1
2026 年高二暑假讲义A 版
平面向量
1、向量
既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).
2、向量的表示方法：
①字母表示法：如, , ,
a b c
等.
②几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB
，CD
等.
③坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA
的起点O 为在坐标原点，终点A 坐标为
,x y ，
则
,x y 称为OA
的坐标，记为OA
=
,x y .
2、相等向量：长度相等且方向相同的向量，两向量a
与b
相等，记为a
b
.
4、零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.
5、单位向量：长度等于1 个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.
6、共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.
规定：0
与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量.
7、相反向量：长度相等且方向相反的向量.
题型1
平面向量的概念
题型7
垂直、平行关系应用
题型2
平面向量的线性运算
题型8
投影及投影向量
题型3
平面向量共线定理及其推论
题型9
夹角和模长问题
题型4
平面向量基本定理的应用
题型10 “四心”问题与奔驰定理
题型5
平面向量的线性运算的坐标表示
题型11
坐标法和极化恒等式的应用
题型6
平面向量的数量积运算
知识点1
平面向量的有关概念
2
2026 年高二暑假讲义A 版
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的
运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的
运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a
的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，
当λ>0 时，λa 与a 的方向相同；
当λ<0 时，λa 与a 的方向相反；
当λ＝0 时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
1、共线向量基本定理
如果
(
)
a
b
R
，则
/ /
a
b
；反之，如果
/ /
a
b
且
0
b
，则一定存在唯一的实数，使a
b
．（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、线段定比分点的向量表达式
如图所示，在
ABC
△
中，若点D 是边BC 上的点，且BD
DC
（
1
），则向量
1
AB
AC
AD
．在
向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建
议熟练掌握．
D
A
C
B
3、三点共线定理
平面内三点A，B，C 共线的充要条件是：存在实数,
，使OC
OA
OB
，其中
1
，O 为
平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
知识点2
平面向量的线性运算
知识点5
向量的共线定理
3
2026 年高二暑假讲义A 版
A、B、C 三点共线存在唯一的实数，使得AC
AB
；
存在唯一的实数，使得OC
OA
AB
；
存在唯一的实数，使得
(1
)
OC
OA
OB
；
存在
1
，使得OC
OA
OB
．
4、中线向量定理
如图所示，在
ABC
△
中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量
1 (
2
AD
AB
)
AC
，反之亦正确．
D
A
C
B
1、平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与b ，我们把数量|
||
| cos
a b
叫做a 与b 的数量积（或内积），记作
a b ，即
a b =|
||
| cos
a b
，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
2、平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b 是两个非零向量，如图(1)(2)，OA
→表示向量a，OB
→表示向量b，过点A 作OB
→所在
直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a 得到向量OA1
→的变换称为向量a 向向量b 投影，向量OA1
→
称为向量a 在向量b 上的投影向量.
,
向量a 在向量b 上的投影向量为(|a|cosθ) b
|b|.
3、数量积的运算律
已知向量a 、b 、c 和实数，则：
①
a b
b a ；②(
)
(
)
(
)
a
b =
a b
a
b ；③(
)
a
b
c = a c
b c ．
4、数量积的性质
设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，是a 与e 的夹角，则
知识点4
平面向量的数量积
4
2026 年高二暑假讲义A 版
①
|
| cos
e a
a e
a
．②
0
a
b
a b
．
③当a 与b 同向时，
|
||
|
a b
a b ；当a 与b 反向时，
|
||
|
a b
a b ．
特别地，
2
|
|
a a
a
或|
|
a
a a ．
④cos
|
||
|
a b
a b (|
||
| 0)
a b
．⑤|
| |
||
|
a b
a b
≤
．
1、平面向量基本定理
如果
1
2
,
e e
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数
1
2
,
，使a
1 1
2
2
e
e
，称
1 1
2
2
e
e
为
1
2
,
e e
的线性组合.
注：其中
1
2
,
e e
叫做表示这一平面内所有向量的基底，记为
1
2
,
e e
；平面内任一向量都可以沿两个不
共线向量
1
2
,
e e
的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.当基底
1
2
,
e e
是两个互相垂直的
单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
2、平面向量的正交分解
（1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；
（2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解；
（3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．
（4）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为标准正交基．对
于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O 为起点作OP
→＝a（通常称OP
→为位置向量）．由平面向量基
本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使OP
→＝xi＋yj．因此，a＝xi＋yj．我们把(x，y)称为向量a 在
标准正交基{i，j}下的坐标，向量a 可以表示为a＝(x，y)．
4、点的坐标与向量坐标间的关系
在平面直角坐标系中，点P 的位置被它的位置向量OP
所唯一确定，设点P 的坐标为( , )
x y ，容易
看出
( , )
OP
x
x
x y
i
j
，即点P 的位置向量OP
的坐标( , )
x y 也就是点P 的坐标；反之，点P 在
知识点5
平面向量的基本定理及坐标表示
5
2026 年高二暑假讲义A 版
平面直角坐标系中的坐标也是点P 所决定的位置向量OP
的坐标．
向量( , )
x y
一一对应
向量OA
一一对应
点
( , )
A x y ．
5、平面向量的直角坐标运算
①已知点
1
1
(
)
A x
y
，
，
2
2
(
)
B x
y
，
，则
2
1
2
1
(
)
AB
x
x
y
y
，
，
2
2
2
1
2
1
|
|
(
)
(
)
AB
x
x
y
y
②已知
1
1
(
,
)
a
x y
，
2
2
(
,
)
b
x
y
，则a
b
1
2
1
2
(
)
x
x
y
y
，
，
1
1
(
,
)
a
x
y
，
=
a b
1
2
1
2
x x
y y
，
2
2
1
1
|
|
a
x
y
．a
b
∥
1
2
2
1
0
x y
x y
，a
b
1
2
1
2
0
x x
y y
6、数量积的坐标运算
已知非零向量
1
1
(
)
a
x
y
，
，
2
2
(
)
b
x
y
，
，为向量a、b
的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模
|
|
a
a a
2
2
| a
x
y
|
数量积
|
||
| cos
a b
a b
1
2
1
2
a b
x x
y y
夹角
cos
|
||
|
a b
a
b
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
x x
y y
x
y
x
y
a
b
的充要条件
0
a b
1
2
1
2
0
x x
y y
a
b
∥的充要条件
a
b b
0
（
）
1
2
2
1
0
x y
x y
|
|
a b
与|
||
|
a b
的关系
|
| |
||
|
a b
a b
（当且仅当a
b
∥时等号成立）
1
2
1
2
|
|
x x
y y
≤
2
2
2
2
1
1
2
2
x
y
x
y
1、等和线
平面内一组基底
OB
OA,
及任一向量OP ，
)
,
(
R
OB
OA
OP
，若点P 在直线AB 上或者
在平行于AB 的直线上，则
k
（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的
直线称为等和线.
（1）当等和线恰为直线AB 时，k=1；
知识点6
拓展二级结论
6
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，
)1,0
(
k
；
（3）当直线AB 在点O 与等和线之间时，
)
,1(
k
；
（4）当等和线过O 点时，k=0；
（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数.
2、极化恒等式
设a，b 是平面内的两个向量，则有
2
2
1 (
)
(
)
4
a b
a
b
a
b
①几何解释1（平行四边形模型）以AB ，AD 为一组邻边构造平行四边形ABCD，AB
a AD
b
，
，
则AC
a
b BD
b
a
，
，由
2
2
1 (
)
(
)
4
a b
a
b
a
b
，得
2
2
1
4
AB AD
AC
BD
．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的1
4 ”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，则由
2
2
1
4
AB AD
AC
BD
变形为
2
2
2
2
1
1 4
4
4
4
AB AD
AC
BD
AM
BM
，得
2
2
AB AD
AM
BM
，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
3、“四心”问题
（1）重心的常见向量式
设O 是ABC
的重心, P 为平面内任意一点,则有
①
0
OA
OB
OC
;②
1 (
)
3
PO
PA
PB
PC
③若
(
),
[0,
)
AP
AB
AC
,则动点P 的轨迹经过三角形的重心
④若
,
[0,
)
|
| sin
|
| sin
AB
AC
AP
AB
B
AC
C
,则动点P 的轨迹经过三角形的重心
（2）垂心的常见向量式
若O 是ABC
的垂心, P 为平面内任意一点,则有:
①OA OB
OB OC
OC OA
;②
2
2
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA
BC
OB
CA
OC
AB
7
2026 年高二暑假讲义A 版
③
,
(0,
)
|
| cos
|
| cos
AB
AC
AP
AB
B
AC
C
,则动点P 的轨迹通过ABC
的垂心
（3）内心的常见向量式
若O 是ABC
的垂心,则有：①|
|
|
|
|
|
0
AB PC
BC PA
CA PB
②
,
[0,
)
|
|
|
|
AB
AC
AP
AB
AC
,则动点P 的轨迹经过三角形的内心
（4）外心的常见向量式
若O 是ABC
的外心, P 为平面内任意一点,则
①
2
2
2
|
| |
| |
|
OA
OB
OC
OA
OB
OC
②(
)
(
)
(
)
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
OA
OC
AC
③
,
(0,
)
2
|
| cos
|
| cos
OB
OC
AB
AC
OP
AB
B
AC
C
,则动点P 的轨迹通过外心O .
④若(
)
(
)
(
)
0
OA
OB
AB
OB
OC
BC
OC
OA CA
4、奔驰定理
如图，已知P 为ABC
内一点，则有
0
PBC
PAC
PAB
S
OA
S
OB
S
OC
△
△
△
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
例1、下列向量的概念错误的是（
）
A．长度为0 的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B．零向量和任何向量都是共线向量
C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D．
/ /
a
b
，
/ /
b
c
，则
/ /
a
c
题型1
平面向量的概念
8
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A 正确，
对于B，规定零向量与任意向量共线，故B 正确，
对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者
相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C 正确，
对于D，当b
为零向量时，此时不一定能得到
/ /
a
c
，故D 错误，
故选：D
【变式训练1】（多选）下列结论中正确的为（
）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量AB
与向量BA
的长度相等
C．对任意向量
0 , a
a a
a
是一个单位向量
D．零向量没有方向
【答案】BC
【详解】A：由单位向量的方向不一定相同，故两个有共同起点的单位向量，其终点也不一定相同，
错；
B：由向量AB
、向量BA
的方向相反、模长相同，即长度相等，对；
C：对于任意非零向量a，
a
a
表示与a同向的单位向量，对；
D：根据零向量的定义，其方向任意，错.
故选：BC
【变式训练2】（多选）下列命题正确的是（
）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．若
/ /
a
b
，则a
b
C．若,a b
都为非零向量，则使
0
a
b
a
b
成立的条件是a与b
反向共线
D．若
,
a
b c
b
，则a
c
【答案】CD
【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；
B.由零向量的定义知，零向量与任意向量共线，如
0,0 ,
1,1
a
b
，共线，但不相等，故B 错误；
9
2026 年高二暑假讲义A 版
C.因为
a
a
，
b
b
都是单位向量，所以只有当
a
a
与
b
b
是相反向量，即a
与b
反向共线时才成立，故C
正确；
D.由向量相等的定义知D 正确；
故选：CD.
例2、例2、下列向量的运算结果不正确
．．．的是（
）
A．AB
BC
AC
B．AB
AD
DB
C．
AB
AD
DC
BC
D．
0
OA
OD
AD
【答案】C
【详解】由AB
BC
AC
，故A 正确；
AB
AD
DB
，故B 正确；
AB
AD
DC
AB
AC
CB
，故C 错误；
0
OA
OD
AD
DA
AD
，故D 正确.
故选：C.
【变式训练3】在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 的中点，则AF
（
）
A．1
3
2
4
AB
AD
B．3
1
4
2
AB
AD
C．1
1
2
4
AB
AD
D．1
1
2
2
AB
AD
【答案】B
【详解】依题意，
1
1
1
2
2
2
AF
AB
AE
AB
AE
1
1
1
1
1
3
1
2
2
2
2
2
4
2
AB
AD
DE
AB
AD
AB
AB
AD
.
故选：B
题型2
平面向量的线性运算
10
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练4】如图，已知AB a
= ，AC
b
，
4
BC
BD
，
3
CA
CE
，则DE
（
）
A．5
3
12
4
b
a
B．2
3
a
b
C．3
1
4
3
a
b
D．5
3
12
4
a
b
【答案】A
【详解】因为
4
BC
BD
，
3
CA
CE
，
所以
3
4
DC
BC
，
1
3
CE
CA
，
所以
3
1
3
1
3
5
4
3
4
3
4
12
DE
DC
CE
BC
CA
AC
AB
AC
AB
AC
,
又AB a
= ，AC
b
，
所以
3
5
4
12
DE
a
b
.
故选：A.
【变式训练5】在
ABC
V
中，点M 满足
3
AM
MB
，点N 满足2AN
NC
，E ，F 分别是MN ，BC
的中点，设AB a
= ，AC
b
，则EF
（
）
A．1
1
8
3
a
b
B．3
2
10
3
a
b
C．1
1
4
3
a
b
D．3
2
8
3
a
b
【答案】A
【详解】
∵
3
AM
MB
，2AN
NC
，∴
1
4
MB
AB
，
2
3
NC
AC
.
∵E ，F 分别是MN ，BC 的中点，∴EM
EN
uuuur
uuur，FB
FC
.
又EF
EM
MB
BF
，EF
EN
NC
CF
，∴2EF
MB
NC
，即
1
1
1
1
2
2
8
3
EF
MB
NC
a
b
.
故选：A.
11
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、已知向量a
，b
，
3
2
AB
a
b
，
4
BC
a
b
，
5
7
CD
a
b
，则一定共线的三点是（
）
A．
, ,
A B D
B．
, ,
A B C
C．
,
,
A C D
D．
,
,
B C D
【答案】A
【详解】因为
9
6
3
BD
BC
CD
a
b
AB
，故
, ,
A B D 三点共线, A 正确；
因为
3
2
AB
a
b
，
4
BC
a
b
，
故不存在任何的
R
使得AB
BC
，所以
, ,
A B C 不共线，B 错误；
因为
7
AC
AB
BC
a
b
，
5
7
CD
a
b
，
故不存在任何的
R
使得AC
CD
，所以
,
,
A C D 不共线，C 错误；
因为
4
BC
a
b
，
5
7
CD
a
b
，
故不存在任何的
R
使得BC
CD
，所以
,
,
B C D 不共线，D 错误；
故选：A
【变式训练6】
1
2
AB
e
e
，
1
2
2
3
BC
e
e
，
1
2
3
4
CD
ke
e
，且A、C、D 三点共线，则k=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】因为
1
2
AB
e
e
，
1
2
2
3
BC
e
e
，
1
2
3
4
CD
ke
e
，
所以
1
2
1
2
6
3
,
3
2
3
AC
AB
BC
e
e
AD
AB
B
D
e
k
C
C
e
，
又A、C、D 三点共线，所以AC
AD
，
则
3
3
3
2
6
k
，解得
2
1
3
k
，
故选：B
【变式训练7】已知向量a，b
不共线，且向量a
b
与(
1)
6
a
b
共线，则实数的值为（
）
A．2
或3
B．2
或3
C．3
或2
D．2
【答案】C
【详解】因为向量a，b
不共线，所以
0
a
b
，
又向量a
b
与(
1)
6
a
b
共线，
所以
R
，使
(
1)
6
a
b
a
b
，
题型3
平面向量共线定理及其推论
12
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1
6
，解得
3
或2.
故选：C.
【变式训练8】已知点
, ,
A B C 是直线l 上相异的三点，O为直线l 外一点，且2
3
OA
OB
OC
，则
的值是（
）
A．1
B．1
C．
1
2
D．1
2
【答案】A
【详解】2
3
OA
OB
OC
，即
3
2
2
OA
OB
OC
，
因为点
, ,
A B C 是直线l 上相异的三点，则点
, ,
A B C 三点共线，
则3
1
2
2
，解得
1
.
故选：A.
【变式训练9】如图，在
ABC
V
中，
2
AN
NC
，P 是BN 上一点，若
1
3
AP
t AB
AC
，则实数t 的
值为（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
6
【答案】A
【详解】
2
AN
NC
∵
，
2
AN
AC
AN
，
3
2
AC
AN
，
1
3
AP
t AB
AC
∵
，
1
3
1
3
2
2
AP
t AB
AN
t AB
AN
，
P
∵
是线段BN 上一点，
,
,
B P N
三点共线，
1
1
2
t
，
13
2026 年高二暑假讲义A 版
解得
1
2
t
.
故选A.
【变式训练10】在
ABC
V
中，2BN
NC
，M 是AN 上一点，且
1
3
BM
AB
AC
，则实数的值为
（
）
A．1
3
B．
2
3
C．2
3
D．
1
3
【答案】D
【分析】设AM
mAN
，根据向量的线性运算法则，化简得到
2
(
1)
3
3
m
m
BM
AB
AC
，结合
1
3
BM
AB
AC
，列出方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】因为
,
,
A M N 三点共线，设AM
mAN
，
又因为2BN
NC
，
可得
1
(
)
3
BM
BA
AM
BA
mAN
AB
m
BC
BA
1
2
[ (
)
]
(
1)
3
3
3
m
m
AB
m
AC
AB
BA
AB
AC
，
因为
1
3
BM
AB
AC
，可得
2
1
3
1
3
3
m
m
，可得
1
3
.
故选：D.
【变式训练11】如图
ABC
V
中G 为重心，PQ 过G 点，
,
AP
mAB AQ
nAC
，则1
1
m
n
（
）
A．3
B．2
C．1
D．2
3
【答案】A
【详解】根据题意
2
2 1
1
1
1
3
3
2
2
3
3
AG
AD
AB
AC
AB
AC
；
又因为
,
AP
mAB AQ
nAC
，
,
,
P G Q 三点共线，则存在，使得PQ
PG
，
即
AQ
AP
AG
AP
，即
1
1
1
3
3
3
3
nAC
mAB
AG
AP
AB
AC
mAB
m AB
AC
，
14
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
1
3
3
m
m
n
，整理得3mn
m
n
，所以1
1
3
m
n
.
故选：A.
例4、如图，在
ABC
V
中，
1
2
,
2
3
AM
AB CN
CB
.设
,
AB
a AC
b
.
(1)用,a b
表示
,
AN MN
；
(2)若P 为
ABC
V
内部一点，且
4
1
9
9
BP
a
b
.求证：
, ,
M P N 三点共线.
【答案】(1)
2
1
3
3
AN
a
b
，
1
1
6
3
MN
a
b
；(2)证明见解析
【详解】（1）
1
1
2
1
2
3
1
3
3
3
3
3
AN
AB
BN
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
a
b
，
2
1
1
1
1
1
3
3
2
6
3
6
1
3
MN
AN
AM
AB
AC
AB
AB
AC
a
b
；
（2）
9
1
1
2
9
2
4
1
1
1
18
9
MP
BP
BM
BP
AB
a
b
a
a
b
，
又
1
1
6
3
MN
a
b
，故
3
MN
MP
，
故
, ,
M P N 三点共线.
【变式训练12】如图，在
OAB
△
中，已知P 为线段AB 上一点，
3
BP
PA
，OP
xOA
yOB
．
(1)求实数x ，y 的值；
(2)若
2
OA
，
4
OB
，且OA
与OB
的夹角为120，求OP AB
的值．
【答案】(1)
3
1
4
4
x
y
，
；(2) 1
题型4
平面向量基本定理的应用
15
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）由
3
BP
PA
可得：
3
OP
OB
OA
OP
.
整理得：
1
3
1
3
4
4
4
OP
OA
OB
OA
OB
.
∵OP
xOA
yOB
.
3
1
4
4
x
y
，
.
（2）由
1 知
3
1
4
4
OP
OA
OB
；且
2
OA
，
4
OB
且OA
与OB
的夹角为120.
2
2
3
1
3
1
1
·
·
·
1
4
4
4
2
4
OP AB
OA
OB
OB
OA
OA
OAOB
OB
.
即
1
OP AB
.
【变式训练13】如图，在等腰梯形ABCD 中，2
2
2
6
AD
DC
CB
AB
，E ，F 分别为AB ，AD
的中点，BF 与DE 交于点M ．
(1)令AE
a
，AD
b
，用a
，b
表示BF
；
(2)求线段AM 的长．
【答案】(1)
1
2
2
BF
b
a
；(2)
7
AM
【详解】（1）∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，
∴
1
1
2
2
2
2
BF
AF
AB
AD
AE
b
a
；
（2）设AM
xAB
yAD
，
∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，
所以
2
2
AM
xAB
yAD
xAE
yAD
xAB
yAF
，
因为
, ,
M E D三点共线，
,
,
M B F 三点共线，
所以
2
1
2
1
x
y
x
y
，解得
1
3
1
3
x
y
，
即
1
1
3
3
AM
AB
AD
，
由已知CD 与BE 平行且相等，因此CDEB 是平行四边形，
16
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
3
DE
CB
AD
AE
，
ADE
V
是等边三角形，
2
2
2
2
2
1
1
1
(
)
(
2
)
3
3
9
AM
AM
AB
AD
AB
AB AD
AD
2
2
1 (6
2 6 3cos60
3 )
7
9
所以
7
AM
．
例5、已知
,i j
为一组标准正交基，a
i
j
，b
i
j
，则1
3
2
2
a
b
在基
,i j
下的坐标为（
）
A．
1,2
B．
1, 2
C．
1, 2
D．
1,2
【答案】A
【详解】
1
3
1
3
2
2
2
2
2
a
b
i
j
i
j
i
j
，
则在基
,i j
下的坐标为
1,2
.
故选：A.
【变式训练14】若平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为
1,2 ,
1,1 ,
3,4
A
B
C
，则顶点D 的
坐标为（
）
A．
1,5
B．
5,3
C．
1,4
D．
2,4
【答案】A
【详解】
令顶点D 的坐标为
,
D x y ，又
1,2 ,
1,1 ,
3,4
A
B
C
所以
2, 1
AB
，
3
,4
DC
x
y
如图易知，在平行四边形ABCD中，AB
DC
所以
2
3
1
4
x
y
，解得
1
5
x
y
，所以顶点D 的坐标为
1,5
D
，
故选：A.
【变式训练15】已知
1
1,2
2
a
b
（
），
4, 10
a
b
（
），则a
等于（
）
题型5
平面向量的线性运算的坐标表示
17
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
2, 2
（
）
B．2,2
（
）
C．
2,2
（
）
D．2, 2
（
）
【答案】D
【详解】因为
1
1,2
2
a
b
（
），所以2
2,4
a
b
（
），又
4, 10
a
b
（
），
所以2
2,4
4, 10
6, 6
a
b
a
b
（
）（
）（
），所以3
6, 6
2, 2
a
a
（
），
（
）.
故选：D.
【变式训练16】已知
6,3
AB
，
3,9
AC
，若
1
3
BD
BC
，则AD
（
）
A．
5, 3
B．
6, 2
C．
3,5
D．
2,6
【答案】C
【详解】因为
1
3
BD
BC
，所以
1
3
AD
AB
AC
AB ，
解得
1
2
1
2
3,9
6,3
1,3
4,2
3,5
3
3
3
3
AD
AC
AB
.
故选：C
例6、若向量a
，b
满足
1
a
b
，a
与b
的夹角为60°，则a b
等于（
）
A．1
2
B．3
2
C．
3
1
2
D．2
【答案】A
【详解】
1
1
cos
,
1 1 2
2
a b
a
b
a b
.
故选：A.
【变式训练17】已知向量
(1, 1),
( 2,3),
(1,1)
a
b
c
，则(
)
a
b
c
（
）
A．1
B．0
C．-1
D．-2
【答案】A
【详解】
1,2
a
b
∵
，
1,2
1,1
1 1
2 1
1
a
b
c
.
故选：A.
【变式训练18】已知向量a
，b
满足
2,1
a
b
，
0, 1
a
b
，则a b
（
）
A．2
B．1
C．0
D．1
题型6
平面向量的数量积运算
18
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】因为
2,1
a
b
，
0, 1
a
b
，所以
2
2,0
1,0
a
a
，
2
2,2
1,1
b
b
，所以
1,0
1,1
1
a b
.
故选：D.
【变式训练19】在边长为3 正方形ABCD 中，E 为线段BC 上靠近B 的三等分点，计算EC ED
（
）
A．4
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【详解】以B 为原点建立如图所示直角坐标系，E 是BC 上靠近B 点的三等分点，且边长为3，
所以
0,3 ,
1,0 ,
3,0 ,
3,3
A
E
C
D
，所以
2,0
EC
，
2,3
ED
所以
4
EC ED
.
故选：A.
【变式训练20】在
ABC
V
中，
90
ACB
，
2
AC
，
4
AB
，点D 满足
1
2
CD
AB
，则AD AB
（
）
A．6
B．8
C．8 3
D．12
【答案】D
【详解】解：由题意可得
1
2
AD
AC
CD
AC
AB
，
所以
2
2
2
1
1
1
(
)
4
8
12
2
2
2
AD AB
AC
AB
AB
AC AB
AB
AC
AB
.
故选：D.
19
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、已知向量
2, 1
a
，
3,
b
，
2,4
c
，若2a
b
与
3
b
c
共线，则实数的值为
．
【答案】3
【详解】因为向量
2, 1
a
，
3,
b
，
2,4
c
，
所以
2
1, 2
a
b
，
3
9,
12
b
c
，
因为2a
b
与
3
b
c
共线，
所以
1
12
2
9
，解得
3
．
故答案为：3
【变式训练21】已知向量a，b
满足
1
a
，
2
b
，且
3
2
a
b
b
a
，则
a b
.
【答案】1
【详解】由
3
2
a
b
b
a
得，
3
2
0
a
b
b
a
，
化简得
2
2
3
5
2
0
a
a b
b
，因为
1
a
，
2
b
，
所以3
5
8
0
a b
，解得
1
a b
.
故答案为：1
.
【变式训练22】已知向量
2,2
a
，
1, 2
b
，
,1
c
k
，若
2
/ /
a
b
c
，则k
．
【答案】5
2 / 2.5
【详解】由
2
2 2,2
1, 2
5,2
a
b
,
因为
,1
c
k
，
2
/ /
a
b
c
，所以
5
2
1 5
2
k
k
,
故答案为：5
2
【变式训练23】已知向量
1,1 ,
2,4
a
b
，若
/ /
a
c
，且
a
b
c
，则c
.
【答案】3 2
【详解】设
,
c
x y
，则
2
,4
b
c
x
y
，
由 / /
a
c
，
a
b
c
可得
0
2
4
0
y
x
x
y
，解得
3
3
x
y
，
题型7
垂直、平行关系应用
20
2026 年高二暑假讲义A 版
则
3, 3
c
，所以
2
23
3
3 2
c
r
.
故答案为：3 2 .
【变式训练24】已知向量
1,0 ,
1,2 ,
2
a
b
c
a
b
.
(1)若
a
b
∥c，求实数的值；
(2)若
a
b
b
c
，求实数的值.
【答案】(1)
1
2
；(2)
7
3
【详解】（1）由
1,0 ,
1,2 ,
2
a
b
c
a
b
，得出
2
1,0
2 1,2
3,4
c
a
b
，
1,0
1,2
1 2
a
b
，，因为
a
b
∥c，
所以
3 2
4
1
0
，解得
1
2
；
（2）由
1,0 ,
1,2 ,
2
a
b
c
a
b
，得出
2
1,0
2 1,2
3,4
c
a
b
，
2,2
a
b
，
1,2
3,4
3,2
4
b
c
，
因为
a
b
b
c
，所以
0
a
b
b
c
，
即
2
3
2 2
4
0
，解得：
7
3
.
例8、已知向量,
a b
的夹角为π
4 ，且
2
a
b
，则向量a在向量b
上的投影向量为（
）
A．2b
B．b
C．1
2 b
r
D．1
4 b
【答案】B
【详解】向量a在向量b
上的投影向量为
|
|
π
cos 4
|
| |
|
|
|
a b
b
a
b
b
b
b
b
.
故选：B
【变式训练25】已知向量
3,1 ,
1,0
a
b
，则a
在b
上的投影长为（
）
A．
3
3
B．1
C．
3
D．2
【答案】C
题型8
投影及投影向量
21
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】因为
3,1 ,
1,0
a
b
，
所以
3,1
1,0
3 1 1 0
3
a b
，
2
2
1
0
1
b
，
所以a
在b
上的投影向量为
2
2
3
1,0
3,0
1
a b b
b
，所以
2
3
a b b
b
，
所以a
在b
上的投影长为
3 .
故选：C.
【变式训练26】向量
p、q满足：
1, 1
p
，
2
q
，
2
p
q
q
，则q在p上的投影向量的
模为（
）
A．
2
2
B．1
C．2
D．2 2
【答案】C
【详解】由
2
p
q
q
可得
2
2
p q
q
，即
4
2
p q
ur r
，所以
2
p q
ur r
，
所以q在p上的投影向量的模为
2
2
2
2
1
1
p q
p
.
