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专题15 导数与函数的极值、最值（十一大题型+模拟精练）
目录：
01 函数极值的辨析
02 求已知函数的极值
03 根据极值求参数
04 函数（导函数）图像与极值的关系
05 由导数求函数的最值
06 已知函数最值求参数
07 根据极值点求参数
08 由导数求函数的最大值（含参）
09 恒成立问题
10 零点问题
11 导数的综合应用
01 函数极值的辨析
1．（2024 高三·全国·专题练习）下列函数中，存在极值的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
1
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A．若
在
上有极大值，则极大值一定是
上的最大值．
B．若
在
上有极小值，则极小值一定是
上的最小值．
C．若
在
上有极大值，则极大值一定是在
和
处取得．
D．若
在
上连续，则
在
上存在最大值和最小值．
3．（2024 高三·全国·专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（22-23 高二上·河南许昌·期末）函数
的导函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
为函数
的零点
B．
是函数
的最小值
C．函数
在
上单调递减
D．
为函数
的极大值点
02 求已知函数的极值
2
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5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性，并求出
的极小值．
6．（23-24 高二下·湖南·期中）已知函数
为奇函数．
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的单调区间和极值．
03 根据极值求参数
7．（22-23 高二下·北京·期中）若函数
恰好有两个极值，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·贵州遵义·三模）已知函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
9．（21-22 高三下·广西·阶段练习）已知函数
在其定义域的一个子区间
上有极值，则
实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
04 函数（导函数）图像与极值的关系
10．（23-24 高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列说法错误
的是（ ）
3
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A．函数
在
上单调递增
B．函数
至少有2 个极值点
C．函数
在
上单调递减
D．函数
在
处取得极大值
11．（23-24 高二下·四川广元·期中）函数
的导函数
的图象如图所示，则下列判断中
正确的是（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递减
C．
在
上存在极小值点
D．
在
上有最大值
05 由导数求函数的最值
12．（23-24 高二下·四川成都·期中）已知函数
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数
，
，则下列命题不正确的是（ ）
A．
有且只有一个极值点
B．
在
上单调递增
C．存在实数
，使得
D．
有最小值
4
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14．（23-24 高二下·北京海淀·期中）关于函数
，下列结论错误的是（ ）
A．
的解集是
B．
是极小值，
是极大值
C．
没有最小值，也没有最大值
D．
有最大值，没有最小值
06 已知函数最值求参数
15．（23-24 高二下·四川内江·阶段练习）已知
在区间
上有最小值，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数
在区间
上存在
最值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
17．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）设函数
，若
，且
的最小值为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
07 根据极值点求参数
18．（23-24 高二上·江苏盐城·期末）已知函数
的导函数
，若
是函数
的极大值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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19．（23-24 高三上·河南南阳·期末）若函数
有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（22-23 高三下·江西赣州·阶段练习）已知函数
存在两个极值点
，则
以下结论正确的为（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
08 由导数求函数的最大值（含参）
21．（23-24 高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，函数
在区间
上的最小值
．
22．（2024·山西吕梁·二模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间和极值；
(2)求
在区间
上的最大值.
09 恒成立问题
23．（2024·山东烟台·一模）已如曲线
在
处的切线与直线
垂直.
6
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(1)求
的值；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
24．（2024·湖北·模拟预测）已知函数
，
其中
为常数.
(1)过原点作
图象的切线，求直线的方程；
(2)若
，使
成立，求
的最小值.
10 零点问题
25．（23-24 高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
在
上的零点个数.
26．（22-23 高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数
．
(1)函数
在
处的切线与x 轴平行，求a 的值；
(2)若函数
有两个零点，求a 的取值范围．
11 导数的综合应用
27．（2024·江苏·二模）已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
在区间
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围.
28．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知函数
为
的极值点．
(1)求
的最小值；
(2)若关于
的方程
有且仅有两个实数解，求
的取值范围．
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29．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
恰有两个零点
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)若函数
，求证：
在
上单调递减；
(3)证明：
．
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）函数
的极小值点为（ ）
A．2
B．
C．
D．
2．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知
的一个极值点为
，若tan
，则实数a 的值
为（ ）
A．﹣3
B．
C．3
D．
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数
在区间
上的最小值为1，则实数a 的值为
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
4．（2024·云南昆明·一模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为增函数
B．
有两个零点
C．
的最大值为2e
D．
的图象关于
对称
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）若实数
满足
，则下列不等式错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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6．（2023·浙江金华·模拟预测）在半径为
的实心球
中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球
，
则球
的表面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数
，若关于x 的方程
的不
同实数根的个数为6，则a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．（2024·福建莆田·二模）对于函数
和
，及区间
，若存在实数
，使得
对任意
恒成立，则称
在区间
上“优于”
．有以下四个结论：
①
在区间
上“优于”
；
②
在区间
上“优于”
；
③
在区间
上“优于”
；
④若
在区间
上“优于”
，则
．
其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、多选题
9．（2024·贵州安顺·一模）设函数
，则（ ）
A．
有个极大值点
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B．
有
个极小值点
C．
是
的极大值点
D．
是
的极小值点
10．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
在
上递增
B．若
为奇函数，则
C．若
是
的极值点，则
D．若
和
都是
的零点，
在
上具有单调性，则
的取值集合为
11．（2024·广东广州·模拟预测）设函数
，则（ ）
A．函数
的单调递增区间为
B．函数
有极小值且极小值为
C．若方程
有两个不等实根，则实数
的取值范围为
D．经过坐标原点的曲线
的切线方程为
三、填空题
12．（2023·广东汕头·一模）函数
的一个极值点为1，则
的极大值是 ．
13．（2024·全国·模拟预测）方程
有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围为
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．
14．（2024·重庆·模拟预测）若函数
的图象与函数
的图象有三个不同的公共点，
则实数
的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数
，当
时，
取得极值
．
(1)求
的解析式；
(2)求
在区间
上的最值．
16．（2024·河南·三模）已知函数
，且
在
处的切线方程是
．
(1)求实数
，
的值；
(2)求函数
的单调区间和极值．
17．（2024·江苏南京·二模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，若
在区间
上的最小值为
，求a 的值．
18．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知函数
，（为自然对数的底数）．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数
的最大值．
19．（2024·山东·模拟预测）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其
推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，
即如果
是关于x 的实系数一元n 次方程
在复数集
11
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C 内的n 个根，则
试运用韦达定理解决下列问题：
(1)已知
，
，
，求
的最小值；
(2)已知
，关于x 的方程
有三个实数根，其中至少有一个实效根在区
间
内，求
的最大值．
12
