文档文本内容
第14 讲 直线与圆锥曲线综合考查题型全归纳
目 录
题型01 中点弦
题型02 弦长
题型03 面积
题型04 定点问题
题型05 定值问题
题型06 定直线问题
题型07 圆锥曲线与向量
强化训练（共15 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 中点弦
题型点拨
点差法在圆锥曲线中的结论
以下斜率形式均在相关斜率存在、分母不为零时成立；特殊位置应直接使用点差法所得的坐标关系处
理。
（1）椭圆：
（2）双曲线：
（3）抛物线：若 AB 的中点为 (x_0,y_0)，则 y^2=2px（开口向右）时 k_(AB)=p/y_0；y^2=-2px（开口
向左）时 k_(AB)=-p/y_0；x^2=2py（开口向上）时 k_(AB)=x_0/p；x^2=-2py（开口向下）时 k_(AB)=-
x_0/p.
【典例1】（25-26·浙江）已知椭圆
的中心为坐标原点，一个焦点为
，过
的直线与椭圆
交于
A、B 两点.若
的中点为
，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合点差法化简即可求解.
【详解】设椭圆
的方程为
，
，
则
，
由直线过
与
的中点
，则
，
由
，
相减得
，
即
，
∴
，
又
，∴
，解得
，
故椭圆
的方程为
.
故选：B
【变式1】已知抛物线
，过点
的直线与抛物线
交于
两点.若
，则直线的
斜率是（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】抛物线的中点弦,运用点差法即可解决..
【详解】设
，
所以
整理得
.
因为
，
所以
是线段
的中点，
所以
，
所以
，即
，
所以直线的斜率是3.
故选：A.
题型2 弦长
题型点拨
（最常用公式，使用频率最高）
上式使用纵坐标差形式时需k ≠ 0
；当k = 0 时直接利用横坐标差求弦长。
【典例1】（25-26·江苏常州）在平面直角坐标系
中，已知点
，点
，动点
满足：
直线
与直线
的斜率之积是
.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)直线与（1）中轨迹
相交于
两点，且
为
的中点，求弦长
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助斜率公式计算后化简即可得；
（2）设出直线方程及两交点坐标，联立直线方程与曲线方程，消去
可得与两交点横坐标有关韦达定理，
再借助点
为
中点，代入计算后结合弦长公式即可得.
【详解】（1）依题意，
，化简得
，
故动点
的轨迹
的方程为
；
（2）若直线斜率不存在，则
中点纵坐标为
，不合题意；
故直线斜率存在，设
，
、
，
联立
，消去
，有
，
，
即
，
，
，
由
为
的中点，则
，化简得
，
且有
，则
，整理得
，解得
，
则
，故
，
，
则
.
【变式1】（25-26·湖南）已知
为坐标原点，抛物线
：
的焦点为
，点
在抛
物线
上，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若经过点
的直线与抛物线
交于点
，
，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解；
（2）设直线方程
，联立抛物线方程，由韦达定理，通过
，求得斜率，再由弦长
公式即可求解.
【详解】（1）由点
在抛物线
上，得
，
由
，可得
，得
，
所以抛物线
的方程
；
（2）当斜率不存在时，方程为：
，
此时
，
则
，
，不符合题意，
当斜率存在时，设直线方程为：
，
联立抛物线方程消去
可得：
，
设
，
又
，则
，
代入
，
可得：
代入
得：
化简可得：
，
即
或
，
当
时，直线方程为
，过坐标原点，不符合题意舍去，
当
，直线方程为
，
所以
由弦长公式得：
题型3 面积
题型点拨
三角形的面积问题
直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：
1、一般方法：S=1/2·|AB|·d（其中 |AB| 为弦长，d 为顶点到直线 AB 的距离），设直线 AB 为斜截式
y=kx+b.
进一步，|AB|=sqrt(1+k^2)·|x_1-x_2|=sqrt(1+k^2)·sqrt((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)，再结合点到直线的距离公式
求面积.
2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶
点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.
当以纵向差作为高时：S_(Delta PAB)=S_(Delta PQA)+S_(Delta PQB)=1/2·|PQ|·|y_A-y_B|=1/2·|PQ|
·sqrt((y_1+y_2)^2-4y_1y_2).
当以横向差作为高时：S_(Delta PAB)=S_(Delta PQA)+S_(Delta PQB)=1/2·|PQ|·|x_A-x_B|=1/2·|PQ|
·sqrt((x_1+x_2)^2-4x_1x_2).
【典例1】（2025·江苏南通）已知椭圆
的焦距与椭圆
的焦距相等，且
经过点
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
相交于
、
两点，且
、
关于直线
对称，
为
的对称中心，且
的面积为
，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用椭圆参数的意义，结合待定系数法来求解即可；
（2）利用对称可得到参数
，再利用方程组思想求解弦的中点在直线上可得
，再计算面
积可得方程组求解参数
即可.
【详解】（1）由题意：故
，
解得：
，
，
所以
的方程为：
；
（2）因为直线
与
相交于
、
两点，
且
、
关于直线
对称，
故直线 垂直
，所以
，
联立
,可得
，
设
，
，
的中点为
，
则
，
，
，
因为
在直线
上，
所以
，即
，
所以
，即：
，
则
，
到直线
的距离
，
即
，
解得
，即
．
【变式1】（25-26·广东深圳）圆锥曲线第二定义：设动点
到定点
的距离与点
到定直线
的距离的比是
，当
时，该动点
的轨迹为双曲线.定直线
称为准线，比值
称为
离心率，
称为焦半径.如图，
为曲线
的左、右焦点，该曲线离心率
，准线
.动点
在曲线
的右支上.设
的平分线与
轴、
轴分别交于点
.