故选：C
【变式训练27】已知
2,1 ,
3,5
a
b
，则b
a
在a上的投影向量为（
）
A．1 2
,
5 5
B．4 2
,
5 5
C．8 4
,
5 5
.
D．12 6
,
5 5
【答案】D
【详解】因为
2,1 ,
3,5
a
b
，所以
1,4
b
a
，
b
a
在a上的投影向量为
2
1,4
2,1
6
12 6
2,1
2,1
,
|
|
5
5
5
5
b
a
a
a
a
.
故选：D
【变式训练28】已知向量,
a b
满足
1
1,2
7
,
a
b
a
b
,
，则向量a在向量b
方向上的投影向量
为（
）
A．
1 1
,
10 5
B．1 2
,
5 5
C．
1
1
,
10
5
D．
1
2
,
5
5
【答案】C
22
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】因为
1
1,2
7
,
a
b
a
b
,
，
所以
2
2
2
1 2
5
7
a
a b
b
a b
，则
1
2
a b
，
所以向量a在向量b
方向上的投影向量为
2
1
1
1
1
2 1,2
1,2
,
5
10
10
5
a b b
b
.
故选：C.
例9-1、已知
3,
a
m
，
1, 1
b
，且
2
a b
，则
a
b
（
）
A．4
B．2
C．
5
D．1
【答案】A
【详解】因为
3
2
a b
m
，解得
1
m ，
则
3,1
a
，
则
4,0
a
b
，
则
4.
a
b
故选：A
【变式训练29】已知
2
a
，
1
b
，
,
120
a b
，则
2
a
b
（
）
A．4
B．2
C．12
D．13
【答案】B
【详解】因为
2
a
，
1
b
，,
120
a b
，
所以
2
2
1
2
4
4
4
4 2 1
4
2
2
a
b
a
a b
b
.
故选：B.
【变式训练30】已知平面向量
2,0
a
，
1,1
b
，且
2
ma
b
a
b
，则m （
）
A．1
B．1
3
2
C．1
3
2
D．0
【答案】B
【详解】
2,0
a
，
1,1
b
，
2,
2,
2
a
b
a b
，
题型9
夹角和模长问题
23
2026 年高二暑假讲义A 版
2
ma
b
a
b
，两边平方得：
2
2
2
2
2
2
4
4
m a
ma b
b
a
a b
b
，
化简得到，
2
1
0
2
m
m
，则m
1
3
2
.
故选：B.
【变式训练31】设平面内三个非共线的单位向量, ,
a b c
两两之间的夹角相等，则
2
3
a
b
c
（
）
A．1
B．
3
C．5
D．14
【答案】B
【详解】因为平面内三个非共线的单位向量, ,
a b c
两两之间的夹角相等，所以
2π
,
,
,
3
a b
a c
b c
，所以
1
2
a b
a c
b c
所以
2
2
2
2
2
3
(
2
3 )
4
9
4
6
12
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a b
a c
b c
.
故选：B
例9-2、已知向量,a b
满足
1
3
( ,
),
(2, 2 3)
2
2
a
b
，则
,
a b
（
）
A．π
3
B．2π
3
C．3π
4
D．5π
6
【答案】B
【详解】由
1
3
( ,
),
(2, 2 3)
2
2
a
b
，得
1
3
2
( 2 3)
2
2
2
a b
，
2
2
2
2
1
3
|
|
( )
(
)
1,|
|
2
( 2 3)
4
2
2
a
b
，
则
2
1
cos
,
1 4
2
·
a b
a b
a b
，
因0
,
π
a b
，故
2π
,
3
a b
.
故选：B
【变式训练32】已知
3,6 ,
3,
m
n
，若
,
120
m
n n
，则（
）
A．
3
B．2 3
C．3
D．
3
2
【答案】A
【详解】由
cos
,
m
n
n
m
n n
m
n n
，
0,6
m
n
，
2
0
6
6
m
n
，
24
2026 年高二暑假讲义A 版
则
2
2
6
cos120
6
9
，整理可得
2
3
9
0
，解得
3
，经检验，
3
符合题意.
故选：A.
【变式训练33】已知
3
a
，
2
b
，且
2
a
b
a
b
，则cos
,a b
（
）
A．
2 2
3
B．
3
3
C．
3
3
D．2 2
3
【答案】C
【详解】由
2
a
b
a
b
两边平方得，
2
2
2
2
2
4
4
a
a b
b
a
a b
b
，所以
2
a b
．
2
3
cos
,
3
3
2
a b
a b
a b
∴
，
故选：C．
【变式训练34】已知向量
1,
3
, 1
a
b
x
，
，若a
b
与b
的夹角为锐角，则x 的取值范围为
（
）
A．
2,1
B．
1,2
C．
1
1
1,
,2
3
3
D．
1
1
2,
,1
3
3
【答案】C
【详解】因为
1, 3 ,
, 1
a
b
x
，所以
1
, 2
a
b
x
.
由于向量a
b
与b
的夹角为锐角，所以
·
0
a
b b
，并去掉两者同向共线的情况，
则
1
2
0
x x
，且2
1
x
x
，解得
1
1
1,
,2
3
3
x
，
则x 的取值范围为
1
1
1,
,2
3
3
.
故选：C.
例10、在△ABC 中，O 为BC 的中点，若
0
MO BC
，则动点M 的轨迹必通过△ABC 的（
）
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【详解】因为
0
MO BC
，所以MO
BC
，
题型10 “四心”问题与奔驰定理
25
2026 年高二暑假讲义A 版
又因为O 是BC 的中点，所以直线MO 是BC 的中垂线，
故动点M 的轨迹必通过
ABC
V
的外心.
故选：B.
【变式训练35】已知
ABC
V
的重心为
,
3
G AD
DC
，延长DG 交AB 于点E ，则BE
（
）
A．2
5 BA
B．1
2 BA
C．3
5 BA
D．2
3 BA
【答案】A
【详解】由G 是
ABC
V
的重心，得
2 1 (
)
3 2
AG
AB
AC
，令AB
AE
，
由
3
AD
DC
，得
4
3
AC
AD
，则
1
4
4
(
)
3
3
3
9
AG
AE
AD
AE
AD
，
又点
,
,
D G E 共线，即
4
1
3
9
，解得
5
3
，即
5
3
AB
AE
，所以
2
5
BE
BA
.
故选：A
【变式训练36】已知
ABC
V
，若点P 满足
|
|
|
|
AB
AC
AP
AB
AC
，其中
R
，则点P 的轨迹一定通
过
ABC
V
的（
）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【答案】B
【详解】
AB
AC
AB
AC
指向角A 的平分线方向，
而
AB
AC
AB
AC
与
AB
AC
AB
AC
是平行的，所以依旧指向角A 的平分线方向，
所以点P 的轨迹即为角A 的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A 的平分线上，
所以点P 的轨迹会经过内心.
故选：B.
【变式训练37】已知O 是
ABC
V
内一点，
0
OA
OB
OC
，
2 3
AB AC
且
30
BAC
，则
OBC
△
26
2026 年高二暑假讲义A 版
的面积为（
）
A．
3
B．
3
3
C．1
D．1
3
【答案】D
【详解】由题意知O 是
ABC
V
内一点，
0
OA
OB
OC
，
设D 为BC 的中点，则
2
OA
OB
OC
OD
，
故O 为
ABC
V
的重心，则
1
3
OBC
ABC
S
S
△
△
，
又
2 3
AB AC
且
30
BAC
，则
cos
2 3,
4
AB AC
BAC
AB AC
，
故
1
1
1
sin
4
1
2
2
2
ABC
S
AB AC
BAC
，
则
1
1
3
3
OBC
ABC
S
S
，
故选：D
【变式训练38】点O为
ABC
V
内一点，若
:
:
4:3: 2
AOB
BOC
AOC
S
S
S
，设AO
AB
AC
，则实
数和的值分别为（
）
A．2
9 ，4
9
B．4
9 ，2
9
C．1
9 ，2
9
D．2
9 ，1
9
【答案】A
【详解】如图所示，延长AO 交BC 于Q ，
显然
AOB
BOC
AOC
ABC
S
S
S
S
，
由面积关系可得
BOC
ABC
S
OQ
S
AQ
，所以
AOB
AOC
ABC
S
S
AO
AQ
S
，
而
AOC
AOB
AOC
AOB
AOC
AOB
QC
QB
S
S
AQ
AB
AC
AB
AC
S
S
S
S
BC
BC
，
27
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
AOC
AOB
ABC
ABC
S
S
AO
AO
OB
AO
OC
S
S
，
所以
0
AOC
AOB
BOC
S
OB
S
OC
S
AO
，即
0
AOC
AOB
BOC
S
OB
S
OC
S
OA
，
又由题可知
:
:
4:3: 2
AOB
BOC
AOC
S
S
S
，所以4
3
2
0
OC
OA
OB
，
所以
4
3
2
0
OA
AC
OA
OA
AB
，整理得2
4
9
AB
AC
AO
，
所以
2
4
,
9
9
，
故选：A
例11、边长为2 的正方形ABCD 上有一动点P ，则向量AB AP
的最大值是（
）
A．1
B．2
C．2 2
D．4
【答案】D
【详解】如图，分别以
,
AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，
则
(0,0), (2,0),
(2,2),
(0,2)
A
B
C
D
，
设
( , )
P x y
0
2,0
2
x
y
，则
(2,0)
AB
，
( , )
AP
x y
，所以
2
AB AP
x
，
当P 在边AB 或CD 上时，0
2
x
，所以0
4
AB AP
uuur uuur
，
当P 在边BC 上时，
2
x
，所以
4
AB AP
，
当P 在AD 边上时，
0
x
，所以
0
AB AP
，
所以AB AP
的取值范围是
0,4 ，所以向量AB AP
的最大值是4 ．
故选：D.
【变式训练39】在等腰梯形ABCD中，
/ /
AB
DC ，
2
2
2
AB
BC
CD
，P 是底边AB 上的动点，
则PD PC
的最小值为（
）
A．2 2
B．2
C．3
2
D．1
2
题型11
坐标法和极化恒等式的应用
28
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】根据题意，以A 为原点，射线AB 为x 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
因
2
2
2
AB
BC
CD
，易推得
60
DAB
，则
1
3
( ,
)
2
2
D
，
3
3
( ,
)
2
2
C
，
设
,0
P a
，其中0
2
a
，则
1
3
(
,
)
2
2
PD
a
，
3
3
(
,
)
2
2
PC
a
，
于是，
2
2
1
3
3
3
1
(
)(
)
2
(
1)
2
2
4
2
2
PD PC
a
a
a
a
a
，
故当
1
a 时，PD PC
取得最小值为1
2 .
故答案为：D．
【变式训练40】在
ABC
V
中，内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
4
b
，D 为AC 的中点，且
3
BD
，
则BA BC
（
）
A．3
B．5
C．6
D．12
【答案】B
【详解】已知
4
b
，所以
4
AC
，
因为D 为AC 的中点，所以
2
AD
DC
且
3
BD
，则
2
2
·
·
9
4
5
BA BC
BD
DA
BD
DC
BD
DA
BD
DA
BD
DA
.
故选：B.
【变式训练41】ABC
V
是边长为2 的正三角形，P 为
ABC
V
所在平面内任意一点，则
PA
PB
PC
的最小值为（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．
5
2
D．-2
【答案】B
【详解】设BC 的中点为
,
D AD 的中点为E，
则有
2
PB
PC
PD
，
则
2
PA
PB
PC
PA PD
，
而
PA PD
PE
EA
PE
ED
PE
EA
PE
EA
2
2
PE
EA
29
2026 年高二暑假讲义A 版
而
3
2
EA
，
2
2
2
3
4
PE
EA
PE
，
故当P 与E 重合时，
2
2
PE
EA
有最小值
3
4
，
所以
PA
PB
PC
的最小值为
3
2
，
故选：B.
【变式训练42】在菱形ABCD 中，
π
|
| 4,
3
AB
DAB
，点P 在线段CD 上，则PA PB
的最小值是（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】A
【详解】
取AB 的中点Q，
2
2
2
1
1
(
)
(
)
4
4
4
PA PB
PA
PB
PA
PB
PQ
，
因为
π
|
| 4,
3
AB
DAB
，所以AB 边上的高为2 3 ，所以
2
12
PQ
，从而
8
PA PB
．
故选：A
一、单选题
1、下列说法正确的是（
）
A．若,a b
为单位向量，则a
b
B．若,a b
为平行向量，则a
b
C．若|
| |
|
a
b
，则a
b
D．若a
b
，则|
| |
|
a
b
【答案】D
30
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】由向量相等的概念可知a
b
|
| |
|
a
b
且,
a b
方向相同.
对A：,a b
为单位向量可得|
| |
|
a
b
，但,
a b
方向未必相同，故a
b
未必成立，故A 错误；
对B：,a b
为平行向量，不能说明|
| |
|
a
b
，也不能说明,
a b
方向相同，所以不能说明a
b
，故B 错
误；
对C：仅|
| |
|
a
b
，不能说明a
b
，故C 错误；
对D：若a
b
，则|
| |
|
a
b
正确，故D 正确.
故选：D
2、如图，在△ABC 中，
3
2
BD
DC AF
FC
，
，E 是AD 的中点，则EF
（
）
A．1
7
8
24
AB
AC
B．
1
1
6
3
AB
AC
C．1
1
6
3
AB
AC
D．
1
7
8
24
AB
AC
【答案】D
【详解】在ABC
中，
3
2
BD
DC AF
FC
，
，E 是AD 的中点，
则
2
1
2
1
1
3
7
1
3
2
3
2
4
4
24
8
EF
AF
AE
AC
AD
AC
AB
AC
AC
AB
.
故选：D.
3、已知
2,1
A
，
1,5
B
，则与向量AB
方向相反的单位向量为（
）．
A．
3 4
,
5 5
B．
4 3
,
5 5
C．3
4
,
5
5
D．4
3
,
5
5
【答案】C
【详解】由
2,1
A
，
1,5
B
，可得向量
1,5
2,1
3,4
AB
，
则与向量AB
方向相反的单位向量为
3,4
1
3
4
3, 4
,
5
5
5
3,4
AB
AB
，
故选：C.
4、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点
,
O G 为
OAB
△
的重心，若
AG
xAB
yAD
，则x
y
（
）
31
2026 年高二暑假讲义A 版
A．1
3
B．3
4
C．1
2
D．5
6
【答案】A
【详解】如图，延长AG 与BO 相交于点E ，可得E 为OB 的中点，可得
3
DE
EB
，
由DE
3EB
，有
3(
)
AE
AD
AB
AE
，有
3
1
4
4
AE
AB
AD
，
又由
2
3
AG
AE
2
3
1
3
4
4
AB
AD
1
1
2
6
AB
AD
，
有
1
1
,
2
6
x
y
，可得
1
1
1
2
6
3
x
y
.
故选：A.
5、已知向量a
与b
的夹角为π
6 ，且
1 ,
3
2
a
b
，则
3
a
b
（
）
A．91
4
B．
91
2
C．91
2
D．
91
4
【答案】B
【详解】因为向量a
与b
的夹角为π
6 ，且
1 ,
3
2
a
b
，可得
π
1
3
3
cos
3
6
2
2
4
a b
a b
，
则
2
2
2
2
1
3
91
3
(
3 )
9
6
9 3
6
4
4
4
a
b
a
b
a
b
a b
，
所以
91
3
2
a
b
.
故选：B.
6、已知向量
2 1
(1,2),
(2, 2),
(
, )2
a
b
c
m
，若
// 2
c
a
b
，则实数m （
）
A．
1
2
B．1
2
C．1
D．1
【答案】C
【详解】由
(1,2)
a
，
(2, 2)
b
，得2
(2,4)
(2, 2)
(4,2)
a
b
，
因为
// 2
c
a
b
，
2 1
, 2
c
m
，所以
2
1
2
4
2
m
，解得
1
m ．
32
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：C．
7、已知非零向量a，b
满足
2a
b
b
，且
2
a
b
a
，则a与b
的夹角大小为（
）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
【答案】B
【详解】因为
2a
b
b
，所以
2
2
0
2
|
|
a
b
b
a b
b
①，
因为
2
a
b
a
，所以
2
2
0
|
|
2
a
b
a
a
a b
②，
联立①②可得
2
|
|
a
2
|
|
b
，又向量a，b
为非零向量，所以|
| |
|
a
b
，
设向量a，b
的夹角为，0
，
则
2
2
1
1
2
cos
2
a
a b
a
b
a
q
×
=
=
=
×
，所以
3
.
故选：B
二、多选题
8、已知向量
2, 3 ,
2,1
a
b
，则下列结论正确的是（）
A．
1
a b
B．
13
a
C．a
与b
的夹角为钝角
D．a
在b
上的投影向量的坐标为2 1
,
5 5
【答案】ABD
【详解】对A：
2 2
3
1
4
3
1
a b
，故A 正确；
对B：
2
4
9
13
a
a
，故B 正确；
对C：由
1
0
a b
，故a
与b
的夹角为锐角，故C 错误；
对D：
2
1
1
2 1,
4 1
5
5 5
a b b
b
b
b
，故D 正确.
故选：ABD.
9、设
1e，
2e是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（
）
A．
1
2
e
e
和
1
2
7
2
e
e
B．
1
2
2
e
e
和
1
2
2e
e
C．
1
2
2
e
e
和
1
2
1
2 e
e
D．
2e和
1
2
e
e
33
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】ABD
【详解】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量，
对于A，因为1
1
7
2
，所以
1
2
e
e
和
1
2
7
2
e
e
不共线，可以作为基底；
对于B，因为1
2
2
1
，所以
1
2
2
e
e
和
1
2
2e
e
不共线，可以作为基底；
对于C，因为
1
2
1
2
1
2
2
2
e
e
e
e
，所以
1
2
2
e
e
和
1
2
1
2 e
e
共线，不可以作为基底；
对于D，因为0
1
1
1
，所以
2e和
1
2
e
e
不共线，可以作为基底．
故选：ABD．
10、下列说法中正确的是（
）
A．若AB
CD
，则AB
CD
，且A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形
B．若m 为非零实数，且a
mb
，则非零向量a与b
共线
C．在
ABC
V
中，若
3
AB
AC
AO
AB
AC
，则点O一定在角A 的平分线上
D．若向量a b
∥，则a与b
的方向相同或相反
【答案】BC
【详解】对于A，如果在线段AD 上，B ，C 为线段AD 的四等分点，满足AB
CD
，且AB
CD
，
但A 、B 、C 、D 四点不能构成平行四边形，故A 错误；
对于B，设m 为非零实数，且a
mb
，则非零向量a与b
共线，故B 正确；
对于C，因为
AB
AB
，
AC
AC
分别为向量AB
，AC
方向上的单位向量，所以
AB
AC
AB
AC
的方向与
BAC
的角平分线重合，
又
3
AB
AC
AO
AB
AC
，可得向量AO
所在直线与
BAC
的角平分线重合，所以点O一定在角A 的
平分线上，故C 正确
对于D，若向量a b
∥，则a与b
的方向相同或相反，或a与b
中至少有一个为零向量，故D 错误.
故选：BC
三、填空题
11、已知向量
4,3 ,
,1
a
b
x
，且
/ /
a
b
，则实数x 的值为
．
34
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】4
3
【详解】
/ /
a
b
∵
，
4 1 3
0
x
，解得
4
3
x
.
故答案为：4
3 .
12、已知平面向量a
，b
满足
2
a
，
1
b
，且a
在b
上的投影向量为1
2 b
r
，则a b
【答案】1
2 /0.5
【详解】a
在b
上的投影向量为
2
1
2
a b b
b
b
，
故
2
1
2
a b
b
，故
2
1
1
2
2
a b
b
.
故答案为：1
2
13、如图，在矩形ABCD中，
3
AB
，
1
AD ，点P 在CD边上．
①若
1
AP AB
，则
,
AP BD
；
②AP BD
的取值范围是
．
【答案】
π
2
2,1
【详解】由题意以A 点为原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标
系，如图所示，
则
0,0
A
，
3,0
B
，
0,1
D
，设
,1
P x
，
0, 3
x
，
即
,1
AP
x
，
3,0
AB
，
3,1
BD
，
35
2026 年高二暑假讲义A 版
空①：由
1
AP AB
，即3
1
x ，解得
3
3
x
，则
3 ,1
3
P
，
所以
·
1 1
cos
,
0
4
2
3
AP BD
AP BD
AP BD
，所以
π
,
2
AP BD
；
空②：
·
3
1
AP BD
x
，因为0
3
x
，则
3
1
2,1
x
，
所以
·
AP BD
的取值范围是
2,1
.
故答案为：π
2 ；
2,1
.
四、解答题
14、设a，b
是两个向量，
(1)若a，b
不共线，且9
1
(
)//(
)
2
2
a
mb
ma
b
，求实数m 的值；
(2)已知向量a，b
满足
2
a
r
，
1
b
，
2
·
0
a
b a
，求2a
b
.
【答案】(1)
3
m ；(2)5
【详解】（1）
,
a b
∵
是两个不共线的向量，
1
0
2 ma
b
，
9
1
/ /
2
2
a
mb
ma
b
∵
，
9
1
1
2
2
2
a
mb
ma
b
ma
b
，
9
1
2
2
m
m
，解得
3
m .
（2）
2
2,
1,
2
|
|
2
0
a
b
a
b
a
a
a b
∵
，
4
2
0
a b
，
2
a b
2
2
2
2
(2
)
4
|
4
|
4
4
4
2
1
25
5
a
b
a
b
a
a b
b
.
15、如图所示，在平行四边形ABCD 中，
3
4
AE
AB
，记
,
AD
a AC
b
.
36
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)用向量,a b
表示向量AE
和DE
；
(2)若
3
AD
AE
，且
11
2
AC DE
，求cos
,
a b
【答案】(1)
3
3
4
4
AE
b
a
，
3
7
4
4
DE
b
a
；(2)
5
15
【详解】（1）由向量加法的平行四边形法则得AC
AB
AD
，
又
3
4
AE
AB
，所以
4
3
AB
AE
，所以
4
3
AC
AE
AD
，
解得
3
3
3
3
4
4
4
4
AE
AC
AD
b
a
.
3
3
3
7
4
4
4
4
DE
AE
AD
b
a
a
b
a
.
（2）因为
3
3
4
4
AE
b
a
，
3
AD
AE
，
所以
2
2
2
2
9
9
9
9
9
9
9
9
16
16
8
16
16
8
AE
b
a
a b
b
a b
①，
又
2
3
7
3
7
11
4
4
4
4
2
AC DE
b
b
a
b
a b
②，
联立①②解得
5
b
，
1
a b
，
所以
1
5
cos
,
15
3 5
a b
a b
a b
.
16、如图，在平行四边形ABCD 中，已知
4
AB
，
2
AD
，
π
3
BAD
，E 是AB 的中点，AC 与DE
交于点M ，设AB
a
，AD
b
．
(1)用a ，b 表示向量AC
，ED
；
(2)求
DMC
的余弦值．
【答案】(1)
1
2
AC
a
b ED
b
a
，
；(2)
7
14
【详解】（1）因为平行四边形ABCD ，AB
a
，AD
b
，
所以AC
AB
AD
a
b
．
又因为E 是AB 的中点，
37
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
1
1
2
2
ED
AD
AE
AD
AB
b
a
．
（2）解法一：
2
2
1
1
1
2
2
2
AC ED
a
b
b
a
a
a b
b
，
2
2
1
1
π
1
1
cos
8
4
2
4
2
2
2
3
2
2
a
a b
b
．
2
2
2
1
2
16
2 4 2
4
2 7
2
AC
a
b
a
a b
b
．
2
2
2
1
1
1
4
4
2
4
2
2
4
2
ED
b
a
b
a b
a
．
因为AC
与ED
的夹角为
DMC
，
所以
2
7
cos
14
2 2 7
AC ED
DMC
AC
ED
．
解法二：因为平行四边形ABCD 中
4
AB
，
2
AD
，
π
3
BAD
，
所以
ADC
△
中，
2
DA
，
4
DC
，
2π
3
ADC
，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AC
DA
DC
DA DC
ADC
2π
4 16
2 2 4 cos
28
3
，故
2 7
AC
．
因为
//
AB CD，E 是AB 的中点，所以
1
2
AE
ME
MA
CD
MD
MC
，
所以
2
4 7
3
3
MC
AC
，
2
4
3
3
MD
ED
．
在DMC
中，由余弦定理得
2
2
2
cos
2
MD
MC
DC
DMC
MD MC
2
2
2
4
4 7
4
3
3
7
14
4
4 7
2
3
3
．
解法三：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴如图建系，
则
0,0
A
，
5, 3
C
，
2,0
E
，
1, 3
D
，
所以
5, 3
AC
，
1, 3
ED
，
25
3
2 7
AC
，
1 3
2
ED
，
38
2026 年高二暑假讲义A 版
5
1
3
3
2
AC ED
．因为AC
与ED
的夹角为
DMC
，
所以
2
7
cos
14
2 2 7
AC ED
DMC
AC
ED
．
解法四：因为平行四边形ABCD 中
4
AB
，
2
AD
，
π
3
BAD
，
所以
ADC
△
中，
2
DA
，
4
DC
，
2π
3
ADC
，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AC
DA
DC
DA DC
ADC
2π
4 16
2 2 4 cos
28
3
，故
2 7
AC
．
在ACD
中，由正弦定理sin
sin
AC
CD
ADC
DAC
得
3
4
sin
21
2
sin
7
2 7
CD
ADC
DAC
AC
，
2
2 7
cos
1 sin
7
DAC
DAC
，
所以
π
1
3
cos
cos
cos
sin
3
2
2
DMC
DAC
DAC
DAC
1
2 7
3
21
7
2
7
2
7
14
．
39
2026 年高二暑假讲义A 版
解三角形
1、正余弦定理：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
=
=
2
sin
sin
sinC
a
b
c
R
A
B
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
；
2
2
2
2
cosB
b
c
a
ac
；
2
2
2
2
cosC
c
a
b
ab
.
常见变形
(1)
2 sin
a
R
A
，
2 sinB
b
R
，
2 sinC
c
R
；
(2)sin
2
a
A
R
，sinB
2
b
R
，sinC
2
c
R
；
2
2
2
cosA
2
b
c
a
bc
；
2
2
2
cosB
2
c
a
b
ac
；
2
2
2
cosC
2
a
b
c
ab
.
2、三角形面积公式：
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S ABC
ab
C
bc
A
ac
B
1 (
)
4
2
abc
S ABC
a
b
c
r
R
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
1、正弦定理的应用
①边化角，角化边
: :
sin
:sin
:sin
a b c
A
B
C
②大边对大角大角对大边
题型1
余弦定理解三角形
题型6
三角形面积公式的应用
题型2
正弦定理解三角形
题型7
实际问题中距离、高度、角度的测量
题型3
正、余弦定理综合解三角形
题型8
中线、角平分线的应用
题型4
判断三角形形状
题型9
解三角形中的图形问题
题型5
三角形解的个数
知识点1
正余弦定理和三角形面积
知识点2
公式的相关应用
40
2026 年高二暑假讲义A 版
sin
sin
cos
cos
a
b
A
B
A
B
A
B
③合分比：
b
2
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin B
sin
a
b
c
a
b
b
c
a
c
a
c
R
A
B
C
A
B
B
C
A
C
A
C
2、
ABC
△
内角和定理：A
B
C
①sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
cos
cos
c
a
B
b
A
②
cos
cos(
)
cos
cos
sinAsinB
C
A
B
A
B
；
3、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有, ,
a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A
B
C
．
4、三角形中的射影定理
在ABC
中，
cos
cos
a
b
C
c
B
；
cos
cos
b
a
C
c
A
；
cos
cos
c
b
A
a
B
．
1、已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，
三角形不能被唯一确定.
3、从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已
知a,b 和A，解三角形为例加以说明，由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
（1）若
B=
>1，则满足条件的三角形的个数为0；
（2）若
B=
=1，则满足条件的三角形的个数为1；
（3）若
B=
<1，则满足条件的三角形的个数为1 或2.
显然由0<
B=
<1 可得B 有两个值，一个大于
，一个小于
，考虑到“大边对大角”、“三
角形内角和等于
”等，此时需进行讨论.
知识点3
对三角形解的个数的研究
41
2026 年高二暑假讲义A 版
1、解三角形的实际应用
（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角
叫俯角(如图①)．
（2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角。北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如
图③)；北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比．
2、测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB 的长度不可直接测量时，求AB 的距离有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
A,B 间不可达
也不可视
测得AC=b，BC=a，C 的大小，则由余弦定理
得
B, C 与点A 可
视但不可达
测得BC=a，B，C 的大小，则A=π-(B+ C)，
由正弦定理得
C,D 与点A,B
均可视不可达
测得CD=a 及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC
的度数.在△ACD 中，用正弦定理求AC；在
△BCD 中，用正弦定理求BC；在△ABC 中，
用余弦定理求AB.
知识点4
测量问题的基本类型和解决思路
42
2026 年高二暑假讲义A 版
3、测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB 的高度不可直接测量时，求AB 的高度有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
底部
可达
测得BC=a，C 的大小，AB=a·tan C.
