a=3，b﹣9=﹣1，即a=3，b=8，故
b﹣a=5．
故
答案为：
答案为：5．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
40．解：a=1，b=1，c=﹣1，
b2﹣4ac=1+4=5＞0，x=
；
41．解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0．
42．解：分类讨论：
①当a﹣5=0 即a=5 时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；
②当a﹣5≠0 即a≠5 时，
∵关于
x 的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0 有实数根
∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a 的取值范围为a≥1．
43．解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，即（﹣6）2﹣4×2k＞0，解得k＜。
44．解：当a﹣6=0，即a=6 时，方程是﹣8x+6=0，解得x= = ；
当a﹣6≠0，即a≠6 时，△=（﹣8）2﹣4（a﹣6）×6=208﹣24a≥0，解上式，
得a≤
≈8.6，取最大整数，即a=8。
45．解：当a≠0 时，方程ax2﹣（a+2）x+2=0 为一元二次方程，若方程有相
等的两解，
则△=[﹣（a+2）]2﹣4×a×2=0，
整理得a2﹣4a+4=0，
即△=（a﹣2）2=0，
解得a=2；
当a=0 时，方程ax2﹣（a+2）x+2=0 为一元一次方程，
原方程转化为：﹣2x+2=0，
此时方程只有一个解x=1．
所以当a=0 或a=2 关于
x 的方程ax2﹣（a+2）x+2=0 只有一解．
46．解：一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0 无实数根，说明△=b2﹣4ac＜0，即（﹣
2）2﹣4×n×（﹣1）＜0，
一元二次方程200 题（含解析）---解析
解得n＜﹣1，所以n+1＜0，﹣n＞0，故一次函数
一次函数y=（n+1）x﹣n 的图象不
经过第三象限．
47．解：因为方程kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，
相等的实数根，
则b2﹣4ac＞0，即（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1．又结合一元二次方程可知k≠0，
48．解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），
根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．
∴△＜0．∴该方程没有实数根．
49．解：△=b2﹣4ac=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
相等的实数根．
50．解：∵a=m﹣1，b=2m，c=m﹣1，且方程有两个不相等的实数根，
相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m﹣1）（m﹣1）=8m﹣4＞0，∴m＞．
又∵二次项系数不为
为0，∴m≠1，∴m＞且m≠1．
51．解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
相等的实数根，
所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，∴k＞
且k≠0．
52．解：∵关于
x 的一元二次方程x2﹣m=2x 有两个不相等的实数根，
相等的实数根，
∴△=4+4m＞0，即m＞﹣1．
53．解：根据题意列出方程组
，
解之得
得m＞且m≠2．
54．解：由题意知，△=4﹣4m＜0，∴m＞1
55．解：∵一元二次方程x2﹣5x+6=0 的两根分别是x1，x2，∴x1+x2=﹣=5；
一元二次方程200 题（含解析）---解析
56．解：设方程的另一个根为x，依题意得0+x=﹣2，解之得
得x=﹣2．
57．解：由题意，得：x1+x2=﹣p，x1x2=q；
∴p=﹣（x1+x2）=﹣3，q=x1x2=2；
58．解：根据题意可得x1+x2=﹣=5，x1x2= =2，
∴x1+x2﹣x1•x2=5﹣2=3．
59．解：根据题意有两根之积
积x1x2= =﹣2．
60．解：∵a 是方程x2+x﹣2009=0 的根，∴a2+a=2009；
由根与系数的关系得：
系数的关系得：a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009﹣1=2008．
61．解：由根与系数的关系可知：
系数的关系可知：x1+x2=﹣=6，
x1•x2= =k+1，
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=36﹣2（k+1）=24，解之得
得k=5．
62．解：由根与系数的关系得：
系数的关系得：x1+x2=﹣=3，x1•x2= =﹣1．
∴
=
=﹣3．
63．解：∵x2﹣3x1＜0，∴x2＜3x1，
∵x1＜0，∴x2＜0．
∵x1，x2 是关于
x 的一元二次方程x2+x+n﹣2=mx，即x2+（1﹣m）x+n﹣2=0
的两个实数根，∴x1+x2=m﹣1，x1x2=n﹣2，
∴m﹣1＜0，n﹣2＞0，解得：
．
64．解：由题意知，
a+b=﹣n，ab=﹣1，∴
=
=
=﹣n2﹣2．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
65．解：∵x1，x2 是方程x2﹣2x﹣4=0 的两个不相等的实数根．
相等的实数根．
∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．
∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3
=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．
66．解：∵a，b 为一元二次方程x2+2x﹣9=0 的两个根，
∴a2+2a﹣9=0，a+b=﹣2，
∴a2+a﹣b=（a2+2a﹣9）﹣（a+b）+9=11．
67．解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），
而a=1，
∴b2﹣b﹣1=0，∴b=
，而b 不
能为负，
能为负，∴b=
．
68．解：设y=
，则原方程可变形为：y+ = ，即2y2﹣5y+2=0，
解得：y1=2，y2= ，
当y=2 时，
=2，
解得：x=3，
当y= 时，
= ，
解得：x=﹣12
经检验x=3，x=﹣12 均为原方程的根，
则所求的一元二次方程为：z2﹣（
）z+ ×（﹣
）=0，
即z2﹣z﹣
=0．
69．解：
由①得x﹣y=0，x﹣3y=0
（1），
（2）
解方程组（1）得：
，
；
一元二次方程200 题（含解析）---解析
解方程组 （2）得：
，
．
∴方程组的解是：
，
，
，
．
70．解：∵
，
∴x2+7=1﹣2
x+2x2，
∴x2﹣2
x﹣6=0，
x=
±2
，
∴x1=
2
=3
；x2=
﹣2
=﹣
，
经检验，x=3
是增根，∴原方程的解为﹣
．
解答：
1．解：（1）x2﹣6x﹣16=0，
（x﹣8）（x+2）=0，x﹣8=0，x+2=0，x1=8，x2=﹣2；
（2）x2+4x﹣1=0，
b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣1）=20，
x=
，x1=﹣2+
，x2=﹣2﹣
．
2．解：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣4）•（2x﹣5）=275，
解得：x1=﹣8.5（不合题意，舍去），
合题意，舍去），x2=15，
所以x=15，2x=2×15=30．
答：当矩形温室的长为30m，宽为15m 时，蔬菜种植区域的面积是275m2．
3．解：（1）设x 秒后△PBQ 的面积等于
4cm2，
则BQ=2x，BP=5﹣x，
根据题意得出：×2x×（5﹣x）=4，
一元二次方程200 题（含解析）---解析
解得：x1=1，x2=4（不合题意舍去），答：
合题意舍去），答：1 秒后△PBQ 的面积等于
4cm2；
（2）不能，
能，
由题意可得出：×2x×（5﹣x）=7，
整理得出：x2﹣5x+7=0，
b2﹣4ac=25﹣4×7=﹣3＜0，
∴此方程无实数根，则△PBQ 的面积不能等于
7．
4．（1）解：设每千克核桃应降价
核桃应降价x 元．
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240．
化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．
答：每千克核桃应降价
核桃应降价4 元或
6 元．
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价
核桃可降价4 元或
6 元．
因为要尽可能让利于
顾客，所以每千克核桃应降价
