文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2026 年高考数学一轮复习
专题21：求表面积与体积
知识点1 空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不
一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2、特殊的棱柱和棱锥
（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是
正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均
相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边
形的中心．
【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
（2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
（3）注意棱台的所有侧棱相交于一点．
3、旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，
垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角
形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
4、空间几何体的直观图
（1）画法：常用斜二测画法．
（2）规则：
①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′
轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中
保持原长度不变；平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”；
（3）直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S 直观图＝S 原图形；S 原图形＝2S 直观图．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
知识点2 空间几何体的表面积和体积
几何体
棱柱
棱锥
棱台
侧面展开图
侧面积公式
ch
(c 为底面周长，h 为侧
棱长)
ch′
(c 为底面周长，h′为侧面等腰三
角形底边上的高)
(c+c′)h′
(c′，c 分别为上、下底面周
长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
侧面展开图
侧面积公式
表面积公式
1、空间几何体的表面积和体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝S 底h
锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝S 底h
台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
V＝(S 上＋S 下＋)h
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
球
S＝4πR2
V＝πR3
几何体的表面积和侧面积的注意点
①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
②组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系
（1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，
则S 正棱柱侧＝ch′←―― S 正棱台侧＝(c＋c′)h′――→S 正棱锥侧＝ch′.
（2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，
则S 圆柱侧＝2πrl←―― S 圆台侧＝π(r＋r′)l――→S 圆锥侧＝πrl.
3、柱体、锥体、台体体积间的关系
常用结论：
1.正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝
a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝
a.
2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝
.
3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点一 直观图与空间几何体的表面积
【例1】水平放置的
，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的
，其中
，
，则
绕
所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( B
)
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知梯形
按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形
，且
，
，
，现将梯形
绕
㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】由题意将梯形
复原为原图，即直角梯形
，其中
，
则
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故将梯形
绕
㯀转一周得到一个几何体为圆台，圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，
母线长为5，故该几何体的侧面积为
，故选：C
【例2】在正四棱台
中，
，若正四棱台的高为
，则其表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】设
，则
，如图，连接
，
交于点
，连接
交于点
，
连接
，由正四棱台的几何性质可知
分别是上下底面的中心，所以
､
平面
平面
，所以
为正四棱台的高，所以由题可知
，过点
作
交
于点
，
则
，即
，解得
，
过点
作
交
于点
，则
为斜高，此时
，
所以正四棱台的表面积为
.故选：D.
【变式2】如图1 所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2 是
小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的
上、下两个底面的边长分别为
和
，正六棱台与正六棱柱的高分别为
和
，则该花灯的表
面积为（ ）
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为
，正六棱柱的底面面积为
，如图所示，正六棱台
中，
，
过点
分别作
垂直于底面
于点
，
连接
相交于点
，则
分别为
的中点，过点
作
⊥
于点
，连接
，则
为正六棱台的斜高，其中
，
，
，由勾股定理得
，故
，
所以正六棱台的斜高为
，故正六棱台的侧面积为
，又正六棱台的下底面面积
为
，所以该花灯的表面积为
．故选：A．
考点二 空间几何体的体积
【例3】如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为
，两段圆弧
所
在圆的半径分别为3 和6，则该圆台的体积为（ ）
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为
，则其面积为
，解得
，所以扇环的两个圆弧长分别为
和
，
设圆台上下底面的半径分别为
，高为，所以
，解得
，
，解得
，作出圆台的轴截面，如图所示：图中
，
，过点
向
作垂线，垂
足为
，则
，
所以圆台的高
，
则上底面面积
，
，
由圆台的体积计算公式可得：
.故选：A.
【变式3】某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为1，且上
底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3，则这个圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，设圆台上下底面圆心分别为
､
为点
在底面的投影点，上下底面圆的半径分别为
､
，
，由题意得
，设上底面圆的面积与下底面圆的面积分别为
，
所以该圆台容器的容积
，
故选：C.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点三 与球有关的切、接问题
【例4】在三棱锥
中，
，
，则三棱锥
的外
接球的表面积为___________.
