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第03 讲幂的运算
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
m
n
m n
a
a
a
（m，n 是正整数）
（2）推广：
m
n
p
m n
p
a
a
a
a
（m，n，p 都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如
32 与
52 ，
3
2
2
a b
与
4
2
2
a b
，
2
x
y
与
3
x
y
等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相
加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住
“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
知识点2 幂的乘方与积的乘方
1．幂的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（a
m）
n=a
mn（m，n 是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这
里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
2．积的乘方
.
2 / 10
（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）
n=a
n•b
n（n 是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计
算出最后的结果．
知识点3 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
a
m÷a
n=a
m﹣n（a≠0，m，n 是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0 不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什
么．
2．零指数幂
零指数幂：a
0=1（a≠0）
由a
m÷a
m=1，a
m÷a
m=a
m﹣m=a
0可推出a
0=1（a≠0）
注意：0
0无意义．
3．负整数指数幂
负整数指数幂：a
﹣p=
ͳ
ߙ（a≠0，p 为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）
﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错
误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
4.【规律方法】用科学记数法表示有理数x 的规律
x 的取值范围
表示方法
a 的取值
n 的取值
|x|≥10
a×10
n
1≤|a|
＜10
整数的位数-1
|x|＜1
a×10
-n
第一位非零数字前所有0 的个数（含小数点
前的0）
知识点4 幂的大小比较
1.比较大小的方法
3 / 10
1．作差法:比较a、b 的大小，
0 ,
0 ,
0 ,
a
b
a
b
a
b
a
b
２．作商法：比较a 、b 的大小，当
0 ,
0
a
b
时，可以采用作商法，
1 ,
1 ,
1 ,
a
b
a
a
b
b
a
b
2.幂的比较大小的方法
1．同底数幂的比较大小:（1）当
1
a 时，指数大的大；（2）当0
1
a
时，指数大的反而小；
（3）当底数为负数时，先把底数变为正数再比较大小.
２．异底数幂的比较大小：（1）可以化为同底数幂的先化为同底数幂，再比较；
（2）不能化为同底数幂的化为同指数幂，再比较；指数相同，底数大的大
课本典例1（习题11.1 第2 题）
计算：(1) 103 3；(2) a3 7；(3) x2 4；(4) a2 3 ⋅a5
课本典例2（习题11.1 第7 题）
计算：(1) a3 3 ÷ a4 2；(2) x2y 5 ÷ x2y 3；(3) x2 ⋅
x2 3 ÷ x5；(4) y3 3 ÷ y3 ÷ −y2 2。
课本典例3（习题11.1 第8 题）
用多少张边长为a 的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形？试写出三个答案，并用两种方法表示新正
方形的面积。从不同的表示方法中，你能发现什么？
题型一同底数幂相乘
1．（24-25 八年级上·福建福州·期末）若
,
m n 是正整数，且满足3
3
3
3
3
3
m
m
m
n
n
n
，则下列m 与n 的关
系式正确的是（
）
A．m
n
B．
1
3
m
n
C．
3
1
m
n
D．
3
3m
n
2．（2024·河北邯郸·二模）若
8
8
2
2
2
2
2
n
n
n
n
个
，则n （
）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．（24-25 八年级上·四川绵阳·期中）计算：
5
7
x
x
．
4．
（24-25 八年级上·重庆忠县·期中）规定：若实数x，y，z 满足
zx
y
，则记作( , )
x z
y
．若记(5, )
6
a
，(5, )
10
b
，
(5, )
600
c
，则a，b，c 三者之间的关系式是
．
5．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）计算
2
a a
的结果是（
）
4 / 10
A．
6
a
B．
5
a
C．
4
a
D．
3
a
题型二同底数幂乘法的逆用
6．（24-25 八年级上·湖北随州·期末）若
4
3
m
n
a
a
，
，则
m n
a
的值为
．
7．（24-25 八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知
4
m
a
，
3
n
a ，则
m n
a
的值是（）
A．7
B．12
C．64
D．81
8．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）已知2
3
x ，则
4
2x的值是（
）
A．8
B．24
C．40
D．48
9．（20-21 七年级下·江苏苏州·阶段练习）若
2
m
a
，
3
n
