压轴06函数与导数中的创新与融合问题的3大核心题型（压轴题专练）（全国通用）（原卷版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件

压轴06 函数与导数中的创新与融合问题的3 大核心题型
1.导数与函数与其他知识识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐
成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.导数与函数的新定义问题通常涉及三种类型：定义新
概念、定义新运算、定义新性质.解决导数与函数的新定义问题过程中，借助类比的方式有助于深化对新定
义的认识，尽管新定义的外表可能颇具挑战，但其实质仍旧根植于数学的基础知识中。
题型01 导数与函数与其他知识的交汇
1.（2025·河北张家口·二模）已知正三棱柱的表面积为6 3 ，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为
（   ）
A．3
B．2 3
3
C．4 3
3
D．5 2
4
2.（2025·内蒙古包头·模拟预测）过点

1,0
P
且与抛物线
2
:
C x
y
=
有且仅有1 个公共点的直线l 的条数为
（   ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.（2025·四川南充·三模）已知曲线

cos
f x
x
x
=
，圆




2
2
:
1
1
9
C
x
y
-
+
+
=
，若直线l 与曲线

f x 在

0,0
处的切线平行，且直线l 被圆C 截得的弦长为6，则直线l 的方程为      
.
4.（2026·山东·模拟预测）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
3
3
1999
1999
π
3π
3π
sin
3
cos
3
4
4
2
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
-
+
+
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，则
2001
S
=          
.
题型02 导数与函数新定义问题
技法指导
1.函数与导数与解析几何、概率、立体几何均有可能交汇，在求解最值、范围时发挥工具性作用;
2.函数与导数与数列交汇，结合图形变换寻找点的坐标的规律，构造数列问题
5.（2025 湖北新八校协作体联考）丹麦数学家琴生是19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数
的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若
1
x ，
2x ，L，
nx 为

,a b 上任意n 个实数，满足






1
2
1
2
n
n
f x
f x
f x
x
x
x
f
n
n
+
+
+
+
+
+
æ
ö ³
ç
÷
è
ø
L
L
，当且仅当
1
2
n
x
x
x
=
=
=
L
时等号成立，则称函数

f x 在


,a b 上为“凸函数”.也可设可导函数

f x 在

,a b 上的导函数为

f
x
¢
，

f
x
¢
在

,a b 上的导函数为

f
x
¢¢
，
当

0
f
x
¢¢
<
时，函数

f x 在

,a b 上为“凸函数”.若
1
x ，
2x ，L，
nx 为

,a b 上任意n 个实数，满足





1
2
1
2
n
n
f x
f x
f x
x
x
x
f
n
n
+
+
+
+
+
+
æ
ö £
ç
÷
è
ø
L
L
，则称函数

f x 在

,a b 上为“凹函数”当且仅当
1
2
n
x
x
x
=
=
=
L
时等号成立.也可设可导函数

f x 在

,a b 上的导函数为

f
x
¢
，

f
x
¢
在

,a b 上的导函数为

f
x
¢¢
，当

0
f
x
¢¢
>
时，函数

f x 在

,a b 上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等
式.
(1)讨论函数
1
sin
y
x
=
，
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 的凹凸性；
(2)在
ABC
V
中，求证：
1
1
1
6
sin
sin
sin
2
2
2
A
B
C
+
+
³
；
(3)若n 个正实数


1 2
,
ix i
n
=
L
，，
满足
1
1
n
n
i
x
=
=
å
，求证：
1
2
1
2
1
nx
x
x
n
x
x
x
n
×
³
L
.  
6.（2026·湖南邵阳·一模）已知初等函数
u x 的定义域为D ，令

v x
u
x
= ¢
，若
x
D
" Î
，
0
v x
¢
>
，则
u x
是一个下凸函数.
(1)分别判断
3
2
2
1
u x
x
x
x
= -
+
-
+ 是否是R 上的下凸函数？请说明理由；
(2)已知
1
x ，
2x ，
3x ，
4x 是公差不为0 的等差数列，

