《2026初高衔接》[第二讲]——方程与因式分解_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
夏• 2026 初高衔接
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方程与因式分解
方程与因式分解
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
十字相乘法(必会) + 含参
因式拆解
熟练用十字相乘法分解多项式，快
速解方程
数学运算、逻辑推理
试根思想与乘法公式分解
因式
掌握试根法分解因式．初识方程函
数之间的关系．了解代数的局限性
数学抽象、数学运算
一一元二次方程与十字相乘法
一元二次方程ax2 + bx + c = 0
我们知道：Δ = b2 −4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，可以用来判定一元二次方程的根是否存在.
①当Δ > 0 时，方程有2 个不相等的实数根：x1,2 = −b±
b2−4ac
2a
②当Δ = 0 时，方程有2 个相等的实数根：x = −b
2a
③当Δ < 0 时，方程没有实数根.
上述内容是初中阶段就要求掌握的．在初中的教学当中还讲了韦达定理，但是某些地区的中考不进行考
察，而韦达定理将在高中的学习中发挥重要作用．
ax2 + bx + c = 0
韦达定理

x1+x2=- b
a
x1x2= c
a

韦达定理
十字相乘法
利用十字交叉线分解二次三项式的系数，该分解因式的方法叫做十字相乘法．初中仅仅是停留在二次项系
数为1 的情况下的分解方法，高中将加入二次项系数不为1 的情况、含有参数的情况和部分无理数的拆解．
完整十字相乘法
3x2 + 11x + 10 =
(x+2)⋅(3x+5)
x
3x
5
2
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘和为
一次项可用该方法
5
2
1 10
10 1
√
×
×
×
5x+6x=11x
确定
因数
③横向书写因式
由于初中停留在系数
为1 的分解，所以很
多学生以为书写也是
十字书写．一定要关
注这个误区．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
方程的求根公式和判
别式在高中阶段仍然
很重要．还记不住的
同学，要抓紧了．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
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(★★☆☆☆)利用十字相乘法求解下列方程
(1) x2- 2x - 3 = 0
(3) 2x2- x - 1 = 0
(5) 6x2- x - 12 = 0
(7) 2x2- 3x - 2 2 = 0
2
(★★☆☆☆)利用十字相乘法求解方程．
(1) x2+ (m - 1)x - m = 0
(3)2ax2+ (a - 2)x - 1 = 0
(2) x2- 2x - 15 = 0
(4)3x2- 7x + 2 = 0
(6)2x2-
2x - 2 = 0
(8)2x2- 5 2x + 6 = 0
(2) x2+ (2a + 2)x + 4a = 0
(4) 4ax2+ 2a+2


x + 1 = 0
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(★★☆☆☆)已知关于x 的一元二次方程ax2- (3a + 1)x + 2a + 1 = 0．
(1) 求证：无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2) 若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x2- x1= 2，求a 的值．
4 (★★☆☆☆)已知x1，x2是一元二次方程(4k2+ 1)x2- (4k + 1)x + 1 = 0 的两个不相等的实数根．
(1) 若两根同号，求实数k 的取值范围；
(2) 求使得x1
x2
+ x2
x1
+ 4 的值为整数的整数k 的值．
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(2022 ∙新高考Ⅰ卷改•★★★★☆)已知x1，x2 是方程(2k2- 1)x2+ 4kmx + 2m2+ 2 = 0 的两个根．
(1) 求x1 + x2，x1x2;
(2) 若m ≠1 - 2k．且2kx1x2+ (m - 1 - 2k) (x1+ x2) - 4(m - 1) = 0．求k．
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二乘法公式背景下的因式分解
立方和差公式与三次方程的因式分解
在上一节课中，我们学习了立方和：a3+ b3= (a + b) (a2- ab + b2) 立方差：a3- b3= (a - b) (a2+ ab + b2)
上一节课我们仅仅停留在这两个公式应用上，这一堂课，我们可以借助这些公式对代数式进行因式分解．
1 (2020 •新课标Ⅰ•★★★☆☆)解方程：1
2 x3 - x - 2 = 0
从上面的解题过程能看出，运用立方和差公式因式分解，难点在于对代数式进行预判与配凑．不少同学会
卡在凑系数、凑项这一步，其实求解三次多项式，我们还有其他方法可以选用．
进入高中阶段，教材不再系统讲解各类高阶方程的解法．我们需要在初中一元一次、一元二次方程的基础
上，拓展出复杂方程的求解思路：借助数形结合思想，作出复杂方程对应函数的图(目的：通过看与x 轴的交点
判定根的个数)确定根存在可求时，优先采用“试根法”找出方程的根．初高衔接的阶段，我们先来介绍一元三
次方程的试根法．通过对一元三次方程试根的学习了解试根法本身．
有理根定理
若三次方程Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 存在有理根，则先将其变为系数为1 的三次方程：x3 + B
A x2 +
C
A x + D
A = 0，该系数为1 的方程有理根必为常数项的因数．
结合上述定理，求解一元三次方程时，先试常数项因数，确定方程的一个根，然后完成因式分解．
如(2020• 新课标Ⅰ) 中的三次方程1
2 x3 - x - 2 = 0
①先变形为：x3- 2x - 4 = 0
②明确常数项因数：±1、±2、±4，代入验证后知道x = 2 是上述方程的根，即一定有因式(x - 2)
③确定剩余因式
试根思想与因式分解
x-2
x² + 2x + 2
x3 + 0x2 - 2x - 4
x³ - 2x²
2x² - 2x
2x² - 4x
2x - 4
2x - 4
0




