180
2026 年高二暑假讲义A 版
空间向量及运算
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长
度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0 的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1 的向量称为单位向量
相反向量
与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些
向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段AB
来表示，A 叫向量的起点，B 叫向量的终点；
（2）字母表示法：用, ,
a b c
表示．向量a
的起点是A ，终点是B ，则向量a
也可以记作AB
，其模
记为a
或AB
.
题型1
空间向量的相关概念辨析
题型6
空间向量的数量积运算
题型2
空间向量的线性运算
题型7
投影向量的运算
题型3
空间共线向量定理
题型8
利用数量积求长度、夹角
题型4
空间共面向量定理及推论
题型9
利用数量积证垂直
题型5
共面定理证明四点共面
知识点1
空间向量的有关概念
181
2026 年高二暑假讲义A 版
空间向量的线
性运算
加法
a＋b＝OA
→＋AB
→＝OB
→
减法
a－b＝OA
→－OC
→＝CA
→
数乘
当λ>0 时，λa＝λOA
→＝PQ
→；
当λ<0 时，λa＝λOA
→＝MN
→；
当λ＝0 时，λa＝0
运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
小结：空间向量加法的运算的小技巧
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
1
2
2
3
3
4
1
1
n
n
n
A A
A A
A A
A
A
A A
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：
1
2
2
3
3
4
1
1
0
n
n
n
A A
A A
A A
A
A
A A
；
1、空间向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，
使a＝λb.
2、直线的方向向量：在直线l 上取非零向量a，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向
向量．如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a，则对于直线l 上任意一点P，存在实数λ，
使得
.
知识点2
空间向量的线性运算
知识点3
共线向量
182
2026 年高二暑假讲义A 版
3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数，使
成立.
（2）对空间任一点O，有
.
（3）对空间任一点O，有
.
1、定义：如图，如果表示向量a 的有向线段OA
→所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a
平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面
的向量，叫做共面向量．
2、共面向量定理：如果两个向量,a b
不共线，那么向量p
与向量,a b
共面的充要条件是存在唯一的
有序实数对( , )
x y ，使p
xa
yb
3、空间共面向量的表示
如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对( , )
x y ，使AP
xAB
yAC
．
或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（
, , ,
P A B C 四点共面）的充要条件
是存在有序实数对( , )
x y ，使OP
OA
xAB
yAC
，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此
可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
4、拓展
对于空间任意一点O ，四点
,
,
,
P C A B 共面（其中
, ,
C A B 不共线）的充要条件是
OP
xOC
yOA
zOB
（其中
1
x
y
z
）．
1、空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA
→＝a，OB
→＝b，则∠AOB 叫
做向量a，b 的夹角，记作〈a，b〉．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝π
2时，a⊥b.
知识点4
共面向量
知识点5
数量积
183
2026 年高二暑假讲义A 版
2、空间向量的数量积
定义
已知两个非零向量a
，b
，则|
||
| cos
,
a b
a b
叫做a
，b
的数量积，记
作a b
；即
|
||
| cos
,
a b
a b
a b
．规定：零向量与任何向量的数量积
都为0.
性质
设
a ，
b 是非零向量，
e 是单位向量，则
cos
,
a e
e a
a
a e ；
0
a
b
a b
；
2
a
a a 或
a
a a ；cos
,
a b
a b
a
b
；
a b
a
b
运算律
(
)
(
)
a
b
a b
，
R
.
a b
b a
(交换律)．
(
)
a
b
c
a b
a c
(分配律).
3、投影与投影向量
如图(1)，在空间，向量a
向向量b
投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平
面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b
共线的向量c
，
|
| cos
,
|
|
b
c
a
a b
b
向量c
称
为向量a
在向量b
上的投影向量．类似地，可以将向量a
向直线l 投影(如图(2))．
如图(3)，向量a
向平面投影，就是分别由向量a
的起点A 和终点B 作平面的垂线，垂足分别为
A，B，得到A B
，向量A B
称为向量a
在平面上的投影向量．这时，向量a
，A B
的夹角
就是向量a
所在直线与平面所成的角．
184
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、下列说法正确的是（
）
A．向量AB
与向量BA
是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量a，b
，有a
b
，a
b
，a
b
三种大小关系
C．向量的模是一个正实数
D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合
【答案】D
【详解】对于A，向量AB
与向量BA
是相反向量，不是相等向量，因此A 不正确；
对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B 不正确；
对于C，向量的模是一个非负实数，因此C 不正确；
对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D 正确.
故选：D.
【变式训练1】下列命题中为真命题的是（
）
A．向量AB
与BA
的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【详解】选项A：因为空间向量AB
与BA
互为相反向量，所以空间向量AB
与BA
的长度相等，所以
A 正确；
选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B 错误；
选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C 错误；
选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量AB
与BA
的模相等，所
以D 错误；
故选：A.
【变式训练2】（多选）下列命题是假命题的是（
）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
题型1
空间向量的相关概念辨析
185
2026 年高二暑假讲义A 版
B．AB
CD
的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合
C．若向量AB
，CD
满足AB
CD
，且AB
与CD
同向，则AB
CD
D．若两个非零向量AB
与CD
满足
0
AB
CD
，则AB
与CD
共线
【答案】ABC
【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所
以A 是假命题；
对于B，由AB
CD
知，AB
CD
，且AB
与CD
同向，但A 与C，B 与D 不一定重合，所以B 是
假命题；
对于C，空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C 是假命题；
对于D，因为
0
AB
CD
，所以AB
CD
，故AB
与CD
共线，所以D 是真命题．
故选：ABC
例2、在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，下列各式中运算结果为向量
的个数是（
）
①
1
AB
BC
CC
；
②
1
1
1
1
1
AA
A D
D C
③
1
1
1
AB
BB
B C
；
④
1
1
1
1
1
AA
A B
B C
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】由正方体
1
AC ，空间向量的加法法则可得．
1
1
1
AB
BC
CC
AC
CC
AC
；
1
1
1
1
1
1
1
1
1
AA
A D
D C
AD
D C
AC
；
1
1
1
1
1
1
1
AB
BB
B C
AB
B C
AC
；
1
1
1
1
1
1
1
1
1
AA
A B
B C
AB
B C
AC
．
故选：D．
【变式训练3】已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，设向量
1
1
,
,
a
AB b
AC c
AD
，则AB
（
）
A．
1
2 a
b
c
B．
1
2 a
b
c
C．
1
2 b
c
a
D．
1
2 a
c
b
【答案】B
题型2
空间向量的线性运算
186
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】由于
1
1
1
1
AA
AD
AD
c
AD
AB
AC
b
AA
AB
AB
a
，
所以
1
1
1
1
2
2
2
a
b
c
AA
，
1
1
1
2
2
2
B
a
c
b
A
，
1
1
1
2
2
2
AD
b
c
a
.
故选：B
【变式训练4】已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
如图所示，其中
1
2
A M
MA
，若点N 为棱
1
1
B C 的中点，则
MN
（
）
A．
1
1
2
1
3
3
2
AA
AB
AC
B．
1
2
1
1
3
3
2
AA
AB
AC
C．
1
1
1
1
3
2
2
AA
AB
AC
D．
1
2
1
1
3
2
2
AA
AB
AC
【答案】D
【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
3
2
3
2
2
MN
MA
A B
B N
AA
AB
AC
AB
AA
AB
AC
．
故选：D
【变式训练5】如图，三棱锥O
ABC
中，OA
a
，OB
b
，OC
c
，且
3
4
OM
OA
，
1
2
CN
CB
，
则MN
（
）
187
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
1
1
1
4
3
3
a
b
c
B．1
1
1
4
3
3
a
b
c
C．
3
1
1
4
2
2
a
b
c
D．3
1
1
4
2
2
a
b
c
【答案】C
【详解】如图所示：
MN
MO
OC
CN
1
2
OM
OC
CB
3
1 (
)
4
2
OA
OC
OB
OC
3
1
1
4
2
2
OA
OB
OC
3
1
1
4
2
2
a
b
c
.
故选：C.
【变式训练6】在三棱锥O
ABC
中，OA
a
，OB
b
，OC
c
，且
2
OM
MA
，BN
NC
，则MN
等于（
）
A．1
1
1
2
2
2
a
b
c
B．2
2
1
3
3
2
a
b
c
C．1
2
1
2
3
2
a
b
c
D．
2
1
1
3
2
2
a
b
c
【答案】D
【详解】
由题意，
1
2
2
1
1
(
)
2
3
3
2
2
MN
ON
OM
OB
OC
OA
a
b
c
.
故选：D.
例3、设
1e ，
2e 是空间两个不共线的非零向量，已知
1
2
2
AB
e
ke
，
1
2
3
B
e
e
C
，
1
2
2
D
e
C
e
，
题型3
空间共线向量定理
188
2026 年高二暑假讲义A 版
且A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值为（
）
A．2
B．4
C．8
D．8
【答案】C
【详解】∵
1
2
2
AB
e
ke
，
1
2
3
BC
e
e
，
1
2
2
DC
e
e
，
∴
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
2
4
AD
AB
BC
DC
e
ke
e
e
e
e
e
k
e
，
∵A 、B 、D 三点共线，
∴
R ，使得AB
AD
，
即
1
2
2e
ke
1
2
1
2
4
4
e
k
e
e
k
e
，
∴
2
，(
4)
k
k
，解得
8
k ．
故选：C．
【变式训练7】平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
2
2
1
3
3
3
A M
MC AM
AB
AD
AA
，
，则实数的
值为（
）
A．1
B．1
2
C．2
D．3
【答案】C
【详解】
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
A M
AM
AA
AB
AD
AA
AA
AB
AD
AA
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
C
AB
AD
A
M
AA
AC
A
A
A
MC
（
）（
）=
（
+
），
所以
1
2
A M
MC
，
故选：C.
【变式训练8】已知A，B，C 三点共线，O 为空间任一点，则①
2
OA
OB
OC
；②存在三个不为
0 的实数，m，n，使
0
OA
mOB
nOC
，那么使①②成立的与
m
n
的值分别为（
）
A．1，1
B．1
，0
C．0，1
D．0，0
【答案】B
189
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】
A
∵
，B，C 三点共线，
2
OA
OB
OC
，
2
1
，解得
1
，
又由
0
OA
mOB
nOC
，得
m
n
OA
OB
OC
，
由A，B，C 三点共线知，
1
m
n
，则
0
m
n
.
故选：B
【变式训练9】已知
1e
，
2e
，
3e
不共面，若
1
2
3
2
AB
e
e
e
，
1
2
3
BC
e
e
e
，且
, ,
A B C 三点共
线，则
（
）
A．3
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【详解】因为
, ,
A B C 三点共线，
所以AB
mBC
，
即
1
2
3
1
2
3
2
e
e
e
m e
m e
me
，
所以
1
2
1
m
m
m
，解得
1
2
，
所以
3
，
故选：A
例4、在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C 共面的是（
）
A．
2
OM
OA
OB
OC
B．
1
1
1
5
3
2
OM
OA
OB
OC
C．
2
0
MA
MB
MC
D．
0
OM
OA
OB
OC
【答案】C
【详解】A 选项：2 1 1
0
1
，所以A 错；
B 选项：1
1
1
31
1
5
3
2
30
，所以B 错；
C 选项：原式可整理为
2
MA
MB
MC
，所以C 正确；
D 选项：原式可整理为OM
OA
OB
OC
，1 1 1
3
1
，故D 错.
故选：C.
题型4
空间共面向量定理及推论
190
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练10】对于空间一点O和不共线三点
, ,
A B C ，且有2
2
OP
OA
OB
OC
，则（
）
A．
,
,
,
O A B C 四点共面
B．
, , ,
P A B C 四点共面
C．
, , ,
O P B C 四点共面
D．
, , , ,
O P A B C 五点共面
【答案】B
【详解】由2
2
OP
OA
OB
OC
，可得
2(
)
OP
OB
OC
OP
OP
OA
，
即
2
BP
PC
AP
，根据平面向量的基本定理，可得
,
,
AP BP PC 共面，
又因为三个向量有公共点P ，所以
, , ,
P A B C 四点共面.
故选：B.
【变式训练11】已知点M 在平面ABC 内，且对于平面ABC 外一点O，满足
1
1
6
4
OM
OA
OB
OC
，
则（
）
A．1
3
B．5
12
C．1
2
D．7
12
【答案】D
【详解】因为点M 在平面ABC 内，且
1
1
6
4
OM
OA
OB
OC
，
所以
1
1
1
6
4
，解得
7
12
.
故选：D
【变式训练12】已知
, ,
A B C 三点不共线，点O在平面ABC 外，点P 满足
2
2
5
5
AP
xOA
OB
OC
，
则当点
, , ,
P A B C 共面时，实数x （
）
A．
4
5
B．
1
5
C．1
5
D．2
5
【答案】A
【详解】由
2
2
5
5
AP
xOA
OB
OC
，可得
2
2
5
5
OP
OA
xOA
OB
OC
，
所以
2
2
1
5
5
OP
x
OA
OB
OC
，
当点
, , ,
P A B C 共面时，可得
2
2
1
1
5
5
x
，解得
4
5
x
.
故选：A.
191
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿
,
OB OC 折起使得A 与
1A 重
合，如图②，其中
,
,
,
D E F G 分别为
,
,
,
AB OB OC AC 的中点．
(1)用
,
,
OA OB OC
表示
,
DE DF
；
(2)证明：
,
,
,
D E F G 四点共面．
【答案】(1)
1
2
DE
OA
，
1
2
DF
OA
OB
OC
．;(2)证明见解析
【详解】（1）因为
,
,
,
D E F G 分别为
,
,
,
AB OB OC AC 的中点，
所以
1
1
2
2
DE
AO
OA
，
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
DF
DG
GF
BC
AO
OC
OB
OA
OA
OB
OC
．
（2）因为
1
1
1
1
,
,
2
2
2
2
DF
OA
OB
OC
DG
BC
OC
OB
DE
OA
，
1
1
1
2
2
2
DG
DE
OC
OB
OA
OA
OB
OC
，
所以DF
DG
DE
，故
,
,
,
D E F G 四点共面．
【变式训练13】如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E，F 分别在
1B B 和
1
D D 上
1
1
3
BE
BB
，
1
2
3
DF
D D
.
(1)求证：A，E，
1
C ，F 四点共面；
(2)若
1
EF
xAB
yAD
zAA
，求x+y+z 的值.
题型5
共面定理证明四点共面
192
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】(1)证明见解析;(2) 1
3
【详解】（1）证明：
1
1
1
1
1
2
3
3
AC
AB
AD
AA
AB
AD
AA
AA
∵
1
1
1
1
1
2
1
2
3
3
3
3
AB
AA
AD
AA
AB
BB
AD
DD
AB
BE
AD
DF
AE
AF
，
所以A，E，
1
C ，F 四点共面.
（2）
EF
AF
AE
AD
DF
AB
BE
∵
1
1
1
2
1
1
3
3
3
AD
DD
AB
BB
AB
AD
AA
，
1
x
，
1
y ，
1
3
z
，
1
3
x
y
z
.
【变式训练14】已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE
kOA
，
OF
kOB
，OH
kOD
，AC
AD
m AB
，EG
EH
mEF
．求证：
//
AC EG ．
【答案】证明见解析．
【详解】
OE
kOA
∵
，OF
kOB
，OH
kOD
，
EG
EH
mEF
OH
OE
m OF
OE
k OD
OA
km OB
OA
k AD
kmAB
k AD
mAB
k AC
，
//
AC EG
，
因为AC 、EG 无公共点，故
//
AC EG .
例6、已知正四面体OABC 的棱长为1，如图所示.若E，F 分别是OA，OC 的中点，求：
题型6
空间向量的数量积运算
193
2026 年高二暑假讲义A 版
(1) EF AO
；(2) EF AC
；(3) EF CB
.
【答案】(1) 1
4 ；(2)
1
2 ；(3)
1
4
【详解】（1）由题意，E，F 分别是OA，OC 的中点，
则
1
2
EF AO
AC AO
1 |
||
| cos
,
2 AC
AO
AC AO
1
1
1 1 cos60
2
4
.
（2）
2
1
1
1
|
|
2
2
2
EF AC
AC AC
AC
.
（3）
1
1 |
||
| cos
,
2
2
EF CB
AC CB
AC CB
AC CB
1
1
1 1 cos120
2
4
.
【变式训练15】正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，则
1
(
)
AB
AD
AD
AA
（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【详解】
2
1
1
1
(
)
0
0 1 0
1
AB
AD
AD
AA
AB AD
AB AA
AD
AD AA
,
故选：A
【变式训练16】设正四面体ABCD 的棱长为a ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF
的值为
（
）
A．
2
3
4 a
B．
2
1
2 a
C．
2
a
D．
2
1
4 a
【答案】D
【详解】如图所示，因为
,
E F 分别为
,
BC AD 的中点，可得
1 (
)
2
AE
AB
AC
，
1
2
AF
AD
，
又因为四面体ABCD 为正四面体，且棱长为a ，
可得
194
2026 年高二暑假讲义A 版
1
1
(
)
(
)
4
4
AE AF
AB
AC
AD
AB AD
AC AD
2
2
2
1
π
π
1
1
1
1
(
cos
cos
)
(
)
4
3
3
4
2
2
4
AB
AD
AC AD
a
a
a
.
故选：D.
【变式训练17】设正四面体ABCD 的棱长为a ，E 为BC 的中点，F 为CD 的中点，则
BF AE
．
【答案】
2
1
8 a
【详解】如图所示，
1
1
1
1
·
2
2
2
2
BF AE
AE BF
AB
AC
BC
BD
AB
AC
AC
AB
AD
AB
1
2
4 AB
AC
AC
AD
AB
2
2
1
2
4 AB AD
AC AD
AB AC
AB
AC
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
4
2
2
2
a
a
a
a
a
2
1
8 a
.
故答案为：
2
1
8 a
【变式训练18】如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
1
1,
60
AB
AD
AA
A AB
A AD
BAD
，则
1 AC
BD
的值为（
）
195
2026 年高二暑假讲义A 版
A．1
B．2
C．
3
D．1
【答案】A
【详解】因为
1
1
1
BA
AD
DD
AB
AD
AA
BD
，AC
AB
AD
，
所以
1
1
BD
AB
AD
AA
A
D
AC
B
A
2
1
1
2
AB
AB AD
AD AB
AD
AA AB
AA AD
1
2
1
2
AB
AD
AA AB
AA AD
2
2
1
1
1 1 cos 60
1 1 cos 60
1
.
故选：A.
【变式训练19】已知正四棱锥P
ABCD
的所有棱长均为1，O 为底面ABCD 内一点，且
1
1
3
2
PO
PA
PB
PC
R
，则PO PB
（
）
A．5
12
B．7
12
C．3
4
D．4
3
【答案】B
【详解】由题意可作图如下：
由
1
PA
PB
PC
AB
BC
，则
60
APB
BPC
，
由
,
,
,
O A B C 共面，则1
1
1
3
2
，解得
1
6
，
所以
1
1
1
3
6
2
PO P
P
P
B
A
PB
PC
B
PB
PB
1
1
1
7
1 1 cos60
1 1
1 1 cos60
3
6
2
12
.
故选：B.
196
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、已知
4
a
，空间向量e为单位向量，
2
3
,
a e
π
，则空间向量a在向量e方向上的投影向量的
模长为（
）
A．2
B．2
C．
1
2
D．1
2
【答案】A
【详解】由题意，
4
a
，
1
e
，
2
3
,
a e
π
，
则空间向量a在向量e方向上的投影数量为
2
cos
1
3
2
4
2
e
e
a
e
a
e
.
所以所求投影向量的模长为2.
故选：A
【变式训练20】四棱锥P
ABCD
中，PD 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，则BP
在向量AD
上的
投影向量为（
）
A．DA
B．BC
C．BD
D．AP
【答案】B
【详解】四棱锥P
ABCD
如图所示，
底面ABCD 是矩形，∴BA
AD
，
PD 底面ABCD ，AD 底面ABCD ，∴PD
AD
，
过向量BP
的始点B 作直线AD 的垂线，垂足为点A ，过向量BP
的终点P 作直线AD 的垂线，垂足为
点D ，BP
在向量AD
上的投影向量为AD
，由底面ABCD 是矩形, AD
BC
，
故选：B
【变式训练21】如图，在三棱锥P
ABC
中，PA 平面ABC ，平面PAB 平面PBC ，BC
PB
，
2
PA
，
2 2
PB
．若AB
方向上的单位向量为e，则CP
在向量AB
方向上的投影向量为
．
题型7
投影向量的运算
197
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】2e
【详解】因为平面PAB 平面PBC ，平面PAB 平面PBC
PB
，
BC
平面PBC ，BC
PB
，
可得
BC
平面PAB ，
且AB 平面PAB ，则CB
AB
，
又因为PA 平面ABC ，AB 平面ABC ，则PA
AB
，
故CP
在AB
方向上的投影向量为
2
BA
e
．
故答案为：2e
.
【变式训练22】在空间四边形ABCD 中，
90 ,
2
ABD
BDC
AC
BD
，则BD
在AC
上的投影
向量为（
）
A．1
2
AC
B．1
4 AC
C．1
2
BD
D．1
4 BD
【答案】B
【详解】在四面体中，因为
90 ,
2
ABD
BDC
AC
BD
，
设
2,
1
AC
BD
，且
0
AB BD
BD DC
，AC
AB
BD
DC
uuur
uuur
uuur
uuur ，
则
2
AC BD
AB
BD
DC
BD
BD
，
BD
在AC
上的投影向量为
2
2
1
4
BD
BD AC
AC
AC
AC
AC
AC
AC
.
故选：B
例8-1、已知空间向量, ,
a b c
满足
2
7
0,
1
a
b
c
a
b
c
，则a与b
的夹角为（
）
A．30o
B．150
C．60o
D．120
【答案】C
【详解】设a与b
的夹角为.由
2
7
0
a
b
c
，得
2
7
a
b
c
，
两边平方得
2
2
2
4
4
7
a
a b
b
c
，所以1 4 1 1 cos
4
7
，
题型8
利用数量积求长度、夹角
198
2026 年高二暑假讲义A 版
解得
1
cos
2
.又
0,π
，所以
60
.
故选：C.
【变式训练23】已知空间向量,a b
满足|
|
2,|
| 1,
(
2 )
a
b
a
a
b
，则向量,a b
的夹角为（
）
A．π
3
B．π
4
C．2π
3
D．3π
4
【答案】D
【详解】由向量|
|
2,| | 1
a
b
，
因为
(
2 )
a
a
b
，可得
2
(
2 )
2
0
a
a
b
a
a b
，解得
1
a b
，所以
1
2
cos
,
2
|
||
|
2 1
a b
a b
a b
.又因为
,
0,π
a b
，所以
3π
,
4
a b
.
故选：D．
【变式训练24】已知空间向量a
，b
的夹角为π
3 ，且
2
a
，
1
b
，则
2
a
b
与b
的夹角是（
）
A．π
6
B．5π
6
C．π
4
D．3π
4
【答案】A
【详解】由a
，b
的夹角为π
3 ，且
2
a
，
1
b
得
2
1
(
2 )
2
2 1
2
3
2
a
b b
a b
b
，
2
2
1
2
4
4
4
4
4 2 1
2 3
2
a
b
a
b
a b
，
设
2
a
b
与b
的夹角为，则
2
3
3
cos
2
2 3
2
a
b
b
a
b b
，
由于
0,π
，故
π
6
故选：A
【变式训练25】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
2
AC
AB
AA
，
2
2
BC
AE
，则向量
AE
与
1AC
的夹角是（
）
199
2026 年高二暑假讲义A 版
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【详解】∵
1A A 平面ABC ，AB 平面ABC ，AC 平面ABC ，
∴
1
1
,
A A
AB A A
AC
.
∵
2
AC
AB
，
2
BC
，∴
2
2
2,
AB
AC
BC
AB
AC
，
又
2
2
BC
AE
，∴E 为BC 的中点，
∴
1
2
AE
AB
AC
.
∵
1
2
AC
AA
，∴
1
2
AC
.
∵
1
2
1
1
1
1
2
2
A
AB
AC
C
AC
AA
A
E
C
A
∴
1
cos
,
AE AC
＝
1
1
1
2
AE AC
AE AC
,
又
1
0
,
180
AE AC
，∴
1
,
60
AE AC
.
故选：C.
【变式训练26】如图，在平行六面体ABCD
A B C D
中，
1
AB
AD
AA
，
90
DAB
，
60
A AB
A AD
，点O为BC的中点，AO
xAB
yAD
z AA
.
(1)求x
y
z
的值；
(2)求AO 与DC 所成的角的余弦值.
【答案】(1) 2 ；(2) 5
6
【详解】（1）因为点O为BC的中点
所以
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
BO
BC
BB
BC
AA
AD
AD
AA
所以
1
1
2
2
AO
AB
BO
AB
AD
AA
200
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
1
x ，
1
2
y
z
所以
1
1
1
2
2
2
x
y
z
（2）因为
2
2
1
1
2
2
AO
AB
AD
AA
2
2
2
1
1
1
4
4
2
AB
AD
AA
AB AD
AB AA
AD AA
1
1
1
9
1
0 1 1 cos60
1 1 cos60
4
4
2
4
；
所以
3
2
AO
；
因为
2
1
1
2
2
AO DC
AO AB
AB
AB AD
AB AA
1
5
1 0
1 1 cos60
2
4
；
又
1
DC
AB
。
所以
5
5
4
cos
,
3
6
1
2
AO DC
AO DC
AO
DC
；
所以直线AO 与DC 所成的角的余弦值为5
6 .
例8-2、已知空间单位向量a
，b
，c
两两垂直，则a
b
c
（
）
A．
3
B．
6
C．3
D．6
【答案】A
【详解】由题意，
1
a
b
c
，
0
a b
，
0
a c
，
0
c b
，
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a b
b c
a c
2
2
2
1
1
1
3
，
3
a
b
c
.
故选：A.
【变式训练27】已知a
，b
，c
均为单位向量，且a
b
.若
4
5
a c
，则b c
（
）
A．
7
4
B．3
5
C．3
4
D．4
5
【答案】B
【详解】设a
与c
的夹角为，b
与c
的夹角为，
由
4
5
a c
，知
4
1 1 cos
5
,所以
4
cos
5
，
当
90
时，
90
，所以
2
3
cos
cos 90
sin = 1
cos
5
，
201
2026 年高二暑假讲义A 版
当
90
时，
90 +
，所以
2
3
cos
cos 90 +
sin =
1
cos
5
，
所以
3
1 1 cos
5
b c
.
故选：B
【变式训练28】a、b
、c
是空间向量，其中a
b
，c
与a、b
的夹角都是60，且
1
a
，
2
b
，
3
c
．则a
b
c
．
【答案】
5
【详解】因为a
b
，c
与a、b
的夹角都是60，且
1
a
，
2
b
，
3
c
，
则
0
a b
，
π
3
3cos 3
2
a c
，
1
2 3
3
2
b c
，
则
2
2
2
2
2
2
2
1
4
9
3
6
5
a
b
c
a
b
c
a b
a c
b c
，
所以
5
a
b
c
，
故答案为：
5 .
【变式训练29】平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面ABCD 是边长为2 的正方形，且
1
1
60
A AD
A AB
，
1
3
AA
，则线段
1
AC 的长为（
）
A．5
B．2 7
C．
29
D．30
【答案】C
【详解】因为
1
1
AC
AB
AD
AA
，
所以
2
2
1
1
AC
AB
AD
AA
2
2
2
1
1
1
2
2
2
AB
AD
AA
AB AD
AA AB
AD AA
2
2
2
1
1
2
2
3
2
2
2 0
2
2 3
2
2 3
29
2
2
，
202
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
1
29
AC
，即线段
1
AC 的长为
29 .
故选：C
【变式训练30】在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1,
2
AB
AD
AA
，
1
1
π
3
A
BAD
BAA
D A
，M 是
1
CC 的中点.
(1)求
1
BD 的长；
(2)求
1
BD
A M
.
【答案】(1)
5 ；(2)4
【详解】（1）连接
,
AC BD ，
π
1
cos
1 1 cos 3
2
AB AD
AB AD
BAD
，
1
1
1
π
1 2 cos
1
3
AD AA
AD AA
DAA
，
1
1
1
π
1 2 cos
1
3
AB AA
AB AA
BAA
，
1
1
1
1
BD
BD
DD
BA
BC
DD
AB
AA
AD
，
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
BD
AB
AD
AA
AB
AD
AA
AB AD
AD AA
AB AA
2
2
2
1
1
2
2 1
2 1
2
AB
AD
AA
1 1
4 1
2
2
5
，
∴
2
1
1
5
BD
BD
，即
1
BD 的长为
5 .
（2）
1
1
1
1
2
2
AB
CC
A
AM
AC
CM
A
B
AA
D
AD
，
∴
1
1
1
1
2
BD
AM
AB
AD
AA
AB
AD
AA
203
2026 年高二暑假讲义A 版
2
1
1
2
1
2
1
1
3
2
2
2
A
A
B
A
AA
A
B
AD
AD
AA
2
2
2
1
1
1
3
1
1
2
2
2
AB
AD
AA
2
1
1
3
1 1
2
4
2
2
2
.
例9、如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长是a ，
1
CD 和
1
DC 相交于点O．
(1)求
1
CD CD
；
(2)求AO
与CB
的夹角的余弦值；
(3)判断AO
与
1
CD
是否垂直．
【答案】(1)
2
a ；(2)
6
3
；(3)垂直
【详解】（1）正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
1
π
2 ,
,
4
CD
a CD CD
，
故
2
1
π
2
cos 4
CD CD
a
a
a
.
（2）由题意知，
1
1
0,
0,
0
AB AD
AB AA
AA AD
，
1
1
2
AO
AD
DO
AD
AB
AA
，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
6
2
4
4
2
a
AO
AD
AB
AA
AD
AB
AA
，
故
2
1
1
2
AO CB
AO AD
AD
a
AD
AB
AA
，
故
2
6
cos
,
3
6
2
AO CB
a
AO CB
AO CB
a a
.
（3）由题意，
1
1
0,
0,
0
AB AD
AB AA
AA AD
，
题型9 利用数量积证垂直
204
2026 年高二暑假讲义A 版
1
1
1
1
2
AO CD
AD
AB
AA
AA
AB
2
2
1
1
1
0
2
2
AA
AB
，
故AO
与
1
CD
垂直.
【变式训练31】如图，在三棱锥A
BCD
中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且
2
DB
DC
DA
，E
为BC 的中点.
(1)证明：AE
BC
；（用向量方法证明）
(2)求直线AE 与DC 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
6
6
【详解】（1）证明：由题意，因为
1 (
)
2
AE
DE
DA
DB
DC
DA
，BC
DC
DB
，
所以
1
1
(
)
2
2
AE BC
DB
DC
DA
DC
DB
1
1
1
1
2
2
2
2
DB DC
DB DB
DC DC
DC DB
DA DC
DA DB
0
2
2
0
0
0
0
，
所以AE
BC
，即AE
BC
.
（2）由（1）知，
1
1
2
2
AE
DB
DC
DA
，
所以
1
1
2
2
AE DC
DB
DC
DA
DC
1
1
0
2
0
2
2
2
DB DC
DC DC
DA DC
，
又
2
2
|
|
( 2)
2
6
AE
，
所以
2
6
cos
,
6
|
||
|
6
2
AE DC
AE DC
AE
DC
，
即直线AE 与DC 所成角的余弦值为
6
6 .
205
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、下列说法中正确的是（
）
A．空间中共线的向量必在同一条直线上
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．数乘运算中，既决定大小又决定方向
D．在四边形ABCD 中，一定有AB
AD
AC
【答案】C
【详解】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A
错误，
对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如
(1,0,0),
(0,1,0)
a
b
的方向不同，但模相
等，所以B 错误，
对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C 正确，
对于D，在平行四边形ABCD 中，才有AB
AD
AC
，所以D 错误.
故选：C
2、如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，下列说法错误
．．的是（
）
A．
1
1
AA
BB
B．
1
1
A
CD
B
C．
1 1
DB
AC
D．
1
1
AB
AD
AA
AC
【答案】C
【详解】由向量相等可知:
1
1
AA
BB
，故A 正确；
1
1
C D
AB
BA
，故B 正确；
DB
AB
AD
，
1
1
AC
AC
AB
AD
,则
1
1
AC
AB
AD
，所以
1
1
DB
AC
，故C 错误；
206
2026 年高二暑假讲义A 版
1
1
1
AB
AD
AA
AC
AA
AC
，故D 正确；
故选：C.
3、已知M，A，B，C 为空间中四点，任意三点不共线，且
2
OM
OA
xOB
yOC
，若M，A，B，
C 四点共面，则2x
y
的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【详解】依题意，1
2
1
x
y
，所以2
0
x
y
.
故选：A
4、如图，在四面体ABCD 中，E 是棱AB 上一点，且
1
,
3
AE
AB F
是棱CD 的中点，则EF
（
）
A．
1
1
1
3
2
2
AB
AC
AD
B．1
1
1
3
2
2
AB
AC
AD
C．1
1
1
3
2
2
AB
AC
AD
D．
1
1
1
3
2
2
AB
AC
AD
【答案】D
【详解】由题意，得
1
3
EF
EA
AF
BA
AC
CF
1
1
1
1
3
2
3
2
AB
AC
CD
AB
AC
AD
AC
1
1
1
3
2
2
AB
AC
AD
．
故选：D．
5、在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，设
1
,
,
AB
a AD
b AA
c
，则
2
1
(
)
3
2
a
b
c
的值为（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【详解】在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
,
a
b a
c
，
所以
2
1
2
1
(
)
0
3
2
3
2
a
b
c
a b
a c
.
故选：B
207
2026 年高二暑假讲义A 版
6、已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，棱
,
AB CD 的中点分别是
,
M N ，则AN MC
（
）
A．
2
a
B．
2
1
2 a
C．
2
1
3 a
D．
2
1
4 a
【答案】B
【详解】如图所示，设
,
,
AB
p AC
q AD
r
，
由题意知p
q
r
a
，且
, ,
p q r
三向量两两夹角均为60，
1
1
1
,
2
2
2
AN
AC
AD
q
r
MC
AC
AM
q
p
∵
，
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
AN MC
q
r
q
p
q
q p
r q
r p
a
．
故选：B.
7、如图，设动点P 在棱长为1的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的对角线
1
BD 上（不含端点），
1
1
D P
D B
，当
APC
为直角时，的值是（
）
A．2
B．1
C．1
2
D．1
3
【答案】D
【详解】由题设有
1
1
1
D B
D D
DA
DC
DD
DA
DC
，
故
1
1
1
D P
D B
DD
DA
DC
，
而
1
1
1
1
1
PA
DD
DA
DC
DA
DD
DD
DA
DC
，
同理，
1
1
1
PC
DD
DC
DA
，
因为
APC
为直角，故
0
PC PA
，
208
2026 年高二暑假讲义A 版
故
2
1
2
1
0
，故
2
3
4
1
0
，
故
1
（舍）或
1
3
，
故选：D.
