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猜押 04 上海高考 17 题（解答题）
考点 3年考题 考情分析
近三年考查方向求体积、面积，线面、面面平行，线
立体几何 2022年~2024年
线、线面、面面所成的角
1．（2024·上海普陀·一模）图1所示的平行四边形 中， ， 现将 沿 折
起，得到如图2所示的三棱锥 ，记棱 的中点为 ，且. .
(1)求证： ；
(2)记棱 的中点为 ，在直线 上作出点 ，使得 平面 ，请说明理由，并求出二面角
的大小.2．（2023·上海奉贤·二模）如图，在四棱锥 中， ，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，且四棱锥 的体积为 ，求 与平面 所成的线面
角的大小．
3．（23-24高三上·上海·期中）如图，正直三棱柱 中， ， ， 是
的中点， 是 的中点.
(1)判断直线 与直线 的位置关系并证明；
(2)求直线 与平面 所成的角的大小.4．（23-24高三上·上海·期中）如图，在长方体 中， ， ， ，点 是
棱 的中点．
(1)求异面直线 与 所成角的大小；
(2)求点 到平面 的距离．
5．（23-24高三上·上海杨浦·期中）如图，长方体 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁
上，BE⊥EC₁.
(1)证明: BE⊥平面EB₁C₁
(2)若AA₁=2，AB=1，求四棱锥 的体积.6．（23-24高三上·上海·期中）如图，正四棱柱 中， ．
(1)求证： 是锐角三角形；
(2)求异面直线 与 所成的角的大小．
7．（24-25高三上·上海·开学考试）如图，已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，高为 ，底面半径为
2．
(1)求该圆锥的侧面积：(2)设 为该圆锥的底面半径，且 为线段 的中点，求直线 与直线 所成的角
的余弦值．
8．（24-25高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆 的
半径为1，圆锥的高 ，三棱锥 的底面 是以圆锥的底面圆的直径 为斜边的等腰直角
三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.
(1)求直线 和平面 所成角的大小；
(2)求该几何体的体积.
9．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥 中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对
角线 和 相交于点(1)求证； 平面 ，并求四棱锥 的体积；
(2)求二面角 的大小．
10．（24-25高三上·上海黄浦·期末）如图，在正方体 中，E是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小．
11．（24-25高三上·上海金山·期末）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形，
， 平面 ，Q是PB的中点， ．(1)证明： 平面 ；
(2)求点D到平面PAC的距离．
12．（2023·上海·模拟预测）已知三棱锥 中， 平面 为 中
点，过点 分别作平行于平面 的直线交 于点 .
(1)求直线 与平面 所成的角的正切值；
(2)证明：平面 平面 ，并求直线 到平面 的距离.
13．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ，
、 分别是 、 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小.
14．（23-24高二下·上海黄浦·期中）四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，
，点 是棱 上一点．
(1)求证: 平面 平面 ；
(2)当 为 中点时， 求二面角 的正弦值．
15．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥 中， ， ， ，
， 平面 ， 与平面 所成角为 ， 为 中点，(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角为 ，求 的值.
16．（22-23高二下·上海杨浦·期末）如图，正四棱柱 的底面边长为1，高为2，点 是棱
上一个动点（点 与 ， 均不重合）.
(1)当点 是棱 的中点时，求证：直线 平面 ；
(2)当 时，求点 到平面 的距离；
(3)当平面 将正四棱柱 分割成体积之比为 的两个部分时，求线段 的长度.
17．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）如图，正四棱柱 的底面边长为1，高为2，
相交于点O.(1)证明：直线 与平面 平行；
(2)求三棱锥 的体积.
18．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 分别为
棱 的中点， ，平面 平面 .求证：
(1) 平面 ；
(2) 平面 ．
19．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在直三棱柱 中， ，为 中点， 为 中点， 为 中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
20．（23-24高三上·上海嘉定·期中）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，
， ， 为 的中点， 为 上一点， 平面 .
(1)求证： 为 的中点；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.21．（23-24高三上·上海·期中）如图，在三棱锥 中，平面 平面BCD， ，
，H为BD的中点， ， ．
(1)求证： ；
(2)求异面直线BC与AD所成角的大小．
(3)若 ，求三棱锥 外接球的体积．
22．（23-24高三上·上海虹口·期中）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为 的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求平面 和平面 所成的锐二面角．23．（23-24高三上·上海松江·期末）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，点 在
线段 上，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为 ， ， ， ， ，求二面角 的大
小．
24．（23-24高三上·上海黄浦·期中）如图，平面 平面 ，四边形 是正方形，
．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正切值．
25．（23-24高三上·上海虹口·期中）如图，在四棱锥 中，平面 平面PAD， ，，正三角形PAD的边长为2．
(1)求证： 平面PAD；
(2)若 ， ，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
26．（23-24高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱 中，已知 ， ，
．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)求直线 与平面 所成的角的大小．27．（24-25高三上·上海·期中）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F
在线段DE 上.
(1)求证: AF⊥BE;
(2)若点E是 的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小.
28．（24-25高三上·上海·期中）在直四棱柱 中，底面 是菱形，且 ．
(1)求证：直线 ；
(2)求二面角 的大小．29．（24-25高三上·上海·期中）如图，已知 是正三角形， 、 都垂直于平面 ，且
， ， 是 的中点， 是 的中点.
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 .
30．（24-25高三上·上海·期中）如图，正方体 的棱长为4，点E、F分别为棱 和
的中点.
(1)求异面直线EF与BC所成角的大小；
(2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征；
(3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小．31．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为 ， ，
的中点， ， ， .
(1)求证： .
(2)求异面直线 与 所成角.
32．（24-25高三上·上海·期中）如图所示五面体中，四边形 为长方形， 平面 和
是全等的等边三角形.
