第十六题 圆锥曲线的性质
高考真题
16. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，点 在 轴上，
，则 的离心率为________．
知识点总结
1.椭圆的定义
满足下列两个条件:
(1)在同一个平面内动点P和两个定点F ,F ;
1 2
(2)|PF |+|PF |为 ,且|PF |+|PF |> ,动点P的轨迹为椭圆.
1 2 1 2
2.椭圆的标准方程和几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
x∈ [- a , a ] , x∈ [- b , b ] ,
范围
y∈[-b,b] y∈[-a,a]
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A (-a,0),A (a,0) A (0,-a),A (0,a)
1 2 1 2B (0,-b),B (0,b) B (-b,0),B (b,0)
1 2 1 2
c
离心率 e= ,且e∈
a
a,b,c关系 c2=
3.双曲线的定义
满足下列两个条件
(1)在同一个平面内动点P和两定点F ,F ;
1 2
(2) | | PF |- | PF ||为定值,且0<||PF |-|PF ||<|F F |的动点P的轨迹为双曲线.
1 2 1 2 1 2
4.双曲线的标准方程和几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R
对称性 对称轴: 对称中心:
顶点坐标: 顶点坐标:
性质
顶点
A , A A , A
1 2 1 2
b a
渐近线 y=± x y=± x
a b
c
离心率 e= ,e∈(1,+∞)
a
a,b,c关系 c2=
性质
线段A A 叫做双曲线的实轴,它的长|A A |= ;
1 2 1 2
实虚轴
线段B B 叫做双曲线的虚轴,它的长|B B |= ;
1 2 1 2a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴
长
①定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与
虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
等轴双曲线
②性质:a=b;e=❑√2;渐近线互相垂直;等轴双曲线上
任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
5．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
6．抛物线的标准方程和几何性质
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
标准
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
图形
顶点 O
对称轴
焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－)
离心率 e＝
准线
x＝－ x＝ y＝－ y＝
方程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口
向右 向左 向上 向下
方向
P(x ，y )
0 0
焦半径
|PF|＝x ＋ |PF|＝－x ＋ |PF|＝y ＋ |PF|＝－y ＋
0 0 0 0题型展示
椭圆定义的应用
x2 y2
(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知 F1,F2 是椭圆 C: + =1 的两个焦点,点 M 在 C 上,则|MF1|·|
9 4
MF2|的最大值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
x2 y2
(2)已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,若|MF1|=4,则∠F1MF2=(
9 2
)
A.30° B.60° C.120° D.150°
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和
离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
椭圆的标准方程
(1)在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是( )
x2 y2 y2 x2
A. + =1(y≠0) B. + =1(y≠0)
25 9 25 9
x2 y2 y2 x2
C. + =1(y≠0) D. + =1(y≠0)
16 9 16 9
(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和
圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是 ( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. + =1 C. - =1 D. + =1
64 48 48 64 48 64 64 48
y2 x2
（ 3 ） 过 点 (❑√3,-❑√5), 且 与 椭 圆 + =1 有 相 同 焦 点 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为
25 9
.
椭圆的离心率
2022年10月7日21时10分,中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭,采用“一箭双星”方式,成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6试验卫星发射升空,
卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,
长轴长为2❑√2天文单位,其左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,点P在椭圆上且满足|OP|=|OF1|=|
4
OF2|=c,直线PF2与椭圆交于另一个点Q,若cos∠F1QF2= ,则地球同步转移轨道的离心率为 (
5
)
1 ❑√2 3 4
A. B. C. D.
2 2 5 5
与椭圆有关的最值(范围)问题
x2 y2
(1)(2023·广州模拟)已知P为椭圆 + =1(a>b>0)上一动点,F1,F2分别为该椭圆的左、右
a2 b2
焦点,B为短轴一端点,如果|PB|长度的最大值为2b,则使△PF1F2为直角三角形的点P共有(
)
A.8个 B.4个或6个
C.6个或8个 D.4个或8个
x2 y2
(2)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(❑√2,1)在椭圆内
a2 b2
部,则椭圆C的离心率的取值范围是 .
求解与椭圆有关的范围、最值问题的常用思路
(1)充分利用椭圆的几何性质,结合图形进行分析.
(2)注意利用椭圆的范围如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1构造不等式.
(3)列出所求目标的解析式,构造函数利用单调性,或者利用基本不等式求最值或范围.
双曲线定义及应用
(1)已知F ,F 分别为双曲线x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且|PF | 2 =8|F F |
1 2 2 1 2
,则|PF |= ( )
1
A.6❑√2 B.2❑√2
C.2❑√2+4 D.2❑√2+2
x2
(2)(2023·厦门模拟)已知F ,F 分别是双曲线C: -y2=1的左、右焦点,动点P在双曲线的左
1 2 4
支上,点Q为圆G:x2+(y+2)2=1上一动点,则|PQ|+|PF |的最小值为 ( )
2
A.6 B.7 C.3+❑√5 D.5
双曲线的标准方程
(1)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程为 ( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1(x>2) B. - =1(x>3) C. + =1(0<x<2) D. + =1(0<x<3)
4 5 9 5 9 5 9 4
(2)已知两圆 C :(x+4)2+y2=2,C :(x-4)2+y2=2,动圆M与两圆C ,C 都相切,则动圆圆心 M的轨
1 2 1 2
迹方程是 ( )
x2 y2
A.x=0 B. - =1(x≥❑√2)
2 14
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1或x=0
2 14 2 14
x2 y2 ❑√5
(3)已知双曲线 - =1 (a>0,b>0)的虚轴长为2,离心率为 ,则其方程是 ( )
a2 b2 2
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
16 4 8 2
x2 y2
C. -y2=1 D.x2- =1
4 4
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法.根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系
有:①c2=a2+b2;②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法.