二、多选题
8、如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
2
AB AD AA
，
2π
3
BAD
，E ，F 分别为
1
1
C D ，
1
1
A D 的中点，则（
）
A．
1
1
2
AE
AB
AD
AA
B．
1
1
2
BF
AB
AD
AA
C．
0
AB AE
D．
5
AB BF
【答案】ACD
【详解】对于A，由E 为
1
1
C D 的中点，则
1
1
1
1
2
D E
D C
，
在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，易知
1
1
1
1
,
D C
AB DD
AA
，
所以
1
1
1
1
2
AE
AD
DD
D E
AB
AD
AA
，故A 正确；
对于B，由F 为
1
1
A D 的中点，则
1
1
1
1
2
A F
A D
，
在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，易知
1
1
A D
AD
，
1
1
1
1
2
BF
BA
AA
A F
AB
AD
AA
，故B 错误；
对于C，由题意可得AB
与AD
的夹角为2π
3 ，且
2π
1
cos 3
2
，
则
1
1
2
AB AE
AB
AB
AD
AA
2
2
1
1
1
1
2
2 2
0
0
2
2
2
AB
AB AD
AB AA
，故C 正确；
对于D，
2
1
1
1
1
2
2
AB BF
AB
AB
AD
AA
AB
AB AD
AB AA
209
2026 年高二暑假讲义A 版
1
1
4
2
2
0
5
2
2
，故D 正确．
故选：ACD．
9、在棱长为2 的正四面体A-BCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，G 是△BCD 的重心，则下列
结论正确的是（
）
A．
0
AB CD
B．
2
AB EF
C．EF
在AB
上的投影向量为1
3 AB
D．
1
3
EG
AB
AC
AD
【答案】AB
【详解】
如图，取DC 的中点M，连接AM，BM，
∵AM⊥CD，BM⊥CD，
,
,
AM
BM
M AM BM
平面ABM ，
∴CD⊥平面ABM ，AB 平面ABM ，∴CD⊥AB，故A 正确；
取BD 的中点H，连接HE，HF，则
1
/ /
,
2
HE
AB HE
AB
，
1
/ /
,
2
FH
CD FH
CD
，
∴HE⊥FH，即
90
FHE
，又
1
HE
FH
，∴
45
HEF
，
2
EF
，
∴
2
2 1
2
cos
AB EF
EH EF
45
2
，故B 正确；
由B 知，EF
在AB
上的投影向量为
1
2
EH
AB
，故C 不正确；
1
2
EG
EA
AG
1
1
1
3
3
6
AD
AB
AC
AD
AB
AC
AD
，故D 不正确，
故选：AB．
三、填空题
10、设
1e
，
2e
是空间两个不共线的向量，已知
1
2
2
AB
e
ke
，
1
2
3
CB
e
e
，
1
2
2
CD
e
e
，且A，
B，D 三点共线，则k
．
【答案】8
【详解】因为
1
2
3
CB
e
e
，
1
2
2
CD
e
e
，
210
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1
2
4
BD
CD
CB
e
e
，
又
1
2
2
AB
e
ke
，而A，B，D 三点共线，
所以存在
R
，使得AB
BD
，
即
1
2
1
2
2
4
e
ke
e
e
，所以
2
4
k
，解得
8
k ．
故答案为：8
．
11、已知空间向量a
，b
，c
两两夹角均为60o，其模均为1，则a
b
c
.
【答案】
6
【详解】
2
2
2
2
(
)
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a b
a c
b c
2
2
2
2
cos60
2
cos60
2
cos60
a
b
c
a
b
a
c
b
c
1
1
1
1 1 1 2 1 1
2 1 1
2 1 1
6
2
2
2
.
故答案为：
6 .
四、解答题
12、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，化简下列向量表达式：
(1) AB
BC
；(2)
1
1
1
1
1
A B
A D
C C
．(3)
1
1
2 GD
GB
AO
【答案】(1) DB
(2)
1AC
(3)
1
GA
【详解】（1）AB
BC
AB
AD
DB
；
（2）
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A B
A D
C C
AC
C C
AC
；
（3）
1
1
1
1
1
2
2
1
2
G
GD
GB
AO
OA
O
G
O
A
O
A
G
.
13、已知
, , ,
,
,
,
,
,
O A B C D E F G H 为空间9 个点(如图)，并且
,
OE
kOA OF
kOB
，OH
kOD
，
211
2026 年高二暑假讲义A 版
AC
AD
mAB
．EG
EH
mEF
，求证：
(1)
, ,
,
A B C D 四点共面；(2)
/ /
AC
EG
；(3)OG
kOC
．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【详解】（1）解：因为AC
AD
mAB
，
由共面向量的基本定理，可得
,
,
AC AD AB
是共面向量
又因为
,
,
AC AD AB
有公共点A ，所以
, ,
,
A B C D 四点共面.
（2）解：因为
,
,
OE
kOA OF
kOB OH
kOD
，
则
(
)
(
)
(
)
EG
EH
mEF
OH
OE
m OF
OE
k AD
OA
km OB
OA
(
)
k AD
AB
AD
km
k
m
k
AB
AC
，
所以
/ /
AC
EG
.
（3）解：由（1）及
,
,
OE
kOA OF
kOB OH
kOD
，
可得
,
EG
k AC EO
k AO
，
所以
(
)
OG
EG
EO
k AC
k AO
k AC
AO
kOC
，即OG
kOC
.
14、如图，在空间四边形OABC 中，D ，E 分别为BC ，OA的中点，点G 为
ABC
V
的重心，设OA
a
，
OB
b
，OC
c
.
(1)试用向量a
，b
，c
，表示向量OG
；
(2)若
2
OA
OC
，
1
OB ，
60
AOC
BOC
AOB
，求BE AD
的值.
212
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】(1) OG
1(
)
3 a
b
c
；(2)
5
4
【详解】（1）OG
OA
AG
2
3
OA
AD
2
1
1
(
)
(
)
3
2
3
OA
AB
AC
OA
AB
AC
1 (
)
3
a
b
a
c
a
1(
)
3 a
b
c
（2）
1
1
1
(
)
(
)
(
2 )
2
2
2
AD
AB
AC
b
a
c
a
b
c
a
，
1
2
BE
BO
OE
b
a
，
1
1
(
2 )
2
2
BE AD
a
b
b
c
a
2
2
1
1
1
2
2
2
2
a b
a c
a
b
b c
a b
1
5
1
1
1
1
2 1
2
2
4 1 1 2
2
2
2
2
2
2
5
4
.
213
2026 年高二暑假讲义A 版
空间向量基本定理
1、空间向量基本定理
如果向量三个向量, , ,
a b c
不共面，那么对空间任意向量
,p
存在有序实数组
, ,
,
x y z
使得
.
p
xa
yb
zc
2、基底与基向量
如果向量三个向量, , ,
a b c
不共面，那么所有空间向量组成的集合就是
, , ,
.
p p
xa
yb
zc x y z
R
这个集合可看作是由向量, , ,
a b c
生成的，我们把
, ,
a b c
叫做空间的一个基底, , ,
a b c
都叫做基向量．
对基底的正确理解，有以下三个方面：
（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；
（2）因为0
可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就
隐含着它们都不是0
；
（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个
向量，二者是不同的概念．
1、单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫
做单位正交基底，常用
, ,
i j k
表示.
2、正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
题型1
空间向量基底概念及辨析
题型4
空间基底法解决长度问题
题型2
用空间基底表示向量
题型5
空间基底法解决夹角问题
题型3
空间向量基本定理
题型6
空间基底法解决垂直、平行问题
知识点1
空间向量基本定理
知识点2
空间向量的正交分解
214
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、下列关于空间向量的说法正确的是（
）
A．任意两个空间向量不一定共面
B．模相等的两个向量是相等向量
C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底
【答案】C
【详解】任意两个空间向量一定共面，A 错误.
方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B 错误．
平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C 正确.
空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D 错误.
故选：C.
【变式训练1】已知、R ，下列可使非零向量a
，b
，c
组成的集合
, ,
a b c
成为空间的一组基
底的条件是（
）
A．b
c
B．a
，b
，c
两两垂直
C．a
b
c
D．
0
a
b
c
【答案】B
【详解】由基底定义可知只有非零向量a
，b
，c
不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，b
c
，则,b c
共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a
与,b c
共面，
故A 错误；
对于B，因为非零向量a
，b
，c
两两垂直，所以非零向量a
，b
，c
不共面，可构成空间的一组基
底，故B 正确；
对于C，由共面定理可知非零向量a
，b
，c
共面，故C 错误；
对于D，
0
a
b
c
，即a
b
c
，故由共面定理可知非零向量a
，b
，c
共面，故D 错误.
故选：B.
【变式训练2】若
, ,
a b c
构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（
）
A．a
b
，b
c
，c
a
B．
a
c ，b
c
，a
b
C．2a
b
，
a
c ，2c
b
D．a
b
，b
c
，c
a
题型1
空间向量基底概念及辨析
215
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】因为
(
)
(
)
c
a
b
c
a
b
，所以a
b
，b
c
，c
a
共面；
因为
(
)
(
)
a
b
a
c
b
c
，所以
a
c ，b
c
，a
b
共面；
因为2
2(
)
(2
)
a
b
a
c
c
b
，所以2a
b
，
a
c ，2c
b
共面；
因为不存在x，y，使得
(
)
(
)
a
b
x b
c
y c
a
，所以a
b
，b
c
，c
a
不共面，所以可以作为基
底．
故选：D.
【变式训练3】若
, ,
a b c
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（
）
A．, ,
a b a
b
B．, ,2
3
a b
a
b
C．
,
,
c
b c
b a
D．
,
,
c
b a
b
c a
【答案】C
【详解】对于A 选项，有
b
a
b
a
，所以, ,
a b a
b
共面；
对于B 选项，有2
3
2
3
a
b
a
b
，所以, ,2
3
a b
a
b
共面；
对于C 选项，假设
,
,
c
b c
b a
共面，则有
a
x c
b
y c
b
，
即
a
x
y b
x
y c
，由此有a
、b
、c
共面，与已知条件矛盾，
所以
,
,
c
b c
b a
不共面；
对于D 选项，
a
a
b
c
c
b
，所以
,
,
c
b a
b
c a
共面.
故选：C
例2、已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使
2
MG
GN
，
用向量OA
，OB
，OC
表示向量OG
是（
）
A．
2
2
3
3
OG
OA
OB
OC
B．
1
2
2
2
3
3
OG
OA
OB
OC
C．
1
1
1
6
3
3
OG
OA
OB
OC
D．
1
1
2
6
3
3
OG
OA
OB
OC
题型2
用空间基底表示向量
216
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】C
【详解】如图
2
2
3
3
OG
OM
MG
OM
MN
OM
MO
OC
CN
1
2
1
1
1
1
3
3
3
6
3
3
OM
OC
OB
OC
OA
OB
OC
，
故选：C.
【变式训练4】如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
,
,
,
AB
a AD
b AA
c
M 是
1
1
A D 的
中点，点N 是CA₁上的点，且
1
:
1: 4
CN NA
, 用, ,
a b c
表示向量MN
的结果是（
）
A．1
2 a
b
c
B．1
1
4
5
5
5
a
b
c
C．4
3
4
5
10
5
a
b
c
D．1
3
1
5
10
5
a
b
c
【答案】C
【详解】由图可得：
1
1
1
1
1
1
4
1
4
1
(
)
5
2
5
2
MN
A N
A M
AC
A D
AC
AA
AD
1
4
1
4
3
4
(
)
5
2
5
10
5
AB
AD
AA
AD
a
b
c
.
故选：C.
【变式训练5】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称
为阳马.如图所示，已知四棱锥P
ABCD
是阳马，PA 平面ABCD ，且
1
4
PE
PC
，若
217
2026 年高二暑假讲义A 版
,
,
AB
a AD
b AP
c
，则BE
（
）
A．
5
1
5
4
4
4
a
b
c
B．5
1
5
4
4
4
a
b
c
C．3
1
3
4
4
4
a
b
c
D．
3
1
3
4
4
4
a
b
c
【答案】D
【详解】由题意，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
PE
PC
AC
AP
AC
AP
AB
AD
AP
a
b
c
，
PB
AB
AP
a
c
，
则
1
1
1
3
1
3
4
4
4
4
4
4
BE
PE
PB
a
b
c
a
c
a
b
c
，
故选：D.
【变式训练6】三棱锥S
ABC
中，
,
,
D E F 分别为线段
,
,
AB AC BC 的中点，G 为
ABC
V
的重心，则
SG
（
）
A．1
1
1
3
3
3
SD
SE
SF
B．1
1
1
2
2
2
SD
SE
SF
C．1
1
1
3
2
3
SD
SE
SF
D．1
1
1
3
3
2
SD
SE
SF
【答案】A
【详解】依题意，
2
2
1
1
3
3
2
3
SG
SA
AG
SA
AF
SA
AC
AB
SA
SC
SA
SB
SA
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
6
6
6
3
3
3
SA
SB
SC
SA
SB
SA
SC
SB
SC
SD
SE
SF
，
故选：A.
218
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、如图所示，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
2
AM
MC
，
1
2
A N
ND
.设AB
a
，AD
b
，
1
AA
c
，MN
xa
yb
zc
，则x
y
z
（
）
A．3
4
B．1
4
C．2
3
D．1
3
【答案】D
【详解】因为
1
2
AM
MC
，
1
2
A N
ND
，
则
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
(
)
3
3
3
3
MN
MA
AA
A N
AC
AA
A D
AB
AD
AA
AD
AA
1
1
2
2
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
a
b
c
b
c
a
b
c
，
所以
1
1
,
3
3
x
y
z
，故
1
3
x
y
z
.
故选：D.
【变式训练7】在四面体O
ABC
中，点M 为线段OA靠近A 的四等分点，N 为BC 的中点，若
MN
xOA
yOB
zOC
，则x
y
z
的值为（
）
A．3
2
B．1
C．1
4
D．1
3
【答案】C
【详解】由题
1
1
1
1
1
4
2
4
2
2
MN
MA
AN
OA
AB
AC
OA
OB
OA
OC
OA
3
1
1
4
2
2
OA
OB
OC
题型3
空间向量基本定理
219
2026 年高二暑假讲义A 版
又由题MN
xOA
yOB
zOC
，故
1
4
x
y
z
.
故选：C.
【变式训练8】《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中
堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵
1
1
1
ABC
A B C
，中，M 是
1
1
AC
的中点，G 是MB 的中点，若
1
AG
xAB
yAA
zAC
，则x
y
z
（
）
A．1
B．2
C．3
2
D．5
4
【答案】D
【详解】连接AM ，因为G 是MB 的中点，所以
1
2
AG
AM
AB
，
因为三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
是底面为直角三角形的直棱柱，
所以四边形
1
1
ACC A 为长方形，又因为M 是
1
1
AC 的中点，
所以
1
1
1
1
2
AM
AA
A M
AA
AC
，
则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
4
AG
AM
AB
AA
AC
AB
AB
AA
AC
，
又
1
AG
xAB
yAA
zAC
，又AB
，
1
AA
，AC
不共面，所以
1
2
1
2
1
4
x
y
z
，所以
5
4
x
y
z
．
故选：D．
【变式训练9】已知四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，点E 为PA 的中点，点F 满足
2
PF
FC
，点Q 满足PQ
QD
，若B 、E 、F 、Q 四点共面，则（
）
220
2026 年高二暑假讲义A 版
A．1
2
B．3
5
C．2
3
D．3
4
【答案】C
【详解】如下图所示：
因为B 、E 、F 、Q 四点共面，且BE
、BF
不共线，
则存在m 、nR ，使得BQ
mBE
nBF
，
即
PQ
PB
m PE
PB
n PF
PB
，
所以
1
2
1
1
2
3
PQ
m
n PB
mPE
nPF
m
n PB
mPA
nPC
，
因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD
BC
，即PD
PA
PC
PB
，
所以PD
PA
PB
PC
，
设PQ
kPD
，则PQ
kPA
kPB
kPC
，
因为PA
、PB
、PC
不共面，所以
1
1
2
2
3
m
n
k
m
k
n
k
，解得
2
5
k
，所以
2
5
PQ
PD
，
又因为PQ
QD
，故
2
3
，
故选：C.
【变式训练10】如图，在四面体OABC 中，
1
2
BM
BC
，
1
2
MN
NO
，
3
4
AP
AN
，若OQ
OB
，
且PQ∥平面ABC，则实数（
）
221
2026 年高二暑假讲义A 版
A．2
3
B．3
2
C．4
3
D．3
4
【答案】D
【详解】由条件可知，延长OP 与AM 交于D ，连接BD ，
因为PQ 平面ABC ，
PQ 平面OBD ，平面OBD平面ABC
BD
，
所以PQ∥BD ，
令OD
OP
，AD
mAM
，
则有AD
1
1
1
1
4
4
4
OD
OA
OP
OA
OA
OB
OC
，
1
2
AD
mAM
m AB
AC
1
1
1
2
2
2
m OB
OA
OC
OA
mOA
mOB
mOC
，
根据向量基底表示法的唯一性，
得
1
1
4
1
1
2
4
m
m
解得
2
3
4
3
m
PQ
∵
∥BD，
OPQ
ODB
∽
△
△
，
3
4
OQ
OP
OB
OD
，
3
4
．
222
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：D．
【变式训练11】如图，在三棱锥S
ABC
中，点G 为底面
ABC
V
的重心，点M 是线段SG 的中点，
过点M 的平面分别交SA，SB ，SC 于点D ，E ，F ，若SD
kSA
，SE
mSB
，SF
nSC
，则1
1
1
k
m
n
（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】B
【详解】由题意可知，
1
1
1
2
1
2
2
2
3
2
SM
SG
SA
AG
SA
AB
AC
1
1
1
1
1
1
2
3
3
6
6
6
SA
SB
SA
SC
SA
SA
SB
SC
因为D ，E ，F ，M 四点共面，
所以存在实数,
，使DM
DE
DF
，
所以
SM
SD
SE
SD
SF
SD
，
所以
1
1
SM
SD
SE
SF
kSA
mSB
nSC
，
所以
1
1
6
1
6
1
6
k
m
n
，所以
1
1
1
6 1
6
6
6
k
m
n
．
故选：B.
【变式训练12】已知点M 是正四面体P
ABC
底面ABC 内一点，满足PM
xPA
yPB
zPC
，其
中, ,
R
x y z
，当PM
最小时，3
2
x
y
z
的值为（
）
A．2 3
B．
6
C．2
D．1
223
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】C
【详解】当PM
最小时，此时PM 平面ABC ，故M 为等边三角形ABC 的中心，
记BC 的中点为D ，则
2
1
,
3
2
AM
AD AD
PB
PC
，
故
2
2
1
2
1
2
1
3
3
3
3
3
3
2
PM
PA
AM
PA
AD
PA
PD
PA
PA
PD
PA
PB
PC
1
1
1
3
3
3
PA
PB
PC
，
故
1
3
x
y
z
，因此3
2
2
x
y
z
，
故选：C
例4、如图，四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，
且两两夹角为60o，则
1
AC
的值为（
）
A．
3
B．2 3
C．
5
D．
6
【答案】D
【详解】记
1
,
,
AB
a AD
b AA
c
，则
π
|
| |
| |
| 1
,
,
,
3
,
a
b
c
a b
b c
a c
，
所以
1
2
a b
b c
a c
，
由于
1
AC
c
a
b
，故
2
2
2
2
2
1
(
)
2
2
2
AC
a
b
c
a
b
c
a b
a c
b c
题型4
空间基底法解决长度问题
224
2026 年高二暑假讲义A 版
1
1
1
1 1 1
2
6
2
2
2
，
故
1
|
|
6
AC
.
故选：D.
【变式训练13】在平行六面体ABCD
A B C D
中，
4,
3,
5,
90
AB
AD
AA
BAD
，
60
BAA
DAA
，则AC的长为（
）
A．12
B．85
C．
61
D．
70
【答案】B
【详解】由题意可得AC
AB
AD
AA
，由
90
BAD
，则
0
AB AD
uuur uuur
，
由
60 ,
4,
3,
5
BAA
DAA
AB
AD
AA
，
则
cos60
10
AB AA
AB
AA
，
15
cos60
2
AD AA
AD
AA
，
所以
2
2
2
2
2
2
AC
AB
AD
AA
AB
AD
AA
AB AD
AB AA
AD AA
16
9
25
0
20
15
85
.
故选：B.
【变式训练14】在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
AB ，
1
3
AA
，
1
21
AC
，
1
1
π
3
A AB
A AD
，
2π
3
BAD
，则AD （
）
A．1
B．2
C．3
D．2 3
2
【答案】B
【详解】如图所示：
225
2026 年高二暑假讲义A 版
因为六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
是平行六面体，
所以
1
1
AC
AB
AD
AA
，
则
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
AC
AB
AD
AA
AB
AD
AA
AB AD
AA AD
AB AA
，
由
1
AB ，
1
3
AA
，
1
21
AC
，
1
1
π
3
A AB
A AD
，
2π
3
BAD
，设AD
x
，
故有：
2
1
1
1
1
21
1
9
2
cos
2
cos
2
cos
x
AB
AD
BAD
AD
AA
A AD
AA
AB
A AB
，
所以
2
2π
π
π
21
1
9
2 1
cos
2
3 cos
2 3 1 cos
3
3
3
x
x
x
，
得
2
2
8
0
x
x
，解得
2(
x
负值舍去)
故
2.
AD
故选：B.
【变式训练16】如图，在多面体EF
ABCD
中，底面ABCD 是边长为1 的正方形，AE 底面
,
ABCD CF 底面ABCD ，且
,
AE
CF M
是正方形ABCD 的中心，若
7
2
ME DF
，则AE （
）
A．2
B．5
2
C．5
D．7
2
【答案】A
【详解】因为底面ABCD 是边长为1 的正方形，AE 底面
,
ABCD
,
AB AD 底面ABCD，
所以
0
AD AB
，
0
AD AE
，
0
AB AE
，设AE
a
，
因为
1
1
1
2
2
2
ME
MA
AE
DA
DC
AE
AD
AB
AE
，DF
DC
CF
AB
AE
，
1
1
2
2
ME DF
AD
AB
AE
AB
AE
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
AD AB
AD AE
AB
AB AE
AB AE
AE
2
2
2
1
1
7
2
2
2
AB
AE
a
，解得：
2
a
，
故
2
AE
.
故选：A.
226
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M，N 分别是线段
1A B ，
1
1
B D 上的点，且
1
2
A M
MB
，
1
1
2
B N
ND
，若
1
1
1
1
1
1
A B
A D
AA
，
1
1
1
90
B A D
∠
，
1
1
60
A AB
A AD
，则下列说法中正确
的是（
）
A．AB
与
1
1
B D
的夹角为45°
B．
1
1
2
1
3
3
3
MN
AB
AD
AA
C．线段
1AC 的长度为1
D．直线
1AC 与
1
BB 所成的角为60°
【答案】C
【详解】由题可得
1
1
AB
AD
AA
，
90
BAD
，
1
1
60
A AB
A AD
，
对于A，由题
1
1
1
1
1
1
B D
A D
A B
AD
AB
，
所以
2
1
1
·
·
·
1
AB B D
AB AD
AB
AB AD
AB
，
2
2
1
1
2
·
2
B D
AD
AB
AD
AB AD
AB
，
所以
1
1
1
1
1
1
·
1
2
cos
,
2
2
AB B D
AB B D
AB B D
，
因为
1
1
,
0,π
AB B D
，所以
1
1
3π
,
4
AB B D
，故A 错误；
对于B，由题得
1
1
MN
AN
AM
AB
B N
AB
BM
1
1
1
1
2
1
3
3
AB
AA
B D
AB
BA
1
1
1
2
1
1
2
2
3
3
3
3
3
AA
AD
AB
AA
AB
AB
AD
AA
，故B 错误；
对于C，因为
1
1
1
AC
AC
AA
AB
AD
AA
，
1
1
1
1
·
0,
·
1 1 cos60
,
·
1 1 cos60
2
2
AB AD
AB AA
AD AA
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
1
2
·
2
·
2
·
AC
AB
AD
AA
AB
AD
AA
AB AD
AB AA
AD AA
1 1 1
0 1 1
1
，故C 正确；
题型5
空间基底法解决夹角问题
227
2026 年高二暑假讲义A 版
对于D，因为
1
1
1
1
1
,
1,
AC
AB
AD
AA
AC
BB
AA
，
又
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
·
·
·
·
1
0
2
2
AC AA
AB
AD
AA
AA
AB AA
AD AA
AA
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
·
cos
,
cos
,
0
AC AA
AC BB
AC AA
AC AA
，所以
1
1
AC
BB
，
所以直线
1AC 与
1
BB 所成的角为90，故D 错误.
故选：C
【变式训练17】如图所示，四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三
条棱长都为1，且两两夹角为60°．设AB a
= ，AD
b
，
1
AA
c
．
(1)用
, ,
a b c
为基底表示向量
1
BD
，并求
1
BD 的长；
(2)求
1
cos
,
BD AC
的值．
【答案】(1)
1
BD
b
c
a
，2 ；(2)
6
6
【详解】（1）记AB a
= ，AD
b
，
1
AA
c
，
则
1
a
b
c
，
,
,
,
60
a b
b c
c a
，
∴
1
2
a b
b c
c a
r r
r r
r r
，
1
1
1
BD
BA
BC
BB
AB
AD
AA
b
c
a
，
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1 1 1 1 1 1
2
BD
b c a
a
b
c
b c
c a
a b
，
∴
1
2
BD
，即
1
BD 的长为2 ；
（2）AC
a
b
，故
2
2
2
2
1 1 1
3
AC
a
a b
b
，
故
3
AC
，
由（1）知
1
BD
b
c
a
，
1
2
BD
，
故
2
2
1
BD
AC
b
c
a
a
b
b a
b
a c
b c
a
a b
228
2026 年高二暑假讲义A 版
2
2
2
1
1
1
1
1
2
b
a c
b c
a
，
∴
1
1
1
1
6
cos
,
6
2
3
BD
AC
BD AC
BD
AC
．
【变式训练18】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
3
AB
AC
AA
，
π
3
BAC
，
1
1
3
BD
BA
.
(1)用
1
,
,
AB AC AA
表示CD
；
(2)求直线CD 与直线
1
AC 所成角的余弦值.
【答案】(1)
1
2
1
3
3
CD
AB
AC
AA
；(2) 1
4 .
【详解】（1）
1
1
3
BD
BA
，
故
1
1
1
1
3
3
CD
CB
BD
CB
BA
AB
AC
AA
AB
1
2
1
3
3
AB
AC
AA
；
（2）由（1）知，
1
2
1
3
3
CD
AB
AC
AA
，两边平方得
2
2
1
2
1
3
3
CD
AB
AC
AA
1
2
1
2
2
1
4
1
4
9
9
9
4
2
3
3
AB
AC
AA
AB AC
AA
AC
AB AA
因为三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
为直三棱柱，
1
3
AB
AC
AA
，
所以
1
1
,
AB
AA AA
AC
，故
1
1
0
AB AA
AA AC
，
π
π
9
cos
3 3cos
3
3
2
AB AC
AB
AC
，
所以
2
9
4
9
8
4
2
1
3
CD
，
故
2 2
CD
.
229
2026 年高二暑假讲义A 版
因为
2
1
1
2
3 2
A
AC
CC
C
，故
1
3 2
AC
，
设直线CD 与直线
1
AC 所成角为，
1
1
1
2
1
3
3
CD AC
AB
AC
AA
AC
AA
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
3
3
3
3
AB AC
AB AA
AC
AC AA
AC AA
AA
3
2
3
3
9
2
9
，
所以
1
1
3
1
cos
4
2 2
3 2
CD AC
CD AC
，
所以直线CD 与直线
1
AC 所成角的余弦值为1
4 .
例6、如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
90 ,
2,
ABC
AB
BC
AA
AA
平面
, ,
ABC E F 分别是
1
1
1
,
BB AC 的中点．求证：AF
CE
．
【答案】证明见解析
【详解】选取
1
,
,
BA BC BB
作为空间的一个基底，设
1
,
,
BA
a BC
b BB
c
．
由已知条件和三棱柱的性质，得|
| 2,|
| 2,|
| 2,
0
a
b
c
a b
，
0,
0
a c
b c
，
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
AF
AA
AC
AA
BC
BA
a
b
c
，
1
2
CE
CB
BE
b
c
．
所以
1
1
1
2
2
2
AF CE
a
b
c
b
c
2
2
1
1
1
1
1
0
2
2
4
4
2
a b
b
c b
a c
b c
c
，
所以AF
CE
，即AF
CE
．
【变式训练19】如图在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
2
AB
AD
AA
，
1
1
60
A AB
A AD
BAD
．
题型6
空间基底法解决垂直、平行问题
230
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求证：直线
1AC 平面
1
1
BDD B ；
(2)求直线
1AC 和
1
BC 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
6
6
【详解】（1）设
AB
a ，AD
b
，
1
AA
c
，
则
, ,
a b c
为空间的一个基底，且
1AC
a
b
c
，BD
b
a
，
1
BB
c
，
因为
1
2
AB
AD
AA
，
1
1
60
A AB
A AD
BAD
，
则
2
2
2
2
a
b
c
，
1
a b
b c
c a
，
可得
1
0
AC BD
a
b
c
b
a
，
1
1
0
AC BB
a
b
c
c
，
即
1
1
1
,
AC
BD AC
BB
，且
1
BD
BB
B
，
1
,
BD BB 平面
1
1
BDD B ，
所以
1AC 平面
1
1
BDD B .
（2）由（1）得
1
BC
b
c
，
则
2
2
1
1
·
2
AC BC
a
b
c
b
c
a b
a c
b
b c
b c
c
，
2
2
2
2
2
1
2
2
2
4
AC
a
b
c
a
b
c
a b
a c
b c
，即
1
2
AC
，
则
2
2
2
2
1
2
6
BC
b
c
b
c
b c
，即
1
6
BC
，
设
1AC
与
1
BC
的夹角为，则
1
1
1
1
2
6
cos
6
2
6
AC BC
AC
BC
，
所以直线
1AC 和
1
BC 夹角的余弦值为
6
6
.
【变式训练20】如图，在底面ABCD 为菱形的平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M，N 分别在棱
1
1
,
AA CC
上，且
1
1
1
1
1
,
3
3
A M
AA CN
CC
，且
1
1
60
A AD
A AB
DAB
.
231
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求证：
1
,
,
,
D M B N 共面；
(2)当
1
AA
AB 为何值时，
1
MN
BB
.
【答案】(1)证明见解析；(2)当
1
3
AA
AB
时，
1
MN
BB
【详解】（1）在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，连接
1
1
、
、
、
M
MD
DN
NB
B
，如图，
因为
1
1
1
1
1
,
3
3
A M
AA CN
CC
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
MB
MA
A B
AA
A B
AA
AB ，
1
1
1
1
3
3
DN
DC
CN
AB
CC
AA
AB
，
所以
1
DN
MB ，即
1
DN
MB 且
1
//
DN MB ，
所以四边形
1
DMB N 为平行四边形，即
1
,
,
,
D M B N 共面；
（2）当
1
3
AA
AB
时，
1
MN
BB
，理由如下，
设
1
,
,
AA
c AD
b AB
a
，且c
与b
、c
与a
、b
与a
的夹角均为60o，
因为底面ABCD 为菱形，所以b
a
，
1
1
2
1
3
3
MN
MA
AB
BC
CN
AA
AB
BC
AA
1
1
3
AB
AD
AA
1
3
a
b
c
，
1
1
BB
AA
c
uuur
uuur
r
,
232
2026 年高二暑假讲义A 版
若
1
MN
BB
，则
1
MN
BB
，即
1
0
MN BB
，
所以
2
2
1
1
1
1
1
0
3
3
2
2
3
a
b
c
c
a c
b c
c
a c
b c
c
，
即
2
0
3
a
b
c
，又b
a
，
所以
2
2
3
a
c
，即
3
c
a
，所以
1
3
AA
AB
，
即
1
3
AA
AB
时，
1
MN
BB
.
【变式训练21】如图.在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中.
(1)如图1，已知
1
,
,
DA
a DC
b DD
c
，点G 是侧面
1
1
B BCC 的中心，试用向量, ,
a b c
表示下列向量：
1
1
,
DB BA
.
(2)如图2，点
,
,
E F G 分别是
1
1
1
1
1
,
,
A D D D D C 的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面
/ /
EFG
平
面
1
AB C .
【答案】(1)
1
DB
a
b
c
，
1
BA
b
c
；(2)基底向量见解析，证明见解析
【详解】（1）因为
1
,
,
DA
a DC
b DD
c
，点G 是侧面
1
1
B BCC 的中心，
所以
1
1
1
1
1
1
1
DB
a
b
c
DD
D A
A B
DD
DA
DC
，
1
1
1
BA
BA
AA
DC
DD
b
c
.
（2）以
1
,
,
DA DC DD
为基底，
则
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
EF
ED
D F
A D
D D
DA
DD
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
EG
ED
D G
A D
D C
DA
DC
，
1
1
1
B C
B B
BC
DD
DA
，AC
AD
DC
DA
DC
，
233
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
1
1
2
EF
B C
，
1
2
EG
AC
，
则
1
/ /
EF
B C ，
/ /
EG
AC ，
又EG 平面
1 ,
AB C AC 平面
1 ,
/ /
AB C
EG
平面
1
AB C .
同理
/ /
EF
平面
1
AB C ，又
,
,
EF
EG
E EF EG
∩
平面EFG ，
所以平面
/ /
EFG
平面
1
AB C .
例7、已知SA 平面ABC，AB
AC
，
1
SA
AB
，
5
BC
，则空间的一个单位正交基底可以为
（
）
A．
1
,
,
2
AB
AC AS
B．
,
,
AB AC AS
C．
1
1
,
,
2
2
AB
AC
AS
D．
5
,
, 5
AS AB
BC
【答案】A
【详解】因为SA 平面ABC，AB、AC 都在面ABC 内，
所以SA
AB
，SA
AC
.
因为AB
AC
，
1
AB ，
5
BC
，所以
2
AC
，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为
1
,
,
2
AB
AC AS
.
故选：A
【变式训练21】在单位正交基底
, ,
i j k
下，已知向量
2
3
a
i
j
k
，
2
3
b
i
k
，则向量
a
m
b
在向量i上的投影向量为（
）
A．3i
B．2i
C．6i
D．4i
【答案】A
【详解】因为
2
3
a
i
j
k
，
2
3
b
i
k
，
所以
2
3
2
3
3
2
6
a
b
i
j
m
k
i
k
i
j
k
，
又
, ,
i j k
为一组单位正交基底，
所以
3
2
6
3
2
6
3
i
i
j
k
i
i i
j i
k i
m
，
题型7
空间向量的正交分解
234
2026 年高二暑假讲义A 版
所以向量
a
m
b
在向量i
上的投影向量为
2
3
i i
i
m
i
.
