文档文本内容
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第02 讲实数
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：10 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 实数的概念
1.无限不循环小数叫做无理数. 如√2，0.101 001. 000 1…，任何有理数都可以化成有限小数或无限循环
小数.【链接1.2.1 无限循环小数化为分数】
2.有理数和无理数统称实数.
3.无理数也有正负之分.
.
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4.用根号形式表示的数未必是无理数，要从定义去辨别，不能从形式上分辨.
5.常见的无理数：
（1）与π有关的数
（2）开方开不尽的数
（3）特殊结构的数，如：0.101 001. 000 1…
6.所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成分母为1 的分数），而无理数不能写成分数的形
式.
知识点2 实数与数轴、实数的有关概念
1.实数与数轴上的点一一对应.（每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一
个实数）
2.实数a 的相反数为-a，绝对值为
3.有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立，如：数轴上的任意两点，右边的点表示的实数总比左边
的点表示的实数大.
4.两个正实数，绝对值较大的值也较大；两个负实数，绝对值大的值反而小；正数大于0，负数小于0，
正数大于负数.
5.√2 和1.4；2 和3√3 比较大小的方法：可以将1.4 转化为√1.96，再进行比较；也可以对它们同时进行
平方，再进行比较.
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知识点3 实数的运算
1.任意两个实数，经过加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算的结果仍然是实数，有理数的运算法
则、运算律、运算顺序、运算性质在实数范围内仍然成立.
2.实数之间可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任
意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
课本典例1（习题10.2 第1 题）
判断下列说法是否正确：
(1) 无理数的平方一定是正数；
(2) 两个无理数的积仍为无理数；
(3) 分数一定可化为有限小数或无限循环小数。
课本典例2（习题10.2 第4 题）
比较下列各对数的大小：
课本典例3（复习题第4 题）
将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<” 号连接起来：
。
题型一实数的分类
1．（24-25 七年级下·北京大兴·期中）把下列各实数填在相应的集合内：2025 ，
2
，
3
2
，3 7 ，1.6
，
0 ，3 125 ，5
，．
整数集合：{
…}
负有理数集合：{
…}
无理数集合：{
…}
2．（24-25 七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里．
3
1
3
,
27,0,
8,
, 0.5,3.14,
2
3
π
0.2121121112
，…．
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(1)正实数：{
，…}；
(2)负实数：{
，…}；
(3)有理数：{
，…}；
(4)无理数：{
，…}．
3．（24-25 七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①
3
，②3
64
，③π
2 ，④
2
7
，⑤0.23．
(1)整数集合{
…}；
(2)分数集合{
…}；
(3)无理数集合{
…}；
题型二实数与数轴综合
4．（24-25 八年级上·贵州黔东南·期中）若
20
a
a
，则实数a 在数轴上的对应点一定在（
）
A．原点左侧
B．原点或原点左侧
C．原点右侧
D．原点或原点右侧
5．（24-25 八年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上A ，B 两点对应的实数分别是
5
和1，点A 、点C 到
点B 的距离相等，则点C 对应的实数是
．
6．（24-25 八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知正方形ABCD 的面积为6 ，点A 在数轴上，且表示的数为
1．现以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，和数轴交于点E（点E 在点A 的右侧），则点E 表示的数为（
）
A．3.2
B．
6
1
C．
6
1
D．
6
7．（24-25 七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2 个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴
上以1
对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点A ，点A 所表示的数是（
）
A．
2
1
B．2
2
C．2
2 2
D．1
2
题型三实数的大小比较
8．（24-25 八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列实数中，比1
小的数是（
）
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A．3
B．2
C．0
D．2
9．（24-25 八年级上·河南郑州·期中）比较大小：2
3
2 3
1
4
（填“>”、“<”或“=”）．
10．（24-25 八年级上·北京·期中）比较实数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）
3 5
π
；3 2
2 3
11．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）在实数0，7
，
5 ，3 中，最大的数是（
）
A．0
B．7
C．
5
D．3
题型四实数的混合运算
12．（22-23 八年级上·福建厦门·开学考试）计算：3
3
8
27
16
．
13．（24-25 八年级上·福建漳州·期中）计算：
2024
3
27
1
4
．
14．（24-25 八年级上·湖北十堰·期末）计算：
(1)
2
3
25
2
27
(2)
2
100
2
|
3|
1
15．（24-25 八年级下·江苏镇江·开学考试）计算：
(1)
2
2
3
3
8
2
；
(2)
2
2
2
5
9
．
题型五实数运算与规律探究问题
16．（24-25 八年级上·江苏南通·阶段练习）设
1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
,
1
,
,
1
1
2
2
3
3
4
(
1)
n
S
S
S
S
n
n
，则
1
2
2024
S
S
S
的值
为
．
17．（24-25 八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：1
，2 ，3 3 ，2
，5 ，3 6 ，
7
，8 ，3 9 ，
10
，…则按此规律可推得这一列数中的第11 个数应是（
）
A．11
B．
11
C．3 11
D．11
18．（24-25 八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式：
第1 个等式：
1
1
2
3
4
4
第2 个等式：
1
1
4
5
6
6
第3 个等式：
1
1
6
7
8
8
第4 个等式：
1
1
8
9
10
10
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)直接写出第5 个等式：______．
6 / 11
(2)按照上面每个等式反映的规律，第n 个等式为______．
(3)利用上述规律化简：
1
1
14
11
12
20
14
22
7
13
．
19．（17-18 八年级下·重庆江津·期中）先观察等式，再解答问题：
①
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
；②
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
6
；
③
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
12
；……
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想
2
2
1
1
1
4
5
= = ；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n 的式子表示的等式；（n 为正整数）
(3)应用上述结论，请计算
82
1
81
100
的值．
题型六实数运算与新定义问题
20．（24-25 八年级上·重庆九龙坡·期末）各数位都不为0 的四位正整数m ，若它的千位数字与十位数字的
