文档文本内容
第12 讲 双曲线重点题型全归纳
目 录
题型01 双曲线的轨迹方程
题型02 双曲线中的焦点三角形
题型03 双曲线中的距离最值问题
题型04 双曲线的渐近线
题型05 求双曲线的离心率
题型06 求双曲线离心率的范围
题型07 双曲线的标准方程
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 双曲线的轨迹方程
题型点拨
1、定义：在平面内与两个定点F _ 1、F _ 2的距离之差的绝对值等于正数2a的点的轨迹叫做双曲线，
其中0<2a<| F _ 1 F _ 2|．两个定点F _ 1、F _ 2称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为
| F _ 1 F _ 2|=2c．
2、注意
（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件：
| PF _ 1|-| PF _ 2|=2a<| F _ 1 F _ 2|, a>0，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F _ 2的一
支；
若| PF _ 2|-| PF _ 1|=2a<| F _ 1 F _ 2|, a>0，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F _ 1的
一支；
（2）若常数a满足约束条件：¿| | PF _ 1|-| PF _ 2| ¿|=2a=| F _ 1 F _ 2|，
则动点轨迹是以F _ 1、F _ 2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数a满足约束条件：¿| | PF _ 1|-| PF _ 2| ¿|=2a>| F _ 1 F _ 2|，则动点轨迹不存
在；
（4）若常数a=0，则动点轨迹为线段F _ 1 F _ 2的垂直平分线．
【典例1】（25-26·四川绵阳）已知
，
，直线
相交于点
，且直线
与直线
的斜率之积为1，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
,根据题意建立方程，化简即得点
的轨迹方程，同时要注意条件
的满足即得.
【详解】设点
，则
，
化简即得：
.
即点
的轨迹方程为：
.
故选：B.
【变式1】（25-26·上海·课堂例题）已知动圆P 与圆M：
，圆N：
均外切，
记圆心P 的运动轨迹为曲线C，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设圆P 的半径为r，外切关系可得
，
，进而得
，从而利用双曲
线的定义即可求解.
【详解】由圆M：
，得圆心
，半径
，
由圆N：
，得圆心
，半径
．
设圆P 的半径为r，则有
，
．
两式相减得
，
所以圆心P 的运动轨迹为以
、
为焦点的双曲线的左支，
又
，所以C 的方程为
．
故选：B．
题型2 双曲线中的焦点三角形
题型点拨
双曲线的焦点三角形
求双曲线中的焦点三角形
面积的方法
（1）** 错误的表达式 **根据双曲线的定义求出
；
** 错误的表达式 **利用余弦定理表示出
、
、
之间满足的关系式；
** 错误的表达式 **通过配方，利用整体的思想求出
的值；
** 错误的表达式 **利用公式
求得面积．
（2）利用公式
求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角
，则面积
，结论适用于选择或填空题．
【典例1】已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，以
为直径的圆与双曲线在第一三象限
､
的交点分别为
，则
的周长为（ ）
A．
B．8
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据圆的性质可知
，利用勾股定理结合双曲线的定义可得
，得
即可求解.
【详解】设
，由
在以
为直径的圆上可得
，
所以
，四边形
为矩形，则
，
由双曲线
，得
，
所以
，又由双曲线的定义有
，
所以
，得
，
所以
，
即
，而
，
所以
，所以
的周长为
.
故选：C.
【变式1】已知双曲线
的两个焦点分别为
，点
在双曲线上，且
，则
的周长为 ，面积为 .
【答案】 12 6
【分析】根据双曲线的定义可得
，结合
求得
，即可求得
的
周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积.
【详解】
根据题意，
，
因为
，
由
，
可得
，则
的周长为
；
在
中，根据余弦定理，
，
则
，
故
故答案为：12；6.
