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专题12 借助导函数解决函数双变量问题（含极值点偏移）
目录
一、含双变量相等型（
）....................................1
二、含双变量不等型（
或
）.........................2
三、通过构造函数解决双变量问题.........................................................................4
四、极值点偏移中的双变量问题............................................................................5
一、含双变量相等型（
）
1．（2023 春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）已知函数
.
(1)若函数
在区间
上单调，求实数
的取值范围；
(2)若对于任意的
总存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
2．（2023 秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)函数
，若存在
，使得
成立，求实数a 的取值范围.
1
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3．（2023 春·广东·高一统考期末）已知函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是
．给定函数
及其图象的对称中心为
．
(1)求c 的值；
(2)判断
在区间
上的单调性并用定义法证明；
(3)已知函数
的图象关于点
对称，且当
时，
．若对任意
，总存
在
，使得
，求实数m 的取值范围．
4．（2023 春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知函数
，
．
(1)对任意的
，若
恒成立，求
的取值范围；
(2)对任意的
，存在
，使得
，求
的取值范围．
二、含双变量不等型（
或
）
1．（2023 春·江西上饶·高二统考期末）已知函数
．
(1)若关于
的方程
在区间
上恰有2 个不同的实数解，求
的取值范围；
(2)设函数
，若
，对
总有
成立，求
的取值范围．
2
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2．（2023 春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知函数
为
的导数.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)
，若对任意
，均存在
，使得
，求实数
的取值
范围.
3．（2023 春·安徽合肥·高二统考期中）已知函数
，
．
(1)求
的极小值；
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
4．（2023 春·贵州贵阳·高二校考阶段练习）设函数
．
(1)若函数
在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，设函数
，若在[
上存在
，
使
成立，求实数a 的取值范
围．
3
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5．（2023 春·广东阳江·高二校考阶段练习）已知函数
（
）．
(1)当
，求f（x）的极值．
(2)当
时，设
，若存在
，
，求实数
的取值范围．（为自
然对数的底数，
）
三、通过构造函数解决双变量问题
1．（2023 春·上海浦东新·高二校考期中）已知函数
的图像在
处的切线与直线
平行．
(1)求函数
的极值；
(2)若对任意的
，且
都有
，求实数m 的取值范围．
2．（2023 春·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）已知函数
，
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，对任意
，当
时，不等式
恒成立，求实数
的
4
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取值范围.
3．（2023 春·福建宁德·高二统考期中）已知函数
，
；
(1)求
函数的单调性；
(2)设函数
，对于任意的
都有
成立，求实数
的取值范围.
4．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
的单调性；
(3)若对任意的
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
四、极值点偏移中的双变量问题
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，
，求
的取值范围.
5
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(2)若函数
有两个极值点
，证明：
.
2．（2023·北京通州·统考三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
，求实数a 的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.
(3)已知
有两个零点
，
，求实数a 的取值范围并证明
.
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数
为其极小值
点．
(1)求实数
的值；
(2)若存在
，使得
，求证：
．
4．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知函数
，a 为实数．
(1)求函数
的单调区间；
6
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(2)若函数
在
处取得极值，
是函数
的导函数，且
，
，证明：
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的极值点的个数；
(2)若函数
恰有三个极值点
、
、
，且
，求
的最大值．
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间与极值．
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