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专题11 解答题18 题、19 题压轴题
（6 阶题组）专项训练（二）
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，
为
的导函数.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）记
较小的一个零点为
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数分
和
求解；
（2）（i）由（1）知
，且最小值为
小于0 即可得
的取值范围；
（ii）结合（i）知
，要证
，即
，分
和
进行
证明.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
①当
时，
，函数
在
单调递减；
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，函数
单调递减；
1
当
时，
，函数
单调递增.
综上所述，当
时，函数
在
单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减，在
单调递增.
（2）（i）若
，由（1）知，
至多有一个零点；
若
，由（1）知，当
时，
取得最小值，最小值为
.
因为当
时，
；
当
时，
，
所以函数
有两个零点当且仅当
.
设
，函数
在
单调递增.
因为
，
的解集为
.
综上所述，
的取值范围是
.
（ii）因为
，由
，结合（i）知
，
要证
，即证
，即
，
当
时，因为
，
，不等式恒成立；
当
时，由
得
.
即证
.
2
即证
.
即证
.
设
，
，由
，
所以
在
单调递增.所以
，故原不等式成立.
所以
.
19．已知
为抛物线
的焦点，点
满足
，其中
为坐标原点，过
的直线交
于A.B 两点，点
在第一象限，过点
作直线AB 的垂线，交
轴正半轴于点
，直线BC 交
直线AM 于点
．记
的面积分别为
．
(1)求
的准线方程；
(2)证明：
；
(3)求
的最小值及此时点
的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)最小值
，
【分析】（1）根据
列出关于
的方程，即可求解；
（2）设直线
，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据抛物线焦
半径公式即可证明；
（3）令
，则
，即
，求出
，进而得出
，根据导数即可求解最小值及点
的坐标．
3
【详解】（1）点
满足
，则
，解得
．
故
，准线方程：
．
（2）如下图所示：
设直线
，否则直线
轴，不合题意)，
联立
消元得
，
设
，则
，
由抛物线定义有
，
则
，问题得证．
（3）易知直线
的斜率一定存在，如下图：
不妨令
，则
，代入抛物线方程可得
，即
，
由于
，且直线AB 的斜率
，
故直线
，即
，
4
令
，则得点
的横坐标为
，
由
可得直线
，
联立
，解得点
纵坐标
，
因此，
，
记
，
则
.
因为当
时，
，
所以
时，
时，
，
故
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
因此当
时，
取到最小值
，此时
．
5
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知双曲线
的右焦点为
，左顶点为
，双曲线
的右支上任意一点
都使
得
.
(1)求双曲线
的离心率；
(2)若点
在双曲线
上，且点
不在坐标轴上，求
的取值范围.
【答案】(1)2；
(2)
.
【分析】（1）设
，代入双曲线方程得
，再利用二倍角正切公式有
，结合
即可得到方程，解出即可.
（2）代入
得到双曲线具体方程，再设
，根据正弦定理得
，
再作差结合三角恒等变换和三角函数值域即可求出其范围.
【详解】（1）设
，由对称性不妨设
，由
，
有
，可得
，
又由
，
有
又由
，有
，
6
有
，
又由
，有
，
又由
，有
，可得
，
故双曲线
的离心率为2.
（2）由（1）可知双曲线
的方程为
，代入点
的坐标，
有
，可得
，
设
，由双曲线的渐近线
的倾斜角及双曲线的图像和性质，
可得
，
又由
，在
中，由正弦定理，有
，
有
，
有
，
由
，有
，有
，
可得
的取值范围为
．
7
19．已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
有且仅有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若
是两个不相等的正数，证明：
.
【答案】(1)
的减区间为
，增区间为
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）由（1）可知
，解不等式即可；
（3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而可证不等式.
【详解】（1）函数
的定义域为
，由
，
令
，可得
，令
，可得
，
故函数
的减区间为
，增区间为
；
（2）由（1）知，若函数
有且仅有两个零点，必须
，
又由
，有
，可得
，
令
，有
，
令
，可得
，令
，可得
，
可得函数
的减区间为
，增区间为
，
可得
，
8
当
时，
，有
，
当
时，
，
可得若函数
有且仅有两个零点，则实数
的取值范围为
；
（3）不妨设
，令
，
有
，
，
又由
，可得函数
单调递增，
又由
，
令
，
则
，当
时，
，当
时，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，即
，当且仅当
时等号成立，
故
<0
9
同理可得
，
又由函数
单调递增，且
，可得存在
，使得
，
可得函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又由
，可得当
时，
，
又由
，可得
，
有
，
可化为
，
故当
时，
成立．
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知双曲线
的两条渐近线的斜率之积为
.
(1)求
的离心率.