核桃应降价6 元．
此时，售价为：60﹣6=54（元），
．
答：该店应按原售价的九折出售．
应按原售价的九折出售．
5．解：由表可知，3≤A＜6，根据题意，得1000+50A（6﹣A）=1400，
解得A1=4，A2=2（舍去），∴A=4．
设矩形材料的宽为xm，长为（x+1）m，
由题意，得2×0.25（x+1）+2×0.5（x﹣0.25×2）=6，解得x=4．
所以矩形材料的长为5m，宽为4m，
广告部分的面积为5×4﹣6=14m2，
广告的费用为1000+50×4×（14﹣4）=1000+2000=3000（元）．
答：这张广告的费用是
张广告的费用是3000 元．
6．解：（1）设截去的小正方形的边长为xcm，由题意，得
（32﹣2x）（14﹣2x）=280，解得：x1=2，x2=21（舍去）．
答：截去的小正方形的边长2cm．
（2）能．
设左边的小正方形的边长为xcm，
根据题意得（14﹣2x）
=180 解得：x=1 或x=22，
经检验x=22 不
符合题意，舍去，
符合题意，舍去，∴盒子的体积为：180×1=180cm3．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
7．解：（1）（x﹣1）2=（2x+3）2，
开方得：x﹣1=±（2x+3），
解得：x1=﹣4，x2=﹣；
（2）x2+4x﹣5=0，
（x+5）（x﹣1）=0，
x+5=0，x﹣1=0，
x1=﹣5，x2=1；
（3）
，
b2﹣4ac=（﹣2
）2﹣4×1×1=4，
x=
，
x1=
+1，x2=
﹣1；
（4）4（2x+1）2﹣4（2x+1）+1=0，
[2（2x+1）﹣1]2=0，
2（2x+1）﹣1=0，
x1=x2=﹣．
8．解：（1）移项得：
项得：9（x﹣1）2=5，
（x﹣1）2= ，
开方得：x﹣1=±
，
x1=
，x2=
；
（2）2x2﹣4x﹣8=0，
2x2﹣4x=8，
x2﹣2x=4，
配方得：x2﹣2x+1=4+1，
（x﹣1）2=5，
开方得：x﹣1=±
，
x1=1+
，x2=1﹣
；
（3）6x2﹣5x﹣2=0，
b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×6×（﹣2）=73，
x=
，
一元二次方程200 题（含解析）---解析
x1=
，x2=
；
（4）（x+1）2=2x+2，
（x+1）2﹣2（x+1）=0，
（x+1）（x+1﹣2）=0，
x+1=0，x+1﹣2=0，
x1=﹣1，x2=1．
9．解：（1）△=9﹣4（1﹣m）＞0，
解得m＞﹣，
所以当m=2 时，方程有两个不相等的实数根，此时方程为
相等的实数根，此时方程为x2+3x﹣1=0；
（2）根据题意得x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣1，
所以
=
=
=3．
10．解：∵a 是方程x2+x﹣1=0 的根，
∴a2+a=1，∴2000a3+4000a2
=2000a（a2+a+a）=2000a•（1+a）=2000（a2+a）=2000．
故
答案为
答案为2000．
11．解：把两条路平移到长方形的两边时，空地为一个长方形，长为
到长方形的两边时，空地为一个长方形，长为50﹣x，宽
为40﹣x，
∵空地的面积是2208m2，
∴可列方程为（50﹣x）（48﹣x）=2208，
解得：x1=2，x2=96（不合题意，舍去）．
合题意，舍去）．
则小路的宽是2m．
12．解：设这两个正方形其中一个的边长为
两个正方形其中一个的边长为xcm，则另外一个正方形的边长为
=（3﹣x）cm，
由题意得：x2+（3﹣x）2=5，解得：x1=2，x2=1．
当x=2 时，3﹣x=1（cm），
当x=1 时，3﹣1=2（cm），
则这两个正方形的周长分别是：
两个正方形的周长分别是：2×4=8（cm）和1×4=4（cm）；
答：这两个正方形的周长分别是
两个正方形的周长分别是8cm 和4cm．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
13．解：设主干道的宽度为2xm，则其余道路宽为xm，
依题意得：（16﹣4x）（18﹣4x）=168，
整理，得x1=1，x2=
．
当x2=
时，16﹣4x＜0，不合题意，舍去．
合题意，舍去．
当x=1 米时，2x=2 米．
答：主干道的宽度为2 米．
14．解：（1）每﹣横行有（n+3）块，每﹣竖列有（n+2）块．
（2）y=（n+3）（n+2），
（3）由题意，得（n+3）（n+2）=506，解之
n1=20，n2=﹣25（舍去）．
（4）观察图形可知，每﹣横行有白砖（n+1）块，每﹣竖列有白砖n 块，因而
白砖总数是n（n+1）块，n=20 时，白砖为20×21=420（块），黑砖数为506
﹣420=86（块）．
故
总钱数为
总钱数为420×3+86×4=1260+344=1604（元）．
（5）当黑白砖块数相等时，有方程n（n+1）=（n2+5n+6）﹣n（n+1）．
整理得n2﹣3n﹣6=0．
解之得
得n1=
，
．
由于
n1 的值不是整数，
是整数，n2 的值是负数，
故不存在黑砖白块数相等的情形
存在黑砖白块数相等的情形
15．解：
（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且
a≠0），
因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x=2 所化的一元二次方程的一般形式．
（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且
a≠0），在
一般形式中ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x=2 的二次项系数为a（a≠0），
则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项
=1：（﹣2）：（﹣4）．
答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项
个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．
16．解：
（1）（x+3）2﹣（x﹣1）（x﹣2）
=x2+6x+9﹣（x2﹣3x+2）
=x2+6x+9﹣x2+3x﹣2
一元二次方程200 题（含解析）---解析
=9x+7．
（2）
=
=
=1．
（3）移项，得
项，得x2﹣2x=3，配方，
得（x﹣1）2=4，
∴x﹣1=±2，
∴x1=﹣1，x2=3．
17．解：（1）本题答案不唯一．
唯一．
=
=
②
=
；
③
=
；
④
；
⑤
；
⑥
．
（2）x2﹣2x+1+2x﹣3=0，
x2﹣2=0，
x2=2，
∴x1=
，x2=﹣
．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
18．解：∵a⊕b=a2﹣b2，
∴（4⊕3）⊕x=（42﹣32）⊕x=7⊕x=72﹣x2
∴72﹣x2=24
∴x2=25．
∴x=±5．
19．解：∵（x﹣3）2=（5﹣2x）2，
∴x﹣3=5﹣2x 或x﹣3=2x﹣5
解之得：
得：x1=2，x2= ．
20．解：（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，x=3 或x=﹣1．
21．解：x2+8x=16，
x2+8x+42=16+42，
（x+4）2=32，∴x+4=±4
，∴x1=4
﹣4，x2=﹣4
﹣4．
22．解：（x﹣3）2=15，
x﹣3=±
．
∴x1=3+
，x2=3﹣
．
23．解：（1）原式=（﹣1）2÷ +（7﹣3）× ﹣（）0
=1×2+4× ﹣1
=2+3﹣1=4；
（2）原式=[（2x﹣y）（2x+y）+y（y﹣6x）]÷2x
=（4x2﹣y2+y2﹣6xy）÷2x
=（4x2﹣6xy）÷2x
=2x﹣3y；
（3）解：x2﹣6x+1=0
（x﹣3）2﹣8=0
（x﹣3）2=8
x﹣3=±2
即x1=3+2
，x2=3﹣2
．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
24．解：∵x2+4x+2=0
∴x2+4x=﹣2
∴x2+4x+4=﹣2+4
∴（x+2）2=2
∴x=﹣2
∴x1=﹣2+
，x2=﹣2﹣
25．解：（1）x1=5，
；
（2）
（或
）；
（3）方程二次项系数化为1，
得
．
配方得，
，即
，
开方得，
，
解得x1=5，
．
经检验，x1=5，
都是原方程的解．
26．解：原式两边都除以6，移项得
项得
，
配方，得
，
（x﹣
）2=
=（
）2，
即x﹣
=
或x﹣
=﹣
，所以x1= ，x2=﹣．
27．解：移项，得
项，得x2﹣6x=2
配方，得（x﹣3）2=11，
即x﹣3=
或x﹣3=﹣
，
所以，方程的解为x1=3+
，x2=3﹣
．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
28．解：移项，得
项，得2x2﹣3x=﹣1，
二次项系数化为1，得
，
配方
，
，
由此可得
，
∴x1=1，
．
29．解：（1）去分母，得3x=4x﹣4．
解得，x=4．
经检验，x=4 是原方程的根．
∴原方程的根是x=4．