(1)求曲线的标准方程；
(2)求
的取值范围；
(3)设过点 Q 的直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点，求 triangle F_2AB 面积的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据已知求双曲线参数，即可得双曲线方程；
（2）法一：根据已知有
得到
，进而有
，结合双曲线的性质得
，即可
确定参数范围；法二：根据已知写出
、
，由角平分线及点线距离公式列方程得
，结合
即可得参数范围；
（3）设直线
的方程，求得
，进而有
并联立双曲线，应用韦达定理、弦
长公式和三角形面积公式得
，即可求最值.
【详解】（1）由题设
，可得
，
则
，故
；
（2）法一：依题意有
.
由焦半径的定义知，
.
在
中，由角平分线定理知
，即
，
整理得
，
将
代入上式得
，
由
，及
.
所以
，从而m 的取值范围是
.
法二：依题意有
，
则
，
，
由点N 在
的平分线上知
，
则
.
故
，由
及
，
所以
，故
的取值范围是
.
（3）由（1）知
，
令
，故点
，
由
，
与双曲线方程联立消去
得
①，
，
设
，则
，
，
由
，知
，
设
，故
.
当
，即点
时，
面积取最大值
.
从而
面积的最大值为
.
题型4 定点问题
题型点拨
圆锥曲线的定点问题
1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零．既然是过定点，那
么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于 x，y 的方程
组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线
（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的
直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
【典例1】（25-26·广东东莞）已知椭圆
，点P 为C 的上顶点．
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)设与两坐标轴均不垂直的直线l 与椭圆C 交于异于P 的两点A 和B，设直线PA、PB 的斜率分别为
、
．当
时，判断直线l 是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
；
(2)直线过定点
.
【分析】（1）根据方程确定
的值，再求离心率的值.
（2）设直线
，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出
，
，根据
列式，化
简可得
的关系，再确定直线是否过定点.
【详解】（1）椭圆
的长短半轴长分别为
，半焦距
，
所以离心率
.
（2）如图：
设
，
，
由直线l 与椭圆C 交于异于P 的两点
、
，得
，
由
，得
，则
，
，即
，
整理得
，而
，于是
，
此时直线
，过定点
，所以直线过定点
.
【变式1】（25-26·河南商丘）已知双曲线
.
(1)若直线与双曲线
相交于
两点，线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
(2)若
为双曲线
右支上异于右顶点的一个动点，
为双曲线
的右焦点，
轴上是否存在定点
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；
(2)存在，
.
【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可；
（2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得；
【详解】（1）设
，则
，作差得
，
又线段
的中点坐标为
，则
，
所以
，可得
，
所以
，即
；经检验成立
（2）假设存在定点
，使得
，
设
，焦点
，若
时，
，
所以
，化简得
，
又
，则
，整理得
对
恒成立，
所以
，可得
，
当
，此时
为等腰直角三角形，也成立，
综上，
.
【变式2】（25-26·河北邢台）已知抛物线
：
的焦点
到直线：
的距离为
．
(1)求
的值；
(2)倾斜角为
的直线
过
，与
交于
，
两点，求
；
(3)
是直线
上一动点，过点
作
的两条切线，切点分别为
，
，证明：直线
过定点．
【答案】(1)2
(2)16
(3)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出关于
的方程，求解即可．
（2）求出直线
的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可．
（3）设出点
、
、
的坐标及直线
及切线
，
的方程，联立抛物线方程，根据
得到切
线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点．
【详解】（1）解：抛物线
的焦点
，
由题意可得：
，即
，
，
解得
或
，又因为
，所以
．
（2）解：由（1）可得抛物线方程为
，
，
所以直线
的方程为
，设
，
，
联立
，得
，
，
所以
，
，
（3）证明：设
，
，
的方程为
．
由
，得
，
所以
，
，
．
易知直线
，
的斜率存在，
设直线
的方程为
，
由
，得
．
由
，解得
，
所以直线
的方程为
，即
．
同理可得，直线
的方程为
．
设
，代入直线
、
中，
，
，
即
，
，
所以
，
可看作方程
的两根，
所以
，又
，所以
．
所以直线
的方程为
，故直线
过定点
．
题型5 定值问题
题型点拨
圆锥曲线的定值问题
1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某
些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，
求定值问题常见的解题方法有两种：
法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；
法二、引入变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤
第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：
b
kx
y
或
n
my
x
、点的坐
标；
第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进
行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；
第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
【典例1】（25-26·江苏宿迁）已知椭圆
的焦距为
，且经过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线
与椭圆
交于
两点，点
是
轴上的一点，过点
作直线
的垂线，垂足为
.
是否存在点
，使得
为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在点
，使得
为定值，定值为
.
【分析】（1）由题列得关于
的方程组，求解可得椭圆
的方程；
（2）联立直线
与椭圆
的方程，根据韦达定理写
.根据向量数量
积的运算性质，求得
.假设存在点
，使得
为定值，并由此得到点
的坐标
【详解】（1）由题可知，
，化简得
，解得
.
所以椭圆
的方程为
.
（2）设
，存在点
满足题意.
由
，得
.
所以
.
.
.
若
为定值，则
，
所以
，解得
.
所以存在点
，使得
为定值，定值为
.