f x 的定义域为R ，求证：

f x 为下凸函数是







2
3
1
4
f x
f x
f x
f x
+
<
+
成立的充分不必要条件；
(3)已知下凸函数
g x 的定义域为R ，且


,0
x
¥
" Î -
，
0
g x <
，求证：
x
" ÎR ，

0
g
x
¢
>
.
题型03 以高数中的定理为背景的新定义问题
技法指导
三步法：1. 翻译：将新定义精准转化为数学等式/不等式。2. 转化：识别其本质（如凹凸性、对称性、
极值点偏移）。3. 构造：针对目标（证不等式、求参数）构造函数，利用导数分析单调性、最值求解。
核心是化新为旧，导数工具。
7.（河南省部分示范性高中2025 届高三上学期12 月联考）约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学
家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数

f x 满足如下条件：
①函数

f x 在区间

,a b 上连续（函数图象没有间断）；
②函数

f x 在开区间

,a b 内可导（导数存在）．则在区间

,a b 内至少存在一点x ，使得



f b
f a
f
b
a
x
-
¢
=
-
成立，其中x 称为“拉格朗日中值点”．
(1)求函数

3
2
f x
x
x
=
+
在

1,1
-
上的“拉格朗日中值点”的个数；
(2)对于任意的实数1t ，2t ，证明：
2
1
2
1
cos
cos
t
t
t
t
-
£
-
；
(3)已知函数


2
e
ln
0
x
h x
x
x
a x a
=
-
-
³
在区间

0, ¥
+
上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当
2
1
0
x
x
>
>
时，
证明：



1
2
1
2
2
2
h x
h x
x
x
h
+
+
æ
ö
>
ç
÷
è
ø
．
8.罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定
理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果 R 上的函数
( )
f x 满足以下条件：①在闭区间[ , ]
a b 上连续，②
在开区间( , )
a b 内可导，③
( )
( )
f a
f b
=
，则至少存在一个
( , )
a b
x Î
，使得

0
f
x
¢
=
．据此，解决以下问题：
(1)证明方程


3
2
4
3
2
0
ax
bx
cx
a
b
c
+
+
-
+
+
=
在

0,1 内至少有一个实根，其中
R
a b cÎ
, ,
；
(2)已知函数



2
e
e
1
1,
R
x
f x
ax
a
x
a
=
-
-
-
-
-
Î
在区间

0,1 内有零点，求a 的取值范围．
1．（2025·广东佛山·二模）已知函数



2
2
1
x
x
a
f x
a
+
=
Î
-
R ，命题p：
f x 是奇函数，命题q：
f x 在

0, ¥
+
上是减函数，则p 是q 的（    ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·福建泉州·二模）设函数

f x 满足：,x y
"
ÎR ，都有




f x
y
f x
f
y
+
=
×
，且

2
2
f
=
.记

na
f n
=
，
技法指导
以高数中定理为背景的新定义创新类题目，一般是借用该高数中某定理表述的基本数学思想、基本
数学表达式构建能够适应中学知识解决的问题.本题依据微分学中无限逼近思想为情境，以拉格朗日中值
定理为数学模型证明两类不等关系成立.求解此问题的关键：（1）利用函数f（x）的单调性、零点所在
区间及待证函数不等式所在区间之间的包含关系，结合拉格朗日中值定理数学表达式采用适当放缩证明；
（2）利用无限逼近思想及函数图象上过一点的切线与x 轴的交点横坐标构造数列x0，x1，x2，…，xn，
xn＋1…，再利用拉格朗日中值定理构造出误差函数证明数列不等式成立.
则数列

2
log
na
的前10 项和为（    ）
A．55
B．45
C．55
2
D．45
2
3．（2025·山东临沂·模拟预测）若定义在D 上的函数

f x ，
1
2
3
,
,
x x x
D
"
Î
，
1
f x
，

2
f x
，

3
f x
可以作
为一个三角形的三条边长，则称

f x 是D 上的“三角形函数”．已知函数

ln
f x
x
x
t
=
+ 是定义在区间
2
2
1 ,e
e
é
ù
ê
ú
ë
û
上的“三角形函数”，则t 的取值范围是（    ）
A．
2
2
2e
,
e
æ
ö
+
+¥
ç
÷
è
ø
B．
2
1
2e
,
e
æ
ö
+
+¥
ç
÷
è
ø
C．
1
2e
,
e
æ
ö
+
+¥
ç
÷
è
ø
D．
1
e
,
e
¥
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
4．（2025·江西景德镇·二模）某公司举行抽奖活动，在箱子里装有