a ，则
m n
a
的值为
．
题型三用科学记数法表示数的乘方
10．（23-24 七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做
8
4 10
次运算，它工作
4
3 10
秒运算的次数
为
（结果用科学记数法表示）．
11．（23-24 八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4 米，
用了约
6
2.3 10
块大石块，每块重约
3
2.5 10
千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？
12．（23-24 八年级上·甘肃天水·期中）光速约为
8
3 10
米/秒，太阳光射到地球上的时间约为
2
5 10
秒，求
地球与太阳的距离，用科学记数法表示为
米．
13．（22-23 七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是
3
7.9 10
米/秒，那么卫星绕地球运行
6
3 10
秒走过的路程是
米．
题型四幂的乘方运算
14．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）已知
6
4
a
，
38
b
，
11
2
c
，则a
b
c
、、的大小关系是（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．b
a
c
D．b
c
a
15．（24-25 八年级上·四川宜宾·期末）已知：3
2
4
m
n
，则8
4
m
n
（
）
A．8
B．16
C．32
D．64
16．（24-25 八年级上·河南周口·期末）计算
3
(
)
n
a a
a
个
的结果是（
）
A．
6
a
B．
9
a
C．
3
n
a
D．
3n
a
题型五幂的乘方的逆用
17．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）计算
2
3
b
，其结果正确的是（
）
A．
6
b
B．
9
b
C．
32
b
D．
5b
18．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）阅读下列解题过程，试比较
100
2
与
75
3 的大小．
解：∵
25
100
4
25
2
2
16
，
25
75
3
25
3
3
27
，，而16
27
，∴
100
75
2
3
．
请根据上述解答过程解答：
若
555
444
333
222
2
3
4
5
a
b
c
d
，
，
，
，请比较a、b、c、d 的大小．我的结论是：
5 / 10
．
19．（24-25 八年级上·河南信阳·期末）已知
31
81
a
，
41
27
b
，
61
9
c
，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
b
a
D．b
c
a
20．（23-24 八年级上·河南南阳·期末）已知
55
22
2 ,
5
a
b
，则a，b 的大小关系是
（用“>”号连接）．
21．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）已知
3
1
4
2
x
x
，则x
．
题型六积的乘方运算
22．（24-25 八年级上·吉林松原·期中）计算：
5
3 2
2 3
(2
)
( 2
)
a a
a
a
．
23．（24-25 八年级上·重庆九龙坡·期末）计算：(
)
2
3
3a b
-
=
．
24．（24-25 九年级下·广东广州·阶段练习）下列运算正确的是（
）
A．
2
3
2
3
6
a
a
a
B．
3
3
(2 )
2
a
a
C．
6
2
3
a
a
a
D．
2
7
9
3
4
7
a
a
a
25．（24-25 八年级上·吉林四平·期末）下列运算正确的是（
）
A．2
3
a a
a
B．
2
3
6
a
a
a
C．
2
3
5
a
a
D．
3
3
3
ab
a b
题型七积的乘方的逆用
26．（24-25 八年级上·福建莆田·阶段练习）计算：
10
10
1
2024
2024
．
27．（24-25 八年级上·天津滨海新·期中）计算
2023
2021
2022
2
1.5
1
3
的结果是（
）
A．2
3
B．3
2
C．
2
3
D．
3
2
28．（24-25 八年级上·北京海淀·期中）计算：
4
4
1
5
5
．
29．（24-25 八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列
问题．
东东的作业
计算：
5
5
4
0.25
解：原式
5
5
4 0.25
1
1
计算：
(1)
2025
2024
8
0.125
(2)若
25
3 9
81
3
n
n
，请求出n 的值
题型八同底数幂相除
30．（24-25 八年级上·四川资阳·期末）若
2
1
0
x
y
，则3
9
27
x
y
的值为
．
6 / 10
31．（24-25 八年级上·河南新乡·阶段练习）若2
2
0
x
y
，则9
3
1
x
y
的值为（
）
A．10
B．8
C．7
D．6
32．（17-18 八年级上·河南南阳·期末）计算：
3
2
2
a
a
．
33．（24-25 八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】
我们规定,a b 两数之间的一种运算，记作
,a b ，如果
ca
b
，那么
,a b
c
；例如
23
9
，记作
3,9
2
．
【初步探究】
（1）根据以上规定直接写出结果：
5,125 _____；
2,16
_____；
【深入思考】
对于同底数的幂的乘除法运算，我们有
m
n
m n
a
a
a
，
m
n
m n
a
a
a
，
例如
2
7
2 5
5
3
3
3
3
，
6
2
6 2
4
3
3
3
3
．
（2）小颖发现
4,2
4,3
4,6
也成立，并证明如下：
设
4,2
x
，
4,3
y
，则4
2
x
，4
3
y
，
因为4
4
4
6
x
y
x y
，所以
4,6
x
y
，
所以
4,2
4,3
4,6
x
y
，
仿照以上证明，计算
2025,4
2025,6
2025,
，写出计算过程；
（3）猜想
5,18
5,3
5,
，并说明理由．
题型九同底数幂相除的逆用
34．（24-25 八年级上·广东广州·期中）若