底
部
不
可
达
点B 与
C,D 共
线
测得CD=a 及∠ACB 与∠ADB 的度数.
先由正弦定理求出AC 或AD,再解直角三角
形得AB 的值.
点B 与
C , D 不
共线
测得CD=a 及∠BCD,∠BDC,∠ACB 的度数.
在△BCD 中由正弦定理求得BC，再解直角
三角形得AB 的值.
4、测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题
意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
例1、在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
1
a ，
2 2
b
，
13
c
，则
C
.
【答案】3π
4
【详解】利用余弦定理可得
2
2
2
1 8 13
2
cos
2
2
2 1 2 2
a
b
c
C
ab
，
又因为
0,π
C
，所以
3π
4
C
．
题型1
余弦定理解三角形
43
2026 年高二暑假讲义A 版
故答案为：3π
4 .
【变式训练1】在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
2 2
a
，
6
c
，
π
3
C
，
则b （
）
A．2
B．
3
C．2
D．2 2
【答案】A
【详解】由
2
π
6
8
2 2 2 cos 3
b
b
，得
2
2 2
2
0
b
b
，解得
2
b
．
故选：A.
【变式训练2】已知平行四边形ABCD ，对角线
2 7
AC
，
2 3
BD
，
4
AB
，则边AD
.
【答案】2
【详解】如图：
取AC 与BD 的交点为O，则O为平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点.
在
OAB
△
中，由
2
2
2
cos
2
OA
OB
AB
AOB
OA OB
7
3 16
2
7
3
21
7
.
所以
21
cos
7
AOD
.
在
AOD
△
中，
2
2
2
2
cos
AD
OA
OD
OA OD
AOD
21
7
3
2
7
3
7
4
，
所以
2
AD
.
故答案为：2
例2、已知a，b，c 分别是
ABC
V
的三个内角A，B，C 所对的边.若
3
a
，
π
3
A
，
3
cos
3
B
，则
b
.
【答案】2 2
【详解】因为
3
cos
3
B
，且B 为三角形的内角，所以
6
sin
3
B
.
题型2
正弦定理解三角形
44
2026 年高二暑假讲义A 版
由正弦定理，得：sin
sin
a
b
A
B
sin
sin
a
B
b
A
6
3
3
π
sin 3
2 2
.
故答案为：2 2
【变式训练3】
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
45
B
，
60
C
，
3
6
2
c
，则
b 的值为
.
【答案】3
【详解】在
ABC
V
中，由正弦定理可得sin
sin
b
c
B
C
，
又
45
B
，
60
C
，
3
6
2
c
，
sin 45
sin 6
3
6
2
0
b
，
所以
2
3
2
3
2
6
2
b
，解得
3
b
.
故答案为：3.
【变式训练4】在
ABC
V
中，sin
cos
b
C
c
B
，则
B
（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】B
【详解】已知sin
cos
b
C
c
B
，由正弦定理可得：sin sin
sin cos
B
C
C
B
，
因为0
π
C
，所以sin
0
C
，得到sin
cos
B
B
，即
sin
tan
1
cos
B
B
B
.
又因为0
π
B
，所以
π
4
B
.
故选：B
【变式训练5】
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cos
cos
4 sin
a
B
b
A
c
C
，
1
cos
4
A
，则a
c （
）
A．16
B．15
C．1
4
D．4
【答案】B
【详解】由cos
cos
4 sin
a
B
b
A
c
C
，则
2
sin
cos
sin
cos
4sin
A
B
B
A
C
，
即
sin
4sin
A
B
C
，由
π
A
B
C
，则
2
sin
sin
4sin
A
B
C
C
，
由0
π
C
，则
1
sin
4
C
，
45
2026 年高二暑假讲义A 版
因为
1
cos
,
0,π
4
A
A
,所以
2
15
sin
1 cos
4
A
A
，
所以
sin
15
sin
a
A
C
C
.
故选：B.
例3、在
ABC
V
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2π
1,
3,
3
b
c
C
，则a 的值为（
）
A．2
B．3
C．1
D．4
【答案】C
【详解】
由正弦定理得: sin
sin
c
b
C
B
.
则
2π
1 sin
1
3
sin
2
3
B
.
又因为
2π
3
C
，所以
π
0, 2
B
，
所以
2
1
3
cos
0,cos
1
2
2
B
B
，
在
ABC
V
中由余弦定理得:
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
.代入得:
2
2
3
1
3
2
3
2
a
a
. 解得:
1
a
或
2
a
，
又因为
2π
3
C
，则
3
a
. 故
1
a ，
故选：C.
【变式训练6】
ABC
V
的三内角A，B，C 所对边长分别是a，b，c，若sin
sin
2
sin
B
A
a
c
C
a
b
，则角
B 的大小为（
）
A．3π
4
B．5π
6
C．π
3
D．π
4
【答案】A
题型3
正、余弦定理综合解三角形
46
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】在
ABC
V
中，由正弦定理
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
，可得：sin
,sin
2
2
b
a
B
A
R
R
，sin
2
c
C
R
，
sin
sin
2
sin
B
A
a
c
C
a
b
∵
，可得：
2
b
a
a
c
c
a
b
，整理可得：
2
2
2
2
c
a
b
ac
，
由余弦定理可得：
2
2
2
2
cos
2
2
c
a
b
B
ac
，
3π
(0,π),
4
B
B
∵
.
故选：A.
【变式训练7】在
ABC
V
中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos
cos
2
B
b
C
a
c
.
(1)求B 的大小；
(2)若
19
b
，
5
a
c
，求a 的值.
【答案】(1)
2π
3
B
；(2)
2
a
或
3
a
【详解】（1）由已知cos
cos
2
B
b
C
a
c
，
根据正弦定理可得cos
sin
cos
2sin
sin
B
B
C
A
C
，
即2sin
cos
sin
cos
sin
cos
A
B
C
B
B
C
，
则
2sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin
A
B
B
C
B
C
B
C
，
又在
ABC
V
中，
sin
sin
B
C
A
，
即2sin
cos
sin
A
B
A
，
又
0,π
A
，sin
0
A
，所以2cos
1
B ，
1
cos
2
B
，
由
0,π
B
，所以
2π
3
B
；
（2）由余弦定理可知
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，
即
2
2
1
19
5
2
5
2
a
a
a
a
，
即
2
5
6
0
a
a
，
解得
2
a
或
3
a
.
【变式训练8】已知
ABC
V
的内角A B C
､､
所对的边分别为
,
a b c
､､
2 3,
3
a
b
，且满足
sin
sin
sin
sin
b
a
B
C
c
A
B
，
(1)求角A 的值；
47
2026 年高二暑假讲义A 版
(2)求
π
sin 2
6
B
的值.
【答案】(1)
π
3
A
；(2) 3 21 1
16
【详解】（1）因为
sin
sin
sin
sin
b
a
B
C
c
A
B
，
由正弦定理可得b
a
b
c
c
a
b
，
整理得
2
2
2
b
c
a
bc
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
，
且
0,π
A
，所以
π
3
A
.
（2）由正弦定理知
3
2 3
3
,
,
sin
sin
sin
sin
4
3
2
b
a
B
B
A
B
，
又
7
,
,
cos
,
4
b
a
B
A
B
3
7
3 7
sin2
2sin cos
2
4
4
8
B
B
B
，
2
2
7
1
cos2
2cos
1
2
1
4
8
B
B
，
π
π
π
3 7
3
1
1
3 21 1
sin 2
sin2 cos
cos2 sin
6
6
6
8
2
8
2
16
B
B
B
.
例4、在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
2
2
2
b
a
c
ab
，若
2
sin
sin
sin
A
B
C
，
则三角形的形状为（
）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】D
【详解】在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
2
2
2
b
a
c
ab
，
则
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
a
c
ab
C
ab
ab
．由于0
π
C
，故
π
3
C
．
由于
2
sin
sin
sin
A
B
C
，利用正弦定理，得
2
ab
c
，所以
2
2
2
0
b
a
ab
，故a
b
，
所以
ABC
V
为等边三角形．
故选：D.
【变式训练9】在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin
sin
11
sin
sin
9
A
B
A
C
，sin
sin
10
sin
sin
9
B
C
A
C
，
题型4
判断三角形形状
48
2026 年高二暑假讲义A 版
则
ABC
V
的形状是（
）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不确定的
【答案】C
【详解】因为sin
sin
11
sin
sin
9
A
B
A
C
，sin
sin
10
sin
sin
9
B
C
A
C
，所以
11
9
a
b
a
c
，
10
9
b
c
a
c
，
所以
6
5
b
a
，
4
5
c
a
，易知a
c
b
，即A
C
B
，
设
5 (
0)
a
k k
，则
6
b
k
，
4
c
k
，则
2
2
2
2
2
5
1
cos
0
2
40
8
a
c
b
k
B
ac
k
，
可得
π
2
A
C
B
，所以
ABC
V
是锐角三角形.
故选：C.
【变式训练10】设
ABC
V
中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
cos
cos
sin
a
B
b
A
c
C
，
则
ABC
V
的形状是（
）
A．锐角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【答案】D
【详解】由
cos
cos
sin
a
B
b
A
c
C
，根据正弦定理可得sin
cos
sin
cos
sin
sin
A
B
B
A
C
C
，
则
sin
sin
sin
A
B
C
C
，由
π
A
B
C
，则
sin
sin π
sin
0
A
B
C
C
，
可得sin
1
C ，由
0,π
C
，解得
π
2
C
.
故选：D.
【变式训练11】在
ABC
V
中，
2
2 sin 2
A
c
c
b
（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则
ABC
V
是
（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【详解】因为
2
2 sin 2
A
c
c
b
，
所以
2
sin 2
2
A
c
b
c
，即1
cos
2
2
A
c
b
c
，即cos
b
A
c
，
由正弦定理可得
sin
cos
sin
B
A
C
，
所以cos
sin
sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
A
C
B
A
C
A
C
A
C
，得cos
sin
0
C
A
，
在
ABC
V
中sin
0
A
，所以cos
0
C
，
49
2026 年高二暑假讲义A 版
又0
π
C
，所以
π
2
C
，即三角形为直角三角形.
故选：B.
【变式训练12】已知
ABC
V
中，角
, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，若
3
a
b
c
b
c
a
ab
，且
sin
2sin
cos
C
B
A，那么
ABC
V
是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】由
3
a
b
c
b
c
a
ab
，
得
2
2
(
)
3
a
b
c
ab
，
整理得
2
2
2
a
b
c
ab
，
则
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
，
因为
0,π
C
，所以
π
3
C
，
又由sin
2sin
cos
C
B
A及正弦定理得：
2
2
2
2
2
b
c
a
c
b
bc
，化简得a
b
，
所以
ABC
V
为等边三角形，
故选：C.
例5、在
ABC
V
中，已知
40,
20,
60
b
c
C
，则此三角形的解的情况是（
）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【答案】C
【详解】由正弦定理得sin
sin
b
c
B
C
，
则
3
40
sin
2
sin
3
1
20
b
C
B
c
,
故B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
故选：C
题型5
三角形解的个数
50
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练13】在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，.c 已知
π
2,
2 3,
6
a
b
A
，则此
三角形（
）
A．无解
B．一解
C．两解
D．解的个数不确定
【答案】C
【详解】由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，得
2
2 3
π
sin
sin 6
B
，解得
3
sin
2
B
，
因为a
b
，所以A
B
，
又因为
0,π
B
，所以
π
3
B
或
2π
3
B
，
故此三角形有两解.
故选：C.
【变式训练14】在
ABC
V
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，则满足以下条件的三角形的解个数
为两个的是（
）
A．
6,
3,
60
a
c
C
B．
2,
45 ,
75
b
A
C
C．
2 3,
2,
30
a
b
C
D．
2,
2,
30
b
c
C
【答案】D
【详解】对于A 中，由正弦定理sin
sin
a
c
A
C
，可得
sin
6 sin 60
6
sin
1
2
3
a
C
A
c
，
则这样的三角形不存在，所以A 错误；
对于B 中，由
45 ,
75
A
C
，可得
180
(
)
60
B
A
C
，
又由
2
b
，则这样的三角形是唯一的，所以B 不符合题意；
对于C 中，由余弦定理，可得
2
2
2
3
2
cos
12
4
2
2 3
2
4
2
c
a
b
ab
C
，
所以
2
c
，则这样的三角形是唯一的，所以C 不符合题意；
对于D 中，由正弦定理sin
sin
b
c
B
C
，可得
sin
2 sin30
2
sin
2
2
b
C
B
c
，
因为b
c
，可得B
C
，所以
45
B
或
135
B
，则这样的三角形有两个，所以D 符合题意.
故选：D.
【变式训练15】
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
4
B
，
7
b
，如果
ABC
V
有两解，
则a 的值可能为（
）
51
2026 年高二暑假讲义A 版
A．9
B．7 2
C．11
D．12
【答案】A
【详解】由正弦定理得：
7
7 2
sin
sin
2
2
a
b
A
B
，且
ABC
V
有两解，所以
7 2 sin
7 2
a
A
，且
7
a
b
，所以7
7 2
a
，故符合题意的有A.
故选：A
例6、
ABC
V
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
5π ,
2 7,
3
6
A
a
c
b
，则
ABC
V
的面积
为
.
【答案】
3
【详解】由余弦定理的推论得
2
2
5π
28
3
cos 6
2
2
b
c
bc
，
因为
3
c
b ，所以
2
b
（负值舍去），
2 3
c
，
所以
1
1
1
sin
2
2 3
3
2
2
2
ABC
S
bc
A
△
.
故答案为：
3
【变式训练16】已知
ABC
V
的面积为15 3
2π
,
,
5
4
3
A
AB
，则BC （
）
A．3
B．5
C．7
D．8
【答案】C
【详解】由面积公式可知
1
·
·sin
2
S
AB AC
A
，即15
1
3
3
5
4
2
2
AC
，解得
3
AC
，
由余弦定理可知，
2
2
2
1
2
·
·cos
25
9
2 5 3
49
2
BC
AB
AC
AB AC
A
，
所以
7
BC
.
故选：C
【变式训练17】在
ABC
V
中，若
5
3,cos
,
6
a
A
b
c
，则
ABC
V
的面积等于（
）
A．15
4
B．3 11
2
C．15
2
D．3 11
4
【答案】D
【详解】在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，而
5
3,cos
,
6
a
A
b
c
，
题型6
三角形面积公式
52
2026 年高二暑假讲义A 版
则
2
1
3
3 b
，解得
2
9
b
，
2
11
sin
1 cos
6
A
A
，
所以
ABC
V
的面积为
2
1
1
1
11
3 11
sin
sin
9
2
2
2
6
4
ABC
S
bc
A
b
A
V
.
故选：D
【变式训练18】在
ABC
V
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
π
2,
,
3
b
B
ABC
的面积
3
ABC
S
，
则a
c
（
）
A．8
B．2 3
C．3 3
D．4
【答案】D
【详解】因为
3
ABC
S
，
π
3
B
，
所以1
1
π
3
sin
sin
3
2
2
3
4
ac
B
ac
ac
，得
4
ac
，
因为
π
2,
3
b
B
，
所以由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，
2
2
4
a
c
ac
，
所以
2
2
8
a
c
，
所以
2
2
2
8
8
16
a
c
ac
，所以
2
(
)
16
a
c
，
因为
0
a
c
，所以
4
a
c
.
故选：D
例7、如图，已知某山峰的海拔高度为m 米，一位登山者到达海拔高度为n 米的点A 处．测得山峰顶
端B 的仰角为．则A 、B 两点之间的距离为（
）
A．
sin
m
n
米
B．sin
m
n
米
C．
cos
m
n
米
D．cos
m
n
米
【答案】15 6
题型7
实际问题中距离、高度、角度的测量
53
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】BCD
中，由正弦定理得sin
BC
BD
CDB
BCD
，
所以
15
15sin 45
15 2
sin 45
sin 30
sin 30
BC
BC
，
直角ABC
中，
tan
15 2
tan 60
15 6
AB
BC
BCA
.
故答案为：15 6 .
【变式训练19】一艘渔船航行到A 处时看灯塔B 在A 的南偏东15，距离为12 6 海里，灯塔C 在A 的
北偏东60o，距离为12 3 海里，该渔船由A 沿正东方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏西30o
方向，则此时灯塔C 位于渔船的（
）
A．南偏东60方向
B．南偏西30方向
C．北偏西60方向
D．北偏西30方向
【答案】D
【详解】如图，
由题意，在
ABD
△
中，
15
30
45
B
，
12 6
AB
，
60
ADB
，
由正弦定理得
12 6
24 2
sin45
sin60
3
2
AD
AB
，
所以
24
AD
，
在ACD
中，因为
12 3
AC
，
30
CAD
，
由余弦定理得
2
2
2
2
2
3
2
cos30
12 3
24
2 12 3
24
144
2
CD
AC
AD
AC
AD
，
所以
12
CD
，
由正弦定理得sin30
sin
CD
AC
CDA
，
所以
1
12 3
3
2
sin
12
2
CDA
，
54
2026 年高二暑假讲义A 版
因为AD
AC
，故
CDA
为锐角，
故
60
CDA
，此时灯塔C 位于渔船的北偏西30方向.
故选：D.
【变式训练20】如图，某观察站B 在城A 的南偏西20的方向，由城A 出发的一条公路走向是南偏
东40，在B 处测得公路上距B 处31km 的C 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20km 之后到达D
处，此时B，D 间的距离为21km ．要达到A 城，这个人还要走（
）
A．15km
B．20km
C．13 km
2
D．17km
【答案】A
【详解】由题意有：
21,
20,
31
BD
DC
BC
，在BDC
中，由余弦定理有：
2
2
2
2
2
2
21
20
31
1
cos
2
2 21 20
7
BD
DC
BC
BDC
BD DC
，
又
180
BDC
BDA
，所以
1
cos
cos 180
cos
7
BDA
BDC
BDC
，
所以
2
4 3
sin
1
cos
7
BDA
BDC
，
所以
sin
sin 180
60
sin
60
DBA
BDA
BDA
sin
cos60
cos
sin 60
BDA
BDA
4 3
1
3
1
5 3
7
2
2
7
14
，
又
21,
60
BD
BAD
，
在
ABD
△
中，由正弦定理有：sin
sin
AD
BD
ABD
BAD
，所以
5 3
21
sin
14
15km
sin
3
2
BD
ABD
AD
BAD
.
故选：A.
55
2026 年高二暑假讲义A 版
例8、在
ABC
V
中，, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，A 的角平分线AD 交BC 边于点D ．若2
2 cos
b
c
a
C
，
2
b
，
1
c ，则BD （
）
A．1
B．3
7
C．
7
3
D．7
3
【答案】C
【详解】因为2
2 cos
b
c
a
C
，
由正弦定理得2sin
sin
2sin
cos
B
C
A
C
，则2sin
cos
2sin
cos
sin
2sin
cos
A
C
C
A
C
A
C
，
所以2sin
cos
sin
0
C
A
C
，
因为sin
0
C
，所以
1
cos
2
A
且0
π
A
，所以
2π
3
A
．
由题意可知：
π
3
BAD
CAD
，
因为
ABC
ABD
ACD
S
S
S
，
则1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
bc
BAC
c
AD
BAD
b
AD
CAD
，
即1
3
1
3
1
3
1 2
1
2
2
2
2
2
2
2
AD
AD
，可得
2
3
AD
．
在
ABD
△
中，
2
2
2
2
2
π
7
7
1
2
cos
3
3
3
9
3
BD
BD
，
.
故选：C.
【变式训练21】在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，
4
a
，4sin
3 cos
B
b
A
，AD
是内角A 的角平分线，
ABC
V
和
ABD
△
的面积分别是
1S ，
2S ，且
1
2
3
S
S
，则
1S __________．
【答案】8 3
3
/ 8
3
3
【详解】如图所示，
分别作DE
AB
，DF
AC
，垂足分别为E ，F
题型8
中线、角平分线的应用
56
2026 年高二暑假讲义A 版
因为AD 是内角A 的角平分线，所以DE
DF
，所以
ABD
△
和ACD
的面积之比为:
c b，
又因为
1
2
3
S
S
，所以
1
2
c
b
，即
2
b
c
，
因为
4
a
，4sin
3 cos
B
b
A
，
所以sin
3 cos
a
B
b
A
，所以sin
3cos
A
A
，所以tan
3
A
，
又
0,π
A
，所以
π
3
A
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，则
2
3
16
c
，即
2
16
3
c
，
故
2
1
1
3
8 3
sin
2
2
3
S
bc
A
c
，
故答案为：8 3
3
.
【变式训练22】在
ABC
V
中，内角A，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
π
3
BAC
，D 为BC 上
一点，
2
BD
DC
，
3
2
AD
BD
，则
ABC
V
的面积为（
）
A．3 3
32
B．9 3
8
C．9 3
16
D．9 3
32
【答案】D
【详解】
如图所示，在
ABC
V
中，由
2
BD
CD
，得
1
2
3
3
AD
AB
AC
．
又AD
BD
，即
2
3
AD
BD
a
，
所以
2
2
2
2
2
1
2
4
1
4
2
3
3
9
9
9
9
AD
AB
AC
a
c
b
bc
，
化简得
2
2
2
4
4
2
a
c
b
bc
．①
在
ABC
V
中，由余弦定理得，
2
2
2
b
c
bc
a
，②
由①②式，解得
2
c
b
．由
3
2
BD
，得
3 3
4
a
，
将其代入②式，得
2
2
2
2
3 3
3
4
b
c
bc
b
，解得
2
9
16
b
，
57
2026 年高二暑假讲义A 版
故
ABC
V
的面积
2
1
3
3
9
9 3
sin
2
2
2
16
32
S
bc
BAC
b
．
故选：D
【变式训练23】已知, ,
a b c 分别为
ABC
V
的内角
, ,
A B C 所对的边，
2
a
且
3 sin
cos
a
C
a
C
b
c
.
(1)求A ；
(2)已知D 是边BC 的中点，求AD 的最大值.
【答案】(1)
π
3
A
；(2)
3 ．
【详解】（1）根据正弦定理有
cos
3 sin
0
sin
cos
3sin
sin
sin
sin
0
a
C
a
C
b
c
A
C
A
C
B
C
．
因为
sin
sin
sin cos
cos sin
B
A
C
A
C
A
C
，
所以
sin
cos
3sin
sin
sin cos
cos sin
sin
0
A
C
A
C
A
C
A
C
C
3sin sin
sin cos
sin
0
A
C
C
A
C
，
0,π ,
sin
0
C
C
∵
，
则有
3sin
cos
1
0
3sin
cos
1
A
A
A
A
π
π
1
2sin
1
sin
6
6
2
A
A
，
π
π
π
0,π ,
6
6
3
A
A
A
∵
．
（2）由（1）及余弦定理可知
2
2
4
b
c
bc
2
2
4
2
4
b
c
bc
bc
bc
，当且仅当b
c
时，“ ”成立．
D
∵
是BC 的中点，
2
AB
AC
AD
，
两边平方得
2
2
2
|
|
|
|
2
4 |
|
AB
AC
AB AC
AD
，即
2
2
2
2
cos
4 |
|
c
b
bc
A
AD
，
由（1）知
3
A
，代入得
2
2
2
4 |
|
b
c
bc
AD
，
2
2
2
1
4
AD
b
c
bc
，
2
2
2
1
4
2
4
3
4
b
c
bc
AD
bc
∵
，
所以AD 的最大值为
3 ．
58
2026 年高二暑假讲义A 版
例9、如图，
ADC
△
是等边三角形，ABC
V
是等腰直角三角形，
90
ACB
，BD 交AC 于E ，
2
AB
.
(1)求
ABE
的度数；
(2)求
ABD
△
的面积.
【答案】(1)30；(2)1
3
2
【详解】（1）由已知得
2
AC
AD
CD
BC
，
60
DAC
ADC
ACD
，
45
ABC
BAC
，
所以
BCD
△
是等腰三角形，
60
90
150
BCD
，
所以
1 180
150
15
2
DBC
，
所以
45
15
30
ABE
.
（2）由（1）知
ABD
△
中，
30
ABD
，
60
45
105
DAB
，
又
2
1
3
2
2
6
sin105
sin 45
60
sin 45 cos60
sin 60 cos 45
2
2
2
2
4
，
所以
1
1
3
sin105
2
2
ABD
S
AB
AD
.
【变式训练24】如图，在平面四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，且E 为AC 的中点.
45
ABD
，
3 2
AD
，
6
AB
，
2
BE
DE
.
(1)求BD 的长；
(2)求cos
ABC
.
【答案】(1)3 2 ；(2)
5
5
【详解】（1）在
ABD
△
中，用余弦定理，
2
π
18
36
2 6
cos 4
BD
BD
，
得
2
6 2
18
0
BD
BD
，
3 2
BD
.
题型9
解三角形中的图形问题
59
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）由（1）得
3 2
AD
BD
，
6
AB
，
∴
2
2
2
AD
BD
AB
，∴
π
2
ADB
，
又∵
2
BE
DE
，∴
2
DE
，
2
2
BE
.
2
2
2 5
EC
AE
AD
ED
，
∴
2
cos
cos
2 5
DE
CEB
DEA
AE
，
在CEB
中，由余弦定理得
2
2
20
8
2 2 5
2 2
20
2 5
CB
，
∴
2 5
CB
CE
，
∴CEB
为等腰三角形，
CBE
CEB
DEA
.
又∵
3 2
sin
2 5
AD
DEA
AE
，
2
cos
2 5
DE
DEA
AE
，
π
cos
cos 4
ABC
CBE
π
2
2
2
3 2
5
cos 4
2
2
5
2 5
2 5
DEA
.
【变式训练25】已知
ABC
V
内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，点M 是
ABC
V
的内心，若
2
a
, 3 cos
sin
b
A
a
B
.
(1)求角A ；
(2)延长AM 交BC 于点D ，若
2
3
3
AD
，求
ABC
V
的周长.
【答案】(1)
π .
3
A
(2)3
5
【详解】（1）由
3 cos
sin
b
A
a
B
可得sin
3 cos
b
a
B
A
，由正弦定理可得sin
sin
b
a
B
A
，
故可得sin
3cos
A
A
，即tan
3
A
，而
(0,π)
A
，故
π .
3
A
60
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）因为点M 是
ABC
V
的内心，
1
sin
2
2
ABD
A
S
c AD
，
1
sin
2
2
ACD
A
S
b AD
，
因
π
3
A
，
2
3
3
AD
，则
1
sin
,
2
2
A
从而，
1
1
2 3 1
3
(
)
sin
(
)
(
)
2
2
2
3
2
6
ABC
ABD
ACD
A
S
S
S
b
c
AD
b
c
b
c
.
又
1
π
3
sin
2
3
4
ABC
S
bc
bc
△
，所以
3
3 (
)
4
6
bc
b
c
，即3
2(
)
bc
b
c
.
由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
可得
2
2
2
4
(
)
3
b
c
bc
b
c
bc
.
将3
2(
)
bc
b
c
代入上式化简得
2
4
(
)
2(
)
b
c
b
c
.
解得
1
5
b
c
，因为
0
b
c
，所以
1
5
b
c
.
所以
ABC
V
的周长为
2 1
5
3
5
a
b
c
.
一、单选题
1、
ABC
V
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
30
B
，
2
b
，
2
c
，则A （
）
A．15°
B．45°
C．105°
D．15°或105°
【答案】D
【详解】由正弦定理可得，
sin
2
sin
sin
sin
2
b
c
c
B
C
B
C
b
，
因为0
180
C
，所以
45
C
或135，经检验均符合题意，
所以
15
A
或105.
故选：D
2、在
ABC
V
中，角
, ,
A B C 所对边的长分别为, ,
a b c .若
2
2
2
6
5
b
c
a
bc
，则sinA 的值为（
）
A．
4
5
B．3
5
C．
3
5
-
D．4
5
【答案】D
61
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】因为
2
2
2
6
5
b
c
a
bc
，
所以由余弦定理得
2
2
2
3
cos
2
5
b
c
a
A
bc
，
0,π
A
，
所以
2
4
sin
1
cos
5
A
A
.
故选：D.
3、在
ABC
V
中，角
, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，且
4
3
b
c
a
，
1
cos
6
B
，则
ABC
V
的形状是（
）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．不确定的
【答案】A
【详解】在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
1
2
cos
3
b
a
c
ac
B
a
c
ac
，
因为
4
3
b
c
a
，可得
4
3
b
a
c
，
代入上式，整理得
2
3
a
ac
，即
3
a
c
，所以
3
b
c
，
所以
3
a
b
c
，所以
ABC
V
为等腰三角形.
故选：A.
4、在
ABC
V
中，
2
AB
，
3
AC
，
2
cos
3
A
，则
ABC
V
的面积为（
）
A．
5
B．2 5
C．3 5
D．4 5
【答案】A
【详解】由三角形内角的范围及
2
cos
3
A
，可得
5
sin
3
A
，
所以
1
sin
5
2
ABC
S
AB
AC
A
.
