文档文本内容
第2 课时 角的比较
教学目标
课题
第2 课时 角的比较
授课人
素养目标
1.经历比较角的大小的研究过程，体会角的比较和线段的比较方法的一致性，能比较角的大小，能估计
一个角的大小，发展学生的几何直观感知能力，感受类比的数学思想。
2.在操作活动中认识角的平分线，理解角的平分线的概念，使学生积累数学活动经验，加强抽象能力与
实际操作能力。
3.能用尺规作图：作一个角等于已知角，培养学生的动手操作能力与作图能力。
4.会计算角的和、差，发展学生的运算能力及合情的推理能力。
教学重点
角的比较，角的平分线的概念，计算角的和、差。
教学难点
尺规作一个角等于已知角，角的和、差与角的平分线的综合。
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，
新课导入
设计意图
列举实例引起反思，
然后通过提问引入角
的比较。
【情境引入】
成功永远属于肯攀高峰的人，你会选择从哪一面上山呢？为什么？图中
的∠1 和∠2 又如何比较？
【教学建议】
通过创设现实情境让
学生明白角的比较是有
必要的，教师也可以列
举其他能抽象出角的比
较的实例，激发学生的
学习兴趣，引发学生思
考，衔接新课。
活动二：交流合作，
探究新知
设计意图
通过设问引入角的比
较的方法，据此引入
角的和、差的概念，
并通过练习使学生掌
握比较角的大小的方
法。
设计意图
通过问题回顾角的大
小比较,结合折叠引
入角的平分线的概
念,并运用其所阐述
的数量关系进行简单
的角的运算。
设计意图
通过设问让学生大致
估计出一个角的度
数，并动手操作进行
验证。
探究点1 角的比较及角的平分线的探究
Ⅰ.角的比较
问题1 你能比较下图中每组角的大小吗？与同伴进行交流。
通过观察得知①中的∠AOB>∠CO′D，而②③中的两个角的大小难以通
过观察得知。
问题2 当有些角度无法直接观察判断时，又有什么方法可以判断呢？
度量法：用量角器量出它们的度数，再进行比较。
如：
叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧比
较大小（如下表所示）。
问题3 想一想，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？
教师总结：
【对应训练】
如图，用“>”“<”或“=”填空：
（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC；
（2）∠AOC>∠AOB；
（3）∠BOD-∠BOC=∠COD；
（4）∠AOD<∠AOC+∠BOD；
（5）若∠AOB=∠COD，则∠AOC=∠BOD。
Ⅱ.角的平分线
问题4 上面我们学习了三种角的大小的比较方法，接下来我们看看这
些方法该如何应用。如图，请解决下列问题：
（1）比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE 的大小，并指出其中的锐
角、直角、钝角、平角；
【教学建议】
教学中教师要对比
角的比较方法与线段的
比较方法，注意二者的
一致性。在学生回忆比
较线段长短的方法和观
察三组角的基础上明
晰：如果两个角的大小
相差很大，直接观察就
可以比较。如果直接观
察难以判断，我们可以
有两种方法进行比较：
一种是用量角器量出每
个角的度数，再进行比
较；另一种方法是将两
个角叠合进行比较。通
过设问的方式使学生自
行体会角的和、差，为
今后练习中经常出现相
关的推理或计算打牢基
础。
【教学建议】
可跟学生讲述角的
大小比较能从“数”和
“形”两个方面进行对
比。“数”的角度：度
数高的角就大。“形”
的角度：开口大的角就
大，这与角的两边的长
短无关。
【教学建议】
前两个小问旨在巩
固比较角的大小的方
法，并进一步丰富对锐
角、直角、钝角、平角
的认识。教学中应鼓励
学生充分交流比较∠BOC
和∠DOE 的大小的方
法。后面呈现折叠是借
此引出角的平分线的概
念，这里倡导学生自己
动手画角并通过折纸操
作得到相等的角，加深
对角的平分线的具象认
识，从交流中清晰说出
角的平分线的概念。教
师总结点评时，着重强
调角的平分线需满足：
共顶点的几个角，可进行加减。
教学步骤
师生活动
探究点2 用尺规作角
问题1 我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比较两个角的大
【教学建议】
教学中可让学生
∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE，
∠AOB 是锐角，∠AOC 是直角，∠AOD 是钝角，∠AOE 是平角。
（2）试比较∠BOC 和∠DOE 的大小；
∠BOC>∠DOE。
（3）小亮通过折叠的方法，使OD 与OC 重合，OE 落在∠BOC 的内
部，所以∠BOC＞∠DOE。你能理解这种方法吗？
（4）请在图中画出小亮折叠的折痕OF，∠DOF 与∠COF 有什么大小
关系？
第（3）（4）问思路引导：
