文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题12 借助导函数解决函数双变量问题（含极值点偏移）
目录
一、含双变量相等型（
）....................................1
二、含双变量不等型（
或
）.........................5
三、通过构造函数解决双变量问题.......................................................................10
四、极值点偏移中的双变量问题..........................................................................15
一、含双变量相等型（
）
1．（2023 春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）已知函数
.
(1)若函数
在区间
上单调，求实数
的取值范围；
(2)若对于任意的
总存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
解】（1）当
时，
，在区间
上单调递减，符合题意；
当
，函数
是二次函数，对称轴为
，
因为函数
在区间
上单调，
所以当
时，则
，所以
，
当
时，则
，所以
，
综上所述，若函数
在区间
上单调，则实数
的取值范围
.
（2）由条件可知：
的值域是
值域的子集，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，当且仅当
即
时等号成立，
所以
值域为
；
当
时，
值域为
，显然符合条件；
当
时，
值域为
，不成立；
当
时，
值域为
，
由
的值域是
值域的子集，得
，即
；
综上所述，实数
的取值范围为
.
2．（2023 秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)函数
，若存在
，使得
成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
，可得
，故函数定义域为
，关于原点对称，
又
，即
为奇函数.
又
，
函数
在
上单调递减，值域为
.
由复合函数的单调性质知
在
上单调递减，且
的值域为R，
不等式
，转化为
，
因为
为奇函数，所以
，
因为
在
上单调递减，所以
，
即
，即
，
即
，解得
，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则原不等式的解集为
.
（2）因为存在
，使得
成立，
所以
时，
的值域与
的值域有交集.
因为
在
上是减函数，
，
所以
的值域为
，
当
时，
在
上单调递减，故
的值域为
，
所以
即
，
当
时，
在
上单调递增，故
的值域为
，不符.
综上所述，实数a 的取值范围为
.
3．（2023 春·广东·高一统考期末）已知函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是
．给定函数
及其图象的对称中心为
．
(1)求c 的值；
(2)判断
在区间
上的单调性并用定义法证明；
(3)已知函数
的图象关于点
对称，且当
时，
．若对任意
，总存
在
，使得
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）由于
的图象的对称中心为
，
则
，
即
，
整理得
，解得：
，
故
的对称中心为
；
（2）函数
在
递增；
设
，则
，由于
，所以
，所以
，故函数
在
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
递增；
（3）由已知，
的值域为
值域的子集，
由（2）知
在
,
上递增，且
，故
的值域为
,
，
于是原问题转化为
在
,
上的值域
,
，
当
即
时，
在
,
递增，
注意到
的图象恒过对称中心
，
可知
在
,
上亦单调递增，
故
在
，
递增，又
，
，故
,
，所以
,
，
，
且
，解得
，
当
即
时，
在
递减，在
，
递增，
又
过对称中心
，故
在
递增，在
，
递减，
故此时
，
，
，
，
欲使
，
，只需
且
，
解不等式得：
，又
，此时
，
当
即
时，
在
,
递减，在
,
上亦递减，
由对称性知
在
,
上递减，于是
,
，
则
,
，
，故
，解得：
，
综上：实数
的取值范围是
,
．
4．（2023 春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知函数
，
．
(1)对任意的
，若
恒成立，求
的取值范围；
(2)对任意的
，存在
，使得
，求
的取值范围．
【答案】(1)
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
【详解】（1）
，
因为
，所以
，
令
，因为
，所以
，
所以
对
恒成立，
令
，则
对
恒成立，
因为
，所以
或
或
，
即
或
或
，
所以
，即
的取值范围为
.
（2）因为
，所以
，
所以
．
因为
，所以
，
由题意可知，
的范围是
的范围的子集，
当
时，
，由
，得
；
当
时，
，不符合题意，舍去；
当
时，
，不符合题意，舍去．
综上所述，
的取值范围为
．
二、含双变量不等型（
或
）
1．（2023 春·江西上饶·高二统考期末）已知函数
．
(1)若关于
的方程
在区间
上恰有2 个不同的实数解，求
的取值范围；
(2)设函数
，若
，对
总有
成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
.