故选：A
5、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D．现测
得
75
BCD
，
60
BDC
，
50m
CD
，在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为（
）．
62
2026 年高二暑假讲义A 版
A．25m
B．25 3m
C．25 2m
D．25 6m
【答案】C
【详解】在
BCD
△
中，由
75
BCD
，
60
BDC
，可得
45
CBD
，
结合已知和正弦定理可得：
50
sin 60
sin 45
BC
，解得
3
2
50
25 6
2
2
BC
，
因为在点C 测得塔顶A 的仰角为30，
所以
π
3
tan
25 6
25 2
6
3
AB
BC
m ，
故选：C.
6、在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
3 sin
cos
2cos
3
3
A
A
C
，2
6
b
c
，则
cosC 的值为（
）
A．
30
6
B．
6
6
C．
10
4
D．
6
4
【答案】D
【详解】由题意得
π
π
π
2cos
2 cos
cos
sin
sin
2cos
3
3
3
3
3
3
A
A
A
C
，
即
π
cos
cos 3
3
A
C
，
因为0
π
A
，0
π
C
，则
π
π
0
3
3
3
A
，且余弦函数
cos
y
x
在
0,π 上单调递减，
所以
π
3
3
A
C
，即
3
π
A
C
，
又
3
π
A
C
A
B
C
，所以
2
B
C
，
又2
6
b
c
，所以2sin
6 sin
,
2sin2
4sin
cos
6 sin
B
C
C
C
C
C
，
又0
π
C
，所以sin
0
C
，所以
6
cos
4
C
.
故选：D.
7、已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
ABC
V
的面积为S ，
2
2
1
(
)sin
2
S
b
c
A
，
1
1
2
tan
tan
tan
A
C
B
，则A （
）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
【答案】A
【详解】在
ABC
V
中，
1
sin
2
S
bc
A
，又
2
2
1
(
)sin
2
S
b
c
A
，
63
2026 年高二暑假讲义A 版
则
2
2
1
1
sin
(
)sin
2
2
bc
A
b
c
A
，而sin
0
A
，
则
2
2
2
bc
b
c
，即(
2 )(
)
0
b
c b
c
，又
0
b
c
，则
2
b
c
，
而
1
1
cos
cos
sin
cos
sin
cos
sin(
)
sin
tan
tan
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
A
C
C
A
A
C
A
C
B
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
，
由
1
1
2
tan
tan
tan
A
C
B
，得
2cos
sin
si
i
n
s
sin
n
B
A
C
B
B
，即
2
sin
2sin
sin
cos
B
A
C
B
，
由正弦定理得
2
2
cos
b
ac
B
，由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
因此
2
2
2
2
b
a
c
b
，即
2
2
2
2
4
4
c
a
c
c
，则
2
2
7
a
c
，
由余弦定理
2
2
2
2
2
2
2
4
7
1
cos
2
4
2
b
c
a
c
c
c
A
bc
c
，又0
180
A
，
所以
120
A
.
故选：A
二、多选题
8、在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（
）
A．若cos
cos
A
B
，则a
b
B．若△ABC 为锐角三角形，则sin
cos
A
B
C．若
π
6
B
，
4
c
，
2 3
b
，则满足条件的△ABC 有两个
D．若cos
cos
a
b
B
A
，则△ABC 为等腰三角形
【答案】BC
【详解】对于选项A：∵
cos
y
x
在
0,π 上单调递减且cos
cos
A
B
，
∴A
B
，
则a
b
，故选项A 不正确；
对于选项B：∵△ABC 为锐角三角形，
∴
π
2
A
B
，且
π
0
2
A
，
π
0
2
B
，
即
π
π
0
2
2
B
A
.
又∵函数
sin
y
x
在
π
0, 2
上单调递增，
∴
π
sin
sin
2
B
A
，
∴sin
cos
A
B
，故选项B 正确；
64
2026 年高二暑假讲义A 版
对于选项C：因为
π
6
B
，
4
c
，
2 3
b
，
所以由正弦定理：sin
sin
b
c
B
C
可得
3
sin
0
3
C
.
又因为c
b
，
则C
B
，且
π 5π
,
6
6
C
，
所以满足条件的角C 有两个，故选项C 正确；
对于选项D，∵cos
cos
a
b
B
A
，
则由正弦定理可得sin
sin
cos
cos
A
B
B
A
，
∴sin
cos
sin
cos
A
A
B
B
，即sin 2
sin 2
A
B
，
∴2
2
A
B
或2
2
π
A
B
，即A
B
或
π
2
A
B
，
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选项D 不正确，
故选：BC．
9、已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（
）
A．若
0
AB BC
，则
ABC
V
是钝角三角形
B．若sin 3
sin 3
A
B
，则
ABC
V
为等腰三角形或钝角三角形
C．若
2
2
2
sin
sin
sin
A
B
C
，则
ABC
V
是锐角三角形
D．若
2
a
，
3
b
，
30
B
则符合条件的
ABC
V
有两个
【答案】BD
【详解】对于A：因为
0
BC
AB
，AB
与BC
的夹角为B 的补角，所以B 为锐角，不能确定
ABC
V
的形状，A 错误；
对于B：因为sin 3
sin 3
A
B
，
0,π
A
，
0,π
B
，
0,π
A
B
，
所以3
3
A
B
或3
3
π
A
B
，
当3
3
A
B
时，A
B
，
ABC
V
为等腰三角形，
当3
3
π
A
B
时，
π
3
A
B
，
2π
3
C
，
ABC
V
为钝角三角形，
所以
ABC
V
为等腰三角形或钝角三角形，B 正确；
对于C：因为
2
2
2
sin
sin
sin
A
B
C
，所以
2
2
2
a
b
c
，
所以
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
C
ab
，故C 为锐角，但无法判断角A，B 的范围，C 错误；
对于D：因为
2,
3,
30
a
b
B
，
65
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
sin
1
a
B
b
a
，故符合条件的
ABC
V
有两个，D 正确.
故选：BD.
10、锐角
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2
2
2
4
ab a
b
c
AC BC
2
2
2
sin
sin
sin
2
cos cos
A
B
C
A
B
，则下列正确的有（
）
A．
2
ab
B．
π
6
C
C．
2
2
2
2 3
a
b
c
D．
3
2
ABC
S
【答案】AD
【详解】A：由
2
2
2
4
ab a
b
c
AC BC
，结合余弦定理得
·2
cos
4
4
cos
ab ab
C
AC BC
ab
C
，
即
cos
2cos
ab
C
C
，又因为ABC
为锐角三角形，所以cos
0
C
，则
2
ab
，故A 项正确；
B：
2
2
2
2
cos
a
b
c
ab
C
，由正弦定理得
2
2
2
sin
sin
sin
2sin
sin
cos
A
B
C
A
B
C
，
即
2
2
2
2
2
sin
sin
sin
2sin
sin
cos
2sin
2sin
sin
cos
2
2cos
A
B
C
A
B
C
C
A
B
C
C
2cos
sin
sin
cos
2
2cos
sin
sin
cos
2
2cos
cos
cos
2
C
A
B
C
C
A
B
A
B
C
A
B
，
再结合
2
2
2
sin
sin
sin
2
cos cos
A
B
C
A
B
，可得2cos
1
C ，即
1
cos
2
C
，从而得
π
3
C
，故B 项
错误；
C：由
1
cos
2
C
，
2
ab
，可得
2
2
2
2
a
b
c
，故C 项错误；
D：由三角形面积公式可得
1
1
3
3
sin
2
2
2
2
2
ABC
S
ab
C
，故D 项正确.
故选：AD.
三、填空题
11、已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2,
3,
2
a
b
c
，则cosC
【答案】
6
12
【详解】
2
2
2
2
3
4
1
6
cos
2
12
2
2
3
2 6
a
b
c
C
ab
，
故答案为：
6
12
12、已知
ABC
V
三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
π
4
B
，
2
b
，且
ABC
V
为锐角三
角形，则
ABC
V
面积的最大值为
.
66
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】
2
1
【详解】因为
π
4
B
，
2
b
，由余弦定理
2
2
4
2
a
c
ac
，
由基本不等式可知：
2
2
4
2
2
2
a
c
ac
ac
≥
，即
2 2
2
ac
，
当且仅当a
c
时等号成立.
当a
c
时，
3π
8
A
C
=
=
，满足
ABC
V
为锐角三角形，由
1
sin
2
S
ac
B
可知
max
1
2
2 2
2
2
1
2
2
S
.
故答案为：
2
1
.
四、解答题
13、已知△ABC 内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，设
2
2
(
)
b
c
a
bc
.
(1)求A ；
(2)若
4,
b
c
ABC
的面积为
3
2
，求a 的值.
【答案】(1) π
3 ；(2) 10
【详解】（1）因为
2
2
(
)
b
c
a
bc
，整理，得
2
2
2
b
c
a
bc
，
由余弦定理，得
2
2
2
1
cos
,
2
2
b
c
a
A
bc
因为
0,
A
，所以
π
3
A
；
（2）
1
1
3
3
sin
2
2
2
2
ABC
S
bc
A
bc
∵
，
2
bc
，
由（1）得，
2
2
2
b
c
a
bc
，
2
2
2
2
(
)
3
16
6
10
a
b
c
bc
b
c
bc
，
10
a
.
14、在
ABC
V
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
2
c
b
，
2 sin
3sin
A
B
．
(1)求cosC ；
(2)若
ABC
V
的面积为3 7
2
，求AB 边上的中线CD 的长．
【答案】(1)
2
4
；(2)
7
67
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）在
ABC
V
中，因为
2 sin
3sin
A
B
，根据正弦定理得：
2
3
a
b
，因为
2
c
b
，所以
3 ,
2
2
b
a
c
b
.
根据余弦定理
2
2
2
2
2
2
9
3
4
2
2
2
cos
3
4
3 2
2
2
b
b
b
b
C
b
b
.
（2）由（1）知
2
cos
4
C
，因为0
π
C
，
所以
2
2
2
14
sin
1
cos
1
4
4
C
C
.
因为
ABC
V
的面积为3 7
2
，所以
2
2
1
1
3
14
3 7
3 7
sin
2
2
4
8
2
2
ABC
S
ab
C
b
b
，
解得
2
b
，进而
3
4,
2
3 2
2
c
a
.
根据余弦定理可得
2
2
2
18 16
4
5 2
cos
2
8
2 3 2
4
a
c
b
B
ac
.
所以根据余弦定理
2
2
2
5 2
2
cos
18
4
2 3 2
2
7
2
2
8
c
c
CD
a
a
B
.
因为CD 为线段，其长度取正值，所以
7
CD
.
所以AB 边上的中线CD 的长为
7 .
15、在面积为S 的
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
2
sin
sin
2
sin
sin
sin
C
A
S
a
b
A
B
C
．
(1)求C 的值；
(2)若
2
c
，求
ABC
V
周长的最大值；
(3)若
ABC
V
为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求
ABC
V
面积的取值范围．
【答案】(1) π
3 ；(2)3 2 ；(3) 4 3
[
,2 3)
3
【详解】（1）由
2
2
sin
sin
2
sin
sin
sin
C
A
S
a
b
A
B
C
和正弦定理，三角形面积公式可得，
68
2026 年高二暑假讲义A 版
2
2
sin
(
)
sin
c
a
bc
A
a
b
A
b
c
，
因sin
0
A
，故得，
2
2
2
c
ab
a
b
，
由余弦定理，
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
b
c
ab
C
ab
ab
，因
(0,π)
C
，则
π
3
C
；
（2）由余弦定理，
2
2
2
2
cos
a
b
ab
C
c
，即
2
2
2
a
b
ab
，
整理得，
2
2
(
)
2
3
2
3(
)
2
a
b
a
b
ab
，当且仅当a
b
时等号成立，即
2
(
)
8
a
b
，
于是，0
2 2
a
b
，即当
2
a
b
时，
ABC
V
周长的最大值为3 2 ；
（3）由
1
1
sin
2
2
ABC
S
ch
ab
C
可得，4
3
c
ab
由正弦定理，
3
sin
sin
sin
2
3
4
2
a
b
c
ab
ab
A
B
C
，即得，
2
sin
b
A
，
2
sin
a
B
,
则
1
1
2
2
3
3
sin
2π
2
2
sin
sin
2
sin
sin(
)
3
ABC
S
ab
C
B
A
A
A
3
3
4 3
π
3
1
3
1
2sin(2
) 1
sin
(
cos
sin
)
sin 2
(1 cos2 )
6
2
2
4
4
A
A
A
A
A
A
,
由
ABC
V
为锐角三角形可得，
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
，解得，π
π
6
2
A
，
则π
π
5π
2
6
6
6
A
，由正弦函数的图象知，1
π
sin(2
)
1
2
6
A
，故得4 3
2 3
3
ABC
S
，
即
ABC
V
面积的取值范围为4 3
[
,2 3)
3
.
69
2026 年高二暑假讲义A 版
空间几何体
1、多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
2、旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相
等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
题型1
空间几何体的结构
题型5
内切球问题
题型2
直观图
题型6
路径最短问题
题型3
空间几何体的表面积和体积
题型7
截面问题
题型4
外接球问题
题型8
轨迹问题
知识点1
空间几何体的结构特征
70
2026 年高二暑假讲义A 版
1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2、原图与直观图的关系：S 直= 4
2 S 原；S 原=
2
2
S 直
1、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
2、柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
V＝1
3Sh
台体(棱台和圆台)
S 表面积＝S 侧＋S 上＋S
下
V＝1
3(S 上＋S 下＋S 上S 下)h
球
S＝4πR2
V＝4
3πR3
知识点2
空间几何体的直观
知识点3
简单几何体的表面积与体积
71
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、下列说法正确的（
）
A．通过圆台侧面一点，有无数条母线
B．棱柱的底面一定是平行四边形
C．圆锥的轴截面都是等腰三角形
D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
【答案】C
【详解】对于A，根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，故A 错误；
对于B，棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，故B
错误；
对于C，圆锥的轴截面都是等腰三角形，故C 正确；
对于D，由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，故D
错误.
故选：C.
【变式训练2】下列命题中正确的是（
）
A．正四棱锥的侧面都是正三角形
B．直四棱柱是长方体
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
【答案】D
【详解】对于A，正四棱锥的侧面不一定是正三角形，可能是等腰三角形，故A 错误；
对于B，若直四棱柱的上下底面不是矩形，则不一定是长方体，故B 错误；
对于C，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为
圆锥，故C 错误；
对于D，由圆台定义可得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故D 正
确.
故选：D
题型1
空间几何体的结构
72
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形A B C D
，若
6
A B
，
4
C D
，则下列说法正确的是（
）
A．
2 2
A D
B．
3
AB
C．四边形ABCD 的周长为10
6
2
D．四边形ABCD 的面积为10 2
【答案】D
【详解】由题设
2
2
2
A B
C D
A D
，A 错；
由斜二测画法知，
6
AB
A B
，
4
CD
C D
，
2
2 2
AD
A D
，
易知原四边形ABCD 为直角梯形，
/ /
AD
AB
AB
CD
，
，
所以
2
2
8
4
2 3
BC
AD
AB
CD
，
四边形的周长为10
2 3
2 2
，面积为
1
2 2
4
6
10 2
2
，B、C 错，D 对．
故选：D．
【变式训练3】如图所示，梯形A B C D
是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，
2
2,
1
A D
B C
A B
，则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度为（
）
A．2
B．
3
C．
5
D．5
【答案】C
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD ，如图，
由斜二测画法可知
2
2,
1
AB
A B
BC
B C
，
所以
2
2
4 1
5
AC
AB
BC
，
题型2
直观图
73
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：C．
【变式训练4】如图，O A B
是由斜二测画法得到的水平放置的
OAB
△
的直观图，其中
3
3
O B
A B
O A
2
，那么原平面图形中，OA 边上的高为（
）
A．2 3
B．4 3
C．2 2
D．4 2
【答案】C
【详解】因为
2,
2 3
O B
A B
O A
，易知
30
B O A
B A O
，
过B作y轴的平行线交x轴于M 点，则
45
B MA
，
由正弦定理可知sin 45
sin 30
A B
B M
，则
2
B M
，
由斜二测画法知原平面图形中，OA边上的高为2
2 2
B M
.
故选：C.
例3-1、若圆台的上下底面半径分别为1 和4，侧面积为25π ，则圆台的体积为________.
【答案】28π
【详解】设圆台母线长为l ，则
π 1 4
25π
l
，所以
5
l
，所以圆台的高为
2
25
4 1
4
h
，
所以圆台的体积为
2
2
π 1
4
1 4
4
28π
3
.
故答案为：28π .
题型3
空间几何体的表面积和体积
74
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练5】已知正三棱锥的底面边长为4 3 ，侧棱长为8，则三棱锥的体积为（
）
A．48
B．52
C．64
D．144
【答案】4
【详解】设一个直三棱柱的侧棱长为
2
h
，底面面积为
2
S
，则该三棱柱的体积为
2 2
4
V
Sh
.
故答案为：4
【变式训练6】某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD
是边长为2 的正方形，AEB
，FBC
，GCD
，
HDA
△
均为正三角形，且它们所在的平面都与平
面ABCD 垂直，则该包装盒的容积为________.
【答案】10 3
3
/10
3
3
【详解】
如图，把几何体补全为长方体，则
1
1
1
1
1
1
2
A E
A H
A B
，
2
2
2
2
1
1
2
1
3
AA
AE
A E
，
由对称性，可得该包装盒的容积为
1 1 1
1
1
4
ABCD A B C D
A A EH
V
V
1
1
10 3
2
2
3
4
1 1
3
3
2
3
.
故答案为：10 3
3
.
【变式训练7】如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
所有的棱长都为1，D ，E 分别为
1
1
B C 和
1
AB 的中点，
75
2026 年高二暑假讲义A 版
则三棱锥
1
1
1
C
AA B
的体积__________．
【答案】
3
12
【详解】因为
1
1
1
ABC
A B C
为直三棱柱，所以
1
AA 平面
1
1
1
A B C ，又因为
1
1
1
A B C
△
为边长为1的正三
角形，所以
1 1 1
1
3
1 1 sin60
2
4
A B C
S
△
，又
1
1 1
1 1 1
C
AA B
A A B C
V
V
1 1 1
1
1
3
A B C
S
AA
△
1
3
3
1
3
4
12
.
故答案为：
3
12
.
例3-2、已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为______.
【答案】48(3
3)
【详解】依题意，该正六棱柱的两底面面积和为
2
3
2 6
4
48 3
4
，侧面积为6 4 6
144
，
所以该正六棱柱的表面积为48(3
3)
.
故答案为：48(3
3)
【变式训练8】实心圆锥PO的底面直径为6，高为4，过PO中点O作平行于底面的截面，以该截
面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（
）
A．27.75π
B．30π
C．32.25π
D．34.5π
【答案】B
【详解】根据题意PO的中点为O可知，挖去的圆柱底面半径为3
2 ，高为2 ，
剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为
2
2
3
4
5
，
76
2026 年高二暑假讲义A 版
易知圆锥表面积为
2
π 3
π 3 5
24π
，圆柱侧面积为
3
2π
2
6π
2
，
所以剩下几何体的表面积为24π
6π
30π
.
故选：B
【变式训练9】已知某圆锥体的底面半径
1
r ，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为3 π
2
的扇形，则该圆锥体的表面积是___________．
【答案】7 π
3
【详解】设圆锥体的母线为l ，则
3
2π
π
2
r
l
，所以
4
4
3
3
l
r
，所以
2
1
1
4
7
π
2π
π
2π
π
2
2
3
3
S
r
l
r
.
故答案为：7 π
3
.
【变式训练10】如图，AB 为圆锥SO 面圆的一条直径，点C 为线段SA的中点，现沿SA将圆锥SO 的
侧面展开，所得的平面图形中
ABC
V
为直角三角形，若
4
SA
．则圆锥SO 的表面积为（
）
A．28π
3
B．64π
9
C．8π
D．12π
【答案】B
【详解】解：如图所示，作出展开图，可得
CAB
，
CBA
为锐角，故BC
SA
，
由SC
CA
，可得BS
BA
，即
ASB
△
为等边三角形，所以
2π
3
ASA
，
则圆锥的侧面积为1
2π
16π
16
2
3
3
，
2π
8π
4
3
3
AA
，
又因为
2π
AA
r
，
4
3
r
，所以底面积
2
16
9
r
，
所以圆锥SO 的表面积为16π
16π
64π
9
3
9
．
故选：B．
77
2026 年高二暑假讲义A 版
题型4
外接球问题
78
2026 年高二暑假讲义A 版
4、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置
是△CBD 的外心O1 与△AB2D2 的外心O2 连线的中点，算出小圆O1 的半径AO1＝r，OO1＝
2
h ，
2
2
2
4
h
R
r
．
r
h
C
D
B
R
A
O1
O
2
h
r
h
C
D
B
R
A
O1
O
2
h
O2
D2
B2
5、有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，
如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，
类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在
平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心
O1 作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD 的高为h，外接球的半径
为R，球心为O．△BCD 的外心为O1，O1 到BD 的距离为d，O 与O1 的距离为m，则
R2＝r2＋m2，
R2＝d2＋h－m 2，
解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－l2
4(其中r1、r2 为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)
A
B
C
D
O
类型Ⅰ
A
B
C
D
O1
O
类型Ⅱ
A
B
C
D
O1
O
D
O2
类型Ⅲ
A
B
C
D
O1
O
R
r
m
h－m
R
d
d
类型Ⅳ
6、正棱锥外接球半径：
2
2
2
r
h
R
h
．
h
l
r
D
C
B
A
79
2026 年高二暑假讲义A 版
例4、若长方体的长、宽、高分别为2,2,4，则长方体外接球的表面积为（
）
A．24π
B．2 6π
C．48π
D．4 6π
【答案】A
【详解】由已知得长方体的对角线长为
2
2
2
2
2
4
2 6
l
，所以外接球半径为
6
2
l
R
，
球的表面积为
2
4π
24π
S
R
，
故选：A．
【变式训练11】在三棱锥P
ABC
中，
3
PA
PB
AC
BC
，
2
PC
AB
，则三棱锥P
ABC
的外接球的表面积为（
）
A．20π
B．12π
C．5π
D．4π
【答案】C
【详解】如图，将三棱锥P
ABC
转化为长方体，
7、侧棱相等模型：
如图，P 的射影是ABC 的外心
三棱锥
P
ABC 的三条侧棱相等
三棱锥
P
ABC 的底面ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心
1
O ，则
1
,
,
P O O 三点共线；
第二步：先算出小圆
1
O 的半径
1
AO
r ，再算出棱锥的高
1
PO
h （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：
2
2
2
1
1
OA
O A
O O
2
2
2
(
)
R
h
R
r ，解出
2
2
2
r
h
R
h
．
80
2026 年高二暑假讲义A 版
可知三棱锥P
ABC
的外接球即为长方体的外接球，
则
2
2
2
2
2
2
4
3
3
a
b
a
c
b
c
，可得
2
2
2
5
a
b
c
，
则外接球的半径
2
2
2
5
2
2
a
b
c
R
，
所以三棱锥P
ABC
的外接球的表面积为
2
2
5
4π
4π
5π
2
R
.
故选：C.
【变式训练12】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑P
ABC
中，
PA 平面ABC，AC
CB
，
2
2
PA
BC
，
3
AC
，则此四面体的外接球表面积为（
）
A．3π
B．8π
C．9π
D．8 2 π
3
【答案】B
【详解】根据题意，PA 平面ABC，
BC
平面ABC，所以PA
BC
，
又AC
CB
，
,
,
PA
AC
A PA AC
平面PAC ，所以
BC
平面PAC ，
将鳖臑P
ABC
补全成长方体，如图，
则此四面体的外接球的半径为
2
2
2
1
1
2
1
3
2
2
2
PB
，
其外接球的表面积为
2
4π
8π
S
R
.
故选：B.
【变式训练13】已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4 的同一个球的球面上，则该圆
81
2026 年高二暑假讲义A 版
柱的体积为（
）
A．
B．3
C．6
D．8
【答案】C
【详解】由题可知该圆柱底面直径为
2
2
4
2
2 3
，
所以底面半径为
3
所以圆柱体积为
2
π
3
2
6π
故选：C
【变式训练14】已知圆锥底面半径为3，体积为3π ，若圆锥底面圆周和顶点都在球O的表面上，则
球O的表面积为（
）
A．100π
B．40π
C．40π
10
3
D．500π
3
【答案】A
【详解】设圆锥的高为h ，因为圆锥的体积为3π ，可得
2
1 π
3
3π
3
h
，解得
1
h ，
设圆锥的外接球的半径为R ，可得
2
2
2
(
)
R
r
R
h
，即
2
2
2
3
(
1)
R
R
，
解得
5
R
，所以外接球的表面积为
2
2
4π
4π 5
100π
S
R
.
故选：A.
【变式训练15】某圆柱的底面直径和高都等于4，则该圆柱的内切球的表面积为（
）
A．64π
B．16
C．32
3
D．128
3
【答案】B
【详解】因为该圆柱的底面直径和高都等于4，
所以该圆柱的内切球的半径等于该圆柱的底面半径，
则该圆柱的内切球的表面积为
2
4π
2
16π
.
故选：B
【变式训练16】已知三棱锥S
ABC
底面是边长为
3 的正三角形，SA 平面ABC ，且
2 3
SA
，
82
2026 年高二暑假讲义A 版
则该三棱锥的外接球的体积为（
）
A．32π
3
B．4 3π
C．
6π
D．8π
3
【答案】A
【详解】如图，将三棱锥S
ABC
补成三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
，点S 与
1A 重合，
正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
外接球也为三棱锥S
ABC
的外接球，令球心为O，半径为R ，
记
ABC
V
和
1
1
1
A B C
△
外接圆的圆心分别为
1
O 和
2
O ，其半径为r ，由正弦定理得：
3
1
2sin60
r
，而
O为
1
2
O O 的中点，则
2
21
3
2
R
，所以该三棱锥的外接球的体积为
3
4
32π
π
3
3
V
R
.
故选：A
例5、半径为2 的球O内切于正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
，则正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的体积为（
）
题型5
内切球问题
83
2026 年高二暑假讲义A 版
A．48 3
B．96 3
C．32 3
D．16 3
【答案】A
【详解】因为半径为2 的球O内切于正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
，
所以正三棱柱ABC
1
1
1
A B C 的高
4
h
，且该组合体过球心O且平行于平面ABC 的截面为球O的大圆
O内切于与
ABC
V
全等的正三角形A B C
，如图.
由正三角形及其内切圆的性质，得AB
4 3
A B
，
所以
ABC
V
的面积为
2
1
3
4 3
12 3
2
2
，
所以正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的体积为12 3
4
48 3
.
故选：A
【变式训练17】如图，圆锥的底面半径为r，高为3r ，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均
相切）的半径为1，则r （
）
A．1
5
3
B．
5
1
3
C．1
10
2
D．1
10
3
【答案】D
【详解】由题意得PF ⊥AB ，AC ⊥BC ，故APF
∽
ABC
V
，
故PF
AP
BC
AB
，
其中
,
3 ,
1
BC
r AC
r PC
PF
，
故
2
2
10
AB
AC
BC
r
，
3
1
PA
AC
PC
r
，
84
2026 年高二暑假讲义A 版
所以1
3
1
10
r
r
r
，即
2
3
10
r
r
r
，解得
1
10
3
r
.
故选：D
【变式训练18】已知球O 内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD 为等腰梯形，
//
AB CD，
且
2
6
CD
AB
，则圆台EF 的体积为（
）
A．27 2π
4
B．51 2π
4
C．57 2π
4
D．63 2π
4
【答案】D
【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，
,
E F 分别为上下底的中点.
连接EF ，则EF
DC
，过BG
DC
于G .四边形EBCG 为矩形．
由于
6,
3
CD
AB
,则
3
3,
2
FC
EB
，则
3
2
GC
FC
FG
FC
BE
.
由切线的性质知道
3
9
3
2
2
BC
BE
CF
.
则
2
2
2
2
9
3
( )
( )
3 2
2
2
BG
BC
GC
.
1 (
)
3
V
S
S
S S
h
下
下
上
上
＋
＋
，
2
2
3
9π
π
( )
,
π
3
9π,
3 2
2
4
S
S
h
BG
下
上＝
＝
．
代入计算可得，
1
9π
9π
63 2π
(
9π
9π)
3 2
3
4
4
4
V
＋
＋
.
故选：D.
85
2026 年高二暑假讲义A 版
例6、如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程为（
）
（π 取3）
A．10cm
B．14cm
C．20cm
D．无法确定
【答案】A
【详解】
通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形
ABC
V
的斜边，
即
2
2π
64
36
64
10
AB
cm
故选：A.
