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专题17 计数原理（练习）
一、填空题
1．
名男生和
名女生站成一排照相，则男生站在一起的概率为 ．
【答案】
/
【分析】根据排列以及古典概型概率计算公式求得正确答案.
【解析】
名男生和
名女生站成一排照相，基本事件有
种，
其中男生站一起的事件有
种，
所以男生站在一起的概率为
.
故答案为：
2．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作
答）
【答案】
【分析】利用插空法，先排男生再排女生求解即可.
【解析】先排男生，再将女生排到5 个空位里，有
种情况.
故答案为：
3．电视台在电视剧开播前连续播放5 个不同的广告，其中3 个商业广告2 个公益广告，现要求2 个公益广
告不能连续播放，则不同的播放方式共有 种.
【答案】
【分析】不相邻的问题利用插空法求解即可.
【解析】先将3 个商业广告排好，有
种，
再将2 个公益广告插入
个空中，有
种，
1
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所以不同的播放方式共有
种.
故答案为：
.
4．7 个人站成一排，如果甲、乙2 人必须站在两端，有 种排法.
【答案】240
【分析】根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可.
【解析】先排甲和乙，有
种排法，
再排其他5 人，有
种排法，
根据分步乘法计数原理，共有
种排法.
故答案为：240
5．2023 年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的5 名志愿者中任意选出3 名，分别担任语言服务、人
员引导、应急救助工作，其中甲不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 种.（结果用数值表示）
【答案】48
【分析】先从除甲外的4 人选1 人担任语言服务工作，然后从剩下的4 人中选2 人分别去担任人员引导和
应急救助工作即可.
【解析】由题意可知，先从除甲外的4 人选1 人担任语言服务工作，有
种方法，
然后从剩下的4 人中选2 人分别去担任人员引导和应急救助工作，有
种方法，
所以由分步乘法原理可知不同的选法共有
种，
故答案为：48
6．有8 名学生排成一排，甲乙相邻的排法种数为
､
，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为
.（用数字作答）
【答案】 10080 30960
【分析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6 人全排列；
（2）可采用间接法得到；
【解析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6 人全排列，故有
种情况；
（2）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情
2
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况，故有
种情况
故答案为：10080；30960
7．至少通过一个正方体的3 条棱中点的平面个数为 ．
【答案】81
【分析】利用间接法，根据共面的条件，分析出重复的平面，即可求解.
【解析】共有12 条棱，即有12 个中点，根据任意3 点不共线，故可得
个平面，
其中，过4 个中点的平面有：正方体的6 个面，正方体的3 个中截面，与面对角线和棱平行的面有
个，共有
个，
过6 个中点的平面有4 个，
所以重复的有
个平面，
所以满足条件的平面有
个.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间想象能力，将过4 个点和过6 个点的平面中与过3 个点的平面
重复的找出来.
8．10 个相同的小球放到6 个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有 种.
【答案】126
【分析】由隔板法，将10 个小球排成一排，中间插入5 个隔板，即可求得不同的放法.
【解析】由隔板法，将10 个小球排成一排，除去两端中间插入5 个不相邻的隔板，此时9 个空中选5 个空
放隔板，将10 个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有
种.
故答案为：126.
9．某兴趣小组有10 名学生，若从10 名学生中选取3 人，则选取的3 人中恰有1 名女生的概率为
，且女
生人数超过1 人，现在将10 名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有
种不同的站队方法.
【答案】25200
【分析】由已知得10 名学生中，有女生6 人，男生4 人，再利用插空法求解即可.
【解析】设10 名学生中，有女生
人，男生
人，
3
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则10 名学生中选取3 人，恰有1 名女生的概率
，
整理得：
，即
因式分解可得：
，
解得：
或
（舍去）或
（舍去）
所以10 名学生中，有女生6 人，男生4 人，
将6 名女生排成一排有
种方法，再将4 名男生插到7 个空中有
种方法，
因为男生的左右相对顺序固定，而4 名男生排成一排有
种方法，
所以一共有
，
故答案为：25200
10．某校开展“全员导师制”．有2 名导师可供5 位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每
位导师最多只能被3 位学生选择，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）．
【答案】20
【分析】先分为两组，再利用全排列知识求解.
【解析】由题意得，5 位学生中有3 位学生选取同一名导师，
先将5 人分为2 组，一组3 人，一组2 人，再将2 组对应两名导师，
故有
种方案.
故答案为：20
11．4 名志愿者全部分到3 所学校支教，要求每所学校至少有1 名志愿者，则不同的分法共有 种.
【答案】36
【分析】先选两名志愿者看成一个整体，再与剩余志愿者一起排列，结合分步乘法计数原理运算求解.
【解析】先选两名志愿者看成一个整体，共有
种，
再与剩余志愿者一起排列，共有
种，
所以不同的分法共有
种.
4
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故答案为：36.