①
你明白小亮的思路么？现在我们进行操作能手比赛，请
按小亮的思路折一折，然后画出折痕OF。
②这个OF 是什么线呢？∠DOF 与∠COF 有什么大小关系？
OF 是一条射线。∠DOF=∠COF，也就是说这条射线把角进行了平分。
概念引入：
【对应训练】
教材P123 随堂练习第2 题。
Ⅲ.角度的估计
问题5 （1）估计下图中∠AOB，∠DEF 的度数。
估计∠AOB≈60°，∠DEF≈105°。
（2）量一量，验证你的估计。
用量角器量得∠AOB≈61°，∠DEF≈106°。
【对应训练】
教材P123 随堂练习第1 题。
（1）是从角的顶点引出
的射线；（2）在角的内
部；（3）平分已知角。
注意提醒学生进行角的
计算时，类似于线段中
点，角平分线所产生的
数量关系也有多种表现
形式，要根据题目灵活
选用。
【教学建议】
能大致估计角的度
数是学生需具备的基本
素质，要让学生充分交
流，无论是直接观察，
还是利用学具，都能让
学生感受角的度数与形
状的关系，利于培养学
生的几何直观感知力。
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这
条射线叫作这个角的平分线。
设计意图
由探究如何移动角来
比较两个角的大小这
一问题进行切入，引
出作一个角等于已知
角的尺规作图方法，
并设置题目使学生学
会运用这一方法作图
比较角的大小。
小。如何移动一个角呢？比如，如何将图①中的∠AOB 移动到图②的位置，
使OA 与O′A′重合？
（1）请你用三角尺、量角器、圆规等工具解决这一问题。
（2）如果只用尺规，如何解决这个问题？请你试一试，并与同伴进行交
流。
问题2 将图①中的∠AOB 移动到图②的位置，使OA 与O′A′重合，这个
角的大小由什么来决定？
这个角的大小由另一条边的位置决定。
问题3 如何确定另一条边的位置呢？下面的例题将给出用尺规来完成的
方法。
例 （教材P124 例2）如图，已知∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使
∠A′O′B′=∠AOB。
∠A′O′B′就是所要作的角。
通过以上方法，我们确定了角的另一条边的位置，从而将∠AOB 移动到
了∠A′O′B′的位置，实质上这就是作一个角等于已知角的尺规作图。
问题4 如图，已知∠AOB，∠EO′F，用尺规作图比较它们的大小。你是
怎样做的？
如图，可通过作一个角等于已知角的尺规作图，将∠AOB 移动到
∠A′O′B′ 处，使∠A′O′B′=∠AOB ，从而发现∠A′O′B′>∠EO′F ，于是
∠AOB>∠EO′F。
【对应训练】
充分交流，发挥想
象，画图工具不限，
方法也不限，只要正
确画出即可。这里给
出了两种常规思路，
一种是用度量的方
法，另一种则是尺规
作图法。由于作图过
程较复杂，教学时应
要求学生按照作图步
骤亲自操作。对于
“作法”，学生能看
懂即可，不必要求写
出。“作法”与“示
范”是文字语言与图
形语言的转换，教学
中要充分利用作图过
程让学生体会两种数
学语言的转换。完成
作图后，鼓励学生利
用测量、比较等方式
验证所作的角是否等
于已知角。让学生交
流完成问题4，对比角
的大小的同时也渗透
了作两个角的差的方
法。
教材P125 随堂练习第1 题。
活动三：综合演练，
巩固提升
设计意图
综合考查角的平分线
与角的和、差，强化
学生对于本节课概念
的领悟和解题能力。
例 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，如果
∠AOB=40°，∠DOE=30°，求∠BOD 的度数。
思路分析：
解：因为OB 是∠AOC 的平分线，
所以∠BOC=∠AOB=40°。
因为OD 是∠COE 的平分线，
所以∠COD=∠DOE=30°，
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°。
【对应训练】
如图，∠AOB=60°，射线OC ，OD 是∠AOB 内部的两条射线。若
∠AOC=10°：
（1）当OD 平分∠BOC 时，则∠BOD=25°；
【解析】因为∠AOB=60°，∠AOC=10°，
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-10°=50°。
因为OD 平分∠BOC，
所以∠BOD=
∠BOC=
×50°=25°。
（2）当∠BOD=
∠BOC 时，求∠AOD 的度数。
解：因为∠AOB=60°，∠AOC=10°，
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-10°=50°。
因为∠BOD=
∠BOC，所以∠BOD=25°。
所以∠AOD=∠AOB-∠BOD=60°-25°=35°。
【教学建议】
与线段的和、差
一样，角的和、差就
是它们的度数的和、
差，学过角的平分线
之后，往往融合角的
和、差计算，这将会
给出题角度带来更多
变化。学生思路不清