【变式训练19】如图，圆锥底面半径为3，母线
12
PA
，
2
3
AB
AP
，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆
锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为（
）
A．6 7
B．16
C．4 10
D．12
【答案】C
【详解】把圆锥侧面沿母线PA 剪开，展在同一平面内得扇形APA，连接AB ，如图，
题型6
路径最短问题
86
2026 年高二暑假讲义A 版
令扇形APA圆心角大小为，则12
2π 3
，解得
π
2
，
在Rt
PAB
△
中，
1
4
3
PB
PA
，则
2
2
2
2
4
12
4 10
AB
PB
PA
，
所以一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为4 10 .
故选：C
【变式训练20】已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的底面边长为2 ，高为5，一质点从A 点出发，沿着三棱
柱的侧面绕行两周到达
1A 点的最短路线长为（
）
A．
61
B．10
C．5 5
D．13
【答案】D
【详解】由已知，需绕三棱柱的侧面绕行两周，
则将三棱柱沿
1
AA 展开，并沿底边扩大2 倍，
如图所示，
则展开图是以2 3 2
12
为底，5为高的矩形，
则最短路径即为其对角线长为
2
2
12
5
13
，
故选：D.
87
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点
,
E F 分别是
,
AB BC 的中点，过点
1, ,
D E F 的平面截该
正方体所得的截面是（
）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】D
【详解】如图所示，取
1
1
C D 的中点P，连接PQ、
1
PB 、
1
AB 、AQ 和
1
DC ，
P ，Q 分别是
1
1
C D ，
1
DD 的中点，故
1
PQ
C D
∥
，且
1
1
2
PQ
C D
，
1
1
AB
C D
∥
，故
1
PQ
AB
，
1
1
2
PQ
AB
，故
1
,
, ,
A B P Q 四点共面，
故四边形
1
AB PQ 是过A，Q，
1B 三点的截面，且四边形
1
AB PQ 是梯形．
故选：D．
【变式训练21】如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 是棱
1
CC 的中点，过
1
,
,
A D E 三
点的截面把正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
分成两部分，则该截面的周长为（
）
题型7
截面问题
88
2026 年高二暑假讲义A 版
A．3 2
2 5
B．2 2
5
3
C．9
2
D．2 2
2 5
2
【答案】A
【详解】如图，取BC 的中点F ，连接EF，AF，
1
BC ,
E 、F 分别为棱
1
CC 、BC 的中点，则
1
//
EF BC ，正方体中
1
1
//
BC
AD ，则有
1
//
EF AD ，所以平面
1
AFED
为所求截面，
因为正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，所以
2
EF
，
2
2
1
2
1
5
D E
AF
，
1
2 2
AD
，
所以四边形
1
AFED 的周长为3 2
2 5
.
故选：A.
【变式训练22】已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2 ，,
,
E F G 分别是
1
1
1
,
,
AB BB B C 的中点，则过
这三点的截面面积是（
）
A．3 2
B．6 2
C．6 3
D．3 3
【答案】D
【详解】如图所示，分别取
1
1
1
,
,
C D DD AD 的中点
,
,
H M N ，连接
,
,
,
GH HM MN NE ，
在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，可得
/ /
,
/ /
,
/ /
GH
NE HM
EF MN
FG ，
所以经过点
,
,
E F G 的截面为正六边形EFGHMN ，
又因为正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2 ，
在直角
BEF
△
中，可得
2
2
2
EF
BE
BF
，
所以截面正六边形的面积为
2
3
6
( 2)
3 3
4
.
故选：D.
89
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练23】如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，N 为
1
1
B C 的中点，若过
1B D 的平面∥平
面
1
CND ，则截该正方体所得截面图形的面积为
.
【答案】2 6
【详解】如图，取BC 的中点E，
1
1
A D 的中点F，连接DE，
1B E ，
1B F ，FD，
因为E，F 分别为BC，
1
1
A D 的中点，所以
1
1
FD
B N
∥
，
1
1
FD
B N
，
所以四边形
1
1
FD NB 是平行四边形，所以
1
1
FB
D N
∥
，
又因为
1
D N 平面
1
CND ，
1
FB 平面
1
CND ，所以
1
FB ∥平面
1
CND ，
同理
1B E∥平面
1
CND ，
又
1
1
1
B E
FB
B
∩
，
1B E ，
1
FB 平面
1
FDEB ，所以平面
1
FDEB ∥平面
1
CND ，
即四边形
1
FDEB 为截正方体所得截面图形.
由正方体的棱长为2，易得四边形
1
FDEB 是边长为
5 的菱形，
90
2026 年高二暑假讲义A 版
对角线即为正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的体对角线
2
1
3 2
2 3
B D
，
又
2
2
2
2
2 2
EF
，
所求截面的面积
1
2 3
2 2
2 6
2
S
.
故答案为：2 6
例8、在三棱台
1
1
1
A B C
ABC
中，点D 在
1
1
A B 上，且
1 / /
AA
BD ，点M 是三角形
1
1
1
A B C 内（含边界）
的一个动点，且有平面
/ /
BDM
平面
1
1
A ACC ，则动点M 的轨迹是（
）
A．三角形
1
1
1
A B C 边界的一部分
B．一个点
C．线段的一部分
D．圆的一部分
【答案】C
【详解】如图，过D 作
1
1
/ /
DE
AC 交
1
1
B C 于E ，连接BE ，
1
//
BD
AA ，BD 平面
1
1
AAC C ，
1
AA 平面
1
1
AAC C ，所以
/ /
BD
平面
1
1
AAC C ，
同理
/ /
DE
平面
1
1
AAC C ，又BD
DE
D
∩
，
,
BD DE 平面BDE ，
所以平面
/ /
BDE
平面
1
1
AAC C ，所以M
DE
，（M 不与D 重合，否则没有平面BDM ），
故选：C．
【变式训练24】已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
棱长为3，点M 在正方体内部运动（包括表面），且
BM ∥平面
1
AD C ，则动点M 的轨迹所形成区域的面积为
．
【答案】9 3
2
/ 9
3
2
【详解】因为平面
1
1
BAC ∥平面
1
ACD ，
所以点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且BM ∥平面
1
AD C ，
题型8
轨迹问题
91
2026 年高二暑假讲义A 版
所以点M 的轨迹是
1
1
AC B
△
三角形及其内部，
所以
1
1
A BC
V
的面积为
1
1
2
1
π
9 3
3 2
sin
2
3
2
A BC
S
.
故答案为：9 3
2
．
【变式训练25】棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，P 为正方体表面上一个动点，且总有
1
PC
BD
，则动点P 的轨迹所围成的面积为（
）
A．3 3
B．6 2
C．6
D．2 3
【答案】D
【详解】
如图，易知直线
1
BD 平面
1
ACB ，
故动点P 的轨迹所围成图形为
1
AB C
△
，
因为
1
AB C
△
为边长为2 2 的正三角形，
所以其面积
2
3
2 2
2 3
4
S
，
故选：D.
【变式训练26】动点Q 在棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
侧面
1
1
BCC B 上，满足
2
QA
QB
，则
点Q 的轨迹长度为（
）
A．2π
B．4π
3
C．
3π
D．
3π
2
【答案】D
【详解】
92
2026 年高二暑假讲义A 版
如图，易得AB 平面
1
1
BCC B ,因BQ 平面
1
1
BCC B ，则AB
BQ
，
不妨设|
|
BQ
r
，则|
| 2
AQ
r
,
2
2
|
|
(2 )
3
3
AB
r
r
r
，解得
3
r
，
又点Q 平面
1
1
BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B 为圆心，半径为
3 的圆弧
EQF ,
故其长度为π
3π
3
2
2
.
故选：D.
一、单选题
1、已知圆锥的表面积为12π ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（
）
A．8 3π
3
B．3 3
C．5π
3
D．12π
【答案】A
【详解】设圆锥的半径为r ，母线长l ，因为侧面展开图是一个半圆，则π
2π
l
r
，即
2
l
r
，
则
2
π
π
12π
r
rl
，可得
2
r
，
4
l
，利用勾股定理求得圆锥的高为2 3 ，
所以圆锥的体积为
2
1
8 3π
π
2
2 3
3
3
.
故选：A.
2、如图，O A B
是
OAB
△
用“斜二测画法”画出的直观图，O A
A B
，O A
A B
，
2
O B
，则
OAB
△
的周长是（
）
93
2026 年高二暑假讲义A 版
A．2 2
2
B．4 2
2
C．
2
4
D．2 2
2 3
2
【答案】D
【详解】作出
OAB
△
，如下图所示：
由题意可知因为
2
O B
，O A
A B
，O A
A B
，所以
2
O A
，
故
2
OB
，
2 2
OA
，
π
2
AOB
，
由勾股定理可得
2
2
2
2
2 2
2
2 3
AB
OA
OB
，
故
OAB
△
的周长为
2
2 3
2 2
OA
OB
AB
.
故选：D.
3、已知菱形ABCD的边长为2，
60
A
．将菱形ABCD沿对角线AC 折起，使得
3
BD
，则三
棱锥D
ABC
的体积为（
）
A．1
2
B．
3
2
C．1
D．
3
【答案】A
【详解】如图，取AC 的中点O，连接
,
BO DO ，
因为
2
DA
DC
AB
BC
，且
o
60
A
，
所以AC
OD
，AC
OB
，
1
OB
OD
，
又OB
OD
O
∩
，
,
OB OD 平面OBD，故AC 平面OBD，
又AC 平面ABC ，所以平面OBD 平面ABC ，
过点D 作DH
BO
，垂足为H ，
又平面OBD平面ABC
OB
，DH 平面OBD ，
所以DH 平面ABC ，即DH 是三棱锥D
ABC
的高，
在DOB
中，由等面积法，得1
1
1
1
3
2
2
2
DH
，解得
3
2
DH
，
94
2026 年高二暑假讲义A 版
又
1
2 3 1
3
2
ABC
S
，
1
3
1
3
3
2
2
D ABC
V
.
故选：A.
4、如图圆柱的底面周长是10cm ，圆柱的高为12cm ，BC 为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着
圆柱的侧面从下底面点A 处爬到上底面点B 处，那么它爬行的最短路程为（
）
A．10cm
B．11cm
C．13cm
D．12cm
【答案】C
【详解】
把圆柱沿母线AC 剪开后展开，点B 展开后的对应点为B，
则蚂蚁爬行的最短路径为AB，
如图，由题意可知
12
AC
，
5
CB
，
在Rt
ACB
△
，
2
2
1
3
5
2
1
AB
，
所以它爬行的最短路程为13cm，
故选：C
5、已知圆台
1
2
O O 上、下底面的半径分别为2，4，圆台的高为6．若该圆台的两个底面的圆周都在同
一个球的表面上，则这个球的半径为（
）
A．3
B．2 3
C．4
D．2 5
95
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】如图：取圆台
1
2
O O 的一条母线AB ，连接
1
AO 、
2
BO ，
由题意可知，四边形
2
1
ABO O 为直角梯形，且
1
2
AO
，
2
4
BO
，
1
2
6
O O
，
设外接球半径为R ，球心为O，
若外接球球心在线段
1
2
O O 上，
2
2
4
16
6
R
R
，
故
2
2
4
6
16
R
R
，整理得
2
16
2
R
，
2 5
R
，检验符合，
若外接球球心在射线
1
2
O O 上，则
2
2
4
16
6
R
R
，
故
2
2
4
16
6
R
R
，整理得
2
16
2
R
，无解，
故
2 5
R
，
故选：D.
二、多选题
6、下列结论正确的是（
）
A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B．棱台各侧棱的延长线交于一点
C．圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线
D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
【答案】BCD
【详解】由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，判断A 错误；
根据棱台的定义判断出B 正确；
根据圆柱的母线定义判断C 正确；
根据正方体的定义判断D 正确．
故选：BCD.
96
2026 年高二暑假讲义A 版
7、如图正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段
1
CC 上的动点，过A、P 、Q 的
平面截该正方体所得的截面记为.若
1
CQ
CC
，则下列结论正确的是（
）
A．当
1
0
2
,
时，为四边形
B．当
1
2
时，为等腰梯形
C．当
3 ,1
4
时，为六边形
D．当
1
时，的面积为
6
2
【答案】ABD
【详解】对于A，如图1，延长
,
AP DC 交于点E ，连接EQ 并延长交
1
DD 于F ，连接AF .
因为平面AEF 平面
1 1
BCCB
PQ
，平面AEF 平面
1
1
ADD A
AF
，
平面
1
1 / /
BCC B
平面
1
1
ADD A ，所以
/ /
AF
PQ ，
则四边形PQFA 即为所求截面，故A 项正确；
对于B 项，如图2，延长
,
AP DC 交于点G ，连接GQ 并延长交
1
DD 于F ，连接AF .
97
2026 年高二暑假讲义A 版
因为平面AEG ∩平面
1 1
BCCB
PQ
，平面AEG ∩平面
1
1
ADD A
AF
，
平面
1
1 / /
BCC B
平面
1
1
ADD A ，所以
/ /
AF
PQ ，
因为
,
P Q 分别为
1
,
CB CC 的中点，所以
1
2
PQ
AF
.
又
1
1
2
PQ
AD
，所以点F 与点
1
D 重合，
所以，截面即为梯形
1
APQD .
又
1
1
AB
D C
，
1
BP
C Q
，
1
1
90
ABP
DC Q
，
所以，
1
1
ABP
D C Q
，所以
1
AP
DQ
，
所以，截面四边形
1
APQD 为等腰梯形，故B 项正确；
对于C 项，如图3，延长
,
AP DC 交于点H ，连接HQ 并延长交
1
1
C D 于点M ，交
1
DD 延长线于K ，
连接AK ，交
1
1
A D 于点N ，连接MN .
可知，截面为五边形APQMN ，故C 项错误；
对于D 项，如图4，截面即为四边形
1
APC E .
98
2026 年高二暑假讲义A 版
易知
1
1
5
2
AP
C P
C E
AE
.
又
1
3
AC
，
在
1
APC
中，
2
2
2
1
1
1
1
cos
2
PA
C P
C A
APC
PA C P
5
5
3
1
4
4
5
5
2
4
，
所以，
2
1
1
2 6
sin
1 cos
5
APC
APC
，
所以，的面积为
1
1
5
5
2 6
6
2
2
2
2
2
5
2
APC
S
S
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
8、若圆柱的侧面展开图为边长为1 的正方形，则该圆柱的表面积为________．
【答案】1
1
2π
【详解】圆柱的侧面展开图为边长为1 的正方形,则侧面积为1．底面半径为r ，
则1
2πr
，则
1
2π
r
，底面积为
2
2
1
1
2π
2π
(
)
2π
2π
r
.故表面积为1
1
2π .
故答案为：1
1
2π .
9、如图，在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
2
A B
，
6
AB
，若该四棱台的体积为52 3
3
，则该四
棱台的外接球表面积为
．
99
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】385π
3
【详解】已知
1
1
2
A B
，
6
AB
，则上底面积
1
4
S
，下底面积
36
S
，体积52 3
3
h ，
由棱台体积公式得
52 3
1
4
36
4 36
52 3
52
3
3
3 h
h
h
，
设外接球球心P 到下底面中心O的距离为x ，则P 到上底面中心
1
O 的距离为
3
x
，
由正四棱台的上下底面都是正方形可得
3 2
OA
，
1
1
2
O A
，
设外接球半径为R ，则
2
2
2
2
2
3 2
3
2
R
x
x
.
展开并化简：
2
2
13
18
2 3
5
13
2 3
2 3
x
x
x
x
x
（负值舍去），
则
2
2
13
385
18
12
2 3
R
，
最终外接球表面积：
2
385
385π
4π
4π 12
3
R
，
故答案为：385π
3
四、解答题
10、如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，
PCD
△
为等边三角形，平面PAC 平
面PCD，PA
CD
，
4
CD
，
6
AD
．
(1)若平面PAB 平面PCD
l
，求证：//
l CD ；
(2)求证：PA 平面PCD；
(3)求四棱锥P
ABCD
的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)16 15
3
100
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）证明：因为底面ABCD 为平行四边形，可得
/ /
CD
AB ，
因为AB 平面PAB ，且CD 平面PAB ，所以
/ /
CD
平面PAB ，
又因为平面PAB 平面PCD
l
，且CD 平面PCD，所以/ /
l
CD .
（2）证明：取PC 的中点N ，连接DN ，
因为
PCD
△
为等边三角形，所以DN
PC
，
又平面PAC 平面PCD，且平面PAC ∩平面PCD
PC
，DN 平面PCD，
所以DN 平面PAC ，又因为PA平面PAC ，所以DN
PA
，
因为PA
CD
，且DN
CD
D
∩
，
,
DN CD 平面PCD，所以PA 平面PCD.
（3）因为PA 平面PCD，且PD 平面PCD，所以PA
PD
，
在直角
PAD
△
中，由
6,
4
AD
PD
CD
，可得
2
2
2 5
PA
AD
PD
，
又由等边
PCD
△
的边长为4 ，可得
2
3
4
4 3
4
PCD
S
，
所以四棱锥P
ABCD
的体积:
1
1
16 15
2
2
2
2
4 3
2 5
3
3
3
P ABCD
P ACD
A PCD
PCD
V
V
V
S
PA
.
11、现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥
1
1
1
1
P
A B C D
，下部的形状
是正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
（如图所示），并要求正四棱柱的高
1
OO 是正四棱锥的高
1
PO 的4 倍.
(1)若
1
6m,
2m
AB
PO
，则仓库的容积是多少
3
m ？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m ，
1
2m
PO
，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处
理，每平方米粉刷费用是100 元，下部每平方米粉刷费用是80 元，问粉刷总费用是多少元（结果
精确到0.1 元）？
101
2026 年高二暑假讲义A 版
(3)若正四棱锥的侧棱长为6m ，当
1
PO 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)
3
312m ；(2) 27635.4 元；(3)
1
3 2m
PO
时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是
2
288 2m
【详解】（1）由
1
2 m
PO
知
1
1
4
8m
OO
PO
.
因为
1
1
6 m
A B
AB
，
所以正四棱锥
1
1
1
1
P
A B C D
的体积
2
2
3
1
1
1
1
1
6
2
24m
3
3
V
A B
PO
锥
，
正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的体积
2
2
3
1
6
8
288m
V
AB
OO
柱
.
所以仓库的容积
3
24
288
312m
V
V
V
锥
柱
.
（2）如图，连接
1
1
O B ，取
1
1
B C 的中点M ，连接PM .
在正四棱锥
1
1
1
1
P
A B C D
中，
1
1
PB
PC
，
所以
1
1
PM
B C
.
因为
1
1
2m,
6m
PO
PB
，
1
8m
OO
，
所以
1
1
36
4
4 2m
O B
，
所以
1
1
4 2
2
8m
C B
，
所以
36 16
2 5m
PM
，
所以
1
1
2
1
1
1
1
8 2 5
8 5m
2
2
PB C
S
B C
PM
，
所以正四棱锥
1
1
1
1
P
A B C D
的侧面积为：
1 1
2
4
32 5m
PB C
S
.
正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的侧面积为：
2
8 8 4
256m
则粉刷总费用为：32 5 100
256 80
3200 5
20480
27635.4
元.
102
2026 年高二暑假讲义A 版
（3）设
1
m
PO
x
，下部分的侧面积为
2
m
S
，连接
1
1
AO ，
则
2
2
1
1
1
1
1
4 m,
36
m,
2
36
m
OO
x
AO
x
A B
x
，
则
2
2
2
1
1
1
4
16 2
36
16 2
36
0
6
S
A B
OO
x
x
x
x
x
，
设
2
2
2
4
2
2
36
36
18
324
f
x
x
x
x
x
x
，
当
2
18
x
，即
3 2
x
时，
max
max
( )
324,
288 2
f x
S
，
故当
1
3 2m
PO
时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是
2
288 2 m .
103
2026 年高二暑假讲义A 版
线面、面面的平行与垂直问题
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面平行，记作l ∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线
线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条
直线平行，那么这条直线和这个平面平行
（简记为“线线平行线面平行）
1
1
l
l
l
l
l
∥
∥
面∥面
线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所
有直线都平行于另一个平面
a
a
∥
∥
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面
线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直
线的平面和这个平面相交，那么这条直线就
和交线平行
l
l
l
l
l
∩
∥
∥
题型1
构造中位线证线面平行
题型8
面面平行的性质
题型2
构造平行四边形证线面平行
题型9
常见的线面垂直的证明
题型3
利用面面平行证线面平行
题型10
利用全等三角形证明线面垂直
题型4
利用线面平行的性证线线、线面平行
题型11
利用线面垂直证明线线垂直
题型5
利用线段成比例证线面平行
题型12
证明面面垂直
题型6
四点共面问题
题型13
面面垂直性质定理的应用
题型7
面面平行的证明
知识点1
直线和平面平行
104
2026 年高二暑假讲义A 版
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若
∩
，则∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面
面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行
于另一个平面，那么这两个平面平行
（简记为“线面平行面面平行）
,
,
a
b
a
b
P
∩
a
b
∥，∥
∥
线面
面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这
两个平面平行
l
l
∥
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的
所有直线都平行于另外一个平面
/ /
/ /
a
a
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相
交，那么他们的交线平行
（简记为“面面平行线面平行”）
/ /
/ / .
a
a
b
b
∩
∩
面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，
那么另一个平面也垂直于这条直线
/ /
l
l
知识点2
两个平面平行
105
2026 年高二暑假讲义A 版
1、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
2、直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直
线都垂直，则该直线与此平面垂直
a，b⊂α
a∩b＝O
l⊥a
l⊥b
⇒l⊥α
面⊥面
线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于
交线的直线与另一个平面垂直
b
a
a
b
b
b
a
平行与垂
直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面
垂直，则该直线与另一个平面也垂直
a
/ /
a
a
平行与垂
直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另
一条直线与该平面也垂直
b
a
/ /
a
b
b
a
3、直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
b
a
/ /
a
a
b
b
垂直与平行
的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
a
/ /
a
a
知识点3
直线与平面垂直
106
2026 年高二暑假讲义A 版
线垂直于面
的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该
直线与平面内所有直线都垂直
,
l
a
l
a
1、平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相
垂直．（如图所示，若
,
CD CD
，且
,
,
AB
BE AB
BE
，则
）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2、平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这
两个平面垂直
l⊥α
l⊂β
⇒α⊥β
3、平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于
交线的直线与另一个平面垂直
α⊥β
l⊂β
α∩β＝a
l⊥a
⇒l⊥α
知识点4
平面与平面垂直
107
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，
45 ,
1
ADC
AD
AC
，O为AC
中点，PO⊥平面ABCD ，
2
PO
，M 为PD 中点.
(1)证明：PB / / 平面ACM ；
(2)求四棱锥P
ABCD
的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2) 2
3
【详解】（1）如图所示，连接
,
BD MO，
因为ABCD 为平行四边形，O是AC 中点，
所以
,
AC BD 是平行四边形ABCD 的对角线，所以O是BD 中点，
又因为M 是PD 中点，所以MO 是DBP
中位线，所以MO ∥PB，
因为MO 平面ACM ，PB 平面MAC ，所以PB ∥平面ACM ；
（2）
1
1
2
1 1
2
3
3
3
P ABCD
V
Sh
.
【变式训练1】如图，正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，D 是BC 的中点，
2
AB
．
题型1
构造中位线证线面平行
108
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求证：
1AC∥平面
1
AB D ；
(2)若三棱锥
1
1
B
ADC
的体积为2 3
3
，求
1
AA ．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)2
【详解】（1）连接
1A B ，交
1
AB 于点H ，连接DH ，
因为四边形
1
1
A B BA为矩形，所以H 为
1A B 的中点，又D 是BC 的中点，故
1AC
DH
∥
，
因为
1AC 平面
1
AB D ，DH 平面
1
AB D ，
所以
1AC∥平面
1
AB D ；
（2）因为
ABC
V
为等边三角形，D 是BC 的中点，
所以AD ⊥BC ，又
2
AB
，故
2sin60
3
AD
，
因为
1B B ⊥平面ABC ，AD 平面ABC ，所以
1B B ⊥AD ，
因为
1
BC
B B
B
∩
，
1
,
BC B B 平面
1
1
BCC B ，所以AD ⊥平面
1
1
BCC B ，
设
1
AA
m
，则
1
BB
m
，
1 1
1
1
1
1
2
B C D
S
B C
B B
m
，
1
1
1
1
2 3
3
B
ADC
A B DC
V
V
，
所以
1 1
1
3
3
3
3
3
2
B C D
S
AD
m
，解得
2
m
，
故
1
2
AA
.
109
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、如图，在四棱锥P
ABCD
中，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD 底面ABCD ，底面ABCD 为
矩形，
2
, ,
AB
AD E F
分别为
,
AB PC 的中点．
求证：直线
/ /
EF
平面PAD ；
【答案】证明过程见解析
【详解】取PD 的中点G ，连接
,
AG FG ，
因为F 为PC 的中点，所以
/ /
FG
CD 且
1
2
FG
CD
，
因为底面ABCD 为矩形，
2
AB
AD
，E 为AB 的中点，
所以
/ /
AE
CD 且
1
2
AE
CD
，
故
/ /
AE
FG 且
AE
FG ，
所以四边形AEFG 为平行四边形，
所以
/ /
EF
AG ，
因为EF 平面PAD ，AG 平面PAD ，
所以
/ /
EF
平面PAD ；
【变式训练2】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
,
M N 分别是
1
1,
A B AC 的中点.
(1)证明：MN ∥平面
1
1
BCC B ；
题型2
构造平行四边形证线面平行
110
2026 年高二暑假讲义A 版
(2)若
1
2
AB
BC
BB
，且AB
BC
，求三棱锥A
BMN
的高.
【答案】(1)证明见解析；(2) 4
3
【详解】（1）取BC 的中点E ，连接
1
,
EN B E ,
因为
,
E N 分别为中点，所以
/ /
EN
AB 且
1
2
EN
AB
，
因为
1
1 / /
A B
AB ，所以
1
1
//
EN
A B ，
因为M 为中点，所以
1
/ /
EN
B M 且
1
EN
B M
，即四边形
1
ENMB 为平行四边形，
所以
1
/ /
MN
B E ，又MN 平面
1
1
BCC B ，
1B E 平面
1
1
BCC B ，
所以MN ∥平面
1
1
BCC B .
（2）因为
1
2
AB
BC
BB
，且AB
BC
，所以
2
BN
，
5
BM
MN
;
所以
MBN
△
的面积为
2
2
1
2
3
2
5
2
2
2
，
设三棱锥A
BMN
的高为h ，则
M
ABN
A MBN
V
V
,
1
1
2
3
3
ABN
MBN
S
S
h
，解得
4
3
h
，即三棱锥A
BMN
的高为4
3 .
例3、已知直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，AB
AD
，
//
AB CD，
2
AB
，
3
AD
，
4
CD
．
题型3
利用面面平行证线面平行
111
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)证明：直线
1 //
A B
平面
1
1
DCC D ；
(2)若该四棱柱的体积为36，求
1A A 的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
1
4
AA
【详解】（1）证明：在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
//
AA
DD ，
因为
1
AA 平面
1
1
DCC D ，
1
DD 平面
1
1
DCC D ，所以，
1//
AA
平面
1
1
DCC D ，
因为
//
AB CD，AB 平面
1
1
DCC D ，CD 平面
1
1
DCC D ，所以，
//
AB 平面
1
1
DCC D ，
因为
1
AB
AA
A
，AB 、
1
AA 平面
1
1
AA B B ，所以，平面
1
1 //
AA B B
平面
1
1
DCC D ，
因为
1A B 平面
1
1
AA B B ，因此，
1 //
A B
平面
1
1
DCC D .
（2）解：因为
2
AB
，
3
AD
，
4
CD
，AB
AD
，
//
AB CD，
所以，
2
4
3
9
2
2
ABCD
AB
CD
AD
S
梯形
，
所以，
1 1 1
1
1
1
9
36
ABCD A B C D
ABCD
V
S
AA
AA
梯形
，解得
1
4
AA
.
【变式训练3】如图，已知四棱锥S
ABCD
中，底面ABCD 是平行四边形，E 为侧棱SC 的中点.
(1)求证：SA ∥平面EDB ；
(2)若F 为侧棱AB 的中点，求证：EF ∥平面SAD .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）连接
,
AC BD ，设AC
BD
O
∩
，因为ABCD 是平行四边形，
所以O是AC BD
､
的中点，连接OE ，又E 为侧棱SC 的中点，
所以在SAC
中有：SA ∥EO ，又SA平面
,
EDB EO 平面EDB ，
所以SA ∥平面EDB .
（2）若F 为侧棱AB 的中点，且由（1）知O是BD 的中点，
所以在BAD
中有：则AD ∥FO，又FO 平面
,
SAD AD 平面SAD ，
112
2026 年高二暑假讲义A 版
所以FO ∥平面SAD ，
由（1）知SA ∥
,
EO EO 平面
,
SAD SA 平面SAD ，
所以EO ∥平面SAD .
又
,
,
EO
FO
O EO FO
平面EOF ，
所以平面EOF ∥平面SAD ，又EF 平面EOF ，所以EF ∥平面SAD .
例4、如图所示，在四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上
取一点G，过G 和PA 作平面交BD 于点H，求证：
//
PA GH .
