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专题14 直线和圆（十大题型5 大易错题）
【题型1 直线的倾斜角与斜率范围】
1．（24-25 高二上·辽宁大连·期中）已知直线l过点A (1,0)，B(2,√3)，则直线l的倾斜角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
2．（24-25 高二上·天津滨海新·阶段练习）直线 x + y −1=0 的倾斜角为( )
A．30
∘
B．45
∘
C．60
∘
D．135
∘
3．（24-25 高二上·内蒙古包头·期中）若直线l的一个方向向量⃗n=(1,−√3)，则l的倾斜角为（ ）．
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
4．（20-21 高二·全国·课后作业）以正弦曲线y =sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的
范围是（ ）
A．[0,π
4 ]∪[
3π
4 ,π)
B．[0,π)
C．[
π
4 , 3π
4 ]
D．[0,π
4 ]∪(
π
2 , 3π
4 ]
5．（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）已知直线l1:ax +2 y −4 =0，l2: x−(a−3) y −2=0，则“l1//l2
”是“a=1”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．（24-25 高三上·四川达州·阶段练习）已知α为直线y =2 x−1的倾斜角，则cos2α =（ ）
A．−3
5
B．−4
5
C．4
5
D．3
5
【题型2 求解直线方程】
7．（24-25 高二上·四川成都·期末）若直线l的方向向量为(−1,√3)，且过点(0,2)，则直线l的方程为
（ ）
1
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A．√3 x + y −2=0
B．x +√3 y −2√3=0
C．√3 x−y +2=0
D．x−√3 y +2√3=0
8．（24-25 高二上·安徽·阶段练习）过点(1,−3)且与直线x−2 y +1=0垂直的直线方程是（ ）
A．2 x + y +1=0
B．x +2 y +5=0
C．x−2 y −7 =0
D．2 x−y −5=0
9．（22-23 高二上·北京·期中）已知直线l经过点P(1,0)，且方向向量⃗v =(1,2)，则l的方程为（ ）
A．x +2 y −2=0
B．2 x−y −2=0
C．x +2 y −1=0
D．x−2 y −1=0
10．（24-25 高二上·江苏苏州·阶段练习）斜率为−4
3
，且经过点(1,−1)的直线方程为（ ）
A．4 x +3 y +1=0
B．4 x +3 y −1=0
C．4 x−3 y −7 =0
D．4 x−3 y −1=0
11．（24-25 高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l1：ax−(a−4) y +2=0，直线l2：2 x +ay −1=0.
(1)若l1∥l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值.
【题型3 由一般式方程确定两直线位置关系】
12.（24-25 高二上·辽宁大连·期中）若直线l1:2 x +(m+1) y + 4 =0与直线l2:mx +3 y −2=0平行，则m的值
为（ ）
A．2
B．−3
C．2 或−3
D．−2或−3
13．（24-25 高二上·海南·阶段练习）已知直线l1：ax + y −1=0，直线l2：x +ay −2=0，则“a=1”是“
l1//l2”的（ ）条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
14．（24-25 高二上·湖南永州·阶段练习）已知两条直线l1:3 x−2 y +1=0和l2:ax +2 y +1=0相互垂直，
则a=（ ）
A．2
B．3
C．4
3
D．−4
3
15．（24-25 高二上·广东东莞·期中）已知直线l1:ax−y −2024 =0,l2:(3a−2) x +ay +2025a=0，若
2
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l1⊥l2，则实数a的值为 .
【题型4 两条直线的交点与距离问题】
16．（24-25 高二上·天津滨海新·阶段练习）已知两条平行直线l1:3 x−4 y −2=0,l2:6 x−8 y +3=0，则l1
和l2间的距离为（ ）
A．1
10
B．1
5
C．2
5
D．7
10
17．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知点P是抛物线y
2=−4 x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距
离为d1，到直线x + y −4 =0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（ ）
A．2
B．√2
C．5
2
D．5√2
2
18．（24-25 高二上·河南驻马店·阶段练习）已知a∈R，直线l1:ax + y −12=0的方向向量与直线
l2:(a+3) x + 4 y +16=0的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．4
B．8√2
C．4√2
D．2√2
19．（24-25 高二上·天津和平·阶段练习）若圆x
2+ y
2=r
2(r >0)上仅有4 个点到直线x−y −2=0的距离为
1，则实数r 的取值范围为（ ）
A．(√2+1,+ ∞) B．(√2−1,√2+1)
C．(0,√2−1)
D．(0,√2+1)
20．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知点P(x , y)是曲线y = x
2上的一动点，则点P(x , y)到直线
2 x−y −4 =0的距离的最小值为（ ）
A．√5
5
B．2√5
5
C．3√5
5
D．3
5
21．（24-25 高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线l1：2 x−y =1与直线l2：−3 x +2 y =1的交点坐标为
.
