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专题11 直线与圆
目录一览
2023 真题展现
考向一 直线与圆相切
考向二 直线与圆相交
真题考查解读
近年真题对比
考向一 直线与圆相切
考向二 直线与圆的位置关系
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 直线与圆相切
1．（2023•新高考Ⅰ•第6 题）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0 相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝
（ ）
A．1
B．√15
4
C．√10
4
D．√6
4
考向二 直线与圆相交
2．（2023•新高考Ⅱ•第15 题）已知直线x﹣my+1＝0 与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4 交于A，B 两点，写出满足
1
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“△ABC 面积为8
5”的m 的一个值 ．
【命题意图】
考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关
系、圆与圆的位置关系．
【考查要点】
常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。常考查由直线与圆相切或相交来解决问题
(解析法、几何法)，常与平面向量、几何概型、三角函数、函数与最值等联合考查．
【得分要点】
1．直线的倾斜角与斜率
图示
倾斜角
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率
k＝0
k>0
不存在
k<0
2．直线方程的五种形式
形式
方程
局限
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示斜率不存在的直线
两点式
＝
x1≠x2，y1≠y2
截距式
＋＝1
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
无
3．距离公式
（1）两点间的距离AB=√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2.
（2）点到线的距离d=
| A x0+ B y0+C |
√A
2+ B
2
.
（3）平行线的距离d=
|C1−C2|
√A
2+ B
2 .
4．直线的夹角
（1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π﹣θ1，当直线l1与l2相
交但不垂直时，θ1和π﹣θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ．
（2）直线l1 和l2 的夹角公式：tanθ=| k2−k1
1+k2k1
|（θ 不为90°），l1 与l2 的夹角的取值范围是
（0，π
2 ]．
2
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5．圆的方程
（1）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），其中圆心坐标为（−D
2 ，−E
2 ），半径r
= 1
2 √D
2+ E
2−4 F．
（2）圆的标准方程：(x﹣a)2+(y﹣b)2＝r2，其中圆心坐标为(a,b)，半径为r．
6．圆的切线方程
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，
继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交
点）时斜率的值，进而求出直线方程．
7．直线与圆的位置关系
8．直线Ax+By+C＝0 与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2位置关系的判断方法
（1）几何方法：利用圆心到直线的d 和半径r 的关系判断．
圆心到直线的距离d=| Aa+ Bb+C |
√A
2+ B
2
①相交：d＜r；②相切：d＝r；③相离：d＞r．
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用△判断．
由{
Ax + By +C =0
x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0；②相切：△＝0；③相离：△＜0．
9．圆与圆的位置关系
10．圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4 条公切线）：d＞r1+r2．
②外切（3 条公切线）：d＝r1+r2．
③相交（2 条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2．
④内切（1 条公切线）：d＝|r1﹣r2|．
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|．
3
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（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x 值可能对应两个y 值．
考向一 直线与圆相切
3．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆x2+y2＝1 和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16 都相切的一条直线的方程
．
考向二 直线与圆的位置关系
4．（多选）（2021•新高考Ⅰ）已知点P 在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16 上，点A（4，0），B（0，2），
则（ ）
A．点P 到直线AB 的距离小于10
B．点P 到直线AB 的距离大于2
C．当∠PBA 最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA 最大时，|PB|＝3
5．（多选）（2021•新高考Ⅱ）已知直线l：ax+by﹣r2＝0 与圆C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法