【答案】证明见解析
【详解】如图所示，连接AC 交BD 于点O，连接OM，
因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，
题型4
利用线面平行的性证线线、线面平行
113
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
//
PA OM ，又OM 平面BMD ，PA 平面BMD ，
所以
//
PA 平面BMD ，
又平面PAHG 平面BMD
GH
，PA 平面PAGH ，
所以
//
PA GH .
【变式训练4】如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中
点，在线段DM 上取一点G （不取端点），过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ．求证：
/ /
GH
平面
PAD ．
【答案】证明见解析
【详解】如图所示，连接AC 交BD 于点O，连接MO ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴O是AC 的中点．
又M 是PC 的中点，∴
/ /
PA
MO ．
而AP 平面BDM ，OM 平面BDM ，
∴
/ /
PA
平面BMD ．
又PA平面PAHG ，平面PAHG 平面BMD
GH
，
∴
/ /
PA
GH ．
又PA平面PAD ，GH 平面PAD ，
∴
/ /
GH
平面PAD ．
【变式训练5】如图，四棱锥P
ABCD
中，ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点．
114
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)若AB 的中点为N ，求证：
/ /
MN
平面APD ；
(2)在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，H 在BD 上，证明：
/ /
AP
GH ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）证明：如图所示，取PD 的中点E ，连接
,
ME AE ，
因为M 为PC 的中点，可得
/ /
ME
CD 且
1
2
ME
CD
，
又因为ABCD 为平行四边形，可得
/ /
AB
CD 且AB
CD
，
所以
/ /
ME
AB 且
1
2
ME
AB
，
又因为N 为AB 的中点，可得
/ /
ME
AN 且ME
AN
，
所以四边形ANME 为平行四边形，所以
/ /
MN
AE ，
因为MN 平面PAD ，且AE 平面PAD ，所以
/ /
MN
平面PAD .
（2）证明：连接AC 与BD 交于点O，且O为AC 的中点，
由点M 为PC 的中点，所以
/ /
AP
MO ，
因为AP 平面BDM ，且MO 平面BDM ，所以
/ /
AP
平面BDM ，
又因为AP 平面AHGP ，且平面AHGP ∩平面BDM
GH
，所以
/ /
AP
GH .
例5、如图，点S 是
ABCD
所在平面外一点，M，N 分别是SA，BD 上的点，且AM
DN
SM
NB
．求证：
/ /
MN
平面SBC ．
题型5
利用线段成比例证线面平行
115
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】证明过程见解析
【详解】在AB 上取E ，使得
B
AM
SM
AE
E
，则
/ /
ME
SB ，
因为ME 平面SBC ，SB 平面SBC ，
所以
/ /
ME
平面SBC ，
因为AM
DN
SM
NB
，所以AE
DN
EB
NB
，则
/ /
NE
AD ，
又
ABCD
中，
/ /
BC
AD ，故
/ /
BC
NE ，
因为NE 平面SBC ，
BC
平面SBC ，
所以
/ /
NE
平面SBC ，
因为ME 平面MNE ，NE 平面MNE ，ME
NE
E
，
所以平面MNE / / 平面SBC ，
因为MN 平面MNE ，所以MN / / 平面SBC .
【变式训练6】如图，已知在四棱锥P
ABCD
中，PD 平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形.
AD
CD
，
/ /
AB
CD ，
2
AB
AD
PD
，
4
CD
，点E 是棱PC 上靠近P 端的三等分点，点F 是棱
PA 上点.
(1)证明：
/ /
PA
平面BDE ；
116
2026 年高二暑假讲义A 版
(2)求异面直线BD 与PC 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
10
5
【详解】（1）在四棱锥P
ABCD
中，连接AC
BD
O
∩
，连接OE ，
在梯形ABCD 中，由
//
AB CD，得
1
2
AO
AB
OC
DC
，由点E 是棱PC 上靠近P 端的三等分点，得
1
2
PE
AO
EC
OC
，则
/ /
OE
AP ，而AP 平面BDE ，OE 平面BDE ，所以
//
PA 平面BDE .
（2）在PA 上取点G ，使
1
3
AG
AP
，连接OG ，则
1
3
AG
AO
AP
AC
，即
/ /
OG
PC ，
因此
DOG
是异面直线BD 与PC 所成的角或其补角，
1
3
OG
PC
，
由PD 平面ABCD ，
,
AD CD 平面ABCD ，得
,
PD
AD PD
CD
，
2
2
1
2 5
2
4
3
3
OG
，
2
4 2
3
3
DO
BD
，在
ADG
△
中，
2 2 ,
45
3
AG
DAG
，
由余弦定理得
2
2
2 2
2 2
2
2 5
2
(
)
2 2
3
3
2
3
DG
，
在等腰DOG
中，
2 2
1
10
3
2
cos
5
2 5
3
DO
DOG
OG
，
所以异面直线BD 与PC 夹角的余弦值是
10
5
.
例6、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E ，F 分别是棱
1
AA ，
1
CC 的中点．求证：E ，B ，F ，
1
D 四点共面．
题型6
四点共面问题
117
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】证明见解析
【详解】如图，取
1
DD 的中点G ，连接AG ，GF ，
则CD
GF
∥
，CD
GF
在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，CD
AB
∥
，CD
AB
，
所以AB
GF
，AB
GF
所以四边形ABFG 是平行四边形，所以AG
BF
∥
，
因为
1
AE
DG
，
1
AE
DG
∥
，
所以四边形
1
AED G 是平行四边形，所以
1
AG
ED
∥
，
所以
1
BF
ED
∥
，所以E ，B ，F ，
1
D 四点共面．
【变式训练7】如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
,
E F 分别为
1
,
AB AA 上的点且
1
D F
CE
M
．求证：点
, ,
D A M 三点共线．
【答案】证明见解析
【详解】因为
1
D F
CE
M
，且
1
D F 平面
1
1
A D DA ，所以M 平面
1
1
A D DA ，
同理M 平面ABCD ，
从而M 在两个平面的交线上，
因为平面
1
1
A D DA ∩平面ABCD
AD
，所以M
AD
成立．
所以点
, ,
D A M 三点共线．
【变式训练8】如图，在多面体ABCDEFGH 中，四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，四边
形ABGF 和四边形ADEF 均为梯形，其中
//
AB
FG ，
/ /
AD
EF ，且
2
AB
FG
．
118
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)证明：B，D，E，G 四点共面.
(2)证明：
,
,
AF BG DE 三条直线交于一点.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）
如图，取
,
AB AD 的中点分别为S,T，连接
,
,
GS ET ST ，则
/ /
ST
BD ,
因为四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，
2
AB
FG
，且
//
AB
FG ，
/ /
AD
EF ，
所以四边形
,
FGSA FETA均为平行四边形，即
/ /
/ /
GS
FA
ET ，GS
FA
ET
，
所以四边形GETS 为平行四边形，所以
/ /
GE
TS ，所以
/ /
GE
BD ，
所以B，D，E，G 四点共面.
（2）
延长
,
AF BG ，设它们交于一点S，
因为
//
AB
FG ，且
2
AB
FG
，
所以SFG
SAB
，则
1
2
SF
FG
SA
AB
，
同理，延长
,
AF DE ，设它们交于一点Q，
因为四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，
2
AB
FG
，
则
2
AD
EF
，又
/ /
AD
EF ，
所以QEF
QAD
，则
1
2
QF
EF
QA
AD
，
因此S 和Q 是同一个点，
所以
,
,
AF BG DE 三条直线交于一点.
119
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、如图所示，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，过BC 的平面与上底面
1
1
1
A B C 交于GH（GH 与
1
1
B C 不重
合）.
(1)求证：BC
GH
∥
；
(2)若E，F，G 分别是AB，AC，
1
1
A B 的中点，求证：平面
1
EFA ∥平面BCHG.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
平面
1
1
1 / /
A B C
平面ABC ，平面BCHG 平面ABC
BC
，平面BCHG 平面
1
1
1
A B C
GH
=
，
故BC
GH
∥
（2）∵在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
E ，F ，G 分别是AB ，AC ，
1
1
A B 的中点，
1
1
/ /
,
AG
BE AG
BE
，
四边形
1
BGA E 是平行四边形，
1
/ /
A E
BG
，
BG
∵
平面
1A EF ，
1A E 平面
1A EF ，
/ /
BG
平面
1A EF ．
又
/ /
EF
BC ，BC 平面
1A EF ，FE 平面
1A EF ，
/ /
BC
平面
1A EF ．
BG
BC
B
∩
，
,
BG BC 平面BCHG
平面
1
EFA / / 平面BCHG ．
题型7
面面平行的证明
120
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练9】如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 为
1
DD 的中点．
(1)求证：
1 / /
BD
平面AEC ；
(2)若F 为
1
CC 的中点，判断并证明平面AEC 和平面
1
BFD 的位置关系．
【答案】(1)证明见解析；(2)平面
/ /
AEC
平面
1
BFD ，证明见解析.
【详解】（1）连接BD ，交AC 于G ，连接EG ，由正方体的结构易知G 为BD 的中点，
又E 为
1
DD 的中点，则
1
/ /
EG
BD ，EG 平面AEC ，
1
BD
平面AEC ，
所以
1 / /
BD
平面AEC ；
（2）平面
/ /
AEC
平面
1
BFD ，证明如下：
由F 为
1
CC 的中点，连接
1
,
BF FD ；
E 为
1
DD 的中点，易知
1
1
/ /
,
ED
CF ED
CF
，
所以
1
CFD E 为平行四边形，则
1 / /
FD
CE ，
121
2026 年高二暑假讲义A 版
由CE 平面AEC ，
1
FD 平面AEC ，则
1 / /
FD
平面AEC ，
由（1）
1 / /
BD
平面AEC ，且
1
1
1
FD
BD
D
∩
，
1
1
,
BD FD 平面
1
BFD ，
所以平面
/ /
AEC
平面
1
BFD .
例8、如图，在六面体ABCDEF 中，
/ /
DE
CF ，四边形ABCD 是平行四边形，
2
DE
CF
．
(1)证明：平面
/ /
ADE
平面BCF ．
(2)若G 是棱BC 的中点，证明：
/ /
AE
FG ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】
（1）由
ABCD
，得
/ /
BC
AD ，而AD 平面AED ，BC 平面平面AED ，则
/ /
BC
平面AED ，
由
/ /
DE
CF ，CF 平面AED ，DE 平面AED ，得
//
CF
平面AED ，
又
,
,
BC
CF
C BC CF
平面BCF ，所以平面
/ /
ADE
平面BCF .
（2）延长
,
EF AG 与DC 的延长线分别交于点
1
2
,
O O ，
由
/ /
DE
CF ，
2
DE
CF
，得
1
CO
CD
，由
/ /
BC
AD ，G 是棱BC 的中点，得
2
CO
CD
，
因此点
1
2
,
O O 重合，记为O，显然平面AOE 平面AED
AE
，平面AOE 平面BCF
FG
，
由（1）知，平面
/ /
ADE
平面BCF ，所以
/ /
AE
FG .
【变式训练10】如图，在四棱锥P
ABCD
中，四边形ABCD 是平行四边形，
,
AC BD 交于点O，点
E 是棱PB 上的一点，且
//
PD
平面EAC ．
题型8
面面平行的性质
122
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求证：点E 是PB的中点；
(2)在棱BC 上是否存在点G ，使得平面
//
EOG
平面PCD？若存在，请加以证明，并写出BG
BC 的值；
【答案】(1)证明见解析；(2)点G 为棱BC 的中点时，平面
//
EOG
平面PCD，
1
2
BG
BC
【详解】（1）因为
//
PD
平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD
EO
，
又PD 平面PBD ，所以
//
PD EO ，
因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以点O是BD 的中点，则点E 是PB 的中点；
（2）当点G 为棱BC 的中点时，平面
//
EOG
平面PCD，理由如下：
若平面
//
EOG
平面PCD，由于PC 平面PCD，
所以
//
PC
平面EOG ，
又平面EOG∩平面PBC
EG
，
则
//
PC EG ，又点E 是PB 的中点，所以点G 是BC 的中点，
故点G 为棱BC 的中点时，平面
//
EOG
平面PCD，则
1
2
BG
BC
.
例9、如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点. 求证：
BD 平面PAC .
题型9
常见的线面垂直的证明
123
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】证明见解析
【详解】因为PA 平面ABCD ，BD 平面ABCD ，
所以PA
BD
，
因为底面ABCD 是菱形，所以AC
BD
，
因为PA
AC
A
∩
，
,
PA AC 平面PAC ，
所以BD 平面PAC .
【变式训练11】如图，在三棱锥A
BCD
中，
4 3,
2 3,
30 ,
CD
BC
BDC
BC
AD
．求证：
BC
平面ABD .
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）在
BCD
△
中，
4 3,
2 3,
30
CD
BC
BDC
，
由余弦定理
2
2
2
2
cos
BC
BD
DC
BD DC
BDC
，
即
2
3
12
48
2
4 3
2
BD
BD
，解得
6
BD
，
所以
2
2
2
BC
BD
DC
，即
90
DBC
，所以BC
BD
，
又BC
AD
，BD
AD
D
Ç
=
，
,
BD AD 平面ABD ，
所以
BC
平面ABD ；
【变式训练12】如图，PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AE
PB
于点E ．求证：AE 平面
PBC ；
【答案】证明见解析
【详解】
ABCD
∵
为矩形，
124
2026 年高二暑假讲义A 版
BC
AB
PA
∵
平面
,
ABCD BC
平面ABCD
BC
PA
，
又PA
AB
A
∩
，
,
PA AB 平面PAB ，
BC
平面PAB ，又AE 平面PAB ，
AE
BC
，
又
,
AE
PB PB
BC
B
，
,
PB BC 平面PBC ，
AE
平面PBC .
例10、如图，直角三角形ABC 所在平面外有一点S ，且SA
SB
SC
，D 为斜边AC 的中点.
求证: SD 平面ABC .
【答案】证明见解析
【详解】证明如下：因为SA
SC
，D 为斜边AC 的中点，
所以SD
AC
，
在直角
ABC
V
中，有AD
DC
BD
，已知
,
SA
SB SD
SD
，
所以ADS
BDS
≌
，所以
90
BDS
ADS
∠
∠
，即SD
BD
.
又
,
,
AC
BD
D AC BD
平面ABC ，
所以SD 平面ABC .
【变式训练13】如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M ､N ､Q 分别为棱
1
1
C D ､
1
BB ､
1
1
A B
的中点，求证：
1A N 平面AMQ .
题型10
利用全等三角形证明线面垂直
125
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】证明见解析
【详解】证明：正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
因为M ，Q 分别为棱
1
1
C D ，1
1
A B 的中点，所以
1
1
//
QM A D ，因为
1
1
A D 平面
1
1
ABB A ，1A N 平面
1
1
ABB A ，
所以
1
1
1
AD
A N
，所以
1
QM
A N
，正方形
1
1
ABB A 中，∵N 为
1B B 的中点，Q 为
1
1
A B 的中点，
∴
1
1
1
AAQ
A B N
≌
△
△
，∴
1
1
1
QAA
NA B
，
设AQ 、
1A N 交点为H ，则
1
1
90
QA H
AQH
，
∴
1
90
A HQ
，即
1A N
AQ
；
又AQ 、QM 平面AMQ ，AQ
QM
Q
，
∴
1A N 平面AMQ .
例11、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
题型11
利用线面垂直证明线线垂直
126
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求证：
//
AB 平面
1
1
A B CD ；
(2)求证：
1
1
AC
B C
.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中
//
AB DC ，
又AB 平面
1
1
A B CD ，DC 平面
1
1
A B CD ，所以
//
AB 平面
1
1
A B CD ；
（2）连接
1
BC 、
1
AD ，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中
1
1
BCC B 为正方形，
所以
1
1
BC
B C
，
又AB 平面
1
1
BCC B ，
1
B C 平面
1
1
BCC B ，所以
1
AB
B C
，
又
1
AB
BC
B
I
，
1
,
AB BC 平面
1
1
ABC D ，
所以
1
B C 平面
1
1
ABC D ，又
1
AC 平面
1
1
ABC D ，所以
1
1
AC
B C
.
【变式训练14】如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
π
2
ACB
，E 、F 分别为AB 、
1
1
B C 的中点.
(1)求证：
1 //
C B
平面
1ACE ；
(2)求证：EF
BC
.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）连接
1
1
,
AC AC 交于O点，连接OE ，
127
2026 年高二暑假讲义A 版
则直三棱柱
1
1
ABC
AB C
中，四边形
1
ACC A为平行四边形，
则O为
1
AC 的中点，又E 为AB 的中点，故
1
//
OE C B，
OE 平面ACE ，
1
C B 平面ACE ，故
1
//
C B
平面
1ACE .
（2）取BC 中点为H ，连接EH ，FH ，F 为
1
B C 的中点，
故
1
//
FH BB ，而
1
BB 底面ABC ，
故FH 底面ABC ，
BC
底面ABC ，故FH
BC
；
又E 为AB 的中点，则
//
EH AC ，而
2
ACB
，即AC
BC
，
故EH
BC
，
而EH
FH
H
∩
，EH 平面FEH ，FH 平面FEH ，
故
BC
平面FEH ，
又EF 平面FEH ，故BC
EF
，即EF
BC
.
【变式训练15】如图，已知矩形ABCD ，过点A 作SA 平面ABCD ，再过点A 作AE
SB
交SB 于
点E ，过点E 作EF
SC
交SC 于点F ．
128
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求证：AF
SC
；
(2)若平面AEF 交SD 于点G ．求证：AG
SD
．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）因为SA 平面ABCD ，
BC
平面ABCD ，所以SA
BC
．
因为ABCD 为矩形，所以AB
BC
，
而SA
AB
A
，SA 平面SAB ，AB 平面SAB ，所以
BC
平面SAB ．
又因为AE 平面SAB ，所以BC
AE
．
又SB
AE
，SB
BC
B
∩
，SB 平面SBC ，
BC
平面SBC ，所以AE 平面SBC ．
又因为SC 平面SBC ，所以AE
SC
．
又EF
SC
，EF
AE
E
∩
，EF 平面AEF ，AE 平面AEF ，所以SC 平面AEF ．
又因为AF 平面AEF ，所以AF
SC
．
（2）因为SA 平面ABCD ，DC 平面ABCD ，所以SA
DC
．
又AD
DC
，AD
SA
A
∩
，AD 平面SAD ，SA 平面SAD ，所以DC 平面SAD ．
又因为AG 平面SAD ，所以DC
AG
．
又由（1）有SC 平面AEF ，AG 平面AEF ，所以SC
AG
，
而SC
DC
C
，SC 平面SDC ，DC 平面SDC ，所以AG 平面SDC ．
又因为SD 平面SDC ，所以AG
SD
．
例12、如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD
PB
，且底面ABCD 是菱形．求证：平面APC 平面ABCD ．
【答案】证明见解析
【详解】连接DB 交AC 于点O，连接PO．因为四边形ABCD 是菱形，
题型12
证明面面垂直
129
2026 年高二暑假讲义A 版
所以BD
AC
，且O为DB的中点．
因为
PB
PD ，所以PO
BD
．
又因为AC ，PO 平面APC ，且AC
PO
O
∩
，所以BD 平面APC ．
而BD 平面ABCD ，所以平面APC 平面ABCD ．
【变式训练16】在如图所示的四棱锥P
ABCD
中，已知PA 平面ABCD ，AD
BC
∥
，
90
BAD
，
1
PA
AB
BC
，
2
AD
，E 为PD 的中点.
(1)求证：CE∥平面PAB
(2)求证：平面PAC 平面PDC
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）取PA 的中点M ，连接
,
BM ME ，
由于M ，E 为中点，则ME
AD
∥
且
1
2
ME
AD
．
∵BC
AD
∥
且
1
2
BC
AD
，
∴ME
BC
∥
且ME
BC
，
∴四边形MECB 是平行四边形，
∴BM
CE
∥
.又CE 平面PAB，BM 平面PAB ，
∴CE∥平面PAB ．
130
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）∵PA 平面ABCD ，CD 平面ABCD ，
∴PA
DC
，
又
2
2
2
2
2
2
2,
2
AC
AB
BC
CD
AB
AD
BC
,
故
2
2
2
AC
CD
AD
，
∴DC
AC
．
∵AC
PA
A
，
,
AC PA 平面PAC ,
∴DC 平面PAC ，又DC 平面PDC ，
∴平面PAC 平面PDC ．
【变式训练17】如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是正方形，PA 底面ABCD ，PA
AB
，
E，G 分别为线段PB，PA 的中点，F 为线段BC 上的点.
(1)若
4 3
PC
，平面EFG ∥平面PCD，求线段FG 的长度．
(2)证明：平面AEF 平面PBC
【答案】(1) 2 6 ；(2)证明见解析
【详解】（1）解：连接AC ，因为PA 底面ABCD ，AC 底面ABCD ，所以PA
AC
，
所以
2
2
2
PC
PA
AC
，
因为底面ABCD 是正方形，PA
AB
，所以
2
2
3
PC
AB
,
所以
3
PC
AB
，因为
4 3
PC
，所以
4
PA
AB
，
由平面EFG ∥平面PCD，平面EFG 平面PBC
EF
，平面PCD ∩平面PBC
PC
，
所以EF ∥PC ，又E 为线段PB 的中点，得F 为线段BC 上的中点，
131
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
2
2
2
2
2
4
16
4
2 6
FG
GA
AF
GA
AB
BF
；
（2）证明：因为PA 平面ABCD ，
BC
平面ABCD ，所以PA
BC
，
又底面ABCD 是正方形，所以AB
BC
，
因为AB
PA
A
∩
，AB ，PA平面PAB ，所以
BC
平面PAB ，
又AE 平面PAB ，所以BC
AE
，
因为PA
AB
，E 为线段PB 的中点，所以AE
PB
，
又PB
BC
B
，PB，
BC
平面PBC ，得AE 平面PBC ，
因为AE 平面AEF ，所以平面AEF 平面PBC .
【变式训练18】如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，D 为棱AC 的中点，E 为棱
1
CC 中点，
1
AC
AA
.
(1)证明：
1 / /
AB
平面
1
C BD ；
(2)证明：平面
1
1
A B C 平面BDE .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）连结
1
B C 交
1
BC 于O，连结DO ，
在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
/ /
BB
CC 且
1
1
BB
CC
，
所以四边形
1
1
BB C C 是平行四边行，则O为
1
B C 的中点，
132
2026 年高二暑假讲义A 版
因为D 为AC 的中点，所以OD 为
1
AB C
△
的中位线，
1 / /
AB
OD ，
因为AB 平面
1
C BD ，OD 平面
1
C BD ，
所以
1 / /
AB
平面
1
C BD ；
（2）在正三棱锥柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
/ /
AA
CC 且
1
1
AA
CC
，
1
AC
AA
，
1
AA
AC
，所以四边形
1
1
ACC A 是正方形，所以
1
1
AC
AC
，
因为
,
D E 分别是
1
,
AC CC 的中点，所以DE 是
1
ACC
△
的中位线，
所以
1 / /
AC
DE ，又因为
1
1
AC
AC
，所以
1
DE
AC
，
在正三棱柱中
1
CC 平面ABC ，BD 平面ABC ，所以
1
BD
CC
，
在正三角形ABC 中，D 为AC 的中点，所以BD
AC
，
因为
1
CC
AC
C
I
，
1,
CC AC
平面
1
1
ACC A ，所以BD 平面
1
1
ACC A ，
因为
1AC 平面
1
1
ACC A ，所以
1AC
BD
，
因为
1 ,
,
,
DE
AC BD
DE
D BD DE
平面BDE ，
所以
1AC 平面BDE ，
因为
1AC 平面
1
1
A B C ，所以平面
1
1
A B C 平面BDE .
例13、如图所示，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD是
60
DAB
的菱形，侧面PAD 为正三角
形，其所在平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 边的中点.求证：BG 平面PAD .
题型13
面面垂直性质定理的应用
133
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】证明见解析
【详解】由题意知
PAD
△
为正三角形，G 是AD 的中点，
PG
AD
．
又平面PAD 平面ABCD ，平面PAD平面ABCD
AD
，PG 平面PAD ，
PG
平面ABCD ，
BG
∵
平面ABCD ，
PG
BG
.
又∵四边形ABCD 是菱形且
60
DAB
，
ABD
是正三角形，
BG
AD
.又AD
PG
G
，AD ，PG 平面PAD ，
BG
平面PAD .
【变式训练19】如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
,
AA
AC AC
BC
，平面
1A BC 平面
1
1
1
,
ACC A D
为
1
1
A B 的中点.
(1)求证：
1
/ /
AC
平面
1
1
BC D ；
(2)求证：
1
BC
AA
.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）连接
1
B C 交
1
BC 于点E ，则E 为
1
B C 的中点，连接
1
D E ，
因为
1
D 为
1
1
A B 的中点，所以
1
1
D E
AC
∥
，
又
1
D E 平面
1
1
BC D ，且
1AC 平面
1
1
BC D ，
所以
1 //
AC
平面
1
1
BC D .
（2）连接
1
AC ，因为
1
AA
AC
，所以四边形
1
1
ACC A 为菱形，
所以
1
1
AC
AC
，
又平面
1A BC 平面
1
1
ACC A ，平面
1A BC 平面
1
1
1
ACC A
AC
，
134
2026 年高二暑假讲义A 版
且
1
AC 平面
1
1
ACC A ，所以
1
AC 平面
1A BC ，
又
BC
平面
1A BC ，所以
1
AC
BC
，
因为
1
1
,
,
,
AC
BC AC
AC
A AC AC
∩
平面
1
1
ACC A ，
所以
BC
平面
1
1
ACC A ，
又
1
AA 平面
1
1
ACC A ，所以
1
BC
AA
.
【变式训练20】如图，在直角梯形ABCD 中，已知
//
AD BC ，AD
AB
，
90
BAD
，
45
BCD
，
E 为对角线BD 的中点，现将
ABD
△
沿BD 折起到
PBD
△
的位置，使平面PBD 平面BCD ．求证：
(1)直线PE 平面BCD ；
(2)平面PBC 平面PCD．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）因为平面PBD 平面BCD ，且平面PBD ∩平面BCD
BD
，
又AD
AB
，则
PB
PD ，且E 为BD 中点，所以PE
BD
，
又PE 平面PBD ，所以PE 平面BCD ；
（2）在直角梯形ABCD 中，AD
AB
，
90
BAD
，
则
45
ABD
ADB
，
又
//
AD BC，则
45
DBC
，
又
45
BCD
，所以
90
BDC
，
在折后的几何体PBCD 中，BD
DC
，
因平面PBD 平面BCD ，平面PBD ∩平面BCD
BD
，
又CD 平面BCD ，
135
2026 年高二暑假讲义A 版
所以CD 平面PBD ，
又PB 平面PBD ，则CD
PB
，
又
90
BAD
，即BA
AD
，则BP
PD
，
又CD
PD
D
∩
，PD 平面PDC ，CD 平面PDC ，
则BP 平面PDC ，
又BP 平面PBC ，
所以平面PBC 平面PCD.
一、解答题
1、如图所示，平面
1
1
ABB A 为圆柱
1
OO 的轴截面，点C 为底面圆周上异于A ，B 的任意一点．
(1)求证：
BC
平面
1A AC ；
(2)若D 为AC 的中点，求证：
1
/ /
A D
平面
1
O BC ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】（1）∵AB 为
O
的直径，点C 为
O
上的异于A ，B 的任意一点，
∴BC
AC
．又在圆柱
1
OO 中，
1
AA 底面
O
，BC 底面，
∴
1
AA
BC
，又
1
AA
AC
A
∩
，
1,
AA AC 平面
1A AC ，
∴
BC
平面
1A AC ．
（2）取BC 的中点E ，连接DE ，
1
O E ，
136
2026 年高二暑假讲义A 版
∵D 为AC 的中点，∴在
ABC
V
中，
/ /
DE
AB ，且
1
2
DE
AB
，
又在圆柱
1
OO 中，
1
1 / /
AO
AB ，且
1
1
1
2
AO
AB
，
∴
1
1
/ /
DE
AO ，
1
1
DE
AO
，∴四边形
1
1
A DEO 为平行四边形，
∴
1
1
/ /
A D
O E．而
1A D 平面
1
O BC ，
1
O E 平面
1
O BC ，
∴
1
/ /
A D
平面
1
O BC .
2、如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，AB
BC
，
1
2
AA
AB
BC
，D 为线段
1
AB 的中点.
(1)求证：
//
AC 平面
1
BDC ；
(2)求证：平面
1
BDC 平面
1
1
AB C ；
(3)求直线
1
DC 与平面
1
1
BB C C 所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
5
5 .
【详解】（1）证明：连接
1
B C 交
1
BC 于点O，连接OD .
因为四边形
1
1
B BCC 是正方形，则O 为
1
B C 中点，
137
2026 年高二暑假讲义A 版
又因为点D 为
1
AB 中点，
所以
/ /
OD
AC .