故选：A
【变式训练22】（多选）已知
, ,
a b c
是空间的一个单位正交基底，则（
）
A．
2
a
b
c
B．
,
,
a
b b
c a
c
构成空间的一个基底
C．
1
a
b
a
c
D．
,
,
a
b b
c a
c
构成空间的一个基底
【答案】ACD
【详解】因为
, ,
a b c
是空间的一个单位正交基底，所以, ,
a b c
均为单位向量且两两垂直，所以
2
2
a
b
c
，A 正确．
因为a
b
b
c
a
c
，所以
,
,
a
b b
c a
c
不能构成空间的一个基底，B 错误．
2
1
a
b
a
c
a
，C 正确．
因为不存在实数,x y ，使得
x a
b
y b
c
a
c
，所以
,
,
a
b b
c a
c
构成空间的一个基底，D
正确．
故选：ACD
【变式训练23】已知
, ,
a b c 是空间的一个单位正交基底，
2
3
p
a
b
c
，若
p
x a
b
y a
b
zc
，则x
y
z
.
【答案】4
【详解】
p
x a
b
y a
b
zc
x
y a
x
y b
zc
，
又
2
3
p
a
b
c
，所以
1,
2,
3
x
y
x
y
z
，
故
1 3
4
x
y
z
.
故答案为：4
一、单选题
1、如图，空间四边形OABC 中，OA
a
，OB
b
，OC
c
，点M，N 分别在OA，BC 上，且满足，
235
2026 年高二暑假讲义A 版
2
OM
MA
，
1
2
BN
NC
，则MN
（
）
A．2
2
1
3
3
3
a
b
c
B．2
2
1
3
3
3
a
b
c
C．
2
1
2
3
3
3
a
b
c
D．
2
2
1
3
3
3
a
b
c
【答案】D
【详解】依题意，
2
1
2
2
1
(
)
3
3
3
3
3
MN
MO
OB
BN
OA
OB
OC
OB
a
b
c
.
故选：D
2、已知正四面体ABCD 的所有棱长都等于2 ，E ，F 分别是AB ，AD 的中点.则CE CF
（
）
A．2
B．5
2
C．3
D．7
2
【答案】B
【详解】由题知，
1
2
CE
CA
CB
，
1
2
CF
CA
CD
，
所以
2
1
4
CE CF
CA
CA CD
CB CA
CB CD
1
1
1
1
5
4
2 2
2 2
2 2
4
2
2
2
2
.
故选：B
3、已知
, , ,
M A B C 为空间中四点，任意三点不共线，且
1
2
2
OM
OA
xOB
yOC
，若
, , ,
M A B C 四点共
面，则2x
y
的值为（
）
A．2
B．1
C．1
2
D．0
【答案】C
【详解】由
, , ,
M A B C 四点共面，所以1
2
1
2
x
y
，即
1
2
2
x
y
，
236
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：C.
4、已知BD 平面ABC ，AB
BC
，
1
BD ，
2
AB
，
3
BC ，则空间的一个单位正交基底可以为
（
）
A．1
5
,
,
3
5
BC BD
AD
B．1
1
,
,
3
2
BC BD
BA
C．
5
,
, 5
BC BD
AD
D．
1
,
, 2
BC BD
BA
【答案】B
【详解】因为BD 平面ABC ，
,
AB BC 平面ABC ，
所以BD
AB
，BD
BC
．
因为AB
BC
,即
,
,
AB BC BD 两两垂直，
又
1
BD ，
2
AB
，
3
BC ，
所以空间的一个单位正交基底可以为1
1
,
,
3
2
BC BD
BA
．
故选：B.
5、如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 为
1
CC 的中点，点F 满足AF
mAE
．若
1
,
,
,
B D A F
四点在同一个平面上，则m （
）
A．1
2
B．2
5
C．1
3
D．2
3
【答案】B
【详解】由平行六面体的特征可得
设
1
,
,
AB
a AD
b AA
c
，则
1
2
AE
AB
BC
CE
a
b
c
，
可得
1
1
2
2
m
BF
BA
AF
a
m a
b
c
m
a
mb
c
，
又
1
1
,
BD
BA
AD
b
a BA
BA
AA
c
a
由
1
,
,
,
B D A F 四点共面可得存在实数,x y ，使
1
BF
xBD
yBA
237
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
1
2
m
m
a
mb
c
x b
a
y c
a
x
y a
xb
yc
，
所以
1
2
m
x
y
m
x
m
y
，解得
2
5
m
.
故选：B.
二、多选题
6、如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
BC
（
）
A．
1
AB
AC
AA
B．
1
AB
AC
AA
C．
1
1
1
BA
AA
AC
D．－
1
AB
AC
AA
【答案】CD
【详解】由题意可得：
1
1
1
1
1
BC
BA
AA
AC
AB
AC
AA
，
故选：CD.
7、已知
, ,
a b c
是空间的一个基底，则下列说法正确的是（
）
A．, ,
a b c
两两共面
B．若
,
a
b b
c
，则a
c
C．对空间任一向量p，总存在有序实数组
, ,
x y z ，使p
xa
yb
zc
238
2026 年高二暑假讲义A 版
D．
,
,
a
b b
c c
a
不一定能构成空间的一个基底
【答案】AC
【详解】A 选项，由基底的定义可知，, ,
a b c
不能共面，, ,
a b c
两两共面，A 正确；
B 选项，
,
a
b b
c
，但a
，c
不一定垂直，B 错误；
C 选项，根据空间向量基本定理，对空间任一向量p
，总存在有序实数组
, ,
x y z ，
使p
xa
yb
zc
，C 正确；
D 选项，设
a
b
m b
c
n c
a
，故
1
1
0
n
m
m
n
，无解，
故a
b
，b
c
，c
a
一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D 错误.
故选：AC
8、如图，点M ，N 分别是棱长为2 的正四面体OABC 的边OA和BC 的中点，点P 在线段MN 上，
且
2
MP
PN
.则（
）
A．
1
1
1
6
3
3
OP
OA
OB
OC
B．
4
3
OP
C．
2
OP OA
D．向量OP
在OA
方向上的投影数量为3
2
【答案】AC
【详解】对A：由题意
2
MP
PN
，所以
2
OP
OM
ON
OP
，
1
2
1
2 1
1
1
1
1
3
3
6
3
2
2
6
3
3
OP
OM
ON
OA
OB
OC
OA
OB
OC
，故A 正确；
对B：因为
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
6
3
3
36
9
9
9
9
9
OP
OA
OB
OC
OA
OB
OC
OA OB
OA OC
OB OC
1
1
1
2
17
4
4
2
cos60
2
cos60
36
9
9
9
9
OA OB
OB
OC
，
239
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
17
3
OP
，故B 错误；
对C：
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
2
2
2
6
3
3
6
3
3
6
3
3
OP OA
OA
OB
OC
OA
OA
OB OA
OC OA
，故
C 正确；
对D：向量OP
在OA
方向上的投影数量为
2
1
2
OP OA
OA
，故D 错误；
故选：AC.
三、填空题
9、若
1
2
3
,
,
e e e
是空间的一个基底，且向量
1
2
a
e
e
，
2
3
b
e
e
，
1
3
c
e
te
不能构成空间的一个
基底，则实数t
．
【答案】1
【详解】由, ,
a b c
不能构成空间的一个基底，则存在,
R
x y
，使得c
xa
yb
，
即
1
3
1
2
2
3
1
2
3
e
te
x e
e
y e
e
xe
x
y e
ye
ur
ur
ur
uur
uur
ur
ur
uur
ur
，
所以
1
0
x
x
y
t
y
，解得
1
t .
故答案为：1
.
10、在正四面体OABC 中，
,
,
.
2
,
2
OA
a OB
b OC
c OM
MA BN
NC
，则MN
（用a
，b
，
c
表示）．若|
|
5
a
，则|
|
MN
．
【答案】
2
1
2
3
3
3
a
b
c
5
3
【详解】
2
,
2
OM
MA BN
NC
∵
，
2
2 ,
3
3
OM
OA
a
2
2
1
2
3
3
3
3
ON
OB
BN
OB
BC
OB
OC
OB
OB
OC
1
2
3
3
b
c
，
1
2
2
2
1
3
3
3
3
3
MN
ON
OM
b
c
a
a
b
2
3 c
，
5
a
∵
且正四面体OABC 为正四面体，
240
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
5
b
c
，且, ,
a b c
之间的夹角都是60o，
则
5
5
5 cos60
2
a b
a c
b c
，
2
2
1
2
3
3
3
MN
a
b
c
2
2
2
4
1
4
4
8
4
9
9
9
9
9
9
a
b
c
a b
a c
b c
4
1
4
4
5
8
5
4
5
5
5
5
9
9
9
9
2
9
2
9
2
5
3
故答案为：
2
1
2
3
3
3
a
b
c
；5
3 .
四、解答题
11、如图，在正四面体OABC 中，点D 为BC 的中点，2AE
ED
，设OA
a
，OB
b
，
.
OC
c
(1)试用向量a，b
，c表示向量
;
OE
(2)若
2
AB
，求OE AC
的值.
【答案】(1)
1
1
,
2
2
2
OD
b
c
AD
a
b
c
；(2) 2
3
【详解】（1）
1
1
2
2
OD
OB
OC
b
c
，
1
1
1
2
2
2
2
AD
AB
AC
OB
OA
OC
OA
a
b
c
.
241
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）因为
2,
2,
90
OA
OC
OB
AOC
BOC
AOB
，
所以
π
,
,
,
,
2
2
a b
b c
a c
a
b
c
，
所以
0
a b
a c
b c
，
1
1
2
1
2
1
1
3
3
3
3
3
6
6
OE
OA
AE
OA
AD
OA
OD
OA
OA
OD
a
b
c
，
所以OE OD
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
6
6
2
2
3
3
12
12
12
12
3
a
b
c
b
c
a b
a c
b
b c
b c
c
12、已知在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
2,
3,
AB
AC
AA
1
1
60 ,
A AB
A AC
BAC
，记
1
AA
a
，
,
AB
b AC
c
.
(1)求证：四边形
1
1
BB C C 为矩形；
(2)若
60
，求异面直线
1
BC 与
1AC 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 4 91
91
【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
，
所以四边形
1
1
BB C C 为平行四边形，
又
1
1
,
BC
c
b BB
AA
a
，
所以
1
(
)
0
BB
BC
a
c
b
a c
a b
，
故
1
BC
BB
，即
1
BB
BC
.
所以四边形
1
1
BB C C 为矩形.
（2）由已知
1
1
1
1
BC
BB
B C
AA
BC
，
又
1
- ,
BC
AC
AB
c b
BC
a
c
b
故
，
2
2
2
2
1
(
)
2
2
2
13
BC
a
c
b
a
c
b
a c
a b
b c
；
242
2026 年高二暑假讲义A 版
同理
2
2
2
1
1
,
(
)
2
7
AC
c
a AC
c
a
a
c
a c
，
2
2
1
1
(
) (
)
4
BC
AC
a
c
b
c
a
c
a
b c
a b
，
1
1
1
1
1
1
4
4 91
cos
,
91
13
7
BC
AC
BC AC
BC
AC
，
所以异面直线
1
BC 与
1AC 所成角的余弦值为4 91
91
.
13、如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹
角都是60 , M
为
1
1
AC 与
1
1
B D 的交点.若
1
,
,
AB
a AD
b AA
c
.
(1)用, ,
a b c
表示BM
；
(2)求对角线
1
AC 的长；
(3)求
1
cos
,
AB AC
.
【答案】(1)
1
1
2
2
BM
a
b
c
；(2)
6 ；(3)
6
3
【详解】（1）如图，连接
1 ,
A B AC ，
因为
1
,
,
AB
a AD
b AA
c
，
在
1A AB
△
中，根据向量减法法则可得
1
1
BA
AA
AB
c
a
，
因为底面ABCD 是平行四边形，
所以AC
AB
AD
a
b
，
因为
1
1
//
AC AC 且
1
1
AC
AC
，
所以
1
1
AC
AC
a
b
，
243
2026 年高二暑假讲义A 版
又因为M 为线段
1
1
AC 的中点，
所以
1
1
1
1
1
2
2
A M
AC
a
b
，
在
1A MB
中，
1
1
1
1
1
2
2
2
BM
BA
A M
c
a
a
b
a
b
c
；
（2）因为顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60o，
所以
1
cos60
2
a b
a
b
，
1
cos60
2
a c
a
c
，
1
cos60
2
b c
b
c
，
由（1）可知AC
a
b
，
所以在平行四边形
1
1
A ACC 中，
1
1
AC
AC
AA
a
b
c
，
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)
2
2
2
AC
AC
a
b
c
a
b
c
a b
a c
b c
2
2
2
|
|
|
|
|
|
2 |
| |
| cos60
2 |
| |
| cos60
2 |
| |
| cos60
a
b
c
a
b
a
c
b
c
1
1
1
1 1 1 2
2
2
6
2
2
2
，
所以
1
6
AC
，故对角线
1
AC 的长为
6 ；
（3）因为
1
,
AC
a
b
c AB
a
，
所以
1
1
1
cos
,
1
6
a
a
b
c
AB AC
AB AC
AB
AC
2
1
1
1
2
6
2
2
3
6
6
6
a
a b
a c
.
244
2026 年高二暑假讲义A 版
空间向量及其运算的坐标运算
1、空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{ , , }
i j k
，以O 为原点，分别以, ,
i j k
的
方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这
时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .
(2)相关概念：O 叫做原点，, ,
i j k
都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别
称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
（1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，, ,
i j k
为坐标向量，对空间任意一点A ，对应
一个向量OA
，且点A 的位置由向量OA
唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
( , , )
x y z ，使OA
xi
y j
zk
.在单位正交基底{ , , }
i j k
下与向量OA
对应的有序实数组( , , )
x y z
叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作
( , , )
A x y z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的
纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．
（2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a
，作OA
a
.由空间向量基本定理，
存在唯一的有序实数组( , , )
x y z ，使a
xi
y j
zk
.有序实数组( , , )
x y z 叫做a
在空间直角坐标系
Oxyz 中的坐标，上式可简记作
( , , )
a
x y z
.
（3）右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴
的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建
立的坐标系都是右手直角坐标系．
题型1
空间向量中点的坐标表示
题型5
空间向量坐标中夹角的运算
题型2
空间向量中点的坐标对称问题
题型6
空间向量坐标中模长的运算
题型3
空间向量运算的坐标表示
题型7
空间向量坐标中投影向量的运算
题型4
空间向量坐标中垂直、平行关系的运算
知识点1
空间向量的正交分解及其坐标表示
245
2026 年高二暑假讲义A 版
1、几类特殊位置的点的坐标
（1）x 轴上的点的坐标为
,0,0
x
（2）y 轴上的点的坐标为
0, ,0
y
（3）z 轴上的点的坐标为
0,0, z
（4）Oxy 平面内的点的坐标为
, ,0
x y
（5）Ozx 平面内的点的坐标为
,0,
x
z
（6）Oyz 平面内的点的坐标为
0, ,y z
2、空间中点的对称点的坐标：设点
( , , )
P x y z 为空间直角坐标系中的点，则
（1）与点P 关于原点对称的点是
1(
,
,
)
P
x
y
z
（2）与点P 关于x 轴对称的点是
2( ,
,
)
P x
y
z
（3）与点P 关于y 轴对称的点是
3(
, ,
)
P
x y
z
（4）与点P 关于z 轴对称的点是
4(
,
, )
P
x
y z
（5）与点P 关于Oxy 平面对称的点是
5( , ,
)
P x y
z
（6）与点P 关于Ozx 平面对称的点是
6( ,
, )
P x
y z
（7）与点P 关于Oyz 平面对称的点是
7(
, , )
P
x y z
注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．
1、设
(
)
(
)
a
a
a
a
b
b
b
b
1
2
3
1
2
3
=
，，
, =
，，
，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算
坐标表示
加法
(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
1
1
2
2
3
3
=
＋，＋，＋
减法
(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
1
1
2
2
3
3
=
－，－，－
数乘
(
)
a
a
a
a
R
1
2
3
＝
，
，
,
数量积
a b
a b
a b
a b
1 1
2
2
3
3
＋
＋
知识点2
特殊的的坐标及点的对称坐标
知识点3
空间向量运算的坐标表示
246
2026 年高二暑假讲义A 版
2、两个向量的平行与垂直
(
)
(
)
a
a
a
a
b
b
b
b
1
2
3
1
2
3
=
，，
, =
，，
平行（a b
）
(
0)
a b b
1
1
2
2
3
3
a
b
a
b
a
b
R
a
b
垂直（a
b
）
a
b
1 1
2
2
3 3
0
0
a b
a b
a b
a b
（,a b
均为非零向量）
特别提醒：在
(
0)
a b b
1
1
2
2
3
3
a
b
a
b
R
a
b
中，应特别注意，只有在b
与三个坐标平面都不平行
时，才能写成
3
1
2
1
2
3
a
a
a
b
b
b
.例如，若b
与坐标平面xOy 平行，则
3
0
b
，这样
3
3
a
b 就没有意义了.
3、向量长度的坐标计算公式
若
(
)
a
a
a
a
1
2
3
=
，，
，则
2
2
2
2
2
|
|
|
|
a
a
a
a
a
a
1
2
3
，即
2
2
2
|
| a
a
a
a
1
2
3
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长
方体的体对角线的长度
5、两个向量夹角的坐标计算公式
设
(
)
(
)
a
a
a
a
b
b
b
b
1
2
3
1
2
3
=
，，
, =
，，
，则cos
,a b
1 1
2
2
3 3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
a b
| a || b |
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
若
1
1
1
( ,
,
)
A x y z
，
2
2
2
(
,
,
)
B x
y
z
，则
（1）
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
(
,
,
)
( ,
,
)
(
,
,
)
AB
OB
OA
x
y
z
x y z
x
x y
y z
z
即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
（2）
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
|
|
(
)
(
)
(
)
AB
AB
x
x
y
y
z
z
，
或
2
2
2
,
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
A B
d
x
x
y
y
z
z
．
知识点4
空间中两点的距离公式
247
2026 年高二暑假讲义A 版
例1、已知点
3, 1,0 ,
2, 5,3
B
AB
，则点A 坐标为（
）
A．
1, 6,3
B．
5,4, 3
C．
1,6, 3
D．
2,5, 3
【答案】B
【详解】设
, ,
A x y z ，则
3
, 1
,
2, 5,3
A
x
z
B
y
，所以
3
2
1
5
3
x
y
z
，解得
5
4
3
x
y
z
，
所以点A 坐标为
5,4, 3
.
故选：B.
【变式训练1】已知点M 是点
(6,7,8)
N
在坐标平面xOz 内的射影，则OM
（
）
A．85
B．10
C．113
D．100
【答案】B
【详解】由题意得
(6,0,8)
M
，则
2
2
2
6
0
8
10
OM
，
故选：B.
【变式训练2】如图，在长方体
1
1
1
1
OABC
O A B C
中，
4
OA
，
6
OC
，
1
2
OO
，点P 是
1
1
B C 的中
点，则点P 的坐标为（
）
A．(2,6,2)
B．(3,4,2)
C．(4,6,2)
D．(6,2,1)
【答案】A
【详解】由题意，长方体
1
1
1
1
OABC
O A B C
中，
4
OA
，
6
OC
，
1
2
OO
，
题型1
空间向量中点的坐标表示
248
2026 年高二暑假讲义A 版
可得
1
1
(4,6,2),
(0,6,2)
B
C
，
因为点P 为
1
1
B C 的中点，由中点公式可得，点P 的坐标为
(2,6,2)
P
.
故选：A.
【变式训练3】如图所示，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
3,
2
AB
AD
AA
，点M 在
1
1
AC 上，
1
1
2
MC
A M
∣
∣，点N 在
1
DC 上且为
1
DC 的中点，以A 为坐标原点，分别以
1
,
,
AB AD AA 所在的直线
为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A
xyz
如图.
(1)求
1
1
,
C D 的坐标；
(2)求线段MN 的长度.
【答案】(1)
1
1
3,3,2 ,
0,3,2
C
D
；(2)
21
2
【详解】（1）如图，由题意可知
3,3,0 ,
0,3,0
C
D
，
因
1
1
1
2
DD
CC
AA
，则
1
1
3,3,2 ,
0,3,2
C
D
.
（2）
N
Q
为
1
CD 的中点，
3 ,3,1
2
N
.
M
∵
是
1
1
AC 上的靠近点
1A 的三等分点，
1,1,2
M
.
由两点间的距离公式，得
2
2
2
3
21
1
(3 1)
(1
2)
2
2
MN
.
例2、在空间直角坐标系Oxyz 中，点
(2,3, 1)
M
关于平面yOz 对称的点的坐标是（
）
A．(2,3,1)
B．(2, 3, 1)
C．( 2,3, 1)
D．(2, 3,1)
【答案】C
【详解】由空间直角坐标系，可得点
2,3, 1
M
关于平面yOz 对称的点的坐标为
( 2,3, 1)
M
.
故选：C.
【变式训练4】已知点
3, 1,1
A
关于z 轴的对称点为点B ，则AB
（
）
A．2 10
B．2
C．10
D．6
【答案】A
【详解】点
3, 1,1
A
关于z 轴的对称点为点B ，
题型2
空间向量中点的坐标对称问题
249
2026 年高二暑假讲义A 版
所以点B 的坐标为
3,1,1
，
所以
6,2,0
AB
则
2
2
2
6
2
0
2 10
AB
．
故选：A.
【变式训练5】在空间直角坐标系Oxyz 中，点
3,6,9
M
与点
3,6, 9
N
关于（
）对称
A．Ozx 平面
B．z 轴
C．Oxy 平面
D．Oyz 平面
【答案】C
【详解】由空间点的对称性质，点
3,6,9
M
与点
(3,6, 9)
N
关于Oxy 平面对称.
故选：C.
【变式训练6】在空间直角坐标系Oxyz 中，若点
1,2,3
B
关于y 轴的对称点为点B，点
1,1, 2
C
关
于Oyz 平面的对称点为点C，则B C
（
）
A．
2, 1,1
B．
0, 3,5
C．
2,1, 1
-
D．
0,3, 5
【答案】A
【详解】因为点
1,2,3
B
关于y 轴的对称点为点B，则
1,2, 3
B
，
因为点
1,1, 2
C
关于Oyz 平面的对称点为点C，则
1,1, 2
C
，
因此，
2, 1,1
B C
.
故选：A.
【变式训练7】已知点
( 3,1,4)
A
，
(7,1,0)
B
，则线段AB 的中点M 在yOz 平面上的射影点的坐标为
（
）
A．(0,1,2)
B．(2,1,2)
C．(2, 1,2)
D．( 2,1, 2)
【答案】A
【详解】
( 3,1,4)
A
∵
，
(7,1,0)
B
，
线段AB 的中点M 的坐标为(2,1,2)，
根据在yOz 平面上的射影点的特点为：横坐标为0，纵坐标，竖坐标保持不变，
从而点M 在yOz 平面上的射影点的坐标为(0,1,2) ，
250
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：A．
【变式训练8】已知点
0,0
O
，向量
2,3
OA
，
6, 3
OB
，点P 是线段AB 靠近A 的三等分点，
则点P 的坐标为（
）
A．8 ,0
3
B．10 ,1
3
C．14 , 1
3
D．10 ,1
3
或
14 , 1
3
【答案】B
【详解】由已知
2,3
OA
，
6, 3
OB
，
则
4, 6
AB
OB
OA
，
点P 是线段AB 靠近A 的三等分点，
则
1
4, 2
3
3
AP
AB
，
且AP
OP
OA
，
则
10 ,1
3
OP
AP
OA
，
即
10 ,1
3
P
，
故选：B.
【变式训练9】已知O是坐标原点，且
, ,
A B C 三点的坐标分别是(2, 1,2)
，(4,5, 1)
，( 2,2,3)
，若
1 (
)
2
OP
AB
AC
，则点P 的坐标为
；若
1 (
)
2
AP
AB
AC
，则点P 的坐标为
.
【答案】
3
3,
, 2
2
1
5,
,0
2
【详解】因为
, ,
A B C 三点的坐标分别是(2, 1,2)
，(4,5, 1)
，( 2,2,3)
，
所以
(2,6, 3)
AB
，
( 4,3,1)
AC
，
若
1
3
(
)
3,
, 2
2
2
OP
AB
AC
，则
3
3,
, 2
2
P
.
若
1
3
(
)
3,
, 2
2
2
AP
AB
AC
，
则
3
1
(2, 1,2)
3,
, 2
5,
,0
2
2
OP
OA
AP
，所以
1
5,
,0
2
P
.
故答案为：
3
3,
, 2
2
；
1
5,
,0
2
.
例3、若
1, 2,1 ,
2,1, 2
a
b
，则a
b
（
）
题型3
空间向量运算的坐标表示
251
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
1, 1, 1
B．
3, 3,3
C．
3,3,3
D．
2, 2, 2
【答案】B
【详解】若
1, 2,1 ,
2,1, 2
a
b
，则
3, 3,3
a
b
.
故选：B.
【变式训练10】若向量
2,2,3 ,
1,2,1 ,
0,1,1
a
b
c
，则
a
b
c
（
）
A．5
B．7
C．8
D．10
【答案】D
【详解】由
( 1,2,1)
b
，
(0,1,1)
c
，
得
( 1,3,2)
b
c
，而
(2,2,3)
a
，
所以
(
)
1 2
3 2
2 3
10
a
b
c
.
故选：D
【变式训练11】在空间四边形ABCD 中，
1,3,2 ,
2, 3,1 ,
3,1,2
A
D
B
BC
A
，则CD
（
）
A．
4,1, 1
B．
4, 1,1
C．
0, 5,1
D．
0,5, 1
【答案】A
【详解】由题知，
CD
AB
BC
AD
1,0,3
3,1,2
4,1, 1
.
故选：A
【变式训练12】已知向量
,1, 1
a
x
，
2,1,
b
x
，若
2
a b
，则实数x 等于（
）
A．2
B．1
C．0
D．1
【答案】D
【详解】
2
1
2
a b
x
x
r r
，解得
1
x .
故选：D.
【变式训练13】棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点E 是
1
BC 的中点，则
1
BB DE
（
）
A．0
B．1
C．2
D．
3
【答案】C
252
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、
1
DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
则
2,2,0
B
、
1 2,2,2
B
、
0,0,0
D
、
1,2,1
E
，
所以，
1
0,0,2
BB
，
1,2,1
DE
，故
1
0
0
2
2
BB DE
.
故选：C.
例4、已知向量
,4, 2
a
x
，
2, ,1
b
y
，若
/ /
a
b
，则（
）
A．
8
xy
B．
2
xy
C．
2
xy
D．
8
xy
【答案】A
【详解】向量
( ,4, 2)
a
x
，
2, ,1)
(
b
y
，由
/ /
a
b
，得
2
1
4
2
y
x
，
所以
8
xy .
故选：A
【变式训练14】已知向量
1, 2,1
a
，
3, ,
b
，若a
b
∥，则
（
）
A．2
B．2
C．
1
2
D．1
2
【答案】A
【详解】由于a
b
∥，故3
1
2
1
，故
6,
3
，则
2
，
故选：A
【变式训练15】已知向量
1,
, 1 ,
1, 1,1
a
m
b
，若
a
b
b
，则m （
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
题型4
空间向量坐标中垂直、平行关系的运算
253
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】因为
1,
, 1 ,
1, 1,1
a
m
b
，所以
2,
1,0
a
b
m
r
r
，
又因为
a
b
b
，所以
2 1
1
1
0 1
0
a
b
b
m
，
解得：
3.
m
故选：B.
【变式训练16】已知
,3,2 ,
1, ,1 ,
5,1,4
A x
B
y
C
，若AB
∥AC
，则x
y
（
）
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】C
【详解】因为
,3,2 ,
1, ,1 ,
5,1,4
A x
B
y
C
，
所以
1
,
3, 1 ,
5
, 2,2
AB
x y
AC
x
，
因为AB
∥AC
，所以存在唯一实数，使得AB
AC
，
所以
1
,
3, 1
5
, 2,2
x y
x
，即
1
,
3, 1
5
, 2 ,2
x y
x
，
所以
1
5
3
2
1
2
x
x
y
，解得
1
2
4
1
y
x
，所以
5
x
y
.
故选：C.
【变式训练17】如图，正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的棱长都是1，M 是BC 的中点，
1
CN
CC
（0
1
），
且
1
MN
AB ，则（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
【答案】C
【详解】建立空间直角坐标系如图，
254
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1
0,
,0
2
A
，
1
1
0,
,1
2
B
，
3 1
,
,0
4
4
M
，
3 ,0,0
2
C
，
1
3 ,0,1
2
C
，
设
, ,
N x y z ，由
1
CN
CC
，得
3 , ,
0,0,1
2
x
y z
，
所以
3
2
x
，
0
y
，z
，
所有
3 ,0,
2
N
，
3
1
,
,
4
4
MN
，
因为
1
MN
AB ，
1
(0,1,1)
AB
，
所以
1
0
4
，得
1
4
.
故选：C.
【变式训练18】若
1,2, 1
a
，
2,3,4
b
.
(1)若
/
2
/
ka
b
a
b
，求实数k 的值.
(2)若
2
ka
b
a
b
，求实数k 的值.
【答案】(1)
1
2
k
；(2)
29
3
k
【详解】（1）∵
1,2, 1
a
，
2,3,4
b
，
∴
2,2
3,
4
ka
b
k
k
k
2
5, 4, 9
a
b
，
∵
2
ka
b
a
b
，
∴
2
2
3
4
5
4
9
k
k
k
，解得
1
2
k
.
（2）∵
2
ka
b
a
b
，
255
2026 年高二暑假讲义A 版
∴
2
0
ka
b
a
b
，
即
5
2
4 2
3
9
4
0
k
k
k
，
解得
29
3
k
.
例5、已知空间向量
2,3,6
a
，
3, 4,1
b
，则
,a b
（
）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
【答案】A
【详解】由题意知，
6 12
6
0
a b
，
所以a
b
，则
π
,
2
a b
.
故选：A
【变式训练19】若向量
1, ,1
a
，
2, 1, 2
b
且a
与b
的夹角余弦为
2
6
，则等于（
）
A．2
B．2
C．
2
或2
D．
2
【答案】D
【详解】因为向量
1, ,1
a
，
2, 1, 2
b
且a
与b
的夹角余弦为
2
6
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
6
|
| |
|
1
co
1
2
( 1)
( 2)
3 2
s
a b
a b
a
b
，
解得
2
，
故选：D.
【变式训练20】已知
2, 1,0
a
b
，
0,3, 2
a
b
，则cos
,a b
的值为（
）
A．1
3
B．
2
3
C．
3
3
D．
7
3
【答案】B
【详解】因为
2, 1,0
a
b
，
0,3, 2
a
b
，则
1,1, 1
a
，
1, 2,1
b
，
所以，
2
2
cos
,
3
3
6
a b
a b
a
b
.
故选：B.
题型5
空间向量坐标中夹角的运算
256
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练21】已知向量
(0, 1,2)
a
，
(2,0,1)
b
，以a，b
为邻边的平行四边形的面积为（
）
A．
21
B．
21
2
C．2
D．12
【答案】A
【详解】向量
(0, 1,2)
a
，
(2,0,1)
b
，则|
|
5
a
，|
|
5
b
，
2
2
cos
,
5
|
||
|
5
5
a b
a b
a b
，
2
2
21
sin
,
1 ( )
5
5
a b
，
所以以a，b
为邻边的平行四边形的面积为
1
21
2
|
||
| sin
,
5
5
21
2
5
S
a b
a b
.
故选：A
【变式训练22】已知空间向量
2, 1,1
a
，
, 3,3
b
m
，若a与b
的夹角是锐角，则m 的取值范
围是（
）
A．
, 6
6,3
B．
,3
C．
3,6
6,
D．
3,
【答案】C
【详解】因为空间向量
2, 1,1
a
，
, 3,3
b
m
，
若a与b
的夹角是锐角，则·
2
3
3
0
a b
m
且
2
3
m
不成立，
所以3
6
m
或
6
m
.
故选：C.
【变式训练23】已知向量
1,1,0
a
，
1,0,2
b
．
(1)若
/ / 2
a
kb
a
b
，求实数k ；
(2)若向量
k
a
b 与2a
b
所成角为锐角，求实数k 的范围．
【答案】(1)
1
2
k
；(2)
1
k 且
1
2
k
【详解】（1）因为
1,1,0
a
，
1,0,2
b
，
所以
1
,1,2
a
kb
k
k
，
2
1,2,2
a
b
，
因为
/ / 2
a
kb
a
b
，所以1
1
2
1
2
2
k
k
，解得：
1
2
k
；
（2）因为向量
k
a
b 与2a
b
所成角为锐角，
257
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
· 2
0
a
kb
a
b
，且
k
a
b 与2a
b
不同向共线，
由（1）知，
1
,1,2
a
kb
k
k
，
2
1,2,2
a
b
，
故
1
2
4
0
1
2
k
k
k
，
解得
1
k 且
1
2
k
，即k 的取值范围为
1
k 且
1
2
k
.
【变式训练24】如图，
2
BC
，坐标原点O是BC 的中点，点A 的坐标为
3 1
(
,
,0)
2
2
，点D 在平面yOz
上，且
=90
BDC
，
30
DCB
．
(1)求向量CD
的坐标；
(2)求AD
与BC
的夹角的余弦值．
【答案】(1)
3
3
(0,
,
)
2
2
；(2)
10
5
【详解】（1）过点D 作DE
BC
于点E ，由题意，
3,
1
CD
BD
，
则
3
sin 30
2
DE
CD
，
1
1
cos60
1
2
2
OE
OB
BD
，
所以
1
3
(0,
,
)
2
2
D
，
因为
2
BC
，O是BC 的中点，所以
(0,1,0)
C
，
所以
3
3
(0,
,
)
2
2
CD
.
258
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）
3 1
(
,
,0)
2
2
A
，所以
3
3
(
, 1,
)
2
2
AD
，
2
BC
，所以
(0, 1,0)
B
，
(0,1,0)
C
，
所以
(0,2,0)
BC
，
则AD
与BC
的夹角的余弦值为
2
10
cos
,
5
3
3
1
2
4
4
AD BC
AD BC
AD BC
.