题型3 双曲线中的距离最值问题
题型点拨
与
，
（
为双曲线上一点，
，
为双曲线的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用
平面几何知识，转化为三点共线问题求解．
【典例1】已知双曲线
的左焦点为
，点
在
的右支上，且
，则
的最小
值为（ ）
A．4
B．6
C．10
D．14
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，将
与
进行转化，再结合三角形三边关系求出
的最小值．
【详解】对于双曲线
，根据双曲线的标准方程
（
），可得
，
．
则
．
设双曲线的右焦点为
，由双曲线的定义可知，点
在双曲线的右支上，则
，即
；
同理，点
在双曲线的右支上，则
，即
．
所以
．
根据三角形三边关系，
，当且仅当
，
，
三点共线时，等号成立．
又
，则
，即
．
所以
的最小值为10．
故选：C．
【变式1】（25-26·重庆）点
是双曲线
的左焦点，动点A 在双曲线右支上，直线
与直线
的交点为 B ，则
的最小值为 .
【答案】9
【分析】由题意求出直线
的交点B 为圆心在
，半径为1 的圆，由双曲线的定义可得
，所以
，当A，
，B 三点共线时，
最小，过
与圆
心M 的直线与圆的交点B 且在
和圆心M 之间时最小.
【详解】由双曲线的方程可得
，焦点
，右焦点
，
可得
，所以
，
当A，
，B 三点共线时，
最小，
联立直线
的方程
，可得
，
消参数t 可得
，可得交点B 的轨迹为圆心在
，半径为1 的圆（除去点
），
所以
，
当过
与圆心M 的直线与圆的交点B 且在
和圆心M 之间时最小.
所以
的最小值为9.
故答案为：9
题型4 双曲线的渐近线
题型点拨
双曲线渐近线求法
（1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右
边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．
（2）依据条件求出
，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程．
（3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于
的等
式，进而求出渐近线的斜率，从而得解．
【典例1】（25-26·河北邯郸）已知双曲线
（
）的两条渐近线的夹角的正切值为
，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据双曲线渐近线方程求出两条渐近线的斜率，再利用夹角正切公式得出
的值，最后根据双曲
线离心率公式求解离心率.
【详解】已知双曲线
（
），其渐近线方程为
，
因为
，所以
，所以
，
计算可得
或
（舍去），
双曲线的离心率
所以
.
故选：C.
【变式1】设
，
分别为双曲线
的左、右焦点，过
且斜率为
的直线与
的右支交于点
，与
的左支交于点
，点
满足
，
，则双曲线
的渐近线方程
为 ．
【答案】
【分析】设
，利用双曲线定义分别表示出
，利用直线的斜率得到
，在
解出
，在
用余弦定理得到
与的关系，即解出双曲线的渐近线方程．
【详解】由
，得
为
的中点；又
，所以
，所以
；
设
，如下图：
由双曲线的定义得
，
，
所以
，从而
，
所以
；
由直线的斜率为
，得
又
，
在
中，
，即
；
在
中，由余弦定理得
，
即
，整理得
，
解得
，所以
，可得
，
因此
，可知渐近线方程为
.
故答案为：
题型5 求双曲线的离心率
题型点拨
求双曲线离心率的常用方法
（1）利用
求：若可求得
，则直接利用
得解；
（2）利用
求：若已知
，则直接利用
得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于
的齐次式方程，即
（
为常数，且
），则转化为关于
的方程
求解．
【典例1】（25-26·江苏宿迁）已知双曲线
的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁ 的直
线与双曲线的左支相交于A，B 两点，且
则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，由双曲线的定义求得
，
，结合
，利用
列出方程求得
，再由
，求得
的关系式，结合离心率的定
义，即可求解.
【详解】因为
，设
，则
，
又由双曲线的定义，得
，
，
所以
，
，
又因为
，可得
，即
，
解得
，
由
，即
，可得
，
双曲线C 的离心率为
.
故选：C.
【变式1】已知双曲线
（
，
）的左，右焦点分别为
，
，过
的直线与其右支
交于
，
两点，若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】先根据双曲线定义依次求出
、
、
和
，接着由
在
和
中运用余弦定理列方程即可求解.
【详解】因为
，
两点在双曲线右支上，根据双曲线定义，可得
，
，
又
，解得
，
，
又
，可得
，
，
在
中，根据余弦定理得
，
在
中，根据余弦定理得
，
因为
，所以
，
化简整理得
，解得
.
故选：B.
