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专题15 直线与圆的方程（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（22-23 高三上·上海静安·期中）直线
的倾斜角为 .
2．（22-23 高二上·上海青浦·阶段练习）直线
的一个法向量为 .
3．（23-24 高三下·上海·阶段练习）直线
与直线
平行，则
．
4．（2023·上海青浦·二模）过点
与直线
垂直的直线方程为 .
5．（22-23 高三下·上海·阶段练习）平行直线
与
之间的距离为 ．
6．（23-24 高二下·上海·期中）直线过点
，法向量为
，则的一般式方程为 .
7．（22-23 高三下·上海浦东新·阶段练习）已知
，则
外接圆的方程为 ．
8．（22-23 高三上·上海浦东新·期末）直线
与直线
所成夹角的余弦值等于
9．（2022·上海·模拟预测）已知方程组
有无穷解，则
的值为
10．（21-22 高三下·上海闵行·开学考试）已知直线的参数方程为
，请写出的一个方向
向量 .
11．（21-22 高三上·上海浦东新·阶段练习）直线
与圆
相交所得的弦长为
___________．
12．（2023·上海普陀·一模）设
．若直线
与曲线
仅有一个公共点，
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则
．
13．（24-25 高三上·上海·阶段练习）平面点集
所构成区域的面积
为
14．（22-23 高三下·上海杨浦·阶段练习）已知定点
，圆
，M，N 为
上的动点，满足
，则
的取值范围为 .
15．（2024·上海·三模）已知圆
，圆
，点M，N 分别是圆
、
圆
上的动点，点
为
上的动点，则
的最小值是 .
16．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知圆
上任意一点
的取值与
无关，则实数
的取值范围是 .
二、单选题
17．（24-25 高三上·上海·期中）已知直线
，动直线
，则下列结
论正确的为（ ）
A．不存在
，使得
的倾斜角为
B．对任意的
，与
都不垂直
C．存在
，使得与
重合
D．对任意的
，与
都有公共点
18．（23-24 高二下·上海·期中）已知直线
与圆
，点
，则下列
说法错误的是（ ）
A．若点
在圆
上，则直线与圆
相切
B．若点
在圆
内，则直线与圆
相离
C．若点
在圆
外，则直线与圆
相离
D．若点
在直线上，则直线与圆
相切
19．（23-24 高二上·上海虹口·阶段练习）若
中，a，b，c 分别为三内角A，B，C 的对边，且
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，则直线
与直线
（ ）
A．平行
B．重合
C．相交且垂直
D．相交且不垂直
20．（24-25 高二上·上海·期中）已知动圆
的方程为
，其中
为常数，
，有下列两个命题：
①存在
，使圆
与圆
相切；
②对任意
，直线
上都存在点
，圆
上都存在两点
、
，使
.
则（ ）
A．①②都为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①②都为假命题
三、解答题
21．（23-24 高二上·上海浦东新·阶段练习）已知直线
：
和圆
：
.
(1)求与直线
垂直且经过圆心的直线的一般方程；
(2)求与直线
平行且与圆
相切的直线的一般方程.
22．（23-24 高二下·上海·期中）数学家欧拉1765 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角
形的外心垂心重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线
､
､
.已知
的顶点
，若其
欧拉线的方程为
，
(1)求三角形
外心
的坐标；
(2)求顶点
的坐标.
23．（23-24 高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在
处发现了北偏东
的
海面
处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮
航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻
艇的航速是走私船航速的2 倍，
与相距约为20 海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直
角坐标系中，试问：
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(1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6 海里，那么走私船能被截获的点是哪些？
(2)设
，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），
相距最远是多少海里？
24．（24-25 高二上·上海·阶段练习）已知圆
的圆心坐标为
，且该圆经过点
.
(1)若点
也在圆
上，且弦
长为8，求直线
的方程；
(2)直线交圆
于
、
两点，若直线
、
的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定
点坐标；
(3)直线交圆
于
、
两点，若直线
、
的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该
定值.
25．（21-22 高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆
和圆
.
(1)若圆
与圆
相交，求的取值范围；
(2)若直线
与圆
交于
，
两点，且
，求实数
的值；
(3)若
，设
为平面上的点，且满足：存在过点
的无穷多对互相垂直的直线和
，它们分别与圆
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和圆
相交，且直线被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点
的坐
标.
一、填空题
1．（2024·上海长宁·二模）直线
与直线
的夹角大小为 ．
2．（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为
，且直线与直线
：
垂直，则
3．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线
的倾斜角小
，则的斜率为
．
4．（2023·上海青浦·一模）已知向量
垂直于直线的法向量，过
、
分别作直线的
垂线，对应垂足为
和
，若
，则实数
的值为 ．
5．（2023·上海徐汇·一模）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为
米，有一个水
平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽
为米，则该设备能水平通
过直角型过道的长
不超过 米．
6．（2023·上海奉贤·一模）已知直线
和直线
，则曲线
上一动点
到直
线和直线
的距离之和的最小值是 ．
7．（2023·上海·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到
两个定点
的距离之比为定值
的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为
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阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点
在圆
上，若点
，点
，则
的最小值为 ．
8．（2019·上海嘉定·三模）已知平面直角坐标系中两点
、
，
为原点，有
.设
、
、
是平面曲线
上任意三点，则
的最大值为
二、单选题
9．（2023·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·上海浦东新·模拟预测）设点
满足
，则“
”是“
为定值”的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（2018·上海虹口·二模）直线
与圆
交于
，
两点，且
，过点
，
分别作的垂线与
轴交于点
，
，是
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024·上海·三模）设集合
，点P 的坐标为
，满足“对任意
，都有
”的点P 构成的图形为
，满足“存在
，使得
”的点P 构成的图形为
．对于下述两个结论：①
为正方形以及该正方形
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内部区域；②
的面积大于32．以下说法正确的为（ ）．
A．①、②都正确
B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确
D．①、②都不正确
三、解答题
13．（2017·上海浦东新·三模）已知直线
为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在原
点
处发现了北偏东
海面上
处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮
航行，以
便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2 倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方
向逃窜.
（1）如果走私船和巡逻船相距6 海里，求走私船能被截获的点的轨迹；
（2）若
与公海的最近距离20 海里，要保证在领海内捕获走私船，则
，
之间的最远距离是多少海里？
14．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知
，函数
的图象为曲线
.
、
是
上的两
点，
在第一象限，
在第二象限.设点
、
.
(1)若
到
和到直线
的距离相等，求
的值；
(2)已知
，证明：
为定值，并求出此定值（用
表示）；
(3)设
，且直线
、
的斜率之和为
.求原点
到直线
距离的取值范围.
15．（18-19 高一下·江苏无锡·期中）已知圆C：（x+1）
2+y2＝a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），
其中m，n 为正实数．
(1)当a＝m＝n＝3 时，判断直线AB 与圆C 的位置关系；
(2)当a＝4 时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA＝λPO 成立（O 为坐标原点），求实数m，λ 的值；
(3)当m＝2，n＝4 时，对于线段AB 上的任意一点P，若在圆C 上都存在不同的两点M，N，使得点M 是线
段PN 的中点，求实数a 的取值范围．
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