例6、已知
R
x
y
，
，向量
,1,1
a
x
，
2, ,2
b
y
，
, ,2
c
x y
，若
/ /
a
b
，则c
（
）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】A
【详解】因为
/ /
a
b
，所以2
2
y
x
，解得
1
x ，
2
y
，
则
1,2,2
c
，
2
2
2
1
2
2
3
c
．
故选:A．
【变式训练25】设x ，y R ，向量
( ,1,1),
(1, ,1),
(2, 4,2)
a
x
b
y
c
，且
,
/ /
a
c b
c
，则|
|
a
b
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】设x 、y R ，向量
( ,1,1),
(1, ,1),
(2, 4,2)
a
x
b
y
c
，且a
c
，
2
4
2
0
a c
x
，解得
1
x ，
又因为
/ /
b
c
，所以1
1
2
4
2
y
，解得
2
y ，
所以
(1,1,1)
(1, 2,1)
(2, 1,2)
4 1
4
3
a
b
，
故选：C ．
【变式训练26】已知O 是坐标原点，空间向量
1,1,2
OA
，
1,3,4
OB
，
2,4,4
OC
，若线段
AB 的中点为D，则
CD
（
）
A．2 2
B．3
C．8
D．9
【答案】B
【详解】向量
(1,1,2)
OA
，
( 1,3,4)
OB
，线段AB 的中点为D，则
(0,2,3)
2
OA
OB
OD
,
题型6
空间向量坐标中模长的运算
259
2026 年高二暑假讲义A 版
而
(2,4,4)
OC
，于是
( 2, 2, 1)
CD
OD
OC
，
所以
2
2
2
|
|
( 2)
( 2)
( 1)
3
CD
.
故选：B
【变式训练27】已知向量
0, 1,1
a
，
4,1,0
b
，
29
a
b
，且
0
，则
.
【答案】3
【详解】因为
0, 1,1
a
，
4,1,0
b
，
29
a
b
，
所以
4,1
,
a
b
，可得
2
2
16
1
29
，
因为
0
，解得
3
，
故答案为：3.
【变式训练28】设,
R
x y
，向量
(1,1,1),
(1, ,1),
( , 4,2)
a
b
y
c
z
，且
,
/ /
a
b b
c
.
(1)求|
|
a
b
；
(2)求向量a
b
与b
c
夹角的余弦值.
【答案】(1)3；(2)
6
3
【详解】（1）向量
(1,1,1),
(1, ,1),
( , 4,2)
a
b
y
c
z
，且a
b
，
故1
1
0
y
，解得
2
y .
由于
/ /
b
c
，
所以1
1
2
z
，解得
2
z
.
故
(1, 2,1),
(2, 4,2)
b
c
，
所以
(2, 1,2)
a
b
，
故
2
2
2
|
|
2
( 1)
2
3
a
b
.
（2）由于
(1, 2,1),
(2, 4,2)
b
c
，故
( 1,2, 1)
b
c
，
故
6
6
cos
,
3
3 6
a
b
b
c
a
b b
c
a
b b
c
.
【变式训练29】设O 为坐标原点，向量
1,2,3
OA
，
2,1,2
OB
，
1,1,2
OP
，点Q 在直线AP
上运动，当QA QB
取最小值时，QB
．
260
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】
6
2
【详解】由题意可知：
/ /
QA
AP
，可设
0,
,
QA
AP
OP
OA
，
1,
1,
1
QB
QA
AB
QA
OB
OA
，
2
1
1
1
1
2
2
2
QA QB
，
当
1
2
时，QA QB
取得最小值为
1
2
，此时
1
1
1,
,
2
2
QB
，
则
1
1
6
1
4
4
2
QB
.
故答案为：
6
2
.
例7、已知空间向量
2, 1,2 ,
1,2,1
a
b
，则向量b
在向量a上的投影向量是（
）
A．4
2 4
,
,
9
9 9
B．
2, 1,2
C．4
2 4
,
,
3
3 3
D．
1, 2,1
【答案】A
【详解】由题可知
2
2
2
2
a b
，
2
4
1
4
9
a
，
向量b
在向量a上的投影向量为
2
2
4
2 4
,
,
9
9
9 9
b a a
a
a
.
故选：A .
【变式训练30】已知向量a在向量b
上的投影向量是
3
2
b ，且
1,1, 1
b
，则a b
.
【答案】
3
3
2
/
3 3
2
【详解】因为
1,1, 1
b
，则
3
b
，且向量a在向量b
上的投影向量为
2
3
2
a b
b
a b
a
b
b
a
b
b
b
，
即
3
3
2
a b b
b
，
所以
3
3
2
a b
.
题型7
空间向量坐标中投影向量的运算
261
2026 年高二暑假讲义A 版
故答案为：
3
3
2
【变式训练31】已知a为单位向量.
1,0,0
b
，若
2
1
a
b
，则a在b
上的投影向量为
.
【答案】
2 ,0,0
2
【详解】
1
a
b
，
由题可得：
2
2
2
2
2
2 2
2
a
b
a
b
a
a b
b
1
2
2 2
1
a b
，可得
2
2
a b
，
则a
在b
上的投影向量为
2
2 ,0,0
2
2
a b b
b
b
.
故答案为：
2 ,0,0
2
.
【变式训练32】（多选）已知空间向量
2, 1,1 ,
1,2,3
a
b
，则下列结论正确的是（
）
A．
3,2,5
c
与
,a b
共面
B．
26
a
b
C．a在b
上的投影向量为
6
3 6
,
6,
2
2
D．a与b
夹角的余弦值为
21
14
【答案】AD
【详解】假设
3 2 5
c
，，与,a b
共面，则c
a
b
有解，即
3
2
2
2
5
3
有解，
解
3
2
2
2
5
3
得
4
5
7
5
，故选项A 正确；
3,1,4
a
b
，所以
2
2
2
3
1
4
26
a
b
，故选项B 错误；
a在b
上的投影向量为
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
3
3
9
1,2,3
,
,
14 7 14
1
2
3
1
2
3
a b
b
b
b
，故选项C 错误；
262
2026 年高二暑假讲义A 版
2
2
2
2
2
2
2
2
3
21
cos
,
14
2
1
1
1
2
3
a b
a b
a b
，故选项D 正确；
故选：AD
【变式训练33】已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，E ，F 分别为棱
1
BB ，DC 的中点，建立
空间直角坐标系，如图所示.
(1)写出正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
各顶点的坐标；
(2)写出向量EF
，
1B F
，
1A E
的坐标；
(3)求向量
1AC
在向量AC
上的投影向量的坐标.
【答案】(1)
1
1
1
1
2,0,0 ,
2,2,0 ,
0,2,0 ,
0,0,0 ,
2,0,2 ,
2,2,2 ,
0,2,2 ,
0,0,2
A
B
C
D
A
B
C
D
(2)
( 2, 1, 1)
EF
，
1
( 2, 1, 2)
F
B
，
1
(0,2, 1)
A E
(3)
2,2,0
.
【详解】
（1）由题知
1
1
1
1
2,0,0 ,
2,2,0 ,
0,2,0 ,
0,0,0 ,
2,0,2 ,
2,2,2 ,
0,2,2 ,
0,0,2
A
B
C
D
A
B
C
D
（2）因为E，F 分别为棱BB1，DC 的中点，所以
(2,2,1),
(0,1,0)
E
F
，
所以：
( 2, 1, 1)
EF
，
1
( 2, 1, 2)
F
B
，
1
(0,2, 1)
A E
．
（3）易知向量
1
2,2, 2
AC
,
2,2,0
AC
1AC
在向量AC
上的投影向量为
1
1
1
2
2
2
4
4
0
cos
,
2,2,0
2
2
AC AC
AC
AC
AC AC
AC
AC
AC
AC
AC
，
所以向量
1AC
在向量AC
上的投影向量的坐标为
2,2,0
.
263
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、已知向量
01,
1,
a
，
1,2,0
b
，且ka
b
与2a
b
垂直，则k 的值为（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
【答案】C
【详解】因
01,
1,
a
，
1,2,0
b
，则
1,2,
,2
1, 2,2
ka
b
k
k
a
b
，
因ka
b
与2a
b
垂直，则
2
1 4
2
3
3
0
ka
b
a
b
k
k
k
，得
1
k .
故选：C
2、已知
(1, 1, ),
(3,1,
),
( ,2,1)
AB
x
AC
y
AP
y
，若AP 平面ABC ，则|
|
AB
（
）
A．11
B．11
C．3
D．
3
【答案】B
【详解】AP 平面ABC ，AB 平面ABC ，AC 平面ABC ，
所以AP AB ，AP AC ，
所以
0,
0
AP AB
AP AC
，
因为
(1, 1, ),
(3,1,
),
( ,2,1)
AB
x
AC
y
AP
y
，
可得
2
0,2
2
0
y
x
y
，
解得
3,
1,
x
y
则
(1, 1,3),
AB
|
|
AB
2
2
2
1
( 1)
3
11
故选：B.
3、已知空间向量
3,2,1
a
，
2,2, 1
b
，
,10,1
c
m
，若a
，b
，c
共面，则实数m （
）
A．2
B．3
C．13
D．5
【答案】D
【详解】由空间向量a
，b
，c
共面，得c
xa
yb
，即( ,10,1)
( 3,2,1)
(2,2, 1)
m
x
y
，
264
2026 年高二暑假讲义A 版
则
3
2
10
2
2
1
m
x
y
x
y
x
y
，解得
3,
2,
5
x
y
m
.
故选：D.
4、设
R,
R,
,1,1 ,
1, ,1 ,
2, 2,2 , // ,
x
y
a
x
b
y
c
b c a
b
，则
a
b
（
）
A．3
B．
2
C．
5
D．3
【答案】C
【详解】因为// ,
b c a
b
，∴
1
1
2
2
2
1
0
y
x
y
，解得
0
1
x
y
∴
(
1,1
,2)
(1,0,2)
a
b
x
y
，
∴
1
4
5
a
b
故选：C．
5、已知空间向量
2,1,1
m
，
0,2,1
n
，则m与n的夹角的余弦值为（
）
A．
30
30
B．
30
10
C．
6
5
D．
5
6
【答案】B
【详解】因为
2,1,1
m
，
0,2,1
n
，
所以
3
m n
，
6
m
，
5
n
，
所以m与n的夹角的余弦值是
3
30
10
30
m n
m n
，
故选：B
6、如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，底面三角形ABC 为直角三角形
1
1
AB
AC
AA
，P 为
1
1
B C
的中点，则
1
AC
BP
（
）
265
2026 年高二暑假讲义A 版
A．3
2
B．1
C．3
4
D．1
2
【答案】A
【详解】在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，底面三角形ABC 为直角三角形，
1
1
AB
AC
AA
，
则AB
AC
，以点A 为坐标原点，AC 、AB 、
1
AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
0,0,0
A
、
0,1,0
B
、
1 1,0,1
C
、
1 1
,
,1
2 2
P
，
所以，
1
1,0,1
AC
，
1
1
,
,1
2
2
BP
，
则
1
1
3
1
2
2
AC
BP
.
故选：A.
二、多选题
7、已知向量
(2,0, 1),
(0,1,1)
AC
CB
，则（
）
A．|
| 5
AC
B．CB
同方向上的单位向量的坐标为
2
2
0,
,
2
2
C．
1
AC CB
D．BC
在AC
上的投影向量的模为
5
5
【答案】BD
【详解】因为
2,0, 1
AC
，
0,1,1
CB
，所以
0, 1, 1
BC
.
对于A：因为
2
2
2
1
5
AC
，故A 错误；
对于B：因为
0,1,1
2
2
0,
,
2
2
2
CB
CB
，即CB
方向上的单位向量是
2
2
0,
,
2
2
，故B 正确；
对于C：因为
2,0, 1
0,1,1
1
AC CB
，故C 错误；
266
2026 年高二暑假讲义A 版
对于D：由
2
0, 1, 1
2,0, 1
5
5
2
1
BC AC
AC
，故D 正确.
故选：BD.
8、已知空间向量
2, 1,1 ,
1,2,3
a
b
，则下列结论正确的是（
）
A．
3,2,5
c
与
,a b
共面
B．
26
a
b
C．a在b
上的投影向量为
6
3 6
,
6,
2
2
D．a与b
夹角的余弦值为
21
14
【答案】AD
【详解】假设
3 2 5
c
，，与,a b
共面，则c
a
b
有解，即
3
2
2
2
5
3
有解，
解
3
2
2
2
5
3
得
4
5
7
5
，故选项A 正确；
3,1,4
a
b
，所以
2
2
2
3
1
4
26
a
b
，故选项B 错误；
a在b
上的投影向量为
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
3
3
9
1,2,3
,
,
14 7 14
1
2
3
1
2
3
a b
b
b
b
，故选项C 错误；
2
2
2
2
2
2
2
2
3
21
cos
,
14
2
1
1
1
2
3
a b
a b
a b
，故选项D 正确；
故选：AD
9、下列四个结论正确的是（
）
A．任意向量,a b
，若
0
a b
，则
0
a
或
0
b
或
π
,
2
a b
B．若空间中点
,
,
,
O A B C 满足
1
2
3
3
OC
OA
OB
，则
, ,
A B C 三点共线
C．空间中任意向量, ,
a b c
都满足
a b
c
a
b c
D．已知向量
1,1,
,
2, ,4
a
x
b
x
，若
2
5
x
，则
,
a b
为钝角
【答案】AB
267
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】解：对于A，
cos ,
0
a b
a
b
a b
，则
0
a
或
0
b
或cos ,
0
a b
，即
0
a
或
0
b
或
π
,
2
a b
，故A 正确；
对于B，因为
1
2
3
3
OC
OA
OB
，则
1
2
3
3
OC
OA
OB
OC
，即1
2
3
3
AC
CB
，所以AC
CB
/ /
，
所以A，B，C 三点共线，故B 正确；
对于C，(
)
cos ,
a b
c
a
b
a b c
，是与c
共线得向量，
(
)
cos ,
a
b c
b
c
b c a
，是与a
共线得向量，
而a
与c
方向不确定，故无法确定(
)
a b
c
与
(
)
a
b c
是否相等，故C 错误；
对于D，
2
4
5
2
a b
x
x
x
，若
2
5
x
，则
5
2
0
a b
x
，
当
/ /
a
b
时，则存在唯一实数，使得b
a
，即
2, ,4
, ,
x
x
，
所以
2
4
x
x
，解得
2
x
，
所以当
2
5
x
，且
2
x 时，,a b
为钝角，故D 错误.
故选：AB.
三、填空题
10、知向量
0
, ,
4
a
m
，
2
,1
1,2
b
且a
b
，则实数m
，a
b
．
【答案】
2
13
【详解】因为
0
, ,
4
a
m
，
2
,1
1,2
b
且a
b
，
所以
4 1
2
0 12
0
a b
m
，解得
2
m ，则
0
,4
2,
a
，
所以
2
,
,
,
4
2 0
1 212
3, 4, 1
,
a
b
，
所以
2
2
23
4
12
13
a
b
.
故答案为：2
；13
11、已知空间四点
0,0,0
O
，
2,2,2
A
，
5,0,0
B
，
0,0, 10
C
，则向量OA
在向量BC
上的
投影向量的坐标为
.
【答案】(4, 2, 2)
268
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】由题，
5, 6,4 ,
( 2,1,1)
AB
CA
，
所以
10
6
4
12
AB CA
，
4 1 1
6
CA
，
则AB
在CA
方向上的投影向量的坐标为
2
cos
,
2
(4, 2, 2
CA
AB CA
CA
AB CA
AB
AB CA
AB
CA
CA
CA
AB
CA
CA
CA
.
故答案为: (4, 2, 2)
.
12、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互
相垂直，活动弹子M，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记
CM
BN
a
，其中0
2 2
a
．则MN 的长的最小值为
.
【答案】2
【详解】∵平面ABCD 平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF
AB
，BC
AB
，
BC
平面ABCD ，
BC
平面ABEF ，
则以B 为坐标原点，
,
,
BA BE BC
为, ,
x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
2,0,0
A
，
0,0,2
C
，
2,2,0
F
，
0,2,0
E
，
CM
BN
a
∵
，
,0,2
2
2
a
a
M
，
,
,0
2
2
a
a
N
，
269
2026 年高二暑假讲义A 版
2
2
2
2
2
2
2 2
4 0
2 2
2
2
MN
a
a
a
a
a
；
则
2
2
2 2
4
2
2
MN
a
a
a
，
当
2
a
时，MN 最小，最小值为
2 .
故答案为：
2 .
四、解答题
13、已知
2,0,2 ,
1,1,2 ,
3,0,4 ,
,
A
B
C
a
AB b
AC
(1)
3,
c
c
/ / BC
，求c的坐标；
(2)求cos
,
a b
；
(3)若ka
b
与
2
ka
b
互相垂直，求实数k 的值.
【答案】(1)
( 2, 1,2)
c
或
(2,1, 2)
c
(2)
10
10
(3)
2
k
或
5
2
k
【详解】（1）由题可知，
( 2, 1,2)
BC
，
由
/ /
c
BC
，得c
kBC
，设
( 2 ,
,2 )
c
k
k
k
，
因为|
| 3
c
，
所以
2
2
2
2
( 2 )
(
)
(2 )
3
k
k
k
，解得
1
k ，
所以
( 2, 1,2)
c
或
(2,1, 2)
c
．
（2）因为
( 2,0,2)
A
、
( 1,1,2)
B
、
( 3,0,4)
C
，a
AB
，b
AC
，
所以
(1,1,0)
a
，
( 1,0,2)
b
，
则
·
1
10
cos
,
10
2
5
a b
a b
a
b
.
（3）因为
1, ,2
ka
b
k
k
，
2
2, , 4
ka
b
k
k
，
又ka
b
与
2
ka
b
垂直，
所以
2
2
1
2
8
0
ka
b
ka
b
k
k
k
，
解得
5
2
k
或
2
k
．
14、已知向量
1,1,0
a
，
1,0,2
b
．
270
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)若
/ / 2
a
kb
a
b
，求实数k ；
(2)若向量
k
a
b 与2a
b
所成角为锐角，求实数k 的范围．
【答案】(1)
1
2
k
；(2)
1
k 且
1
2
k
【详解】（1）因为
1,1,0
a
，
1,0,2
b
，
所以
1
,1,2
a
kb
k
k
，
2
1,2,2
a
b
，
因为
/ / 2
a
kb
a
b
，所以1
1
2
1
2
2
k
k
，解得：
1
2
k
；
（2）因为向量
k
a
b 与2a
b
所成角为锐角，
所以
· 2
0
a
kb
a
b
，且
k
a
b 与2a
b
不同向共线，
由（1）知，
1
,1,2
a
kb
k
k
，
2
1,2,2
a
b
，
故
1
2
4
0
1
2
k
k
k
，
解得
1
k 且
1
2
k
，即k 的取值范围为
1
k 且
1
2
k
.
15、在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3.
(1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标；
(2)设AA1 中点为点E，BC 中点为点F，求出
1
EC
、EF
；
(3)求出
1
1
cos
,
EC C B
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
1
3
3
3, 1,
,
3,0,
2
2
EC
EF
(3)
13
5
【详解】（1）以BC 的中点O为原点，以1 为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意知，
3
AO
，则
3,0,0
A
，
0,1,0
B
，
0, 1,0
C
，
1
3,0,3
A
，
1 0,1,3
B
，
1 0, 1,3
C
；
271
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）由题意知，
3
3,0,
,
0,0,0
2
E
F
，故
1
3
3
3, 1,
,
3,0,
2
2
EC
EF
；
（3）
1
0,2, 3
C B
，所以
1
1
1
1
1
1
9
0
2
13
2
cos
,
5
9
3 1
0
4
9
4
EC C B
EC C B
EC C B
.
272
2026 年高二暑假讲义A 版
空间向量的应用
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP
表示.我们把向量OP
称为点P 的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①, a
是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB
a
,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上
的充要条件是存在实数t ,使得AP
ta
，即AP
t AB
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使
OP
OA
ta
①
或OP
OA
t AB
②
题型1
空间中直线的方向向量
题型9
直线到平面、平面到平面的距离
题型2
平面的法向量及其求法
题型10
距离中的探索性问题
题型3
利用空间向量解决平行问题
题型11
求异面直线所成角
题型4
根据平面的法向量求参
题型12
求直线与平面所成角
题型5
利用空间向量解决平行、垂直中的探索性问题
题型13
求二面角及平面与平面所成角
题型6
求点到直线的距离
题型14
空间角中的探索性问题
题型7
求点到平面的距离
题型15
空间几何体中的翻折问题
题型8
异面直线的距离
知识点1
用向量表示点、直线、平面的位置
273
2026 年高二暑假讲义A 版
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量
唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
如图（1），设两条直线相交于点o ，它们的方向向量分别为a
和b
，P 为平面内任意一点，由平
面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对( , )
x y ，使得OP
xa
yb
．这样，点o 与向量a
和
b
不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点．
进一步地，如图（2），取定空间任意一点o ，可以得到，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件
是存在实数,x y ，使OP
OA
xAB
yAC
（*）.我们把（*）式称为空间平面ABC 的向量表示式．
1、平面法向量的定义
如图，若直线l
，取直线l 的方向向量a
，称a
为平面的法向量；过点A 且以a
为法向量的平面
完全确定，可以表示为集合
0
P a AP
．
2、平面法向量的性质
（1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量；
（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
3、求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
（1）设向量：设平面的法向量为
( , , )
n
x y z
（2）选向量：选取两不共线向量
,
AB AC
知识点2
平面的法向量
274
2026 年高二暑假讲义A 版
（3）列方程组：由
0
0
n AB
n AC
列出方程组
（4）解方程组：解方程组
0
0
n AB
n AC
（5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
1、设直线1l , 2l 的方向向量分别为a
，b
，平面，的法向量分别为n
，m
，则
线线平行
1
2
l
l
⇔a b
⇔a
b
(
R
)
线面平行
1l
⇔a
n
⇔
0
a n
面面平行
⇔n m
⇔n
m
2、设直线1l 的方向向量为
1
1
1
(
,
,
)
a
a b c
，直线2l 的方向向量为
2
2
2
(
,
,
)
b
a b c
，平面的法向量
1
1
1
( ,
,
)
n
x y z
，平面的法向量为
2
2
2
(
,
,
)
m
x
y
z
，则
线线垂直
1
2
l
l
⇔
0
a b
⇔
1
2
1 2
1 2
0
a a
b b
c c
线面垂直
1l
⇔a
n
⇔a
n
⇔
1
1
1
1
1
1
a
x
b
y
c
z
面面垂直
⇔n
m
⇔
0
n m
⇔
1
2
1
2
1 2
0
x x
y y
z z
1、点到直线的距离
已知直线l 的单位方向向量为u
，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点.设AP
a
，则向量AP
在
直线l 上的投影向量
(
)
AQ
a u u
，在Rt APQ
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
|
|
|
|
(
)
PQ
AP
AQ
a
a u
知识点3
空间中直线、平面的平行、垂直
知识点4
距离问题
275
2026 年高二暑假讲义A 版
2、异面直线的距离（线线距）
（1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异
面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.
（2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.
3、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为n
，A 是平面内的定点，P 是平面外一点.过点P 作平面的垂
线l ，交平面于点Q ，则n
是直线l 的方向向量，且点P 到平面的距离就是AP
在直线l 上的投
影向量QP
的长度.
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
n
AP n
AP n
PQ
AP
n
n
n
注：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线a 与平面之间的距离：
|
|
AB n
d
n
，其中
,
A
a B
，n是平面的法向量．
两平行平面
,
之间的距离：
|
|
AB n
d
n
，其中
,
A
B
，n是平面的法向量．
1、求异面直线所成的角
已知a，b 为两异面直线，A，C 与B，D 分别是a，b 上的任意两点，a，b 所成的角为，
则：①cos
,
|
||
|
AC BD
AC BD
AC
BD
②cos
| cos
,
|
AC BD
AC BD
AC
BD
.
知识点5
夹角问题
276
2026 年高二暑假讲义A 版
2、求直线和平面所成的角
设直线l 的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的角为，
则：①cos
|
||
|
a
a
②sin
cos
a u
a
u
.（注意此公式中最后的形式是：sin）
3、求二面角
如图，若PA
于
,
A PB
于B ，平面PAB 交l 于E ，则
AEB
为二面角
l
的平面角，
180
AEB
APB
.
若
1
2
,
n n
分别为面
,
的法向量，则：
①
1
2
1
2
1
2
cos
,
|
||
|
n n
n n
n
n
②cos根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n
；
若二面角为钝二面角（取负），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n
；
例1、若
0,1,1 ,
2,3,5
P
Q
在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标为（
）
A．
1,1,2
B．
1,2,1
C．
1,2,2
D．
2,2,2
【答案】A
【详解】由
0,1,1 ,
2,3,5
P
Q
，得
(2,2,4)
2(1,1,2)
PQ
，
所以直线l 的一个方向向量的坐标为
1,1,2 .
题型1
空间中直线的方向向量
277
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：A
【变式训练1】已知直线l 的一个方向向量
3, 2,1
m
，且直线l 经过
,2, 1
A a
和
2,3,
B
b
两点，
则a
b
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
【答案】A
【详解】因为
2
,1,
1
AB
a
b
，直线l 的一个方向向量为
3, 2,1
m
，
所以有向量AB
与向量为m
共线，
所以2
1
1
3
2
1
a
b
，解得
1
2
a
，
3
2
b
，
所以
2
a
b
，
故选：A.
【变式训练2】已知向量
2
(4, 2,6),
4,2
,6
a
b
x
x
都是直线l 的方向向量，则x 的值是（
）
A．1
或1
B．1
C．3
D．1
【答案】B
【详解】依题意，向量
2
(4, 2,6),
( 4,2
,6 )
a
b
x
x
共线，则
2
4
2
6
4
2
6
x
x
，
所以
1
x .
故选：B
例2、空间直角坐标系O
xyz
中，
1,1,0 ,
2,1, 2 ,
0,2, 1
A
B
C
，则平面ABC 的一个法向量为（
）
A．
2,1,3
B．
2,1,3
C．
2, 1,3
D．
2,1, 3
【答案】A
【详解】由已知
3,0, 2 ,
1,1, 1
AB
AC
，设平面ABC 的一个法向量为
, ,
n
x y z
，
3
2
0
0
n AB
x
z
n AC
x
y
z
，取
2
x
，得
2,1,3
n
，
选项A 符合，另外选项BCD 中的向量与选项A 中的向量不共线.
故选：A.
题型2
平面的法向量及其求法
278
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练3】已知平面
0
|
0
P n P P
，其中点
0
1 2 5
, ,
P
，平面的法向量
1,1,1
n
，则下列
各点中在平面内的是（
）
A．
1,2,3
B．
0,3,6
C．
1,1,1
D．
0,0,0
【答案】A
【详解】对于A，
0
2,0, 2
P P
，则
0
2 1 0 1
2
1
0
n P P
，
则此点在平面内，故正确；
对于B，
0
111
, ,
P P
，则
0
1 1 1 1 1 1
3
0
n P P
，
则此点不在平面内吗，故错误；
对于C，
0
2
1
4
,
,
P P
，则
0
2 1
1
1
4
1
3
0
n P P
，
则此点不在平面内，故错误；
对于D，
0
1
2
5
,
,
P P
，则
0
1 1
2
1
5
1
6
0
n P P
，
则此点在不平面内，故错误.
故选：A.
【变式训练4】如图，在棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点M 在棱
1
C C 上，且
1
2
CM
MC
．以
D 为原点，DA ，DC ，
1
DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面
1
1
ABB A 的一个法向量；
(2)求平面
1
MD B 的一个法向量．
【答案】(1)(1,0,0) (答案不唯一)；(2)
2,1,3 (答案不唯一)
【详解】（1）因为x 轴垂直于平面
1
1
ABB A ，所以
1
(1,0,0)
n
是平面
1
1
ABB A 的一个法向量．
（2）因为正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为3，
1
2
CM
MC
，
所以M，B，
1
D 的坐标分别为
0 3 2
，，，
3,3,0 ，
0,0,3 ，
279
2026 年高二暑假讲义A 版
因此
3,0, 2
MB
，
1
0, 3,1
MD
，
设
2
( , , )
n
x y z
是平面
1
MBD 的法向量，则
2
n
MB ，
2
1
n
MD ，
所以
2
2
1
3
2
0
3
0
n
MB
x
z
n
MD
y
z
，
取
3
z
，则
2
x
，
1
y ．于是
2
2,1,3
n
是平面
1
MBD 的一个法向量．
【变式训练5】如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为矩形，PA 平面ABCD ，E 为PD 的中
点，
1
AB
AP
，
3
AD
，，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
【答案】直线PC 的一个方向向量为
1, 3, 1
，平面PCD的一个法向量为
0,1, 3 (答案不唯一)
【详解】
以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
(0,0,1)
P
，
1, 3,0
C
，
所以
1, 3, 1
PC
，即直线PC 的一个方向向量为
1, 3, 1
.
设平面PCD的法向量为
, ,
n
x y z
.
因为
0, 3,0
D
，所以
0, 3, 1
PD
.
280
2026 年高二暑假讲义A 版
由
0
0
n PC
n PD
得
3
0
3
0
x
y
z
y
z
，所以
0
3
x
z
y
.
令
1
y ，则
3
z
.
所以平面PCD的一个法向量为
0,1, 3
n
.
例3、直线l 的一个方向向量为
4,2,2
m
，平面的一个法向量为
2, 1,
n
x
，若/ /
l
平面，
则x （
）
A．5
B．5
C．1
D．1
【答案】B
【详解】直线l 的一个方向向量为
4,2,2
m
，
平面的一个法向量为
2, 1,
n
x
，
因为/ /
l
平面，则m
n
，
所以，
8
2
2
2
10
0
m n
x
x
，解得
5
x
.
故选：B.
【变式训练6】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P 在线段A1D 上，点Q 在线段AC 上，线段PQ
与直线A1D 和AC 都垂直，求证：PQ∥BD1.
【答案】证明见解析
【详解】证明：以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
题型3
利用空间向量解决平行问题
281
2026 年高二暑假讲义A 版
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
∴
1
DA
=(1，0，1)，AC
=(-1，1，0)，设PQ
=(a，b，c)，
则
1·
0
·
0
DA PQ
AC PQ
，
，
即
0
0
a
c
a
b
，
，取PQ
=(1，1，-1).
易知
1
( 1, 1,1)
BD
，
∴PQ
1
BD
，
∴
1
/ /
PQ
BD
，
即PQ∥BD1.
【变式训练7】如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，侧棱
1A A 底面ABCD ，
,
1
AB
AC AB
，
1
2,
5
AC
AA
AD
CD
=
=
=
=
，且点
,
M N 分别为
1
B C 和
1
D D 的中点，求证：
/ /
MN
平面ABCD .
【答案】证明见解析
【详解】以A 为原点，分别以
1
,
,
AC AB AA 所在直线为, ,
x y z z 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得
1
1
(0,0,0), (0,1,0),
(2,0,0),
(1, 2,0),
(0,0,2),
(0,1,2)
A
B
C
D
A
B
，
1
1
(2,0,2),
(1, 2,2)
C
D
，
又因为
,
M N 分别为
1
B C 和
1
D D 的中点，可得
1
(1,
,1),
(1, 2,1)
2
M
N
，
又由向量
(0,0,1)
n
为平面ABCD 的一个法向量，且
5
(0,
,0)
2
MN
,
由此可得
0
MN n
，又因为直线MN 平面ABCD ，所以
/ /
MN
平面ABCD .
【变式训练8】如图所示，ABCD为矩形，PA 平面ABCD，PA
AD
，M ，N ，Q 分别是PC ，
282
2026 年高二暑假讲义A 版
AB ，CD的中点．求证：
(1)
/ /
MN
平面PAD ；
(2)平面
/ /
QMN
平面PAD ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）证明：因为PA 平面ABCD ，
,
AB AD 平面ABCD ，
所以
,
PA
AB PA
AD
，
因为四边形ABCD 为矩形，所以AB
AD
，
所以
,
,
AB AD AP两两垂直，
所以以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
设
( ,0,0)
B b
，
(0, ,0)
D
d
，
(0,0, )
P
d .
则
( , ,0)
C b d
，因为M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点，
所以
,
,
2 2 2
b d d
M
，
,0,0
2
b
N
，
, ,0
2
b
Q
d
，
所以
0,
,
2
2
d
d
MN
.
因为平面PAD 的一个法向量为
(1,0,0)
m
，
所以
0
MN m
，即MN
m
.
又因为MN 平面PAD ，所以
/ /
MN
平面PAD .
（2）因为
(0,
,0)
QN
d
，
所以
0
QN m
，所以QN
m
，
283
2026 年高二暑假讲义A 版
又QN 平面PAD ，所以
/ /
QN
平面PAD .
又因为MN
QN
N
∩
，
,
MN QN 平面MNQ ，
所以平面
/ /
MNQ
平面PAD .
例4、若直线l 的方向向量为
1 ,0,1
2
a
，平面的法向量为
2,0, 4
n
，则（
）
A．/ /
l
B．l
C．1
D．l 与斜交
【答案】B
【详解】因为直线l 的方向向量为
1 ,0,1
2
a
，平面的法向量为
2,0, 4
n
，
可得因为
4
n
a
，所以
/ /
a
n
，
所以
.
l
故选：B.
【变式训练9】如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E，F 分别是
1
BB ，
1
1
D B 的中点．
(1)求证：
1
EF
DA
；
(2)求证：
1
DA 平面
1
ABC
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【详解】（1）
如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，
题型4
利用空间向量解决垂直问题
284
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1
2,2,1 ,
1,1,2 ,
2,0,2
E
F
A
，所以
1
1, 1,1 ,
2,0,2
EF
DA
，
有
1
1
1 2
1
0 1 2
0
EF DA
EF
DA
；
（2）由（1）知
1
0,2,0 ,
2,0,2
AB
BC
，设平面
1
ABC 的一个法向量为
, ,
n
x y z
，
则
1
0
2
0
2
2
0
0
n AB
y
x
z
n BC
，
令
1
0,
1
x
y
z
，即
1,0,1
n
，
又
1
2,0,2
DA
，显然
1
2
DA
n
，
故
1
DA 平面
1
ABC .
【变式训练10】如图所示，ABC
V
是一个正三角形，EC 平面ABC ，
//
BD CE ，且
2
2
CE
CA
BD
．
(1)求平面DEA 的法向量
(2)求证：平面DEA 平面ECA．
【答案】(1)( 3,1,2) （答案不唯一）；(2)证明见解析
【详解】（1）因为EC 平面ABC ，CB 平面ABC ，所以EC
CB
，
以C 为原点，
,
CB CE 所在的直线分别为,y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
(0,0,0),
( 3,1,0),
(0,2,0),
(0,0,2),
(0,2,1)
C
A
B
E
D
，
所以
( 3,1, 2),
(0,0,2),
(0,2, 1)
EA
CE
ED
，
设平面DEA的一个法向量是
( , , )
n
a b c
，
285
2026 年高二暑假讲义A 版
则
3
2
0
2
0
n EA
a
b
c
n ED
b
c
，令
1
b ，则
( 3,1,2)
n
，
所以平面DEA 的一个法向量为( 3,1,2) .
（2）设平面ECA 的一个法向量是
( , , )
m
x y z
，
则
3
2
0
2
0
m EA
x
y
z
m CE
z
，令
1
x ，则
(1,
3,0)
m
，
因为
1
3
3
1
0 2
0
m n
，所以m
n
，
所以平面DEA 平面ECA.