(2)若过点
且斜率为1 的直线与
交于
两点（
在左支上，
在右支上），且
.
①求
的方程；
10
②已知不经过点
的直线与
交于
两点，直线的斜率存在且直线
与
的斜率之积为1，
证明：直线过定点.
【答案】(1)2
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和离心率公式，即可求解；
（2）①直线方程与双曲线方程联立，根据向量共线的条件，结合韦达定理，即可求解；
②首先设直线方程
，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示
，即可证明定点问题.
【详解】（1）由题意可知
，
则
.
（2）①解：直线
的方程为
，
联立
得
，
.
设
，则
，
由
，得
，
代入
，得
，
则
的方程为
.
②证明：设
的方程为
.
联立
得
，
，且
，
11
.
因为
，
所以
，
即
，
则
，
整理得
，
即
.
因为点
不在直线上，所以
，则
，
则
，
故直线过定点
.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示坐标运算.
19．已知正数
的整数部分记为
，例如
.
(1)若
，求数列
的前
项和
.
(2)设
.
①求
；
12
②求数列
的通项公式；
③求数列
的前100 项和.
【答案】(1)
(2)①
；②
；③
【分析】（1）将
化简，得
，该表达式第一项恒为整数，则只需考虑
的取值情况可得解；
（2）①将
代入直接求解即可；②令
，则
，而
，
则可平方脱根，判断整数部分可得解；③已知
，则可表达数列
的前100 项,，应用并项求和即
可.
【详解】（1）
，
当
时，
.
（2）①
，
因为
，且
，所以
.
②令
，则
，
则
，
所以
.
因为
，所以
，
13
又
为正整数，所以
.
③方法一：
因为
，
所以数列
的前100 项和为
.
方法二：
数列
的前100 项和为
.
【点睛】本题考查新定义与数列的交汇，考查数学抽象，逻辑推理与数学运算的核心素养.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．已知数列
满足
，
.记
的前
项和为
，且
是以
为首项，
为公比
的等比数列.
(1)求
，
的值；
(2)求
的通项公式；
14
(3)求
的通项公式，并证明：
.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
，证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件可得
，取
依次计算得解.
（2）由（1）的信息，按
的奇偶分类，结合累加法及等比数列前
项和公式求解.
（3）利用
与
的关系求出通项公式，再作差比较得证.
【详解】（1）由
是以
为首项，
为公比的等比数列，得
，
则
，而
，
所以
.
（2）数列
中，
，
，
当
时，
，
，则
，
当
为奇数，
时，
，
满足上式，因此当
为奇数时，
；
当
时，
，
，则
，
当
为偶数，
时，
，
满足上式，因此当
为偶数时，
，
15
所以
的通项公式是
.
（3）由（2）知，
，
当
时，
，
而
满足上式，因此
，
，
所以
.
19．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有
的概率分裂为两个新细胞，
的概率分裂
为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁
衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过
个生命周期的分裂情况，将第
个生命周期后的活细胞总数记为随机变量
.
(1)若
，
（i）求随机变量
的分布列和期望;
（ii）求事件 “
” 的概率;
(2)已知在
的条件下，
的期望称为条件期望
，其
定义为
，试求条件期望
和
的期望
.
【答案】(1)（i）分布列见解析，期望为
；（ii）
；
(2)
.
16
【分析】（1）（i）求出
的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）将事件 “
”分拆成两两互斥的事件的和，利用概率的加法公式，结合等比数列前
项和公式求解.
（2）求出在
的条件下，
的可能取值，求出对应的概率及期望，再利用全概率公式求出
，进而求出
的期望的递推公式，利用等比数列通项公式求得
.
【详解】（1）（i）依题意，
的所有可能取值为1，2，3，4，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
1
2
3
4
的数学期望为
（ii）事件
，即细胞在
个生命周期中只有一次分裂为2 个新细胞，
且之前与之后的所有细胞都分裂为1 个新细胞，
记事件
表示“细胞只在第个周期分裂为2 个新细胞”，
则
两两互斥，
，
而
，
因此
，
所以事件 “
” 的概率为
.
17
（2）在
的条件下，
的可能取值为
，
则
，
，
因此
，
（
），
由全概率公式得
，
于是
的期望
，则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
又
，所以
，即
的期望为
.
【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A 的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概
率求和问题.
