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专题11 指数与指数函数
考点一
指数幂的运算
考点二
指数函数图象的辨析及应用
考点三
比较指数式大小或解不等式
考点四
与指数函数相关的最值问题
考点五
与指数函数相关的单调性问题
考点六
指数函数的应用
一、指数与指数幂的运算
1．根式
（1）
次方根的概念与性质
次
方
根
概念
一般地，如果
，那么
叫做
的
次方根，其中
，
.
性质
①当
是奇数时，正数的
次方根是一个正数，负数的
次方根是一个负数.这
时，
的
次方根用符号
表示.
②当
是偶数时，正数
的
次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数
的正的
次方根用符号
表示，负的
次方根用符号
表示.正的
次方
根与负的
次方根可以合并写成
.负数没有偶次方根.
③0 的任何次方根都为0，记作
.
（2）根式的概念与性质
根
式
概念
式子
叫做根式，这里
叫做根指数，
叫做被开方数.
性质
①
.
②当
为奇数时，
.
③当
为偶数时，
.
2．实数指数幂
1
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（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是
.
于是，在条件
下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定
且
.
③0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义.
（2）实数指数幂
对于任意实数
，均有下面的运算性质：
①
；②
；③
.
二、指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数
叫做指数函数，其中
是自变量，函数的定义域是
.
【注】指数函数
的结构特征：
（1）底数：大于零且不等于1 的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：
的系数是1 .
2．指数函数
的图象与性质
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数
与
的图象关于y 轴
对称
过定点
过定点
，即
时，
图象
单调性
在
上是减函数
在
上是增函数
函数值的变化情况
当
时，
；当
时，
当
时，
；当
时，
2
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底数对图象的影响
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中
①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小
.
即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
考点一
指数幂的运算
例1．（2022 秋·高三单元测试）化简
（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2022 秋·山东淄博·高三校考期末）下列式子的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2023 春·四川绵阳·高三校考开学考试）（多选）下列判断正确的有（ ）
A．
B．
（其中
）
C．
D．
（其中
，
）
例4．（2021 秋·高三课时练习）给出下列4 个等式：①
；②
；③若a∈R，则
；④设n∈N*，则
，其中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3
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例5．（2021 秋·高三课时练习）当a>0 时，
等于________．
考点二
指数函数图象的辨析及应用
例6．（2021 秋·江西九江·高一校考阶段练习）当
时，在同一坐标系下，函数
与
的图像
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7．（2022 秋·高三单元测试）函数
恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
例8．（2023 秋·吉林白城·高三校考期末）若函数
的图象不经过第一象限,则
的取值范围
为____________.
例9．（2021 秋·高三课时练习）指数函数
与
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
4
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C．
D．
例10．（2022 秋·高三单元测试）（多选）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：
月）的关系为y＝a．关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4 个月时，浮萍面积不超过80m2
D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3
考点三
比较指数式大小或解不等式
例11．（2023 春·上海嘉定·高一校考开学考试）不等式
的解集为______．
例12．（2023 秋·四川泸州·高三统考期末）写出使“不等式
对一切实数
都成立”的
的一个取
值______．
例13．（2022 秋·高三单元测试）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例14．（2023·全国·模拟预测）已知全集
，集合
，则
（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
例15．（2021 秋·福建泉州·高三校考期中）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四
与指数函数相关的最值问题
例16．（2021 秋·高三课时练习）函数
的定义域为_______，值域为_______．
例17．（2023 秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知
，
，
若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例18．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数
在区间
上的最大值与最小值的差为2，则
__________．
例19．（2021 秋·高三课时练习）函数
在区间［-1，1］上的最大值为___________.