(1)求证： ；
(2)若已知 ，求该五面体 的体积.33．（23-24高三上·上海闵行·期末）三棱柱 中， ，线
段 的中点为 ，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
34．（23-24高三上·上海宝山·期末）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边 长为6分米，另一
边足够长.现从中截取矩形 （如图甲所示），其中 是以 为圆心， 的扇形，且弧
分别与边 相切于点 .剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓
形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.(1)当 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；
(2)当 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
35．（23-24高三上·上海普陀·期末）如图，斜三棱柱 中，底面 是边长为a的正三角形，
侧面 为菱形，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，三棱柱 的体积为24，求直线 与平面 所成角的大小．
36．（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知 为圆柱 底面圆 的直径， ，母线 长
为3，点 为底面圆 的圆周上一点．(1)若 ，求三棱锥 的体积；
(2)若 ，求异面直线 与 所成的角的余弦值．
37．（24-25高三上·上海·期末）在如图所示的圆锥中底面半径为2，P是顶点，O是底面的圆心，A、B是
圆周上两点，且
(1)若圆锥的侧面积为 ，求圆锥的体积；
(2)设圆锥的高为2，M是线段AB 上一点，且满足 求直线 PM 与平面POB 所成角的大小.
38．（24-25高三上·上海杨浦·期末）如图，在三棱锥 中， ， ， ．为 的中点，且 ，平面 平面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的大小．
39．（2023·上海闵行·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面
底面 ，且 ，设 、 分别为 、 的中点．
(1)证明：直线 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正切值．40．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 为 的中点.
(1)求证： ；
(2)若 ，求异面直线 与 所成的角的大小.
41．（2023·上海杨浦·一模）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 ，若四棱锥 的体积为 ，求点 到平面 的距离.42．（2023·上海青浦·一模）已知四棱锥 ，底面 为正方形，边长为 ， 平面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与 所成的角大小为 ，求 的长．
43．（2023·上海宝山·一模）如图，在直三棱柱 中， ， ，且 分
别是 的中点.
(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求直线 与平面 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）44．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ，E，F分别为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点B到平面 的距离．
45．（2023·上海嘉定·一模）四棱柱 中， 平面 ， 为梯形，
， .
(1)求证： 平面
(2) 为平面 上一动点，是否存在 使得 与平面 的夹角为 ，若存在，求出 到平面
的最小值，若不存在，说明理由.46．（2023·上海奉贤·一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已
知四面体 中， 平面 ， ．
(1)若 ，求证：四面体 是鳖臑，并求该四面体的体积；
(2)若四面体 是鳖臑，当 时，求二面角 的平面角的大小．
47．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的圆锥中， 是顶点， 是底面的圆心， 、 是圆周上两点，
且 ， ．
(1)若圆锥侧面积为 ，求圆锥的体积；
(2)设圆锥的高为2， 是线段 上一点，且满足 ，求直线 与平面 所成角的正切值．48．（2024高三下·上海·专题练习）如图，在圆柱中，底面直径 等于母线 ，点 在底面的圆周上，
且 ， 是垂足．
(1)求证： ；
(2)若圆柱与三棱锥 的体积的比等于 ，求直线 与平面 所成角的大小．
49．（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱 中， 平面 ， 是 的中点，
， ．
(1)求证： 平面 ；(2)求异面直线 与 所成角的大小．
50．（2024·上海闵行·二模）如图，已知 为等腰梯形， ， ， 平面
， .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的大小.
51．（2024·上海静安·二模）如图1所示， 是水平放置的矩形， ， ．如图2所示，将
沿矩形的对角线 向上翻折，使得平面 平面 ．
(1)求四面体 的体积 ；
(2)试判断与证明以下两个问题：
① 在平面 上是否存在经过点 的直线 ，使得 ？② 在平面 上是否存在经过点 的直线 ，使得 ？
52．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为
的中点.
(1)设平面 与直线 相交于点 ，求证： ；
(2)若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的大小.
53．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 （及其内部）以 边所在
直线为旋转轴旋转 得到的，点 是 的中点，点 在 上，异面直线 与 所成的角是 ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求二面角 的大小．
54．（2024·上海杨浦·二模）如图， 为圆锥顶点， 为底面中心， ， ， 均在底面圆周上，且
为等边三角形.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若圆锥底面半径为2，高为 ，求点 到平面 的距离.
55．（2024·上海奉贤·二模）如图 是由两个三角形组成的图形，其中 ， ，
， ．将三角形 沿 折起，使得平面 平面 ，如图 ．设 是 的
中点， 是 的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的大小；(2)连接 ，设平面 与平面 的交线为直线 ，判别 与 的位置关系，并说明理由．
56．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在正四棱锥 中， ，E、F分别为PB、
PD的中点，平面 与棱PC的交点为G.
(1)求平面 与平面 所成锐二面角的大小；
(2)若 ，求 的值.
57．（2023·上海·模拟预测）在直四棱柱 中， ， ， ， ，(1)求证： 平面 ；
(2)若四棱柱 体积为36，求二面角 大小.
58．（2025·上海·模拟预测）如图，在四面体 中，设棱 ，其余5条棱长都为2.
(1)当 时，求直线 与平面 所成角的大小；
(2)当四面体 的表面积最大时，求 的值及其体积.
59．（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形 为长方形， 平面 ， ， ．(1)若 分别是 的中点，求证： ∥平面 ；
(2)边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的大小为 ？若存在，求 长；若不存在，
说明理由．
60．（2025·上海嘉定·二模）如图，在四棱锥 中，PA⊥平面ABCD， ，
．
(1)若AD 平面PBC，证明： ；
(2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，
找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积．
