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第02 讲实数
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：10 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 实数的概念
1.无限不循环小数叫做无理数. 如√2，0.101 001. 000 1…，任何有理数都可以化成有限小数或无限循环
小数.【链接1.2.1 无限循环小数化为分数】
2.有理数和无理数统称实数.
3.无理数也有正负之分.
.
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4.用根号形式表示的数未必是无理数，要从定义去辨别，不能从形式上分辨.
5.常见的无理数：
（1）与π有关的数
（2）开方开不尽的数
（3）特殊结构的数，如：0.101 001. 000 1…
6.所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成分母为1 的分数），而无理数不能写成分数的形
式.
知识点2 实数与数轴、实数的有关概念
1.实数与数轴上的点一一对应.（每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一
个实数）
2.实数a 的相反数为-a，绝对值为
3.有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立，如：数轴上的任意两点，右边的点表示的实数总比左边
的点表示的实数大.
4.两个正实数，绝对值较大的值也较大；两个负实数，绝对值大的值反而小；正数大于0，负数小于0，
正数大于负数.
5.√2 和1.4；2 和3√3 比较大小的方法：可以将1.4 转化为√1.96，再进行比较；也可以对它们同时进行
平方，再进行比较.
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知识点3 实数的运算
1.任意两个实数，经过加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算的结果仍然是实数，有理数的运算法
则、运算律、运算顺序、运算性质在实数范围内仍然成立.
2.实数之间可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0 可以进行开平方运算，任
意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
课本典例1（习题10.2 第1 题）
判断下列说法是否正确：
(1) 无理数的平方一定是正数；
(2) 两个无理数的积仍为无理数；
(3) 分数一定可化为有限小数或无限循环小数。
【答案】(1) 正确；(2) 错误；(3) 正确
【详解】(1) 无理数是无限不循环小数，不为0 ，设无理数为a，(a 不等于0)，根据平方的性质，
>0，
所以无理数的平方一定是正数，该说法正确。
(2) 例如
×
=2，
是无理数，但它们的积2 是有理数，所以“两个无理数的积仍为无理数” 说
法错误。
(3) 分数是有理数，有理数包括整数和分数，分数可以通过分子除以分母化为有限小数（如
=0.5）或无限
循环小数（如
），所以该说法正确。
【点睛】对于每个命题，要依据无理数、分数的定义和性质，通过举例或推理来判断。
课本典例2（习题10.2 第4 题）
比较下列各对数的大小：
【答案】
【详解】(1)对
和
分别进行6 次方运算（6 是2 和3 的最小公倍数）。
= 8，
= 9 。因为8 < ，所以
<
。
。
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(2) 根据正数大于负数的原则，
是负数，
是正数，所以
<
【点睛】明确是比较数的大小，对于不同类型根式比较，要想到利用乘方的方法，使它们指数相同再比较；
对于一正一负的根式比较，直接利用正数大于负数的性质。
课本典例3（复习题第4 题）
将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<” 号连接起来：
。
【答案】
.
【详解】先判断正负：负数小于0，0 小于正数。
，-1.6 是负数，所以
再比较正数大小：对
和
分别平方，
=
=8，
= 5 ，因为5 < 8，
且当a>0,b>0 时，若
，则a < b，所以
<
。
综上，从小到大顺序为
。
【点睛】观察数的类型，有根式、含
的数、小数等，对于根式可通过平方等方法比较大小，同时注意数
的正负性。
题型一实数的分类
1．（24-25 七年级下·北京大兴·期中）把下列各实数填在相应的集合内：2025 ，
2
，
3
2
，3 7 ，1.6
，
0 ，3 125 ，5
，．
整数集合：{
…}
负有理数集合：{
…}
无理数集合：{
…}
【答案】
3
2025,0, 125, 5
；
3 , 1.6, 5
2
；
3
2,
7,
．
【分析】本题考查实数的分类，解题的关键在于明确整数（含正整数、负整数、零）、负有理数（负整数
和负分数）、无理数（无限不循环小数）的定义，并逐一判断每个数的属性．本题根据整数、负有理数、
无理数的定义，对给出的实数逐一分类即可．
【详解】解：整数集合：
3
{2025,0, 125, 5}
；
负有理数集合：
3
{
, 1.6, 5}
2
；
无理数集合：
3
{
2,
7, }
．
2．（24-25 七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里．
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3
1
3
,
27,0,
8,
, 0.5,3.14,
2
3
π
0.2121121112
，…．
(1)正实数：{
，…}；
(2)负实数：{
，…}；
(3)有理数：{
，…}；
(4)无理数：{
，…}．
【答案】(1) 1
3
, 27,
2
3
π ,3.14
(2) 3
8, 0.5,
0.2121121112
(3)
3
1
3
,0,
8, 0.5,3.14,
2
0.2121121112
(4)
27, 3
π
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有
理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分
为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．
（1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可；
（2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可；
（3）根据有理数包括整数和分数解答即可；
（4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可．
【详解】（1）正实数：{ 1
3
, 27,
2
3
π ,3.14，…}．
故答案为：1
3
, 27,
2
3
π ；
（2）负实数：{ 3
8, 0.5,3.14,
0.2121121112