【变式1】（25-26·四川绵阳）已知抛物线
的焦点为
，点
为坐标原点，点
在抛物线C 上，且
，直线过定点
（其中
，
）与抛物线
相交于A，B 两点（点
位于第一象限）．
(1)求抛物线
的方程；
(2)当
时，求证：
；
(3)如图，连接
，并延长交抛物线
于两点
，
，设
和
的面积分别为
和
，求
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）根据
及已知列方程求参数，即可得抛物线方程；
（2）设直线方程为
，
，
，联立抛物线并应用韦达定理和向量数量积的坐标运
算，即可证；
（3）设直线的方程为
，
的方程为
，
，
，
，
，
联立抛物线，应用韦达定理和三角形面积公式即可得.
【详解】（1）∵
，
∴
，则
；
（2）设直线方程为
，
，
，
联立直线与抛物线
的方程
，
消去
并整理，得
，
所以
，
则
，
即
；
（3）设直线的方程为
，
，
，
联立直线与抛物线
的方程
，
消去
并整理，得
，
所以
，
设
，
，
的方程为
，
联立直线
与抛物线
的方程
，
消去
并整理，得
，
所以
，
，则
，同理得
，
∴
.
【变式2】（25-26·江苏宿迁）已知双曲线
的渐近线方程为
，且点
在双曲线上.
(1)求双曲线
的方程；
(2)点
为双曲线
的左右顶点，
为双曲线
上异于
的点，求
的值；
(3)点
在双曲线
上，且
为垂足，证明：存在定点
，使得
为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式进行求解即可；
（3）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系、直角三角形的性质进行运算证明即可.
【详解】（1）由
，因为
在双曲线上，
所以有
；
（2）由题意可知
，设
，
则有
，
所以
；
（3）因为
，所以直线
的斜率存在，
因此设直线
的方程为
，设
，
，
，且
，
，或
，
当
时，
，
直线
过
点，不符合题意；
当
时，
，
因为
，
所以
是直角三角形，且
，
当定点
为斜边
中点时，
，
即存在定点
，使得
为定值
.
题型6 定直线问题
题型点拨
定直线问题
是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程
的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①联立方程消去参；
②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
④设点，对方程变形解得定直线.
解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点
在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三
种情况：
（1）
，即动点恒过直线
．
（2）
，即动点恒过直线
．
（3）
，即动点恒过直线
．
【典例1】已知双曲线
的中心为坐标原点，上焦点为
，离心率为
.记
的上、下顶点分别为
，
，过点
的直线与
的上支交于M，N 两点.
(1)求
的方程；
(2)直线
和
的斜率分别记为
和
，求证
；
(3)直线
与
交于点P，证明：点P 在定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用双曲线的上焦点、离心率可求得
的值，进而可求得双曲线方程.
（2）设
的方程为
，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得
，进而计算可求得
的最小值.
（3）直线
的方程为
，直线
的方程为
，联立方程线可求得交点的纵坐标为定
值，可得结论.
【详解】（1）设双曲线的标准方程为
，
由题意可得
，解得
，
所以双曲线的标准方程为
；
（2）双曲线的上下顶点为
，
，设直线
的方程为
，
，
联立
，消去
，可得
，
则
，且
，
所以
，
所以
，
所以
;
（3）直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
，得
，解得
，
即点P 在定直线上
.
【变式1】已知抛物线E：
（p>0），过点
的两条直线l1，l2分别交E 于AB 两点和C，D 两
点．当l1的斜率为
时，
(1)求E 的标准方程：
(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 必在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线的点斜式方程写出直线方程，与抛物线联立方程，利用弦长公式，求出
的值，
从而求出抛物线的标准方程；
（2）设直线方程为
或
，与抛物线联立方程，由韦达定理得出
，
，求
出直线方程
和直线方程
，求出交点
的横坐标，然后进行化简，可以证明结论.
【详解】（1）当的斜率为
时，得方程为
，
由
,消元得
，
，
，
；
由弦长公式得
，
即
，解得
或
（舍去），
满足
，
从而
的标准方程为
.
（2）法一：因为l1，l2分别交E 于AB 两点和C，D 两点，所以直线斜率存在
设直线
的方程为
，设
，
由
，消去
得
，则
.
设直线
的方程为
，
同理
，消去
得
可得
．
直线
方程为
，即
，
化简得
，
同理，直线
方程为
，
因为
在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点
必在垂直于
轴的直线上，所以只需证
的横坐标为定值即可．
由
消去
，
因为直线
与
相交，所以
，
解得
，
所以点
的横坐标为2，即直线
与
的交点
在定直线
上．
法二：设直线
方程为
，由
消去
得
，
设
，则
．
设直线
的方程为
，
同理可得
．
直线
方程为
，即
，
化简得
，
同理，直线
方程为
，．
因为
在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点
必在垂直于
轴的直线上，所以只需证
的横坐标为定值即可．
由
消去
，
因为直线
与
相交，所以
，
解得
，
所以点
的横坐标为2，即直线
与
的交点
在定直线
上．
【点睛】关键点点睛：本题中的证明问题的关键是：设出直线的横截距或者纵截距方程，联立抛物线，结
合韦达定理，把目标逐步化简，得出待证明的结论.