时，教师可采用板书
思维导图的方式给学
生提示，帮助他们疏
清脉络，如例题中的
思路分析过程。
活动四：随堂训练，
课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.你能用哪些方法比较两个角的大小？举例说明。
2.什么是角的平分线？你能从文字语言和符号语言两个方面说明吗？
3.你能估计一个角的大小吗？会计算角的和、差吗？
4.你能用尺规作一个角等于已知角吗？
5.回顾研究线和角的过程，你积累了哪些研究图形的经验？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P125~127 习题4.2 第3，4，5，6，7，9，11 题。
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练。
板书设计
第2 课时 角的比较
1.角的比较（观察法、度量法、叠合法）。
2.角的平分线（概念、应用）。
3.估计一个角的大小。
4.尺规作图：作一个角等于已知角。
5.计算角的和、差。
教学反思
学生已经历过比较线段长短的过程，知道可以通过观察、度量和叠合的方法比较线段的长短，因
此本节课同样从这三个层次着手使学生得出比较角的大小的方法，然后设计一个操作活动引出角的平分
线的概念，再根据叠合法进行延伸从而引出用尺规作一个角等于已知角的方法。通过本节课的学习强化
了学生对于角的认识，也为今后研究图形提供了方法和依据。
解题大招一 角的大小比较
角的大小比较的常用方法：（1）如果已知角是锐角、直角、钝角、平角、周角几类中不同类的角，
就可以直接由它们之间的关系比较出它们的大小；（2）可以通过量角器进行度量来比较角的大小；（3）
可以根据各角在同一图中的位置关系比较角的大小。
例1 如图，∠AOC=90°，∠BOD=90°。
（1）比较∠AOB，∠AOC，∠AOD 的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角。
（2）∠AOB 和∠COD 哪个大？说明理由。
解：（1）∠AOB<∠AOC<∠AOD，∠AOB 是锐角，∠AOC 是直角，∠AOD 是钝角。
（2）∠AOB 和∠COD 一样大。理由如下：
因为∠AOC=∠BOD=90°，所以∠AOB+∠BOC=90°，∠BOC+∠COD=90°，所以∠AOB=∠COD。
解题大招二 用尺规作已知角的和（或差、倍）角
作角的和、差、倍角都是先作一个角等于已知角，再在此角的基础上作其他角，区别就在于“和
角”“整数倍角”是在角的外部作角，而“差角”则在角的内部作角。
例2 如图，已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于2∠1-∠2。（不写作法，保留作图痕迹）
解：所求作的角如图所示。 【解析】①作∠BOD，使∠BOD=∠1；②作∠AOD，使∠AOD=∠1，
且OA 在∠BOD 的外部；③作∠BOC，使∠BOC=∠2，且OC 在∠AOB 的内部，则∠AOC 即为所求作的
角。
解题大招三 与三角尺有关的拼角问题
问题参考下图，借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？
列表总结：
可画角的度数
方式（仅列举部分）
15°
45°-30°=60°-45°=15°
75°
45°+30°=75°
105°
45°+60°=105°
120°
90°+30°=120°
135°
90°+45°=135°
150°
90°+60°=150°
165°
90°+30°+45°=165°
追问：画出的角的度数有什么规律？
教师总结：
例3 借助一副三角尺不能画出的角是（ A ）
A.95° B.105° C.120° D.135°
【解析】一副三角尺的度数分别是30°，60°，90°和45°，45°，90°，所以60°+45°=105°，30°
+90°=120°，45°+90°=135°，因此可以拼出105°，120°，135°的角，故选A。
培优点 求折叠问题中的角度
例请仔细观察如图所示的长方形纸片的折叠过程，回答下列问题：
(1)∠2 的度数为90°；
(2)∠1 与∠3 的数量关系为∠
1+
∠
3=90°
；
(3)∠1 与∠AEC 的数量关系为∠
1+
∠
AEC=180°
。
【解析】(1)由折叠的过程知，∠2=∠1+∠3。因为∠1+∠2+∠3=∠BEC，B，E，C 三点共线，所以
∠2=
∠BEC=
×180°=90°。
(2)因为∠2=90°，∠2=∠1+∠3，所以∠1+∠3=90°。
(3)因为B，E，C 三点共线，所以∠1+∠AEC=180°。
技巧点拨：图形折叠前后，同顶点的对应角相等，折痕平分两个角所拼成的大角
（1）用三角尺画特殊角，关键在于把它写成30°，45°，60°，90°角的和或差。
（2）凡是15°的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于
这样的角。