3
m
a
，
2
n
a
，则
m n
a
．
35．（24-25 八年级上·湖南永州·期中）已知
6
m
x
，
= 3
nx
，则
m n
x
的值为
．
36．（24-25 八年级上·江西宜春·期中）已知2
6,2
3
a
b
，则2a b
的值为
．
37．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）已知
6
m
x
，
= 3
nx
，则
m n
x
的值为（
）
A．9
B．39
C．2
D．108
38．（24-25 八年级上·山东济宁·期末）已知2
3
x
，
2
4
2
36
x
y
，若4y
m
，则m 的值为（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．2
D．18
题型十幂的混合运算
39．（24-25 八年级上·云南昆明·阶段练习）下列计算正确的是（）
A．
2
3
6
a
a
a
B．
2
2
3
6
a
a
C．
6
3
2
a
a
a
D．
2
2
2
3
2
a
a
a
40．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）下列计算正确的是（
）
A．
3
2
6
a
a
B．
2
3
6
a
a
a
C．
3
3
2
2
a
a
D．
10
2
5
a
a
a
7 / 10
41．（24-25 八年级上·四川绵阳·期中）（1）已知10
20
a
，100
50
b
，求
2
6
a
b
的值．
（2）计算：
2
3
2
3
3
7
3
3
4
5
a
a
a
a
a
．
8 / 10
一、单选题
1．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（
）
9 / 10
A．
3
2
6
a
a
a
B．
3
3
a
a
a
C．
2
2
4
a
a
a
D．
2
2
4
a
a
2．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）下列计算正确的是（
）
A．
2
3
5
a
a
a
B．
2
2
4
a
a
C．
2
3
5
a
a
a
D．
3
2
5
a
a
3．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）若
2
1
3
0
3
a
b
，则
2023
2024
a
b
的结果为（
）
A．3
B．1
3
C．1
D．3
4．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列选项中，运算结果为
6
x 的是（
）
A．
2
3
x
x
B．
2
3
x
x
C．
3
2x
D．
12
2
x
x
5．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）计算
2
3
3
3
4 10
2 10
的结果是（
）
A．
17
1.28 10
B．
17
1.28 10
C．
16
4.8 10
D．
16
2.4 10
6．（24-25 八年级上·吉林·期中）下列各式中，计算正确的是（
）
A．
3
3
3
2
a
a
a
B．
6
4
10
÷
=
a
a
a
C．
2
3
6
a
a
D．
3
2
3
2
6
xy
x y
7．（24-25 八年级上·河北保定·期末）下列运算结果等于
3n
a
的是（
）
A．
3
n
a
a
B．
3
n
a
C．
3
3
3
3
a
a
a
a
n
相乘
个
D．
3
n
a
a a
a
个相乘
8．（24-25 八年级上·湖北恩施·阶段练习）若3
10 9
5
x
y
，
则
2
3x
y
的值为（
）
A．2
B．0.5
C．4
D．1
9．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）下列计算正确的是（
）
A．
3
2
5
a
a
a
B．
3
2
6
a
a
a
C．
8
2
4
a
a
a
D．
3
2
6
2
8
a
a
10．（24-25 八年级上·北京西城·期中）下列计算正确的是（
）
A．
2
3
6
a
a
a
B．
3
3
9
a
a
C．
3
3
2
6
a
a
D．
3
2
6
a
a
二、填空题
11．（2023·湖北襄阳·模拟预测）
2
3
3
2
a
a a
a
．
12．（24-25 八年级上·河北廊坊·期中）如果
2
2
8
ax
x
x
，那么a 的值为
．
13．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）已知
2
2,
12
n
m
n
a
a
，则
2
3
m
n
a
的值为
．
14．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）计算：
2021
2026
1
3
3
．
10 / 10
15．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果
3,
2
m
n
x
x
，那么
2m n
x
的值为
．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·福建福州·期中）计算：
3
3
3
3
3
3
a
a
a
a
．
17．（24-25 八年级上·辽宁营口·期中）（1）已知2x
a
，4y
b
，8z
ab
，求x ，y ，z 之间的数量关系．
（2）已知n 是正整数，且
3
2
n
x
，求
2
3
3
2
3
2
n
n
x
x
的值．
18．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）计算：
(1)
2000
1999
1999
2
3
1
3
2
；
(2)已知n 为正整数，且
2
2
n
x
，求
2
2
3
2
3
4
n
n
x
x
的值．
19．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知3
4
a
，3
10
b
，3
25
c
．
(1)求
23 b 的值；
(2)求3a c b
的值．
20．（24-25 八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知3
4
a
，3
10
b
，3
16
c
．
(1)求3a b
的值；
(2)求
23 a c
的值．