正确的是（ ）
A．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离
C．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
D．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
6．（2022•新高考Ⅱ）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB 关于y＝a 对称的直线与圆（x+3）2+
（y+2）2＝1 有公共点，则a 的取值范围是
．
近几年的考查方式及 难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方程的求解、直
线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程
的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。
4
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一．轨迹方程（共2 小题）
1．（多选）（2023•保定三模）在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（﹣1，4），动点P 满
足|PA|2+|PB|2＝10．则（ ）
A．点P 的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝4
B．△PAB 面积的最大值为2
C．过点C 与点P 的轨迹相切的直线只有1 条
D．设|CP|的最小值为a，当m+n＝a（m＞0，n＞0）时，
的最小值为
2．（2023•河南模拟）圆M：x2+y2+2x﹣8＝0 与x 轴交于A，B 两点（A 在B 的左侧），点N 满足
，
直线l：y＝kx+m（k＞0）与圆M 和点N 的轨迹同时相切，则直线l 的斜率为
．
二．圆的切线方程（共14 小题）
3．（2023•丰台区一模）已知圆（x﹣2）2+（y+3）2＝r2与y 轴相切，则r＝（ ）
A．
B．
C．2
D．3
4．（2023•潮州模拟）过圆x2+y2＝4 上一点P 作圆O：x2+y2＝m2（m＞0）的两条切线，切点分别为A，
B，若
，则实数m＝（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．（2023•延庆区一模）若直线x﹣y+1＝0 与圆x2+y2﹣2x+1﹣a＝0 相切，则a 等于（ ）
A．2
B．1
C．
D．4
6．（2023•琼海校级模拟）过点（3，2）作圆（x﹣1）2+y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程是
（用一般式表示）．
7．（2023•石家庄模拟）过圆O：x2+y2＝2 上一点P 作圆C：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝2 的切线，切点为Q，
则|PQ|的最小值为 ．
8．（2023•东城区二模）已知点
在圆C：x2+y2＝m 上，过M 作圆C 的切线l，则l 的倾斜角
为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
9．（2023•自贡模拟）过直线l：x+y﹣5＝0 上的点作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝6 的切线，则切线段长的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023•河南模拟）过圆x2+y2＝4 上的动点作圆x2+y2＝1 的两条切线，则连接两切点线段的长为（
）
A．2
B．1
C．
D．
11．（2023•贵阳模拟）过A（0，1），B（0，3）两点，且与直线y＝x﹣1 相切的圆的方程可以是
5
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（ ）
A．（x+1）2+（y﹣2）2＝2
B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5
C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2
D．（x+2）2+（y﹣2）2＝5
12．（2023•叙州区校级模拟）已知圆C 的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0 与圆C 相切于点A
（2，7），则圆C 的标准方程为 ．
13．（2023•泸县校级模拟）已知直线
和圆C：x2+（y﹣1）2＝1 相切，则实数k＝ ．
14．（2023•延边州二模）经过P（2，3）向圆x2+y2＝4 作切线，切线方程为（ ）
A．5x﹣12y+26＝0
B．13x﹣12y+10＝0
C．5x﹣12y+26＝0 或x＝2
D．13x﹣12y+10＝0 或x＝2
15．（2023•琼中县模拟）已知P 是直线3x+4y+13＝0 上的动点，PA，PB 是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 的
切线，A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3
16．（2023•济宁二模）在平面直角坐标系中，过点P（3，0）作圆
＝4 的两条
切线，切点分别为A，B．则直线AB 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
三．直线与圆相交的性质（共4 小题）
17．（2023•红桥区二模）已知直线x﹣
y+8＝0 和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B 两点．若|AB|＝6，
则r 的值为 ．
18．（2023•顺义区二模）若圆（x﹣1）2+y2＝4 与y 轴交于A，B 两点，则|AB|＝（ ）
A．2
B．4
C．
D．2
19．（2023•曲靖模拟）已知圆C 的圆心是抛物线x2＝4y 的焦点，直线4x﹣3y﹣2＝0 与圆C 相交于A、B
两点，且|AB|＝6，则圆C 的标准方程为
20．（2023•南关区校级模拟）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0，当直线