【题型5 对称问题的求解方法】
22．（24-25 高二上·重庆渝中·阶段练习）若点A (2,1)关于直线l：y =kx +b（k，b∈R）的对称点为
A
′ (−4,3)，则b=（ ）
A．−3
B．−1
C．3
D．5
23．（2024 高三·全国·专题练习）一条光线从点(−2,−3)射出，经y轴反射后与圆(x +3)
2+( y −2)
2=1相切，
3
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则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．−5
3
或5
3
B．−3
5
或3
2
C．−2
3
或2
3
D．−4
3
或−3
4
24．（24-25 高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点(4,0)发出被直线x + y −10=0反射，若反射光线过
点(0,1)，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．x−2 y +2=0B．3 x−2 y +2=0
C．2 x−3 y +3=0
D．2 x−y +1=0
25．（23-24 高二上·重庆·期末）如图，已知两点A (22,0)，B (0,11)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB上
的点M 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N 反射后又回到点P，则直线MN的方程为
（ ）
A．4 x−3 y −6=0B．4 x +3 y +8=0
C．3 x−4 y +6=0
D．4 x−3 y +8=0
26．（23-24 高二上·山东济南·阶段练习）一束光线从点M (1,2)出发经x轴反射后经过点N (−2,4)，半径为
√5的圆C恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆C的标准方程是（ ）
A．
(x −5)
2+ y
2=5
B．
(x +5)
2+ y
2=5
C．x
2+( y −5)
2=5
D．x
2+( y +5)
2=5
【题型6 求圆的方程的两种方法】
27．（24-25 高二上·海南·阶段练习）△ABC的三个顶点的坐标分别为A (1,0)，B (3,0)，C (3,4)，则
△ABC的外接圆方程是（ ）
A．
(x −2)
2+( y −2)
2=20
B．
(x +2)
2+( y +2)
2=20
C．
(x−2)
2+( y −2)
2=5
D．
(x +2)
2+( y +2)
2=5
28．（24-25 高二上·湖北·阶段练习）动直线l: (k +2)x−(k −1) y −3=0被定圆C 截得的弦长等于2，则
圆C 的方程为（ ）
A．( x +1)
2+( y +1)
2=1
B．( x −1)
2+( y −1)
2=1
4
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C．( x +1)
2+( y +1)
2= 4
D．( x−1)
2+( y −1)
2= 4
29．（24-25 高二上·安徽·阶段练习）已知圆C的圆心在直线x +2 y −7 =0上，且经过点A (1,2)，B (3,0).
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点P(1,6)且与圆C相切的直线方程.
30．（24-25 高二上·河北保定·阶段练习）已知圆M的圆心在直线y =3 x +1上，且点A (1,2)，B (−1,4)在
M上.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若倾斜角为π
4
的直线l经过点C (0,4)，且l与圆M相交于D，E 两点，求|DE|.
31．（24-25 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过A (1,0)和点B (−1,2)，且
圆心在直线2 x−y +2=0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线x =ay + 4被圆C截得弦长为2√3，求实数a的值
32．（24-25 高二上·重庆·阶段练习）已知圆M经过(2,0),(4,2)两点，且圆心M在直线y = x上.
(1)求圆M的标准方程；
(2)过点(2,4)的直线l与圆M相交于A ,B两点，且△ABM为直角三角形，求l的方程.
【题型7 求与圆有关的轨迹问题的方法】
33．（24-25 高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆C过原点O和点A(1,3)，圆心在x轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量⃗OQ =⃗OM +⃗ON，求动点
Q的轨迹方程．
5
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34．（24-25 高二上·广东·期中）已知△ABC的顶点A(−2,0)，B(3,0)，顶点C满足3|CA |=2|CB|，
记顶点C的轨迹为W .
(1)求曲线W 的方程.
(2)过点A的直线l（斜率不为0）与曲线W 交于不同的两点P，Q，O 为坐标原点，试判断直线OP，
OQ 的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.