2
n n ³
个红球和4 个黑球，这些小球
除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为
中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3 次抽奖中恰好中奖一次的概率为p ，则当p 取到最大值时n
的值为         
.
5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数
3
2
( )
f x
x
ax
bx
=
+
+
．
(1)若
0
a
b
=
=
，函数
( )
f x 的图象在点
*
( ,
( ))(
)
n f n
nÎN
处的切线与x 轴的交点坐标为(
,0)
na
，求
na
的前n
项和
n
S ；
(2)若
0
a >
，函数
( )
f x 的图象与x 轴有且只有两个公共点，且
( 1)
0
f -
=
，求a，b 的值以及函数
( )
f x 在

,0
a
-
上的最小值．
6．（2025·上海黄浦·三模）已知函数

y
f x
=
是定义在D 上的连续函数，其导函数为

y
f
x
¢
=
，函数

y
f
x
¢
=
的导函数为

y
f
x
¢¢
=
，定义函数运算：




f
x
f
x
f x
f x
¢¢
¢
=
+
-
Ñ
．
(1)若

3
1
2
3
f x
x
x
=
-
+
，求出函数

y
f x
=
的极值点
0x ，并判断


0
f
x
¢¢
的符号；
(2)若


ln
f
x
x
=
，aÎR ，讨论方程

a
f x
= Ñ
解的个数；
(3)若


,
D
a b
=
，当


,
x
a b
Î
，

0
f x
Ñ
³
，记

f a 与
f b 中较大者为


0
M M >
．证明：

f x
M
£
．
7.（陕西省榆林市2024-2025 学年高三下学期第三次模拟）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有
理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数
,
m n ，函数

f x 在
0
x =
处的

,
m n 阶帕德近似定义为：



m
n
P
x
R x
Q
x
=
，其中

m
P
x 和

n
Q
x 分别是m 和n 次多项式，且满足


0
0 ,
f
R
¢
¢
=


0
0 ,
f
R
¢¢
¢¢
=




0
0 ,
,
0
0
n
n
f
R
f
R
¢¢¢
¢¢¢
=
=
L
.其中







4
,
,
,
,
n
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
é
ù
é
ù
é
ù
=
=
=
ë
û
ë
¢¢
¢
¢¢
û
¢
¢¢
¢
ë
û
¢¢
L
'
'
'
为


1
n
f
x
-
的导
数.已知



ln
1
f x
x
=
+
在
0
x =
处的

1,1 阶帕德近似为

1
ax
R x
bx
= +
.
(1)求实数,a b 的值，利用

f x 的

1,1 阶帕德近似估计ln1.2的近似值（结果保留3 位有效数字）；
(2)当1
0
- <
£
x
时，


f x
kR x
£
恒成立，求实数k 的取值范围；
(3)证明：当
0
x >
时，
11
16
xx >
.
8.（2026·上海徐汇·月考）定义：对于

f x ，
g x ，若




0
0
f
x
g
x
=
¢
¢
，则称
0
x
x
=
为

f x 和
g x 的“一一
值”；若




''
0
0
f x
g
x
=
，则称
0
x
x
=
为

f x 和
g x 的“零二值”．
(1)求

3
2
3
4
f x
x
x
x
=
+
+
与自身所有“零二值”的取值集合的子集；
(2)求





2
2
2 ,
2,0
2 ,
0,2
x
x x
f x
x
x x
ì -
-
Î -
ï
= í
-
+
Î
ïî
和


3
3,
2,2
2
g x
x
x
=
-
Î -
的“一一值”的个数；
(3)判断：对于定义域为R 的函数

f x 和
g x ，大于1 的正数a 满足：“任意x 均为

f x 和
·
x
g x
a a
=
的‘一
一值’和‘零二值’”是命题“


1
ex
f x
g x
+
=
=
”的什么条件并说明理由．
9.定理  如果函数

f x 在闭区间

,a b 上连续，在开区间

,a b 内可导，那么在开区间

,a b 内至少存在一点
c ，使得



f b
f a
f
c
b
a
-
¢
=
-
，这个定理称为微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理. 定理表明，如果函
数