，…}，
故答案为：3
8, 0.5,
0.2121121112
；
（3）有理数：{
3
1
3
,0,
8
2, 0.5,3.14,
2
0.2121121112
，…}
故答案为：
3
1
3
,0,
8, 0.5,3.14,
2
0.2121121112
；
（4）无理数：{
27, 3
π ，…}，
故答案为：
27, 3
π ．
3．（24-25 七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①
3
，②3
64
，③π
2 ，④
2
7
，⑤0.23．
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(1)整数集合{
…}；
(2)分数集合{
…}；
(3)无理数集合{
…}；
【答案】(1)②④
(2)⑤
(3)①③
【分析】本题主要考查了实数的分类．熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，
有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．
（1）根据整数的定义求解即可；
（2）根据分数的定义求解即可；
（3）根据无理数的定义求解即可．
【详解】（1）解：整数有：3
64
4
，
2
7
7
，
故答案为：②④．
（2）解：分数有：0.23，
故答案为：⑤．
（3）解：无理数有：
3
，π
2 ，
故答案为：①③．
题型二实数与数轴综合
4．（24-25 八年级上·贵州黔东南·期中）若
20
a
a
，则实数a 在数轴上的对应点一定在（
）
A．原点左侧
B．原点或原点左侧
C．原点右侧
D．原点或原点右侧
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数与数轴，分
0
a
和
0
a
两种情况，根据
20
a
a
求出a 的值即可得到答案．
【详解】解；当
0
a
时，
∵
20
a
a
，
∴
20
a
a
，则0
20
，不符合题意；
当
0
a
，
∵
20
a
a
，
∴
20
a
a
，
∴
10
a
，符合题意，
∴实数a 在数轴上的对应点一定在原点左侧，
故选：A．
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5．（24-25 八年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上A ，B 两点对应的实数分别是
5
和1，点A 、点C 到
点B 的距离相等，则点C 对应的实数是
．
【答案】
5
2
【分析】本题考查实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．先求得AB
的长度，根据点A 、点C 到点B 的距离相等，即可得出BC 的长，再用AB 的长度加上1
5
即可得出点C
所对应的实数．
【详解】解：∵A、B 两点对应的实数是
5
和1，
∴
1
5
1
5
AB
，
∵点A 、点C 到点B 的距离相等，，
∴
1
5
BC
，
∴点C 所对应的实数是1 1
5
2
5
，
故答案为：
5
2
．
6．（24-25 八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知正方形ABCD 的面积为6 ，点A 在数轴上，且表示的数为
1．现以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，和数轴交于点E（点E 在点A 的右侧），则点E 表示的数为（
）
A．3.2
B．
6
1
C．
6
1
D．
6
【答案】C
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得
6
AB
AE
，
结合A 点所表示的数及AE 间距离可得点E 所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数
是关键．
【详解】解：
正方形ABCD 的面积为6 ，且AB
AE
，
6
AB
AE
，
点A 表示的数是1，且点E 在点A 的右侧，
点E 表示的数为
6
1
．
故选：C．
7．（24-25 七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2 个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴
上以1
对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点A ，点A 所表示的数是（
）
8 / 29
A．
2
1
B．2
2
C．2
2 2
D．1
2
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根的意义，由算术平方根的意义可得小正方形的边长为2 ，再
根据题意并结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵边长为2 的正方形的面积为4，
∴小正方形的面积为2，
∴小正方形的边长为2 ，
∵在数轴上以1
对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点A ，
∴点A 所表示的数是
2
1
，
故选：A．
题型三实数的大小比较
8．（24-25 八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列实数中，比1
小的数是（
）
A．3
B．2
C．0
D．2
【答案】D
【分析】本题考查了实数的大小比较，“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”，“两个正数比较大
小，绝对值大的数大”，“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，掌握以上知识点是解题的关键．根据
以上知识点，分别判断各选项即可．
【详解】解：A、
1
0
3
，故本选项不符合题意；
B、
1
0
2
，故本选项不符合题意；
C、
1
0
，故本选项不符合题意；
D、
1
1
，
2
2
，1
2
，
2
1
，故本选项符合题意；
故选：D．
9．（24-25 八年级上·河南郑州·期中）比较大小：2
3
2 3
1
4
（填“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，熟练掌握比较实数的大小的方法是解答的关键．
利用作差法得2
2 3
1
11
6 3
3
4
12
，然后判断11 与6 3 的大小即可做出判断．
【详解】解：2
2 3
1
8
6 3
3
11
6 3
3
4
12
12
12
，
11
121,6 3
108,121
108
Q
，
9 / 29
11 6 3
0
，即11 6 3
0
12
，
2
2 3
1
3
4
，
故答案为：．
10．（24-25 八年级上·北京·期中）比较实数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）
3 5
π
；3 2
2 3
【答案】
【分析】本题主要考查了比较实数的大小，
先比较两个数的绝对值即可得出结论，再将两个数平方，可得答案.