【变式训练11】如图，正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面边长为2，E 为棱CD 的中点，
1
3
FC
CF
，
且四棱锥
1
E
BCFB
的体积为5 2
6
．
(1)求棱
1
CC 的长；
(2)证明：平面
1
BCD 平面
1
B EF ．
【答案】(1)
1
2 2
CC
；(2)证明见解析
【详解】（1）因为正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，所以EC 平面
1
BCFB ，
且四边形
1
BCFB 为直角梯形，设
1
CC
h
，
所以
1
1
1
1
1
1
5 2
1
2
3
2
3
2
4
6
E BCFB
h
V
EC
FC
BB
BC
h
，
解得
2 2
h
，即
1
2 2
CC
；
（2）以点D 为原点，直线
1
,
,
DA DC DD 分别为, ,
x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，
286
2026 年高二暑假讲义A 版
由题意可得
1
1
2
0,2,0 ,
2,2,0 ,
0,0,2 2 ,
0,1,0 ,
0,2,
,
2,2,2 2
2
C
B
D
E
F
B
，
所以
1
1
2
3 2
2,0,0 ,
0, 2,2 2 ,
0,1,
,
2,0,
2
2
CB
CD
EF
FB
，
设平面
1
BCD 的法向量为
1
1
1
,
,
n
x y z
，
则
1
1
1
1
1
1
1
0
2
0
2
2
2 2
0
x
n CB
x
y
z
n CD
y
z
，令
1
1
z ，则
0,
2,1
n
；
设平面
1
B EF 的法向量为
2
2
2
,
,
m
x
y z
，
则
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
0
2
2
3 2
3 2
2
0
2
4
m EF
y
z
y
z
m FB
x
z
x
z
，令
2
4
z
，则
3 2, 2 2,4
m
；
因为
0
4
4
0
n m
，
所以平面
1
BCD 平面
1
B EF ．
例5、如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，若
,
M N 分别为棱
1
AA 和
1
BB 上任意一点（不与端点重合），
是否存在
,
M N 使得
1
CM
D N
？若存在，求点
,
M N 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】不存在，理由见解析
题型5
利用空间向量解决平行、垂直中的探索性问题
287
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】设正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为3，
则
1 0,0,3 ,
3,3,
,
0,3,0 ,
3,0,
D
N
m
C
M
n ，
则
1
3, 3,
,
3,3,
3
CM
n
D N
m
，
则
1
3 3
3 3
3
0
CM D N
n m
，
则
3
0
n m
，所以
0
n
或
3
m
，
当
0
n
时，M 与A 重合，
3
m
时，N 与
1B 重合，
故不存在
,
M N 使得
1
CM
D N
.
【变式训练12】如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 上
一点．请用向量方法解决以下问题：
(1)证明：直线
1
AB 平面
1
1
A ED ；
(2)是否存在点F ，使直线
1
/ /
D F
平面
1
1
A EC ？若存在，求出DF 的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，1.
【详解】（1）在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，以A 为原点，建立如图空间直角坐标系，
则
1
1
1
1
(0,0,0),
(0,0,2),
(2,0,2),
(2,2,2),
(0,2,2),
(2,1,0)
A
A
B
C
D
E
，
1
1
1
1
(2,0,2),
(0,2,0),
(2,1, 2)
AB
A D
A E
，
288
2026 年高二暑假讲义A 版
于是
1
1
1
1
1
2 0
0 2
2 0
0,
2 2
0 1 2 ( 2)
0
AB
A D
AB
A E
，
即
1
1
1
1
1
,
AB
A D AB
A E
，而
1
1
1
1
1
1
1
,
,
A D
A E
A A D A E
∩
平面
1
1
A ED ，
所以直线
1
AB 平面
1
1
A ED .
（2）由（1）知
1
1
1
(2,2,0),
(0,1,2)
AC
EC
，设平面
1
1
A EC 的法向量为
( , , )
n
x y z
，
则
1
1
1
2
2
0
2
0
n AC
x
y
n EC
y
z
，取
1
z ，得
(2, 2,1)
n
，
假定存在点F ，使直线
1
/ /
D F
平面
1
1
A EC ，设F 点的坐标为( ,2,0),0
2
t
t
，
则
1
(
,0,2)
FD
t
，由
1
FD
n
，得
1
0
2
2
n
D
t
F
，解得
1
t ，
而
1
D F 平面
1
1
A EC ，则
1 //
D F
平面
1
1
A EC ，
所以存在点F ，使直线
1
/ /
D F
平面
1
1
A EC ，此时
1
DF .
【变式训练13】如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
1
2
CA
CB
AA
，BC
AC
，P 为
1A B 上
的动点，Q 为棱
1
C C 的中点．
(1)设平面
1A BQ ∩平面
ABC
l ，若P 为
1A B 的中点，求证：
//
PQ l ；
(2)设
1
BP
BA
，问线段
1A B 上是否存在点P，使得AP 平面
1A BQ ？若存在，求出实数的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
1
3
.
【详解】（1）证明：设AB 的中点为E ，连接
,
,
PE PQ CE ，
因为P 为
1A B 的中点，Q 为
1
C C 的中点，
所以
1
//
PE A A ，
1
1
2
PE
A A
，
1
1
2
QC
C
C
，
289
2026 年高二暑假讲义A 版
在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
//
A A C C ，
1
1
A A
C C
，
所以
1 //
A A QC ，且
1A A
QC
，
所以四边形PECQ 为平行四边形，
则
//
PQ EC ，又PQ 平面ABC ，EC 平面ABC ，
所以
//
PQ
平面ABC ，
又平面
1A BQ ∩平面
ABC
l ，PQ 平面
1A BQ ，
所以
//
PQ l .
（2）在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
CC 平面ABC ，BC
AC
，
故可以C 为原点，以
1
,
,
CB CA CC 所在直线分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，
因为
1
1
1
2
CA
CB
AA
，
所以
1
1,0,0 ,
0,0,1 ,
0,1,2 ,
0,1,0
B
Q
A
A
，
则
1
1
1,1,2 ,
0, 1, 1
BA
AQ
，
1, 1,0
AB
，
又
1 0
1
BP
BA
，则
, ,2
BP
，
所以
1
,
1,2
AP
AB
BP
，
若AP 平面
1A BQ ，则
1
1
0
0
AP BA
AP AQ
，
则
1
1
4
0
1
2
0
，解得
1
3
，
所以线段
1A B 上存在点P，使得AP 平面
1A BQ ，此时
1
3
.
290
2026 年高二暑假讲义A 版
例6、点
2,1,1
A
是直线l 上一点，
1,0,0
a
是直线l 的一个方向向量，则点
1,2,0
P
到直线l 的距
离是（
）
A．1
2
B．2
C．2
D．2 2
【答案】B
【详解】
( 1,1, 1)
AP
∵
，
(1,0,0)
a
是直线l 的一个单位方向向量，
点P 到直线l 的距离为
2
2
3 1
2
AP
AP a
.
故选：B.
【变式训练14】已知
2,2,1
A
，
3,2,0
B
，则点
2,0, 1
P
到直线AB 的距离为（
）
A．
3
B．2
C．
5
D．
6
【答案】D
【详解】因为
2,2,1
A
，
3,2,0
B
，
2,0, 1
P
，则
1,0, 1
AB
，
0, 2, 2
AP
，
所以点P 到直线AB 的距离为：
2
2
2
2
8
6
2
AP AB
d
AP
AB
.
故选：D
【变式训练15】已知空间中有
1,2,3
A
，
1,2,2
B
，
2,0,1
C
三点，则点A 到直线BC 的距离为（
）
A．3 70
14
B．3 21
7
题型6
求点到直线的距离
291
2026 年高二暑假讲义A 版
C．2 14
7
D．8
7
【答案】A
【详解】由题意得
2,0, 1
AB
，
3, 2, 1
BC
，
所以点A 到直线BC 的距离
2
2
2
5
3 70
5
14
14
AB BC
d
AB
BC
.
故选：A.
【变式训练16】如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E，F 分别为棱
1
1
A D ，
1
AA 的中点，
则点F 到直线BE 的距离为（
）
A．6
B．4
C．2
D．1
【答案】D
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
2,0,1
F
，
2,2,0
B
，
1,0,2
E
，
0, 2,1
BF
，
1, 2,2
BE
，
所以点F 到直线BE 的距离
2
2
2
4
2
5
1
3
BF BE
BF
BE
故选：D
292
2026 年高二暑假讲义A 版
例7、已知点
2,1,1
A
在平面α内，点
9,8,5
B
在平面α外，且平面α的一个法向量为
1,1,1
a
，则点
B 到平面α的距离为（
）
A．6 3
B．6 2
C．3 6
D．3 5
【答案】A
【详解】因为
(7,7,4)
AB
，
所以点B 到平面的距离为|
|
18
6 3
|
|
3
AB
．
故选：A.
【变式训练17】如图，在棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点E 是棱CD 上的一点，且
2
DE
EC
，
则点
1B 到平面
1
AEC 的距离为（
）
A．6 14
7
B．3 14
7
C．2 7
7
D．
7
7
【答案】B
【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，
1
AA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示.
题型7
求点到平面的距离
293
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
(0,0,0)
A
，
1(3,0,3)
B
，
(2,3,0)
E
，
1(3,3,3)
C
，所以
(2,3,0)
AE
，
1
(3,3,3)
AC
.
设平面
1
AEC 的法向量
( , , )
n
x y z
，
所以
1
2
3
0,
3
3
3
0,
n AE
x
y
n AC
x
y
z
令
3
x
，解得=
2
y
，
1
z ，
所以平面
1
AEC 的一个法向量
(3, 2, 1)
n
，又
1
(3,0,3)
AB
，
所以点
1B 到平面
1
AEC 的距离
1
6
3 14
7
9
4 1
AB n
d
n
.
故选：B.
【变式训练18】如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面ABCD 是菱形，
1
1
60
A AB
A AD
BAD
，
1
2
AB
A A
，则点
1
B 到平面
1A BD 的距离为（
）
A．
6
3
B．3 2
4
C．2 6
3
D．3 3
4
【答案】C
【详解】连接AC ，设AC
BD
O
∩
，连接
1AO ，
由
1
1
A AB
A AD
≌
△
△
，得
1
1
A B
A D
，所以
1AO
BD
，
因为底面ABCD 是菱形，所以AC
BD
，
又因为
1AO
AC
O
，且
1AO ，AC 在平面
1AOA内，所以BD 平面
1AOA，
在
1AOA
△
中，
1
3
AO
AO
，
1
2
A A
，所以
1
1
cos
3
AOA
，
如图，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，
294
2026 年高二暑假讲义A 版
则
3,0,0
A
，
1
3
2 6
,0,
3
3
A
，
0,1,0
B
，
0, 1,0
D
，
1
2 3
2 6
,1,
3
3
B
，
故
0,2,0
DB
，
1
3
2 6
,0,
3
3
OA
，
1
2 3
2 6
,1,
3
3
OB
，
设平面
1A BD 的法向量为
, ,
n
x y z
，
则有
1
2
0
3
2 6
0
3
3
DB n
y
OA n
x
z
，令
1
z ，得
2 2,0,1
n
，
所以点
1
B 到平面
1A BD 的距离
1
2 6
3
OB n
d
n
.
故选：C.
例8、定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在
长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
AB ，
2
BC
，
1
3
AA
，则异面直线AC 与
1
BC 之间的距离是（
）
A．
5
5
B．
7
7
C．
6
6
D．6
7
【答案】D
【详解】
以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
0,0,0
D
，
1
1
1
1
1
1
1,1,
,
0,1,1 ,
1,0,0 ,
0,0,
,
1,0,
,
1,0,
,
2
2
2
2
F
C
A
E
AE
FC
1
0,1,1 ,
1,0,0 ,
DC
DA
AE
∥
1
FC
，即AE ∥
1.
FC
AE
∵
平面
1
1
,
C DF FC 平面
1
,
C DF
AE
∥平面
1
.
C DF
直线AE 到平面
1
C DF 的距离为点A 到平面
1
C DF 的距离.
题型8
异面直线的距离
295
2026 年高二暑假讲义A 版
设平面
1
C DF 的法向量为
, ,
n
x y z
，则
1
1
0,
0,
FC n
DC n
即
1
0,
2
0,
x
z
y
z
令
1
x ，则
2,
2,
1, 2,2 ,
z
y
n
点A 到平面
1
C DF 的距离为
2
2
2
1 1
1
3
1
( 2)
2
DA n
n
.
故选：D.
【变式训练19】正四棱锥S
ABCD
中，O 为顶点S 在底面ABCD 内的正投影，P 为侧棱SD 的中点，
且
2
SO
OD
，则异面直线PC 与BD 的距离为（
）
A．
10
10
B．
10
5
C．
5
10
D．
5
5
【答案】B
【详解】因为S
ABCD
为正四棱锥且O是S在底面ABCD 内的正投影，
所以SO 面ABCD ，
连接AC ，BD ，则AC
BD
且交于O.
因为
,
OC BD 面ABCD ，
所以SO
OC
，SO
OD
.
所以以OC ，OD ，OS 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为
2
SO
OD
，
则
0,0,
2
S
，
0,
2,0
D
，
2,0,0
C
，
0,
2,0
B
，
2
2
0,
,
2
2
P
，
所以
0,2 2,0
BD
，
2
2
2,
,
2
2
PC
.
设异面直线BD 与PC 的公垂线方向向量为
, ,
n
x y z
，
则有
0
0
n BD
n PC
，即
2 2
0
2
2
2
0
2
2
y
x
y
z
，取
1,0,2
n
.
又因为
2,
2,0
CD
，
所以异面直线BD 与PC 的距离
2
10
5
1
4
CD n
d
n
.
所以异面直线BD 与PC 的距离为
10
5
.
296
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：B
例9、两平行平面,
分别经过坐标原点O 和点
1,2,3
A
，且两平面的一个法向量
1,0,1
n
，则
两平面间的距离是（
）
A．
2
B．
2
2
C．3
D．3 2
【答案】A
【详解】平面
,
均以
( 2,1, 2)
n
为法向量，则
//
，
平面经过点
(3,2, 1)
P
，则平面与的距离等于点
(3,2, 1)
P
到平面的距离，
平面经过坐标原点O，
(3,2, 1)
OP
，
点P 到平面的距离
6
2
3
OP n
d
n
，
所以平面与的距离为2.
故选：A.
【变式训练20】已知
1,0,1
A
，
1
1,
,0
2
B
，
0,1,0
C
，
1
1,
,1
2
M
，
0,1,1
N
，则直线MN 到平面ABC
的距离为（
）
A．
6
B．
6
4
C．
6
12
D．
6
6
【答案】D
【详解】
1
0,
, 1
2
AB
，
1
1,
,0
2
BC
，
1
0,
,0
2
AM
，
1
1,
,0
2
MN
，
显然MN
BC
，所以
/ / BC
MN
，
题型9
直线到平面、平面到平面的距离
297
2026 年高二暑假讲义A 版
而MN 平面ABC ，
BC
平面ABC ，于是
/ /
MN
平面ABC ，
因此直线MN 到平面ABC 的距离等于点M 到平面ABC 的距离．
设平面ABC 的法向量为
, ,
n
x y z
，则
1
0
2
1
0
2
n AB
y
z
n BC
x
y
,令
1
z ，得
1,2,1
n
，
所以点M 到平面ABC 的距离为
1
6
6
6
AM n
n
，
所以直线MN 到平面ABC 的距离是
6
6
．
故选：D
【变式训练21】在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，,
E F 分别是
,
BC CD 的中点，则直线BD 到
平面
1
1
EFD B 的距离为（
）
A．
3
6
B．1
2
C．
2
4
D．1
3
【答案】D
【详解】如图建立空间直角坐标系，则
1
1
(0,0,0), (1,1,0),
(0,1,0),
( ,1,0),
0,
,0
2
2
D
B
C
E
F
，
1
1
(1,1,1),
0,0,1
B
D
，
所以
1
1
1
1
1
(
,0,0),
( 1, 1,0),
(
,0, 1)
2
2
EB
B D
B E
,
设平面
1
1
EFD B 的法向量为
( , , )
n
x y z
，则
1
1
1
0
1
0
2
n B D
x
y
n B E
x
z
，令
1
z ，则
( 2,2,1)
n
，
因为
1
1
//
BD
B D ，BD 平面
1
1
EFD B ，
1
1
B D 平面
1
1
EFD B ，
所以
/ /
BD
平面
1
1
EFD B ，所以直线BD 到平面
1
1
EFD B 的距离即为点B 到平面
1
1
EFD B 的距离，
所以直线BD 到平面
1
1
EFD B 的距离为
2
2
1
2
1
2
3
2
2
1
EB n
d
n
.
故选：D.
298
2026 年高二暑假讲义A 版
例10、如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
2,
AA
AC
D
，E 分别为
1
1
,
CC A B 的中点.
线段BC 上是否存在点G ，使得
1A G
BD
？若存在，求出点G 到平面
1A BD 的距离；若不存在，说
明理由.
【答案】存在，距离为
2
2
【详解】（1）分别取
1
1
,
AC AC 中点O，
1
O ，连接
1,
OO OB .
因为
1
1
1
ABC
A B C
是正三棱柱，
所以
1
1
1
/ /
,
OO
AA AA 平面ABC ，OB
AC
.
所以
1
OO 平面ABC ，
,
OB OC 平面ABC ，所以
1
1
,
OO
OB OO
OC
.
题型10
距离中的探索性问题
299
2026 年高二暑假讲义A 版
以O 为原点，
1
,
,
OB OC OO 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.
则
1
1
(0, 1,0),
(0, 1,2),
(0,1,0),
(0,1,2), ( 3,0,0),
(0,1,1)
A
A
C
C
B
D
.
所以
1
1
( 3,1, 2),
(0,0,2),
(
3,1,1)
A B
CC
BD
.
设平面
1A BD 的法向量为
( , , )
n
x y z
，
所以
1
0,
0.
A B n
BD n
，即
3
2
0,
3
0.
x
y
z
x
y
z
令
1
y ，解得
3,
2
x
z
，所以
( 3,1,2)
n
.
假设存在点G，设
(
3 , ,0),0
1
BG
BC
.
所以
( 3
3 , ,0)
G
，所以
1
( 3
3 ,
1, 2)
AG
.
由
(
3,1,1)
BD
知，若
1AG
BD
，
则
1
( 3
3 )
(
3)
(
1) 1
( 2) 1
0
AG BD
.
解得
1
.即G 与C 为同一个点.
因为
(0,0,1)
CD
，平面
1A BD 的法向量为
( 3,1,2)
n
，
所以点G 到平面
1A BD 的距离
|
|
|0
3
0 1 1 2 |
2
2
|
|
3 1
4
CD n
d
n
.
【变式训练22】如图，在四棱锥P
ABCD
中，平面PDC 平面ABCD ，AD
DC
，
//
AB DC ，
1
1
2
AB
CD
AD
，M 为棱PC 的中点.
(1)证明：
//
BM
平面PAD ；
(2)若
5
PC
，
1
PD ，在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM 的距离是2 6
9
？若存在，
求出PQ的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析．(2)存在，
2 2
3
PQ
．
300
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）取PD 中点N ，如图，连接
,
NM NA，
∵M 是PC 中点，∴
/ /
NM
CD 且
1
2
NM
CD
，
又
/ /
AB
CD ，
1
2
AB
CD
，
∴
/ /
AB
MN 且AB
MN
，
∴ABMN 是平行四边形，∴
/ /
BM
AN ，
又∵AN 平面PAD ，BM 平面PAD ，
∴
/ /
BM
平面PAD ；
（2）∵
5
PC
，
1
PD ，
2
CD
，∴
2
2
2
PD
CD
PC
，所以PD
CD
，
又平面PDC 平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD
CD
，PD 平面PCD，
所以PD 平面ABCD ，
又AD
CD
，
因此以D 为原点，
,
,
DA DC DP为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则
(1,0,0)
A
，
(1,1,0)
B
，
(0,2,0)
C
，
(0,0,1)
P
，
1
(0,1,
)
2
M
，
1
(1,1,0),
(0,1,
)
2
DB
DM
，
(1,0, 1)
PA
，
(0,0,1)
DP
，
设平面BDM 的一个法向量是
( , , )
n
x y z
，
则
0
1
0
2
n DB
x
y
n DM
y
z
，取
1
x 得
(1, 1,2)
n
，
假设线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM 的距离是2 6
9
，
设
( ,0,
)
PQ
kPA
k
k
，0
1
k
，
( ,0,1
)
DQ
DP
PQ
k
k
，
∴点Q 到平面BDM 的距离为
0
2(1
)
2
2 6
9
6
6
DQ n
k
k
k
n
，
2
3
k
（
10
3
k
舍去），
所以
2
2
2
2
2 2
1
1
3
3
3
PQ
PA
．
301
2026 年高二暑假讲义A 版
例11、在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，AC
BC
，
1
D ，
1F 分别是
1
1
A B ，
1
1
AC 的中点，
1
BC
CA
CC
，
则
1
BD 与
1
AF 所成角的余弦值是（
）
A．
30
10
B．1
2
C．
30
15
D．
15
10
【答案】A
【详解】以C 为坐标原点，CA，CB，
1
CC 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如下图
所示：
设
2
BC
，则
2,0,0
A
，
1 1,0,2
F
，
0,2,0
B
，
1 1,1,2
D
，
1
1, 1,2
BD
，
1
1,0,2
AF
.设直线
1
BD 与
1
AF 所成的角为，则
1
1
1
1
1
1
1
0
4
30
cos
cos
,
10
1 1
4
1
4
BD
AF
BD AF
BD
AF
，所以直线
1
BD 与
1
AF 所成角的余弦值为
30
10
.
故选：A
【变式训练23】已知正三棱柱ABC
A B C
的各条棱长均相等，棱CC的中点为D ，则直线A C
与
直线BD 所成的角的余弦值为（
）
A．0
B．1
4
C．
3
3
D．
5
5
【答案】A
【详解】设AC 中点为O，A C
中点为O，
题型11
求异面直线所成角
302
2026 年高二暑假讲义A 版
由正三棱柱性质知OO底面ABC ，
,
AC OB 底面ABC ，
则OO
AC
，OO
OB
，
又底面ABC 是等边三角形，O是AC 中点，
则AC
OB
．
以O为原点，OB ，OC ，OO，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
设正三棱柱ABC
A B C
的棱长都为2，
则
0, 1,2
A
，
0,1,0
C
，
3,0,0
B
，
0,1,1
D
，
∴
0,2, 2
A C
，
3,1,1
BD
，则
0
2
2
0
A C BD
∴A C
BD
，
即异面直线A C
和BD 成角的余弦值为0,
故选：A.
【变式训练24】《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在
阳马P
ABCD
中，若PA 平面ABCD ，且
2
PA
AB
，异面直线PD 与AC 所成角的余弦值为4
5 ，
则AD （
）
A．6
5
B．4
C．2
D．3
【答案】B
【详解】由题意，以A 为坐标原点，
,
,
AB AD AP所在直线分别为, ,
x y z 轴，建系如图，
设
0
AD
a
，因为
2
PA
AB
，
303
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
0,0,0 ,
2, ,0 ,
0,0,2 ,
0, ,0
A
C
a
P
D
a
，
2, ,0 ,
0, , 2
AC
a
PD
a
，
设异面直线PD 与AC 所成角为，
则
2
2
2
4
cos
5
4
4
AC PD
a
AC PD
a
a
，
解得
4
a
，即
4
AD
.
故选：B.
例12、若直线l 的一个方向向量为
1, 0,
3
u
，平面的一个法向量为
(0,0,1)
n
，则l 与所成
的角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．π
3
或2π
3
D．π
6 或5π
6
【答案】B
【详解】由题意可知l 与夹角的正弦值为
3
3
2 1
2
u n
u
n
，且夹角的取值范围为
π
0, 2
，则夹角
为π
3 .
故选：B.
【变式训练25】在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，PA 底面
,
, ,
ABCD PA
BC E F
分别
为
,
CD PC 的中点，则直线PE 与平面ABF 所成角的正弦值为（
）
A．1
3
B．
2
3
C．2 2
3
D．
2
6
【答案】C
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设
2
AB
，
则
0,0,2
P
，
2,2,0
C
，
0,2,0
D
，
2,0,0
B
，
由
,
F E 分别为
,
PC CD的中点，则
1,1,1
F
，
1,2,0
E
，
则
1,1,1
BF
，
1,2, 2
PE
，
2,0,0
AB
,
设平面ABF 的法向量为
, ,
n
x y z
，
题型12
求直线与平面所成角
304
2026 年高二暑假讲义A 版
则
2
0
0
n AB
x
n BF
x
y
z
，设
1
y ，则
1,
0
z
x
，
所以平面ABF 的法向量为
0,1, 1
n
，
设直线PE 与平面ABF 所成角为，
0
2
2
4
2 2
sin
cos
,
3
0
1 1
1
4
4
3 2
PE n
PE n
PE
n
.
故选：C.
【变式训练26】如图，在四棱锥S
ABCD
中，底面ABCD 是矩形，
2
2,
AD
SA
SD
AB
P
为棱
AD 的中点，且
,
SP
AB M
为棱SA上的一点，若BM 与平面SBD 所成角的正弦值为
3
4
，则
AM
.
【答案】3
4 /0.75
【详解】过点P 作
/ /
PE
CD，交BC 于点E ，由SD
SA
，P 为AD 中点，得SP
AD
，
又SP
AB
，且AD
AB
A
，
,
AD AB 平面ABCD ，则SP 平面ABCD ，
而PE 平面ABCD ，有SP
PE
，又ABCD 是矩形，则
,
,
SP PA PE 两两垂直，
以P 为原点，
,
,
PA PE PS 所在直线分别为, ,
x y z 轴建立空间直角坐标系，如图：
305
2026 年高二暑假讲义A 版
由
2
AD
SA
SD
，
1
AB ，P 为AD 中点，得
3
SP
，E 为BC 的中点，
则点
0,0,0
P
，
(1,0,0)
A
，(0,0, 3)
S
，
(1,1,0)
B
，
( 1,0,0)
D
，
(2,1,0)
DB
，
)
(1,0, 3
DS
,
( 1,0, 3)
AS
，
(0, 1,0)
BA
，
令
(
,0, 3 ),0
1
AM
AS
，
(
, 1, 3 )
BM
BA
AM
，
设平面SBD 法向量为
( , , )
m
x y z
，则
2
0
3
0
m DB
x
y
m DS
x
z
，令
1
z ，得
(
3,2 3,1)
m
，
由BM 与平面SBD 所成角的正弦值为
3
4
，得
2
4
|
|
|
| 2 3
2 3 |
3
| cos
,
|
||
|
4
1 4
BM m
BM m
BM
m
，
解得
3
8
，所以
3
|
|
|
| 2
4
AM
AS
.
故答案为：3
4
【变式训练27】如图所示，在六棱锥P
ABCDEF
中，PA 平面ABCDEF ，六边形ABCDEF 是边
长为3 的正六边形，
6,
PA
M
是PE 上靠近点E 的三等分点．
(1)证明：DE 平面PAE ；
(2)求线DM 与平面PBC 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
57
38
【详解】（1）因为PA 平面
,
ABCDEF DE 平面ABCDEF ，所以PA
DE
．
因为六边形ABCDEF 是边长为3 的正六边形，所以DE
AE
．
又
,
PA
AE
A PA
∩
平面
,
PAE AE 平面PAE ，故DE 平面PAE ．
（2）以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AE 所在的直线为y 轴，以PA 所在的直线为
z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则
0,0,6
P
，
3,0,0
B
，
0,3 3,0
E
，
0,2 3,2
M
，
3,3 3,0
D
，
9 3 3
,
,0
2
2
C
，
3, 3, 2
MD
．
306
2026 年高二暑假讲义A 版
设平面PBC 的一个法向量为
, ,
n
x y z
r
，由于
3 3 3
,
,0 ,
3,0, 6
2
2
BC
PB
，
所以
3
3 3
0
2
2
3
6
0
n BC
x
y
n PB
x
z
，令
2
x ，得
2 3
3
1
y
z
，
即平面PBC 的一个法向量为
2 3
2,
, 1
3
n
，
所以直线DM 和平面PBC 所成角的正弦值为
2
2
2
2
2
2
2 3
3
2
3
2 1
3
57
sin
cos
,
38
2 3
3
( 3)
( 2)
( 2)
( 1)
3
MD n
MD n
MD
n
例13、在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，若
1
1
1
3
B P
B C
，则平面
1A BP 与平面
1
1
A B P 夹角的
余弦值（
）
A．
2
3
B．
3
4
C．
2
5
D．
3
6
【答案】D
【详解】在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，建立如图所示的空间直角坐标系，
1
1
(2,0,0),
(2,2,0),
(2,2,2)
A
B
B
，由
1
1
1
3
B P
B C
，得
4
2
( ,2, )
3
3
P
，
题型13
求二面角及平面与平面所成角
307
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1
1
1
1
2
2
(0,2,0),
(0,2,2),
(
,2,
)
3
3
A B
A B
A P
，
设平面
1A BP 的法向量
( , , )
n
x y z
，则
1
1
2
2
0
2
2
2
0
3
3
n A B
y
z
n A P
x
y
z
，令
1
y ，得
(2,1, 1)
n
，
设平面
1
1
A B P 的法向量
( , , )
m
a b c
，则
1
1
1
2
0
2
2
2
0
3
3
n A B
b
n A P
a
b
c
，令
1
a ，得
(1,0,1)
m
，
所以平面
1A BP 与平面
1
1
A B P 夹角的余弦值
|
|
1
3
| cos
,
|
6
|
||
|
2
6
m n
m n
m n
.
故选：D
【变式训练28】如图所示，AE 平面ABCD ，四边形AEFB 为矩形，
BC ∥
,
,
2
2
4
AD BA
AD AE
AD
AB
BC
.
(1)求证：CF ∥平面ADE ；
(2)求平面CDF 与平面AEFB 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
5
3
【详解】（1）证明：∵四边形ABEF 为矩形，
BF
∥AE .
又BF 平面
,
ADE AE 平面
,
ADE
BF
∥平面ADE .
又BC ∥AD ，BC 平面ADE ，AD 平面ADE ，
∴BC ∥平面ADE .
又
,
,
BF
BC
B BF BC
平面
,
BCF
平面BCF ∥平面ADE .
又CF 平面
,
BCF
CF
∥平面ADE .
（2）
308
2026 年高二暑假讲义A 版
如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A
xyz
，
则
0,0,0 ,
2,2,0 ,
0,4,0 ,
2,0,4
A
C
D
F
，
0,4,0 ,
2,2,0 ,
0, 2,4
AD
CD
CF
.
设
, ,
n
x y z
r
是平面CDF 的一个法向量，则
0,
0,
n CD
n CF
即
0
2
0
x
y
y
z
,令
2
y
，解得
2
1
x
z
,
所以平面CDF 的一个法向量
(2,2,1)
n
又AD
是平面AEFB 的一个法向量，
2,2,1
0,4,0
2
cos
,
3
4
4
4 1
n AD
n AD
n
AD
，
平面CDF 与平面AEFB 所成角的正弦值为
2
2
5
1
3
3
.
【变式训练29】如图在四棱锥P
ABCD
中，
,
//
AB
AD AD BC
，
2
2
2
6
AD
AB
BC
AP
，
且底面ABCD 为直角梯形，PA 平面ABCD ，
,
E F 分别为线段
,
PD PC 上靠近点P 的三等分点.
(1)证明:
EF
平面APC ；
(2)求平面AEF 与平面ADC 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
5
5
【详解】（1）因ABCD 为直角梯形，AB
AD
，
//
AD BC ，
2
2
2
6
AD
AB
BC
AP
，
则
3 2
AC
CD
，则
2
2
2
AC
CD
AD
，即AC
CD
，
309
2026 年高二暑假讲义A 版
因PA 平面ABCD ，CD 平面ABCD ，则PA
CD
，
又
,
,
PA
AC
A PA AC
平面PAC ，则CD 平面PAC ，
因
,
E F 分别为线段
,
PD PC 上靠近点P 的三等分点，则
//
EF CD ，
则
EF
平面APC ；
（2）以A 为原点，
,
,
AB AD AP
为基底建立空间直角坐标系，
则
0,0,0 ,
3,3,0 ,
0,6,0 ,
0,0,3 2 ,
0,2,2 2
A
C
D
P
E
，
则
0,2,2 2 ,
3, 3,0
AE
DC
，由
//
EF CD ，可设
3 , 3 ,0
EF
kDC
k
k
，
设平面AEF 的一个法向量为
, ,
m
x y z
，
则
2
2 2
0
3
3
0
AE m
y
z
EF m
kx
ky
，令
1
z ，则
2
x
y
，则
2,
2, 1
m
，
由题意可知平面ADC 的一个法向量为
0,0,3 2
AP
，
则
3 2
5
cos
,
5
3 2
5
AP m
AP m
AP
m
，
故平面AEF 与平面ADC 夹角的余弦值为
5
5
.
【变式训练30】如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，侧面
1
1
A ACC 为菱形，
1
60
A AC
，底面ABC 为
等边三角形，平面
1
1
A ACC ⊥平面ABC ，点
,
D E 分别是
1
1
1
1
,
A B AC 的中点.
(1)证明：平面DEC 平面ABC ；
(2)若
2
AB
，点F 在直线
1
CC 上，且平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为
17
17
，求线段CF 的
310
2026 年高二暑假讲义A 版
长.
【答案】(1)证明见解析；(2) 2
3 或2
【详解】（1）如图，取AC 的中点O ，连接
1AO ，因为侧面
1
1
A ACC 为菱形，
1
60
A AC
，
所以
1AO
AC
.又因为平面
1
1
A ACC ⊥平面ABC ，
平面
1
1
A ACC 平面ABC
AC
，
1AO 平面
1
1
A ACC ，所以
1AO 平面ABC .
又因为E 是
1
1
AC 的中点，所以四边形
1AOCE 为平行四边形，所以
1 //
AO CE ，所以CE 平面ABC .
又CE 平面DEC ，所以平面DEC 平面ABC .
（2）连接OB ，因为
ABC
V
为等边三角形，则OB
OC
.
所以
1
,
,
OB OC OA 两两垂直.则以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB=2，所以
1
3
OB
OA
.
故
(0,0,0), ( 3,0,0)
O
B
，
1
1
(0,0, 3),
(0,1,0),
(0,1, 3),
(0,2, 3)
A
C
E
C
.
设
1
CF
CC
，则
1
(0,1,0)
(0, , 3 )
(0,1
, 3 )
OF
OC
CC
，
即
(0,1
, 3 )
F
.
(0, , 3
3)
EF
，
1
1
1
1
3 1
(
,
,0)
2
2
2
2
DE
B C
BC
又
.
设平面DEF 的一个法向量为
( , , )
m
x y z
，
311
2026 年高二暑假讲义A 版
则
·
0
·
0
m DE
m EF
，则
3
0
3
3
0
x
y
y
z
，取z
，则
3
3
y
，
1
x
.
故平面DEF 的一个法向量为
1
, 3
3 ,
m
.
又由（1）可知平面ABC 的一个法向量为
0,0,1
n
，
由题意可得
17
cos
,
17
m n
，即
2
2
2
17
17
1
3 1
m n
m n
.