一般步骤.
双曲线的离心率
x2 y2
(1)(2023·珠海模拟)双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右支上一点M关于原点O的对称点为点
a2 b2
π
N,F为双曲线的右焦点,若MO=OF,∠FMN= ,则双曲线C的离心率e为( )
3
A.❑√2 B.❑√3 C.❑√2+1 D.❑√3+1
x2 y2
(2)(2022·福州模拟)已知F ,F 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0) 的两个焦点,曲线上的点P
1 2 a2 b2
到原点的距离为b,且sin∠PF F =2sin∠PF F ,则该双曲线的离心率为 .
2 1 1 2求双曲线离心率的方法
c
(1)若可求得a,c,直接利用e= 求解;
a
√ b
(2)若已知a,b,可直接利用e=❑1+( ) 2得解;
a
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且pqr≠0),则转化为关于e的
方程pe2+qe+r=0求解.
与双曲线有关的面积问题
x2 y2
(1)双曲线C: - =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则
4 2
△PFO的面积为 ( )
3❑√2 3❑√2
A. B. C.2❑√2 D.3❑√2
4 2
x2 y2
(2)已知 F 是双曲线 C: - =1 的一个焦点,点 P 在 C 上,O 为坐标原点.若|OP|=|OF|,则
4 5
△OPF的面积为 ( )
3 5 7 9
A. B. C. D.
2 2 2 2
与双曲线有关的面积问题的求解策略：一是确定三角形的底与高(易于计算长度的);二是
分别求出高与底边长度;三是计算出面积.
与双曲线渐近线有关的问题
x2 y2
(1) (2022·临沂模拟)已知双曲线 - =1 (a>0,b>0)的焦距为4❑√5,实轴长为4,则C的渐近线
a2 b2
方程为 ( )
1 ❑√5
A.y=±2x B.y=±❑√5x C.y=± x D.y=± x
2 5
x2 y2
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程
a2 b2
为 .
根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程:
n x2 y2
(1)渐近线为y= x的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0);
m m2 n2
(2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0);
x2 y2 x2 y2
(3)与双曲线 - =1共渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0).
a2 b2 a2 b2抛物线的定义及标准方程
(1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l
于Q，则线段FQ的垂直平分线( )
A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
(2)(2023·岳阳模拟)已知抛物线y＝x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q(1，1)，当
△PQF的周长最小时，点P的坐标为 ____．
抛物线的几何性质
(1)(2023·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为
8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝－2 D．x＝－4
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上
一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为_ _．
抛物线的焦点弦问题
(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为
坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段
AB的长为8，则p＝__ __．
关于焦点弦的几个常用技巧
1．过抛物线y2＝2px的焦点的直线方程常设为x＝my＋.
2．抛物线的焦点弦长为(θ为过焦点的直线的倾斜角)，最小值为2p.
3．过抛物线的焦点弦的两个端点作抛物线的切线，两条切线的交点在准线上．
真题演练
一、单选题
1．设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．2．双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．
已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C交于A，B两点，若 面
积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
4．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点．若 ，则
（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
5．连接抛物线 的焦点F与点 所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形
OAM的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点P在抛物线 上，那么点P到点 的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，
点P的坐标为
A． B． C． D．
7．抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线交 于第一象限的点 ，若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则
A． B． C． D．
8．等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；
则 的实轴长为
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A， 的面积为 （O
为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆 （ 为参数）的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且
，则l的方程为 ．
12．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线 的左焦点重合，若两曲线相交于
， 两点，且线段 的中点是点 ，则该双曲线的离心率等于 .
13．设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限.若 为等腰三角形，则
的坐标为 .
14．过抛物线 的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于 两点， 在 轴上的正射影分别为 ．若梯形 的面积为 ，则 ．
模拟训练
一、单选题
1．已知 为双曲线 ： 的右焦点，平行于 轴的直线 分别交 的渐近线和右支于
点 ， ，且 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为 的直线交
抛物线C于A，B两点，则 （ ）．
A． B．5 C． D．2
3．P为椭圆 上一点，曲线 与坐标轴的交点为A，B，C，D，若
，则P到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线C： ，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线OA，OB的斜率分别为 ， ，且
，直线AB与x轴的交点为P，则 的面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
5．已知直线 过抛物线 的焦点，直线 与抛物线 相交于 两点，若 的中点
到抛物线 的准线的距离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
6．已知 是椭圆 的长轴上的两个顶点，点 是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点 与
点 关于 轴对称，则直线 与直线 的交点 所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
二、多选题
7．过抛物线C： 上一点 作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M、N，则
（ ）
A．C的准线方程是
B．过C的焦点的最短弦长为12
C．直线 过定点
D．当点A到直线 的距离最大时，直线 的方程为
8．已知双曲线 的焦点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线 与椭圆 的离心率互为倒数
C．若双曲线 上一点 满足 ，则 的周长为28D．若从双曲线 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
三、填空题
9．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，C的离心率为 ，过 且倾斜角
为120°的直线l与C交于A，B两点，若 的内切圆的面积为 ，则C的虚轴长为 ．
10．设 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆 上，若 ，则 .
11．已知双曲线 的左焦点为 ，坐标原点为 ，若在双曲线右支上存在一点
满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为 .
12．若 为抛物线 ： 在第二象限内一点，抛物线 的焦点为 ，直线 的倾斜角为 ，
抛物线在点 处的切线与 轴相交于点 .若 （ 为坐标原点），则 的面积为
.