【详解】解：因为
3 5
3 5
，
所以3 5
；
因为
2
2
(3 2)
18,(2 3)
12
，18
12
，
所以3 2
2 3
.
故答案为：,
.
11．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）在实数0，7
，
5 ，3 中，最大的数是（
）
A．0
B．7
C．
5
D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键在于先求出无理数的范围．先估算
5 的范围，再将四
个实数比较大小即可．
【详解】解：∵2
5
3
，
∴7
0
5
3
，
最大的实数是3，
故选：D．
题型四实数的混合运算
12．（22-23 八年级上·福建厦门·开学考试）计算：3
3
8
27
16
．
【答案】5
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根和算术平方根，掌握立方根和算术平方根的
定义是解题的关键．
分别求立方根和算术平方根，再进行加减计算．
【详解】解：3
3
8
27
16
2
3
4
=
5
．
10 / 29
13．（24-25 八年级上·福建漳州·期中）计算：
2024
3
27
1
4
．
【答案】4
【分析】本题考查了实数的运算，立方根运算，乘方运算，算术平方根的运算，掌握相关法则是解题的关
键．分别进行立方根，乘方，算术平方根运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：
2024
3
27
1
4
，
= 3 1 2
4
14．（24-25 八年级上·湖北十堰·期末）计算：
(1)
2
3
25
2
27
(2)
2
100
2
|
3|
1
【答案】(1) 4
(2)
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、乘方、立方根、算术平方根等知识点，灵活运用相关运算法则
成为解题的关键．
（1）先根据算术平方根、乘方、立方根化简，然后再计算即可；
（2）先根据乘方、绝对值化简，然后再计算即可．
【详解】（1）解：
2
3
25
2
27
5
4
3
4
．
（2）解：
2
100
2
|
3|
1
2
3 1
．
15．（24-25 八年级下·江苏镇江·开学考试）计算：
(1)
2
2
3
3
8
2
；
(2)
2
2
2
5
9
．
【答案】(1)3
(2)4
2
【分析】此题考查了实数的混合运算．
（1）利用算术平方根、立方根的法则计算即可；
（2）利用算术平方根、绝对值的法则计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
3
3
8
2
11 / 29
3
2
2
3
（2）
2
2
2
5
9
2
2
5
3
4
2
题型五实数运算与规律探究问题
16．（24-25 八年级上·江苏南通·阶段练习）设
1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
,
1
,
,
1
1
2
2
3
3
4
(
1)
n
S
S
S
S
n
n
，则
1
2
2024
S
S
S
的值
为
．
【答案】
2024
2024 2025
【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律
2
1
1
1
n
n n
S
n n
和掌握规律
1
1
1
n n
1
n
n
1
是解题的关键．通过计算总结归纳出规律
2
1
1
1
n
n n
S
n n
，再化简算术平方根，然后
由
1
1
1
n n
1
n
n
1
计算即可．
【详解】解：∵
2
2
1
2
2
1
1
9
3
1 2
1
1
4
2
1 2
1
2
S
，
2
2
2
2
2
1
1
49
7
2
3
1
1
36
6
2
3
2
3
S
2
2
3
2
2
1
1
13
3
4
1
1
12
3
4
3
4
S
……
∴
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
n
n n
S
n n
n
n
，
∴
1
2
2024
S
S
S
2
2
2
1 2 1
2
3 1
2024
2025 1
...
1 2
2
3
2024
2025
骣
骣
骣
´
+
´
+
´
+
琪
琪
琪
=
+
+
+
琪
琪
琪
创
桫
桫
桫
1 2 1
2
3 1
2024
2025 1
...