【变式2】已知定点
，动点
满足
．
(1)求动点
的轨迹
的方程．
(2)设过点
且与
轴不重合的直线交曲线
于E，F 两点．
①过点
作与直线垂直的直线
交曲线
于G，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值；
②设曲线
与
轴交于P，Q 两点，直线PE 与直线QF 相交于点
，证明：点
在定直线上．
【答案】(1)
(2)
7
①
；②证明见解析
【分析】（1）根据两点间距离公式列方程，化简可得结论．
（2）①根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算｜EF｜，｜GH｜，即可根据面积公式得表达
式，结合基本不等式即可求解最值．②联立直线与圆的方程得根与系数的关系，由圆
的方程得P，Q 的
坐标，即可根据点斜式求解直线PE，QF 的方程，联立两直线方程即可求解定直线，从而得证．
【详解】（1）设动点
的坐标为
，因为
，且
，
所以
，
整理得
，即
，
所以动点
的轨迹
的方程为
．
（2）①如图，因为直线不与
轴重合，所以设直线的方程为
，
即
，则直线GH 的方程为
．
由（1）知轨迹
为圆，圆
的半径为
，
设圆
的圆心
到直线和直线GH 的距离分别为
，
则
，
所以
，
所以
．
当
时，
；
当
时，
，
当且仅当
时等号成立．
综上所述，四边形EGFH 面积的最大值为7．
②设
，联立
得
，
则
．
因为曲线
与
轴交于P，Q 两点，所以不妨取
（如图），
则直线PE 的方程为
，
直线QF 的方程为
．
联立两直线方程得
，
所以
在定直线
上，得证．
题型7 圆锥曲线与向量
题型点拨
三点共线问题的解题策略
（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等来证明
三点共线；
（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；
（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；
（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上；
（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，
则三点共线；
（6）面积法：通过计算求出以三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，
离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”。
【典例1】（25-26·安徽阜阳）已知椭圆C:
的左、右焦点分别为
、
，离心率为
，过点
且斜率不为0 的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，当点
到直线l 的距离取最大值时，
.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知
，结合离心率求得
，
，即可得方程；
（2）设
，
，直线的方程为
，将直线与椭圆方程联立消去
，求出
，再
由
可得
求出
，由
即可求解.
【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c，
当点
到直线l 的距离取最大值时，则
轴，此时
，
又椭圆C 的离心率
，则
，即
，
解得
，
，所以椭圆C 的标准方程为
.
（2）由（1）可知：
，即
，
可知直线l 与椭圆必相交，且直线l 的斜率不为0，
设直线的方程为
，
，
，
联立方程
，消去x 得
，
则
，
，
又因为
，且
，
则
，结合
可得
，
代入
可得
，解得
，即
，
则
，
所以
的面积
.
【变式1】（25-26·江苏扬州）已知双曲线
左、右顶点分别为
、
，过点
的
直线交双曲线
于
、
两点.
(1)若离心率
时，求
的值；
(2)若
，过点
且斜率为的直线与双曲线
只有一个交点，求的值；
(3)连接
并延长交双曲线
于点
，若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合
的值，即可得出
的值；
（2）由题意可知直线的方程为
，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出
，
分
、
两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得
的值；
（3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为
，设点
、
，可得出
，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据
结合平面向量数量积
的坐标运算、韦达定理可得出
，结合
以及
可求出
的取值范围.
【详解】（1）由题意可得
，故
.
（2）当
时，双曲线的方程为
，
由题意可知，直线的方程为
，
联立
可得
（*），
当
时，即当
时，方程（*）即为
，该方程只有一个解，合乎题意；
当
时，即当
时，则
，解得
.
综上所述，
或
.
（3）由题知
、
，当直线的斜率为
时，此时
，不合题意，
则直线的斜率不为
，则设直线的方程为
，设点
、
，
根据
延长线交双曲线
于点
，根据双曲线对称性知
，
联立有
，
显然二次项系数
，其中
，
由韦达定理可得
①，
②，
，
，
则
，
因为
、
在直线上，则
，
，
即
，即
，
将①②代入有
，
即
化简得
，
所以
，代入到
，得
，所以
，
且
，解得
，
又因为
，则
，
综上，
，
.
【变式2】（25-26·湖北）已知双曲线
的离心率为2，且过点
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)设直线
与双曲线
交于
两点，若以
为直径的圆经过双曲线
的左顶点
（
均不
与点
重合）.求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若直线分别与两渐近线交于
两点，问是否存在实数
使得
是线段
的
两个三等分点？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析，答案见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据双曲线的离心率及
关系式，结合题意即可求解；
（2）设
，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理得出
，由题意得
，利用向量数量积的坐标运算结合
列式，用
表示
，再根据直线的点斜式方
程即可证明并求解；
（3）由（2）知：
，设
，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理求出
，若
是线段
的两个三等分点，则
，列式解方程即可判断.
【详解】（1）由题知：
，得
，
∴双曲线的标准方程为：
.
（2）设
，点
，
由
，得：
，
则
∴
，
由于以
为直径的圆过点
，∴
，
即
，
又
，
∴
，
则
，
整理得：
，即
，
∴
或
，
当
时 ，
过定点
，与
重合，故舍去，
当
时，
恒过定点
；
（3）由（2）知：
，设
，
由
得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
若
是线段
的两个三等分点，则
，
即
，整理得：
，方程无实数解，
∴不存在实数
，使得
是线段
的两个三等分点.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消
元得到关于
或
的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系
式，该关系中含有
，
或
，
最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函
数），从而可求定点、定值、最值问题.