解得
1
1
3
或
.又
1
|
|
| 2
|
|
|
CF
CC
，所以，线段CF 的长为2
3 或2.
例14、图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为矩形，PD 底面ABCD ，
2
DP
DC
，
1
AD BP
．
(1)求线段AD 的长；
(2)线段AD 上是否存在点E ，使得平面PEB 与平面PAD 夹角的余弦值为
2
6
？若存在，求出DE
DA 的
值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
1
AD ；(2)存在，
1
2
DE
DA
【详解】（1）以D 为坐标原点，
,
,
DA DC DP
正方向为, ,
x y z 轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
设
0
AD
t t
，则
,0,0
A t
，
0,0,0
D
，
,2,0
B t
，
0,0,2
P
，
题型14
空间角中的探索性问题
312
2026 年高二暑假讲义A 版
,0,0
AD
t
，
, 2,2
BP
t
，
2
1
AD BP
t
，
1
t
，即
1
AD .
（2）设
,0,0
0
1
E a
a
，则
1
,2,0
EB
a
，
1, 2,2
BP
，
设平面PEB 的法向量
, ,
n
x y z
，
1
2
0
2
2
0
EB n
a x
y
BP n
x
y
z
，令
1
y
a
，则
2
x
，z
a
，
2,
1,
n
a
a
；
y
∵
轴平面PAD ，平面PAD 的一个法向量
0,1,0
m
，
2
2
1
2
cos
,
6
4
1
m n
a
m n
m
n
a
a
，即
2
16
34
13
0
a
a
，
解得：
1
2
a
或
13
8
a
（舍），即
1
2
DE
，
当
1
2
DE
DA
时，平面PBE 与平面PAD 夹角的余弦值为
2
6
.
【变式训练31】如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
5
AB
AC
，
2
BC
，侧面
1
1
BB C C 是正方形，
D 为BC 的中点，二面角
1
A
BC
B
的大小是2π
3 ．
(1)求证：平面
1
AA D 平面ABC ；
(2)线段BC 上是否存在一个点E ，使直线
1
C E 与平面
1
1
ACC A 所成角的正弦值为3 3
10
．若存在，求出
BE 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，1
2
【详解】（1）因
1
1
BB C C 是正方形，则
1
BC
BB
,因
1
1
/ /
BB
AA ,故
1
BC
AA
.
由
,
AB
AC CD
DB
,则AD
BC
.因
1
AA
AD
A
,则
BC
平面
1
AA D ，
又
BC
平面ABC ,故平面
1
AA D 平面ABC .
（2）
313
2026 年高二暑假讲义A 版
如图，取
1
1
C B 的中点M ，连接DM ,易得DM
CB
,因AD
BC
，
故
ADM
∠
即二面角
1
A
BC
B
的平面角，即
2π
3
ADM
，
易得
1
π
3
A AO
,取AD 中点O，连接
1
OA ,过点O作
/ /
OF
BC ,交AB 于F ，
因
2
2
1
( 5)
1
2
AD
AA
,故得正三角形
1
AA D ，则
1AO
AD
,
由（1）得平面
1
AA D 平面ABC ，且平面
1
AA D ∩平面ABC
AD
，
1AO 平面
1
AA D ，
故得
1AO 平面ABC .
因此可分别以
1
,
,
OF OD OA
为, ,
x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
则
1
1
0, 1,0 ,
0,0, 3 ,
1,1,0 ,
1,1,0 ,
1,2, 3
A
A
B
C
C
,
依题意，设
( 2,0,0)
( 2 ,0,0)
BE
tBC
t
t
,
[0,1]
t
，
则
1
1
( 2 ,0,0)
( 2,1, 3)
(2
2 , 1,
3)
C E
BE
BC
t
t
，
因
1
(0,1, 3),
( 1,2,0)
AA
AC
，设平面
1
1
ACC A 的法向量为
( , , )
n
x y z
，
则
1
3
0
2
0
n AA
y
z
n AC
x
y
，故可取
(2 3, 3, 1)
n
.
设直线
1
C E 与平面
1
1
ACC A 所成的角为，
则
1
2
2
1
|
|
| 4
0
3
4 3 |
3 |
1|
sin
|
| |
|
4 4
8
8
4
8
3 3
1
8
n C E
t
t
n
C E
t
t
t
t
，解得
1
4
t
或
7
4
t
，
因
[0,1]
t
，故
1
4
t
，即
1
1
4
2
BE
BC
,
故当点E 是BC 的一个四等分点（靠近点B ）时，直线
1
C E 与平面
1
1
ACC A 所成角的正弦值为3 3
10
,此
时
1 .
2
BE
【变式训练32】如图，在四棱锥S
ABCD
中，四边形ABCD 是矩形，SAD
是正三角形，且平面SAD
314
2026 年高二暑假讲义A 版
平面ABCD ，
1
AB ，P 为棱AD 的中点，四棱锥S
ABCD
的体积为2 3
3
.
(1)若E 为棱SB 的中点，求证：PE / / 平面SCD ；
(2)在棱SA上是否存在点M ，使得直线SA与平面PMB 所成角的正弦值为
21
7
？若存在，求出点M 的
位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M ，位于AS 的中点处，证明见解析
【详解】（1）取SC 中点F ，连接
,
EF FD ，
∵
,
E F 分别为
,
SB SC 的中点，
EF
/ / BC ，
1
2
EF
BC
，
∵底面四边形ABCD 是矩形，P 为棱AD 的中点，
PD
/ / BC ，
1
2
PD
BC
，
EF
/ / PD ，EF
PD
，
故四边形PEFD 是平行四边形，所以PE / / FD .
又
FD
∵
平面SCD ，PE 平面SCD ，
∴PE / / 平面SCD .
（2）假设在棱SA上存在点M 满足题意，
在等边SAD
中，P 为AD 的中点，所以SP
AD
，
又平面SAD 平面ABCD ，平面SAD 平面
,
ABCD
AD SP
平面SAD ，
SP
平面ABCD ，则SP 是四棱锥S
ABCD
的高.
设
(
0)
AD
m m
，则
3
2
SP
m
，矩形ABCD 的面积
1S
m
315
2026 年高二暑假讲义A 版
1
1
1
3
2 3
3
3
2
3
S
ABCD
V
S
SP
m
m
，所以
2
m
.
以点P 为原点，
,
PA PS
的方向分别为,x z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
0,0,0 ,
1,0,0 ,
1,1,0 ,
0,0, 3
P
A
B
S
，
故
1,0,0 ,
1,1,0 ,
1,0, 3
PA
PB
AS
.
设
,0, 3
0
1
AM
AS
，
1
,0, 3
PM
PA
AM
，
设平面PMB的一个法向量为
, ,
n
x y z
r
，
则
1
3
0
0
n PM
x
z
n PB
x
y
，令
3
x
得
3
y
，
1
z
，
3 ,
3 ,
1
n
.
由题意可得
2
2
2
2
3
3
1
3
21
cos
,
7
2 3
3
(
1)
2 7
2
1
AS n
AS n
AS
n
，
整理得
2
28
8
3
0
，解得
1
2
或
3
14
，又因为0
1
≤
≤，所以
1
2
，
故存在点M ，位于AS 的中点处满足题意.
例15、在平行四边形ABCD 中（图1），
2
2
AB
BC
，M 为AB 的中点，将等边
ADM
△
沿DM 折
起，连接
,
AB AC ，且
2
AC
（图2）．
题型15
空间几何体中的翻折问题
316
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)求证：CM 平面ADM ；
(2) P 为线段AC 上的动点（不含端点），DP 能否与平面ABM 平行？说明理由；
(3)求直线AD 与平面ABM 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)不可能，理由见解析；(3)
15
5
【详解】（1）连接CM ，因为
2
2
AB
BC
，M 为AB 的中点，
ADM
△
是等边三角形，
则
1
DM
AM
AD
，
则在CBM
中，因为
1
BC
BM
，
2π
3
CBM
，
所以
2
2
1
1
1
2 1 1
3
2
CM
．
在
CMD
△
中，因为
2
2
2
DM
CM
CD
，所以DM
CM
，
同理可得CM
AM
，
又AM
DM
M
∩
，
,
AM DM
ADM
平面
，
故CM 平面ADM ．
（2）DP 不可能与平面ABM 平行，理由如下：
假设
/ /
DP
平面ABM ，
又因为
,
DC
MB DC
/ /
平面
,
ABM MB 平面ABM ．
所以
/ /
DC
平面ABM ．
因为
,
DC
DP
D DC
∩
平面
,
ADC DP 平面ADC ，
从而有平面
/ /
ADC
平面ABM ，这显然不成立，
所以DP 不可能与平面ABM 平行．
（3）设H 为DM 的中点，则AH
DM
．
因为CM 平面
,
ADM CM 平面BCDM ，
所以平面ADM 平面BCDM ．
又平面ADM ∩平面
,
BCDM
DM AH
平面ADM ，所以AH 平面BCDM ．
以点M 为坐标原点，MD 方向为x 轴正方向，MC 方向为y 轴正方向，
过点M 且平行于AH 的直线向上方向为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
1
3
1
1
3
0,0,0 ,
1,0,0 ,
0, 3,0 ,
,
,0 ,
,0,0 ,
,0,
2
2
2
2
2
M
D
C
B
H
A
，
317
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
1
3
,0,
2
2
AD
．
设平面ABM 的法向量为
1
1
1
,
,
m
x y z
r
，
因为
3
3
1
3
1,
,
,
,0,
2
2
2
2
AB
AM
，
所以
1
1
1
1
1
3
3
0
2
2
1
3
0
2
2
m AB
x
y
z
m AM
x
z
，
取
1
3
x
，则
1
1
1,
1
y
z
，所以
3,1, 1
m
，
设直线AD 与平面ABM 所成角为，
则
3
15
sin
cos
,
5
1
5
AD m
AD m
AD
m
．
【变式训练33】如图，在边长为3 的正方形ABCD 中，,
E F 分别在边
,
AD CD 上，
1,
AE
AC
EF
∥
，
将DEF
沿EF 翻折，使得点D 与点P 重合，且平面PEF 平面ABCFE ，
(1)证明：AC ∥平面PEF 且
10
PB
.
(2)求平面PAB 与平面PCF 的夹角.
【答案】(1)证明见解析；(2) π
2
【详解】（1）证明：因为AC ∥
,
EF EF 平面
,
PEF AC 平面PEF ，所以AC ∥平面PEF .
取EF 的中点H ，连接
,
PH BH .
318
2026 年高二暑假讲义A 版
因为AC ∥
,
EF AD
CD
，所以DE
DF
，则PE
PF
，所以PH
EF
.
又平面PEF 平面ABCFE ，平面PEF ∩平面ABCFE
EF
，所以PH 平面ABCFE ，所以PH
BH
.
因为
1,
3
AE
AD
，所以
2
PE
DE
，
所以
2,
3 2
2
2 2
PH
BH
，
所以
2
2
10
PB
PH
BH
.
（2）以B 为坐标原点，
,
BC BA
的方向分别为x 轴､y 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则
0,0,0 ,
0,3,0 ,
3,0,0 ,
3,1,0 ,
2,2,
2 ,
B
A
C
F
P
所以
0,3,0 ,
2,2,
2 ,
0,1,0 ,
1, 1,
2
BA
BP
CF
PF
.
设平面PAB 的法向量为
1
, ,
n
x y z
，则
1
1
0
0
BA n
BP n
，
即
3
0,
2
2
2
0,
y
x
y
z
令
1
x ，得
1
1,0,
2
n
.
设平面PCF 的法向量为
2
,
,
n
x y z
，则
2
2
0
0
CF n
PF n
，
即
0,
2
0,
y
x
y
z
令
2
x
，得
2
2,0,1
n
.
由
1
2
2
0
2
0
n n
，得
1
2
n
n
，
所以平面PAB 与平面PCF 的夹角为π
2 .
【变式训练34】如图，在矩形ABCD 中，
3
AB ，
2
AD
，2AE
EB
，将
ADE
V
沿DE 翻折得到
四棱锥A
BCDE
，且二面角C
A E
D
为直二面角.
319
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)证明：EC 平面A EC
；
(2)求二面角B
A D
E
的正切值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 2 6
5
【详解】（1）∵A D
A E
，平面A DE
I 平面A EC
A E
，
又二面角C
A E
D
为直二面角，则平面A DE
平面A EC
，
∴A D
平面A EC
，
∵EC 平面A EC
，
∴A D
EC
，
∵
2
AD
，
3
AB ，2AE
EB
，则
1
AE ，
2
BE
，
2
BC
，
则
3,
6
DE
EC
，
由勾股定理得DE
EC
，
∵DE 平面A DE
¢
，A D
平面A DE
¢
，DE
A D
D
，
∴EC 平面A DE
¢
.
（2）解法一：设EC 交BD 于F 点，连接A F
，
由（1）得
EF
平面A DE
，
A E
∵
平面A DE
，
EF
A E
，
∵A D
平面A EC
，
∴A D
A F
，A D
A E
，
设平面A DB
与平面A DE
¢
夹角为，则tan
tan
EA F
，
∵
/ /
CD
BE ，
3
CD
，
2
BE
，
1
A E
，
∴
2
2
2
2
2
6
5
5
5
EF
EC
BC
BE
，
∴
2 6
tan
5
EF
A E
，
∴二面角B
A D
E
的正切值为2
6
5
.
解法二：由（1）知DE
EC
，
320
2026 年高二暑假讲义A 版
以E 为坐标原点，EC
的方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系E
xyz
.
由题设及（1）得，
3
6
0,
,
3
3
A
，
2 6
2 3
,
,0
3
3
B
，
6,0,0
C
，
0, 3,0
D
，
平面A DE
¢
的一个法向量为
6,0,0
EC
，
2 3
6
0,
,
3
3
A D
，
2 6 5 3
,
,0
3
3
BD
，
设平面A DB
的一个法向量为
, ,
n
x y z
，
由
0
0
n A D
n BD
得
2 3
6
0
3
3
2 6
5 3
0
3
3
y
z
x
y
，令
2 2
y
，得
5,2 2,4
n
，
设二面角B
A D
E
的大小为，则
5 6
5
cos
7
6
7
n EC
n
EC
，
∴二面角B
A D
E
的正弦值为
2
2 6
sin
1 cos
7
，
∴二面角B
A D
E
的正切值为sin
2 6
cos
5
.
一、单选题
1、①零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；
②若a
是直线l 的方向向量，则
a
R
也是直线l 的方向向量；
③在空间直角坐标系中，
0,0,1
k
是坐标平面xOy 的一个法向量；
④若直线l 平面，则直线l 的方向向量垂直于平面的法向量．
以上四个命题中，正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【答案】B
【详解】直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量，①正确；
321
2026 年高二暑假讲义A 版
当
0
时，a
是零向量，不是直线l 的方向向量，②错误；
由坐标平面xOy 与z 轴垂直，故
0,0,1
k
是该平面的一个法向量，③正确；
若直线l 平面，结合法向量的定义，直线l 的方向向量平行于平面的法向量，④错误．
故选：B
2、已知
1
2
3
,
,
e e e
为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为
1
2
3
3
a
e
e
e
和
1
2
3
2
b
e
e
e
，若
∥
，则
（
）
A．5
B．5
C．3
D．3
【答案】B
【详解】因为
∥
，所以a
b
∥，从而设a
tb
，即
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
2
2
e
e
e
e
e
e
e
t
e
t
t
t
e
，
由于
1
2
3
,
,
e e e
为空间内三个不共面的向量，
所以
1,
2
,
3,
t
t
t
解得
1,
2,
3,
t
所以
5
．
故选：B
3、已知点
1,2, 1
A
，
2,1, 1
B
，
1,2,0
C
，则平面ABC 的法向量n是（
）
A．
1,1,2
B．
1, 1,2
C．
2,1,1
D．
1,2,1
【答案】A
【详解】由已知得
1, 1,0
AB
，
2,0,1
AC
．设
, ,
n
x y z
，
则
0,
0,
n AB
n AC
即
0,
2
0,
x
y
x
z
令
1
x ，则
1
y ，
2
z
，所以
1,1,2
n
．
故选：A.
4、如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，若点M 为AB 的中点，
1
1
3
CN
CC
，则
1
DB 与MN
所成角的余弦值为（
）
322
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
3
21
B．
5
21
C．
3
14
D．
5
14
【答案】A
【详解】以D 为原点，分别以DA，DC，
1
DD 所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
则
1(1,1,1)
B
，
1
0,1, 3
N
，
1
1,
,0
2
M
，
1 1
1,
,
2 3
MN
，
1
(1,1,1)
DB
．
则
1
1
1
3
cos
,
21
DB MN
DB MN
DB MN
，故
1
DB 与MN 所成角的余弦值为
3
21
．
故选：A.
5、已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，M 为棱
1
1
A D 的中点，G 为侧面
1
1
CDD C 的中心，点P，Q
分别为直线AD，AB 上的动点，且PG
MQ
，当|
|
PQ 取得最小值时，点Q 到平面PMG 的距离为
（
）
A．
6
2
B．
5
2
C．1
D．
3
2
【答案】A
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则
1 ,0,1
2
M
，
1 1
0,
,
2 2
G
，
设
( ,0,0)
P x
，
(1, ,0)
Q
y
，所以
1 1
, 2 2
PG
x
，
1 , , 1
2
MQ
y
，
因为PG
MQ
，所以
1
1
1
0
2
2
2
PG MQ
x
y
，即
1
0
x
y
，
所以
1
y
x
，又
(1
,
1,0)
PQ
x x
，
所以
2
2
2
|
|
(1
)
(1
)
2
2
2
PQ
x
x
x
，
当且仅当
0
x
时取等号，此时
1
y ，
所以
1 1
0,
,
2 2
PG
，
1 ,1, 1
2
MQ
，
1 ,0,1
2
PM
，
323
2026 年高二暑假讲义A 版
设平面PMG 的法向量为
( , , )
m
a b c
，所以
1
1
0
2
2
1
0
2
m PG
b
c
m PM
a
c
，取
(2,1, 1)
m
，
所以当|
|
PQ 取得最小值时，点Q 到平面PMG 的距离
|
|
3
6
|
|
2
6
m MQ
d
m
.
故选：A
二、多选题
6、下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（
）
A．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是
2,3, 1
a
，
2, 3,1
b
，则1
2
l
l
∥
B．直线l 的方向向量
1 1 2
a
,
,
，平面的法向量是
6,4, 1
u
，则l
C．两个不同的平面，的法向量分别是
2,2, 1
u
，
3,4,2
v
，则
D．直线l 的方向向量
0,3,0
a
，平面的法向量是
0, 5,0
u
，则l
∥
【答案】AC
【详解】对于A，因为a
b
，所以直线1l ，2l 的方向向量共线，故1
2
l
l
// ，故A 正确；
对于B，因为
(1, 1,2),
6,4, 1
a
u
，所以,a u
不共线，故l
不成立，故B 错误；
对于C，因为
6
8
2
0
u v
，所以u
v
，故
，故C 正确；
对于D，因为
0,3,0 ,
0, 5,0
a
u
，所以,a u
共线，所以l
，故D 错误；
故选：AC．
7、直线l 的方向向量为a
，两个平面、的法向量分别为n
、m
，则下列命题为真命题的是（
）
A．若a
n
，则直线//
l
平面
B．若//
a n
，则直线l 平面
324
2026 年高二暑假讲义A 版
C．若
1
cos
,
2
a n
，则直线l 与平面所成角的大小为π
6
D．若
3
cos
,
2
m n
，则平面、所成夹角的大小为π
6
【答案】BCD
【详解】对于A，若a
n
，则/ /
l
或l
，A 错；
对于B，若//
a n
，则l
，B 对；
对于C，若
1
cos
,
2
a n
，则直线l 与平面所成角的大小为π
6 ，C 对；
对于D，若
3
cos
,
2
m n
，则平面、所成夹角的大小为π
6 ，D 对.
故选：BCD.
8、已知棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E，M，N 分别为
1
1
A B ，AD ，
1
CC 的中点，则下列
说法中正确的是（
）
A．
//
AC
平面EMN
B．直线AC 与直线
1A D的距离为2 3
3
C．点A 到平面EMN 的距离为
3
3
D．AC 到平面EMN 的距离为
2
2
【答案】ABC
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则
2,0,0 ,
0,2,0 ,
2,1,2 ,
1,0,0 ,
0,2,1
A
C
E
M
N
，
所以
1,1,2 ,
1,2,1
ME
MN
，
2,2,0
AC
，
设平面EMN 的法向量为
, ,
m
x y z
，
则
2
0
2
0
m ME
x
y
z
m MN
x
y
z
，令
1
x ，可得
1,1, 1
m
，
所以
0
AC m
，即AC
m
，
又因为AC 平面EMN ，所以
/ /
AC
平面EMN ，故A 正确；
325
2026 年高二暑假讲义A 版
由已证可知，点A 到平面EMN 的距离即为直线AC 到平面EMN 的距离，
因为
1,0,0
MA
所以点A 到平面EMN 的距离为
1
3
3
3
MA m
m
，
即直线AC 与平面EMN 之间的距离为
3
3
，故C 正确，D 错误；
因为
1
2, 2,0 ,
2,0,2
CA
DA
，
设
1
,
n CA n
DA
⊥
⊥
，
, ,
n
a b c
，
则
1
2
2
0
2
2
0
n CA
a
b
n DA
a
c
，令
1
a ，则
1,1, 1
n
，
又因为
1
0,0,2
AA
，
所以直线AC 与直线
1A D 的距离为
1
2
2 3
3
3
AA
n
n
，故B 正确.
故选：ABC
三、填空题
9、已知正四棱柱ABCD
1
1
1
1
D
C
B
A
，
1
AB ，
1
2
AA
，点E 为
1
CC 中点，则点
1
D 到平面BDE 的距
离为
．
【答案】2 3
3
/ 2
3
3
【详解】法1，在正四棱柱ABCD
1
1
1
1
D
C
B
A
中，以点D 为原点，建立空间直角坐标系D
xyz
，如
图：
1
0,0,0 ,
1,1,0 ,
0,0,2 ,
0,1,1
D
B
D
E
，
则
(1,1,0),
(0,1,1)
DB
DE
，
1
(0,0,2)
DD
，
326
2026 年高二暑假讲义A 版
设平面BDE 的法向量为
, ,
n
x y z
，
则
0
0
n DB
x
y
n DE
y
z
，故可取
1, 1,1
n
，
则点
1
D 到平面BDE 的距离
1
2
2 3
3
3
DD n
d
n
.
法2，在正四棱柱ABCD
1
1
1
1
D
C
B
A
中，连接
1
D E ，
1
BD ，
由点E 为
1
CC 中点，得
2
BD
DE
BE
，则
2
3
( 2)
4
BDE
S
3
2
，
1
1
2
DD E
S
2 1
1
，由
BC
平面
1
1
DCC D ，得
1
1
1
1
3
3
B D DE
DD E
V
S
BC
，
设点
1
D 到平面BDE 的距离为d ，则
1
1
3
3
6
D
BDE
BDE
V
S
d
d
，
由
1
1
D
BDE
B D DE
V
V
，得
3
1
6
3
d
，解得
2 3
3
d
，
所以点
1
D 到平面BDE 的距离为2 3
3
.
故答案为：2 3
3
.
10、在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，设
1
1
0
1
B P
B C
，若二面角
1
1
B
A P
B
的平面角的正弦
值为
33
6
，则实数的值为
．
【答案】1
3 或5
7
【详解】建立空间直角坐标系如图所示，
327
2026 年高二暑假讲义A 版
设棱长为1，
1
1
(0,0,0),
(0,0,1),
(1,0,0),
(1,0,1),
(1,1,0)
A
A
B
B
C
,
则
1
0,1, 1 ,
B C
1
1
1
1,0,0 ,
1,0, 1
A B
A B
，
1
1
1
1
(1,0,0)
(0,1
1
,
, ,
1)
A
P
P
A B
B
，
设平面
1
BA P ，平面
1
1
B A P 的一个法向量分别为
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,
,
a
x y z
b
x
y z
，
所以
1
1
0
0
a A B
a A P
，
1
1
1
0
0
b A B
b A P
，即
1
1
1
1
1
0
0
x
z
x
y
z
，
2
2
2
2
0
0
x
x
y
z
，
分别令
1
2
1,
1
z
z
，则
1
1
2
2
1
1,
1
,
0,
1
x
y
x
y
，
故
1
1,1
,1 ,
0,1,1
a
b
，
设二面角
1
1
B
A P
B
的平面角为，
由
33
sin
6
，则
3
cos
6
，
故由
2
1
2
3
cos
6
1
2
2
1
a b
a
b
，
解得
1
3
或
5
7
.
四、解答题
11、如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD ，AB
AD
，记平面PAB 平面PCD
l
，/ /
l
平面ABCD ．
328
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)证明：
/ /
AB
CD ．
(2)证明：平面PAB 平面PAD ．
(3)已知
3,
2
PA
AD
AB
CD
，求直线BC 与直线PD 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 3 5
10
【详解】（1）证明：由平面PAB 平面PCD
l
，/ /
l
平面ABCD ，
因为l 平面PAB ，且平面PAB 平面ABCD
AB
，所以/ /
l
AB ，
又因为l 平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD
CD
，所以/ /
l
CD ，
所以
/ /
AB
CD .
（2）证明：因为PA 平面ABCD ，且AB 平面ABCD ，所以AB
PA
，
又因为AB
AD
，且AD
PA
A
，
,
AD PA 平面PAD ，所以AB 平面PAD ，
因为AB 平面PAB ，所以平面PAB 平面PAD .
（3）解：因为PA 平面ABCD ，且
,
AD AB 平面ABCD ，所以
,
PA
AB PA
AD
，
又因为AB
AD
，以A 为原点，以
,
,
AB AD AP所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为
3,
2
PA
AD
AB
CD
且
/ /
AB
CD ，
可得
(3,0,0),
(2,3,0),
(0,0,3),
(0,3,0)
B
C
P
D
，则
( 1,3,0),
(0,3, 3)
BC
PD
设直线BC 与直线PD 所成角为，
可得
1 0
3 3
0
3
3 5
cos
cos
,
10
10
3 2
BC PD
BC PD
BC PD
，
即直线BC 与直线PD 所成角的余弦值3 5
10
.
329
2026 年高二暑假讲义A 版
12、如图，在圆锥CO中，平面ABC 是轴截面，D 为底面圆周上一点（与
,
A B 不重合），E 为AD 的
中点．
(1)求证：AD 平面COE ；
(2)若
π
4,
3,
6
AB
CO
DAB
，求平面COE 与平面CBD 的夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析；(2) π
6
【详解】（1）在圆锥CO中，OC 平面ABD ，AD 平面ABD ,所以OC
AD
，
因为E 为AD 的中点，OA
OD
，所以OE
AD
，
因为OC
OE
O
Ç
=
，
,
OC OE 平面COE ，所以AD 平面COE ．
（2）在平面ABD 内，过O作OF
AB
交
ADB 于点F ，分别以直线
,
,
AB OF OC 为, ,
x y z 轴建立空间
直角坐标系，如图．
因为
π
4,
6
AB
DAB
，所以
( 2,0,0),
(1, 3,0)
A
D
，
由（1）知平面OCE 的一个法向量为
(3, 3,0)
AD
．
又
(2,0,0),
(0,0,3)
B
C
，所以
(2,0, 3),
(1, 3, 3)
CB
CD
．
设平面CBD 的法向量为
( , , )
n
x y z
，
则
2
3
0,
3
3
0,
n CB
x
z
n CD
x
y
z
取
3
x
，则
(3, 3,2)
n
．
所以
|
|
12
3
| cos
,
|
2
|
||
|
12
16
AD n
n AD
AD n
，
330
2026 年高二暑假讲义A 版
所以平面OCE 与平面CBD 的夹角为π
6 ．
13、如图1，在边长为2 的菱形ABCD 中，
60 ,
BAD
DE
AB
于点E ，将
ADE
V
沿DE 折起到
1A DE
△
的位置，使
1A D
BE
，如图2．
(1)求证：
1A E 平面BCDE ；
(2)求点B 到平面
1ACD 的距离；
(3)在线段BD 上是否存在点P ，使平面
1A EP 平面
1A BD ？若存在，求BP
BD 的值；若不存在，说明理
由．
【答案】(1)证明见解析；(2)
3
2
；(3)存在，
1
4
BP
BD
【详解】（1）证明：
DE
AB
∵
⊥
，
BE
DE
，
又
1
1
,
,
BE
A D DE
A D
D DE
∵
∩
平面
1
1
,
A DE A D 平面
1A DE ，
所以BE 平面
1A DE ，
1A E
∵
平面
1A DE ，
1A E
BE
，
又
1
,
= ,
A E
DE BE
DE E BE
∵
平面
,
BCDE DE 平面BCDE ，
1A E
平面BCDE ；
（2）
1A E
∵
平面
,
BCDE BE
DE
，
∴以E 为原点，分别以
1
,
,
EB ED EA 所在直线为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系，
则
1
1,0,0 ,
0, 3,0 ,
0,0,1
B
D
A
，
2, 3,0
C
，
1
= 2,0,0 ,
= 0,
3,1
DC
DA
，设平面
1ACD 的法向量为
, ,
n
x y z
，
331
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1
2
0
3
0
n DC
x
n DA
y
z
，故可设
0,1, 3
n
.
1, 3,0
BD
，
所以点B 到平面
1ACD 的距离为
3
2
BD n
n
.
（3）存在，理由如下：
假设在线段BD 上存在一点P ，使得平面
1A EP 平面
1A BD ，
设
, ,
,
0
1
P x y z
BP
BD
，
则
1, ,
1, 3,0
x
y z
，
1
, 3 ,0
P
，
1= 0,0,1 ,
= 1
, 3 ,0
EA
EP
，
设平面
1A EP 的法向量
1
1
1
,
,
m
x y z
，
由
1
1
1
1
0
(1
) + 3
0
m EA
z
m EP
x
y
，
得
1
1
1
0
(1
)
3
z
x
y
，
令
1
3
x
，得
3 ,
1,0
m
．
设平面
1A BD 的法向量为
2
2
2
,
,
n
x
y z
，
1
1
1,0, 1 ,
0, 3, 1
A B
A D
，
故
1
2
2
1
2
2
0
3
0
n A B
x
z
n A D
y
z
，
取
2
3
x
，得
3,1, 3
n
．
因为平面
1A EP 平面
1A BD ，
所以
3
1
0
m n
，
解得
1
0,1
4
，
所以在线段BD 上存在点P ，使得平面
1A EP 平面
1A BD ，且
1
4
BP
BD
．
332
2026 年高二暑假讲义A 版
直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴称为基准，x 轴的正向与l 向上的方向之间所
产生的角叫做直线l 的倾斜角．
2、倾斜角的范围
当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为
0
180
，具体如下：
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表
示,即
tan
k
.
倾斜角是90的直线没有斜率,倾斜角不是90的直线都有斜率.
题型1
直线的倾斜角
题型6
斜率公式的应用（三点共线）
题型2
直线的斜率
题型7
斜率公式的几何意义
题型3
直线斜率与直线的方向向量
题型8
两直线的平行关系
题型4
直线的斜率与倾斜角间的变化关系
题型9
两直线的垂直关系
题型5
直线与线段有交点问题
题型10
平行、垂直关系的综合运用
知识点1
直线的倾斜角
知识点2
直线的斜率
333
2026 年高二暑假讲义A 版
倾斜角不同的直线,其斜率也不同.因此,我们可以用斜率表示倾斜角不等于90的直线相对于x 轴的
倾斜程度.
2、倾斜角与斜率的关系
直线的情况
平行于x 轴
由左向右上升
垂直于x 轴
由左向右下降
的大小
0
0
90
90
90
180
k 的取值范围
0
k
0
k
不存在
0
k
k 的增减性
—
k 随的增大而增大
—
k 随的增大而减增大
1、斜率公式：经过两点
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x y
1
2
(
)
x
x
的直线的斜率公式为
2
1
2
1
y
y
k
x
x
．
2、直线的斜率与方向向量的关系
我们知道直线
1
2
PP 上的向量
1 2
PP
以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线
1
2
PP 的方向向量
1 2
PP
的坐标为
2
1
2
1
(
,
)
x
x y
y
．当直线
1
2
PP 与x 轴不垂直时，此时向量
1
2
2
1
1
PP
x
x
也是直线
1 2
PP 的
方向向量，且它的坐标
2
1
2
1
2
1
1
(
,
)
x
x y
y
x
x
，即
2
1
2
1
(1,
)
(1, )
y
y
k
x
x
，其中k 是直线
1 2
PP 的斜率．因
此，若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为( , )
x y ，则斜率为
y
k
x
．
1、设两条不重合的直线l1、l2,斜率存在且分别为
1
2
,
k k ,倾斜角分别为α1、α2,则对应关系如下：
前提条件
1
2
90
1
2
90
对应关系
1
2
1
2
l
l
k
k
‖
1
2
l
l
‖
⇔两直线斜率都不存在
图示
2、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
知识点3
过两点的直线的斜率公式
知识点4
两条直线平行
334
2026 年高二暑假讲义A 版
(1) 1
2
1
2
l
l
k
k
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；②1l 与2l 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90，则1
2
l
l
.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
1
2
1
2
l
l
k
k
或1l ，2l 斜率都不存在.
1、设两条不重合的直线l1、l2,斜率存在且分别为
1
2
,
k k ,倾斜角分别为α1、α2,则对应关系如下：
图示
对应关系
1l 与
2l 的斜率都存在,分别为
1
2
,
k k ,则
1
2
1
2
1
l
l
k k
1l 与2l 中的一条斜率不存在,另一条斜
率为零,则1l 与2l 的位置关系是1
2
l
l
2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1) 1
2
1
2
1
l
l
k
k
成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②
1
0
k
且
2
0
k
.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
1
2
1
2
1
l
l
k
k
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
例1、图中等于直线l 的倾斜角的是（
）
题型1
直线的倾斜角
知识点5
两条直线垂直
335
2026 年高二暑假讲义A 版
A．①④
B．①②
C．①③
D．②④
【答案】C
【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线l 的倾斜角，
图③中的的对顶角为直线l 的倾斜角，
图②中的的补角为直线l 的倾斜角，
图④中的
90
为直线l 的倾斜角.
故符合题意的只有①③.
故选：C
【变式训练1】已知直线l 的倾斜角为，则与l 关于x 轴对称的直线的倾斜角为（
）
A．
B．90
C．180
D．90
【答案】C
【详解】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为180
.
故选：C.
【变式训练2】设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45，
得到直线1l ，那么1l 的倾斜角为（
）
A．
45
B．
135
C．135
D．当0
135
时，倾斜角为
45
；当135
180
时，倾斜角为
135
【答案】D
【详解】根据题意，画出图形，如图所示：
336
2026 年高二暑假讲义A 版
因为0
180
，显然A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意，
通过画图（如图所示）可知：
当0
135
时，1l 的倾斜角为
45
；
当135
180
时，1l 的倾斜角为45
180
135
．
故选：D．
例2、在平面直角坐标系中，直线
1
x 的斜率为（
）
A．0
B．1
C．90
D．不存在
【答案】D
【详解】直线
1
x 垂直于x 垂直，所以直线
1
x 的斜率不存在.