1 2
2
3
2024
2025
´
+
´
+
´
+
=
+
+
+
创
1
1
1
1
1
... 1
1 2
2
3
2024
2025
= +
+ +
+
+ +
创
1
1
1
1
1
1 1
1
... 1
2
2
3
2024
2025
= + -
+ +
-
+
+ +
-
12 / 29
1
2024 1
2025
2024
2024 2025
．
17．（24-25 八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：1
，2 ，3 3 ，2
，5 ，3 6 ，
7
，8 ，3 9 ，
10
，…则按此规律可推得这一列数中的第11 个数应是（
）
A．11
B．
11
C．3 11
D．11
【答案】A
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1 开始的连续的自然数，每三个数
为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可；
【详解】解：
1
1
，2 ，3 3 ，
4
2
，
5 ，3 6 ，
7
，8 ，3 9 ，
……，
以此类推可知，这一列数是从1 开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相
反数，算术平方根，立方根，
∵11
3
3
2
，
∴第11 个数应是11 ，
故选：A．
18．（24-25 八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式：
第1 个等式：
1
1
2
3
4
4
第2 个等式：
1
1
4
5
6
6
第3 个等式：
1
1
6
7
8
8
第4 个等式：
1
1
8
9
10
10
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)直接写出第5 个等式：______．
(2)按照上面每个等式反映的规律，第n 个等式为______．
(3)利用上述规律化简：
1
1
14
11
12
20
14
22
7
13
．
【答案】(1)
1
1
10
11
12
12
(2)
1
1
2
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
(3) 3 2
2
【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律．
13 / 29
（1）由前几个等式的规律，即可得到答案；
（2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案
（3）根据规律化简，再计算即可．
【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5 个等式是：
1
1
10
11
12
12
，
故答案为：
1
1
10
11
12
12
；
（2）解：∵第1 个等式：
1
1
2
3
4
4
，
第2 个等式：
1
1
4
5
6
6
，
第3 个等式：
1
1
6
7
8
8
，
第4 个等式：
1
1
8
9
10
10
，
L ，
∴第n 个等式是：
1
1
2
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
，
故答案为：
1
1
2
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
；
（3）解：
1
1
14
11
12
20
14
22
7
13
1
1
14
11
13
21
14
22
7
13
13 14
21 22
14
11
14
22
7
13
3 2
2
．
19．（17-18 八年级下·重庆江津·期中）先观察等式，再解答问题：
①
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
；②
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
6
；
③
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
12
；……
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想
2
2
1
1
1
4
5
= = ；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n 的式子表示的等式；（n 为正整数）
14 / 29
(3)应用上述结论，请计算
82
1
81
100
的值．
【答案】(1)
1
1
1
4
5
，
1
120
(2)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n n
n
(3)
1
190
【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关．
（1）利用题中等式的计算规律得出结果；
（2）第n 个等式的左边为
2
2
1
1
1
1
n
n
，等式右边为
1
1
1
1
n
n
，结果为
1
1
1
n n
；
（3）将原式变形为
1
1
1
81
100
，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果．
【详解】（1）解：由题意可知，
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
4
5
20
，
故答案为：
1
1
1
4
5
，
1
120 ；
（2）解：结合①②③，得：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n n
n
；
（3）解：
2
2
82
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
81
100
81
100
9
10
9
10
90
．
题型六实数运算与新定义问题
20．（24-25 八年级上·重庆九龙坡·期末）各数位都不为0 的四位正整数m ，若它的千位数字与十位数字的
和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数m 是“间和数”．将m 的首位数字放在末尾得到一个新数
记为
1
m ，再将
1
m 的首位数字放在末尾得到
2
m ，以此类推得到
3
m ，记
1
2
3
202
m
m
m
m
F m
，则
2134
F
的值为
．已知t 为“间和数”，其中
1000
10
2510
t
a
b
c
，a
b
c
，，均为整数，0
7
a
，0
8
b
，
1
9
c
，若t 能被13整除且
2
2
1
11 F t
s
（s 为正整数），则t 的值为