和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m 是“间和数”．将m 的首位数字放在末尾得到一个新数
记为
1
m ，再将
1
m 的首位数字放在末尾得到
2
m ，以此类推得到
3
m ，记
1
2
3
202
m
m
m
m
F m
，则
2134
F
的值为
．已知t 为“间和数”，其中
1000
10
2510
t
a
b
c
，a
b
c
，，均为整数，0
7
a
，0
8
b
，
1
9
c
，若t 能被13整除且
2
2
1
11 F t
s
（s 为正整数），则t 的值为
．
21．（24-25 八年级上·重庆万州·期末）在实数范围内定义运算：“※”：
2
2
3
b
a
a
b
※
，例如：
2
2
2
3
2
3
1
3
※
．
(1)若
5
a
，
3
b ，计算a
b
※ 的立方根；
(2)若2
15
x
※
，求x 的值．
22．（24-25 八年级上·陕西咸阳·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：
3
x
y
ax
by
☆
，其中a、b 为
常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如2
1
2
3
a
b
☆
．若2
3
6
☆
，
1
1
1
☆
，求
2
2
☆
的值．
23．（24-25 八年级上·重庆南岸·期中）我们规定：若一个三位数S 的各个数位上的数字互不相等，且满足
百位数字与个位数字之和等于十位数字的两倍，则称S 为“中倍数”．例如：数258，∵2
8
2 5
，∴258
是“中倍数”；数358，∵3 8
2 5
，∴358 不是“中倍数”，按照这个规定：最大的“中倍数”是
．若H
是“中倍数”，将H 的百位数字和个位数字对调位置后组成一个新三位数H ，
11
H
H
是一个整数，则满足
条件的H 的最小值为
．
题型七程序设计与实数运算
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24．（24-25 八年级上·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x 的
值是64 时，输出的y 值是
．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x 时，该程序无法输出
y 值，则x 的值为
．
25．（24-25 八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，输入
2 2
m
，则输出的值为
．
26．（24-25 八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为4
时，输出
y 的数值为
．
27．（22-23 八年级上·四川巴中·阶段练习）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x 的值是64
时，输出y 的值是
．
题型八实数运算的实际应用
28．（20-21 七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形
的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为
．
29．（24-25 八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团
组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为
2
500cm ．完成扇面后，需对扇面边缘用
缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
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(1)圆形团扇的半径为（结果保留π）cm，正方形团扇的边长为
cm；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
30．（21-22 七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B 两正方形区域的面积分
别是3 和9.
(1)A，B 两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：
2
1.414
3
1.732
，
）.
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一、单选题
1．（24-25 八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字22
7 ，3.33 ，π
2 ，0 ，2.121121112
（相邻两个2 之间1的
个数逐次多1），
0.9
，3 1
27
中，无理数的个数是（
）．
A．2 个
B．3个
C．4 个
D．5个
2．（24-25 八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x 的值是64 时，输出的y 值是（
）
A．3 2
B．2
C．2
D．8
3．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（
）
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A．正数的平方根不可能是负数
B．带根号的数是无理数
C．无限小数是无理数
D．实数和数轴上的点一一对应
4．（23-24 八年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中：
（1）负数没有立方根；
（2）不带根号的数一定是有理数；
（3）无理数包括正无理数，0，负无理数；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（24-25 八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的x 值为25 时，输出的y 值是（
）
A．
5
B．2 5
C．2
D．4
6．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）若
2m 是无理数，则m 的值可以是（
）
A．2
B．1
C．0
D．1
7．（24-25 九年级上·贵州遵义·期末）已知1
1
x
，如图，在数轴上表示代数式
2
x
的值的点可能是（
）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
8．（24-25 八年级上·河南开封·期末）在实数2,0,
3, 0.4
中，最小的数是（
）
A．2
B．0
C．
3
D．0.4
9．（21-22 八年级上·河南洛阳·期中）满足
3
5
x
的整数有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
10．（24-25 八年级上·内蒙古包头·期中）如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2 所对应的点紧靠
着（A 与数2 所对应的点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑
动）一圈，点A 恰好与数轴上点重合，则点A对应的实数是（
）
A．π
2
B．π
2
C．2π
3
D．π
2
二、填空题
11．（24-25 八年级上·北京顺义·期中）比较大小：3 3
2 7 （选填“ ”，“”，“ ”）．
12．（24-25 八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形OBCD的面积为3，OA
OB
，则数轴上点A 对应的
数是
．
11 / 11
13．（24-25 八年级上·江苏盐城·期末）π
3
0.14（填、或）．
14．（24-25 八年级上·四川眉山·期末）在13
，π，0，3 ，2，22
，2.121121112（两个2 之间依次多
一个1），0.3 中．
(1)是有理数的有____________；
(2)是无理数的有____________；
(3)是整数的有____________；
(4)是分数的有____________．
15．（24-25 八年级上·河南焦作·期末）请写出一个大于零小于2 的无理数
（写出一个即可）；
三、解答题
16．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）计算：
2
3
16
3
8
．
17．（24-25 八年级上·江苏泰州·期末）（1）计算：
2
3
9
2
64
；
（2）求
2
1
9
x
中x 的值．
18．（24-25 八年级上·四川乐山·阶段练习）在3.14，2 ，
2
1.0
，π
3 ，0.2020020002…，3 216 ，7
22 ，
1
2 2
，
0．
(1)有理数有______________________；
(2)无理数有______________________；
(3)分数有；
(4)整数有．
19．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期末）计算：
2
3
3
2
8
3
1
2
．
20．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）计算：
2
23
5
3 1
2