故选：D
【变式训练3】经过
0,1 ,
2,5
A
B
两点的直线的斜率为（
）
A．2
B．2
C．1
2
D．
1
2
【答案】B
【详解】经过
0,1 ,
2,5
A
B
两点的直线的斜率为
5 1
4
2
2
0
2
k
，
故选：B
【变式训练4】已知直线l 的斜率为
3
3
，则直线l 的倾斜角为（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】A
【详解】设倾斜角为，0
π
，则
3
tan
3
，解得
π
6
，故倾斜角为π
6 ，
故选：A.
题型2
直线的斜率
337
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练5】若经过两点
3,
1
A
y
、
2, 1
B
的直线的倾斜角为π
4 ，则y 等于（
）
A．3
B．2
C．0
D．1
【答案】D
【详解】因为经过两点
3,
1
A
y
，
2, 1
B
的直线的倾斜角为4
，
所以直线AB 的斜率
π
tan
1
4
k
所以
1
1
tan
1
4
3
2
y
，解得
1
y .
故选：D.
【变式训练6】设坐标平面内三点
,
3
A m
m
，
2,
1
B
m
，
1,4
C
，直线AC 的斜率等于直线BC
的斜率的三倍，则实数m 的值为
.
【答案】1或2
【详解】由
3
AC
BC
k
k
，得4
3
4
1
3
1
1 2
m
m
m
，即
7
5
1
m
m
m
.
所以
1
5
7
0
m
m
m
，得
2
3
2
0
m
m
，即
1
2
0
m
m
.
1
m 或
2
m
，经验证均符合题意，故m 的值是1或2 .
故答案为：1或2 .
例3、（多选）直线:
4
0
l x
y
的一个方向向量（
）
A．(1,1)
B．( 1, 1)
C．(1, 1)
D．( 1,1)
【答案】CD
【详解】由直线方程可得直线斜率
1
k ，故直线的一个方向向量为(1, 1)
.
由向量( 1,1)
与向量(1, 1)
平行，可知( 1,1)
也是直线的方向向量.
故选：CD.
【变式训练7】已知直线l 的倾斜角为60，方向向量
3,
a
y
．则y （
）
A．3 3
B．
3
C．3
2
D．3 3
2
【答案】A
【详解】直线l 的倾斜角为60，所以
tan 60
3
k
，
题型3
直线斜率与直线的方向向量
338
2026 年高二暑假讲义A 版
方向向量
3,
a
y
，则
3
3
y
，
3 3
y
.
故选：A.
【变式训练8】已知点
1,2 3
A
，
4, 3
B
，若AB
是直线l 的方向向量，则直线l 的倾斜角为（
）
A．150
B．120
C．60
D．30
【答案】A
【详解】已知点
1,2 3
A
，
4, 3
B
，则
3,
3
AB
，
斜率
3
tan
3
k
，又直线l 的倾斜角
0 ,180°
，
则直线l 的倾斜角
150
.
故选：A.
例4、下列说法正确的是（
）
①直线的倾斜角的取值范围是
0, π ；
②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
③直线的倾斜角越大，其斜率就越大.
A．①
B．②③
C．①③
D．①②
【答案】D
【详解】对于①，直线的倾斜角的范围为
0, π ，①正确；
对于②，平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90时没有斜率，②正确；
对于③，倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，③错误.
故选：D.
【变式训练9】如图中的直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为
1k ，
2k ，
3k ，则（
）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
3
1
2
k
k
k
C．
3
2
1
k
k
k
D．
1
3
2
k
k
k
题型4
直线的斜率与倾斜角间的变化关系
339
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】设直线1
2
,l l , 3l 的倾斜角为
1
2
3
,
,
，由图可知
3
2
1
0
0
9
180
，所以
1
2
3
tan
0 tan
tan
0
,
，即
3
2
0
k
k
，
1
0
k
，所以
1
3
2
k
k
k
．
故选：D
【变式训练10】已知直线l 的倾斜角满足60
135
，则l 的斜率k 的取值范围是（
）
A．[ 1, 3)
B．[
3,1]
C．(
, 1]
( 3,
)
D．(
,
3]
( 1,
)
【答案】C
【详解】当
60
时，
tan 60
3
k
.
当
135
时,
tan135
1
k
.
因为
tan
y
在[60 ,90 )
上单调递增，在(90 ,135 ]
上也单调递增.
当60
90
时，
tan
tan 60
3
k
；
当90
135
时，
tan
tan135
1
k
.
所以k 的取值范围是(
, 1]
[ 3,
)
.
故选：C.
【变式训练11】已知直线l 的斜率
1, 3
k
，则l 的倾斜角的取值范围为（
）
A．π 3π
,
3
4
B．π 3π
,
6
4
C．
π
3π
0,
,π
3
4
D．
π
3π
0,
,π
6
4
【答案】C
【详解】设l 的倾斜角为，则
0,π
，且
tan
1, 3
k
，
如图，由正切函数的性质知
π
3π
0,
,π
3
4
.
故选：C.
340
2026 年高二暑假讲义A 版
例5、已知点
2,0
A
，
0,4
B
，若过
6, 8
P
的直线l 与线段AB 相交，则直线斜率k 的取值范围
为（
）
A．
1
k
B．
2
k
C．
2
k
或
1
k
D．1
2
k
【答案】D
【详解】根据题意，
2,0
A
，
0,4
B
，
6, 8
P
，
则
8
0
1
6
2
PA
k
，
8
4
2
6
0
PB
k
，
结合图象可得直线的斜率k 的取值范围是1
2
k
.
故选：D.
【变式训练12】已知点
(1,2)
P
，经过点P 作直线l，若直线l 与连接
(9,1)
A
，
(5,8)
B
两点的线段（含
端点）总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为（
）
A．1 3
,
8 2
B．
1 3
,
8 2
C．
1
,
8
D．
1
3
,
,
8
2
【答案】B
【详解】由题意作图如下：
设直线AP 的斜率为
AP
k
，直线BP 的斜率为
BP
k
，直线l 的斜率为
lk ，
题型5
直线与线段有交点问题
341
2026 年高二暑假讲义A 版
由图可知
AP
l
BP
k
k
k
，
由
9,1
A
，
5,8
B
，
1,2
P
，则
1
2
1
9 1
8
AP
k
，
8
2
6
3
5 1
4
2
BP
k
，
所以
1
3
8
2
lk
.
故选：B.
【变式训练13】已知点
3,4
A
，点
10,5
B
，直线l 过点
0,0
O
且与线段AB 相交，则直线l 的斜
率的取值范围为（
）
A．
4 1
,
3 2
B．
4
1
,
,
3
2
C．1 ,
2
D．
4
,
3
【答案】B
【详解】由于
1
4
,
2
3
OB
OA
k
k
,
结合图形关系可知：要使直线l 过点
0,0
O
且与线段AB 相交，
则直线l 的斜率
4
3
k
或
1
2
k
，
故选：B
例6、已知三点
(2, 1)
A
，
(4,3)
B
，
(5, )
C
k 在同一条直线上，则k 的值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【详解】由
(2, 1)
A
，
(4,3)
B
，
(5, )
C
k 三点共线，得
AB
BC
k
k
，即3
( 1)
3
4
2
5
4
k
，解得
5
k
．
故选：B
【变式训练14】若
1,2 ,
1,0 ,
,3
A
B
C m
三点在同一条直线上，则实数m （
）
A．4
B．2
C．2
D．4
【答案】C
题型6
斜率公式的应用（三点共线）
342
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】由题意可得
AB
AC
k
k
，即0
2
3
2
1 1
1
m
，解得
2
m
.
故选：C.
【变式训练15】已知
0
a
，平面内三点
2
3
(0,
),
(1,
),
(3, 2
)
A
a
B
a
C
a
共线，则a
．
【答案】2
【详解】解：因为
2
3
(0,
),
(1,
),
(3, 2
)
A
a
B
a
C
a
三点共线，
所以
3
2
2
,
3
AB
AC
a
a
k
a
a k
，
又因为
AB
AC
k
k
，
所以
3
2
2
3
a
a
a
a
，
整理得：
3
2
2
3
2
0
a
a
a
，
即(2
1)(
2)
0
a
a
a
，
又因为
0
a
，
解得
2
a
.
故答案为：2
例7、若3
1,2
4
x
y
，则2
x
y 的取值范围为
.
【答案】
3
1
,
4
8
【详解】作出不等式组
3
1
2
4
x
y
所表示的平面区域，图中阴影部分，
设2
x
k
y
，即1
0
2
0
y
k
x
，表示可行域内点( , )
x y 与原点
(0,0)
O
连线的斜率，
题型7
斜率公式的几何意义
343
2026 年高二暑假讲义A 版
当取点
( 1,4)
A
时，可得
4
OA
k
，即k 的最大值为
1
8
；
当取点
( 3,2)
B
时，可得
2
3
OB
k
，即k 的最小值为
3
4
，
即2
x
y 的取值范围是
3
1
,
4
8
.
故答案为：
3
1
,
4
8
.
【变式训练16】已知实数x、y 满足方程
2
6
0
x
y
，当0
4
x
时，则
1
2
y
x
的取值范围
是
．
【答案】
0,1
【详解】
方程
2
6
0
x
y
，令
0
x
，则
3
y ，令
4
x
，则
1
y ，
设点
0,3
A
，
4,1
B
，
所以
1
2
y
x
可以表示线段AB 上的点与
2,1
C
构成的直线的斜率，
3 1
1
0
2
AC
k
，
0
BC
k
，
所以
1
2
y
x
的取值范围为
0,1 .
故答案为：
0,1 .
【变式训练17】已知点
( 1
3, 1),
(3,0)
A
B
，若点
( , )
M x y 在线段AB 上，则
2
1
y
x
的取值范围是（
）
A．
1
,
[ 3,
)
2
B．
1
1,
2
C．(
, 1]
[ 3,
)
D．
1 1
,
2 2
【答案】A
【详解】
2
1
y
x
可看作
( , )
M x y 与
( 1,2)
N
的斜率，
344
2026 年高二暑假讲义A 版
则
1 2
3
1
3
1
AN
k
，
2
0
1
1 3
2
BN
k
，
因为点
( , )
M x y 在线段AB 上，
所以
2
1
y
x
的取值范围为
1
,
[ 3,
)
2
，
故选：A
例8、根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．
(1) 1l 经过点
2,3
A
，
4,0
B
，2l 经过点
3,1
M
，
2,2
N
；
(2) 1l 的斜率为
1
2
，2l 经过点
4,2
A
，
2,3
B
；
(3) 1l 平行于y 轴，2l 经过点
0, 2
P
，
0,5
Q
；
(4) 1l 经过点
0,1
E
，
2, 1
F
，2l 经过点
3,4
G
，
2,3
H
．
【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合
【详解】（1）
3
0
1
2
4
2
AB
k
，
2 1
1
2
3
MN
k
，
AB
MN
k
k
，所以1l 与2l 不平行．
（2）1l 的斜率
1
1
2
k
，2l 的斜率
2
2
3
1
4
2
2
k
，
1
2
k
k
，所以l1 与l2 平行或重合．
（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不与y 轴重合，2l 的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以1
2
l
l
// .
（4）由题意，知
1 1
1
2
0
EF
k
，
4
3
1
3
2
GH
k
,
EF
GH
k
k
，所以1l 与2l 平行或重合．
需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，
2
3
1
1
4
FG
k
.
所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．
【变式训练18】已知直线1l 经过点
1,2
A
，
1,4
B
，直线2l 经过点
2,1
P
，
,6
Q x
，且1l ∥2l ，
题型8
两直线的平行关系
345
2026 年高二暑假讲义A 版
则x （
）
A．2
B．2
C．4
D．1
【答案】A
【详解】由
,
A B 两点的坐标知1l 的斜率不存在，又1l ∥2l ，所以2l 的斜率也不存在，所以
2
x
.
故选：A.
【变式训练19】（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
//
l
l 的是（
）．
A．1l 的斜率为2，2l 过点
1,2
A
，
4,8
B
B．1l 经过点
3,3
P
，
5,3
Q
，2l 平行于x 轴，且不经过点P
C．1l 经过点
1,0
M
，
5, 2
N
，2l 经过点
4,3
R
，
0,5
S
D．1l 的方向向量为
1,1 ，2l 的倾斜角为π
3
【答案】BC
【详解】对于A，由题意得
8
2
2
4 1
AB
k
，所以1l 与2l 平行或重合，故A 错；
对于B，由题意得
3
3
0
5
3
PQ
k
，因2l 平行于x 轴，且不经过点P ，所以1
2
//
l
l ，故B 正确；
对于C，由题意得
2
0
1
5 1
2
MN
k
，
5
3
1
0
4
2
RS
k
，
3
0
1
4
1
MR
k
，所以1
2
//
l
l ，故C 正确；
对于D，直线1l 的斜率为1
1
1 ，直线2l 的斜率为
π
tan
3
3
，
所以1l 与2l 不平行，故D 错．
故选：BC．
【变式训练20】已知直线1l 的倾斜角为60，直线2l 经过点
( 1,
3), (0,0)
A
B
，则直线1
2
,
l l 的位置关
系是（
）
A．平行或重合
B．平行
C．垂直
D．重合
【答案】A
【详解】依题意，直线1l 的斜率
1
tan60
3
k
，直线2l 的斜率
2
3
0
3
1 0
k
，
即
1
2
k
k
，所以1
2
l
l
// 或1
2
,l l 重合.
故选：A
346
2026 年高二暑假讲义A 版
例9、已知直线1l 经过
3,4
A
，
8, 1
B
两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l （
）
A．垂直
B．平行
C．重合
D．相交但不垂直
【答案】A
【详解】由题意
1
2
1 4
1,
tan135
1
8
3
l
l
k
k
，
所以
1
2
1
l
l
k
k
，
所以1
2
l
l
.
故选：A.
【变式训练21】（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
l
l
的是（
）
A．1l 的倾斜角为45，2l 的斜率为1
B．1l 的斜率为
3
3
，2l 经过点
2,0
A
，
3, 3
B
C．1l 经过点
2,1
P
，
4, 5
Q
，2l 经过点
1,2
M
，
1,0
N
D．1l 的方向向量为
1,m ，2l 的方向向量为
1
1,
m
【答案】BCD
【详解】对A，
1
tan 45
1
lk
，
2
1
lk ，
1
2
1
l
l
k
k
，所以A 不正确；
对B，
2
3
0
3
3
2
lk
，
1
2
3
3
1
3
l
l
k
k
，故B 正确；
对C，
1
5 1
1
4
2
lk
，
2
2
0
1
1 1
lk
，
1
2
1
l
l
k
k
，故C 正确；
对D，因为
1,m
1
1,
1 1
0
m
，所以两直线的方向向量互相垂直，故1
2
l
l
，故D 正确.
故选：BCD
【变式训练22】已知点
(
3,2),
( 2
4,4),
(
,
),
(3,3
2)
A
m
B
m
C
m m D
m
，若直线AB
CD
，则m 的
值为（
）
A．1 或1
B．3
或1
C．1
或3
D．3 或3
【答案】A
【详解】∵A，B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行.
题型9
两直线的垂直关系
347
2026 年高二暑假讲义A 版
∵AB
CD
，则CD 与x 轴不垂直，∴
3
m
，即
3
m .
当AB 与x 轴垂直时，
3
2
4
m
m
，解得
1
m ，
此时，点C，D 的纵坐标均为1
，则
/ /
CD
x 轴，此时AB
CD
，满足题意；
当AB 与x 轴不垂直时，
4
2
2
2
4
(
3)
(
1)
AB
k
m
m
m
，
3
2
2(
1)
3
(
)
3
CD
m
m
m
k
m
m
，
∵AB
CD
，∴
1
AB
CD
k
k
，即
2
1
2
1
1
3
m
m
m
，解得
1
m .
综上，m 的值为1或1
，
故选：A.
例10、（1）已知
0,3
A
，
4,0
B
，
8,9
C
，判断A ，B ，C 三点是否在同一条直线上；
（2）已知直线1l 的倾斜角为π
3 ，直线2l 经过
1, 3
P
，
8, 2 3
Q
两点，判断1l 与2l 是否垂直.
【答案】（1）
, ,
A B C 三点在同一直线上；（2）1l 与2l 互相垂直
【详解】（1）因为
0,3
A
，
4,0
B
，
8,9
C
，
所以
0
3
3
9
3
3
,
4
0
4
8
0
4
AB
AC
k
k
，又直线
,
AB AC 均过点A ，
所以点
, ,
A B C 三点在同一条直线上；
（2）因为直线1l 的倾斜角为π
3 ，所以直线1l 的斜率
1
π
tan
3
3
k
，
因为直线2l 经过
1, 3
P
，
8, 2 3
Q
两点，所以
2
2 3
3
3 3
3
8
( 1)
9
3
k
，
所以
1
2
3
3
(
)
1
3
k k
，所以1l 与2l 互相垂直.
【变式训练23】（多选）已知点
0,2
A
，
1,0
B
，下列结论正确的是（
）
A．若直线AB 的方向向量为
1,k ，则
1
2
k
B．若直线l 的斜率为
1
2
，则l
AB
C．若
1, 1
C
，则
ABC
V
为直角三角形
D．若
1, 1
C
，
3,3
D
，则四边形ABCD 是平行四边形
【答案】BC
题型10
平行、垂直关系的综合运用
348
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】对于A，
2
0
2
0
1
AB
k
k
，所以直线AB 的方向向量为
1,2 ，A 错误.
对于B，因为
1
1
2
AB
k
，所以l
AB
，B 正确.
对于C，因为
0
1
1 ,
1
1 1
2
BC
BC
AB
k
k
k
，所以AB
BC
，C 正确.
对于D，因为
3 1
1
1
2
,
,
,
3 1
3
2
CD
AB
AD
BC
AD
BC
k
k
k
k
k
k
，
所以四边形ABCD 不是平行四边形，D 错误.
故选：BC.
【变式训练24】已知坐标平面内三点
2, 4 ,
2,0 ,
1,1
A
B
C
．
(1)若
, ,
,
A B C D 可以构成平行四边形，且点D 在第一象限，求点D 的坐标；
(2)若
,
E m n 是线段AC 上一动点，求
2
n
m
的取值范围．
【答案】(1)
3,5 ；(2)
1 ,1
3
．
【详解】（1）如图，当点D 在第一象限时，
,
AB
CD
AC
BD
k
k
k
k
，
设
,
D x y ，则
1
1
1
1
4
2
1
2
y
x
y
x
，解得
3
5
x
y
，
故点D 的坐标为
3,5 .
（2）由题意得
2
n
m
为直线BE 的斜率，如图，
349
2026 年高二暑假讲义A 版
当点E 与点C 重合时，直线BE 的斜率最小，
1
1
1
2
3
BC
k
；
当点E 与点A 重合时，直线BE 的斜率最大，
1
AB
k
．
故直线BE 的斜率的取值范围为
1 ,1
3
，
即
2
n
m
的取值范围为
1 ,1
3
．
一、单选题
1、直线
2025
y
的倾斜角为（
）
A．180
B．0
C．90
D．45
【答案】B
【详解】直线
2025
y
的倾斜角为0.
故选：B.
2、如图，直线1l 、2l 、3l 、4l 中，斜率最小的是（
）
A．1l
B．2l
C．3l
D．4l
【答案】B
【详解】由图可知1l 的倾斜角为锐角，2l 、3l 、4l 的倾斜角为钝角，
则直线1l 的斜率为正数，直线2l 、3l 、4l 的斜率均为负数，
且2l 、3l 、4l 中，直线2l 的倾斜角最小，故直线2l 的斜率最小.
故选：B.
3、已知直线1l 经过
3,7
A
，
2,8
B
两点，且直线2
1
l
l
，则直线2l 的倾斜角为（
）
A．30o
B．45
C．135
D．150
【答案】B
350
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】设直线2l 的倾斜角为，
因为直线1l 的斜率
1
7
8
1
3
2
lk
，由1
2
l
l
，得
1
2
1
l
l
k
k
，
所以
2
1
lk ，即tan
1
，又0
180
，则
45
，
所以直线2l 的倾斜角为45．
故选：B．
4、已知直线1l 的方向向量为
1
,1
a
k
，直线2l 的方向向量为
2
2
,
a
k k
，若1l ∥
2l ，则k （
）
A．2
B．1
C．2
或1
D．0 或2
【答案】C
【详解】因为
1
,1
a
k
，
2
2
,
a
k k
，
若1l ∥
2l ，可知
1a
∥
2a
，
则
2
2
k
k
，解得
2
k 或
1
k .
故选：C.
5、经过两点
1,
A
m ，
1,3
B m
的直线的倾斜角是锐角，则实数m 的范围是（
）
A．(
, 3)
( 2,
)
B．( 3, 2)
C．(2,3)
D．(
,2)
(3,
)
【答案】C
【详解】由题意经过两点
1,
A
m ，
1,3
B m
的直线的倾斜角是锐角，
可知
1 1
m
，且3
0
2
m
m
，
解得2
3
m
，即实数m 的范围是(2,3) ，
故选：C
6、已知直线1l ，2l 的斜率分别为
1k ，
2k ，倾斜角分别为
1
，
2
，则“
1
2
k
k
”是“
1
2
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】因为直线1l ，2l 的斜率分别为
1k ，
2k ，倾斜角分别为
1
，
2
，
所以
1
1
tan
k
，
2
2
tan
k
，
351
2026 年高二暑假讲义A 版
取
1
1
k ，
2
1
k ，满足
1
2
k
k
，可求得
1
π
4
，
2
3π
4
，此时
1
2
，
所以“
1
2
k
k
”是“
1
2
”的不充分条件；
取
1
3π
4
，
2
π
4
，满足
1
2
，但
1
2
1,
1
k
k
，此时
1
2
k
k
，
所以“
1
2
k
k
”是“
1
2
”的不必要条件；
所以“
1
2
k
k
”是“
1
2
”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
7、已知点
2,2
A
，
1,3
B
，若过点
0, 1
P
的直线l 与线段AB 相交，则直线l 斜率k 的取值范围
是（
）
A．
3
4, 2
B．
3
4, 2
C．
3
, 4
,
2
D．
3
, 4
,
2
【答案】D
【详解】由题设
2 1
3
2
0
2
PA
k
，
3 1
4
1 0
PB
k
，如下图示，所以
3
, 4
,
2
k
．
故选：D
二、多选题
8、满足下列条件的直线1l 与2l 一定平行的是（
）
A．直线1l 的倾斜角为60，直线2l 经过点
1, 3
A
，
2, 2 3
B
B．直线1l 的方向向量为
2,3
n
，直线2l 经过点
1, 2
A
，
2,1
B
C．直线1l 经过点
0,1
A
，
10
B
,
，直线2l 经过点
1,3
M
，
2,0
N
D．直线1l 经过点
3,2
A
，
3,10
B
，直线2l 经过点
5, 2
M
，
5,5
N
352
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】CD
【详解】对于选项A，因为直线2l 经过点
1, 3
A
，
2, 2 3
B
，
所以直线2l 的斜率
2
3
2 3
3
1
2
k
，
又直线1l 的倾斜角为60，所以直线1l 的斜率
1
tan60
3
k
，故直线1l 与直线2l 平行或重合，故A
错误；
对于选项B，直线1l 的斜率为
1
3
2
k
，直线2l 的斜率为
2
1
2 1
1
1
2
k
k
，所以直线1l 与2l 不平行，故
B 错误；
对于选项C，
1
0 1
1
1
0
k
，
2
0
3
1
2
1
k
，则有
1
2
k
k
，故C 正确；
又
3 1
2
1
1
0
AM
k
，则A ，B ，M 不共线，故1
2
l
l
∥．
对于选项D，由已知点的坐标，得1l 与2l 均与x 轴垂直且不重合，故有1
2
l
l
∥，故D 正确．
故选：CD．
9、已知经过
0,2
A
，
, 1
B
m
两点的直线l 的一个方向向量为
1,m ，则直线l 的倾斜角可能为（
）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】BC
【详解】由题意，
2
1
3
0
1
AB
m
k
m
m
，解得
3
m
，则
3
AB
k
，
设倾斜角为
0,π
，则tan
3
，解得
π
3
或2π
3 .
故选：BC
10、以
( 1,1),
(2, 1), (1,4)
A
B
C
为顶点的三角形，下列结论正确的有（
）
A．
2
3
AB
k
B．
1
4
BC
k
C．以A 点为直角顶点的直角三角形
D．以B 点为直角顶点的直角三角形
【答案】AC
【详解】对于A，因为
( 1,1),
(2, 1)
A
B
，所以
1
( 1)
2
1
2
3
AB
k
，所以A 正确，
353
2026 年高二暑假讲义A 版
对于B，因为
(2, 1), (1,4)
B
C
，所以
1
4
1
5
2 1
4
BC
k
，所以B 错误，
对于C，因为
2
3
AB
k
，
1
4
3
1 1
2
AC
k
，所以
2
2
1
3
3
AB
AC
k
k
，
所以AB
AC
，所以
ABC
V
以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，
对于D，因为
2
3
AB
k
，
5
BC
k
，所以
1
AB
BC
k
k
，所以D 错误，
故选：AC
三、填空题
11、已知点
3,
,
2,3 ,
2,3 ,
1,
2
A
a
B a
C
D
a
，直线AB 与直线CD 垂直，则a
．
【答案】0 或5
【详解】直线AB 与直线CD 垂直，故
0
AB CD
，
其中
5,3
,
3,
5
AB
a
a
CD
a
，
故
2
5,3
3,
5
3
15
3
5
5
0
a
a
a
a
a
a
a
a
，
解得
0
a
或5.
故答案为：0 或5
12、设
2,3 ,
1,2
A
B
，若点
,
P x y 在线段AB 上，则
1
y
x
的取值范围是
．
【答案】
, 2
3,
【详解】直线的倾斜角与斜率如图，
1
1
0
y
y
x
x
，则原问题可转化为过点
0, 1
C
的直线l 与线
段AB 有交点时，直线l 的斜率k 的取值范围．
连接
,
AC BC ，则
2
1
3
1
3,
2
1
0
2
0
BC
AC
k
k
，
当l 的倾斜角是锐角时，
0
k
，随着倾斜角的增大，斜率k 由
3
BC
k
增大至正无穷；
当l 的倾斜角是钝角时，
0
k
，随着倾斜角的增大，斜率k 由负无穷增大至
2
AC
k
．所以k 3 或
2
k ．
故答案为：
, 2
3,
354
2026 年高二暑假讲义A 版
四、解答题
13、已知直线l 过点
2 ,3
A
m
，
2, 1
B
.
(1)若直线l 的倾斜角为45，求实数m 的值；
(2)若直线l 的倾斜角为钝角，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)3；(2)
,1
【详解】（1）由题意得
2
2
tan 45
1
3
1
m
，得
3
m
.
（2）由题意得
2
2
0
3
1
m
，得
1
m ，
故实数m 的取值范围为
,1
14、已知
1,2
A
，
2,1
B
，
0,
C
m 三点．
(1)若过
,
A C 两点的直线的倾斜角为45°，求m 的值．
(2)
, ,
A B C 三点可能共线吗？若能，求出m 值．
【答案】(1)1；(2)3
【详解】（1）过
,
A C 两点的直线斜率
tan 45
1
k
，
所以
2
1
0 1
m
k
，解得
1
m .
（2）
1
2
1
2 1
AB
k
，
2
2
0 1
AC
m
k
m
，
若
, ,
A B C 三点共线，则
AB
k
AC
k
，
即2
1
m
，解得
3
m
，
所以当
3
m
时，
, ,
A B C 三点共线.
15、已知坐标平面内三点
1,1
A
、
1,1
B
、
2, 3
1
C
.
(1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；
(2)若D 为
ABC
V
的AB 边上一动点，求直线CD 的倾斜角的取值范围.
355
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】(1)答案见解析；(2) π π
,
6 3
【详解】（1）由斜率公式，得
1 1
0
1
1
AB
k
，
3
1 1
3
2 1
BC
k
，
3
1 1
3
2
1
3
AC
k
，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是
0, π ，
所以直线AB 的倾斜角为0 ，直线BC 的倾斜角为π
3 ，直线AC 的倾斜角为π
6 .
（2）如图，当直线CD 绕点C 由CA 逆时针转到CB 时，
直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时
CD
k
由
AC
k
增大到
BC
k
，
所以
CD
k
的取值范围为
3 , 3
3
，
即直线CD 的倾斜角的取值范围为π π
,
6 3
.
16、已知实数x，y 满足2
8
x
y
，且2
3
x
．
(1)求y
x 的取值范围；
(2)求
1
1
y
x
的取值范围．
【答案】(1) 2 ,2
3
；(2) 3 5
,
4 3
【详解】（1）
如图，由于点
,
P x y 满足关系式2
8
x
y
，且2
3
x
，
356
2026 年高二暑假讲义A 版
所以点P 在线段AB 上移动，且
,
A B 两点的坐标分别为
2,4
A
，
3,2
B
．
由于y
x 的几何意义是直线OP 的斜率，且
2
OA
k
，
2
3
OB
k
，
所以y
x 的取值范围是2 ,2
3
．
（2）
因为
1
( 1)
1
( 1)
y
y
x
x
的几何意义是过
( , )
P x y ，
( 1, 1)
N
两点的直线的斜率，
由题意可知点P 在线段AB 上移动，且
,
A B 两点的坐标分别为
2,4
A
，
3,2
B
．
则
5
3
NA
k
，
3
4
NB
k
，所以3
1
5
4
1
3
y
x
．
所以
1
1
y
x
的取值范围为3 5
,
4 3
．
357
2026 年高二暑假讲义A 版
直线的方程
类别
点斜式
斜截式
适用范围
斜率存在
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k 和在y 轴上的截距b
图示
方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
截距
直线l 与y 轴交点(0，b)的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2)
在x，y 轴上的截距分别为a，b
( a≠0，b≠0)
示意图
方程
y－y1
y2－y1
＝x－x1
x2－x1
x
a＋y
b＝1
适用范围
斜率存在且不为0
斜率存在且不为0，不过原点
题型1
直线的点斜式方程及应用
题型5
直线的一般式方程及应用
题型2
直线的斜截式方程及应用
题型6
含参直线方程过定点问题
题型3
直线的两点式方程及应用
题型7
根据直线的位置关系求参数
题型4
直线的截距式方程及应用
题型8
根据直线的位置关系求直线方程
知识点1
直线的点斜式方程和斜截式方程
知识点2
直线的两点式方程和截距式方程
358
2026 年高二暑假讲义A 版
1、定义
关于x , y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x , y 的二元一次方程
0
Ax
By
C
(其中
A , B 不同时为0（
2
2
0
A
B
）叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
（1）A 、B 不全为零才能表示一条直线，若A 、B 全为零则不能表示一条直线.
当
0
B
时，方程可变形为
A
C
y
x
B
B
，它表示过点0,
C
B
，斜率为
A
B
的直线．
当
0
B
，
0
A
时，方程可变形为
0
Ax
C
，即
C
x
A
，它表示一条与x 轴垂直的直线．
由上可知，关于x 、y 的二元一次方程，它都表示一条直线．
（2）在平面直角坐标系中，一个关于x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条
直线可以对应着无数个关于x 、y 的一次方程.
（3）解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
2、直线的一般式方程与其它形式方程的互化
（1）一般式化为斜截式的步骤
①移项得By
Ax
C
；
②当
0
B
时，得斜截式方程
A
C
y
x
B
B
．
（2）一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得Ax
By
C
；
②当
0
C
，方程两边同时除以C
，得
1
Ax
By
C
C
；
③化为截距式方程：
1
x
y
C
C
A
B
．
知识点3
直线的一般式方程
359
2026 年高二暑假讲义A 版
2、利用直线方程判断两直线的位置关系
方程形式
位置关系
斜截式
1
1
2
2
,
y
k x
b
y
k x
b
一般式
1
1
1
2
2
2
0,
0
A x
B y
C
A x
B y
C
相交
1
2
k
k
1
2
2
1
0
A B
A B
或
1
1
2
2
2
2
0
A
B
A B
A
B
垂直
1
2
1
k k
1
2
1
2
0
A A
B B
平行
2
k
k
1
且
1
2
b
b
1
2
2
1
1
2
2
1
0,
0
A B
A B
B C
B C
或
1
2
2
1
1
2
2
1
0,
0
A B
A B
AC
A C
或
1
1
1
2
2
2
2
2
2
0
A
B
C
A B C
A
B
C
重合
1
2
k
k
且
1
2
b
b
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
0
A B
A B
B C
B C
AC
A C
或
1
1
1
2
2
2
2
2
2
0
A
B
C
A B C
A
B
C
3、常见的直线系方程
一条直线的确定需要两个独立条件.具有某个独立条件的所有直线的集合,称为直线系,它的方程称为
直线系方程.
（1）平行直线系
①斜率为k 的直线系方程为y
kx
b
( k 为常数,b 为参数).
②与直线
0
Ax
By
C
平行的直线系方程都能表示为
0
Ax
By
m
(其中m 为参数,且m
C
),
我们可以依据题设中另一个条件来确定m 的值.
③过点
0
0
,
,
P x y
且平行于直线
0
Ax
By
C
的直线方程为
0
0
0
A x
x
B y
y
0
0
(
0)
Ax
By
C
.
（2）垂直直线系
①与直线
0
y
kx
b k
垂直的直线系方程为
1
y
x
m
k
(
0
k
, m 为参数).
②与直线
0
Ax
By
C
垂直的直线方程可表示为
0
Bx
Ay
n
,再由其他条件列方程求出n .
360
2026 年高二暑假讲义A 版
(3)过点
0
0
,
P x y
,且垂直于直线
0
Ax
By
C
的直线方程为
0
0
0.
B x
x
A y
y
（3）中心直线系
①斜率存在(设为k )且过定点
0
0
,
P x y
的直线系方程为
0
0 .
y
y
k x
x
②为避免对斜率是否存在进行讨论, 过定点
0
0
,
P x y
的直线系方程还可设为
0
0
0
A x
x
B y
y
( A , B 为参数).
例1、求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示．
(1)过点
4 3
P
,
，斜率
3
k ；
(2)经过点
2, 3
，倾斜角是直线
3
3
y
x
的倾斜角的2 倍；
(3)经过点
5,2
，且平行于y 轴；
(4)过
2,3 ,
5, 4
P
Q
两点．
【答案】(1)
3
3
4
y
x
；(2)
3
3
2
y
x
；(3)不能用点斜式，
5
x ；(4)
3
2
y
x
【详解】（1）因为直线过点
4,3
P
，斜率
3
k ，
由直线的点斜式方程得直线方程为
3
3
4
y
x
．
（2）因为直线
3
3
y
x
的斜率为
3
3
，则直线
3
3
y
x
的倾斜角为30，
可知所求直线的倾斜角为60，故其斜率为
3 .