12．支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定
第一轮4 场比赛的分组，再确定第一轮的4 支胜者队伍在第二轮2 场比赛的分组，最后确定第二轮的2 支
胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次
性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有 种.
【答案】
【分析】分别确定第一轮比赛，第二轮比赛，第三轮比赛安排方案数，再由分步乘法计数原理确定总的方
法数.
【解析】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为
，即
种安排方法，
第二轮比赛的安排方法数为
，即3 种安排方法，
第三轮比赛的安排方法数为1，
由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315；
故答案为：315.
13．某小组共有4 名男生
，和3 名女生
.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共
有 种不同的结果.
【答案】24
【分析】根据题意结合分步乘法计数原理分析求解.
【解析】因为4 名男生
选一名男生共有4 种不同的结果；
3 名女生
选一名女生共有3 种不同的结果；
一名男生和一名女生分别担任组长和干事共有2 种不同的方法，
根据分步乘法计数原理可知：共有
种不同的结果.
故答案为：24.
14．
展开式中
的系数为 .
【答案】15
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.
【解析】
展开式中令
的项为
，
5
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所以
展开式中
的系数为15.
故答案为：15
15．
的展开式中只有第六项的系数最大，则
.
【答案】10
【分析】利用二项展开通项公式分析得
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，从而得解.
【解析】因为
的展开通项公式为
，
所以
的展开式中项的系数为该项对应的二项式系数，
因为
的展开式中只有第六项的系数最大，
所以
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，
则
的展开式中一共有11 项，所以
.
故答案为：10.
16．若
展开式中
的系数为272，则实数
．
【答案】3 或－1
【分析】首先求出为
二项式的展开式的通项公式，然后结合多项式的乘法运算即可求出
展开式中
的系数，然后列出方程求解即可.
【解析】因为
，
又因为
二项式的展开式的通项公式为
，
6
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所以
展开式中
的系数为
，
解得：
或
，
故答案为：3 或－1
17．已知
，则
中正数的
个数为 .
【答案】1518
【分析】根据二项展开式的通项可得
，讨论
的奇偶性，结合
分析求解
即可.
【解析】二项式
的通项为
，
二项式
的通项为
，
所以
，
，
若
，则有：
当
为奇数时，此时
，即
，
则
，可得
，
又因为
为奇数，所以
的最小值取为1013；从1013 到2023 共计506 个奇数，
当
为偶数时，此时
，符合题意；
中，共计1012 个偶数
综上所述：
中正数的个数为
故答案为：1518.
18．设集合A 是由所有满足下面两个条件的有序数组
构成：①
；②
；则集合A 中的元素共有 个.
7
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【答案】232
【分析】从条件②入手分类讨论，应用排列组合知识即可得到有序数组的个数即可.
【解析】当
时，
有五个数是0，
另一个数为1 或
，这样
有
个；
当
时，
中有四个数是0，
另两个数为两个1 或两个
或一个1 和一个
，
这样
有
个；
当
时，
中有三个数是0，
另三个数为三个1 或三个
或一个1 和两个
或两个1 和一个
，
这样
有
个；
综上集合A 中的元素共有232 个.
故答案为：232
二、单选题
19．教学大楼共有4 层，每层有东西两个楼梯，由1 层到4 层共有（ ）种走法．
A．8
B．4
C．16
D．2
【答案】A
【分析】由分步计数原理可得.
【解析】由1 层到4 层分步：由1 层到2 层，由2 层到3 层，由3 层到4 层，每步都有东西两个楼梯
种
方法可选.
由分步乘法计数原理可得，由1 层到4 层共
种走法.
故选：A.
20．在200 件产品中有3 件次品，任取5 件，其中至少有2 件次品的取法种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意知，至少有2 件次品包含两类情况，再利用分类分步计数原理计算即可.
8
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【解析】根据题意可知，至少2 件次品包含两类：
2 件次品，3 件正品，共
种抽法，
3 件次品，2 件正品，共
种抽法，
由分类计数原理得，抽法共有
种，
或利用间接法
种．
故选：D．
21．设
，它等于下式中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二项式展开式的特征即可求解.
【解析】
，
故选：C
22．如图，从1 开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或
右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1 移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11 就是一条
移动路线．从1 移动到数字
的不同路线条数记为
，从1 移动到11 的事件中，跳过数字
的概率记为
，则下列结论正确的是（ ）
①
，②
，③
，④
．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【答案】A
9
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【分析】根据题意分析，不难得到
，按照规律写出各项，即可判断①，②正
确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求出
即可判断.
【解析】由题意可知
，
则
，
，
则①正确；显然
，故②正确；
因为
，经过数字5 的路线共有
条.
理由:如上树状图所示，分别计算1-5 的路线共有5 条，5-11 的路线共有13 条，
利用分步乘法计数原理可得，过数字5 的路线共有
条.
则
，故③正确；
同理可得
即有
，故④错误.
故选:A．
三、解答题
23．（1）解不等式
；
（2）解方程
.
