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第16 讲 等差数列
目 录
题型01 等差数列通项公式基本量计算及性质应用
题型02 等差数列前n 项和公式及基本量计算
题型03 等差数列中an 与Sn 的关系
题型04 等差数列前n 项和公式的重要性质
题型05 等差数列中的函数性质
题型06 等差数列的证明
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 等差数列通项公式基本量计算及性质应用
题型点拨
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列
的首项为
，公差为
，那么它的通项公式是
．
（2）通项公式的推广：
．
（3）在等差数列
中，当
时，
．
特别地，若
，则
．
（4）
，…仍是等差数列，公差为
．
（5）等差中项
若三个数
，
，
成等差数列，则
叫做
与
的等差中项，且有
．
（6）若
，
是等差数列，则
也是等差数列．
【典例1】（25-26·北京房山）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有
五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计
量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这
个问题中分得最少的一个得到（ ）
A．
钱
B．
钱
C．
钱
D．1 钱
【答案】B
【分析】由题意分析出五人所分钱成等差数列
，得钱最多者为
，列出等式
和
，根据等差数列的性质即可求出
和
，再求出
即可.
【详解】由题意可知五人所分钱成等差数列
，得钱最多者为
，则公差
，
所以有
，解得
，
又因为
，即
，
则
，所以
，
所以分得最少的一个得到
钱.
故选：B
【变式1】（25-26·河南焦作）已知数列
，
的通项公式分别为
，
，由
，
的公共项从小到大排列得到的数列为
，则
（ ）
A．1941
B．1961
C．1981
D．2001
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质即可得数列
是首项为1，公差为20 的等差数列，从而得所求.
【详解】由题可知
是首项为1，公差为4 的等差数列，
是首项为1，公差为5 的等差数列，
则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列
是首项为1，公差为20 的等差数列，故
.
故选：C.
题型2 等差数列前n 项和公式及基本量计算
题型点拨
设等差数列
的公差为
，其前
项和
．
【典例1】（25-26·甘肃平凉）“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用
于各种商业场合．“苏州码子”中0～9 的写法依次为〇、丨、刂、川、〤、δ、〦、〧、〨、攵．某铁路
的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着“川丨”代表距离始发车站的里程为31 公
里，已知每隔3 公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“刂〧”，在B 点处里程碑上刻着“〧
δ”，则从A 点到B 点的所有里程碑上所刻数之和为（ ）
A．720
B．792
C．867
D．945
【答案】C
【分析】根据规定确定A 点和B 点处的里程碑的数值，依题意知里程碑上的数字成等差数列，再求出从A
到B 的所有里程碑个数，进而利用等差数列前n 项和公式计算即可．
【详解】由题意知，A 点处里程碑刻着数字27，B 点处里程碑刻着数字75，
又里程碑上的数字成等差数列，公差为3，
则从A 到B 的所有里程碑个数为
，
所以从A 到B 的所有里程碑上的数字之和为
．
故选：C．
【变式1】（25-26·甘肃兰州）设
为等差数列，公差
，
为其前
项和，若
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意得到
，利用等差中项求得
，然后依次求得
，即可求得
.
【详解】∵
，∴
，
即
，∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：D.
题型3 等差数列中an 与Sn 的关系
题型点拨
【典例1】（25-26·上海奉贤）已知数列
的前
项和
满足
，则
的通项公式为
【答案】
【分析】利用数列的前
项和
与通项
的关系计算.
【详解】当
时，
；
当
时，
.
,
代入通项公式：
,
验证
时：若直接代入
，得
，与
矛盾，故需分段表示.
因此，通项公式为分段形式：
.
故答案为：
.
【变式1】（25-26·湖南）已知数列
的前
项和
，则
.
【答案】
【分析】由
，推导出数列
为等差数列，结合等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】因为数列
的前
项和
，
当
时，
，
当
，
时，
，
也满足
，故对任意的
，
，
因为
，故数列
为等差数列，
所以
.
故答案为：
.