35．（24-25 高二上·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系中，圆O: x
2+ y
2=8，点P(−4,2)，
(1)若A是圆O上的动点，线段AP的中点为M，求M的轨迹方程；
(2)过点Q (−1,2)作直线l与点M的轨迹方程交于C、D两点，若CD =2，求直线l的方程.
36．（24-25 高二上·重庆·阶段练习）已知A (1,2)､B (3,6)，动点P满足⃗PA ⋅⃗PB =−4，设动点P的轨迹为
曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)求过点A (1,2)且与曲线C相切的直线的方程.
【题型8 解决有关弦长问题的常用方法及结论】
37．（24-25 高二上·河南南阳·期中）已知直线l经过点P(2,1)，且与圆C：(x +1)
2+( y −2)
2=9相交于A，B
两点，若|AB|= 4√2，则直线l的方程为（ ）
A．y =1或3 x + 4 y −10=0
B．y =1或4 x +3 y −11=0
C．4 x +3 y −11=0或3 x + 4 y −10=0 D．4 x−3 y −5=0或3 x−4 y −2=0
38．（24-25 高二上·江苏淮安·期中）直线x−√3 y +2√3=0被圆x
2+ y
2=8截得的弦长为（ ）
A．√5
B．2√5
C．√3
D．2√3
39．（24-25 高二上·北京·期中）圆( x −3)
2+( y −4)
2=25被直线3 x + 4 y −10=0截得的弦长为 ．
【题型9 两圆的公共弦问题】
6
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40．（24-25 高二上·河南驻马店·阶段练习）圆C1: x
2+ y
2=25与圆C2:(x −3)
2+( y + 4)
2=1的公共弦长为
（ ）
A．2√13
5
B．5√6
4
C．3√11
5
D．√13
3
41．（24-25 高二上·海南海口·阶段练习）圆M : x
2+( y −2)
2=20与圆N :( x +3)
2+( y +2)
2=25的公共弦长
为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10
42．（24-25 高二上·河南驻马店·阶段练习）圆C1: x
2+ y
2=25与圆C2:(x −3)
2+( y + 4)
2=1的公共弦长为
（ ）
A．2√13
5
B．5√6
4
C．3√11
5
D．√13
3
43．（24-25 高三上·天津南开·期末）圆C1:( x +2)
2+( y −4)
2=16与圆C2: x
2+ y
2−2 x−10=0的公共弦长
为 .
【题型10 两圆的公切线问题】
44．（24-25 高二上·四川·期末）已知圆C1
：x
2+ y
2−4 x−6 y =0
，圆C2
：
(x −3)
2+( y −1)
2=9，则圆C1
，
C2的公切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
45．（24-25 高二上·天津·阶段练习）圆
(x−a)
2+( y −1)
2= 4
与x
2+ y
2=1
恰有三条公切线，则实数a的值为
（ ）
A．±2√3
B．2√3
C．2√2
D．±2√2
46．（24-25 高二上·广东珠海·阶段练习）已知圆C1: x
2+ y
2−2mx +m
2−1=0和圆
C2: x
2+ y
2−2ny +n
2−9=0恰有三条公共切线，则(m−6)
2+(n−8)
2的最小值为（ ）
A．36
B．3
C．10
D．√10
47．（24-25 高二上·湖南·期中）写出与圆( x−1)
2+( y −2)
2= 1
2
和圆( x−2)
2+( y −1)
2= 1
2
都相切的一条直
7
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线方程 .
1．（24-25 高二上·安徽阜阳·阶段练习）倾斜角为150°，在y轴上截距为−2的直线方程为 ．
2．（24-25 高二上·全国·期末）已知点O是坐标原点，点Q是圆( x−3)
2+( y + 4)
2=1上的动点，点
P(t ,−t −4)，则当实数t变化时，|PQ|+|PO|的最小值为 .
3．（2025 高三·全国·专题练习）一条光线经过点A (2,3)射到直线x + y +1=0上，被反射后经过点B (1,1)，
则入射光线所在直线的方程为 ．
4．（24-25 高二上·广东·阶段练习）已知圆C1: x
2+ y
2=1，圆C2:(x−2)
2+ y
2=1，则C1,C2
的公切线方程
为 ．（写出一条即可）
5．（24-25 高二上·海南·期中）已知点M在圆C : x
2+ y
2−6 x =0上运动，点A (−3,0).
(1)求|MA|的最小值；
(2)若P为MA的中点，求点P的轨迹方程.
8