题型6 求双曲线离心率的范围
题型点拨
1、不等式法求离心率范围
（1）利用双曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解；
（2）利用双曲线的性质，如:双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距
离的范围等，建立不等(等式组)求解；
（3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解；
（4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本
不等式建立不等关系进行求解；
2、函数法求离心率的范围
（1）根据题干条件，如双曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系
式；
（2）结合双曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；
（3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围．
3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关
知识，进行求解即可．
【典例1】（25-26·浙江）设椭圆
：
与双曲线
：
的离心率分别为
，
，且双曲线
的渐近线的斜率小于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于
，即可得出
，由此即可求出
的取值范围，从而求
解
【详解】由题意得，
，
，
所以
，
又因为双曲线的渐近线的斜率小于
，得
，
所以
，即
，得
，故C 正确.
故选：C.
【变式1】已知
是双曲线
的左、右焦点，以
为圆心，
为半径的圆与双曲线的
一条渐近线交于
两点，若
，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得
，利用
，即
，
化简即可求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】如图，设以
为圆心，
为半径的圆与双曲线的一条渐近线
交于
两点，
则
到渐近线
的距离
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，因为
，所以
．
故答案为：
题型7 双曲线的标准方程
题型点拨
1、待定系数法求双曲线标准方程
2、由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程
，当
时表示双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线.
（2）对于方程
，当
时表示双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线；
当
时表示焦点在
轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形
式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
【典例1】已知双曲线经过点
，则其标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】设双曲线方程为
，然后代点计算即可求得
，从而求解.
【详解】设双曲线方程为
，
则
，解得
，
所以双曲线的标准方程为
.
故选：A.
【变式1】（25-26·天津）已知双曲线
的右焦点为
，点
在双曲线的渐近线上，
是边长为
的等边三角形(
为原点)，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
是边长为
的等边三角形，求出和
，再根据
求解
、
，即可求得
双曲线方程.
【详解】
因为
是边长为
的等边三角形，所以
，
，所以渐近线
的斜率
，
因为
，解得
，
所以双曲线的方程为：
.
故选：D
强化训练（共10 题）
1．（25-26·河南南阳）已知
为曲线
上任意一点，
，
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可.
【详解】由
，得
，所以
为双曲线
的右支，
为该双曲线的左焦点．设右焦点为
，则
，
所以
．所以
，
当且仅当点
在线段
上时，等号成立，所以
的最小值为
．
故选：D.
2．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，过点
和
的直线与双曲线
在第一象限交于点P，若
的面积是
的3 倍，则C 的渐近线斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由直线
的方程和
得P 点坐标，再由P 点在C 上求出
即可由渐近线的定义
得解.
【详解】设
，因为
，
，所以直线
的方程为
，
又
，所以
，得
，
又点P 在直线
上，所以
，则
，所以
,
所以
，解得
，故所求渐近线斜率为
.
故选：C
3．（25-26·云南西双版纳）设
为双曲线
的左右焦点，
为坐标原点，
为
的一条渐近线上一点，且
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量等式可得
，由焦点到渐近距离，结合离心率的意义求得答案.
【详解】设双曲线
的半焦距为c，由对称性不妨取渐近线为
，
由
，得
，
则
，即
，
，
，
由
，得
，所以
的离心率为
.
故选：B
4．（25-26·河南周口）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
且倾斜角为
的直线与双曲线
交于第一象限的点
，延长
至
使得
，若
的面积为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得
，得到直线
的方程为
，设
，根据
的面积为
，列出方程，求得
，得到
，由
，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】由双曲线
，可得
，所以
，
过点
且倾斜角为
的直线
的方程为
，
设
，因为
的面积为
，所以
，
因为点
在第一象限，所以
，可得
，
又由
，可得
，所以
，
又因为
，所以
，
可得
.
故选：A.
5．（25-26·黑龙江鸡西）已知双曲线C：
分别为双曲线的左、右焦点，
是
双曲线右支上一点.连接
交双曲线C 左支于点
，若
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，则
双曲线C 的离心率是（ ）
A．
B．2
C．
D．5
【答案】A
【分析】设
，由双曲线定义表达各边，且
，在
中，由余弦定理得到方
程，求出
，得到答案.
【详解】由题意得
，设
，
因为
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，故
，
由双曲线定义知，
，故
，
，
其中
，
解得
，则
，
，
因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
解得
，
故双曲线C 的离心率为
.
