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第 42 讲 双曲线
1.双曲线定义
平面内与两个定点F,F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F F|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点
1 2 1 2
叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a
对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点 A(-a,0),A(a,0) A(0,-a),A(0,a)
1 2 1 2
渐近线
性
质
离心率
线段AA 叫做双曲线的实轴,它的长|A A|= 2 a ,线段BB 叫做双曲线的虚轴,它的长|
实虚轴 1 2 1 2 1 2
BB|= 2 b ;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
1 2
a,b,c的关系 c2=a2+b2
3.常用结论
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 ，也叫通径．
(2)与双曲线 有共同渐近线的方程可表示为 ．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(4)若P是双曲线右支上一点，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|PF| ＝c－a.
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考点一 待定系数法求双曲线方程
考点二 相同渐近线双曲线方程的求法
考点三 直接法解决离心率问题
考点四 构造齐次方程法求离心率的值或范围
考点五 渐近线问题
考点一：待定系数法求双曲线方程例1．已知双曲线 的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为______.
【答案】 /
【分析】根据题意结合双曲线的几何性质得到 ，再解方程即可.
【详解】因为双曲线 的虚轴长是实轴长的3倍，
所以 ，解得 .
故答案为：
例2．（2023·甘肃定西·统考一模）已知双曲线 的右焦点为 ，过 和
两点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线方程可得其渐近线为 ，再求得直线 的斜率，由垂直可求得 ，再由焦点坐
标得 ，从而求得 ，即可得双曲线的方程.
【详解】因为双曲线 ，所以它的渐近线为 ，
又因为 ，所以直线 的斜率为 ，
因为直线 与双曲线的一条渐近线垂直，所以 ，故 ，
又因为双曲线的右焦点为 ，所以 ，故 ，
所以该双曲线的方程为 .
故选：C.考点二：相同渐近线双曲线方程的求法
例3．已知双曲线 的渐近线方程为 ，且经过点 ，则 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据共渐近线双曲线系的形式可假设双曲线方程为 ，代入点的坐标即可求得结
果.
【详解】根据渐近线方程可设双曲线 方程为： ，
双曲线 过点 ， ，
双曲线 的标准方程为： .
故选：A.
考点三：直接法解决离心率问题
例4．如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的左、右两支
分别交于点 若 ， ， ，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义及线段的关系建立方程，解出 再利用双曲线离心率公式 计算即可
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，所以 ．由双曲线的定义得： ，
所以 ，
所以
在 中，
所以 ．
故双曲线的离心率为 .
故选：D.
考点四：构造齐次方程法求离心率的值或范围
例5．（2023·山东菏泽·统考二模）设 、 分别为双曲线 的左右焦点，O为坐标原点，
过左焦点 作直线 与圆 切于点E，与双曲线右支交于点P，且 为等腰三角形，则双
曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定 ，结合圆的切线性质及双曲线定义列式计算作答.
【详解】因为直线 与圆 切于点E，则 ，而 为等腰三角形，
必有 ，E为 的中点，而O为 中点，于是 ，有 ，且 ，令双曲线焦距为2c，由 ，
得 ，即 ，有 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A
考点五：渐近线问题
例6．2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线
分别与双曲线 的渐近线平行， 与渐近线的交点记为 ，若 为等边三角形，且面积为 ，
则 （ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】作图，分析几何关系得到四边形OABF是菱形，利用条件即可求出 .
【详解】
由题意作上图，显然四边形 是平行四边形，又 是等边三角形， 是菱形，
由于 ， 的AB边上的高 ，即 ，
的方程为： ，A在 上， ， ；
故选：C.
例7．（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
则双曲线的渐近线方程式为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义与性质计算即可.
【详解】由题意可得 ，故由题意可得 ，
渐近线方程为 .
