文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题14 数列（讲义）
第1 部分 数列的概念与表示
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n 项an
通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n 项和
把数列{an}从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{an}的前n 项
和，记作Sn，即Sn＝a1＋
a 2＋…＋
a n
2．数列的表示方法
列表法
列表格表示n 与an的对应关系
图象法
把点( n ，
a n)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等
表示数列的方法
3．数列的分类
分类标准
名称
含义/性质
按项的个
数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变
化趋势
递增数列
从第2 项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔an<an＋1
递减数列
从第2 项起，每一项都小于它的前一项的数列⇔an>an＋1
常数列
各项都相等的数列⇔an＝an＋1
摆动数列
从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
一项的数列
温馨提示：
1．已知数列{an}的前n 项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
方法归纳：
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
例1 设数列
的前
项和为
，且满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，若对任意的
恒成立，求
的取值范围.
答案 (1)
(2)
分析 （1）根据
与
之间的关系分析可知数列
是首项为
，公比为
的等比数列，进而可得通项公
式；
（2）由（1）可知：
，利用错位相减法可得
，结合恒成立问题分析求解即可.
解析 （1）因为
，
当
时，由
，解得
；
当
时，则
，
两方程相减得
，即
；
可知数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）由（1）可知：
，
则
，
，
两式相减得
，
可得
，即
.
因为
，
可知
是单调递增数列，且
，可得
，
因为对任意的
恒成立，可得
，解得
，
所以
的取值范围为
.
方法归纳： (1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前n 项和．
答案 (1)
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)
．
分析 （1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；
（2）直接用裂项相消法即可求解.
解析 （1）因为
，所以
，
又
因此
是以
为首项，1 为公差的等差数列，
设
的前n 项和为
，则
，
又由
，
得
，
，
当
时，经检验也满足
，
∴
．
（2）
．因此
．
命题点2 累乘法
例3 已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)求数列
的前
项和.
答案 (1)
(2)
分析 （1）根据题意利用累乘法可求得通项公式；
（2）由（1）得
，然后利用错位相减法可求得前
项和.
解析 （1）因为
，
所以
，
，
，……，
，
所以
，
所以
，得
；
（2）由（1）得
，
令数列
的前
项和为
，则
所以
，
所以
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
所以
所以数列
的前
项和为
.
方法归纳： (1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2
－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
(2)形如＝f(n)的数列，常令n 分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an
＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知等差数列
的前
项和为
，公差为
，且
单调递增，若
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D
分析 根据题意，分析可得
，即数列
从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的
通项公式，列出不等式，即可求解．
解析 解：由
为等差数列，且
，所以
，
因为数列
为递增数列，则
，即
从第二项开始，各项均为正数，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又因为
恒成立，所以数列
为常数数列或递增数列，所以
，
则有
，解可得
，
综上可得，
，所以实数
的取值范围为
．
故选：D．
命题点2 数列的周期性
例5 若首项为 1 的数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
答案 C
分析 利用此数列的递推关系，依次求出下一项，直到出现重复，则可以判断周期，从而利用周期性来得
到结果.
解析 由
，
得：
，
，
，
，
，
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，由此得数列
是一个周期为
的数列，
所以
，则
，
故选：C.
命题点3 数列的最值
例6 已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，则数列
的最大项为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
分析 借助等差数列的性质结合所给条件可计算出
，表示出
后结合对勾函数的性质计算即可得.
解析 因为
，所以
是以1 为公差的等差数列，
又
，所以
，即
，
则当
时，
，
又
符合上式，故
，
则
，
令
，由对勾函数性质可得：
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
，当
时，
，
故数列
的最大项为
．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：C.
方法归纳： (1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
第2 部分 等差、等比数列 数学归纳法
Ⅰ、等差数列及其前n 项和
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－
a n＝
d 恒成立，则称{an}为等差数列.其中d 称为等差数列的公差.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数).
(2)等差中项：①如果x，A，y 是等差数列，那么称A 为x 与y 的等差中项，A＝.
②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.
2.等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋
( n －
1)
d .
(2)前n 项和公式：Sn＝na1＋
＝
.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋( n －
m ) d (n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋
a l＝
a m＋
a n.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n 项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n 项和，则数列也为等差数列.
(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n ( a n＋
a n＋1)，且S 偶－S 奇＝nd，＝.
(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2
n －
1)
a n，且S 奇－S 偶＝an，S 奇＝nan，S 偶＝(n－1)an，
＝.
Ⅱ、等比数列及其前n 项和
1.等比数列的概念
(1)定义：如果数列{an}从第2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数
q ，即＝q 恒成立，则称
{an}为等比数列，其中q 称为等比数列的公比.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q 为非零常数).
(2)等比中项：如果x，G，y 是等比数列，则称G 为x 与y 的等比中项，且G2＝xy.
2.等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1q n － 1 ；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n 项和公式：当q＝1 时，Sn＝na1；当q≠1 时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n 项和.
(1)若正整数s，t，p，q 满足s＋t＝p＋q，则as·at＝apaq，特别地，如果2s＝p＋q，则a＝ap·aq.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为q m .
(3)当q≠－1，或q＝－1 且n 为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为q n .
Ⅲ、数学归纳法
一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值
n 0(n0∈N＋)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立的前提下，推出当n ＝
k ＋
1 时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n 取第一个值后面的有正整数成立.
概念方法微思考
1.用数学归纳法证题时，证明当n 取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立.因为n0∈N＋，所以n0＝1.这种说法对吗？
提示 不对，n0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n－2)π 时，初始值n0＝3.
2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？
提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.
3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？
提示 不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理.
方法归纳：
题型一 等差数列基本量的运算
例1 已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
答案 D
分析 根据给定条件，利用等差数列前
项和公式及性质计算即得.