强化训练（共15 题）
1．（25-26·四川眉山）已知斜率为2 的直线交抛物线
于
、
两点，求证：
(1)线段AB 的中点在一条定直线上
(2)
为定值（O 为坐标原点，
、
分别为直线OA、OB 的斜率）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线方程为
，联立
，计算出线段AB 的中点坐标,即可证明；
（2）借助（1）问，利用韦达定理表示出
，化简证明即可.
【详解】（1）设直线方程为
，联立
，
得
，
故
,
且
即
，
故
，
则
，
故线段AB 的中点坐标为
，一定在直线
上.
（2）
，
，
故
为定值.
2．（25-26·福建厦门）已知直线与抛物线
交于
，
两点（
，
均异于坐标原点
），且满足
．
(1)求证：直线过定点，并求出定点坐标；
(2)求
面积的最小值，并求出此时直线的方程．
【答案】(1)证明见解析，定点为
(2)
面积的最小值为，此时的方程为
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程得到纵坐标的韦达定理形式，将
转化为坐标关系，代
入韦达定理可求参数值，则定点坐标可知；
（2）设定点为
，根据面积表达式
，代入韦达定理可求面积最小值以及此时直线
的方程.
【详解】（1）由题意可知，的斜率不为
，设
，
联立
，可得
，所以
，且
，
因为
，所以
，
所以
或
(舍去，此时过原点)，
所以
，
即直线过定点，定点坐标为
.
（2）设定点为
，所以
，
当
时，
有最小值，
，
故
面积的最小值为，此时的方程为
.
3．（25-26·江苏泰州）已知双曲线
：
的焦距为
，且左右顶点分别为
,
，过点
的直线与双曲线
的右支交于
,
两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线 MN 的斜率为1，求弦长 |MN|；
(3)记直线
,
的斜率分别为
,
,证明：
是定值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据双曲线的焦距和虚半轴长求出实半轴长，即得其标准方程；
（2）设直线MN 的方程为
，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解；
（3）设直线方程为
，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到
，再由
化简计算即得.
【详解】（1）因为双曲线
：
的焦距为
，
所以
，解得
，
由题意得
，则
，
所以双曲线的方程为
；
（2）依题意，可设直线MN 的方程为
，
由
，消去y 得
，
由韦达定理得
，
所以
；
（3）如图所示，设直线的方程为
，
，
由
，消去x 得
，
则
，且
，
则
，可得
，
又
，则
，
.
4．（25-26·江苏徐州）已知抛物线
的焦点为
，过
的直线与
交于
，
两点.
(1)当直线的倾斜角为
时，求
；
(2)设
为坐标原点，直线
，
分别与直线
交于点
，
，求证：以
为直径的圆过定点，
并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
和
.
【分析】（1）设直线的方程为
，与抛物线方程联立，再利用弦长公式求解；
（2）设直线
，与抛物线方程联立，由
，得到
，同理得到
，
设圆上任意一点为
，由
，结合韦达定理得到圆的方程求解.
【详解】（1）解：设直线的方程为
，
联立
，可得
，
设
，
，则
，
所以
.
（2）证明：设直线
，
联立
，得
，
所以
，
，
又
，
，
所以
，
同理可得
，
设圆上任意一点为
，
则由
可得，圆的方程为
，
整理得
，
令
，可得
或
，
所以
为直径的圆过定点，定点坐标为
和
.
5．（25-26·浙江杭州）已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆
上，不过点
的直线与椭圆
相交于
两点.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若弦
的中点的纵坐标为
，求
面积的最大值；
(3)若
，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据离心率公式，可得
，将点坐标代入椭圆方程，结合a，b，c 的关系，即可求得答
案.
（2）分析可得直线l 斜率存在，设方程为
，与椭圆联立，根据韦达定理，可得
、
表达
式，代入弦长公式，可得
表达式，再求得O 到直线MN 的距离，代入面积公式，结合m 的范围，即可
得答案.
（3）由
，可得
，将直线方程代入，结合韦达定理，化简
可得
或
，分别讨论，分析检验，即可得答案.
【详解】（1）由题意得：
，解得
，
椭圆方程为：
（2）因为弦
的中点的纵坐标为
，所以直线斜率存在.
设直线
，代入
，可得
，
设
，
，则
，
，
因为弦
的中点的纵坐标为
，
所以
，即
，
，
O 到直线MN 的距离
，
，
由
，
，可得
，
当
即
时，
取得最大值
.
（3）
，
，
即
，
，
，
代入（*）式，得
，
即
，
化简得
，
即
，
或
，
当
时，则直线
，此时直线过点
，不合题意舍去，
当
时，则直线
，此时直线过定点
，
当直线斜率不存在时，直线
交椭圆于
，
，
此时
，显然成立.
直线过定点
.
6．已知双曲线
的右顶点为
，双曲线
的左､右焦点分别为
，且
，
双曲线
的一条渐近线方程为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)已知过点
的直线与双曲线
右支交于
两点，点
在线段
上，若存在实数
且
，
使得
，证明：直线
的斜率为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程可得
，结合
计算即可求解；
（2）设
，
，由
，根据平面向量线性运算的坐标表示可
得
、
，进而
，进而求解.
【详解】（1）设双曲线
的半焦距为，由
，得
，即
，
所以
，
又双曲线
的一条渐近线方程为
，所以
，
解得
，
故双曲线
的方程为
.