l 被C 截得弦长为
时，则a＝ ．
四．直线与圆的位置关系（共23 小题）
21．（2023•福建模拟）设圆C：x2﹣2x+y2﹣3＝0，若直线l 在y 轴上的截距为1，则l 与C 的交点个数为（
）个
A．0
B．1
C．2
D．以上都有可能
22．（2023•三模拟）已知x2+y2＝2x，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2023•北京模拟）若直线y＝x+m 与圆（x+1）2+（y+2）2＝1 交于A，B 两点，且|AB|＝2，则m＝（
）
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A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
24．（2023•海淀区校级模拟）直线l：ax+by＝0 和圆C：x2+y2﹣2ax﹣2by＝0 在同一坐标系的图形只能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2023•忻州模拟）已知直线l1：（a﹣1）x﹣（2a+3）y+a+4＝0 与圆C：x2+y2+2x﹣m﹣2＝0，则“m
＞2”是“直线l 与圆C 一定相交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
26．（2023•连云港模拟）设直线（a+1）x﹣ay﹣1＝0（a∈R）与圆x2+y2＝4 交于A，B 两点，则|AB|的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．[2，4]
D．
27．（2023•海淀区一模）已知直线y＝x+m 与圆O：x2+y2＝4 交于A，B 两点，且△AOB 为等边三角形，
则m 的值为（ ）
A．
B．
C．±2
D．
28．（2023•天津模拟）P 点是圆C：（x﹣3）2+y2＝9 上一点，则P 到直线l：mx﹣y+m+2＝0 距离的最大
值是
．
29．（2023•酒泉模拟）点M 在圆C：x2+（y﹣1）2＝4 上，点
，则|MN|的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
30．（2023•济宁一模）若过点P（0，﹣1）的直线l 与圆
有公共点，则直线l 的倾斜角
的最大值（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2023•密云区三模）已知M 是圆C：x2+y2＝1 上一个动点，且直线l1：mx﹣ny﹣3m+n＝0 与直线l2：
nx+my﹣3m﹣n＝0（m，n∈R，m2+n2≠0）相交于点P，则|PM|的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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32．（2023•北京模拟）已知A，B 为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝4（m，n∈R）上两个不同的点（C 为圆
心），且满足
，则|AB|＝（ ）
A．
B．
C．2
D．4
33（多选）．（2023•沈阳模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点M 是直线l：y＝﹣x﹣1 上的动点，
过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．切线长|MA|的最小值为
B．四边形ACBM 面积的最小值为
C．若PQ 是圆C 的一条直径，则
的最小值为7
D．直线AB 恒过
34．（2023•顺义区一模）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣8＝0，点A、B 在圆M 上，且P（0，2）为AB 的中点，
则直线AB 的方程为 ．
35．（2023•全国四模）圆O：x2+y2＝4 与直线l：x+（λ﹣1）y﹣λ＝0 交于M、N，当|MN|最小时，λ 的值
为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
36．（2023•二七区校级模拟）已知直线l：mx+y﹣m﹣1＝0 与圆M：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4 交于A，B
两个不同点，则当弦AB 最短时，圆M 与圆N：x2+（y﹣m）2＝1 的位置关系是（ ）
A．内切
B．相离
C．外切
D．相交
37．（2023•甘肃模拟）已知A，B 是圆O：x2+y2＝4 上的两个动点，若点P（1，2）在以AB 为直径的圆上，
则|AB|的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（多选）（2023•湖北模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P（x1，y1）（y1＞0）是圆M：（x﹣
2）2+y2＝1 上的一个动点，直线OP 与圆M 交于另一点Q，过点O 作直线OP 的一条垂线，与圆N：
（x+2）2+y2＝4 交于点E（x2，y2），则下列说法正确的是（ ）
A．x2＞﹣1
B．4y1＝OP•OE
C．若PQ＝OE，则S△NOE＝3S△MPQ
D．∠PEQ 的最大正切值为
39．（2023•扬州三模）已知向量
，满足
的动点M（x，
y）的轨迹为E，经过点N（2，0）的直线l 与E 有且只有一个公共点A，点P 在圆
上，则AP 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
40．（2023•辽宁模拟）已知点P 为直线l：x﹣y+1＝0 上的动点，若在圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 上存
8
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在两点M，N，使得∠MPN＝60°，则点P 的横坐标的取值范围为（ ）
A．[﹣2，1]
B．[﹣1，3]
C．[0，2]
D．[1，3]
41．（2023•保定一模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知圆O 的半径为3，直线l1，l2互相垂直，
垂足为M（1，
），且l1与圆O 相交于A，C 两点，l2与圆O 相交于B，D 两点，则四边形ABCD 的