（2）配方得（x+1）2=3，
开方得
．
∴x1=﹣1+
，x2=﹣1﹣
．
30．解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+
，x2=﹣2﹣
．
31．解：两边都除以2，得
．
移
项，得
项，得
．
配方，得
，
．
∴
或
．
∴x1=1，
．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
32．解：（1）原方程变为：
（2 分）
∴
，
．（4 分）
（用求根公式法解答可参照给分）
解：（2）原式=
（1 分）
=
（3 分）
将x=
+2 代入得，原式=
．（4 分）
33．（1）解：原不等式可化为
等式可化为x﹣1+2≥2x，
移项、合并
同类项、化系数为
同类项、化系数为1 得，x≤1．
在数轴上的解集表示为：
（2）解：原方程可化为x2+2x+ =0，
配方得，（x+1）2= ，
开方得，x+1=±
，
故x1=﹣1+
，x2=﹣1﹣
．
34．解：移项，得：
项，得：x2﹣4x=﹣1，
配方，得：x2﹣4x+（﹣2）2=﹣1+（﹣2）2，即（x﹣2）2=3，
解这个方程，得：
个方程，得：x﹣2=±
；
即x1=2+
，x2=2﹣
．
35．解：原方程变形为（x﹣1）（x+5）=0∴x1=﹣5，x2=1．
36．解：方程可变形为：
=1
方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得：6（x﹣2）+（x+2）=（x+2）（x﹣2），
整理得：x2﹣7x+6=0，解得：x1=1，x2=6，
检验：将x1=1，x2=6 分别代入（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x1=1，x2=6 是原方程的解．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
37．解：将方程左边分解因式，得，
x（x2﹣2x﹣3）=0，（3 分）
x（x﹣3）（x+1）=0，（3 分）
由此得x=0，x﹣3=0，或
x+1=0．
所以原方程有三个实数根：x1=0，x2=3，x3=﹣1．（2 分）
38．解：把x=0 代入一元二次方程（k+4）x2+3x+k2+3k﹣4=0，
得k2+3k﹣4=0，
解得k=﹣4 或1；又k+4≠0，即k≠﹣4；所以k=1．
39．解：（1）把x= 代入方程得：3m2+m﹣2=0，
解得m1= ，m2=﹣1；
（2）当m= 时，方程是2x2+ x﹣
=0，
设方程的两根是x1，x2，
则x1+x2=﹣
，
x1•x2=
，
则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=
；
当m=﹣1 时方程是2x2﹣x﹣3=0，
设它的解是x3，x4，
则x3+x4= ，
x3•x4=﹣，
∴x32+x42=（x3+x4）2﹣2x3x4= +3=
，
∴x12+x22+x12+x22=
+
=
．
40．解：（1）由①得，x＞1；（2 分）
由②得，x≤3，（4 分）∴原不等式组的解集为
等式组的解集为1＜x≤3；
解：（2）两边都乘以x（3x﹣2），（1 分）
得出3x﹣2=x2（2 分）
移
项得
项得x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，∴x1=1，x2=2．
经检验，x1=1 或x2=2 是原方程的解．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
41．解：方程两边同乘以x（x+2），得40（x+2）﹣40x=x（x+2）
整理得x2+2x﹣80=0∴x1=﹣10，x2=8
经检验x1=﹣10，x2=8 都是原方程的根．
42．解：方程两边都乘2x（x﹣1），
得：2x2﹣2（x﹣1）（x+2）=3x（x﹣1），
整理得：3x2﹣x﹣4=0
∴（3x﹣4）（x+1）=0，解得x1= ，x2=﹣1．
检验x= 或x=﹣1 时，2x（x﹣1）≠0；所以原方程的解为x1= 或x2=﹣1．
43．解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），
得x2﹣3x+（2x﹣1）（x+1）=0，
整理得3x2﹣2x﹣1=0，
解得x1=1，x2=﹣．
经检验，x1=1 是增根，x2=﹣是原方程的根．
∴原方程的根是x=﹣．
44．解：
，
两边同乘以（x+2）（x﹣2），
得：（x+2）+（x+2）（x﹣2）=4，
并
整理得
整理得x2+x﹣6=0，
解得x1=﹣3，x2=2，
经检验x1=﹣3 是原方程的解x2=2 是增根，
∴原方程的解是x=﹣3．
45．解：解方程
．
方程两边同时乘以（x﹣1），
得：1=x﹣1，解得x=2．
经检验，x=2 是原方程的解，所以原方程的解为x=2．即k=2．
把k=2 代入x2+kx=0，得x2+2x=0．
解得x1=0，x2=﹣2．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
46．解：去分母，得1+x﹣（1﹣x2）=3x﹣x2，
去括号，得1+x﹣1+x2=3x﹣x2，
移项，合并
同类项，得
同类项，得2x2﹣2x=0，
把左边分解因式，得2x（x﹣1）=0，∴x1=0，x2=1．
经检验x2=1 是增根舍去，∴原方程的根是x=0．
47．解：方程两边都乘x，得
x2+2=3x，
整理得x2﹣3x+2=0，
即（x﹣2）（x﹣1）=0，∴x=2 或x=1．
检验：当x=2 或1 时，最简公分母均不为
为0．∴原方程的解为x1=2，x2=1．
48．解：（1）原方程可化为：
+
=0，
=0，
∵（x+1）2≠0，∴12x2+17x+6=0，解得：x1=﹣，x2=﹣；
（2）
，
①可化简为：（2x+3y）（2x﹣3y）=15③，
将②代入③中得：2x+3y=3④，
②+④，得：4x=8，x=2，
④﹣②，得：6y=﹣2，y=﹣，
即原方程组的解为：
．
49．解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），
得：6﹣3（x+1）=（x+1）（x﹣1），
整理得：x2+3x﹣4=0，
解得x1=1，x2=﹣4，
经检验：x1=1 是增根，舍去，
∴方程的解为：x=﹣4．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
50．解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣3（x﹣1）2=2（x+1）（x﹣1），
整理得x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．
检验：当x=0 或2 时，（x+1）（x﹣1）≠0．∴x=0 或2 均是原方程的根．
51．解：把x=3 代入
，得
+ =1，解得k=﹣3．
将k=﹣3 代入原方程得：
，
方程两边都乘以x（x+2），得10x﹣3（x+2）=x（x+2），
整理得x2﹣5x+6=0，解得x1=2，x2=3．
检验：x=2 时，x（x+2）=8≠0∴x=2 是原方程的根．
x=3 时，x（x+2）=15≠0∴x=3 是原方程的根．∴原方程的根为x1=2，x2=3．
故k=3，方程其余的根为x=2．
52．解：方程两边都乘（x+2）（x﹣1），
得：2（x﹣1）+2（x+2）=（x+2）（x﹣1），x2﹣3x﹣4=0，
解得：x1=4，x2=﹣1，
检验：当x1=4，x2=﹣1 时，（x+2）（x﹣1）≠0，
∴原方程的根是x1=4，x2=﹣1．
53．解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），
得6﹣3（x+1）=x2﹣1，
整理得x2+3x﹣4=0，即（x+4）（x﹣1）=0，
解得x1=﹣4，x2=1．经检验x=1 是增根，应舍去，∴原方程的解为x=﹣4．
54．解：令
=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，
解得，t1=2，t2=﹣1，
当t=2 时，
=2，解得x1=﹣1，
当t=﹣1 时，
=﹣1，解得x2= ，
经检验，x1=﹣1，x2= 是原方程的解．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
55．解：设
=y，则
=y2，
所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．
解得y1=﹣2，y2= ．
即：
=﹣2 或
= ．
解得x1=2，
．
经检验，x1=2，
是原方程的根．
56．解：方法一：设
，
则原方程化为
，整理得2y2﹣5y+2=0，∴y1= ，y2=2，
当y= 时，
，解得：x=2；
当y=2 时，
，解得：x=﹣1．
经检验x1=2，x2=﹣1 是原方程的根；
方法二：去分母得2（x﹣1）2+2x2=5x（x﹣1），
整理得x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，
经检验x1=2，x2=﹣1 是原方程的根．
57．解：设y=x2﹣2x，
则原方程变为：
，即y2+y﹣12=0，
得（y﹣3）（y+4）=0，解得：y=3 或y=﹣4，