例20．（2022 秋·高三单元测试）（多选）函数
的定义域为
，值域
，则下列结
论中一定正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五
与指数函数相关的单调性问题
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例21．（2022 秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）当
时，函数
的函数值总大于1，则函数
在区间________上是严格增函数
例22．（2022 秋·高三单元测试）如果指数函数
是
上的减函数，则函数
的单调
递增区间为____．
例23．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数
，则
（ ）
A．是奇函数，且在R 上是增函数
B．是偶函数，且在R 上是增函数
C．是奇函数，且在R 上是减函数
D．是偶函数，且在R 上是减函数
例24．（2022 秋·高三单元测试）函数
单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
例25．（2021 秋·高三课时练习）若函数
在R 上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．（1，3）
D．（2，3）
考点六
指数函数的应用
例26．（2022·高三单元测试）某食品的保鲜时间
（单位：小时）与储存温度
（单位：
）满足函数
关系
（
为自然对数的底数，
为常数）.若该食品在
的保鲜时间设计192 小时，在
的保鲜时间是48 小时，则该食品在
的保鲜时间是______小时.
例27．（2022 秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考阶段练习）当生物死亡后，它机体内原有的碳
14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．
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按照上述变化规律，生物体内碳14 原有初始质量为Q，该生物体内碳14 所剩质量y 与死亡年数x 的函数关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
例28．（2022 秋·四川广安·高三广安二中校考阶段练习）如图所示，将桶1 中的水缓慢注入空桶2 中，开
始时桶1 中有a 升水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线
，那么桶2 中的水就是
．
假设过5min 后，桶1 和桶2 的水量相等，则再过m min 后桶1 中的水只有
升，则m 的值为
_______________．
例29．（2022 秋·陕西渭南·高三统考期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022 年冬奥会的标志性
场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并
且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数
量
与时间（小时）的关系为
（
为最初污染物数量），且前4 小时消除了
的污
染物，则污染物消除至最初的
还需要过滤__________小时．
例30．（2023 春·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知某品牌手机电池充满电量为
毫安，
每经过小时，电量消耗
，若电池电量不超过
毫安时充电最佳，那么该手机至少可以待机小时．
（待机小时取整数，参考数据：
，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
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一、单选题
1．（2021 秋·高一课时练习）函数
且
的图象恒过某定点，则此定点为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·湖南·高三校联考阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·浙江·高三校联考期中）据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近
年内减少了
，如果按此速度，设2022 年的冬季冰雪覆盖面积为
，从2022 年起，经过
年后，北冰洋冬季冰雪覆
盖面积
与
的函数关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022 秋·高三课时练习）若函数
是指数函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 春·河南郑州·高三郑州市第二高级中学校考阶段练习）若函数
在
上有最大
值
，则实数a 的值为（ ）
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A．1
B．
C．1 或
D．1 或
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数
存在最大值，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·青海西宁·统考二模）已知实数
，函数
若
，则a 的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022 秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知不等式
对任意上恒成立，则
实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023 秋·四川凉山·高三统考期末）函数
有两个不同的零点，则
（
且
）的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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10．（2022 秋·高三单元测试）若方程
有两个实数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2023 秋·陕西西安·高三统考期末）若
,且（
，且
）在
上单调递
增，则a 的值可能是（ ）
A．
B．
C．3
D．
12．（2023 秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数
是指数函数
B．若
，则
C．函数
的值域是
D．函数
的图像必过定点
13．（2022 秋·高三单元测试）若函数
，则下列等式不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2023 秋·四川眉山·高三校考期末）下列说法中错误的为（ ）
A．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
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B．若
，则
C．函数的
值域为：
D．已知
在
上是增函数，则实数
的取值范围是
三、填空题
15．（2022 秋·高三单元测试）当
且
时，函数
过定点________．
16．（2023 春·北京顺义·高三牛栏山一中校考阶段练习）函数
的定义域为___．
17．（2022 秋·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）设
，当
时，
恒成立，则实数m 的取值范围是____________.
四、解答题
18．（2022 秋·高二单元测试）已知指数函数
（
，且
）的图象过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，求实数
的取值范围．
19．（2022 秋·福建泉州·高一校考期中）（1）化简求值：
；
（2）已知
，求
的值．
20．（2023·全国·高一专题练习）已知
在区间
上的值域为
.
(1)求实数
的值；
(2)若不等式
当
上恒成立，求实数k 的取值范围.
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