10
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【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）利用组合数的性质可得答案；
（2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案.
【解析】（1）根据组合数公式
，原不等式
可化为
.
化简可得
.
进一步变形为
.
根据阶乘的性质
，则
.
约分后得到
，解这个不等式得
.
又因为
且
（组合数中
的取值范围要求），即
且
，
综合可得
或
，故不等式解集为
.
（2）原方程可化为
，即
，
∴
，∴
，
∴
，解得
或
，经检验：
是原方程的解.
故方程解集为
24．已知
的二项展开式中所有项的二项式系数之和为
，
(1)求
的值；
(2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二项式系数和公式可得答案；
（2）求出
的通项，利用
的指数为整数可得答案.
11
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【解析】（1）
的二项展开式中所有项的二项式系数之和
，
所以
.
（2）
，
因此
时，有理项为
，
有理项是第一项和第七项.
25．现某学校共有34 人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13 人，高二年级12 人,高三年级9 人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
【答案】（1）34；（2）1404；（3）381.
【分析】（1）用分类计数原理，分3 种情况讨论，①选出的是高一学生，②选出的是高二学生，③选出的
是高三学生，由各年级的人数易得各种情况的选法数目，由分类计数原理，相加可得答案；
（2）用分步计数原理，分3 步进行，先从高一学生中选出1 人，再从高二学生中选出1 人，最后从高三学
生中选出1 人，根据各年级的人数易得每一步的选法数目，由分步计数原理，相乘可得答案；
（3）用分类计数原理，分3 种情况讨论，①若选出的是高一、高二学生，②若选出的是高一、高三学生，
③若选出的是高二、高三学生，先计算各种情况的选法数目，由分类计数原理，相加可得答案．
【解析】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3 种情况，
若选出的是高一学生，有13 种情况，
若选出的是高二学生，有12 种情况，
若选出的是高三学生，有9 种情况，
由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34 种选法．
（2）根据题意，从高一学生中选出1 人，有13 种情况；
从高二学生中选出1 人，有12 种情况；
从高三学生中选出1 人，有9 种情况；
由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404 种选法．
（3）根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156 种情况，
若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117 种情况，
若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108 种情况，
12
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由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381 种选法．
【点睛】本题考查分步计数原理与分类计数原理的运用，解题的关键要合理的对事件分类或分步．
26．12 月31 日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送
了4，3，2 个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果）
(1)为了活跃气氛，学校会把20 个荧光手环发给台下的12 名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种
分配方案；
(2)若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序；
(3)演出结束后，学校安排甲、乙等9 位志愿者打扫A，B，C 三个区域的卫生，每个区域至少需要2 名志愿
者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)11508，
【分析】（1）由题意根据隔板法求解；
（2）根据相邻与不相邻问题可用捆绑法与插空法求解；
（3）分别按
分类求解，再按不同分组求出甲乙在一组的种数，由古典概型求解.
【解析】（1）利用隔板法：
.
（2）根据捆绑、插空：高三2 个节目视作1 个节目，与高二3 个节目全排列，
再把高一的4 个节目插入所成的5 个空中的4 个，所以共有
.
（3）①.若按2，2，5 分组，则有：
种，
②.若按2，3，4 分组，则有：
种，
③.若按3，3，3 分组，则有：
种，
故共有
种安排方式.
若按2，2，5 分组，甲、乙在同一组的安排方式有
种，
13
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若按2，3，4 分组，甲、乙在同一组的安排方式有
种，
若按3，3，3 分组，甲、乙在同一组的安排方式有
=420 种，
故甲、乙在同一组的概率为
.
27．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数y =[x]（
）称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的
最大整数. 已知：
，（
，
）
(1)若
，
，
，求
的值；
(2)若
，
，
，求证：
；
(3)设
，求S 除以2023 的余数.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)1011
【分析】（1）将
展开，由题意可得
，即可求出
的值；
（2）计算
，结合
即可证明.
（3）先求得每项除以2023 的余数，求每项除以2023 的余数时，分奇偶项进行讨论，余数求和后再求除以
2023 的余数即可.
【解析】（1）因为
，
，
14
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所以当
时，
，
而
，
因为
，
，
，
所以
,
.
（2）因为
，
，
，
，
则
.
故
.
（3）
，
又
，
则
，
又
，
所以
，
所以当
，
，
15
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其除以2023 的余数为
，
当
时，
，
其除以2023 的余数2022 和3，
当
且
时，
，
其除以2023 的余数为
，
当
时，
，
其除以2023 的余数为
，
除以2023 的余数为
除以2023 的余数，
即
除以2023 的余数，
又
其除以2023 的余数为1011.
16
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【点睛】关键点睛：本题第三问的关键一是分奇偶项进行讨论，特别是偶数项时，最后两项求得结果与前
面项，求得结果不同，要分开讨论；二是余数求和后要再除以2023 二次求余.
17