【详解】在
中，
，
，
所以
，所以
，在
中，
，
，所以
，所以
.又
，
，
平面
，所以
平面
，
在
中，
，所以
的外接圆半径为
，不妨设
的外
接圆圆心为
，三棱锥
的外接球球心为
连接
，由于
，故
在线段
的垂直平分线上，即
故三棱锥
的外接球半径
，外接球的表面积为
.故答案为：
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【变式4】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6 个顶点都在球O 的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB AC
⊥
，AA1
＝12，则球O 的半径为( )
A. B. 2 C. D. 3
【解析】C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M.又AM＝BC＝
×＝，OM＝AA1＝6，所以球O 的半径R＝OA＝＝.
【变式5】“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成
的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个
面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为
，则该多面体外接球的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体
的棱
切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积.
【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：
不妨取两棱中点为
，由题知
，易知
，可得
，所以正方体的棱
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
长为2，该多面体的外接球即为正方体
的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对
角线，长度为
，因此该多面体的外接球的半径为
，所以其表面积为
.故选：A
【变式6】现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小
球的体积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】由圆锥侧面展开图为半圆，设圆锥母线为l，底面半径为R，则
，所以
，可知圆
锥轴截面为正三角形，圆锥高为
,又由当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，轴截面如图示：设
此时小球半径为r，则有
，即
，
故
，
，
所以
，
故选：A
1.中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3 个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥
奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的
方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个
圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内
部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ）
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，取轴截面，如图所示，
分别为
的中点，
可知：
∥
∥
，且
，
可得
，即
，所以该容器中液体的体积为
.故选：A.
2.某圆台的下底面周长是上底面周长的4 倍，母线长为10，该圆台的侧面积为
，则该圆台的体积为
（ ）
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则
，故
，
因为该圆台的侧面积为
，母线长
，所以
，解得
，则
，
所以圆台上底面的面积为
，下底面的面积为
，圆台的高
所以该圆台的体积
．故选：C．
3.在梯形ABCD 中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形
成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．4π
B.(4＋)π C．6π
D．(5＋)π
【答案】D【解析】∵在梯形ABCD 中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD 绕AD
所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2 的圆柱减去一个
底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1 的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋
×2π×1×＝(5＋)π.
4.已知水平放置的四边形
按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中
，
，
，
，则原四边形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【详解】
过点
作
，垂足为
则由已知可得四边形
为矩形，
为等腰直角三角形
，
根据直观图画出原图如下：
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
可得原图形为直角梯形
，且
，可得原四
边形的面积为
故选：B.
5.在直三棱柱
中，
为等边三角形，
，则三棱柱
的外
接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
分别是正三棱柱上、下底面中心，则
的中点
是该三棱柱外接球的球心，求出球半径
后可得体积．【详解】如图，
分别是正三棱柱上、下底面中心，
是棱柱的高，则
的中点
是该三棱柱外接球的球心，外接球半径
．其中
点为
外接圆圆心，
为外接圆半径，
为正三角形，
（
是
边中点）．
所以外接球半径
．从而外接球体积为
．
故选：D．
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
6.已知球
内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为
，
，且
，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，即可得答案.
【详解】如图：为该几何体的轴截面，其中圆
是等腰梯形
的内切圆，
设圆
与梯形的腰相切于点
，与上、下底的分别切于点
，
，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为
，
.注意到
与
均为角平分线，
因此
，从而
，故
.
设圆台的体积为
，球的体积为
，则
.
故选：B.
7.（多选题）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为
，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3
B．正三棱锥的斜高为
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的侧面积为
【答案】ABD 设
为等边三角形
的中心，
为
的中点，连接
，
则
为正三棱锥的高，
为斜高，
又
，
，故
,
故AB 正确.而正三棱锥的体积为
，侧面积为
，故C 错误，D 正
确.故选：ABD.
16
