《2026初高衔接》[第五讲]——元素与集合_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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元素与集合
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
元素与集合的概念
分清元素、集合，熟练判断元素归
属；掌握互异性、确定性、无序性
数学抽象、逻辑推理
集合的描述
熟练选用合适形式描述集合，实现
两种表示法互相转换
数学抽象
一元素与集合的概念
◎情境1：说到集合，相信同学对这个名词并不陌生，我们一定在某个场合下听到过“集合”这个词．
♦问题：军训时，我们经常听到教官下达“集合”的口令，例如: “高一（1）班全体学生，集合！”这里所
谈到的“集合”有什么特点？“高一（1）班的高个子男生，集合！”这样的口令教官能下达吗？为什么？
这里我们就能摸到集合的第一个关键：集合里的元素必须是确定的，不能模糊不清，称为确定性．
◎情境2: 高一（1）班全体同学参加校运会进场方阵.
♦问题：同学们会通过变换方阵展示高一（1）班风采。方阵变换前后，高一1


班同学只是位置改变了是吗？
这就是集合第二个关键：集合只看“包含哪些元素”，不看“元素的排列顺序”，称为无序性．
由上面的三个情景，请判断下列实例能否组成集合，并说明理由．
(1) 我国著名的数学家
(
)
(2) 全校身高超过185cm 的部分女生
(
)
(3) 方程x2- 1 = 0 的所有实数根
(
)
(4) 大于-5 的所有负数
(
)
(5) 1 到10 之间的所有偶数
(
)
集合是一个语言概念(上述的5 个例子)，而数学强调的是严密的逻辑推理与表达，所以对于与数有关的内
容(例如上述例子2，3，4，5)，我们需要用一套理论与方法对他们的表达进行规范与简化．
元素
一般地，把研究的对象称为元素，(即初中统计学的个体)常用小写拉丁字母a，b，c，… 表示.
集合
把一些元素组成的总体叫做集合(简称集). 用大写拉丁字母A、B、C… 表示.
元素特性
从前面的情景中，我们可以感知到一个集合要成立，其集合内部的元素满足：确定性、无序性、互异性．
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1
(多选∙★☆☆☆☆)下列能构成集合的是
(
)
A. 数学必修一课本中所有的难题；
B. 本班16 岁以下的全体同学；
C. 方程x - 4 = 0 的所有解；
D.
2 的近似值的全体．
2
(★☆☆☆☆)下列四组对象中能构成集合的是
(
)
A. 昆明八中学习好的学生
B. 在数轴上与原点非常近的点
C. 很小的实数
D. 倒数等于本身的数
3
(★☆☆☆☆)若△ABC 的三边长a，b，c 可构成集合M，则△ABC 不可能是
(
)
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰直角三角形
元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A，记作：a ∈A；
如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A，记作：a ∉A
常用数集
常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N∗或N+
Z
Q
R
1 (★☆☆☆☆)①1
2 ∈R；②
2 ∈Q；③| -3| ∈N；④| - 3| ∈Z；⑤0 ∉N，正确的有几个
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4 (★☆☆☆☆)下列关系中正确的是
(
)
A.
2 ∉R
B. 0 ∈N *
C. 1
3 ∈Q
D.
π2 ∈Z
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二集合的描述
自然语言法
用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法．
典例：云南昆明海拔1000m 以上的山有五华山、盘龙区长虫山、西山区西山、金殿、碧鸡山∙∙∙
图示法（Venn 图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部表示集合，这种图称为Venn 图．
A
1, 2, 3, 4
A
B
列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“

”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2 (★☆☆☆☆)请应用列举法写出奇数集合．
使用列举法时，需要注意以下几点：
(1) 元素间用“，”分隔开并且元素不能重复；
(2) 元素无顺序，如集合1,3,5,7


与集合3,1,5,7


表示同一个集合；
(3) 对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律
表述清楚后才能用省略号．
5
(★☆☆☆☆)用列举法表示下列集合：
(1) 方程x2- x - 2 = 0 的解集；
(3) 大于-1 且小于7 的所有整数组成的集合．
(2) 大于0 且小于10 的所有奇数组成的集合；
(4) 算术平方根为小于5 的整数所组成的集合．
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(★★☆☆☆)方程x2- 4|x| -12 = 0 的解集是
(
)
A. {-2，2，-6，6}
B. {-2，2}
C. {-6，6}
D. {6}
7
(★★☆☆☆)已知集合A = {0，a，a2}，且1 ∈A，则a =
(
)
A. 1
B. - 1
C. ± 1
D. 0
8
(★★★☆☆)设a，b ∈R，集合0，b，b
a


= {1，a，a + b}，则a + 2b =
(
)
A. 1
B. 0
C. - 1
D. 不确定
9
(★★★★★)设非空集合A 中的元素都是实数，且满足：若m ∈A(m ≠0，m ≠1)，则
1
1-m ∈A．
(1) 若-1 ∈A，求出A 中的另外两个元素；
(2) 证明A 中至少有三个元素；
(3) 若A 中的元素个数不超过7 个，且其中一个元素为4，所有元素的积恰好等于A 中某个元素的平方，求
集合A．
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描述法
一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征P(x) 的元素x 所组成的集合表示为
x∈A|P(x)


，这种表示集合的方法称为描述法.
3 (★☆☆☆☆)写出下列集合．
1


不等式x - 7 < 3 的解集
2


奇数集
使用描述法时要注意一下几点：
(1) 若集合中x 属于实数集时，可以简写，即x∈R|x>1


可以写为x|x>1


;
(2) 所有描述的内容都要写在花括号内，如“ x∈Z|x=2m


,m ∈N”不符合要求，应将“m ∈N”写进
“

”中，即x∈Z|x=2m,m∈N


；
(3) 多层描述时，应当准确适用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如x|x>1或x<-2