f x 的图象是闭区间

,a b 上的一条连续曲线，且当


,
x
a b
Î
时，曲线上的每点都存在切线，那么，在曲
线上至少存在一点



,c f c
，使得该曲线在这一点处的切线平行于曲线两个端点的连线AB ，如图所示.
(1)已知

3,3 3
A
，P 为函数

3
f x
x
=
图象位于
,
O A 之间的部分上的一点，其中O 为坐标原点，求点P 到
直线OA的距离的最大值；
(2)如果
1
2
3
π
π
2
2
x
x
x
-
<
<
<
<
，证明：
3
2
2
1
2
1
3
2
cos
cos
cos
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
>
-
-
.
(3)如果函数

f x 在

,a b 内可导，且对于任意的


,
x
a b
Î
，都有

0
f
x
¢
<
，证明：函数

f x 在

,a b 内单
调递减.
10.已知区间I Í R ，定义域为I 的函数

y
f x
=
的图像是一条连续不断的曲线，点P 不在函数

y
f x
=
的
图像上，点A 在函数

y
f x
=
的图像上．若线段PA 与函数

y
f x
=
的图像有且仅有一个公共点，则称点A
是“P－可见”的．
(1)若I = R ，

2
f x
x
=
，点P 的坐标为

1,0
-
，判断点


1,1
A -
与


1,1
B
是否是“P－可见”的；
(2)已知m 为实数，若I = R ，
3
2
f x
x
mx
=
+
，点P 的坐标为

1,0
-
，点


1,1
A
m
+
是“P－可见”的，求m 的
取值范围；
(3)若


=
+¥
,
I
a
，点P 的坐标为

,a b ，证明：“函数

y
f x
=
的图像上任意一点都是‘
-
P
可见’的”是“函数

f
x
b
y
x
a
-
=
-
在I 上严格增或严格减”的充要条件．
11.（25-26 高三上·安徽六安·月考）记
1
2
1
n
i
n
i
a
a a
a
=
=
Õ
L
．已知函数
( )
f x 和
( )
g x 的定义域都为D ，若存在
1
2
,
,
,
m
x x
x
D
Î
L
，使得


1
[ ( )
( )]
0
m
i
i
f x
g x
x
x
=
-
×
-
£
Õ
，当且仅当
,
1,2,
,
i
x
x i
m
=
=
L
时等号成立，则称
( )
f x 和
( )
g x 在D 上“m 次缠绕”.
(1)已知( )
sin
f x
x
=
和( )
cos
g x
x
=
在(0,2π) 上“2 次缠绕”，设
1
2
x
x
<
，求
1
2
,
x x 的值；
(2)设


,
e
e
x
x
f x
x g x
a
a
-
=
=
-
，若
( )
f x 和
( )
g x 在实数集R 上“3 次缠绕”，求a 的取值范围；
(3)记所有定义在区间( , )
a b 上的函数组成集合A ，证明：给定
*
N
mÎ
，对任意
( )
F x
A
Î
，都存在
( ), ( )
f x g x
A
Î
，使得
( )
( )
( )
F x
f x
g x
=
+
，且
( )
f x 和
( )
g x 在( , )
a b 上“m 次缠绕”.
12.（2026·湖南邵阳·一模）若函数


,
f x
g x 对任意
1x
D
Î
，总存在唯一的
2x
D
Î
，使



1
2
f x
g x
k
+
=
成
立，则称

f x 是
g x 在区间D 上的“ k 阶和函数”．特别地，当


f x
g x
=
时，称

f x 为区间D 上的“ k 阶
和函数”．
(1)判断函数



3
log
1
f x
x
=
+
是否为区间

2,26 上的“3 阶和函数”；
(2)若函数

4
2
f x
x
=
+
是
2
2
2
1
g x
x
ax
a
=
-
+
- 在区间

0,2 上的“2 阶和函数”，求实数a 的取值范围；
(3)若函数

2x
f x =
为区间

,
1
+
a a
上的“2 阶和函数”，当
1
b > 时，函数






2
2
log 3 ln
1
2
x
x
a
x
b
x
x
j
=
-
-
+
-
-
有两个零点
1
2
,
x x ，证明：
1
2
1
2
3
<
+
<
-
x
x
b ．