故选：D
一、单选题
1．（2023·重庆·统考二模）复平面内复数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数模的几何意义得出 对应点的轨迹，设 ，即可计算 的最小值．
【详解】因为 ，
所以点 是以 ， 为焦点，半实轴长为1的双曲线，则 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
设 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选：B．2．（2023·宁夏中卫·统考一模）已知双曲线C： 的左右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支
上，则 （ ）
A．－8 B．8 C．10 D．－10
【答案】A
【分析】先由双曲线的方程求出其实半轴长 ，然后利用双曲线的定义可求得答案.
【详解】设双曲线 的实半轴长为 ，
则 ，所以 ，
因为双曲线C的左右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，
所以 ，
故选：A
3．（2023·河南郑州·统考一模）已知双曲线 的左右焦点分别为 为 右半支
上一点，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【分析】根据数量积的定义可得 ，结合双曲线的定义可得 ，进而求解
，由余弦定理即可求解.
【详解】 可得 .
又 ，两式联立可得 ，
，整理可得 ，
.故选： .
4．（2023·四川达州·统考二模）设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，过 的直线与C的右支
交于P，Q两点，则 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】由双曲线的定义知 ， ，则
，即可得出答案.
【详解】双曲线C： ，则 ， ，
由双曲线的定义知： ， ，
，
所以
.
故选：C.
5．（2023·四川成都·统考二模）设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点． 为双曲线
右支上一点，若 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义及标准方程，得到 ， ，结合勾股定理表示出 和
的关系即可.
【详解】利用双曲线的定义及标准方程，得到 ,又 ，
因为 ，所以 ；故 ，即
故答案为：
6．一动圆 过定点 ，且与已知圆 ： 相切，则动圆圆心 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两圆相切分析可知 ，符合双曲线的定义，可得 ， ，根据双曲线中a，
b，c的关系，即可求出动圆圆心 的轨迹方程.
【详解】解：已知圆 ： 圆心 ，半径为4，
动圆圆心为 ，半径为 ，
当两圆外切时： ，所以 ；
当两圆内切时： ，所以 ；
即 ，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且 ， ，
，
所以动圆圆心 的轨迹方程为： ，
故选：C.
7．（2023·广西玉林·统考二模）若双曲线C： 的焦距大于6，C上一点到两焦点的距离之
差的绝对值为d，则d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据双曲线的方程求出焦距，再由双曲线的定义求解.
【详解】因为双曲线C： ，
所以 ，
由题意可知 ，则 ，
由双曲线的定义知， .
故选：A
8．（2023·河南开封·统考二模）已知圆 与双曲线 的渐近线相切，则双
曲线C的焦距为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，根据圆与双曲线的渐近线相切，得到圆心到直线的距离等于半
径，列出相应的等量关系式，从而求得 ，进一步求得双曲线的焦距.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
根据圆 的圆心 到切线的距离等于半径 ，可得 ，解得 ，
从而求得双曲线的方程为 ，所以 ，即 ，故此双曲线的焦距为 ，
故选：D
9．（2023·陕西榆林·统考三模）实轴在 轴上的双曲线的离心率为 ，则该双曲线渐近线的倾斜角的正
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求得 ，得到渐近线的斜率为 ，即 ，结合三角函数的基本关系
式，即可求解.【详解】由题意知 ，可得 ，
因为实轴在 轴上，所以双曲线渐近线的斜率为 ，
设双曲线的渐近线的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
10．（2023·天津河东·一模）已知双曲线 的实轴为4，抛物线 的准线过
双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 ， ，将 代入双曲线和抛物线，求出 ， ，进而求出渐近
线方程.
【详解】由题意得 ， ，故双曲线左顶点坐标为 ，
抛物线的准线为 ，故 ，解得 ，
点 为抛物线与双曲线的一个交点，故 ， ，
即 ，解得 ，解得 ，
故双曲线的渐近线方程为 .
故选：A
11．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点 ，若 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 列出方程，得到 ，求出离心率.
【详解】由题意得 ，
中，令 得 ，解得 ，
故 ，
因为 ，所以 ，结合 可得 ，
方程两边同时除以 得， ，
解得 ，负值舍去，故离心率为 .