当y=3 时，x2﹣2x=3，（x﹣3）（x+1）=0，解得x1=3，x2=﹣1，
当y=﹣4 时，x2﹣2x=﹣4，
∵△=﹣12＜0，∴此方程无解．经检验，x1=3，x2=﹣1 都是原方程的根．
58．解：设
，原方程化为y2﹣y+3=0，
解得y1=2，
，
当y=2 时，
，解得x=﹣1．
当
时，
，解得x=﹣2．
经检验x1=﹣1，x2=﹣2 都是原方程的根．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
59．解：设x2+3x=y，则原方程变形为y﹣
=﹣1，
即y2+y﹣20=0，解得y1=﹣5，y2=4．
当y=﹣5 时，x2+3x=﹣5，即x2+3x+5=0，
∵△=32﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴此方程无解；
当y=4 时，x2+3x=4，即x2+3x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=1．
经检验，x1=﹣4，x2=1 都是原方程的解．
60．解：填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+ ）（x+3）．
发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根为x1、x2，则
ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
61．解：（1）答案一：
对于这个特定的已知方程，解法是对的．
个特定的已知方程，解法是对的．
理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来
了，所以对．
答案二：
解法不严密，方
法不具有一般性．
具有一般性．
理由是：为何不可以
可以2=3× 等，得到其它的方程组此学生的方法只是巧合了，
求对了方程的解．
（2）解：因为周长一定（2+3+4+5+6=20cm）的三角形中，以正三角形的面
积最大．
取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大．
此时，三边为6、5+2、4+3，这是一个等腰三角形．
是一个等腰三角形．
可求得其最大面积为6
．
62．解：方程两边都乘x（x﹣2），得
x2﹣2x（x﹣2）=3（x﹣2）2
原方程可化为x2﹣4x+3=0
解得x1=3，x2=1
检验：当x=3 或1 时，x（x﹣2）≠0
∴原方程的解为x1=3，x2=1
一元二次方程200 题（含解析）---解析
63．解：（1）①（x+1）（x﹣1）=0，
所以x1=﹣1，x2=1
②（x+2）（x﹣1）=0，
所以x1=﹣2，x2=1；
③（x+3）（x﹣1）=0，
所以x1=﹣3，x2=1；
（n）（x+n）（x﹣1）=0，
所以x1=﹣n，x2=1
（2）共同特点是：
都有一个根为1；都有一个根为负整数；
两个根都是整数根等等．
64．解：
由①得y=x﹣k，③
把③代入②得
x2﹣8x+8k=0，
∵方程组只有一个实数解，∴△=（﹣8）2﹣4×8k=64﹣32k=0，∴k=2．
∴原方程化为x2﹣8x+8×2=0，
即x2﹣8x+16=0，（x﹣4）2=0，∴x=4．
把x=4，k=2 代入①，得y=2．∴方程组的实数解是
65．解：（1）由题意知，k≠0 且△=b2﹣4ac＞0
∴b2﹣4ac=[﹣2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）＞0，
即4k2+8k+4﹣4k2+4k＞0，
∴12k＞﹣4
解得：k＞﹣且k≠0
（2）不存在．
存在．
∵x1+x2=
，x1•x2=
，
又有
+
=
=1，
可求得k=﹣3，而﹣3＜﹣
∴满足条件的k 值不存在．
存在．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
66．解：（1）方程x2+k（x﹣1）﹣1=0 可化为x2+kx﹣k﹣1=0，
由于
△=k2+4k+4=（k+2）2≥0，
所以方程有两个实数根．
（2）假设存在正数k，满足x12+kx1+2x1x2=7﹣3（x1+x2），
由于
x1，x2 是方程的两个实数根，
∴把x=x1 代入得：x12+kx1﹣k﹣1=0，
∴x12+kx1=k+1，x1+x2=﹣k，x1x2=﹣k﹣1，
即k+1+2（﹣k﹣1）=7+3k，
解得k=﹣2，这与题设
题设k＞0 相矛盾．
∴满足条件的正数k 不
存在．
存在．
67．解：
（1）由题意知：△=b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=[﹣2（m+1）+2m][﹣
2（m+1）﹣2m]=﹣2（﹣4m﹣2）=8m+4≥0，
解得m≥
．∴当m≥
时，方程有两个实数根．
（2）选取m=0．（答案不唯一，注意开放性）
唯一，注意开放性）
方程为x2﹣2x=0，
解得x1=0，x2=2．
68．解：△=（﹣3）2﹣4（m﹣1），
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
相等的实数根，∴△＞0，解得m＜
．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即9﹣4（m﹣1）=0
解得m=
∴方程的根是：x1=x2=
．
．
69．解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0 有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；
（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，
解方程组
，解得
，
∴m=x1•x2= ．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
70．解：（1）由题意得：△=（﹣1）2﹣4（p﹣1）≥0 解得，p≤；
（2）由[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9 得，
（2+x1﹣x12）（2+x2﹣x22）=9
∵x1，x2 是方程x2﹣x+p﹣1=0 的两实数根，
∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，
∴x1﹣x12=p﹣1，x2﹣x22=p﹣1
∴（2+p﹣1）（2+p﹣1）=9，即（p+1）2=9
∴p=2 或p=﹣4，
∵p≤，∴所求p 的值为﹣4．
71．解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；
∵原方程有两个实数根，
∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；
（2）∵x1，x2 为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0
的两根，
∴y=x1+x2=﹣2m+2，且
m≤；
因而y 随m 的增大而减小，故当
当m= 时，取得最小值1．
72．（1）证明：∵b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）=36+4k2＞0
因此方程有两个不相等的实数根．
相等的实数根．
（2）解：∵x1+x2=﹣=﹣
=6，
又∵x1+2x2=14，
解方程组
解得：
将x1=﹣2 代入原方程得：（﹣2）2﹣6×（﹣2）﹣k2=0，解得k=±4．
73．题甲
解：（1）∵一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0 有实数根a，β，
∴△≥0，
即4（2﹣k）2﹣4（k2+12）≥0，得k≤﹣2．
（2）由根与系数的关系得：
系数的关系得：a+β=﹣[﹣2（2﹣k）]=4﹣2k，
一元二次方程200 题（含解析）---解析
∴
，
∵k≤﹣2，∴﹣2≤＜0，∴
，即t 的最小值为﹣4．
题乙：
（1）解：∵AB∥CD，∴
=
= ，即CD=3BQ，
∴
=
=
= ；
（2）证明：四边形ABCD 是矩形
∵AB=CD，AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴
=
﹣
=
﹣
=1+
﹣
=1
∴
﹣
=1．
74．解：∵关于
x 的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0 有两个相等的实数根，
∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，即b2+8b﹣20=0；
解得b=2，b=﹣10（舍去）；
①当a 为底，b 为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情
况不成立；
成立；
②当b 为底，a 为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；
此时△ABC 的周长为：5+5+2=12；
答：△ABC 的周长是12．
75．解：设原方程的两根为x1、x2；则：x1+x2=4，x1x2=m；