结合图形可知：OD 平面
1
BDC ，AC 平面
1
BDC ，
故
//
AC 平面
1
BDC
（2）证明：
已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
为直棱柱，则
1
BB 平面ABC ，
因为
BC
平面ABC ，所以
1
BB
BC
.
又因为AB
BC
，
1
BB
AB
B
，AB 平面
1
1
ABB A ，
1
BB 平面
1
1
ABB A ，
所以
BC
平面
1
1
1
A BB A ，
而BD 平面
1
1
ABB A ，所以BD
BC
.
又因为
1
1
BC
B C
∥
，所以
1
1
B C
BD
.
由题知
1
2
AA
AB
BC
，D 为线段
1
AB 的中点，所以
1
BD
AB
，
又
1
1
1
1
B C
AB
B
∩
，
1
AB 平面
1
1
AB C ，
1
1
B C 平面
1
1
AB C ，
所以BD 平面
1
1
AB C .
又因为BD 平面
1
BDC ，
故平面
1
BDC 平面
1
1
AB C .
（3）取
1
BB 的中点F，连接DF ，
1
FC ，则
/ /
DF
AB.
已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
为直棱柱，
1
BB 平面ABC ，
∵AB 平面ABC ，∴
1
BB
AB
.
又因为AB
BC
，
1
BB
BC
B
∩
，
BC
平面
1
1
BB CC ，
1
BB 平面
1
1
BB CC ，
138
2026 年高二暑假讲义A 版
∴AB 平面
1
1
BB C C .
又因为
/ /
DF
AB，∴DF 平面
1
1
BB C C ，
∴
1
DC F
为直线
1
DC 与平面
1
BBC C 所成的角.
∵
1
2
AA
AB
BC
，∴
1
DF ，
1 1
2
B C
中，
1
1
B F .
在
1
1
Rt
FB C
△
中，
2
2
1
1
2
5
FC
.
∵DF 平面
1
1
BB C C ，FC 平面
1
1
BB CC ，∴
1
DF
FC
.
在
1
Rt
DFC
△
中，
1
1
5
tan
5
DF
DC F
FC
，
∴直线
1
EC 与平面
1
1
BB C C 所成角的正切值为
5
5 .
3、如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，
PCD
△
为等边三角形，平面PAC 平
面PCD，PA
CD
，
4
CD
，
6
AD
．
(1)若平面PAB 平面PCD
l
，求证：//
l CD ；
(2)求证：PA 平面PCD；
(3)求四棱锥P
ABCD
的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)16 15
3
【详解】（1）证明：因为底面ABCD 为平行四边形，可得
/ /
CD
AB ，
因为AB 平面PAB ，且CD 平面PAB ，所以
/ /
CD
平面PAB ，
又因为平面PAB 平面PCD
l
，且CD 平面PCD，所以/ /
l
CD .
（2）证明：取PC 的中点N ，连接DN ，
因为
PCD
△
为等边三角形，所以DN
PC
，
又平面PAC 平面PCD，且平面PAC ∩平面PCD
PC
，DN 平面PCD，
所以DN 平面PAC ，又因为PA平面PAC ，所以DN
PA
，
因为PA
CD
，且DN
CD
D
∩
，
,
DN CD 平面PCD，所以PA 平面PCD.
139
2026 年高二暑假讲义A 版
（3）因为PA 平面PCD，且PD 平面PCD，所以PA
PD
，
在直角
PAD
△
中，由
6,
4
AD
PD
CD
，可得
2
2
2 5
PA
AD
PD
，
又由等边
PCD
△
的边长为4 ，可得
2
3
4
4 3
4
PCD
S
，
所以四棱锥P
ABCD
的体积:
1
1
16 15
2
2
2
2
4 3
2 5
3
3
3
P ABCD
P ACD
A PCD
PCD
V
V
V
S
PA
.
4、如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，D 为AB 的中点，
1
4
AA
AB
，
1
3
B E
EB
．
(1)证明：
1
CD
A E
．
(2)证明：
1A D 平面CDE ．
(3)求二面角
1A
CE
D
的正切值．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
51
3
【详解】（1）证明：在等边
ABC
V
中，因为D 为AB 的中点，可得CD
AB
，
在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，可得
1
AA 平面ABC ，且CD 平面ABC ，
所以
1
CD
AA
，
因为
1
AA
AB
A
∩
，且
1,
AA AB 平面
1
1
ABB A ，所以CD 平面
1
1
ABB A ，
又因为
1A E 平面
1
1
ABB A ，所以
1
CD
A E
.
（2）证明：由（1）知CD 平面
1
1
ABB A ，且
1A E 平面
1
1
ABB A ，所以
1
CD
A E
，
在直角
1A AD
中，由
1
2,
4
AD
AA
，可得
2
2
1
1
2 5
A D
AA
AD
，
140
2026 年高二暑假讲义A 版
在直角
BDE
V
中，因为
1
3
B E
EB
，可得
2,
1
BD
BE
，可得
2
2
5
DE
BD
BE
，
在直角
1
1
A B E
△
中，由
1
1
1
4,
3
A B
B E
，可得
2
2
1
1
1
1
5
A E
A B
B E
，
则满足
2
2
2
1
1
A D
DE
A E
，所以
1A D
DE
，
因为CD
DE
D
∩
，且
,
CD DE 平面CDE ，所以
1A D 平面CDE .
（3）解：过点D 作DF
CE
，垂足为F ，
由（2）知
1A D 平面CDE ，且CE 平面CDE ，所以
1A D
CE
，
因为
1A D
DF
D
∩
，且
1 ,
A D DF 平面
1A DF ，所以CE 平面
1A DF ，
又因为
1A F 平面
1A DF ，所以
1
CE
A F
，所以
1A FD
为二面角
1A
CE
D
的平面角，
在直角BCE
中，由
4,
1
BC
BE
，可得
2
2
17
CE
BC
BE
，
又由（1）知CD 平面
1
1
ABB A ，且DE 平面
1
1
ABB A ，所以CD DE ，
在直角CDE
中，可得
2 3
5
2 15
17
17
CD DE
DF
CE
，
在直角
1A DF
中，可得
1
1
51
tan
3
A D
A FD
DF
，
所以二面角
1A
CE
D
的正切值为
51
3
.
5、如图1，四边形ABCD 为边长为2 的菱形，
60
ABC
，
3
PB
PA
，M 为AB 的中点，将PAB
沿AB 边折起，使
2 3
PC
，连接PD ，如图2.
141
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)证明：AB
PC
；
(2)求直线BD 和PC 所成角的余弦值；
(3)在线段PD 上是否存在点N，使得
/ /
PB
平面MCN ？若存在，请求出PN
PD 的值；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1)证明见解析；(2) 7
24 ；(3)存在，
1
3
PN
PD
.
【详解】（1）连接
,
PM AC ，由菱形ABCD 内角
60
ABC
，得
ABC
V
是正三角形，
由M 为AB 的中点，得CM
AB
，由
3
PB
PA
，得PM
AB
，
而
,
,
PM
CM
M PM CM
∩
平面PCM ，则AB 平面PCM ，又PC 平面PCM ，
所以AB
PC
.
（2）连接BD
CM
E
∩
，则E 为正ABC 的重心，
1
1
3
sin 60
3
3
3
ME
CM
BC
，
在PM 上取点F ，使
2
2
1
1
2 2
3
3
3
MF
PM
PB
BM
，则
1
3
MF
ME
PM
CM
，
1
2 3
/ /
,
3
3
EF
PC EF
PC
，于是
BEF
是直线BD 和PC 所成角或其补角，
在
BEF
△
中，
2
2
2 3
17
,
3
3
BE
BF
BM
MF
，
由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2 3
2 3
17
(
)
(
)
(
)
7
3
3
3
cos
2
24
2 3
2 3
2
3
3
BE
EF
BF
BEF
BE EF
，
所以直线BD 和PC 所成角的余弦值为7
24 .
（3）由（2）得，
2
cos30
2 3
3
BD
BC
BE
，在PD 上取点N ，使
3
PD
PN
，
则
1
3
PN
BE
PD
BD
，
/ /
PB
EN ，而EN 平面平面MCN ，PB 平面MCN ，因此
/ /
PB
平面MCN ，
所以线段PD 上存在点N，使得
/ /
PB
平面MCN ，
1
3
PN
PD
.
142
2026 年高二暑假讲义A 版
线线角、线面角、二面角问题
1、线线角的定义
①定义：设,
a b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线
//
a
a
，
//
b b
，把a与b所成的锐角或
直角叫做异面直线,
a b 所成的角(或夹角)
②范围：0, 2
2、求异面直线所成角一般步骤
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是0, 2
，所以所作的角为钝角时，应取它的补角
作为异面直线所成的角．
3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法
①平行四边形平移法；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
1、直线与平面所成角的定义
如图，一条直线PA 和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜
线和平面的交点A 叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直
题型1
利用平行四边形平移求线线角
题型6
已知线面角求其他量
题型2
利用中位线法求线线角
题型7
定义法求二面角
题型3
补形法求线线角
题型8
三垂线、垂面法求二面角
题型4
定义法求线面角
题型9
射影面积、补形法求二面角
题型5
等体积法求线面角
题型10
已知二面角求其他量
知识点1
线线角的定义与求解
知识点2
线面角的定义与求解
143
2026 年高二暑假讲义A 版
线AO 叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO，
叫做这条直线和这个平面所成的角，设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°.
2、定义法
能直接找到ƺ点在ح平面的射影Ƭ点，能计算出|ƺƬ|或者|퐴Ƭ|，则线面角的正弦或余弦可求。
3、公式法求线面角（也称等体积法）
用等体积法，求出斜线PA 在面外的一点P 到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：푠푖ǒش =
ℎ
ǐ，其中ش是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，ǐ是斜线段的长。
1、二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两
个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示
①棱为AB，面分别为，
的二面角记作二面角-AB-
，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面
角-l-
，如图(1).
②若在，
内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么
这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
3、二面角的平面角
知识点3
二面角
144
2026 年高二暑假讲义A 版
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和
OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB 叫做二面角α-l-β的平面角.
4、二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平
面角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是
；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是
.所以二面角的平面角
的范围是
.
例1、在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，异面直线
1A D 与
1
AB 所成的角为（
）
A．30o
B．45
C．60o
D．90
【答案】C
【详解】
如图所示，不妨设正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1.
因为
1
1
/ /
AD
B C ，
1
1
AD
B C
，所以四边形
1
1
ADC B 为平行四边形，
所以
1
1
/ /
AB
DC ，所以
1
1
A DC
（或其补角）为异面直线
1A D 与
1
AB 所成的角.
题型1
利用平行四边形平移求线线角
145
2026 年高二暑假讲义A 版
在
1
1
A DC
△
中，
1
1
1
1
2
AC
C D
A D
，
所以
1
1
A DC
△
为等边三角形，则
1
1
60
ADC
，
因此，异面直线
1A D 与
1
AB 所成的角为60.
故选：C.
【变式训练1】如图，已知正三棱柱
1
1
1
1
,
2
,
ABC
A B C AB
AB M
为
1
1
AC 的中点，则AM 与
1
BC 所成
角的余弦值为（
）
A．1
B．10
4
C．
6
4
D．
5
10
【答案】B
【详解】如图，取AC 的中点D ，连接
1
DC 、BD ，易知
1
AM
DC
∥
，
所以异面直线AM 与
1
BC 所成角就是直线
1
DC 与直线
1
BC 所成的角，即
1
BC D
（或其补角），
由题意可知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的所有棱长都相等，
可设三棱柱的棱长都为2 ，则
1
5
DC
，
3
BD
，
1
2 2
BC
，
因为
2
2
2
1
1
BC
DC
BD
，所以
1
BDC
为直角三角形，所以
1
1
1
10
cos
4
DC
BC D
BC
即异面直线AM 与
1
BC 所成角的余弦值为
10
4
.
故选：B .
146
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M，N 分别为
1
,
AC A B 的中点，异面直线MN 与
1
DD 所成
角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
12
【答案】B
【详解】
连接
1A D ，BD ，因为在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M，N 分别为
1
,
AC A B 的中点，
所以
1
MN
A D
，因此，异面直线MN 与
1
DD 所成角即为直线
1A D 与
1
DD 所成角，即
1
1
A DD
，显然为
45.
故选：B
【变式训练2】在正三棱锥P
ABC
中，
4
AB
，
6
PA
，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与PB 所
成角的余弦值是（
）
A．
3
9
B．
3
3
C．
6
9
D．
6
3
【答案】A
【详解】取棱PC 的中点E ，连接AE ，DE ，
因为D 是BC 的中点，所以
/ /
DE
PB ，AD ⊥BC ，
则
ADE
或其补角是直线AD 与PB所成的角，.
由题中数据可知
3
PE
，
1
3
2
DE
PB
，
2
BD
，
题型2
利用中位线法求线线角
147
2026 年高二暑假讲义A 版
由勾股定理得
2
2
2 3
AD
AB
BD
，
在
APC
△
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
6
6
4
7
cos
2
2 6 6
9
PA
PC
AC
APC
PA PC
，
则
2
2
7
2
cos
36
9
2 6 3
17
9
AE
AP
PE
AP PE
APC
，
故
2
2
2
12
9 17
3
cos
2
9
2 2 3 3
AD
DE
AE
ADE
AD DE
.
故选：A
【变式训练3】已知正四棱锥P
ABCD
的所有棱长均为4, E 为棱PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所
成角的余弦值为（
）
A．
6
3
B．
6
3
C．
3
3
D．
3
3
【答案】C
【详解】连接AC ，取AC 的中点O，连接
,
BO EO，
由题意可得
//
EO
PC ，则异面直线BE 与PC 所成角为
BEO
或其补角，
在
BOE
△
中，
1,
2,
3
EO
OB
BE
，
则
2
2
2
3 1 2
3
cos
2
3
2 3
BE
EO
BO
BEO
BE
EO
，
则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为
3
3
.
故选：C
148
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、如图，在三棱锥A
BCD
中，
1
AB
AC
，AB
AC
，
2
AD
，AD 平面ABC ，E 为CD 的
中点，则直线BE 与AD 所成角的余弦值为
.
【答案】2
3
【详解】因为AD 平面ABC ，AB 平面ABC，，AC 平面ABC，
所以AD
AB
，AD
AC
，又AB
AC
，
所以
,
,
AD AB AC 两两垂直，将三棱锥A
BCD
置于一个长方体中，如图所示，
易知
/ /
BF
AD，所以直线BE 与AD 所成角即为BF 与BE 所成角为
FBE
（或其补角），
由题意可知，
2
2
2
1
3
2
1
1
2
2
BF
BE
FE
，
，
在FBE
中，由余弦定理，得
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
cos
3
2
3
2 2
2
BF
BE
FE
FBE
BF BE
，
所以直线BE 与AD 所成角的余弦值为2
3 .
故答案为：2
3 .
【变式训练4】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
3
AA
AC
BC
，
90
ACB
，点D 是线
段
1
AA 上靠近
1A 的三等分点，则直线
1
C D 与
1
B C 所成角的余弦值为
.
题型3
补形法求线线角
149
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】
5
10 / 1
5
10
【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体.
如图所示.取NM 的三等分点
1
D ，连接
1
1
B D ，根据正方体性质，知道
1
1
1
/ /
B D
C D .
则
1
1
CB D
为直线
1
C D 与
1
B C 所成角或补角.
连接
1
CD ，CM .根据正方体性质，知道
1
MD
CM
．
2
2
2
2
3
3
3 2
CM
BM
CB
，
2
2
2
2
1
1
2
(3 2)
22
CD
D M
CM
，
2
2
2
2
1
1
3
3
3 2
CB
BC
BB
，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
3
10
D B
ND
NB
，
在
1
1
D B C
△
中，由余弦定理可得，
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
18
22
6
5
cos
2
10
2
10
3 2
12 5
D B
CB
CD
D B C
D B
CB
，
则直线
1
C D 与
1
B C 所成角的余弦值为
5
10 .
故答案为：
5
10 .
例4、已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的侧棱长与底面边长相等，则
1
AB 与侧面
1
1
ACC A 所成角的正弦值
等于（
）
题型4
定义法求线面角
150
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
6
4
B．10
4
C．
2
2
D．
3
2
【答案】A
【详解】
如图，取
1
1
AC 中点E ，连接
1
,
AE B E ，
由题知
1
1
1
1
B A
B C
，又E 为中点，所以
1
1
1
B E
AC
.
又因为侧棱垂直于上下底面，
1
B E 平面
1
1
1
A B C ，所以
1
1
AA
B E
，
又因为
1
1
1
1
AA
AC
A
，且
1
1
1
,
AA AC 平面
1
1
ACC A ，所以
1
B E 平面
1
1
ACC A .
则
1
B AE
为
1
AB 与侧面
1
1
ACC A 所成的角，
令各棱长为1，则
1
1
1
1
1
3
6
,
2,sin
2
4
B E
B E
AB
B AE
AB
．
【变式训练5】在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，四边形ABCD 是菱形，
60
ABC
，
1
2
3
AA
AB
，
E 是棱
1
1
A D 的中点，则直线BE 与平面ABCD 所成角的余弦值是（
）
A．
7
4
B．3
4
C．1
2
D．
3
2
【答案】A
【详解】
取棱AD 的中点F ，连接BF ，EF ，又E 是棱
1
1
A D 的中点，所以
1
/ /
EF
AA ，
因为AA 平面ABCD ，所以
EF
平面ABCD ，则
EBF
是直线BE 与平面ABCD 所成的角.
151
2026 年高二暑假讲义A 版
设
2
AB
，则
1
3
EF
AA
，
1
AF ，
120
BAF
.
在
ABF
中，由余弦定理可得
2
2
2
cos
7
BF
AB
AF
AB AF
BAF
，
则
2
2
4
BE
BF
EF
，所以
7
cos
4
BF
EBF
BE
.
故选：A
【变式训练6】如图，在四面体ABCD 中，
90 ,
2,
1,
7
BDC
AB
BC
CD
AD
，点M 为线段
AC 的中点，且
1
2
MD
AC
.
(1)证明：直线AB 平面BCD ；
(2)求直线MD 与平面ABC 所成角的正弦值
【答案】(1)证明见解析；(2)
6
4
【详解】（1）∵点M 为AC 中点，且
1
2
DM
AC
，
∴DM
CM
AM
，
∴
,
MCD
MDC
MAD
MDA
，
又
π
MCD
MDC
MAD
MDA
，
∴
π
2
MDC
MDA
，故AD
CD
90
BDC
∵
，即BD
CD
，
AD
BD
D
∵
∩
，
,
AD BD 平面ABD ，
∴CD 平面ABD ，
∵AB 平面ABD ，
∴CD
AB
.
∵
90 ,
2,
1
BDC
BC
CD
，
由勾股定理得
2
2
3
BD
BC
CD
，
∵
7
AD
，
2
AB
，
152
2026 年高二暑假讲义A 版
∴
2
2
2
BD
AB
AD
，
∴BD
AB
，
又CD
BD
D
I
，
,
CD BD 平面BCD ，
∴AB 平面BCD ；
（2）如图，过点D 作DE
BC
，垂足为E ，连接EM ，
由（1）知AB 平面BCD ，又
,
DE BC 平面BCD ，
故DE
AB
，又AB
BC
B
，
,
AB BC 平面ABC ，
所以DE 平面ABC .
则
DME
为MD 与平面ABC 所成的角.
BC
AB
，由勾股定理得
2
2
2 2
AC
AB
BC
，
所以
1
2
2
DM
AC
，其中
1
3
3
2
2
DC DB
DE
BC
，
则
3
2
6
sin
2
2
4
DE
DME
MD
.
例5、在正四棱锥P
ABCD
中，O为顶点P 在底面内的射影，Q 为侧棱PD 的中点，且
4
PO
，
2 2
AB
，则直线BD 与平面QAC 所成角的正弦值为________．
【答案】2 5
5
/ 2
5
5
【详解】由题意可得点Q 到平面ABCD 的距离为2，
1
2 2
2 2
4
2
ACD
S
，
且
2
2
2 2
2 2
4
AC
BD
，即
2
OD
，
所以正四棱锥P
ABCD
的侧棱长为
2
2
16
4
2 5
PO
OD
，
题型5
等体积法求线面角
153
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
1
5
2
QO
PB
，由正四棱锥结构特征可得QA
QC
，则QO
AC
，
所以
1
1
4
5
2 5
2
2
QAC
S
AC
QO
，
设点D 到平面QAC 的距离为d，
由
Q ACD
D QAC
V
V
，得1
1
2
3
3
ACD
QAC
S
S
d
，
则
2
8
4 5
5
2 5
ACD
QAC
S
d
S
，
所以直线BD 与平面QAC 所成角的正弦值为
2 5
5
d
OD
.
故答案为：2 5
5
.
【变式训练7】已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，点D 是AB 的中点，底面
ABC
V
的边长为2，
1
3
BB
．
(1)求证：
1//
BC
平面
1
CAD；
(2)求三棱锥
1
1
B
A DC
的体积；
(3)求直线AB 与平面
1A DC 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)1；(3)
3
2
【详解】（1）连接
1
AC 交
1AC 于点E ，连接DE ，
154
2026 年高二暑假讲义A 版
因为四边形
1
1
AAC C 是矩形，所以E 为
1
AC 的中点，又D 是AB 的中点，
又
1
/ /
DE
BC ，又DE 平面
1
CAD，
1
BC 平面
1
CAD，
所以
1//
BC
平面
1
CAD.
（2）由于AC
BC
，又D 是AB 的中点，所以AB
CD
，
在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
AA 平面ABC ，CD 平面ABC ，所以
1
AA
CD
，
又
1
1
,
AA
AB
A AA
平面
1
1 ,
AA B B AB 平面
1
1
AA B B，
所以CD 平面
1
1
AA B B，所以CD 是三棱锥
1
1
C
A B D
的高，又
1 1
1
2
3
3
2
A B D
S
，所以
1
1
1 1
1 1
1
1
3
3
1
3
3
B
A DC
C
A B D
A B D
V
V
S
CD
△
，
（3）设点
1B 到平面
1A DC 的距离为d ，直线AB 与平面
1A DC 所成角为，
由（2）有CD 平面
1
1
AA B B，又
1A D 平面
1
1
AA B B，所以
1
CD
A D
，
因为
3
CD
，
2
2
1
1
3
2
A D
，所以
1
1
2
3
3
2
A DC
S
，
又
1
1
1
B
A DC
C
AA D
V
V
，即1
3
1
3
d
，解得
3
d
，所以
1
1
3
sin
2
d
A B
，
所以直线AB 与平面
1A DC 所成角的正弦值为
3
2 .
【变式训练8】如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，PA 平面ABCD ，
Q 为棱PD 的中点.
155
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求证：
/ /
PB
平面ACQ ；
(2)已知：AQ
PD
①求直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；
②求点P 到平面ACQ 的距离.
【答案】(1)证明见解；(2)①1
3 ；②2 3
3
【详解】（1）如图：
连接BD ，交AC 于E ，因为四边形ABCD 为正方形，所以E 为BD 中点，
又Q 为PD 中点，所以
/ /
EQ
PB ，又EQ 平面ACQ ，PB 平面ACQ ，
所以
/ /
PB
平面ACQ .
（2）因为PA 平面ABCD ，所以
PAD
△
是直角三角形，
又Q 为PD 中点，且AQ
PD
，所以
2
AP
AD
.
设点P 到平面ACQ 的距离为h ，则
1
3
P ACQ
ACQ
V
S
h
.
又因为
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
APQ
APD
S
S
AP
AD
,
所以
1
3
P ACQ
C
APQ
APQ
V
V
S
CD
1
2
1 2
3
3
.
因为PA 平面ABCD ，CD 平面ABCD ，所以CD
PA
，
又底面ABCD 为正方形，所以CD
AD
，
,
PA AD 平面APD ，PA
AD
A
，
所以CD 平面APD .
又PD 平面APD ，所以CD
PD
.所以CDQ
为直角三角形.
ACQ
中，
2
AQ
，
2
2
6
CQ
CD
DQ
，
2 2
AC
.
因为
2
2
2
AQ
CQ
AC
，所以ACQ
为直角三角形，所以
1
2
6
3
2
ACQ
S
.
所以
2
3
2 3
3
3
3
h
.即点P 到平面ACQ 的距离为2 3
3
.
又
2
2
4
8
2 3
PC
AP
AC
，
156
2026 年高二暑假讲义A 版
设直线CP与平面ACQ 所成的角为θ ，
则
2 3
1
3
sin θ
3
2 3
h
PC
.
即直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为：1
3 .
例6、在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
2
AB
BC
，
1
AC 与平面
1
1
BB C C 所成的角为30，则四棱锥
1
C
ABCD
的体积为（
）
A．8 2
B．8 2
3
C．8 3
3
D．8 3
【答案】B
【详解】
在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
利用长方体的性质可知，AB 平面
1
1
B C CB，
则
1
AC 与平面
1
1
B C CB 所成的角为
1
AC B
，从而
1
30
AC B
，
因为AB 平面
1
1
B C CB ，
1
BC 平面
1
1
B C CB，所以
1
AB
BC
，
在直角
1
ABC
中，根据
2
AB
，
1
60
BAC
，可得
1
tan60
2 3
BC
AB
，
再由勾股定理，可以确定
2
2
1
1
12
4
2 2
CC
BC
BC
，
利用长方体的性质可知，
1
CC 平面ABCD ，
所以该四棱锥
1
C
ABCD
的体积为
1
1
8 2
2
2
2 2
3
3
3
V
S h
，
故选：B．
题型6
已知线面角求其他量
157
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练9】正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2 ，P 是线段
1A B 上的动点.
(1)求证：平面
1
1
BDD B 平面
1
1
A BC ；
(2)
1
PB 与平面
1
1
A BC 所成的角的余弦值为
3
3
，求PB的长．
【答案】(1)证明见解析；(2) 2
【详解】（1）因为
1
DD 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，且
1
1
AC 平面
1
1
1
A B C D，可得
1
1
1
AC
DD
，
四边形
1
1
1
1
D
C
B
A
为正方形，则
1
1
1
1
AC
B D
，且
1
1
1
1
1
1
1
,
,
B D
DD
D B D DD
平面
1
1
BDD B ，所以
1
1
AC
平面
1
1
BDD B ，又
1
1
AC 平面
1
1
A BC ，所以平面
1
1
BDD B 平面
1
1
A BC .
（2）设
1
B 在平面
1
1
A BC 上的射影点为E ，连接
1
,
EP EB ，
可知
1
1
A BC
V
是以边长为2 2 的等边三角形，则
1
1
3
2 2
2 2
2 3
4
A BC
S
V
，
因为
1
1
1
1 1 1
B
A BC
B A B C
V
V
，即
1
1
1
1
2 3
2 2 2
3
3
2
EB
，解得
1
2 3
3
EB
，
设
1
PB 与平面
1
1
A BC 所成的角的大小为，因为
3
cos
3
，则
2
sin
1
c
3
6
os
，
则
1
1
1
2 3
6
3
sin
3
EB
PB
PB
，可得
1
2
PB
，
在
1
BPB
△
中，由余弦定理得
2
2
2
1
1
1
π
2
cos 4
PB
BB
PB
BB
PB
，
即
2
2
4
2 2
PB
PB
，解得
2
PB
.
158
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、在四面体ABCD 中，已知
ABD
△
为等边三角形，
ABC
V
为等腰直角三角形，斜边
4
AB
，
2 7
CD
，则二面角C
AB
D
的大小为（
）
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
【答案】D
【详解】
如图，取AB 中点M，连接CM，DM
因为
ABD
△
为等边三角形，
ABC
V
为等腰直角三角形
所以CM
AB
，DM
AB
故
CMD
即为二面角C
AB
D
的平面角.
因为
4
AB
，
所以
2
CM
，
2 3
DM
所以
2
2
2
4 12
28
3
cos
2
2
2 2 2 3
CM
DM
CD
CMD
CM DM
题型7
定义法求二面角
159
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
5π
6
CMD
即二面角C
AB
D
的大小为5
6
.
故选：D.
【变式训练10】如图，AB 是圆O的直径，PA 垂直于圆O所在的平面，点C 是圆周上不同于A
B
、
的
任意一点.
(1)证明：
BC
平面PAC ；
(2)若
2
PA
AC
，求二面角P
BC
A
的大小.
【答案】(1)证明见详解；(2) 2 5
5
.
【详解】（1）因为AB 是圆O的直径，点C 是圆周上不同于A
B
、
的任意一点，
所以AC
BC
，
又PA 垂直于圆O所在的平面，
BC
底面圆O，
所以PA
BC
，
又AC 平面PAC ，PA平面PAC ，且PA
AC
、
相交于点A ，
所以
BC
平面PAC ；
（2）由（1）得
BC
平面PAC ，PC 平面PAC ，所以PC
BC
，
又AC
BC
，平面PBC 与平面ABC 相交于BC ，
所以
PCA
即为二面角P
BC
A
的平面角，
又PA 垂直于圆O所在的平面，AC 底面圆O，
所以PA
AC
，
所以tan
PA
PCA
AC
，又
2
PA
AC
，
所以tan
2
PCA
，所以
2 5
sin
5
PCA
，
所以二面角P
BC
A
的正弦值为2 5
5
.