【详解】（1）函数
，由
得
，
依题意，曲线
与直线
在区间
上恰有2 个交点，
，当
时,
，当
时,
，
因此函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
当
时，
取最小值，最小值为
，
，又
，
所以
.
（2）由
总有
成立知，
函数
在
上的最小值不大于函数
在
上的最小值,即
，
由（1）知，在区间
上，
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
因此函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
于是
，则有
，即
，
所以
的取值范围是
.
2．（2023 春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知函数
为
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的导数.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)
，若对任意
，均存在
，使得
，求实数
的取值
范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意
，所以
0，
即切线的斜率
，且
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）由题意知
，
且
的对称轴为直线
，
所以当
时，
.
由（1），设
，则
，
所以
，
当
时，
；
当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
又
，所以
在区间
上只有一个零点，
设为
，且当
时，
；当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
又
，
所以当
时，
，
所以
，即
，
因此，实数
的取值范围是
.
3．（2023 春·安徽合肥·高二统考期中）已知函数
，
．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求
的极小值；
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，
.
由
可得，
或
.
当
时，有
，所以
在
上单调递增；
当
时，有
，所以
在
上单调递减；
当
时，有
，所以
在
上单调递增.
所以，
在
处取得极小值
.
（2）要使
，不等式
恒成立，
只需满足
即可.
由（1）知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，
在
上取得唯一极小值，也是最小值
.
因为
，
①当
时，
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，
此时
，
所以有
，即
，
无解；
②当
时，由
可得，
.
当
时，有
，所以
在
上单调递增；
当
时，有
，所以
在
上单调递减.
所以，
在
取得唯一极大值，也是最大值
；
（ⅰ）当
时，有
，此时
在
上单调递减，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以，
，
所以有
，解得
；
（ⅱ）当
时，有
，此时
在
上单调递增，
所以，
，
所以有
，即
，
无解；
（ⅲ）当
时，有
，此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以，
，
所以有
，即
，
无解.
综上所述，
.
4．（2023 春·贵州贵阳·高二校考阶段练习）设函数
．
(1)若函数
在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，设函数
，若在[
上存在
，
使
成立，求实数a 的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数
在其定义域上为增函数，即
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
又
（仅当x＝1 时取等号），故a 的取值范围为
；
（2）在
上存在
，
，使
成立，即当
时
，
又
，所以当
时，
，
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即函数
在区间
上单调递增，故
，
由（1）知
，
因为
，又
的判别式
，
①当
时
，则
恒成立，即
在区间
上单调递增，
故
，故
，即
，得
，
又
，所以
；
②当
时
，
的两根为
，
，
此时
，
，故函数
在区间
上是单调递增．由①知
，所以
综上，a 的取值范围为
．
5．（2023 春·广东阳江·高二校考阶段练习）已知函数
（
）．
(1)当
，求f（x）的极值．
(2)当
时，设
，若存在
，
，求实数
的取值范围．（为自
然对数的底数，
）
【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3
(2)
【详解】（1）
的定义域为
，
当
时，
，
∴
，
令
，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1 或x＞7，
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）
∴x＝1 时，函数取得极小值为3；x＝7 时，函数确定极大值为4ln7－3；
（2）
，令
，
若
，则
，
∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴当
时，f（x）在
上单调递减，
∴f（x）在
上的最大值为
，
，令
，得
，
当
时，
，∴
单调递减，
当
时，
，∴g（x）单调递增，
∴
在
上的最小值为
，
由题意可知
，解得
，
又∵
，
∴实数a 的取值范围为[1，4）．
三、通过构造函数解决双变量问题
1．（2023 春·上海浦东新·高二校考期中）已知函数
的图像在
处的切线与直线
平行．
(1)求函数
的极值；
(2)若对任意的
，且
都有
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)
【详解】（1）由题意可知
的定义域为
，且
，
可得
的图象在
处的切线斜率为
，由切线与直线
平行，
可得
，即
，
所以
，
，
由
，可得
，由
，可得
，
则
在
单调递增，在
单调递减，
可得
在
处取得极大值为
，无极小值.