∵x1=﹣2，∴x2=4﹣x1=6，m=x1x2=﹣12；
即方程的另一根是6，m 的值为﹣12．
76．解：（1）由题意，得
，
解得x1=1+
，x2=1﹣
．
所以a=x1•x2=（1+
）（1﹣
）=﹣1；
（2）由题意，得x12﹣2x1﹣1=0，即x12﹣2x1=1∴x13﹣3x12+2x1+x2
=x13﹣2x12﹣x12+2x1+x2=x1（x12﹣2x1）﹣（x12﹣2x1）+x2
=x1﹣1+x2=（x1+x2）﹣1=2﹣1=1．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
77．解：∵方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0，∴（﹣4）2﹣4（k+1）≥0，即k≤3．
解法一：又∵
，
∴x1+x2=（2+
）+（2﹣
）=4．
x1•x2=（2+
）•（2﹣
）=k+1．
若x1•x2＞x1+x2，
即k+1＞4，∴k＞3．
而这与
k≤3 相矛盾，
因此，不存在实数
存在实数k，使得x1•x2＞x1+x2 成立．
解法二：又∵x1+x2=
=4，x1•x2= =k+1（以下同解法一）．
78．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
相等的实数根，
∴△=[﹣2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）=12k+4＞0，且
k≠0，
解得k＞﹣，且
k≠0，即k 的取值范围是k＞﹣，且
k≠0；
（2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2 的倒数和为0，
则x1，x2 不
为
为0，且
，
即
，且
，解得k=﹣1，
而k=﹣1 与方程有两个不
相等实根的条件
相等实根的条件k≥﹣，且
k≠0 矛盾，
故
使方程的两个实数根的倒数和为
使方程的两个实数根的倒数和为0 的实数k 不
存在．
存在．
9．解：∵x1+x2=4，x1x2=2．
（1）
．
（2）（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=42﹣4×2=8．
80．
解：（1）如下表：
（2）已知：x1 和x2 是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，
那么，
，
．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
方程
x1
x2
x1+x2
x1•x2
9x2﹣2=0
0
2x2﹣3x=0
0
0
x2﹣3x+2=0
2
1
3
2
关于
x 的方程
ax2+bx+c=0
（a、b、c 为常数，
且a≠0，b2﹣4ac≥0）
81．解：（1）∵x1，x2 是方程x2﹣6x+k=0 的两个根，
∴x1+x2=6，x1x2=k，
∵x12x22﹣x1﹣x2=115，∴k2﹣6=115，
解得k1=11，k2=﹣11，
当k1=11 时，△=36﹣4k=36﹣44＜0，∴k1=11 不
合题意
合题意
当k2=﹣11 时，△=36﹣4k=36+44＞0，∴k2=﹣11 符合题意，∴k 的值为﹣11；
（2）∵x1+x2=6，x1x2=﹣11
∴x12+x22+8=（x1+x2）2﹣2x1x2+8=36+2×11+8=66．
82．解：（1）因为x=﹣1 是方程①的一个根，
所以1+m﹣2=0，
解得m=1，
∴方程为x2﹣x﹣2=0，
解得x1=﹣1，x2=2．
所以方程的另一根为x=2；
（2）∵b2﹣4ac=m2+8，
因为对
于任意实数
意实数m，m2≥0，
所以m2+8＞0，
所以对
于任意的实数
意的实数m，
方程①有两个不相等的实数根．
相等的实数根．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
83．解：∵△=（2a）2﹣4（a2+4a﹣2）≥0，∴
又∵x1+x2=﹣2a，x1x2=a2+4a﹣2．
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=2（a﹣2）2﹣4．
设y=2（a﹣2）2﹣4，根据二次函数的性质．
∵
∴当
时，x12+x22 的值最小．
此时
，即最小值为．
84．解：（1）方程两边同乘（2x﹣3）（2x+3），得
2x（2x+3）﹣（2x﹣3）=（2x﹣3）（2x+3）
化简，得4x=﹣12，解得x=﹣3．
检验：x=﹣3 时，（2x﹣3）（2x+3）≠0．
∴x=﹣3 是原分式方程的解．
（2）∵﹣1 是x2+bx﹣3=0 的一个根，
设方程的另一根是m，则（﹣1）•m=﹣3 解得m=3
即方程的另一根是3．
85．解：
（1）猜想为：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有
，
．
理由：设x1、x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
那么由求根公式可知，
，
．
于
是有
是有
，
，
综上得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有
，
．
（2）x1、x2 是方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0 的两个实数根
∴x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2，
又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2﹣2x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2
∴[﹣（2k+1）]2﹣2×（k2﹣2）=11
整理得k2+2k﹣3=0，
解得k=1 或
﹣
﹣3，
又∵△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2 ）≥0，解得k≥﹣，∴k=1．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
86．解：由x=1 是一元二次方程ax2+bx﹣40=0 的一个解，
得：a+b=40，又a≠b，
得：
．故
的值是20．
87．解：根据根与系数的关系得：
系数的关系得：x1+x2= ，x1•x2=﹣3．
∴
=
=
=
=
．
88．解：∵
=（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
又因为a，b 是方程x2+2x﹣1=0 的两个根，
所以
，
故
原式
原式=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8．
89．解：（1）x2+（m﹣1）x﹣2m2+m=0（m 为实数）有两个实数根x1、x2．
∵a=1，b=m﹣1，c=﹣2m2+m，
∴△=b2﹣4ac=（m﹣1）2﹣4（﹣2m2+m）=m2﹣2m+1+8m2﹣4m=9m2﹣
6m+1=（3m﹣1）2，
要使x1≠x2，则应有△＞0，即△=（3m﹣1）2＞0，∴m≠；
（2）根据题意得：x1+x2=﹣=1﹣m，x1•x2= =﹣2m2+m
∵x12+x22=2，即x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即（1﹣m）2﹣2（﹣2m2+m）
=2，解得m1=
，m2=1．
90．解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=2（m﹣2），x1×x2=m2，
令x12+x22=56 得：（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2m2=56，
解这个方程得，
个方程得，m=10 或m=﹣2，
当m=10 时，△＜0，所以不合题意，应舍去，当
合题意，应舍去，当m=﹣2 时，△＞0，
所以存在实数m=﹣2，使得方程的两个实数根的平方和等于
56．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
91．解：∵x1、x2 是方程x2﹣（m﹣1）x+2m=0 的两个实数根．
∴x1+x2=m﹣1，x1•x2=2m．
又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2﹣2x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2．
将x1+x2=m﹣1，x1•x2=2m 代入得：
x12+x22=x12+x22+2x1x2﹣2x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2=（m﹣1）2﹣2×2m=8．
整理得m2﹣6m﹣7=0．解得m=7 或
﹣
﹣1．
方程的判别式△=（m﹣1）2﹣8m
当m=7 时，△=36﹣7×8=﹣20＜0，则m=7 应舍去；
当m=﹣1 时，△=4+8=12＞0．综上可得，m=﹣1．
92．解：（1）∵2x2+x﹣3=0，
∴（2x+3）（x﹣1）=0，
∴x1=﹣，x2=1，
∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣；
