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专题10 函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ 的取值和最值问题
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题型01 φ 的取值和最值问题.................................................................................................................................... 1
题型02 对称性与ω................................................................................................................................................... 3
题型03 单调性与ω................................................................................................................................................... 4
题型04 极值、最值与ω............................................................................................................................................5
题型05 零点与ω....................................................................................................................................................... 7
题型01 φ 的取值和最值问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数
的图象关于
对称，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·江西·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得
到奇函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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3．（2024·浙江杭州·一模）将函数
的图像向左平移
个单位，得到函数
的图
像，则"
是偶函数"是"
"的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024·河北·模拟预测）已知函数
在区间
单调递增，则
的取值范围
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·陕西宝鸡·阶段练习）设函数
，将函数
的图像向左平移φ（
）个单位长度，得到函数
的图像，若
为偶函数，则φ 的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·上海·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单位长度
得到数
的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（24-25 高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数
的图象关于直线
对称，且函数
的图象向右平移
个单位长度之后与原来的图象重合，则
的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
8．（24-25 高三上·江苏南通·期中）已知函数
的一个单调减区间为
2
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，则
，
.
9．（24-25 高三上·上海·阶段练习）设
，
，若不等式
对
也
成立，则
的取值范围是 ．
10．（24-25 高三上·上海·开学考试）已知函数
的图像与直线
的三个相邻交点的横坐标依次是
，则
.
11．（2024 高三·全国·专题练习）函数
在区间
上单调，其中
为正整数，
，
且
．写出曲线
的一个对称中心的坐标： ；若
为奇函数，则
．
题型02 对称性与ω
【解题规律·提分快招】
1、y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是T
2 ；
2、y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是T
2 ；
3、y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离T
4 ；
【典例训练】
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到曲
线
，若
关于
轴对称，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）将函数
（其中
）的图像向右平移
个单位长度，
所得图像关于直线
对称，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知函数
，“存在
，函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称”是“
”的（ ）
3
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件：
二、填空题
4．（24-25 高三上·贵州·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，且
的图象关于点
对称，则
的最小值为 .
5．（2024 高三·全国·专题练习）若函数
满足
，
则
.
6．（2024·四川资阳·二模）已知函数
（
），若存在
，
，使得
，则
的最小值为 .
题型03 单调性与ω
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）若函数
在区间
上是减函数，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
2．（23-24 高三下·江苏无锡·阶段练习）已知函数
的一个零点是
，
且
在
上单调，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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3．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
的图像向左平移
后得到的图
像关于
对称，
在
上具有单调性，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 高三·全国·专题练习）把函数
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，
纵坐标不变，得到函数
的图象，若
在区间
内有唯一一个对称中心，且在区间
上
单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·上海·期中）设
，
.若对任意实数
，都有
，则满足条
件的有序数对
的个数是（ ）
A．无数个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二、填空题
6．（24-25 高三上·江苏南通·期中）已知函数
的一个单调减区间为
，则
，
.
7．（24-25 高三上·河北邢台·期中）已知
，函数
在
上单调递增，则
的
最大值为 .
8．（24-25 高三上·湖北十堰·期末）已知
，函数
在
上单调递减，则
的
最大值为 .
9．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数
（
，
），
为
的零点，
为
图象的对称轴，且
在
上不单调，则
的最小值为 .
10．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（
，
）在区间
上单调，
且满足
，
，则所有满足题意的
的取值之和为 ．
5
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题型04 极值、最值与ω
【解题规律·提分快招】
1、三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），
也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.极值点的
处理方法与零点类似（见下）
【典例训练】
一、单选题
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
，函数
在
上有且仅有一个极小值但没有极大值，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·辽宁·期中）函数
，若
对x∈R恒成立，且
在
上恰有条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若对任意的
，
在区间
上的值域均为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知
，
，若函
数
在区间
上恰好有5 个最大值，4 个最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·西藏拉萨·一模）若函数
在
上恰有个极值点，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·陕西·阶段练习）已知函数
在区间
上存在最值，且在区
6
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间
上具有单调性，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·河南南阳·模拟预测）若函数
的图象关于点
中心对称，
且
是
的极值点，
在区间
内有唯一的极大值点，则
的最大值为（ ）
A．8
B．7
C．
D．
8．（24-25 高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数
在区间
上是增函数，若函
数
在
上的图象与直线
有且仅有一个交点，则
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三上·福建·阶段练习）已知函数
，且
，则满足
在区间
上的最大值为
的
的取值的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
10．（24-25 高三上·江苏苏州·期中）已知函数
在区间
上的值域为
，
且
，则
的值为 .