题型4 等差数列前n 项和公式的重要性质
题型点拨
（1）
，…也成等差数列，公差为
．
（2）若
是等差数列，则
也成等差数列，其首项与
首项相同，公差是
公差的
．
为等差数列，公差为
．
（3）若
与
为等差数列，且前
项和为
与
，则
．
【典例1】（25-26·陕西咸阳）已知
，
分别为等差数列
，
的前n 项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用等差数列的前
项和公式即可求解.
【详解】因为
，
分别为等差数列
，
的前n 项和，
所以
，
，
所以
.
故选：A.
【变式1】（25-26·甘肃金昌）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.
【详解】在等差数列
中，
成等差数列，
则
，
设
，则
，
故
，解得
，
所以
.
故选：A.
题型5 等差数列中的函数性质
题型点拨
将等差数列前n 项和公式
，整理成关于n 的函数可得
.
当
时，
关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点
在其相应的二次函数的
图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线
上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
【典例1】（25-26·北京海淀）已知无穷等差数列
前
项和为
，若
，则“
有最大值”是“公
差
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列项的符号特点和前
项和最值的关系进行分析.
【详解】充分性：等差数列
的前
项和为
，
前
项和可看做关于
的函数，若
有最大值，则
，满足充分性；
必要性：等差数列
的前
项和为
，若
、公差
，则等差数列每一项都是负数，显然
取到最
大值，必要性成立.
故选：C.
【变式1】（25-26·黑龙江绥化）已知
为数列
的前n 项和，
，
是公差为1 的等差数列，
则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．当且仅当
时，
取得最小值
C．
D．数列
中第5 项的值最大
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式、
与
的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为
是公差为1 的等差数列，
所以
，
因此
，所以A 正确；
B：由上可知：
，
因为
，所以当
或6 时，
取得最小值，因此B 不正确；
C：由上可知：
，
于是当
时，
，
显然
，符合
，所以C 正确；
D：由上可知：
，
令
，
显然当
时，因为
，
所以
，而
，
显然数列
中第5 项的值最大，故D 正确，
故选：B
题型6 等差数列的证明
题型点拨
判断或证明一个数列是等差数列的方法
1、定义法：
（常数）
是等差数列；
2、中项法：
是等差数列；
3、通项公式法：
（
，
为常数）
是等差数列。
【典例1】（25-26·广东湛江）已知
为各项均为正数的数列，其前
项和为
，
.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）利用
的关系，得出数列
是等差数列，进而可求得通项公式；
【详解】（1）当
时，
，得
，
∵
，∴
，
当
时，
，
两式作差可得：
，
即
，
∴
，
又∵
，∴
，且
，
∴数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
∴
.
【变式1】对任意的正整数
，数列
满足
，且
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
【答案】(1)
，
.
(2)证明见解析
【分析】（1）由
得
，再得
；
（2）由
进行凑配即可证明.
【详解】（1）由题意得
，
，算得
，
.
（2）由
，
得
，
记
，则
得
，
，所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列.
故
是等差数列.
强化训练（共10 题）
1．（25-26·甘肃陇南）已知数列
都是等差数列，且
，
，
，则数列
的前10 项的和为（ ）
A．550
B．450
C．1100
D．900
【答案】A
【分析】由等差数列的下标和性质和前
项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的性质知：
，
所以数列
的前10 项的和为:
.
故选：A.
2．（25-26·江苏苏州）设等差数列
的前
项和分别为
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】先对目标式合理变形得到
，再结合题意求值即可.
【详解】由题意得
，
因为
，所以
，故A 正确.
故选：A.
3．（25-26·重庆）等差数列
的公差为d，前n 项和为
，若
，
，则当
取得最大
值时，
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】先求出数列
的通项公式，由
，
，知当
取得最大值时有
，然后求解即可.
【详解】
， 解得
，
，所以
，
所以当
取得最大值时，
，即
，解得
，
又
，所以
.
故选：C
4．（25-26·广东广州）已知
是等差数列
的前
项和，设
为数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由等差数列前
项和性质可知，
也为等差数列，根据等差数列定义求解即可.
【详解】
是等差数列，
也为等差数列，
，
，
设等差数列
的公差为
，则
，
，
.
故选：A.