故
填空答案：
填空答案：
，1，
，﹣．
（2）x1+x2=﹣，x1x2= ；
故
填空答案：
填空答案：
，．
（3）解：根据（2）可知：
x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，
则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（﹣1）2﹣2×（﹣3）=7．
93．解：∵△=（m+1）2≥0，
∴对于任意实数
意实数m，方程恒有两个实数根x1，x2．
又∵x1+x2=m﹣1，x1x2=﹣m，且
m≠0，
∴
+
=﹣，
∴
=﹣，
∴
=﹣，
∴3m﹣3=2m∴m=3．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
94．解：设原计划平均每年完成绿化面积x 万亩．
根据题意列出方程：
=1．
解这个方程得：
个方程得：x1=20，x2=﹣50．
经检验，x1=20，x2=﹣50 都是原方程的根，但因为绿化面积不能为负数，所以
能为负数，所以
取x=20．答：原计划平均每年完成绿化面积20 万亩．
95．解：设今年5 月份润滑油价格为
润滑油价格为x 元/桶，则去年5 月份的润滑油价格为（
的润滑油价格为（x
﹣2）元/桶．
由题意得：
=2．
整理，得：x2﹣2x﹣120=0．解得：x1=12，x2=﹣10．
经检验两根都为原方程的根，但x2=﹣10 不符合实际意义，故
舍去．
舍去．
答：今年5 月份的润滑油每桶的价格为
的润滑油每桶的价格为12 元．
96．解：设甲每天修理桌凳x 套，则乙为（x+6）套
由题可得
解得x1=﹣18，x2=12
经检验x1=﹣18，x2=12 均是方程的解，实际中x 不能为负，故
舍去，
舍去，
答：甲每天修理桌凳12 套，乙为18 套．
97．解：设提速后列车速度为x 千米/时，则：
．（4 分）
解之得：
得：x1=120，x2=﹣100（舍去）．（7 分）
经检验x=120 是原方程的根．
∵120＜140，∴仍可再提速．答：这条铁路在现有条件下仍可再次提速．（
条铁路在现有条件下仍可再次提速．（9 分）
98．解：设今年5 月份汽油价格为
汽油价格为x 元/升，则去年5 月份的汽油价格为（
的汽油价格为（x﹣
1.8）元/升．
根据题意，得
（5 分）整理，得x2﹣1.8x﹣14.4=0（7 分）
解这个方程，得
个方程，得x1=4.8，x2=﹣3（10 分）
经检验，两根都为原方程的根，但x2=﹣3 不符合实际意义，故
舍去．（
舍去．（11 分）
答：今年5 月份的汽油价格为
的汽油价格为4.8 元/升．（12 分）
一元二次方程200 题（含解析）---解析
99．解：设甲车每小时走x 千米，则乙车每小时走（x+20）千米，
根据题意得
，
整理得x2+20x﹣12000=0 解得x1=100，x2=﹣120
经检验，x1=100，x2=﹣120 都是原方程的解，
但因x2=﹣120 是负值，所以应舍去，
即x=100．∴x+20=120
答：甲车每小时走100 千米，则乙车每小时走120 千米．
100．解：（1）设规定时间为
定时间为x 天，则
．解之，得
，得x1=28，x2=2．
经检验可知，x1=28，x2=2 都是原方程的根，
但x2=2 不
合题意，舍去，取
合题意，舍去，取x=28．
由24＜28 知，甲、乙两组合做可在规定时间内完成．
定时间内完成．
（2）设甲、乙两组合做完成这项工程的
项工程的用去y 天，
则
．
解之，得
，得y=20（天）．
由（1）得，甲单独完成需要60 天，乙单独完成需要40 天，则剩余的工作量，
甲独做剩下工程所需时间：10（天）．
因为20+10=30＞28，
所以甲独做剩下工程
不能在规定时间内完成；
定时间内完成；
乙独做剩下工程所需时间：
（天）．
因为20+
=26 ＜28．
所以乙独做剩下工程能在规定时间内完成．
定时间内完成．
所以我认为抽调甲组最好．
101．解：设提速后旅客列车的平均速度为x 千米/时，（1 分）
根据题意得
，（4 分）
解之得
得x1=150，x2=﹣100（6 分）
经检验，x1=150，x2=﹣100 都是原方程的根，但负值不符合题意，舍去．（
符合题意，舍去．（7
分）
答：提速后旅客列车的平均速度为150 千米/时．（8 分）
一元二次方程200 题（含解析）---解析
102．解：设男同学平均每人捐款x 元，则女同学平均每人捐款为（x+2）元，
依题意得：
=30，
化简得：x2﹣7x﹣8=0，
解之得
得x=﹣1 或x=8，
经检验他们都是原方程的根，但x=﹣1＜0（舍去），
答：男同学平均每人捐款8 元，女同学平均每人捐款10 元．
103．解：设甲的速度为x 千米/时，那么乙的速度为x+8 千米/时，
由题意可得：
解得：x1=﹣24（不合题意舍去）
合题意舍去）x2=4，
经检验x1=﹣24、x2=4 都是方程的解，不过实际中速度不能为负，故
x1=﹣24
舍去，∴x+8=12
答：甲的速度为4 千米/小时，乙的速度为12 千米/小时．
104．解：（1）设甲小组每天修桌凳x 套．则：
．
整理得：x2+8x﹣384=0．解得：x1=﹣24（舍去），x2=16．
经检验：x=16 是原方程的解．∴x+8=24．
答：甲小组每天修桌凳16 套，乙小组每天修24 套．
（2）若甲小组单独修理，则需960÷16=60（天）；
总费用：60×80+60×10=5400（元）．
若乙小组单独修理，则需960÷24=40（天）；
总费用：40×120+40×10=5200（元）．
若甲、乙两小组合作：则需960÷（24+16）=24（天）
总费用：（80+120）×24+24×10=5040（元）
通过比较看出：选择第三种方案符合既省时，又省钱的要求．
105．解：设改进操作方法后每天加工零件
操作方法后每天加工零件x 个，
根据题意，得
=5，整理，得x2﹣44x+160=0，解得x1=40，x2=4，
经检验，x1=40，x2=4，都是原方程的根，但x2=4 时，改进操作方法前即加工
操作方法前即加工
﹣6 个，不合题意．
合题意．
答：改进操作方法后每天加工零件
操作方法后每天加工零件40 个．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
106．解：设原计划每天挖x 米，由题意，得
+4
解之，得
，得x1=6，x2=﹣8
经检验，x1=6，x2=﹣8 都是原方程的根，但工作
效率为负数不合题意，
合题意，
所以只取x=6．答：原计划每天挖6 米．
107．解：设原计划结伴游玩的有x 名同学，那么实际去的同学有（x+2）人．
由题意得：
．解得x=8 或x=﹣10．
经检验x=8，x=﹣10 是原方程的解．但x=﹣10 不
合题意舍去．
合题意舍去．∴x=8．
答：原计划结伴游玩的有8 名同学．
108．解：（1）设每辆中巴车有座位
车有座位x 个，每辆大客车有座位（x+15）个，依
题意有
解之得：
得：x1=45，x2=﹣90（不合题意，舍去）．
合题意，舍去）．
经检验x=45 是分式方程的解，故大客车有座位：
大客车有座位：x+15=45+15=60 个．
答：每辆中巴车有座位
车有座位45 个，每辆大客车有座位60 个．
（2）解法一：
①若单独租用中巴车，租车费用为
车，租车费用为
×350=2100（元）
②若单独租用大客车，租车费用为（6﹣1）×400=2000（元）
③设租用中巴车
车y 辆，大客车（y+1）辆，则有
45y+60（y+1）≥270
解得y≥2，当y=2 时，y+1=3，运送人数为45×2+60×3=270 人，符合要求
这
时租车费用为
时租车费用为350×2+400×3=1900（元）
故租用中巴
车
车2 辆和大客车3 辆，比单独租用中巴车的租车费少
车的租车费少200 元，比单
独租用大客车的租车费少100 元．
解法二：①、②同解法一
③设租用中巴车
车y 辆，大客车（y+1）辆，则有
350y+400（y+1）＜2000 解得：
．
由y 为整数，得到y=1 或y=2．
当y=1 时，运送人数为45×1+60×2=165＜270，不合要求舍去；
合要求舍去；
当y=2 时，运送人数为45×2+60×3=270，符合要求．
故租用中巴
车
车2 辆和大客车3 辆，比单独租用中巴车的租车费少
车的租车费少200 元，比单
独租用大客车的租车费少100 元．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
109．解：（1）解x2﹣7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB∴OA=4，OB=3．
在Rt△AOB 中，由勾股定理有AB=
=5，∴sin∠ABC=
．
（2）∵点E 在x 轴上，S△AOE=
，即AO×OE=
，
解得OE= ．∴E（，0）或
E（﹣，0）．
由已知可知D（6，4），设yDE=kx+b，当E（，0）时有
，解得
．
∴yDE= x﹣
．
同理E（﹣，0）时，yDE=
．在△AOE 中，∠AOE=90°，OA=4，OE= ；
在△AOD 中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；∵
，∴△AOE∽△DAO．