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
18
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．如图，在四棱锥
中，
平面PAD，
．
(1)证明：
平面ABCD；
(2)若底面ABCD 是正方形，
，E 为PB 中点，点F 在棱PD 上，且异面直线AF 与PB 所成的
角为60°．
（ⅰ）求
的长度；
（ⅱ）平面AEF 交PC 于点G，点M 在线段PB 上，求EG 与平面
所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【分析】（1）依据
平面
得
，结合
，利用线面垂直判定定理，证得结果；
（2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设
，依据异面直线所成角公式求解
后结合
长度得
；
（ⅱ）设
求出平面
法向量，计算线面角正弦值表达式，结合参数范围求取值范围．
【详解】（1）因为
平面
，
平面PAD，
所以
，
又因为
平面ABCD，
平面ABCD，
，
所以
平面ABCD．
（2）（i）由（1）可知
平面ABCD，所以AB，AD，AP 两两垂直，
故以A 为原点，以AB，AD，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
19
依题意可得
，
所以
，
设
，
则
，
因为异面直线AF 与PB 所成角为60°，
所以
，
解得
，所以
．
（ⅱ）设
，
则
，
，
设平面AEF 的法向量为
，则
，即
，
取
，得
，
因为
，所以
，即
，解得
，
所似
所以
20
因为M 在线段PB 上，所以
，
则
，
设平面MAD 的法向量
，则
即
取
，得
，
设EG 与平面MAD 所成角为
，
则
，
由于
，所以
，所以
即EG 与平面MAD 所成角的正弦值的取值范围为
19．已知直线
，直线
，动点M 到x 轴的距离小于它到y 轴的距离，过M 分别作和
的垂
线，垂足分别为D，E，O 为坐标原点，若四边形
的面积为
，设动点M 的轨迹为曲线C．根据上
述运算回答下面问题：
(1)求C 的方程；
(2)若C 交x 轴正半轴于点A，C 上一点B 和直线
上一点Q 满足
是以
为底的等腰直角三角
形．
（ⅰ）求直线
的斜率：
（ⅱ）若B 在第一象限，记点B 关于的对称点为K，点B 关于原点的对称点为
，若动点M 不与
，B
重合，设动直线
与直线
相交于点P，动直线
与直线
相交于点
，求证：
成
等比数列．
21
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
或
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）设
，得到四边形
为矩形，求得
和
，进而得到
，即可求解；
（2）（ⅰ）解法一：设
，求得
，①当B 在第一象限时，作
轴，求得
，求得
直线BQ 的斜率；②当B 在第二象限时，作
轴，求得
，得到直线BQ 的斜率③当B 在第三象
限时，由对称性，得到直线
的斜率；④当B 在第四象限时，由对称性，得到直线
的斜率，进求得
的斜率；
解法二：设直线AB 的方程为
，则直线
的方程为
，联立方程组，求得
，根据
，求得
的值，进而求得
的斜率；
解法三：设
，根据
，求得
，结合
，求得
，所以
，分类讨论，进而求得
的斜率；
（ⅱ）证明：设
，求得直线OK 的方程为
，分
和
，以及
且
，三种情
况讨论，求得
的坐标，化简得到
，结合P，K，
，O 四点共线，得到
，
即可得证.
【详解】（1）解：如图所示1，设
，
因为M 到x 轴的距离小于它到y 轴的距离，所以
，故
，
22
又因为的斜率为1，
的斜率为
，故
，四边形
为矩形，
因为
到直线的距离
，故
，同理
，
所以四边形
的面积为
，所以
，
所以
，所以C 的方程为
．
（2）（ⅰ）解法一：设
，令
，代入
，得
，
①当B 在第一象限时，如图2 所示，由于
是以
为底的等腰直角三角形，
易知Q 在x 轴上方，
，
作
轴，垂足为S，则
，故
，故
，
又因为
则
，即
，
从而
，故
，直线
的斜率
．
②当B 在第二象限时，如图3 所示，由于
是以
为底的等腰直角三角形，
易知Q 在x 轴下方，
，
作
轴，垂足为S，则
，故
，故
，
23
又
，则
，即
，
从而
，故
，直线
的斜率
；
③当B 在第三象限时，由对称性知，直线
的斜率3；
④当B 在第四象限时，由对称性知，直线
的斜率
；
综上可知，直线
的斜率为
或
．
解法二：令
，代入
，可得
，
易知直线AB 的斜率存在且不为零，故可设直线AB 的方程为
，
则直线
的方程为
，则
，
联立方程组
，整理得
，故
，
所以
，
由
，得
，
即
，故
，所以
或
，
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
24
当
时，
，所以
，直线
的斜率
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
综上可知，直线
的斜率为
或
．
解法三：令
，代入
，可得
，
设
，则
，
由
，可得
，故
，
由
，可得
，所以
，
所以
，
即
，易知
，所以
，即
，所以
，
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
：
当
时，
，所以
，
25
直线
的斜率
；
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
，
综上可知，直线
的斜率为
或
．
（ⅱ）证明：设
，依题意可得
，所以直线OK 的方程为
，
①若
，则直线MB 的方程为
，直线
的方程为
，
此时点
，所以
，
因为P，K，
，O 四点共线，所以
，所以
成等比数列；
②若
，则直线
的方程为
，直线MB 的方程为
，
此时点
，所以
，
因为P，K，
，O 四点共线，所以
，所以
成等比数列；
③若
且
，
，
直线MB 的方程为
，
联立方程组
，解得
，
同理可得直线
的方程为
，
联立方程组
，解得
26
因为
在双曲线上，所以
，
所以
，
所以
，
因为P，K，
，O 四点共线，所以
，
所以
成等比数列．
（建议用时：30 分钟，满分：34 分）
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（18 题17 分、19 题17 分）
18．某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；
每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为
，分配到复杂任务的概率
为
.已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为
，且各阶段任务完成情况相互独立.