（2）设直线与双曲线
交于
，点
，
因为存在实数
且
，使得
，
所以
，
，
整理得：
①，
②，
得
③，
同理
④，
⑤，
得
⑥，
由于双曲线
上的点的坐标满足
，
③
-⑥得
，
即
，又
，所以
，
表示点
在直线
上，又
也在直线
上，
所以直线
的斜率为
（定值）.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
7．（25-26·黑龙江牡丹江）已知两定点
，
，动点P 满足到A 与B 的连线斜率乘积为1
(1)求P 的轨迹方程；
(2)过点 F(2,0) 的直线 l 交 P 的轨迹于 A、B（此处 A、B 为交点，不同于前述定点），
（ⅰ）若A、B 在y 轴的右侧，且
的面积为
，求的方程；
（ⅱ）是否存在
轴上的定点
，使得
为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1)
（
）；
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）存在点
.
【分析】（1）结合斜率公式利用直接法求轨迹方程即可；
（2）（ⅰ）设直线l：
，设
，
，联立直线与轨迹
的方程，利用韦达定理和
三角形的面积公式即可求解；
（ⅱ）设
，利用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值思想，可得
.
【详解】（1）设
，
，
，
由
，化简得
（
）.
（2）
设直线l：
，代入
得：
，
整理得：
设
，
，
因为
，
均在双曲线的右支上，所以
，且
，
所以
，
.
（ⅰ）所以
，
，可得
，
∴直线的方程为：
.
（ⅱ）假设存在
轴上的定点
，使得
为定值.
因为
，
，
所以
.
因为
为常数，所以
，
此时
.
所以存在点
，使得
为定值.
8．阿基米德（公元前287 年-公元前212 年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学
家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率
等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐
标系
中，椭圆
：
的面积为
，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过
点
的直线与椭圆C 交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为P，Q，直线PA 与直线
交于点F，试证明B，Q，F 三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用条件，建立
的关系，直接求出
即可求出结果；（2）分直线斜率存在与不存在
两种情况讨论，当斜率不存在时，可直接求出B，Q，F 三点的坐标，从而可利用向量判断出是否共线；当
斜率存在时，设出直线方程
，联立方程得到
，利用韦达定理得到
间的关系，再求出
点，再利用向量共线得到点共线即可得到证明.
【详解】（1）依题意有
，解得
，所以椭圆C 的标准方程是
.
（2）（i）当直线的斜率不存在，易知
，
，或
，
，
当
，
时，直线PA 的方程为：
，所以点
，
此时，
，
，显然B，Q，F 三点共线，
同理
，
时，B，Q，F 三点共线；
（ii）当直线的斜率存在时，显然斜率
，设直线的方程：
，
设
，
，
由
整理可得：
，
，
，
由（1）可得左右顶点分别为
，
，
直线PA 的方程为
，又因为直线
与
交于F，所以
，
所以
，
，
因为
，
又
，
所以
，所以
，所以B，Q，F 三点共线；
9．（25-26·湖南长沙）已知在平面直角坐标系中，
为原点，抛物线
的焦点为
，
、
是抛物线
上两个不同的点.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线
斜率为1，且过点
，求线段
的长度；
(3)直线与拋物线
交于不同于
的
、
两点，若以
为直径的圆经过点
，且
于
，证明：
存在定点
，使
为定值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据焦点坐标为
，故
，所以抛物线为
；
（2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案；
（3）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段
为直径的圆经过点
，转化成
，可得直
线过定点，再由
，根据直角三角形的特征即可找到
的位置，即可求解.
【详解】（1）抛物线
的焦点为
，
则
，即
，
所以抛物线为
；
（2）直线
的方程为
，联立抛物线Γ 和直线l 的方程：
，
得
，
，设
，
由韦达定理得
，
故
；
（3）由题意可知直线
斜率不为0，设其方程为
，
联立方程得：
，
整理得：
，
，
其中
，
，
因为以
为直径的圆经过点
，所以
，
又因为
，
∵
，
∴
，
所以直线
过定点
，
又因为
，所以
为直角三角形，
所以当
为斜边
中点时，
为定值，
此时
，
所以定点
为
，
为定值２．
10．（25-26·浙江丽水）已知双曲线
的渐近线方程是
，且过点
.
(1)求
的标准方程；
(2) A_1，A_2 分别为双曲线 C 的左、右顶点，F_1，F_2 分别为 C 的左、右焦点，与 x 轴不垂直的直线
l 与双曲线 C 的左支相交于 P，Q 两点，记直线 P A_1，P A_2，Q A_2，Q A_1 的斜率分别为 k_1，
k_2，k_3，k_4，已知 k_1+k_4=-3(k_2+k_3).
（i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标；
（ii）求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，
（ii）
【分析】（1）由已知渐近线方程，设双曲线的方程为
，代入点
求解即可；
（2）（i）设直线的方程为
,联立直线与双曲线，由韦达定理代入
关系式，化
简整理得
的关系，求得定点；
（ii）由（2）得
的关系，代入韦达定理，代入面积表达式，换元结合基本不等式求最值即可..
【详解】（1）设双曲线的方程为
，
因为双曲线过点
，
所以
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）（i）设直线的方程为
，
，
，
又
，
，
所以
同理，
，
所以
，所以
，
由
消去
得，
，
所以
，
所以
，
整理，得
，
即
整理，得
，
解得
或
，
当
时，直线过点
，不合题意，舍去，
当
时，直线过点
，满足题意，
所以直线过点
.
（ii）因为
，
又
，所以
，
由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直，
得
，令
，
则
，
，
因为
在
上单调递减，
所以
，
所以得的取值范围是
.