．
【答案】
55
6578
【分析】本题考查了实数的新定义运算，利用“间和数”的定义求出
1
2
3
m
m
m
，
，
，代入公式求
2134
F
即可；
由
1000
10
2510
t
a
b
c
，a
b
c
，，均为整数，0
7
a
，0
8
b
，1
9
c
，可得
1000
2
5 100 10
1
t
a
b
c
，由t 为“间和数”，得
2
1
5
a
b
c
，即得
2
c
a
b
，进而得
15 / 29
1001
11
2508
t
a
b
，根据t 能被13整除可得b 的值，表示出
F t ，根据所给等式判断出a 的值，即可求得
t 的值，理解新定义的意义并灵活应用是解题的关键．
【详解】解：∵
2134
m
，
∴
1
1342
m
，
2
3421
m
，
3
4213
m
，
∴
2134
1342
3421
4213
2134
55
202
F
；
∵
1000
10
2510
1000
2
5 100 10
1
t
a
b
c
a
b
c
，
∴t 的千位上的数字是
2
a
，百位上的数字是5，十位上的数字是
1
b ，个位上的数字是c ，
∵t 为“间和数”，
∴
2
1
5
a
b
c
，
∴
2
c
a
b
，
∴
1000
2
5 100 10
1
2
1001
11
2508
t
a
b
a
b
a
b
，
∵t 能被13整除，
∴1001
11
2508
11
12
77
192
13
13
a
b
b
a
，
∴11
12
13
b
为整数，
∵0
7
a
，0
8
b
，a
b
c
，，均为整数，
∴b 为6 ，
∴
1000
2
5 100 10 7
4
1001
2574
t
a
a
a
，
∴
1
5 1000
7 100 10
4
2 11
5742
t
a
a
a
＝
，
2
7 1000 100
4
10
2
5
110
7425
t
a
a
a
，
3
1000
4
100
2
10 5
7
1100
4257
t
a
a
a
，
∴
1001
2574
11
5742
110
7425
1100
4257
202
a
a
a
a
F t
2222
19998
202
a
11
99
a
，
∵
2
2
1
11 F t
s
，
∴
2
2
11
99
1
11
a
s
，
整理得，
2
2
17
s
a
，
∵0
7
a
，a 为整数，s 为正整数，
∴
4
a
，
16 / 29
∴
1001 4
2574
6578
t
，
故答案为：55，6578．
21．（24-25 八年级上·重庆万州·期末）在实数范围内定义运算：“※”：
2
2
3
b
a
a
b
※
，例如：
2
2
2
3
2
3
1
3
※
．
(1)若
5
a
，
3
b ，计算a
b
※ 的立方根；
(2)若2
15
x
※
，求x 的值．
【答案】(1)5
(2)
1
x 或
5
x
．
【分析】本考查主要考查了新定义运算、立方根和平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键．
（1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据立方根的定义即可；
（2）根据题意得到
2
2 2
3
15
x
，然后整理后利用平方根的性质求解即可．
【详解】（1）∵
5
a
，
3
b ，
∴
2
3
2
3
5
5
3
125
a
b
※
※
∴a
b
※ 的立方根是5；
（2）∵2
15
x
※
∴
2
2 2
3
15
x
∴
2
2
9
x
∴2
3
x
∴
1
x 或
5
x
．
22．（24-25 八年级上·陕西咸阳·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：
3
x
y
ax
by
☆
，其中a、b 为
常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如2
1
2
3
a
b
☆
．若2
3
6
☆
，
1
1
1
☆
，求
2
2
☆
的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义，根据新定义可得方程组
2
3
3
6
3
1
a
b
a
b
，解方程组求
出a、b 的值，再根据新定义代值计算即可．
【详解】解：∵2
3
6
☆
，
1
1
1
☆
，
∴
2
3
3
6
3
1
a
b
a
b
，
∴
3
1
a
b
，
∴
2
2
3
2
3
2 1
2
2
3
1
a
b
☆
．
17 / 29
23．（24-25 八年级上·重庆南岸·期中）我们规定：若一个三位数S 的各个数位上的数字互不相等，且满足
百位数字与个位数字之和等于十位数字的两倍，则称S 为“中倍数”．例如：数258，∵2
8
2 5
，∴258
是“中倍数”；数358，∵3 8
2 5
，∴358 不是“中倍数”，按照这个规定：最大的“中倍数”是
．若H
是“中倍数”，将H 的百位数字和个位数字对调位置后组成一个新三位数H ，
11
H
H
是一个整数，则满足
条件的H 的最小值为
．
【答案】
987
531
【分析】题目主要考查新定义的运算，二次根式的化简，理解新定义是解题关键．
（1）结合新定义“中倍数”，当百位数为9 时最大，进一步求解即可；
（2）依题意，设H 为：
2
a
b
a
b
，则H 为：
2
a
b
b
a
，分别表示出来后，进一步分析求解即可．
【详解】解：结合新定义“中倍数”，当百位数为9 时最大，
∴百位数字为9，十位数字为8，个位数字为7，
∴最大的“中倍数”是：987，
故答案为：987；
依题意，设H 为：
2
a
b
a
b
，
则
100
5
105
6
H
a
a
b
b
a
b
，
可得：H 为：
2
a
b
b
a
，
则H
100
5
105
6
b
a
b
a
b
a
，
∴
99
99
3
11
11
H
H
a
b
a
b
，
∵1
9,1
9
a
b
，且3 a
b
是整数，
∴
1
a
b
或
4
a
b
，
∴a，b 的值可以为：
2
1
a
b
，
；
3,
2;
4,
3;
5,
4;
6,
5;
7,
6;
8,
7;
9,
8
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
；或
5,
1;
6,
2;
7,
3;
8,
4;
9,
5
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
其中a
b
的和是奇数的要舍去，
∴H 的值分别为：531 642 753 864 975
、、、、
，
则满足条件的H 的最小值为：531，
故答案为：531．
题型七程序设计与实数运算
24．（24-25 八年级上·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x 的
值是64 时，输出的y 值是