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）不妨设
，则
，
若
，
，
可得
，即有
，
设
在
为增函数，
即有
对
恒成立，
可得
在
恒成立，
令
，则
的定义域为
，且
，
由
，可得
，由
，可得
，
可得
在
递减，在
递增，
则
在
处取得极小值，且为最小值
，
可得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
2．（2023 春·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）已知函数
，
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，对任意
，当
时，不等式
恒成立，求实数
的
取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）
，
令
，则两根分别为
.
1.当
时，
在
恒成立，故
的单调递增区间为
，无单调递减区
间；
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2.当
时，令
得
或
，令
得
，
所以
单调递增区间为
，单调递减区间为
；
3.当
时，令
得
或
时，令
得
，
所以
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
综上当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；当
时，
单调递增区间为
，单调递减区间为
；当
时，
单调递增区间为
，单调递减
区间为
.
（2）由（1）知，若
，则
，
的在区间
单调递增.
又
，所以
对
恒成立
对
恒成立，
对
恒成立，
令
，则
在
上单调递减，则
在
上恒成立，
又
，且
，
在
上恒成立，即
令
，则
令
得
，令
得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
3．（2023 春·福建宁德·高二统考期中）已知函数
，
；
(1)求
函数的单调性；
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)设函数
，对于任意的
都有
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）
的定义域为
，则
，
当
时，即
时，
在
上单调递增，
当
时，即
时，则
即
，
令
得
，令
得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，则
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）依题得
因为对于任意的
总有
成立，不妨设
由
，得
设
，可得
在
单调递增；
在
恒成立；
∴
在
恒成立；
设
，
令
，得
，因为
，所以
在
单调递增；
同理，
在
单调递减，所以
的最大值为
，
所以
.
4．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)设
，讨论函数
的单调性；
(3)若对任意的
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）
，
，
，
当
时，
，
切点坐标为
，
又
，
切线斜率为
，
曲线
在
处切线方程为：
.
（2）
，
，
，
，
，
，
①当
时，
成立，
的单调递减区间为
，无单调递增区间.
②当
时，令
，
所以当
时，
，
在
上单调递减
时，
，
在
上单调递增
综上:
时，
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（3）
，
，
，
令
，
，
由已知可得：
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
且
，
的单调区间是
，
，
时，
恒成立，
，
，
令
，
，即证
，
，
成立，
的单调递减区间为
，
，
恒成立，
综上：
的取值范围是
.
四、极值点偏移中的双变量问题
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，
，求
的取值范围.
(2)若函数
有两个极值点
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当
时，
在
恒成立，
令
，
，
则
，
函数
在
上单调递减，
，
，
的取值范围是
．
（2）函数
，
．
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
函数
有两个极值点
，
，
有两个正实数解
方程
有两个正实数解
函数
与函数
，
的图象有两个交点．
，令
，解得
，
当
时
，则
单调递增，当
时
，则
单调递减，
函数
的极大值即最大值为
．
又
时
，且当
时，
，又
，
．
不妨设
，
要证明
，
．
令
，
，
．
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
函数
在
单调递增，
，
，即
，
因此
成立．
2．（2023·北京通州·统考三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
，求实数a 的值；
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.
(3)已知
有两个零点
，
，求实数a 的取值范围并证明
.
【答案】(1)
(2)
(3)
，证明见解析
【详解】（1）因为
，所以
.
所以
，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
，
所以
，解得
..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以
在（0，+∞）上恒成立.
即
恒成立.
，即
，
令
，所以
，
时
，
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
.