160
2026 年高二暑假讲义A 版
例8、在四面体P
ABC
中，
90 ,
2,
ACB
AC
BC
PA
底面
,
ABC M 、N 、Q 分别是PB
PA
BN
、
、
的中点，点E 在线段PC 上，且
3
PE
EC
．
(1)求证：
/ /
EQ
平面ABC ；
(2)若三棱锥P
ABC
的体积为4
3 ，求平面MAC 与平面ACB 的夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析；(2) 45.
【详解】（1）取AB 的中点为D ，在线段AC 上取点F ，
题型8
三垂线、垂面法求二面角
161
2026 年高二暑假讲义A 版
使得
3
AF
FC
，连接EF 、FD 、QD .
因为
3
PE
EC
，所以
3
PE
AF
EC
FC
，
所以EF
PA
∥
，且
1
4
EF
PA
.
因为Q 和D 分别为BN 和AB 的中点，
所以QD
PA
∥
，且
1
1
2
4
QD
NA
PA
因此EF
QD
∥
且EF
QD
，
所以四边形EQDF 是平行四边形，因此EQ
DF
∥
．
又因为EQ 平面
,
ABC DF 平面ABC ，
所以
//
EQ
平面ABC .
（2）因为
90
ACB
，所以
1
2
2
ABC
S
AC BC
△
．
因为PA 底面ABC ，所以三棱锥P
ABC
的高为h
PA
，
又因为
1
1
4
2
3
3
3
P ABC
ABC
V
S
PA
h
故
2
PA
.
连接
D
M
．
因为
,
M D 分别是
,
PB AB 的中点，
所以MD
PA
，又因为PA 平面ABC
所以MD 平面ABC
过点D 作DH
AC
，垂足为点H ，连接MH
因为MD 平面ABC ，且AC 平面ABC ，
162
2026 年高二暑假讲义A 版
所以MD
AC
，又因为AC
DH
，且MD
DH
D
，
所以AC 平面MDH .
又因为MH 平面MDH ，所以AC
MH
，又AC
DH
，
所以
MHD
即为二面角M
AC
B
的平面角,
因为MD 平面ABC ，且DH 平面ABC ，所以MD
DH
．
故MDH
为直角三角形．
在Rt MDH
中，
1
1
2
tan
1
1
1
2
PA
MD
MHD
DH
BC
，所以
45
MHD
所以平面MAC 与平面ACB 的夹角大小为45.
【变式训练11 】如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD ，AD
CD
，
//
AB CD ，
1
PA
AD
DC
，
2
AB
CD
，E 是棱PC 上一点，满足CE
CP
，0
1
.
(1)求证：平面PAD 平面ABE ；
(2)记平面PCD ∩平面
PAB
l ，求证：直线//
l AB ；
(3)当
1
2
时，求二面角P
AB
E
的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 45.
【详解】（1）∵PA 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，PA
AB
.
又∵AD
CD
，
//
AB CD ，AD
AB
且AP 平面PAD ，
AD 平面PAD ，PA
AD
A
，
AB 平面PAD .又∵AB 平面ABE ，
平面PAD 平面ABE .
（2）∵
//
AB CD ，AB 平面PDC ，CD 平面PDC ，
//
AB
平面PDC .
又∵平面PCD ∩平面
PAB
l ，AB 平面PAB ，直线//
l AB .
（3）当
1
2
时，
1
2
CE
CP
，所以E 是棱PC 的中点，
过E 点作
//
EF CD交PD 于F 点，连接AF ，则F 为PD的中点.
163
2026 年高二暑假讲义A 版
如图，作出符合题意的图形，
又∵
//
AB CD ，
//
AB EF 且
, ,
,
A B E F 四点共面.
又∵PA 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，
PA
AD
，且PA
AD
.
AF 是等腰直角三角形PAD 的中线也是顶角的平分线，
45
PAF
.
再由（1）知AB 平面PAD ，AF 平面PAD ，PA平面PAD ，
AB
AF
，AB
PA
，AF 平面ABE ，
PA平面PAB ，平面PAB 平面ABE
AB
，
PAF
就是二面角P
AB
E
的平面角.
故二面角P
AB
E
的大小为45.
例9、已知在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是矩形，PA 平面ABCD ，E
F
、
分别是AB
PD
、
的
中点，且
2,
4
PA
AD
AB
.
题型9
射影面积、补形法求二面角
164
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求证: AF 平面PDC
(2)求点A 到平面PED 的距离.
(3)求平面PCE 与平面PAD 所成锐二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 2 3
3
；(3)
6
3
【详解】（1）由PA 平面ABCD ，CD 平面ABCD ，所以PA
CD
，
又由底面ABCD 是矩形，则AD
CD
，
又因为
,
,
AD
PA
A AD PA
∩
平面PAD ，所以CD 平面PAD ，
又因为AF 平面PAD ，所以CD
AF
，
又由F 为PD 的中点，所以AF
PD
，
又因为
,
,
PD
CD
D PD CD
平面PCD，所以AF 平面PCD；
（2）
连接EF ，由CD 平面PAD ，PD 平面PAD ，所以CD
PD
，
又因为
/ /
CD
AB ，所以PD
AB
，
又因为PD
AF
，
,
,
AB
AF
A AB AF
平面AEF ，所以PD 平面AEF ，
又因为EF 平面AEF ，所以PD
EF
，
因为
2,
4
PA
AD
AB
，所以
2 2,
2,
PD
AF
又因为E 是AB 中点，所以
2,
6
AE
EF
，
则
1
2 2
6
2 3
2
PDE
S
，
1
1
4
2 2 2
3
2
3
P ADE
V
，
由等体积法可得点A 到平面PED 的距离d 满足：
4
1
1
2 3
=
2 3
3
3
3
3
P ADE
PDE
V
S
d
d
d
；
165
2026 年高二暑假讲义A 版
（3）
延长
,
CE DA相交于点N ，再过点A 作PN 的垂线，垂足为M ，连接ME ，
因为CD 平面PAD ，
/ /
AB
CD ，所以AB 平面PAD ，
又因为PN 平面PAD ，所以AB
PN
，
又因为MA
PN
，MA
AB
A
∩
，
,
MA AB 平面MAB ，
所以PN ^ 平面MAB ，又因为ME 平面MAB ，
即PN
ME
，又由于MA
PN
，
所以平面PCE 与平面PAD 所成锐二面角的平面角就是
AME
，
因为
2,
4
PA
AD
AB
，E 分别是AB 的中点，
所以
2
NA
AB
,即
2
AM
，
所以
2
6
sin
3
4
2
AE
AME
ME
，
平面PCE 与平面PAD 所成锐二面角的正弦值为
6
3
.
【变式训练12】如图所示，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是正方形，PA 底面ABCD ，
2
PA
AB
.过点A 作AE
PB
于E ，作AF
PC
于F ，连EF .
(1)证明：EF
PC
；
(2)求平面AEF 与底面ABCD 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
3
3
【详解】（1）已知PA 底面ABCD ，
BC
底面ABCD ，所以PA
BC
，
166
2026 年高二暑假讲义A 版
又AB
BC
，
,
,
AB
PA
A PA AB
平面PAB ，
故
BC
平面PAB .
又AE 平面PAB ，所以BC
AE
，
又
,
,
,
AE
PB PB
BC
B PB BC
∩
平面PBC ，
所以AE 平面PBC ，
又PC 平面PBC ，则AE
PC
，
又AF
PC
，
,
,
AE
AF
A AE AF
∩
平面AEF ,
PC
平面AEF ，
又EF 平面AEF ，
EF
PC
，
（2）如图，设点E
F
、
在底面的投影分别是
1
1
E
F
、
，
由题意知
1
1
E
F
、
分别在
,
AB AC 上，
由（1）知AE 平面PBC ，EF 平面PBC ，则AE
EF
，
由于
,
PA
AB AE
PB
，故E 是PB 的中点，则
1
E 是AB 的中点，
在
AEF
△
中，AE
EF
，
1
2
2 2,
2
2
PB
AB
AE
PB
，
2
2
2
2 2
2 6
3
2
2 2
PA AC
AF
PC
，
2
2
6
3
EF
AF
AE
，故
1
3
2
3
EF
S
AE EF
△A
，
由于
2
2
2
2 6
2 3
4
3
3
PF
PA
AF
，
2
2
2
2 2
2 3
PC
，
则
1
3
PF
PC
，故
1
1
2 2
3
3
AF
AC
，在
1
1
AE F
中，
1
1
1
2
AE
AB
，
1
2 2
3
AF
，
1 1
1
1
1
1
2 2
2
1
sin
1
2
2
3
2
3
AE F
S
AE
AF
BAC
△
，
记平面AEF 与底面ABCD 所成角为，
1 1
3
cos
3
AE F
AEF
S
S
△
△
.
167
2026 年高二暑假讲义A 版
例10、如图，已知正四棱锥P
ABCD
的底面边长2 ，侧面与底面所成的二面角的正切值为
2 ，E
为棱PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为（
）
A．
6
3
B．
3
3
C．1
3
D．
2
2
【答案】B
【详解】如图所示，连接AC ，取AC 的中点O，连接
,
OE OB ,
取BC 的中点M ，连接
,
OM PM ，
因为四棱锥P
ABCD
为正四棱锥，且M 为BC 中点，
所以
,
OM
BC PM
BC
，
所以
PMO
为侧面与底面所成二面角，
即tan
2
PO
PMO
OM
，
又因为底面边长为2 ，
所以
1
OM ，即
2
3
PO
PM
，
，
所以
2
2
3 1
2
PB
PM
BM
，
所以正四棱锥P
ABCD
的侧棱长为2，
由题意知，
//
EO
PC ，则异面直线BE 与PC 所成角为
BEO
（或其补角），
在
BEO
△
中，|
| 1,|
|
2,|
|
3
EO
BO
BE
，
则
2
2
2
|
|
|
|
|
|
3
cos
2 |
| |
|
3
BE
EO
BO
BEO
BE
EO
，
则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为
3
3
.
故选：B.
题型10 已知二面角求其他量
168
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练13】如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是矩形，PA 平面ABCD ，E ，F ，G
分别是AB ，PD ，PC 的中点.
(1)若AD
PA
，求证：AF 平面PDC ；
(2)若二面角P
EC
D
的正切值为2 ，且
2
AD
，
2 2
AB
，求EG 与平面PDE 所成角的正弦
值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
6
3
【详解】（1）因为AD
PA
，又F 是PD 的中点，所以AF
PD
，
又PA 平面ABCD ，CD 平面ABCD ，所以PA
CD
，
又底面ABCD 是矩形，所以AD
DC
，又AD
PA
A
，
,
AD PA 平面PAD ，
所以CD 平面PAD ，又AF 平面PAD ，所以CD
AF
，
又CD
PD
D
∩
，
,
CD PD 平面PDC ，所以AF 平面PDC .
（2）连接GF ，因为F ，G 分别是PD ，PC 的中点，所以
1
2
GF
CD
，
/ /
GF
CD ，
又E 是AB 的中点，底面ABCD 是矩形，所以
1
2
AE
CD
，
/ /
AE
CD ，
所以AE
GF
且
/ /
AE
GF ，所以四边形AEGF 是平行四边形，
所以
/ /
GE
AF ，所以AF 与平面PDE 所成角即为EG 与平面PDE 所成角，
因为又PA 平面ABCD ，EC 平面ABCD ，所以PA
EC
，
过A 作AM
EC
于M ，连接PM ，
又AM
PA
A
，
,
AM PA 平面PAM ，
所以CE 平面PAM ，又PM 平面PAM ，所以CE
PM
，
所以
PMA
为二面角P
EC
D
的平面角，所以tan
2
PMA
，所以
2
PA
AM
，
169
2026 年高二暑假讲义A 版
由
2 2,
2
AB
AD
，可得
1
AM ，所以
2
PA
，
设A 到平面PDE 的距离为d ，
由
P
ADE
A PDE
V
V
，所以1
1
1
2
2
2
3
2
3
PDE
S
d
，
又
2
PD
PE
DE
，所以
1
2
2 sin 60
3
2
PDE
S
，
所以1
1
1
2
2
2
3
3
2
3
d
，解得
6
3
d
，
又
1
1
2
AF
PD
，所以AF 与平面PDE 所成角的正弦值为
6
6
3
1
3
d
AF
，
所以EG 与平面PDE 所成角的正弦值为
6
3
.
一、单选题
1、在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，1A D 和
1
CD 与底面所成的角分别为45和30，则异面直线
1A D 与
1
1
B D
所成角的余弦值为（
）
A．
3
4
B．
2
4
C．3
4
D．
5
4
【答案】B
【详解】由题意，可作图，
则
1
45
A DA
，
1
30
D CD
，设
1
AD ，
在
1
Rt ADA
中，易知
1
1
AA
AD
，
170
2026 年高二暑假讲义A 版
在
1
Rt D DC
中，
1
1
1
DD
AA
，
1
DD
CD
，
1
3
tan 30
DD
CD
，
在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，易知
1
1
BD
B D
∥
，
则
1A DB
为异面直线
1A D 与
1
1
B D 所成的角或其补角，
在Rt ABD
中，
2
2
2
AD
AB
BD
，则
2
BD
，同理可得
1
1
2,
2
A D
A B
，
由余弦定理，得
2
2
2
1
1
1
1
2
4
4
2
cos
2
4
2
2
2
A D
BD
A B
A DB
A D BD
．
故选：B
2、正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，直线
1
AB 与平面
1
1
ACC A 所成的角为（
）
A．30o
B．45
C．60o
D．90
【答案】C
【详解】设G 为AD 的中点，连接GF ，GE ，又E 、F 分别是AC 、BD 的中点，
所以GF 、GE 分别为
ABD
△
、ACD
的中线，
所以
//
GF AB 且
1
3
2
GF
AB
，
//
GE CD 且
1
2
2
GE
CD
，
所以EF 与CD 所成的角即为EF 与GE 所成的角，
又EF
AB
，所以EF
GF
，所以
GEF
△
为直角三角形，且
90
GFE
，
所以sin
2
3
GF
GEF
GE
，所以
60
GEF
，
即EF 与CD 所成的角为60.
故选：C
3、在四面体ABCD 中，已知
ABD
△
为等边三角形，ABC
V
为等腰直角三角形，斜边
4
AB
，
2
CD
，
则二面角C
AB
D
的大小为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】A
【详解】取AB 的中点为E ，连接
,
DE CE ，如下图所示：
171
2026 年高二暑假讲义A 版
因为
ABD
△
为等边三角形，
4
AB
，所以DE
AB
，且
2 3
DE
；
又
ABC
V
为等腰直角三角形，，所以CE
AB
，且
2
CE
；
由二面角定义可得
CED
即为二面角C
AB
D
的平面角，
在
DCE
△
中，
2
CD
，
2
CE
，
2 3
DE
，
由余弦定理可得
2
2
2
4 12
4
3
cos
2
2
2 2 2 3
EC
ED
CD
CED
EC ED
；
又
0,π
CED
，所以
π
6
CED
，
即二面角C
AB
D
的大小为π
6 .
故选：A
二、填空题
4、已知在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
2
AB
，
1AC 与平面
1
1
B BCC 所成的角为45，则该正三棱柱的
体积为
．
【答案】
6
【详解】取
1
1
B C 的中点为D，连接
1A D ，由
1
1
1
A B C
△
为正三角形，故
1
1
1
A D
B C
，
又
1
BB 平面
1
1
1
A B C ，
1A D 平面
1
1
1
A B C ，则
1
1
BB
A D
，
又
1
1
1
1
BB
B C
B
∩
，
1
1
1
,
BB B C 平面
1
1
B BCC ，故
1A D 平面
1
1
B BCC ，
连接
1 ,
AC CD ，则
1ACD
即为
1AC 与平面
1
1
B BCC 所成的角，即
1
45
ACD
，
172
2026 年高二暑假讲义A 版
由CD 平面
1
1
B BCC ，故
1A D
CD
；
由于
2
AB
，故
1
3
A D
，故
1
1
6
sin 45
A D
AC
，
在
1
1
Rt
AC C
△
中，
2
2
1
6
2
2
CC
，
故
1 1
1
2
1
3 2
2
6
4
C
AB
AB
A
C
C
B
V
C
S
C
.
故答案为：
6 .
5、已知某圆台轴截面的周长为6 2
4
，母线与底面成45角，圆台的高为2 ，该圆台的体积
为
．
【答案】14 2 π
3
【详解】如下图所示，在圆台EF 中，设该圆台上、下底面的半径分别为r 、R ，高为h ，
取圆台的轴截面ABCD ，可知四边形ABCD 为等腰梯形，
过点D 、C 在平面ABCD内作DN
AB
，CM
AB
，垂足分别为N 、M ，
由题意可知，
45
DAN
CBM
，则
ADN
△
、BCM
都为等腰直角三角形，
故
2
AN
DN
，
2
BM
CM
，则
2
2
AD
AN
，
2
2
BC
BM
，
在平面ABCD 内，因为
//
CD AB ，DN
AB
，CM
AB
，
则四边形CDNM 为矩形，故
2
MN
CD
r
，
由题意可知，梯形ABCD 的周长为
6 2
4
AB
CD
AD
BC
，
即
2
2 2
2
4
4
2 2
4
6 2
4
r
r
r
，解得
2
r
，
故
2
2 2
2
AB
R
r
，
因此，该圆台的体积为
2
2
1
1
14 2
π
π
2
4
8
2
π
3
3
3
V
r
Rr
R
h
.
故答案为：14 2 π
3
.
三、解答题
6、如图1，已知在
ABC
V
中，
3
AC
，
4
BC
，AC
BC
，E，F 分别是AB，AC 上的点，
1
3
EF
BC
，
173
2026 年高二暑假讲义A 版
将
AEF
△
沿EF 翻折至
PEF
△
，连接PB，PC，得到如图2 所示的四棱锥P
EFCB
，若平面PEF 与
平面PBC 相交于直线m．
(1)求证：
//
m BC ；
(2)当PF
PC
时，求直线PE 与平面BCFE 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) 3 3
10
．
【详解】（1）由
1
3
EF
BC
，可知
//
BC EF ，
因为EF 平面PEF ，BC 平面PEF ，所以
//
BC
平面PEF ，
又
BC
平面PBC ，平面PEF ∩平面PBC
m
，
所以
//
m BC ．
（2）由题知
5
3
1,
2,
PF
FC
PE
，因为PF
PC
，所以
3
PC
，过点P 作PM
FC
于点M，
连接EM，由
1
1
2
2
PFC
S
PC PF
FC PM
，则
1
3
3
2
2
PM
，
因为
EF
PF ，EF
FC
，PF ，FC 平面PFC ，PF
FC
F
，
所以
EF
平面PFC，因为PM 平面PFC ，所以EF
PM
，
因为EF
FC
F
，
,
EF FC 平面BCFE，
所以PM 平面BCFE，则
PEM
为直线PE 与平面BCFE 所成的角，
在Rt
PME
△
中，
3
3 3
2
sin
5
10
3
PM
PEM
PE
，
所以直线PE 与平面BCFE 所成角的正弦值为3 3
10
．
174
2026 年高二暑假讲义A 版
7、如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
π
2
ACB
，E 、F 分别为AB 、
1
1
B C 的中点．
(1)求证：EF
BC
；
(2)若
2
AC
BC
，三棱锥
1
1
B
A EC
的体积为2 3
3
，求直线EF 与平面ABC 所成角大小．
【答案】(1)证明见解析；(2) π
3
【详解】（1）取BC 的中点为H ，连接EH 、FH ，
在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
//
BB
CC ，
1
1
BB
CC
，故四边形
1
1
BB C C 为平行四边形，
所以
1
1
//
BC B C ，
1
1
BC
B C
，
因为H 、F 分别为BC 、
1
1
B C 的中点，所以
1
//
BH B F ，
1
BH
B F
，
故四边形
1
BB FH 为平行四边形，所以
1
//
FH BB ，
因为
1
BB 平面ABC ，所以FH 平面ABC ，
因为
BC
平面ABC ，所以BC
FH
，
因为E 、H 分别为AB 、BC 的中点，所以
//
EH AC ，
因为
π
2
ACB
，则
π
2
EHB
ACB
，故BC
EH
，
因为BC
FH
，BC
EH
，FH
EH
H
∩
，EH 、FH 平面EFH ，故
BC
平面EFH ，
因为EF 平面EFH ，所以BC
EF
.
（2）因为AC
BC
，E 为AB 的中点，所以CE
AB
，
175
2026 年高二暑假讲义A 版
因为
1
BB 平面ABC ，CE 平面ABC ，所以
1
CE
BB
，
因为
1
AB
BB
B
Ç
=
，AB 、
1
BB 平面
1
1
ABB A ，故CE 平面
1
1
ABB A ，
因为
2
AC
BC
，
π
2
ACB
，则
2
2
2
2
2
2
2 2
AB
AC
BC
，
所以
1
2
2
CE
AB
，
因为
1
BB 平面ABC ，AB 平面ABC ，则
1
BB
AB
，
因为
1
1
//
BB
AA ，
1
1
BB
AA
，所以四边形
1
1
ABB A 为矩形，
设
1
BB
t
，则
1 1
1
1
1
1
1
1
1
2 2
2
2
2
2
A B E
S
A B
BB
AB BB
t
t
△
，
所以
1
1
1 1
1 1
1
1
2
2 3
2
2
3
3
3
3
B
A EC
C A B E
A B E
t
V
V
S
CE
t
△
，解得
3
t
，
因为FH 平面ABC ，所以直线EF 与平面ABC 所成角为
FEH
，
在Rt
EFH
△
中，
1
3
FH
BB
，
1
1
2
EH
AC
，所以tan
3
FH
FEH
EH
，
因为
π
0
2
FEH
，故
π
3
FEH
，因此直线EF 与平面ABC 所成角为π
3 .
8、如图1，在
ABC
V
中，
2
AB
BC
，
2 2
AC
，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，将
ADE
V
沿着DE 折起，使得点A 到达点P 的位置，如图2，且二面角P
DE
C
的大小为60o．
(1)求证：平面PBC 平面PBD ；
(2)求点E 到平面PDC 的距离；
(3)在棱PE 上是否存在点G ，使得BG 与平面PDE 所成角的正弦值为3 6
8
？若存在，求PG 的长；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)
57
19 ；(3)存在，PG 的长为
2
6
或
2
3
【详解】（1）在
ABC
V
中，
2
AB
BC
，
2 2
AC
，所以
2
2
2
AB
BC
AC
，
所以AB
BC
，又点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，
176
2026 年高二暑假讲义A 版
所以DE
BC
∥
，
1
1
2
DE
BC
，DE
AB
，所以DE
BD
，DE
PD
，
所以BC
BD
，BC
PD
，
又BD
PD
D
∩
，
,
BD PD 平面PBD ，所以
BC
平面PBD ，
又
BC
平面PBC ，所以平面PBC 平面PBD ．
（2）
因为DE
BD
，DE
PD
，所以二面角P
DE
C
的平面角为
PDB
，
所以
60
PDB
，又
1
1
2
PD
DB
AB
，所以
PBD
△
是等边三角形，
取PD 的中点O，连接BO，如图所示，所以
BO
PD ，
1
BP ，
3
2
BO
，
由（1）知
BC
平面PBD ，又BO 平面PBD ，所以BC
BO
，
又
//
DE BC ，所以DE
BO
，又DE
PD
D
，
,
DE PD 平面PDE ，
所以BO 平面PDE ，因为
//
DE BC ，DE 平面PDE ，BC 平面PDE ，
所以
/ /
BC
平面PDE ，所以
1
1
1
3
3
1 1
3
3
2
2
12
C PDE
B PDE
PDE
V
V
S
BO
△
，
因为
BC
平面PBD ，BP 平面PBD ，所以BC
BP
，
所以
2
2
2
2
2
1
5
CP
BC
BP
，
2
2
2
2
2
1
5
DC
BC
BD
，
在
PDC
△
中，
5
CP
，
5
DC
，
1
PD ，
所以
2
2
1
19
2
2
4
PDC
PD
S
PD
PC
，
设点E 到平面PDC 的距离为d ，又
E PDC
C PDE
V
V
，所以1
19
3
3
4
12
d
，
解得
57
19
d
，即点E 到平面PDC 的距离为
57
19 ．
（3）由（2）知BO 平面PDE ，所以BG 与平面PDE 所成的角为
BGO
．
在
PGO
△
中，
1
2
PO
，
45
OPG
o，
2
PE
，设
0
2
PG
x
x
，
由余弦定理得
2
2
2
2
1
2
2
cos
4
2
OG
PO
PG
PO PG
OPG
x
x
．
177
2026 年高二暑假讲义A 版
因为BO 平面PDE ，又OG 平面PDE ，所以BO
OG
，
所以
2
2
2
2
2
3
1
2
2
1
4
4
2
2
BG
BO
OG
x
x
x
x
，
即
2
2
1
2
BG
x
x
，所以
2
3
3 6
2
sin
8
2
1
2
BO
BGO
BG
x
x
，
整理得
2
18
9 2
2
0
x
x
，解得
2
6
x
或
2
3
x
，
故在棱PE 上存在点G ，使得BG 与平面PDE 所成角的正弦值为3 6
8
，
PG 的长为
2
6
或
2
3
．
9、如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA
PC
PD
，底面ABCD 是平行四边形，O 点为AD 的中点，
OB
OC
，
30
AOB
，
3
PO
．
(1)求证：
PO
平面ABCD ；
(2)若
2
AD
，求平面POB 与平面PCD所成的二面角的正切值：
(3)当PA 与平面PCD的所成角最大时，求四棱锥P
ABCD
的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
6
3
；(3)2 3
【详解】（1）证明：
PA
PD
∵
，O 点为AD 的中点，
PO
AD
．
取BC 的中点M，连接OM ，则
/ /
OM
AB ，OM
AB
，
∵底面ABCD 是平行四边形，OB
OC
，
2
2
BC
OM
AB
，
=
=
=
AB
OA
OD
CD ．
30
AOB
∵
，∴
30 ,
120
ABO
BAO
，
60
AOM
，
60
CDO
，
OCD
△
是等边三角形，
OC
OD
．
在
POC
△
与POD
中，
PO
PO
OC
OD
PC
PD
，
(SSS)
POC
POD
≌
△
△
．
90
POC
POD
，PO
OC
．
178
2026 年高二暑假讲义A 版
又OC
AD
O
∩
，OC 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，
PO
平面ABCD ．
（2）延长BO与CD 交于点E，连接PE ．
BO
∵
平面POB ，CD 平面PCD，平面POB ∩平面PCD
PE
．
由
2
AD
，
3
PO
，得
1
OC
OD
，
1
CD
DE
，
2
2
2
1
3
OB
OE
，
3 1
2,
2
2
PC
CE
CD
，
取PE 中点F，连接CF ，则CF
PE
．
3
OB
OE
PO
∵
，
PBE
为等腰直角三角形．
连接OF ，则OF
PE
，
OFC
是平面POB 与平面PCD所成的二面角的平面角．
OB
OC
∵
，PO
OC
，OB
PO
O
I
，
OC
平面POB ，
OF
∵
平面POB ，
OC
OF
，
在Rt
OFC
△
中，
1
OC ，
1
6
2
2
OF
PB
，
1
6
tan
3
6
2
OC
OFC
OF
．
平面POB 与平面PCD所成的二面角的正切值为
6
3
．
（3）设OA
x
，点A 到平面PCD的距离为h．
OA
x
∵
，
CD
x
，
2
3
PA
PC
PD
x
，
等腰
PCD
△
底边上的高为
2
2
2
1
3
3
2
4
PC
CD
x
，
2
1
3
3
2
4
PCD
S
x
x
△
，
2
1
1
1
3
3
3
3
2
4
A PCD
PCD
V
S
h
x
x
h
△
．
2
AD
x
Q
，点C 到AD 的距离为
3
2 x ，
2
1
3
3
2
2
2
2
ACD
S
x
x
x
△
．
2
2
1
1
3
1
3
3
3
2
2
P ACD
ACD
V
S
PO
x
x
△
．
179
2026 年高二暑假讲义A 版
A PCD
P
ACD
V
V
∵
，即
2
2
1
1
3
1
3
3
2
4
2
x
x
h
x
，
2
3
3
3
4
x
h
x
．
记PA 与平面PCD所成角为．
2
2
2
2
2
2
3
3
3
sin
3
3
21
3
9
3
3
3
3
1
4
4
4
4
h
x
x
PA
x
x
x
x
x
2
2
3
3
6
21
3
7
4 3
21
3
9
3 3
2
4
4
4
x
x
2
6
6
3
(2
3)
3
(2
3)
6
6(2 3
3)
4 3
6
3
2 3
3
，
当且仅当
2
2
3
9
4
x
x
，即
2
2 3
x
时，sin最大，最大，
1
3
2
3
2 3
3
2
P ABCD
V
x
x
．