．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x 时，该程序无法输出
18 / 29
y 值，则x 的值为
．
【答案】
2
0 或1或负数
【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．
（1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．
（2）根据最后都是无理数输出，可得x 的值为0 或1或负数．
【详解】（1）当x 值为64 时，取算术平方根得8，取立方根得2 ，取算术平方根得是2 ，是无理数，所以
输出的数为2 ；
（2）因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以x 取0 或1时该程序无法输出y 值，
因为负数没有算术平方根，所以x 取负数时该程序无法输出y 值，
故答案为：0 或1或负数．
25．（24-25 八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，输入
2 2
m
，则输出的值为
．
【答案】16
【分析】本题考查的是程序框图与实数的运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．按照程序运算的规
则输入
2 2
m
，逐步运算即可．
【详解】解：输入
2 2
m
，可得
2
2
2 2
8
10
m
，
∴
2 8
16
4
，
再输入得：
2
4
16>10
，
∴此时输出16，
故答案为：16．
26．（24-25 八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为4
时，输出
y 的数值为
．
【答案】2
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，
19 / 29
要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要
按照从左到右的顺序进行．首先求出
2
4
，然后计算
2
4
的算术平方根，再用2 减去
2
4
的算术平方根，
求出输出的数值即可．
【详解】解∶根据题意，得
2
2
4
2
16
2
4
2
，
故答案为：2
．
27．（22-23 八年级上·四川巴中·阶段练习）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x 的值是64
时，输出y 的值是
．
【答案】3 4
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，先求出64 的立方根，如果结果为无理数，则输出，若结果为
有理数，则把结果作为新的数输入，如此循环求解即可．
【详解】解：当输入x 的值是64 时，3 64
4
是有理数，
当输入x 的值是4 时，3 4 是无理数，则输出y 的值为3 4 ，
故答案为：3 4 ．
题型八实数运算的实际应用
28．（20-21 七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形
的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】
5
1
2
【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为
5
1
的三角形，求解即可；
【详解】解：大正方形的边长为：
5 ，小正方形的边长为：1；
阴影部分的面积为：
1
5
1
5
1
1
2
2
；
故答案为：
5
1
2
.
【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键.
29．（24-25 八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团
20 / 29
组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为
2
500cm ．完成扇面后，需对扇面边缘用
缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为（结果保留π）cm，正方形团扇的边长为
cm；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】(1)10 5π
π
，10 5
(2)圆的周长较小
【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法
是正确解答的关键．
（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可；
（2）求出两种形状的扇子的周长即可．
【详解】（1）解：设圆形扇的半径为cm
r
，正方形的边长为cm
b
，
由题意得，
2
500
r
，
2
500
b
，
500
10 5π cm
π
π
r
，
500
10 5 cm
b
，
故答案为：10 5π
π
，10 5 ；
（2）解：圆形扇的周长为：
10 5π
2π
20 5π cm
6000cm
π
，
正方形扇的周长为：
4 10 5
40 5 cm
8000cm
，
6000
8000
，
∴圆的周长较小．
30．（21-22 七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B 两正方形区域的面积分
别是3 和9.
21 / 29
(1)A，B 两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：
2
1.414
3
1.732
，
）.
【答案】(1)正方形A 和正方形B 的边长各是
3 ，3
(2)2.20
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；
（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A 的面积-正方形B 的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形A 和正方形B 的面积分别为3 和9，
∴正方形A 和正方形B 的边长各是
3
9
3
、
；
（2）解：由题意得：
3
3
3
3
9
3 3
3
2.20
S
阴影
．
【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A 和正方形B 的边长
是解题的关键．
22 / 29
一、单选题
1．（24-25 八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字22
7 ，3.33 ，π
2 ，0 ，2.121121112