故选：D
12．（2023·湖南常德·二模）某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为 ， ，则焦点在 轴上的椭圆
的离心率 的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据椭圆的离心率，有 ，解得 ，再利用列举法和古典概型概率计算公
式，求得相应的概率.
【详解】因为椭圆 的焦点在 轴上，所以 ，
而 ，解得 ，
投掷骰子得到点数 共有 种，
其中满足 的有：
共 种，
所以所求概率为 .
故选：C.
13．已知焦点在 轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，则双曲线的离心
率是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由题意求出双曲线的一条渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，根据离心率的计算公式可得答案.
【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为 ，
则另一条渐近线的倾斜角为 ，由双曲对称性可得 ，
则一条渐近线的斜率为 ，
设双曲线的长半轴长为a，短半轴长为b，则 ，故离心率为 ，
故选：A
14．（2023·新疆阿勒泰·统考一模）设 分别为双曲线 的左､右焦点，双曲线上存在
一点 使得 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，结合解方程组、双曲线的离心率公式进行求解即可,
【详解】由双曲线的对称性，不妨设 在右支，
则有 ，而 ，
代入
，或 舍去，
由 ，或 舍去，
故选：C
二、填空题
15．（2023·上海普陀·统考二模）设 为双曲线 : 左、右焦点，且 的离心率为 ，
若点M在 的右支上，直线 与 的左支相交于点N，且 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据双曲线的离心率公式求出 ，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】由 的离心率为 ，得 ，解得 ，
由点M在 的右支上，得 ，
又因 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
16．（2023·河北唐山·统考二模）已知直线 ： 过双曲线 ： 的一
个焦点，且与 的一条渐近线平行，则 的实轴长为______．
【答案】2
【分析】求出直线与 轴的交点坐标和斜率，然后列方程组求得 得实轴长．
【详解】直线 与 轴交点为 ，斜率为 ，
由题意 ，解得 ，
所以双曲线的实轴长为 ．
故答案为：2.
17．（2023·陕西渭南·统考一模）已知双曲线 的焦距为4，焦点到C的一条渐近
线的距离为1，则C的渐近线方程为______
【答案】
【分析】由双曲线对称性得一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨设渐近线为 ，由点线距离及
的关系可得方程组求解.
【详解】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为 ，即 ，
焦点为 ，则焦点到渐近线的距离 ，
由焦距为4得 ，故 ，
故C的渐近线方程为 .
故答案为： .
18．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与双曲线 有公共焦点
，抛物线Ｍ与双曲线 交于 ， 两点， ， ， 三点共线，则双曲线 的离心率为______．
【答案】
【分析】由抛物线和双曲线的对称性可以确定 两点关于 轴对称，从而得到 点的坐标，结合 点既
在抛物线又在双曲线上，可建立 的关系，从而求出离心率.
【详解】解：由抛物线和双曲线的对称性可知， 两点关于 轴对称，且 ，
因为 ，所以 ，代入双曲线方程有 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
故答案为： .
19．（2023·北京海淀·统考二模）已知双曲线C经过点 ，渐近线方程为 ，则C的标准方程
为___________．
【答案】
【分析】由已知可设C的标准方程为 ，由已知 ，解出双曲线的渐近线方程为 ，结
合已知，即可得出答案.【详解】由已知可得，双曲线的焦点位于 轴上， 设C的标准方程为 .
因为双曲线C经过点 ，所以 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以，C的标准方程为 .
故答案为： .
20．若双曲线C的一条渐近线经过点 ，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为______．
【答案】 或
【分析】根据题意分焦点在 轴与焦点在 轴分别讨论，结合双曲线的渐近线方程，代入计算即可得到结
果.
【详解】双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为 （ ， ），∴该双曲线的渐近线方程
为 ，又∵一条渐近线经过点 ，∴ ，得 ．由焦点到该渐近线的距离为2，可
得 ，得 ，则双曲线的方程为 ；
当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为 （ ， ），∴该双曲线的渐近线方程为
，又∵一条渐近线经过点 ，∴ ，得 ，由焦点到该渐近线的距离为2，可得
，得 ，则双曲线的方程为 ．
故答案为:或．