故选：A
6．（25-26·上海青浦）双曲线
的左右两个焦点为
，
，第二象限内的一点P 在双曲线上，且
，则三角形
的面积是 ．
【答案】
/
【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得
的值，代入三角形的面积公
式计算即得.
【详解】
由
可得：
，如图，设
则
①，
在
中，由余弦定理，
，即：
②
由①②联立，解得：
.
则三角形
的面积为
.
故答案为：
.
7．（25-26·江西宜春）过原点的直线与双曲线
的左、右两支分别交于M，N 两
点，若以线段MN 为直径的圆过C 的右焦点F，且
，则C 的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由题可得四边形
为矩形，则
，由
，结合
，求
出
，再利用勾股定理即可求解.
【详解】如图，设
为C 的左焦点，连接
，则四边形
为平行四边形，
因为以线段MN 为直径的圆过F，所以
，从而四边形
为矩形，
所以
．
由双曲线的定义，得
，即
，
又因为
，所以
．
由
，得
，解得
，
所以
，故C 的渐近线方程为
．
8．（25-26·上海·课堂例题）已知P 为圆C：
上任意一点，
．若线段
的垂直平
分线交直线
于点Q，则点Q 的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】由题意可得点
满足双曲线的定义，且求得
，的值，再由
求得
，则点
的轨迹的
方程可求．
【详解】解：由点
是线段
垂直平分线上的点，
，
又
，
满足双曲线定义且
，
，
，
轨迹方程：
．
故答案为：
．
9．已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，过点
且与双曲线的一条渐近线平
行的直线交另一条渐近线于点
，若
为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用
得
的关系式，然后求得离心率范围.
【详解】设直线
的方程为
，则其与另一条渐近线
的交点为
，
由
为锐角，可得
，即
，
化简得
，
，
，所以
．故离心率的取值范围为
．
故答案为：
10．（25-26·湖北）已知双曲线的方程为
，点
，
是其左右焦点，
是圆
上
的一点，点
在双曲线的右支上，则
的最小值是 ．
【答案】
/
【分析】设点
的坐标为
，利用双曲线的定义，可得
，于是
，转化求解即可．
【详解】由题意可得，
，即
，则
，
的坐标分别为
，
，
由双曲线的定义，得
，
又
是圆
上的点，设圆的圆心为
，半径为
，
由图可知，
，
所以
，
当且仅当
、
、
、
四点共线（
、
在
之间）时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
知识小测（共5 题）
1．（25-26·广西钦州）若离心率为
的双曲线与椭圆
的焦点相同，则双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据椭圆方程确定
且焦点在x 轴上，再由双曲线离心率及参数关系确定方程.
【详解】由椭圆方程知：
且焦点在x 轴上，又双曲线的离心率为
，则
，
所以
，则双曲线的方程是
.
故选：D
2．相距1600m 的两个哨所
，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是
，在
哨所
听到的爆炸声的时间比在
哨所听到时迟
．若以
所在直线为
轴，以线段
的中垂线为
轴，则爆
炸点所在曲线的方程可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】以
所在直线为
轴，
的中垂线为
轴，建立平面直角坐标系，则
，
设
为曲线上任一点，
则
，
所以点
的轨迹为双曲线的右支，且
，
，
，
点
的轨迹方程为
．
故选：B
3．（25-26·北京怀柔）“
”是“方程
表示焦点在
轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求“方程
表示焦点在
轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结论.
【详解】“方程
表示焦点在
轴上的双曲线”等价于
，
即
，
所以“
”是“方程
表示焦点在
轴上的双曲线”的充要条件.
故选：C.
4．（25-26·陕西西安）设点A，B 的坐标分别为
，
，直线
，
相交于点M，且它们的斜
率之积是
，则动点M 的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点
，根据斜率之积是
列出关系式即可.
【详解】设点
，则直线
，
的斜率分别为
，
因它们的斜率之积是
，则
，化简得
，
则动点M 的轨迹方程为
.
故答案为：
5．（25-26·重庆）已知双曲线
两条渐近线的夹角为60°，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【分析】利用两直线夹角定义可得渐近线倾斜角的取值，从而可求参数.
【详解】双曲线渐近线方程为
，
由两条渐近线的夹角为60°，则渐近线的倾斜角为
或
所以斜率
或
，解得
或
，
故选：D.