11．（25-26·江苏无锡）已知椭圆
的焦距为
，
，
为
的左、右焦点，
为
上一动点，
的面积最大为
．
(1)求
的标准方程；
(2)过点
作斜率为1 的直线，直线与
交于点
，
，求
的面积；
(3)过点
作斜率之和为2 的两条直线，
，与
交于点
，
，
与
交于点
，
，线段
，
的中点分别为
，
，试问：直线
是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)直线
过定点
【分析】（1）结合题目所给信息以及
，
，之间的关系，列出等式求解即可；
（2）设直线的方程为
，联立方程结合韦达定理运算求解；
（3）设出直线
和
的方程，将直线
的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得点
的坐标，同理得
点
的坐标，代入直线
的方程中，进而可解．
【详解】（1）椭圆
的焦距为
，所以，
因为当点
在椭圆的上顶点时，△
的面积取得最大值，
此时
，解得
，
则
，
故椭圆
的标准方程为
；
（2）由题可得
，
，
设直线的方程为
，
，
联立方程
，消去
得
，
由韦达定理得
，
则
，
故
的面积
；
（3）设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
，
，
联立
，消去
并整理得
，
由韦达定理得
，
所以
，
即
，
同理得
，
则
所以直线
的方程为
．
故直线
恒过定点
．
12．（25-26·江苏连云港）在直角坐标系
中，点
到直线
的距离比到点
的距离大1，记动
点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)过
的直线交曲线
于
两点，过
与直线垂直的直线交曲线
于
，
两点，其中
在
轴上方，
，
分别为
，
的中点．
求证：（ⅰ）直线
过定点；
（ⅱ）直线
，
的交点在定直线上．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解；
（2）（ⅰ）分别联立直线与抛物线、直线
与抛物线方程得到点
，
的坐标，从而得到直线
的
方程，即可得到直线
过定点；（ⅱ）联立直线
与
的方程得到
，即可求证；
【详解】（1）因为直线
和
距离为1，
由题意点
到直线
的距离与到点
的距离相等，
由抛物线的定义可得动点
的轨迹方程为：
（2）
设
，
，
，
，
（ⅰ）设直线的方程为
，
的方程为
，因为直线与直线
垂直，所以
，
联立
得
，
则
，
，
，
，
所以
，
同理可得
当
时，
：
，
即
，
因为
，所以直线
的方程为
，
故当
时，
，此时
过定点
，
当
时，由
得
，此时直线
的方程为
，同样经过点
，
所以直线
过定点，该定点为
.
（ⅱ）由抛物线方程得
，
，
则
：
，
同理可得
：
，
联立
得
，
即
，
由
，同理
，
故
，
所以
，
即直线
，
的交点在定直线
上.
13．（25-26·湖北武汉）过坐标原点
作圆
的两条切线，切点为
，
，直线
恰为
抛物线
的准线.
(1)求
的方程；
(2)将抛物线
向左移4 个单位长度得到新抛物线
，抛物线
交
轴于
，
两点，
，
为抛物线上不
重合的两点，
交
于点
.若直线
经过坐标原点，求证：
的面积恒为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线
与
轴交于
，由三角形相似关系可得
，由此可构造
方程求得
的值，从而得到抛物线方程；
（2）解法一：求得
，设
，则
，直线
经过坐标原点得
，
，
在抛物线上得
，直线
与直线
联立方程计算可得
，计算即可得证
的面
积恒为定值；解法二：直线
为
，直线AE 方程为
，设直线
方程为
，
点
和
是直线
与抛物线
的交点结合韦达定理可得
，点
在直线
上得
，点
在直线
上得
，直线
与直线
联立得
，计算可得
，
计算即可得证
的面积恒为定值.
【详解】（1）设直线
与
轴交于
，由几何性质得
因为直线
为抛物线
的准线，直线
为圆
的切线，
所以
，
在
与
中，
为公共角，
所以
，
，
即
，即
，解得：
故抛物线
的标准方程为
;
（2）解法一：依题意：
，则
，设
，
则
，
因为直线
经过坐标原点，所以
，
又
，
在抛物线上，
，两式作差得
，化简得
，
因为
，所以
，
化简可得
，即
，
联立
，得：
，
将
代入得，
为定值.
故
.
解法二：向左平移4 个单位后，新抛物线为
，
则
与
轴的交点为
，
因为直线
经过原点，所以设其方程为
，
设直线
方程为
，设直线
方程为
，
点
和
是直线
与抛物线
的交点，代入
中得：
，
设该方程的两根为
和
，根据韦达定理：
①
点
在直线
上，满足：
②
点
在直线
上，满足：
③
联立方程：
由②和③得：
，
利用①中的韦达定理结果：
，
所以
，即点
的横坐标恒为
，
故
.
14．已知A，B 分别是双曲线
的左、右顶点，P 是C 上异于A，B 的一点，直线
，
的斜率分别为
，且
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知过点
的直线
，交C 的左，右两支于D，E 两点（异于A，B）．
（i）求m 的取值范围；
（ii）设直线
与直线
交于点Q，求证：点Q 在定直线上．
【答案】(1)
(2)（i）
或
；（ii）证明见解析
【分析】（1）由已知条件去设点
的坐标，表示斜率之积，通过点
在双曲线上，代入并消元一个
变量，即可得到
，从而求出双曲线方程；
（2）（i）利用过点
的直线与双曲线的左右两支相交，必满足
，从而去求出
的取值范围；
（ii）先用交点
坐标去表示直线
的方程，然后猜想交点
的横坐标为定值，所以消去纵坐标得
到关于交点
的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证.
【详解】（1）
由题意可知
，因为
，所以
.