(1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率；
(2)记
为该机器人在完成第
个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率.
①求
；
27
②证明：数列
单调递减.若对系统分配任务进行设置，使得当
时，系统停止分配任务，求该机
器人最多能挑战多少个阶段的任务.
【答案】(1)
.
(2)①
；②证明见解析，最多进行6 次挑战.
【分析】（1）根据全概率公式计算即可；
（2）①结合挑战规则分析挑战未结束的条件，利用全概率公式和概率乘法公式计算即可；
②结合①的分析，建立递推关系，利用构造等比数列及待定系数法求出
的通项，结合数列的单调性及
即可证明及求解.
【详解】（1）设事件
“分配到简单任务”，则
“分配到复杂任务”，
事件
“成功完成任务”，
依题意，
，
因此
.
所以机器人在一个阶任务中成功完成任务的概率为
.
（2）①设事件
“该机器人在第
个阶段完成任务”，各阶段完成任务与否相互独立，
当
时，挑战显然不会终止，即
，
当
时，则第
轮至少答对一轮.
，
由概率乘法公式得：
；
同理
②设事件
“第
个阶段任务结束时挑战仍然未结束”，
当
时，第
个阶段任务结束时挑战仍然未结束的情况有两种：
（i）第
轮成功，且第
轮结束时挑战未终止；
28
（ii）第
轮失败，且第
轮成功，且第
轮结束时挑战未终止，
因此第
个阶段任务结束时挑战仍然未结束的事件可表示为
，
则
，
而各轮任务成功与否相互独立，
因此
，
当
时，
，设存在实数
，使得数列
为等比数列，
当
时，
，整理得
，
而
，则
，解得
或
，
当
时
，
因此当
时，数列
是首项为
，公比为
的等比数列；
当
时，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
①，
②，
，
29
为单调递减数列.
又
，故最多进行6 次挑战.
【点睛】结论点睛：对于递推公式形如
这一类型，可通过构造等比数列结合待定系数法来
求通项。
设
，则
，求出
，再结合等比数列的通项公式结合题意计算即可.
19．对于函数
，记
，
，
，
，
.对于任意
的
，如果
是满足
的最小正整数，则函数
是“
周期导函数”.
(1)已知函数
为奇函数，函数
为偶函数，且
.求证：函数
是“
周
期导函数”，并求出
的值；
(2)设
是“2 周期导函数”，若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设
，
，若函数
满足
对
恒成立，且存在
使得
，试用
表示
，并证明
.
【答案】(1)证明见解析，
30
(2)
(3)
，证明见解析
【分析】（1）根据函数的奇偶性可得
，即可求解
的解析式，结合“
周期导函数”
的定义即可证明；
（2）根据题意可知
，
，
，结合“
周期导函数”的定义可得
，即
对任意的
恒成立，求出
和
的值，可得函数
的解析式.由
在
上恒成立，可得
在
上恒成立.令
，对函数
求导，分论讨论研究函数的单调性及最小值，即可求解
的取值范围.
（3）根据题意求得
，
.令
，由题可
知
是函数
的极大值点，故
，所以
.结合
可得
，所以
，解得
.根据
，
及
可解得
的值，即可证明.
【详解】（1）证明：因为
，所以
.
因为
为奇函数，函数
为偶函数，所以
，
所以
，
所以
，
，
故
，
，
31
即对
，
，所以
.
（2）因为
是“2 周期导函数”，
所以
，
，
所以
，
所以
对任意的
恒成立，
令
，所以
.
因为
，所以
，所以
，故
，所以
.
因为
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，所以
在
上恒成立.
令
，所以
，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
且
，所以
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
综上，
.
（3）因为
，
，
所以
，
，
.
令
，因为函数
对
恒成立，且存在
使得
，
32
所以
是函数
的极大值点，所以
，所以
.
又因为
，所以
，
所以
，解得
.
又因为
，
，所以
，
由
，知
，所以
，
所以
，
所以
，
，所以
.
33