面积的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．13
D．15
42．（2023•湖北二模）过三点A（1，0），B（2，1），C（2，﹣3）的圆与直线x﹣2y﹣1＝0 交于M，N
两点，则|MN|＝（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（2023•洛阳模拟）已知直线l1：ax﹣y﹣2a+1＝0，l2：x+ay﹣2﹣a＝0，圆E：x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，
则以下命题正确的是 ．
①直线l1，l2均与圆E 不一定相交；②直线l1被圆E 截得的弦长的最小值2
；③直线l2被圆E 截得
的弦长的最大值为6；④若直线l1与圆E 交于A，C 两点，l1与圆E 交于B，D 两点，则四边形ABCD 的
面积最大值为14．
五．圆与圆的位置关系及其判定（共6 小题）
44．（2023•唐山二模）已知圆C1：x2+y2﹣2x＝0，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，则C1与C2的位置关
系是（ ）
A．外切
B．内切
C．相交
D．外离
45．（2023•沙坪坝区校级模拟）圆C1：x2+y2+4x﹣2y﹣10＝0 与圆C2：x2+y2＝r2（r＞0）的公共弦恰为圆
C1的直径，则圆C2的面积是（ ）
A．2π
B．4π
C．10π
D．20π
46．（2023•沈阳模拟）已知圆
和圆
，其中a＞0，则使得两圆相
交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．3＜a＜5
B．3＜a＜6
C．4＜a＜5
D．2＜a＜5
47．（2023•湖南模拟）若a，b∈R 且ab≠0，圆C1：（x+a）2+y2＝4 和圆C2：x2+（y﹣b）2＝9 有且只有
一条公切线，则
的最小值为 ．
48．（2023•辽宁二模）已知圆O：x2+y2＝1 与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2外切，直线l：x﹣y﹣5＝0 与圆C 相
交于A，B 两点，则|AB|＝（ ）
A．4
B．2
C．
D．
49．（2023•河南模拟）若圆
与圆
的公共弦AB 的长为1，则
直线AB 的方程为（ ）
A．2ax+by﹣1＝0
B．2ax+by﹣3＝0
C．2ax+2by﹣1＝0
D．2ax+2by﹣3＝0
9
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六．两圆的公切线条数及方程的确定（共3 小题）
50．（2023•重庆模拟）圆O1：x2+y2﹣1＝0 与圆O2：x2+y2﹣4x＝0 的公切线方程为 ．
51．（2023•滨州二模）写出与两圆（x﹣1）2+y2＝1，x2+y2﹣10x+6y+18＝0 均相切的一条直线方程为 ．
52．（2023•渝中区校级模拟）已知圆O1：x2+y2＝1，圆O2：（x﹣4）2+y2＝4，请写出一条与两圆都相切
的直线的方程： ．
七．相交弦所在直线的方程（共3 小题）
53．（2023•和平区校级二模）圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 与圆x2+y2＝4 的公共弦所在的直线方程为 ．
54．（2023•和平区校级一模）圆x2+y2﹣4＝0 与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 的公共弦的长为 ．
55．（2023•红桥区一模）已知两圆x2+y2＝10 和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20 相交于A，B 两点，则直线AB
的方程是 ．
八．直线和圆的方程的应用（共3 小题）
56．（2023•贵阳模拟）由直线x+2y﹣7＝0 上一点P 引圆x2+y2﹣2x+4y+2＝0 的一条切线，切点为A，则|
PA|的最小值为 ．
57．（2023•河西区一模）与直线x﹣y﹣4＝0 和圆x2+y2+2x﹣2y＝0 都相切的半径最小的圆的方程是 ．
58．（2023•南关区校级模拟）平面直角坐标系xOy 中，已知MN 是⊙C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 的一条
弦，且CM⊥CN，P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时，直线l：x﹣3y﹣5＝0 上存在两点A，
B，使得∠APB≥
恒成立，则线段AB 长度的最小值是 ．
九．圆方程的综合应用（共2 小题）
59．（2023•浑南区校级模拟）已知
，⊙C1 与⊙C2
相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为 ．
60．（2023•和平区校级一模）已知圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C2：（x﹣3）2+y2＝1，动圆M 与圆
C1，圆C2均相切，P 是△MC1C2的内心，且
，则a 的值为（ ）
A．9
B．11
C．17 或19
D．19
1.与圆的几何性质有关的最值问题
类型
方法
圆外一定点到圆上一动点距离的最值
最大值：d+r ；最小值：d−r （d 为该定点到圆心的距
离）
圆上一动点到圆外一定直线距离的最值
最大值：d+r ；最小值：d−r （d 为圆心到直线的距
离）
过园内一定点的弦的最值
最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦
10
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2.与圆的代数结构有关的最值问题
类型
代数表达
方法
截距式
求形如mx +ny 的最值
转化为动直线斜率的最值问题
斜率式
求形如
y−m
x−n 的最值
转化为动直线截距的最值问题
距离式
求形如(x−a)2+( y−b)2=r2
的最值
转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值
. 同时，需
要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在.
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