（相邻两个2 之间1的
个数逐次多1），
0.9
，3 1
27
中，无理数的个数是（
）．
A．2 个
B．3个
C．4 个
D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③
含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】解：22
7 是有理数，不符合题意；
3.33 是有限小数，属于有理数，不符合题意；
π
2 是无理数，符合题意；
0 是整数，属于有理数，不符合题意；
2.121121112
（相邻两个2 之间1的个数逐次多1）是无理数，符合题意；
0.9
是无理数，符合题意；
3 1
1
27
3
是有理数，不符合题意；
综上可知：共有无理数3个，
故选：B ．
2．（24-25 八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x 的值是64 时，输出的y 值是（
）
A．3 2
B．2
C．2
D．8
【答案】B
【分析】本题考查流程图与实数的计算，根据流程图，列出算式进行计算即可．
【详解】解：当
64
x
时：
64
8,
输入8：3 8
2
，
输入2：2 ，输出；
故
2
y
；
23 / 29
故选B．
3．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（
）
A．正数的平方根不可能是负数
B．带根号的数是无理数
C．无限小数是无理数
D．实数和数轴上的点一一对应
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系及平方根、无理数的定义，需注意有理数和无理数都
可以在数轴上表示，数轴上的点和实数具有一一对应关系，根据以上知识逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、正数的平方根有正数和负数两个，故选项A 错误；
B、带根号不一定是无理数，如
4
2
，故选项B 误；
C、无限不循环小数是无理数，故选项C 误；
D、实数和数轴上的数一一对应，故选项D 确；
故选：D
4．（23-24 八年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中：
（1）负数没有立方根；
（2）不带根号的数一定是有理数；
（3）无理数包括正无理数，0，负无理数；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】此题主要考查了数轴、有理数立方根、无理数等定义，根据实数与数轴的一一对应关系，有理数、
立方根、无理数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟记有理数、立方根、无理数的定义以及实数与数轴
的一一对应关系．
【详解】解：（1）负数有立方根，原说法错误，不符合题意；
（2）不带根号的数不一定是有理数，如是无理数，原说法错误，不符合题意；
（3）无理数包括正无理数，负无理数，原说法错误，不符合题意；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，正确，符合题意，
故选：A．
5．（24-25 八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的x 值为25 时，输出的y 值是（
）
A．
5
B．2 5
C．2
D．4
【答案】A
【分析】本题考查了程序计算，算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根，无理数的计算与判定是解题
的关键．根据程序第一步计算
25
5
，再次计算得
5 ，是无理数，直接输出即可．
24 / 29
【详解】根据程序第一步计算
25
5
，再次计算得
5 ，是无理数，直接输出
5 ，
故选：A．
6．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）若
2m 是无理数，则m 的值可以是（
）
A．2
B．1
C．0
D．1
【答案】B
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的识别，由
2m 是无理数，可得2m 开不尽方且有意义，
从而可得m 的值．
【详解】解：∵
2m 是无理数，
A．当
2
m
时，
2
4
2
m
，是有理数，不符合题意；
B．当
1
m 时，
2
2
m
，是无理数，符合题意；
C．当
0
m
时，
2
0
m
，是有理数，不符合题意；
D．当
1
m 时，
2
2
m
，无意义，不符合题意．
故选：B．
7．（24-25 九年级上·贵州遵义·期末）已知1
1
x
，如图，在数轴上表示代数式
2
x
的值的点可能是（
）
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
【答案】D
【分析】本题考查了用数轴上的点表示数即不等式性质，根据1
1
x
范围，确定代数式
2
x
的范围，进
而得出答案．
【详解】解：
1
1
x
，
1 2
2
1 2
x
\ - +
£
+
£
+
，即1
2
3
x
，
满足条件的点可能是Q，
故选：D．
8．（24-25 八年级上·河南开封·期末）在实数2,0,
3, 0.4
中，最小的数是（
）
A．2
B．0
C．
3
D．0.4
【答案】C
【分析】本题主要考查实数的大小比较，根据实数的大小比较可直接进行求解．
【详解】解：∵
3
0.4
0
2
；
∴最小的数是
3
；
故选C．
9．（21-22 八年级上·河南洛阳·期中）满足
3
5
x
的整数有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
25 / 29
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是确定
3
和
5 的范围．
利用
3
以及
5 的取值范围得出
3
5
x
的整数个数．
【详解】解：∵
4
3
1
，
4
5
9
，
∴
3
5
x
的整数有：1,01 2
,, 共4 个．
故选∶C．
10．（24-25 八年级上·内蒙古包头·期中）如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2 所对应的点紧靠
着（A 与数2 所对应的点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑
动）一圈，点A 恰好与数轴上点重合，则点A对应的实数是（
）
A．π
2
B．π
2
C．2π
3
D．π
2
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，先求出硬币的周长，进而根据点A 对应的数即可求解，理解题意是解题