（3）
定义域为
当
时，
，所以
在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当
时，
在（0，
）上单调递减，在
上单调递增，
所以
的最小值为
，
函数
存在两个零点的必要条件是
，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
，又
，
所以
在（1，
）上存在一个零点（
）.
当
时，
，所以
在（
，+∞）上存在一个零点，
综上函数
有两个零点，实数a 的取值范围是
.
不妨设两个零点
由
，所以
，
所以
，所以
，
要证
，
只需证
，
只需证
，
由
，
只需证
，
只需证
，
只需证
，
令
，只需证
，
令
，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴
，
即
成立，
所以
成立.
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数
为其极小值
点．
(1)求实数
的值；
(2)若存在
，使得
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
的定义域为
，
，依题意得
，得
，
此时
，
当
时，
，
，
，故
，
在
内单调递减，
当
时，
，
，
，故
，
在
内单调递增，
故
在
处取得极小值，符合题意.
综上所述：
.
（2）由（1）知，
，
不妨设
，
当
时，不等式
显然成立；
当
，
时，不等式
显然成立；
当
，
时，由（1）知
在
内单调递减，因为存在
，使得
，所
以
，
要证
，只要证
，
因为
，所以
，又
在
内单调递减，
所以只要证
，又
，所以只要证
，
设
，
则
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
令
，则
，
因为
，所以
，
在
上为减函数，所以
，
即
，
所以
在
上为减函数，
所以
，即
.
综上所述：
.
4．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知函数
，a 为实数．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
在
处取得极值，
是函数
的导函数，且
，
，证明：
【答案】(1)
递减区间为
，递增区间为
.
(2)证明见解析
【详解】（1）函数
的定义域为
，
令
，所以
，得
，
当
，
，当
，
，
故函数
递减区间为
，递增区间为
.
（2）因为函数
在
处取得极值，
所以
，得
，
所以
，得
，
令
，
因为
，当
时，
，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以函数
在
单调递减，在
单调递增，
且当
时,
,当
时,
,
故
.
先证
，需证
.
因为
，下面证明
.
设
,
则
,
故
在
上为增函数,故
,
所以
,则
,
所以
,即得
，
下面证明：
令
，当
时
，所以
成立,
所以
，所以
.
当
时，记
,
所以
时
，所以
为减函数得
,
所以
,即得
.
所以
得证，
综上，
.
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的极值点的个数；
(2)若函数
恰有三个极值点
、
、
，且
，求
的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：函数
的定义域为
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
且
．
①
，
，由
，可得
；由
，可得
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
在
处取得极大值，故当
时，
有一个极值点；
②
，令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
因此
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，故
，
由
可得
，由
可得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
在
处取得极小值，故当
时，
有一个极值点；
③当
时，
，
令
得
或
，令
，由②知
，
而
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，因此
，故
，
所以函数
在
和
上各存在唯一的零点，分别为
、
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
故函数
在
和
处取得极小值，在
处取得极大值，
所以当
时，
有三个极值点．
综上所述，当
或
时，
有一个极值点；当
时，
有三个极值点．
（2）解：因为函数
恰有三个极值点
、
、
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以由（1）知
，
，
，
由
，两式相除得到
．
令
，则
，则
，
，得
，
，
因此
，所以
，则
．
令
，其中
，则
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，则当
时，
，
即
，故
在
上单调递增，
所以当
时，
，故
的最大值为
．
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间与极值．
(2)若
，求证：
．
【答案】(1)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；极大值为
，极小值为
(2)证明见解析
【详解】（1）
定义域为
，
，
令
，解得：
或
，
当
时，
；当
时，
；
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
的极大值为
，极小值为
.
（2）由（1）知：
，
，
．
令
，
，
则
；
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，则
；
令
，则
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
对任意
恒成立．
，
，又
，
，
在
上单调递增，
，
，即
；
令
，
，
则
；
在
上单调递增，
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
，
对任意
恒成立．
，
．又
，
，
在
上单调递增，且
，
，
；
由
得：
，
，
.
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
26