解析 在等差数列
中，
，解得
，
而
，由
，得
.
故选：D
方法归纳 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求
出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型二 等差数列的判定与证明
例2 已知首项为1 的数列
的前
项和为
，且
.
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
答案 (1)证明见解析；
(2)
.
分析 （1）根据给定条件，利用
变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得.
（2）由（1）求出
，进而求出
，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得.
解析 （1）由
，得
，即
，
两边同加
，得
，则
，因此数列
为常数列，
所以数列
为等差数列.
（2）由（1）知，
，则
，
，
当
为正奇数时，
，
；当
为正偶数时，
，
，
当
为正奇数时，
；
当
为正偶数时，
，
所以
.
方法归纳 判断数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q 为常数)．
(4)前n 项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．
题型三 等差数列的性质
命题点1 等差数列项的性质
例3 在等差数列
中，若
，则
的值为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
答案 C
分析 直接由等差数列的性质即可求解.
解析 由题意
.
故选：C.
命题点2 等差数列前n 项和的性质
例4 (1)已知两个等差数列
和
的前
项和分别为
和
，且
，则
（ ）
A．5
B．6
C．9
D．11
答案 C
分析 根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
解析 因为等差数列
和
的前
项和分别为
和
，且
，
所以
.
故选：C
(2)若等差数列
的前m 项的和
为20，前3m 项的和
为90，则它的前2m 项的和
为
（ ）
A．30
B．70
C．50
D．60
答案 C
分析 根据等差数列前n 项和分段和的性质计算即可求值.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解析 ∵在等差数列
中，
，
，
也成等差数列，
∴
，
∴
，∴
．
故选:C.
方法归纳 (1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n 项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
③依次k 项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
题型四 等比数列基本量的运算
例5 已知首项为1 的等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．24
B．12
C．20
D．15
答案 D
分析 根据给定条件，借助等比数列前
项和公式求出公比
即可得解.
解析 设等比数列
的公比为
，显然
，否则
，此等式不成立，
则
，由
，整理得
，即
，
因此
，所以
.
故选：D
方法归纳 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而
解．
(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q＝1 时，{an}的前n 项和Sn＝na1；当q≠1 时，
{an}的前n 项和Sn＝＝.
题型五 等比数列的判定与证明
例6 已知
为数列
的前
项和，若
.
(1)求证：数列
为等比数列；
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)令
，若
，求满足条件的最大整数
.
答案 (1)证明见解析
(2)
分析 （1）利用
与
的关系式可得
，即
，即可得证.
（2）由（1）可得
，则
，设
，根据等比数列的前
项和公式
可得
，令
，结合
，即可求解.
解析 （1）证明：由
可得，
当
时，
，解得
，
当
时，
，即
，
则
，即
，
即
，即
，
又
，
所以数列
是首项为6，公比为2 的等比数列.
（2）由（1）得
，则
，
设
，
则
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，得
，
即
，即
，
又
，
，
，
所以满足条件的最大整数为
为5.
方法归纳 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q 为非零常数，n∈N*)或＝q(q 为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0 且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n 项和公式法：若数列{an}的前n 项和Sn＝k·qn－k(k 为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
题型六 等比数列的性质
例7（1）记等比数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．121
B．63
C．40
D．31
答案 A
分析 利用等比数列的下标和性质求得
，进而利用等比数列的通项公式求得
，再利用等比数列的求
和公式即可得解.
解析 根据题意，设等比数列
的公比为
，
若
，则有
，得
，
又由
，则
，解得
，
故
，
则
.
故选：A.
（2）已知等比数列
，
，
为函数
的两个零点，则
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（ ）
A．
B．
C．
D．3
答案 C
分析 由题意
，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解.
解析 由题意
是一元二次方程
的两个根，由韦达定理有
，
而对于等比数列
而言，
，
从而
.
故选：C.
方法归纳 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和
公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
题型七 分组求和与并项求和
例8 已知数列
是公差不为0 的等差数列，
，且
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2024 项和．
答案 (1)
(2)1012
分析 （1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得
即可；
（2）得到
表达式后，发现
（
），故由分组求和法即可求解.
解析 （1）设等差数列
的公差为
，
由题意可知，
，即
，解得
，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
；
（2）由（1）可知，
，
对于任意
，有
，
所以
，
故数列
的前2024 项和为
．
方法归纳 (1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数
列{cn}的前n 项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前
n 项和．
题型八 错位相减法求和
例9 已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
，
（
且
）．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，设数列
的前
项和
，求证：
．
答案 (1)
(2)证明见解析
分析 （1）根据
的关系可得
为等差数列，即可求解
，进而可得
，
（2）利用错位相减法求和，即可求证.
解析 （1）当
时，
，
即
，解得
．
因为
（
），
所以
（
），
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
（
，
），
，
所以
（
），
又
，
所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，所以
．
当
时，
，
当
时，
，满足上式，
所以数列
的通项公式为
．
（2）由（1）知
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
由于
，所以
方法归纳 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”
的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比q 是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
题型九 裂项相消法求和
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
例10 已知等差数列
的前n 项和为
．
(1)求
的通项公式；
(2)数列
满足
为数列
的前n 项和，求
的值.
答案 (1)
(2)
分析 （1）利用等差数列定义根据题意可求得首项和公差，即可得出
的通项公式；
（2）根据等差数列前
项和公式可得
，裂项可得
，即可求出
.
解析 （1）设等差数列
的首项为
，公差为
，
由
可得
，
解得
，
所以
；
因此
的通项公式为
，
（2）由（1）可得
；
所以
，
因此数列
的前n 项和
;
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即可得
.
方法归纳 利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{an}是等差数列，则＝，
＝.
20