余式的次数必须小于除式次数
余式为0 时，除式是被除式的因式
长除法
x3-2x-4= (x-2)∙(x2+ax+2) = (x-2)∙(x2+2x+2)
②待定系数设出剩余因式，找一二


次项与原式对比可得：a=2
①代入4的因子±1，±2，±4可知：
x=2是方程根，由此确定因式: (x-2)
③检查一元二次代数式
能否继续因式分解
x3÷x
-4÷ -2


=2
待定系数法
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(★★☆☆☆)根据课堂知识求解下列方程．
(1) x3- 3x2+ 4 = 0
(3) x3+ 2x2- 5x - 6 = 0
(5) x3- 9x + 8 = 0
(2) x3- 7x + 6 = 0
(4)2x3+ x2- 5x + 2 = 0
(6) t3- 12t + 9 = 0
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(★★★☆☆)设x3 + ax + b = 0，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是
(
)
A. a =-3，b = 2
B. a =-3，b =-2
C. a =-4，b = 3
D. a = 1，b = 2
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(★★☆☆☆)已知多项式2x3- x2- 13x + k 有一个因式2x + 1，求k 的值，并把原式分解因式．
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(★★★☆☆)如图在底面半径为3、母线长为5 的圆锥中内接(圆柱与圆锥面相接) 一个高为2 的圆柱．
(1) 求圆柱的体积；
(2) 在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与(1) 中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的高；若不
存在，请说明理由。
A
B
O
C
P
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1 (★☆☆☆☆)多项式3x2- 12x - 36 分解正确的是
(
)
A. 3(x - 6) (x + 2)
B. 3(x - 3) (x + 4)
C. 3(x2- 4x - 12)
D. 3(x + 6) (x - 2)
2 (★★☆☆☆)若x3+ a3= (x - 3) (x2+ 3x + 9) 对任意实数x 都成立，则实数a 的值是
(
)
A. - 9
B. 9
C. - 3
D. 3
3 (★★☆☆☆)实数a,b 满足a2- 3a + 1 = 0，b2- 3b + 1 = 0，且a ≠b，则1
a + 1
b 的值为
(
)
A. 3
B. - 3
C. 1
D. - 1
4 (★★☆☆☆)请求解下列方程．
(1) ax2+ (a - 1)x - 1 = 0
(3) 3x2- (a + 3)x + a = 0
(5) x3- 2x2+ 5x - 4 = 0
(2) -2ax2+ (a2- 2)x + a = 0
(4) -2ax2 + (a - 2)x + 1 = 0
(6) 2x3- 7x2+ 4x + 4 = 0
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5 (★★☆☆☆)已知关于x 的一元二次方程x2- mx + 4m2- 3 = 0 的两个实根分别为x1，x2．
(1) 若x1、x2均为正根，求实数m 的取值范围；
(2) 若x1、x2满足：x1+ x2= x1x2，求实数m 的值．
6 (★★★☆☆)已知关于x 的一元二次方程x2- (k + 4)x + 4k = 0．
(1) 求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；
(2) 若方程的两个实数根为x1、x2，满足1
x1
+ 1
x2
= 3
4 ，求k 的值；
(3) 若Rt△ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC 的内切圆半径．