5．（25-26·广东广州）已知两个等差数列
及
，将这两个等差数列的公共项按从
小到大的顺序组成一个新数列
，则
（ ）
A．45
B．50
C．54
D．60
【答案】B
【分析】首先求出两数列的公差及其最小公倍数，即为新数列的公差，再找出首项，最后根据等差数列的
通项公式计算可得；
【详解】等差数列2，6，10，
，190，…的公差为4，
2，8，14，
，200，…的公差为6，
4 与6 的最小公倍数为12，
两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，
，则公共项为
，
．
故选：B.
6．（25-26·湖北）已知数列
的前
项和
（
为常数），则“
为递增的等差
数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等差数列前n 项和公式函数性质、
与
的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】设等差数列
的公差为
，
由等差数列的前
项和
，
类比表达式
，有
.
当
为递增等差数列时，有
；
反之，当
时，例如
，可得
；
，则
，
此时数列从第二项开始才为递增的等差数列；
所以“
为递增的等差数列”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（多选）数列
的前n 项和为
，已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为等差数列
B．
不可能为常数列
C．若
为递增数列，则
D．若
为递增数列，则
【答案】AC
【分析】根据
的关系求出通项
，然后根据公差即可判断ABC；利用数列的函数性，分析对应二次
函数的开口方向和对称轴位置即可判断D.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
显然
时，上式也成立，所以
.
对A，因为
，
所以
是以
为公差的等差数列，A 正确；
对B，由上可知，当
时，
为常数列，B 错误；
对C，若
为递增数列，则公差
，即
，C 正确；
对D，若
为递增数列，由函数性质可知
，解得
，D 错误.
故选：AC
8．（25-26·浙江金华）已知数列
的前n 项和
，则通项公式
= ．
【答案】
【分析】根据
，可求出首项，继而利用
时，
，求出
的表达式，验证后
即可确定答案.
【详解】因为数列
的前n 项和
，
故当
时，
，
当
时，
，
由于
不适合该式，故
，
故答案为：
9．已知正项数列
的前
项和为
，且
；
(1)求
和
的值；
(2)求证数列
是等差数列，并求出数列
的通项公式；
【答案】(1)
；
(2)
；
【分析】（1）依次将
代入递推式即可求解；
（2）由
结合正项数列递推式计算分析即可求解；
【详解】（1）由题可得
，即
，
所以
即
，
又数列
为正项数列，所以
，
所以
，
所以由
得
；
（2）因为
，所以由（1）当
时，
，
当
时，
，
整理化简得
，又
，
所以
即
，
所以数列
是以
为公差，1 为首项的等差数列，
所以
.
10．记数列
的前n 项和为
，已知
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用
与
间的关系，得到
，即可求解；
【详解】（1）由
，
当
时，
，
两式相减得
，即
，①
则
，②
由①
②整理得，
，
所以
；
又
，则当
时，
，
当
时，
，则
，
所以
，满足
，
所以
，故数列
为等差数列，且首项为，公差为
.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·江苏连云港）已知
为等差数列，
，
，则
（ ）
A．6
B．5
C．12
D．8
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质求解.
【详解】
为等差数列，
，
，
，
，
，
，
.
故选：D.
2．（25-26·北京东城）做一个木梯需要7 根横梁，这7 根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为
的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为
的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么
正中间的一根横梁的长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质可得
，
，利用
可得结果.
【详解】记7 根横梁的长度从上到下成等差数列
，
由题意得，
，，
∴
，
，故
，
，
∵
，∴
，即正中间的一根横梁的长度是
.
故选：B.
3．（25-26·北京）若等差数列
满足
，
，则
（ ）
A．5
B．7
C．
D．
【答案】C
【分析】先由
求得
，再由
即可求解.
【详解】设等差数列
公差为d，则由
得
即
，
所以由
得
.
故选：C
4．（25-26·甘肃兰州）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．11
【答案】D
【分析】根据等差数列前
项和的性质可得
成等差数列，进而列方程求解即可.
【详解】由题知
成等差数列，
即
成等差数列，
即
，解得
.
故选：D.
5．（25-26·广西南宁）已知数列
的前
项和公式为
，则
的通项公式
.
【答案】
【分析】根据
求解即可.
【详解】当
时，
；
当
时，
，符合
.
所以
.
故答案为：