的关键．
【详解】解：∵硬币的直径为1个单位长度，
∴硬币的周长为π个单位长度，
∵A 与数2 所对应的点重合，
∴点A对应的实数是2
π
，即π
2
，
故选：D ．
二、填空题
11．（24-25 八年级上·北京顺义·期中）比较大小：3 3
2 7 （选填“ ”，“”，“ ”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小的比较，因为是两个无理数比较大小，所以应把根号外的数整理到根
号内再进行比较．
【详解】解：∵3 3
27
，2 7
28
，27
28
，
∴3 3
2 7
．
故答案为：．
12．（24-25 八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形OBCD的面积为3，OA
OB
，则数轴上点A 对应的
数是
．
26 / 29
【答案】
3
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握正方形的面积公式．
先根据已知条件，利用正方形面积公式，求出正方形边长OB ，从而得到OA即可．
【详解】解：
正方形OBCD的面积为3，
3
OA
OB
，
数轴上点A 对应的数是
3 ，
故答案为：
3 ．
13．（24-25 八年级上·江苏盐城·期末）π
3
0.14（填、或）．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，根据的近似值即可求解．
【详解】解：∵
3.1415
3.14
，即
3
0.14
，
∴
3
0.14
．
故答案为：．
14．（24-25 八年级上·四川眉山·期末）在13
，π，0，3 ，2，22
，2.121121112（两个2 之间依次多
一个1），0.3 中．
(1)是有理数的有____________；
(2)是无理数的有____________；
(3)是整数的有____________；
(4)是分数的有____________．
【答案】(1) 13
，0，2，22
，0.3
(2) π，
3 ，2.121121112（两个2 之间依次多一个1）
(3) 13
，0，2，22
(4)0.3
【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数．
根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答．
【详解】（1）解：是有理数的有13
，0，2，22
，0.3 ，
故答案为：13
，0，2，22
，0.3 ．
（2）解：是无理数的有π，
3 ，2.121121112（两个2 之间依次多一个1），
故答案为：π，
3 ，2.121121112（两个2 之间依次多一个1）．
27 / 29
（3）解：是整数的有13
，0，2，22
，
故答案为：13
，0，2，22
．
（4）解：是分数的有0.3 ，
故答案为：0.3 ．
15．（24-25 八年级上·河南焦作·期末）请写出一个大于零小于2 的无理数
（写出一个即可）；
【答案】2 （答案不唯一）
【分析】本题考查的是无理数的定义、无理数的估算，即无限不循环小数是无理数。根据无理数的定义进
行解答即可．
【详解】∵0
2
4
，
∴0
2
2
，
写出一个大于零小于2 的无理数是2 （答案不唯一），
故答案为：2 （答案不唯一）
三、解答题
16．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）计算：
2
3
16
3
8
．
【答案】7
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可．
【详解】解：
2
3
16
3
8
4
9
2
7
．
17．（24-25 八年级上·江苏泰州·期末）（1）计算：
2
3
9
2
64
；
（2）求
2
1
9
x
中x 的值．
【答案】（1）3；（2）4 或2
【分析】本题考查的是利用平方根的意义解方程，实数的混合运算；
（1）先计算算术平方根，乘方运算，立方根，再合并即可；
（2）利用平方根的意义可得
1
3
x
或
1
3
x ，再进一步解答即可．
【详解】解：（1）
2
3
9
2
64
3
4
4
3
；
（2）∵
2
1
9
x
，
∴
1
3
x
或
1
3
x ，
28 / 29
解得：
4
x
或
2
x ．
18．（24-25 八年级上·四川乐山·阶段练习）在3.14，2 ，
2
1.0
，π
3 ，0.2020020002…，3 216 ，7
22 ，
1
2 2
，
0．
(1)有理数有______________________；
(2)无理数有______________________；
(3)分数有；
(4)整数有．
【答案】(1)3.14，
2
1.0
，3 216 ，7
22 ，
1
2 2
，0
(2) 2 ，π
3 ，0.2020020002…
(3)3.14，
2
1.0
，7
22 ，
1
2 2
(4) 3 216 ，0
【分析】本题主要考查了无理数的识别，立方根的化简，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限
不循环小数，③含有π的数．先区分有理数和无理数，再根据有理数的分类标准进行分类即可．
【详解】（1）解：3 216
6
，
有理数有3.14，
2
1.0
，3 216 ，7
22 ，
1
2 2
，0；
故答案为：3.14，
2
1.0
，3 216 ，7
22 ，
1
2 2
，0；
（2）解：无理数有2 ，π
3 ，0.2020020002…，
故答案为：2 ，π
3 ，0.2020020002…；
（3）解：分数有3.14，
2
1.0
，7
22 ，
1
2 2
，
故答案为：3.14，
2
1.0
，7
22 ，
1
2 2
；
（4）解：整数有3 216 ，0；
故答案为：3 216 ，0；
19．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期末）计算：
2
3
3
2
8
3
1
2
．
【答案】1
2
【分析】本题主要考查了实数的混合运算．首先根据乘方的定义和立方根、平方根的定义把各部分分别计
算出来，然后再运算加减即可．
29 / 29
【详解】解：
2
3
3
2
8
3
1
2
8
2 3
2
1
8
6
2
1
1
2
．
20．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）计算：
2
23
5
3 1
2
【答案】8
【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算平方，去绝对值，化简二次根式对原式进行化简，最后再计
算即可．
【详解】解：
2
23
5
3 1
2
9
5
2 2
9
5
4
8
．