11．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知函数
，若
，则
的取值范围为 ．
12．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
在
上没有最小值，则
的取
值范围是 .
13．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，
且
在区间
上有且只有一个极大值点，则
的最大值为 .
7
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题型05 零点与ω
【解题规律·提分快招】
1、对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k 个零点，需要确定含有k 个零点的区间长度，一般
和周期相关，若在在区间至多含有k 个零点，需要确定包含k+1 个零点的区间长度的最小值，
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·湖南长沙·期末）已知函数
在上有三个零点，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南新乡·一模）将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，再
将所得图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
在区间
上恰有5 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·天津南开·阶段练习）已知函数
，若
在区间
上单调递增，且在区间
上有且只有一个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，所得图象在区间
上恰有两个零点，且在
上单调递增，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．（2024·上海崇明·一模）已知
，若函数
在区间
上有且仅有
3 个零点和1 个极小值点，则
的取值范围是 ．
8
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6．（24-25 高三上·上海·期中）已知
，
，
，
，函数
和
的图像如图所示，其中
是这两个函数共同的零点，
是其中一个函数的零点，则
.
7．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数
（
，
），
为
的零点，
为
图象的对称轴，且
在
上不单调，则
的最小值为 .
一、单选题
1．（24-25 高三上·陕西宝鸡·阶段练习）设函数
，将函数
的图像向左平移φ（
）个单位长度，得到函数
的图像，若
为偶函数，则φ 的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·甘肃平凉·期末）已知函数
在
上有且仅有2 个零点，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（甘肃省2024-2025 学年高三上学期12 月高考诊断数学试卷）若函数
在
上只有一个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）函数
在区间
内只有一个极值点的
充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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5．（河南省部分学校2024-2025 学年高三上学期第二次考试数学试题）已知
和
都是函数
的零点，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
6．（24-25 高三上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数
，将y = f ( x)的图象上所有点向
左平移
个单位长度得到函数
的图象，若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数
（
）的图象过点
，
且
在区间
上具有单调性，则
的最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．8
8．（24-25 高三上·河北保定·阶段练习）将函数
的图象向右平移
个单位长
度后得到
的图象，若
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三上·天津河北·期末）若函数
（
），①函数
的最小正周期为
，则
；②当
时，
在区间
上单调递增；③当
时，
为函
数
的一个对称中心；④若
在
上有且只有两个零点，则
.其中正确结论的个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）已知点
在函数
的
图像上，若
恒成立，且
在区间
上单调，则
（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高三上·江西·阶段练习）将函数
的图象先向右平移
个单位长度，再把所得函数
图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若函数
在
上没
有零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．(0,1)
12．（2025 高三·全国·专题练习）当
时，函数
与
的图象有4
个交点，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知
，若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）设函数
在
上恰有两个零点，且
的图象在
上恰有两个最高点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
15．（24-25 高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数
满足
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，则下面说法正确的是（ ）
A．
B．函数
为奇函数
C．函数
在
上单调递减
11
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D．函数
在
上有两个极值点
16．（23-24 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知直线
是函数
图象的一条对称
轴，则下列结论正确的是（ ）
A．ω 的最小值为
B．若
在区间
上有且仅有2 个对称中心．则
C．若
在区间
上单调递减，则
D．
不可能是
的零点
17．（24-25 高三上·四川绵阳·期末）设函数
，已知
在
上有且仅有个
零点，则以下结论中正确的是（ ）
A．
在
上有且仅有3 个最大值点
B．
在
上有且仅有2 个最小值点
C．
在
上单调递增
D．
的取值范围是
三、填空题
18．（24-25 高三上·吉林长春·期末）已知函数
的图象关于直线
对称，且
在
上单调递增，则正数
的最大值为 ．
19．（23-24 高三上·江苏盐城·期末）若函数
在区间
上恰有两个最大值，
则实数
的取值范围是 ．
20．（2024·全国·模拟预测）将函数
的图像向右平移
个单位长度得到函数
的图像．若
在区间
内有零点，无极值，则
的取值范围是 ．
21．（24-25 高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是
12
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22．（24-25 高三上·黑龙江·期末）已知函数
，将
的图象向右平移
个单位
长度得到函数
的图象，若
是偶函数，
在
上恰有4 个零点，则
.
23．（24-25 高三上·湖南永州·期末）设函数
，若存在
，使得
，则
的最小值为 ．
24．（24-25 高三上·湖南永州·期末）已知函数
在区间
上单调递减，且在区
间
上恰有个零点，则
的取值范围是 .
25．（24-25 高三上·湖南长沙·期末）已知函数
和
的图
象相邻的两个交点为A，B，若
，则
的取值范围为 .
13