（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO 平分∠BAC，
①AC、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF=AC=5，
所以点F 与B 重合，即F（﹣3，0），
②AC、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且
FC 垂直平分
AM，点F（3，8）．
③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L，AC 解析式为y=﹣x+4，直线L 过（，
2），且
k 值为（平面内互相垂直的两条直线
相垂直的两条直线k 值乘积为﹣1），
L 解析式为y= x+ ，联立直线L 与
直线
直线AB 求交点，
∴F（﹣
，﹣
），
④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=
，勾
股定理得出，AN= ，做A 关于
N 的对称点即为F，AF=
，过F 做y 轴垂线，
垂足为G，FG=
× =
，∴F（﹣
，
）．
综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；
F3（﹣
，﹣
）；F4（﹣
，
）．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
110．
解：（1）△ABP∽△DPE．
（2）由（1）△ABP∽△DPE，∴
∴
，∴y=﹣x2+ x（0＜x＜5）．
（3）能构成矩形．
当DE=AB=2 时，∵AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABED 为平行四边形，
∵∠A=90°，∴平行四边形ABED 为矩形．
由（2）有﹣x2+ x=2．x1=1，x2=4．
∴当AP=1 或AP=4 时，ABED 是矩形．（9 分）
（4）能构成等腰三角形．
当AP=DE 时，△ABP≌△DPE，此时△BPE 为等腰三角形．（1O 分）
即﹣x2+ x=x．解之得
得x1=3，x2=0（舍去）．
即AP=3 时，△BPE 是等腰三角形（答等腰直角三角形同样正确）．（12 分）
111．解：（1）∵a=1，b=﹣1，c=1．∴△=b2﹣4ac
=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0．∴方程没有实数根，张智同学求的就是错误的．
（2）我选择方程：x2﹣x﹣6=0．
∵a=1，b=﹣1，c=﹣6．∴x1+x2=
=1，x1•x2= =﹣6．
∴
=
=﹣．
．
112．解：∵x1、x2 为方程x2+4x+a=0 的两个根，
∴
．
由
解得
．又∵x1•x2=a，∴a=﹣5．
113．证明：△=（4m+1）2﹣4（2m﹣1）
=16m2+8m+1﹣8m+4=16m2+5＞0，
∴不
论
论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
相等的实数根．
114．解：∵方程2x2﹣2x+1﹣3m=0 有两个实数根，
∴△=4﹣8（1﹣3m）≥0，解得m≥．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
由根与系数的关系，得
系数的关系，得x1+x2=1，x1•x2=
．
∵x1•x2+2（x1+x2）＞0，∴
+2＞0，解得m＜．∴≤m＜．
115．解：根据根与系数的关系得：
系数的关系得：x1+x2=2，x1•x2=﹣2，
（1）
=
=
=﹣2；
（2）①当x1＜x2 时，
=
=
=
=
=
=﹣
，
=
；
②当x1＞x2 时，
=
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=
，
=﹣
．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
116．解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．
∴△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）=﹣4﹣8m．
当﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣时．方程有两个实数根．
2.整理不等式
等式7+4x1x2＞x12+x22，得（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．
由一元二次方程根与系数的关系，得
系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=
．
代入整理后的不等式得
等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3．
又∵m≤﹣，且
m 为整数．∴m 的值为﹣2，﹣1．
117．解：（1）设方程的另一个根是x1，那么x1+1=﹣2，∴x1=﹣3；
（2）∵x1、x2 是方程的两个实数根，∴x1+x2=﹣2，x1x2= ，
又∵x12+x22+2x1x2﹣x12x22=0，∴（x1+x2）2﹣（x1x2）2=0，
即4﹣
=0，得m=±4，
又∵△=42﹣8m＞0，得m＜2，∴取m=﹣4．
118．解：方程两边同乘以最简公分母（x+1）（x+2）（x﹣2），
得：（x﹣2）（x+2）x﹣（x+1）（x+2）2=8（x+1），
5x2+20x+12=0，解得x1=
﹣2，x2=﹣
﹣2，
经检验x1=
﹣2，x2=﹣
﹣2 都是方程的根．
119．解：∵方程x2﹣4x+b=0 有两个相等的实数根
∴△=（﹣4）2﹣4b=0（3 分）∴b=4（4 分）
∵c=4∴b=c=4（5 分）∴△ABC 为等腰三角形．（6 分）
120．解：设边AB=a，AC=b
∵a、b 是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0 的两根∴a+b=2k+3，a•b=k2+3k+2
又∵△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，且
BC=5∴a2+b2=52，
即（a+b）2﹣2ab=52，∴（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）=25
∴k2+3k﹣10=0∴k1=﹣5 或k2=2
当k=﹣5 时，方程为：x2+7x+12=0 解得：x1=﹣3，x2=﹣4（舍去）
当k=2 时，方程为：x2﹣7x+12=0 解得：x1=3，x2=4
∴当k=2 时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
121．解：（1）D（
，
）；（1 分）
（2）由Rt△OAB 的面积为，得B（t，），
∵BD2=AC2+（AB﹣CD）2，
∴BD2=（
﹣t）2+（﹣
）2=t2+
﹣2
（t+ ）+4①
=
，∴BD=|t+
②；
（3）解法一：若OB=BD，则OB2=BD2．
在Rt△OAB 中，OB2=OA2+AB2=t2+
．
由①得t2+
．解得：t+
，∴t2﹣
t+1=0，
∵△=
﹣4=﹣2＜0，∴此方程无解．∴OB≠BD．
解法二：若OB=BD，则B 点在OD 的中垂线CM 上．
∵
，
∴直线CM 的函数关系式为y=﹣x+
，③
由Rt△OAB 的面积为
．④
联立③，④得：x2﹣
x+1=0，
∵△=
﹣4=﹣2＜0，∴此方程无解，∴OB≠BD．
解法三：若OB=BD，则B 点在OD 的中垂线CM 上，如图1
过点B 作BG⊥y 轴于
G，CM 交y 轴于
H，
∵S△OBG=S△OAB= ，而S△OMH=S△MOC=
，（5 分）
显然与
S△HMO 与S△OBG 矛盾．∴OB≠BD．
（4）如果△BDE 为直角三角形，因为∠BED=45°，
①当∠EBD=90°时，此时F，E，M 三点重合，如图2
∵BF⊥x 轴，DC⊥x 轴，∴BF∥DC．∴此时四边形BDCF 为直角梯形．
②当∠EDB=90°时，如图3
∵CF⊥OD，∴BD∥CF．
又AB⊥x 轴，DC⊥x 轴，∴BF∥DC．∴此时四边形BDCF 为平行四边形．
下证平行四边形BDCF 为菱形：
解法一：在△BDO 中，OB2=OD2+BD2，
∴t2+
，∴t+
，
[方法①]t2﹣2
t+1=0，∵BD 在OD 上方
一元二次方程200 题（含解析）---解析
解得：t=
﹣1，=
+1 或t=
+1，=
﹣1（舍去）．
得
，
[方法②]由②得：BD=t+
，
此时BD=CD=
，∴此时四边形BDCF 为菱形（9 分）
解法二：在等腰Rt△OAE 与
等腰
等腰Rt△EDB 中
∵OA=AE=t，OE=
t，则ED=BD=2﹣
t，
∴AB=AE+BE=t+
（2﹣
t）=2
﹣t，
∴2
以下同解法一，
此时BD=CD=
，
∴此时四边形BDCF 为菱形．（9 分）
122．（1）证明：在矩形ABCD 中，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．
由题意，得∠GAH= ∠DAC，∠ECF= ∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．