．
10 (★★☆☆☆)用列举法表示下列集合
(1)A = {x ∈N * |x 是15 的约数}
(3)A = {x|x2- 2x - 8 = 0}
(5)A = {x|x 为不大于10 的正偶数}
(2)A = {a|1 ≤a < 5，a ∈N}
(4)A = x∈N
16
9-x ∈N



(6)A = {(x，y)|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}．
11 (★★☆☆☆)用描述法表示下列集合
(1) 所有被3 整除的整数组成的集合A
(3) 不等式2x - 3 > 5 的解集A
(5) 方程x2- x + 1 = 0 所有实数解组成的集合A
(2) 抛物线y =-x2+ 3x - 6 上的点组成的集合A
(4) 集合A = {1，3，5，7，9}
(6) 集合A = { 1
3 ，2
4 ，3
5 ，4
6 ，5
7 }
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12 (★☆☆☆☆)集合A = {x ∈Z| -1 < x < 3} 的元素个数是
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
13 (★☆☆☆☆)已知集合A = {-1，0，1，2}，集合B = {y|y = |x|，x ∈A}，则B =
(
)
A. {-1}
B. {1，2}
C. {0，1，2}
D. {-1，0，1，2}
14 (★★☆☆☆) M = {1，2，3}，N = {(x，y)|x ∈M，y ∈M，x + y ∈M}，N 中元素个数为
(
)
A. 2
B. 3
C. 8
D. 9
15 (★★★☆☆)集合A = {x|2mx - 3 > 0，m ∈R}，若1 ∉A 且3 ∈A，则m 的取值范围是
(
)
A.
1
2 ，3
2



B.
1
2 ，3
2



C.
3
2 ，+∞


D.
-∞，1
2


16 (★★★☆☆)不等式ax2+ bx + c > 0 解集{x| -1 < x < 6}，则不等式cx2+ bx + a < 0 解集
(
)
A. {x - 1
2 <x<3


B.
x -1<x< 1
6



C. {x|x > 1
6 或x <-1}
D. {x|x > 3 或x <-2}
17 (★★☆☆☆)已知集合A = {x|ax2- 3x + 2 = 0}，其中a 为常数，且a ∈R．
(1) 若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；
(2) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．
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18 (★★★☆☆)已知关于x 的不等式ax2+ bx - 2a + 5 < 0 的解集是{x -1<x< 1
3


．
(1) 求实数a，b 的值；
(2) 若m > 0，n > 0，且am + bn = 1，求n
m + 1
n 的最小值．
19 (★★★★☆)已知关于x 的不等式(kx - k2- 4) (x - 4) > 0，其中k ∈R．
(1) 当k =-1，求不等式的解集A；
(2) 当k 变化时，试求不等式的解集A；
(3) 对于不等式解集A，满足A ∩Z = B．试探究集合B 能否为有限集，若能，求出使得集合B 中元素最少
的k 的所有取值，并用列举法表示此时的集合B，若不能，说明理由；
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1 (★☆☆☆☆)下面选项中，能组成集合的是
(
)
A. 高一某班个子较高的同学
B. 比较著名的科学家
C. 无限接近于4 的实数
D. 到一个定点的距离等于定长的点的全体
2 (★☆☆☆☆)设集合A = {x|x > 2}，则
(
)
A. 3 ∉A
B.
5 ∈A
C. 2 ∈A
D. 0 ∈A
3 (★☆☆☆☆)已知集合A = {x|x(x - 1) = 0}，那么下列结论正确的是
(
)
A. - 1 ∈A
B. 0 ∈A
C. 1 ∉A
D. 0 ∉A
4 (★☆☆☆☆)下列表示同一集合的是
(
)
A. M = {(3，2)}；N = {(2，3)}
B. M = {3，2}；N = {2，3}
C. M = {x|y = x}；N = {y|y = |x|}
D. M = {3，2}；N = {(3，2)}
5 (★★☆☆☆)已知集合M = {a|
6
5-a ∈N+，且a ∈Z}，则M =
(
)
A. {2，3}
B. {1，2，3，4}
C. {1，2，3，6}
D. {-1，2，3，4}
6 (★★☆☆☆)若一元二次不等式kx2- 2x + k < 0 的解集为{x|x ≠m}，则m + k 的值为
(
)
A. - 1
B. 0
C. - 2
D. 2
7 (★☆☆☆☆)根据所学，用符号“∈”或“∉”填空。
(1) 设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国
A，美国
A，印度
A；
(2) 若A = x|x2=x


，则-1
A；
(3) 若A = x|x2+x-6=0


，则3
A；
(4) 若A = x∈N|1≤x≤10


，则8
A，9.1
A．
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8 (★★☆☆☆)已知集合A = {x ∈R|ax2 - 3x + 2 = 0}．
(1) 集合A 中的方程无解，求实数a 的取值范围；
(2) 若A 是单元素集，求a 的值及集合A．
9 (★★☆☆☆)设关于x 的不等式ax - 3 > 2x + a 的解集为M．
(1) 求M；
(2) 若-1 ∈M 且0 ∉M，求实数a 的取值范围．
10 (★★★☆☆)已知集合A 为非空数集，定义：S = {x|x = a + b，a，b ∈A}，T = {x|x = |a - b|，
a，b ∈A}
(1) 若集合A = {1，3}，请直接写出集合S，T；
(2) 若集合A = {x1，x2，x3，x4}，x1< x2< x3< x4，且T = A，求证：x1+ x4= x2+ x3．