设
，则
，所以
，
又
，所以
.
所以双曲线C 的方程为
.
（2）（i）由题意知直线l 的方程为
.
联立
，化简得
，
因为直线l 与双曲线左右两支相交，所以
，
即
满足：
，解得
或
；
（ii）由（i）
，
直线
的方程为
直线
的方程为
．
联立直线
与
的方程，得
，
所以
，
所以
，
所以
.
所以点Q 的横坐标始终为1，故点Q 在定直线
上.
15．（25-26·浙江）已知曲线
，从
上任意一点
向
轴作垂线段
，
为垂足，记线段
的中点
的轨迹为曲线
．过
作直线与曲线
交于另一点
．
(1)求曲线
的轨迹方程；
(2)若P 在第一象限，且直线的斜率为1，
的面积为
，求此时
的坐标；
(3)若
，
，直线
与曲线
的另一个交点分别为
，直线
交于点
．问：点
是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点
在定直线上，定直线方程为
.
【分析】（1）根据点
位置之间的关系可求出曲线
的轨迹方程.
（2）首先设出直线的方程，然后联立直线和曲线
的方程组，根据韦达定理可求出点
的横坐标，然后
根据
的面积求出
点的坐标.
（3）通过求出每条直线的方程，然后将它们与曲线方程联立，求出点
的坐标，进而可判断点
是否在定
直线上.
【详解】（1）设
，则
，
.
因为点
在曲线
上，所以
，即
.
所以曲线
的轨迹方程为椭圆
.
（2）因为
在第一象限，所以
也在第一象限，
所以
，
.
设直线的方程为：
.
联立直线与曲线
的方程为：
，得
.
化简得：
.
根据韦达定理
.
因为
，所以
，
所以
，
所以
，点
到线段
的距离为
.
因为
的面积为
，
所以
.
化简得：
.
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
化简得
，即
，
此时解得
或
（舍去）.
所以点
的坐标为
.
（3）因为
，
所以直线
的方程为
.
联立直线
与曲线
的方程组为
，可解得点
的坐标为
.
若
的斜率不存在，由对称性可得
，矛盾；
若
斜率为
，直线与曲线
只有一个交点，矛盾；
所以直线
的斜率存在且不为
，设直线
的方程为
①.
联立直线
与曲线
的方程组为：
，化简得：
，解得
或
（舍去）.
所以点
的坐标为
.
所以
.
所以直线
的方程为
.
联立直线
与曲线
的方程组为：
，
化简得
.
约去分母得：
，
所以
根据韦达定理
，因为
，
所以
，
所以
，
，
所以点
的坐标为
.
所以
.
所以直线
的方程为
②
联立①②方程组为：
，可得
，
化简得：
，
所以
，
所以
，
当
时，可得
，
若
，则点
与点
重合，此时
共线，与条件矛盾，
所以点
在定直线上，定直线方程为
.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·甘肃酒泉）已知椭圆
与直线交于
两点，若点
为线段
的中点，则直线
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
，利用题设条件得出
利用点差法得到
，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程.
【详解】设点
，因点
为线段
的中点，则
（*）
又
在椭圆
（即
）上，则
①，
② ，
由
，可得
，
将（*）代入，化简得
，即
，可知直线的斜率为
，
故直线的方程为：
，即
.
故选：B.
2．（25-26·山西太原）已知直线
与双曲线
相交于
、
两个不同点，
点
是
的中点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点差法可求得
，结合
可得出双曲线
的离心率的值.
【详解】设点
、
，由题意可得
，
因为点
是
的中点，则
，
因为
，这两个等式作差可得
，
所以，
，
因此，双曲线
的离心率为
.
故选：D.
3．（25-26·河北保定）若双曲线
的焦距为4，直线与
交于A，B 两点，且线段AB 的中点
为
，则直线的斜率为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】先根据双曲线的焦距求出
，然后设
，将其代入双曲线方程得到等式，根据中
点坐标进而可求出直线的斜率.
【详解】由双曲线
的焦距为4，得
，解得
.
设
，则
，则
，
因为点
是线段
的中点，
，所以
，
所以
.
故选：A.
4．已知抛物线
，过C 的焦点F 且倾斜角为
的直线交C 于A，B 两点，线段AB 的中点
为W，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】设
，代入抛物线方程两式相减可得
，进而求得
，由
求得
值.
【详解】设
，
则
两式相减，可得
，
所以
，即
，
所以
，所以
，
代入直线
，得
，
所以
，所以
，解得
.
故选：B
5．（25-26·河北沧州）已知抛物线
，过点
作直线.
(1)若直线与抛物线
只有一个公共点，求直线的方程；
(2)若直线过点
，且交抛物线
于
、
两点，求线段
的长.
【答案】(1)
或
或
(2)
【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线
的斜率存在时，设直线的方程为
，将该直线方程与抛物线方程联立，由
求出
的值，综
合可得出直线的方程；
（2）设
、
，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长
公式可求得
的值.
【详解】（1）若直线的斜率不存在，则的方程为
，与抛物线
只有一个公共点，符合题意；
若直线的斜率存在，设的方程为
，
联立
消去
得
，
因为直线与抛物线
只有一个公共点，
所以
，解得
或
，
此时直线的方程为
或
.
综上，直线的方程为
或
或
.
（2）因为直线过点
，又过点
，所以直线的方程为
，
设
、
，联立
消去
得
，则
，
因为点
为抛物线
的焦点，故
，
即线段
的长为.