又∵AE∥CG，∴四边形AECG 是平行四边形．
（2）解法1：在Rt△ABC 中，
∵AB=4，BC=3，∴AC=5．
∵CF=CB=3，∴AF=2．
在Rt△AEF 中，设EF=x，则AE=4﹣x．
根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4﹣x）2=22+x2．
解得x= ，即线段EF 长为cm．
解法2：
∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，
∴
．∴
，
解得
，即线段EF 长为cm．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
123．解：：金鱼的面积8.25m2．
（1）根据题意，得
，
整理得
，解得k≥﹣且k≠0；
（2）因其两根之和为
和为
，两根之积为
积为
，
由题意得
，
解得k=﹣，
即当k=﹣时，此方程的两根
之和等于两根之积．
积．
124．甲题：
解：（1）∵方程x2+（2k﹣3）x+k2=0 有两个不相等的实数根，
相等的实数根，
∴△＞0，即（2K﹣3）2﹣4×1×K2＞0，解得：k＜；
（2）由根与系数的关系得：
系数的关系得：α+β=﹣（2k﹣3），αβ=k2，
∵α+β+αβ=6，∴k2﹣2k+3﹣6=0，
解得k=3 或k=﹣1，
由（1）可知：k=3 不
合题意，舍去．
合题意，舍去．∴k=﹣1，∴α+β=5，αβ=1
故
（
（α﹣β）2+3αβ﹣5=（α+β）2﹣αβ﹣5=19．
乙题：
（1）证明：∵ABCD 为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，∴
，
又∵DF= DC，∴
，∴
，∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵ABCD 为正方形，
∴ED∥BG，∴
=
，
又∵DF=
正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，BG=BC+CG=10．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
125．（1）证明：△=（﹣2m）2﹣4（n2﹣mn+ m2）=﹣（m﹣2n）2≥0，
∴（m﹣2n）2≤0，
∴m﹣2n=0，
∴△=0
∴一元二次方程x2﹣2mx+n2﹣mn+ m2=0 有两个相等实根，
∴AM=AN．
（2）解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∠DAC=∠DBA，
∴△ADC∽△BDA，
∴
=
，
∴AD2=BD•DC，
∵CF⊥BE，
∴∠FCB+∠EBD=90°，
∵∠E+∠EBD=90°，
∴∠E=∠FCB，
∵∠NDC=∠EDB=90°，
∴△EBD∽△CND，
∴△ADC∽△BDA，
∴
=
，
∴BD•DC=ED•DN，
∴AD2=ED•DN，
∵AN=
，DN= ，
∴AD=DN+AN=3，
∴32= DE，
∴DE=8．
（3）解：由（1）知AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM
∵∠AMN+∠CAN=90°，∠DNC+∠NCD=90°，
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°，∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠ACM=∠FBM
一元二次方程200 题（含解析）---解析
由（2）可知∠E=∠FCB，∴∠ABE=∠E，∴AB=AE
过点M 作MG⊥AN 于
点
点G
由MG∥BD 得
=
，
∴
=
=
=
，
∴
= ，∴
=
= ，
过点A 作AH⊥EF 于
点
点H，
由AH∥FN，
得
=
= ，
设EH=8a，则FH=3a，
∵AE=AB，∴BH=HE=8a，∴BF=5a，EF=11a，
由根与系数关系得，
系数关系得，
，
解得：a=±
，
∵a＞0，a=
，∴BF=
，
由∠ACM=∠MCB，∠DAC=∠DBA 可知△ACN∽△BCM，
∴
=
=
设AC=3b，则BC=5b
在Rt△ABC 中，有AB=4b．∴AM=
．
在Rt△ACM 中，有MC=
由△ACM∽△FCB 得
，∴
，∴BC=5．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
126．解：设年产量为t吨，费用为y（万元），每吨销售价为z（万元），则0≤t≤1000，
由图（1）可求得y=10t，
由图（2）求得z=﹣
t+30．
设毛利润为
利润为w（万元），
则w=tz﹣y=t（﹣
t+30）﹣10t=﹣
t2+20t．
∴﹣
t2+20t=7500，∴t2﹣2000t+750000=0，
解得t1=500，t2=1500（不合题意，舍去）．
合题意，舍去）．
127．解：（1）80﹣x，200+10x，800﹣200﹣（200+10x）
时间
第一个月第二个月 清仓时
时
单价（元）
80
80﹣x
40
销售量（件）200
200+10x 800﹣200﹣（200+10x）
（2）根据题意，得
80×200+（80﹣x）
（200+10x）+40[800﹣200﹣（200+10x）]﹣50×800=9000
整理得10x2﹣200x+1000=0，即x2﹣20x+100=0，
解得x1=x2=10 当x=10 时，80﹣x=70＞50
答：第二个月的单价应是70 元．
128．解：
（1）设P、Q 两点从出发开始到x 秒时四边形PBCQ 的面积为33cm2，
则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得
得x=5，
（2）设P，Q 两点从出发经过t 秒时，点P，Q 间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．
答：（1）P、Q 两点从出发开始到5 秒时四边形PBCQ 的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6 秒或
4.8 秒时，点P 和点Q 的距离是10cm．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
129．解：（1）当点P 与
点
点N 重合或点
点Q 与
点
点M 重合时，以PQ，MN 为两边，
以矩形的边（AD 或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
①当点P 与
点
点N 重合时，由x2+2x=20，得x1=
﹣1，x2=﹣
﹣1（舍去）．
因为BQ+CM=x+3x=4（
﹣1）＜20，此时点Q 与
点
点M 不
重合．
重合．
所以x=
﹣1 符合题意．
②当点Q 与
点
点M 重合时，由x+3x=20，得x=5．
此时DN=x2=25＞20，不符合题意．
符合题意．
故
点
点Q 与
点
点M 不
能重合．
能重合．
所以所求x 的值为
﹣1．
（2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧，
①当点P 在点N 的左侧时，
由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），
解得x1=0（舍去），x2=2．
当x=2 时四边形PQMN 是平行四边形．
②当点P 在点N 的右侧时，
由20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，
解得x1=﹣10（舍去），x2=4．
当x=4 时四边形NQMP 是平行四边形．
所以当x=2 或x=4 时，以P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形．
（3）过点Q，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E，F．
由于
2x＞x，
所以点E 一定在点P 的左侧．
若以P，Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形，
则点F 一定在点N 的右侧，且
PE=NF，
即2x﹣x=x2﹣3x．
解得x1=0（舍去），x2=4．
由于当
当x=4 时，以P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，
所以以P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形．
能为等腰梯形．
一元二次方程200 题（含解析）---解析
130．解：（1）设折叠进去的宽度为
去的宽度为xcm，则（2x+15×2+1）（2x+21）=875，
化简得x2+26x﹣56=0，
∴x=2 或
﹣
﹣28（不
合题意，舍去），
即折叠进去的宽度为
去的宽度为2cm．
（2）设折叠进去的宽度为
去的宽度为xcm，则
①
得x≤﹣，不符合题意；
符合题意；
②
得x≤﹣3，不符合题意；
符合题意；
③
得x≤2；
④
得x≤﹣，不符合题意；
符合题意；
⑤
得x≤2；
⑥
得x≤4.5．
综上，x≤4.5．即折叠进去的宽度最大为
去的宽度最大为4.5cm．