所以所求直线方程为
3
3
2
y
x
．
（3）因为直线平行于y 轴，则直线的斜率不存在，
所以不能用点斜式方程，直线方程为
5
x .
（4）过点
2,3 ,
5, 4
P
Q
的直线的斜率
4
3
1
5
2
PQ
k
，
又因为直线过点
2,3
P
，
所以由直线的点斜式方程可得直线方程为
3
2
y
x
．
题型1
直线的点斜式方程及应用
361
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练1】已知直线l 倾斜角为2π
3 ，且过点
(4,1)
A
，则直线l 的方程为（
）
A．
3
1
(
4)
3
y
x
B．
3
1
(
4)
3
y
x
C．
1
3(
4)
y
x
D．
1
3(
4)
y
x
【答案】C
【详解】由直线l 倾斜角为2π
3 ，得直线l 的斜率为
2
tan
3
3
k
，
又由直线l 过点
(4,1)
A
，则由点斜式直线方程可得：
1
3
4
y
x
，
故选：C.
【变式训练2】已知直线l 经过点
1,0
P
，且方向向量
1,2
v
，则l 的方程为（
）
A．
2
1
0
x
y
B．2
2
0
x
y
C．2
2
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
【答案】C
【详解】由题意知直线l 的方向向量是
1,2
v
，可得其斜率为2 ，
所以直线l 的方程为
0
2
1
y
x
，即2
2
0
x
y
.
故选：C
【变式训练3】已知
ABC
V
的三个顶点
1,6 ,
1, 2 ,
6,3
A
B
C
．
(1)求边BC 上的中线所在直线的方程；
(2)求边BC 上的高所在直线的方程．
【答案】(1)11
3
29
0
x
y
；(2)7
5
37
0
x
y
【详解】（1）由题意得，边BC 的中点
5 1
,
2 2
D
，
则中线AD 所在直线的斜率为
1
6
11
2
5
3
1
2
AD
k
，
所以边BC 上的中线所在直线的方程为
11
6
1
3
y
x
，即11
3
29
0
x
y
．
（2）由题意得，
3
2
5
6
1
7
BC
k
，则边BC 上的高所在直线的斜率
7
5
k
，
所以边BC 上的高所在直线的方程为
7
6
1
5
y
x
，即7
5
37
0
x
y
．
362
2026 年高二暑假讲义A 版
例2、根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150，在y 轴上的截距是2
；
(3)倾斜角为2π
3 ，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3.
【答案】(1)
2
5
y
x
；(2)
3
2
3
y
x
；(3)
3
3
y
x
或
3
3
y
x
【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为
2
5
y
x
.
（2）由于倾斜角
150
，则斜率
3
tan150
3
k
，
由斜截式可得所求直线方程为
3
2
3
y
x
（3）由于直线的倾斜角为2π
3 ，则其斜率
2
tan
3
3
k
.
由于直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，
则直线在y 轴上的截距
3
b
或
3
b ，
故所求直线方程为
3
3
y
x
或
3
3
y
x
.
【变式训练4】直线
3
:
1
3
l y
x
的倾斜角为（
）
A．30o
B．60o
C．120
D．150
【答案】A
【详解】设直线l 的倾斜角为，0
180
，
由题意可知，直线l 的斜率为
3
3
，所以
3
tan
3
，即
30
.
故选：A .
【变式训练5】直线l 的方程为
,
0,
0
a
c
y
x
ab
ac
b
b
，则此直线必不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】由
0,
0
ab
ac
可得，
0,
0
a
c
b
b
，
即直线l 的斜率为负数，在y 轴上的截距为负数，
故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限.
题型2
直线的斜截式方程及应用
363
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：A.
【变式训练6】已知直线1
2
:
,
:
l
y
ax
b l
y
bx
a
，当,a b 满足一定条件时，它们的图形可能是图中
的（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】选项A，由1l 的图象可知，
0
a
，
0
b
，由2l 的图象可知，
0
b
，
0
a
，
不成立，A 错误；
选项B，由1l 的图象可知，
0
a
，
0
b
，由2l 的图象可知，
0
b
，
0
a
，
可能成立，B 正确；
选项C，由1l 的图象可知，
0
a
，
0
b
，由2l 的图象可知，
0
b
，
0
a
，
不成立，C 错误；
选项D，由1l 的图象可知，
0
a
，
0
b
，由2l 的图象可知，
0
b
，
0
a
，
不成立，D 错误.
故选：B.
【变式训练7】已知直线
2
3
1
1
a
y
a
x
，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是
（
）
A．
,2
B．
,2
C．
2,
D．
2,
【答案】D
【详解】若
2
0
a
，即
2
a
时，直线方程可化为
1
5
x
，此时直线不经过第二象限，满足条件；
364
2026 年高二暑假讲义A 版
若
2
0
a
，直线方程可化为
3
1
1
2
2
a
y
x
a
a
，此时若直线不经过第二象限，则3
1
0
2
a
a
且
1
0
2
a
，解得
2
a
，
综上满足条件的实数a 的范围是
2,
.
故选：D
【变式训练8】一束光线从点
3,3
A
射出，沿倾斜角为150的直线射到x 轴上，经x 轴反射后，
反射光线所在的直线方程为（
）
A．
3
2
y
x
B．
3
2
y
x
C．
3
2
3
y
x
D．
3
2
3
y
x
【答案】D
【详解】倾斜角为150的直线，斜率为
3
3
，
所以入射光线为
3
3
3
3
3
1,
2
3
3
3
y
x
x
y
x
，
令
0
y
，解得
2 3
x
，所以入射光线与x 轴的交点为
2 3,0 ，
反射光线的斜率为
3
3
，则反射光线的方程为
3
3
0
2 3 ,
2
3
3
y
x
y
x
.
故选：D
例3、下列直线方程是两点式方程的是（
）
A．y
kx
b
B．
0
0
2
y
y
k x
x
C．
1
2
x
y
a
b
D．
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
,
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
【答案】D
【详解】对于选项A：y
kx
b
是斜截式方程，故A 错误；
题型3
直线的两点式方程及应用
365
2026 年高二暑假讲义A 版
对于选项B：
0
0
2
y
y
k x
x
是点斜式方程，故B 错误；
对于选项C：
1
2
x
y
a
b
是截距式方程，故C 错误；
对于选项D：
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
,
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
是两点式方程，故D 正确；
故选：D.
【变式训练9】已知直线l 的两点式为
9
8
5
9
2
8
y
x
，则（
）
A．直线l 经过点(5,2)
B．直线l 的斜截式为
3
11
2
2
x
y
C．直线l 的倾斜角为锐角
D．直线l 的点斜式为
2
2
(
5)
3
y
x
【答案】C
【详解】由题意，直线l 经过两点
8,9 ，
2,5 ，故AD 错误，
将两点式化为斜截式：
2
11
3
3
y
x
，故B 错误，
直线l 的斜率为2
0
3
，所以直线l 的倾斜角为锐角，故C 正确.
故选：C.
【变式训练10】已知点
,5 ,
3,
A m
B
n ，若AB 的中点坐标为
2,1 ，则直线AB 的方程为（
）
A．
4
9
0
x
y
B．
4
9
0
x
y
C．4
9
0
x
y
D．4
9
0
x
y
【答案】D
【详解】由题可得
3
2
2
5
1
2
m
n
，解得
1,
3
m
n
，
即
1,5
A
，
3, 3
B
．
将点
,
A B 坐标代入两点式方程可得
5
1
3
5
3
1
y
x
，
即4
9
0
x
y
．
故选：D.
例4、过
2,0
A
、
0,3
B
两点的直线方程是（
）
题型4
直线的截距式方程及应用
366
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
1
2
3
x
y
B．
1
3
2
y
x
C．
2
3
y
x
D．
3
2
y
x
【答案】A
【详解】由截距式可得直线方程为
1
2
3
x
y
，A 正确，BCD 错误.
故选：A
【变式训练11】两条直线1 :
1
x
y
l
a
b
和2 :
1
x
y
l
b
a
在同一直角坐标系中的图象可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由截距式方程可得直线1l 的横、纵截距分别为a，-b，直线2l 的横、纵截距分别为b，-a，
选项A，由1l 的图象可得
0.
0
a
b
，可得直线2l 的截距均为正数，故正确；
选项B，由1l 的图象可得
0.
0
a
b
，可得直线2l 的截距均为正数，由图象不对应，故错误；
选项C，由1l 的图象可得
0.
0
a
b
，可得直线2l 的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，
故错误；
选项D，由1l 的图象可得
0,
0
a
b
，可得直线2l 的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，
故错误.
故选：A.
【变式训练12】已知直线l 过点
3,5 ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（
）
A．
8
0
x
y
B．5
3
0
x
y
C．5
3
0
x
y
或
8
0
x
y
D．5
3
0
x
y
或
8
0
x
y
【答案】C
【详解】由题得当直线l 在坐标轴上的截距均为0 时，直线方程为
5
3
y
x
，即5
3
0
x
y
；
当直线l 在坐标轴上的截距均不为0 时，直线方程可设为
1
x
y
a
a
，
将
3,5 代入可得
8
a
，此时直线方程为
8
0
x
y
．
367
2026 年高二暑假讲义A 版
综上，直线l 的方程为5
3
0
x
y
或
8
0
x
y
．
故选：C.
【变式训练13】求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点
1, 3
A
，且斜率为
1
4
；
(2)直线过点
2,1 ，且横截距为纵截距的两倍.
【答案】(1)
4
13
0
x
y
；(2)
2
4
0
x
y
或
2
0
x
y
.
【详解】（1）因为直线过点
1, 3
A
，且斜率为
1
4
，
所以
1
3
1
4
y
x
，化简可得：
4
13
0
x
y
.
（2）当横、纵截距都是0 时，设直线的方程为y
kx
.
∵直线过点
2,1 ，
∴1
2k
1
2
k
，即直线的方程为
2
0
x
y
.
当截距均不为0 时，设直线的方程为
1
2
x
y
a
a
.
∵直线过点
2,1 ，
∴2
1
1
2a
a
，解得
2
a
，即直线方程为
2
4
0
x
y
.
综上，所求直线方程为
2
4
0
x
y
或
2
0
x
y
.
【变式训练14】过点
1,3
且斜率为2 的直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为（
）
A．25
2
B．25
4
C．5
2
D．5
4
【答案】B
【详解】依题意得直线l 的方程为
3
2
1
y
x
，即
2
5
y
x
，
则直线l 与坐标轴的交点分别为
5 ,0 ,
0,5
2
A
B
，
所以
1
1
5
25
5
2
2
2
4
OAB
S
OA OB
．
故选：B
【变式训练15】直线l 过点
3,4
，且在两坐标轴上的截距之和为12．
(1)求直线l 的方程
(2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积．
368
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】(1)
3
9
0
x
y
或4
16
0
x
y
；(2) 27
2 或32
【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，
因此直线l 在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，
故可设直线方程为：
1
x
y
a
b
，且
12
a
b
，①
又因为直线l 过点
3,4
，
所以3
4
1
a
b
，②
由①②解得
9
3
a
b
或
4
16
a
b
，
所以直线l 的方程为：
1
9
3
x
y
或
1
4
16
x
y
，
即
3
9
0
x
y
或4
16
0
x
y
.
（2）由（1）可知，当直线l 的方程为
3
9
0
x
y
时，
1
1
27
9 3
2
2
2
S
a b
；
当直线l 的方程为4
16
0
x
y
时，
1
1
4 16
32
2
2
S
a b
，
所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为27
2 或32.
【变式训练16】直线l 的方程为
1
3
1
0
a
x
y
a
，a R .
(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；
(2)若直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ，点O是坐标原点．若
AOB
V
的面积为16，求a 的
值.
【答案】(1)
5
0
x
y
或2
3
0
x
y
(2)
3
a 或
11
9
a
【详解】（1）当
1
0
a
即
1
a 时，直线l 的方程为
2
y
，不满足题意；
当
1
0
a
，即
1
a 时，令
0
x
得
3
1
y
a
，令
0
y
，得
3
1
1
a
x
a
，
由截距相等得3
1
3
1
1
a
a
a
，解得
2
a 或
1
3
a
，
当
2
a 时，直线l 的方程为
5
0
x
y
，当
1
3
a
时，直线l 的方程为2
3
0
x
y
，
故综上所述，所求直线l 的方程为
5
0
x
y
或2
3
0
x
y
．
369
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）由题意知，
1
0
a
，3
1
0
a
，且l 在x 轴、y 轴上的截距分别为3
1
1
a
a
、3
1
a
，
所以
3
1
0
1
3
1
0
a
a
a
，解得
1
a ，
所以
AOB
V
的面积
2
3
1
1 3
1
3
1
2
1
2
1
a
a
S
a
a
a
，
由题意知
2
3
1
16
2
1
a
a
，化简得
2
9
38
11
0
a
a
，解得
3
a 或
11
9
a
，均满足条件，
所以
3
a 或
11
9
a
．
例5、直线3
3
2
0
x
y
的倾斜角为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】C
【详解】由直线3
3
2
0
x
y
，则斜率为
3 ，即为倾斜角的正切值，
结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为π
3 .
故选：C
【变式训练17】若方程
2
2
3
2
4
0
m
m
x
m
m y
m
表示一条直线，则实数m 满足（
）
A．
0
m
B．
2
m
C．
1
m ，
2
m
，
0
m
D．
1
m
【答案】D
【详解】当
2
3
2
0
m
m
时，
1
m 或
2
m
，当
2
0
m
m
时，
0
m
或
1
m ，
若方程
2
2
3
2
4
0
m
m
x
m
m y
m
表示一条直线，
则
2
3
2
m
m
与
2
m
m
不同时为零，所以
1
m .
故选：D.
题型5
直线的一般式方程及应用
370
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练18】如果
0
AC
且
0
BC
，那么直线
0
Ax
By
C
不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】由
0
AC
且
0
BC
，得直线
0
Ax
By
C
的横截距为
0
C
A
，纵截距为
0
C
B
，
所以直线
0
Ax
By
C
不经过第四象限.
故选：D
【变式训练19】若直线的截距式方程
1
x
y
a
b
化为斜截式方程为
2
y
x
b
，化为一般式方程为
8
0
0
bx
ay
a
，则a
b
（
）
A．2
B．2
C．6
D．8
【答案】A
【详解】易知
0
ab
，由
2
y
x
b
，得到2
0
x
y
b
，
由已知一般式方程为
8
0
0
bx
ay
a
，所以有
8
2
1
b
a
b
，
则
2
16
b
，解得
4
b ，
又
0
a
，
1
2
a
b
，
所以
2,
4
a
b
，则
2
a
b
，
故选：A.
【变式训练20】设直线l 的方程为
2
2
2
3
2
1
2
6
m
m
x
m
m
y
m
，根据下列条件分别求m
的值．
(1)直线l 在x 轴上的截距为2；
(2)直线l 的斜率为1．
【答案】(1)
0
m
；(2)
4
3
m
.
【详解】（1）令
0
y
，
2
2
2
6
2
3
2
6
2
3
m
m
m
x
m
x
m
m
，
由题
2
2
6
2
2
0
2
3
1
m
x
m
m
m
m
；将
0
m
代入直线方程满足题意，则
0
m
；
（2）
2
2
2
3
2
1
2
6
m
m
x
m
m
y
m
2
2
2
2
3
2
6
2
1
2
1
m
m
m
y
x
m
m
m
m
，令
2
2
2
3
1
2
1
m
m
m
m
371
2026 年高二暑假讲义A 版
2
3
4
0
1 3
4
0
m
m
m
m
得
1
m 或
4
3
m
.
当
1
m 时，直线l 的方程为：0
8
，不满足题意；
当
4
3
m
，直线l 的方程为：
6
7
x
y
，满足题意.则
4
3
m
.
例6、已知直线:
1
0
l mx
m
y
过定点，则定点的坐标为（
）．
A．
3,1
B．
3, 1
C．(
)
1, 1
-
D．
1,1
【答案】D
【详解】直线可化为:
(
1)
1
0
l m x
y
，则
1
x 时有
1
y ，即恒过定点
1,1 ．
故选：D
【变式训练21】直线
3
1
1
0
mx
m
y
必过定点（
）
A．
3,1
B．
3 1
,
C．1 ,1
3
D．1,0
3
【答案】B
【详解】根据题意，直线
3
1
1
0
mx
m
y
，
即
3
1
0
m x
y
y
，
令
3
0
1
0
x
y
y
，得
3
1
x
y
，
故直线
3
1
1
0
mx
m
y
必过定点
3,1
.
故选：B
【变式训练22】已知直线
2
1
2
1
0
x
y
（
R
）恒过定点M，则点M 的坐标
为
.
【答案】
2,2
【详解】直线
2
1
2
1
0
x
y
，即
2
2
2
0
x
x
y
，
联立
2
0
2
2
x
x
y
，解得
2
2
x
y
，
即点M 的坐标为
2,2 ，
题型6
含参直线方程过定点问题
372
2026 年高二暑假讲义A 版
故答案为：
2,2 .
【变式训练23】已知点
2, 3 ,
3, 2
P
Q
，直线
1
y
kx
k
与线段PQ相交，则实数k 的取值范围
是（
）
A．
3 ,
4
, 4
B．
3
4, 4
C．
3 ,4
4
D．
3
,
4,
4
【答案】A
【详解】直线
1
y
kx
k
经过定点
(1,1)
M
，如图所示，
则
3 1
2 1
3
4,
2 1
3 1
4
MP
MQ
k
k
，
因为直线
1
y
kx
k
与线段PQ相交，
所以由图可知
3
(
, 4]
[
,
)
4
k
.
故答案为：
3
(
, 4]
[ ,
)
4
.
【变式训练24】当原点O到动直线
:
2
1
0
l x
my
m
m
R 的距离最大时，实数m 的值
为
.
【答案】2
【详解】由
2
1
0
x
my
m
，得
1
2
0
x
m y
，则动直线恒过定点
1,2
Q
；
故原点O到动直线:
2
1
0
l x
my
m
的距离最大时，直线l
OQ
，
因为直线OQ 的斜率为2
0
2
1
0
，所以
1
1
2
lk
m
，解得
2
m ；
故答案为：2
例7-1、已知直线
(
)
1
2
:
1
0,
:
1
2
2
0
l
x
ay
l
a
x
y
+
+ =
-
+
- =
．若1
2
l
l
// ，则实数a 的值为
．
【答案】2
题型7
根据直线的位置关系求参数
373
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】因为1
2
l
l
// ，所以
2
1
0
a a
，解得
2
a
或
1
a .
当
2
a
时，1
2
:
2
1
0,
:
2
2
0
l
x
y
l
x
y
+
+ =
+
- = ，符合题意.
当
1
a 时，1
2
:
1
0,
: 2
2
2
0
l
x
y
l
x
y
- + =
-
+
- = ，两直线重合，不合题意.
综上，
2
a
.
故答案为：2.
【变式训练25】已知直线1 : (
2)
3
1
0
l
m
x
y
与直线2 :
(
2)
1
0
l
mx
m
y
相互平行，则实数m 的
值是（
）
A．4
B．1 或4
C．1
D．6
【答案】A
【详解】由题意，(
2)(
2)
3
m
m
m
，解得
4
m 或
1
m ，
当
4
m 时，1 : 6
3
1
0
l
x
y
，2 : 4
2
1
0
l
x
y
，满足1
2
//
l
l ；
当
1
m 时，1 :
3
1
0
l
x
y
，即
3
1
0
x
y
，2 :
3
1
0
l
x
y
，
两直线重合，不符合题意.
综上所述，
4
m .
故选：A.
【变式训练26】已知直线
1 :
1
1
0
l
a
x
y
，
2 : 3
5
1
2
0
l
a
x
a
y
，则1l ∥
2l 的充要条件
的是（
）
A．
2
a
B．
3
a
C．
2
a
或3
D．
4
a
【答案】A
【详解】因为1l ∥
2l ，所以
1
1
3
5
1
0
a
a
a
且
1
2
1
1
0
a
，
解得
2
a
，
当
2
a
时，直线1 :
1
0
l
x
y
，2 :
2
0
l
x
y
，显然1l ∥
2l ，
所以1l ∥
2l 的充要条件的是
2
a
.
故选：A
例7-2、已知直线1 : 2
3
1
0
l
x
y
，2 :
2
2
0
l
ax
y
，若1
2
l
l
，则实数a 的值为（
）
A．3
B．1
3
C．3
D．
1
3
374
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】C
【详解】∵1
2
l
l
，
∴2
3 2
0
a
，解得
3
a .
故选：C.
【变式训练27】若直线1 :
2
1
0
l
ax
y
与直线2
1
: (
1)
0
2
l
a
x
y
垂直，则实数a 的取值是（
）
A．
1
a 或
2
a
B．
1
a
C．
2
a
D．
2
3
a
【答案】A
【详解】直线1 :
2
1
0
l
ax
y
与直线2
1
: (
1)
0
2
l
a
x
y
垂直，
则有(
1)
2
0
a a
，解得
1
a 或
2
a
，
故选：A．
【变式训练28】“
10
a
”是“直线
4
2
0
ax
y
与直线2
5
0
x
y
b
互相垂直”的（
）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当
10
a
时，直线10
4
2
0
x
y
与直线2
5
0
x
y
b
中，10
2
4 ( 5)
0
，它们互相垂
直，
当直线
4
2
0
ax
y
与直线2
5
0
x
y
b
互相垂直时，
2
4
5
0
a
，
10
a
，
所以“
10
a
”是“直线
4
2
0
ax
y
与直线2
5
0
x
y
b
互相垂直”的充要条件.
故选：A
例8、据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
(1)求经过点(
)
1, 1
-
，且与直线
3
0
x
y
平行的直线方程；
(2)已知点
2, 1
A
，
4,3
B
．求线段AB 的垂直平分线的方程；
(3)求经过点
2,4
P
，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【答案】(1)
0
x
y
；(2)3
2
5
0
x
y
；(3) 2
0
x
y
和
6
0
x
y
题型8
根据直线的位置关系求直线方程
375
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）设与直线
3
0
x
y
平行的直线方程为
0
x
y
c
，过(
)
1, 1
-
，则1 1
0
c
，则
0
c
，
所以直线的一般方程为
0
x
y
.
（2）因为点
2, 1
A
，
4,3
B
，中点为
1,1 ，
3 1
2
4
2
3
AB
k
，
则垂直平分线的斜率
1
AB
k k
，则
3
2
k
，
直线方程为
3
1
1
2
y
x
，所以直线的一般方程为3
2
5
0
x
y
.
（3）设直线在两坐标轴上的截距为a ，即直线过
0,
,
,0
a
a
当截距
0
a
时，直线过
0,0 ，
4
2
2
k
，则
2
y
x
，即2
0
x
y
；
当截距
0
a
时，直线斜率
1
a
k
a
，则
4
2
y
x
，即
6
0
x
y
.
所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2
0
x
y
和
6
0
x
y
.
【变式训练29】求满足下列条件的直线方程；
(1)过点
1,2 ，且与直线3
2
3
0
x
y
平行的直线方程；
(2)过点
1,2
，且与直线3
2
0
x
y
垂直的直线方程；
(3)过点
1, 2
，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【答案】(1)3
2
1
0
x
y
；(2)
3
5
0
x
y
；(3) 2
0
x
y
或
1
0
x
y
【详解】（1）设与直线3
2
3
0
x
y
平行的直线方程为3
2
0
x
y
a
，
由于过点
1,2 ，代入3 1
2
2
0
a
，
解得
1
a ，可得3
2
1
0
x
y
，
所以所求的方程为3
2
1
0
x
y
；
（2）设与直线3
2
0
x
y
垂直的直线方程为
3
0
x
y
b
；
由于过点
1,2
，代入1 3 2
0
b
，解得
5
b ，
可得
3
5
0
x
y
，
所以所求的直线方程为
3
5
0
x
y
；
（3）当直线过原点时，设直线方程为y
kx
，
代入点
1, 2
，2
k
，可得
2
y
x
，
当直线不过原点时，设直线方程为x
y
c
，
代入点
1, 2
，
2 1
1
c
，可得
1
x
y
，
376
2026 年高二暑假讲义A 版
综上，所求直线方程为2
0
x
y
或
1
0
x
y
.
【变式训练30】菱形ABCD 的顶点A，C 的坐标分别为
4,7
A
，
6, 5
C
，BC 边所在直线过点
4, 1
P
.
(1)求BC ，AD 边所在直线的一般式方程；
(2)求对角线BD 所在直线的一般式方程.
【答案】(1) 2
7
0
x
y
；2
1
0
x
y
；(2)5
6
1
0
x
y
.
【详解】（1）由菱形的性质可知
/ /
BC
AD ，则
1
5
2
4
6
AD
BC
CP
k
k
k
.
所以BC 边所在直线的方程为
5
2
6
y
x
，即2
7
0
x
y
；
AD 边所在直线的方程为
7
2
4
y
x
，即2
1
0
x
y
.
（2）线段AC 的中点为
1,1
E
，
7
5
6
4
6
5
AC
k
，
由菱形的几何性质可知，BD
AC
且E 为BD 的中点，则
1
5
6
BD
AC
k
k
，
所以对角线BD 所在直线的方程为
5
1
1
6
y
x
，即5
6
1
0
x
y
.
【变式训练31】已知在
ABC
V
中，
0,0 ,
2,0 ,
1,3 ,
,
A
B
C
D E ，分别在线段
,
AC AB 上，且
//
DE
BC ．
(1)求AC 边上的高所在直线的斜截式方程；
(2)若
ADE
V
的面积为
ABC
V
面积的1
4 ，求直线DE 的一般式方程
【答案】(1)
1
2
3
3
y
x
；(2)3
3
0
x
y
.
【详解】（1）由题直线AC 的斜率为
1
3
0
3
1
0
k
，
所以AC 边上的高所在直线的斜率为
1
1
1
3
k
，
所以AC 边上的高所在直线的方程为
1
0
2
3
y
x
，
化为斜截式为
1
2
3
3
y
x
.
（2）因为
ADE
V
的面积为
ABC
V
面积的1 ,
,
4 D E 分别在线段
,
AC AB 上，且
//
DE
BC ，
所以
1 ,
2
AD
AE
E
AC
AB
为AB 的中点，即
1,0
E
，
又直线BC 的斜率为3
0
3
1
2
，
所以直线DE 的斜率也为3
，
377
2026 年高二暑假讲义A 版
所以直线DE 的方程为
0
3
1
y
x
，即3
3
0
x
y
，
所以直线DE 的一般式方程为3
3
0
x
y
.
【变式训练32】已知直线1l ：
1
1
0
x
m
y
，2l ：
1
1
0
m
x
y
．
(1)若1
2
l
l
// ，求m 的值．
(2)设直线1l 过的定点为A，直线2l 过的定点B，且当
1
m 时，直线1l 与2l 交点为C，求
ABC
V
中BC
边上的高所在直线l 的方程.
【答案】(1)0；(2)
2
1
0
x
y
【详解】（1）
2
1
2
/ /
1
1
l
l
m
∵
，
，解得
0
m
或2
当
0
m
时，1l ：
1
0
x
y
，2l ：
1
0
x
y
满足1
2
/ /
l
l ；
当
2
m 时，1l ：
1
0
x
y
，2l ：
1
0
x
y
,即
1
0
x
y
，两直线重合，舍去；
故
0
m
.
（2）由直线1l ：
1
1
0
x
m
y
，
即
1
0
x
y
my
，令
0
y
，可得
1
x ，
所以定点
1,0
A
，
由2l ：
1
1
0
m
x
y
，令
0
x
，可得
1
y ，
可知定点
0,1
B
，
当
1
m 时，联立1l 与2l 的方程得
2
1
0
2
1
0
x
y
x
y
，
解得
1, 1
C
，
2
BC
k
，从而
1
2
lk
，
又直线l 过点
1,0
A
，
故直线l 的方程为
1
1
2
y
x
，即
2
1
0
x
y
.
【变式训练33】已知直线
1
2
3
1
:
a
y
a
x
l
．
(1)求直线l 所过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求实数a 的取值范围；
378
2026 年高二暑假讲义A 版
(3)若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程．
【答案】(1)
1,2 ；(2) 3 ,
2
；(3)2
4
0
x
y
【详解】（1）由
:
1
2
3
1
l
a
y
a
x
，即
2
3
1
0
a
x
y
x
y
，
则
2
0
3
1
0
x
y
x
y
，解得
1
2
x
y
，所以直线过定点
1,2 .
（2）因为直线l 不过第四象限，结合图形可知，直线l 的斜率存在，所以
1
a ，
此时，直线l 的方程可化为
1
1
2
1
3
y
a
a
a
x
，记点
1,2
A
，则
2
OA
k
，
由图可得
2
3
0
2
1
a
a
，解得
3
2
a
，因此，实数a 的取值范围是3 ,
2
.
（3）已知直线
:
1
2
3
1
l
a
y
a
x
，且由题意知
1
a ，
令
0
x
，得
1
0
1
y
a
，得
1
a ，
令
0
y
，得
1
0
3
2
x
a
，得
3
2
a
，
则
2
2
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
10
6
5
1
4
4
4
S
a
a
a
a
a
，
所以当
5
4
a
时，S 取最小值，
此时直线l 的方程为5
5
1
2
3
1
4
4
y
x
，即2
4
0
x
y
.
379
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、若方程
2
2
2
3
4
1
0
m
m
x
m
m y
m
表示一条直线，则实数m 满足（
）
A．
0
m
B．
3
2
m
C．
1
m
D．
1
m ，
3
2
m
，
0
m
【答案】C
【详解】因为方程
2
2
2
3
4
1
0
m
m
x
m
m y
m
表示一条直线，
所以
2
2
3
0
m
m
，
2
0
m
m
，不能同时成立，解得
1
m ．
故选：C.
2、已知直线l 过点
4,5 ，且一个方向向量为
1,2
，则直线l 的方程为（
）
A．
1
5
4
2
y
x
B．
1
5
4
2
y
x
C．
5
2
4
y
x
D．
5
2
4
y
x
3、直线2
4
1
0
x
y
与直线
2
1
0
x
y
一定（
）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．相交但不垂直
【答案】D
【详解】由直线2
4
1
0
x
y
得
1
1
2
4
y
x
，
1
1
2
k
,
由直线
2
1
0
x
y
得
1
1
2
2
y
x
，
2
1
2
k
,
因为
1
2
1
2
,
1
k
k k
k
，故两直线相交但不垂直.
故选：D.
4、已知两条直线1
2
:
4
1
0,
:
2
0
l
ax
y
l
x
ay
，若1
2
l
l
// ，则a （
）
A．0
B．2
C．2
D．2 或2
【答案】D
【详解】由两条直线1
2
:
4
1
0,
:
2
0
l
ax
y
l
x
ay
平行，得
4
1
1
2
a
a
，
所以
2
a
或
2
a .
故选：D.
380
2026 年高二暑假讲义A 版
5、过两点
2,4
和
4
1
,
的直线在x 轴上的截距为（
）
A．14
5
B．
14
5
C．7
3
D．
7
3
【答案】A
【详解】直线的斜率
4
1
5
2
4
6
k
，∴直线的方程为
5
4
2
6
y
x
，即
5
7
6
3
y
x
，
令
0
y
，解得
14
5
x
，∴直线在x 轴上的截距为14
5 ，
故选：A．
6、直线l 过点
2,3
A
，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（
）
A．9
B．12
C．18
D．24
【答案】B
【详解】设直线l ：
1
x
y
a
b
，
,
0
a b
，
因为直线l 过点
2,3
A
，所以2
3
1
a
b
，即2
3
b
a
ab
，
所以2
3
2 2
3
b
a
ab
b
a
，解得
24
ab
，当且仅当2
3
b
a
，即
4
a
，
6
b
时等号成立，
则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围城的三角形面积
1
12
2
S
ab
.
故选：B.
7、已知点
4,4 ,
2, 3
A
B
，直线:
1
0
l kx
y
k
，若
,
A B 位于直线l 的两侧，则k 的取值范围为
（
）
A．
4,1
B．
1,4
C．
, 1
4,
D．
, 4
1,
U
【答案】B
【详解】由
1
0
kx
y
k
，可得
1
1
0
k x
y
，
所以直线l 恒过点
1,1
P
，
381
2026 年高二暑假讲义A 版
则
4 1
3 1
1,
4
4 1
2 1
PA
PB
k
k
，
由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可，
故k 的取值范围为
1,4
.
故选：B
二、多选题
8、下列说法不正确
．．．的有（
）
A．直线的倾斜角越大，斜率越大
B．过点
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
的直线方程是
1
1
1
2
1
2
x
x
y
y
x
x
y
y
C．经过点
1,1 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线有2 条
D．直线
1
2
3
x
y
在y 轴上的截距是3
【答案】ABD
【详解】对于A，当倾斜角为60时，斜率为
3 ，
当倾斜角为120时，斜率为
3
，故A 错误；
对于B，当
1
2
x
x
时，斜率不存在，故B 错误；
对于C，当直线过原点时，直线方程为y
x
，
当直线不过原点时，设直线方程为
1
x
y
a
a
，
则1
1
1
a
a
，解得
2
a
，
所以直线方程为2
2
1
x
y
，
综上所述，经过点
1,1 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线有2 条，故C 正确；
382
2026 年高二暑假讲义A 版
对于D，直线
1
2
3
x
y
，即
1
2
3
x
y
，
故直线直线
1
2
3
x
y
在y 轴上的截距是3
，故D 错误.
故选：ABD.
9、设直线1
2
: 2
2
l
x
ay
a
，则（
）
A．直线1l 在y 轴上的截距为1 a
B．直线1l 与直线2l ：
2
1
ax
y
一定垂直
C．直线1l 过定点(1,2)
D．当点
(0,0)
O
在直线1l 的右下方时，
1
a
【答案】CD
【详解】A.令
0
x
得，
2
2
ay
a
，
当
0
a
时，直线1l 在y 轴上无截距，当
0
a
时，
2
2a
y
a
，直线在y 轴上的截距为2
2a
a
，A 错误.
B.2
2
4
a
a
a
× + × =
，当
0
a
时，直线1l 与直线2l 不垂直，B 错误.
C.直线1
2
: 2
2
l
x
ay
a
可化为
(
)
2
2
2
0
x
a y
- +
-
=
，
由
2
2
0
2
0
x
y
得，
1
2
x
y
，故直线1l 过定点(1,2) ，C 正确.
D.由点
(0,0)
O
在直线1l 的右下方得，
0
a
.
由2
2
2
x
ay
a
得
2
2
2a
y
x
a
a
，
∴
2
0
2
2
0
a
a
a
，解得
1
a ，D 正确.
故选：CD.
383
2026 年高二暑假讲义A 版
三、填空题
10、（1）若直线l 经过点
(2, 1), (2,7)
A
B
，则直线l 的方程为
；
（2）若点
(3,
)
P
m 在过点
(2, 1), ( 3,4)
A
B
的直线上，则m
.
【答案】
2
x
2
【详解】（1）由点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为
2
x
.
（2）由斜率两点式4
( 1)
4
3
2
3
( 3)
m
，即
4
1
6
m
，可得
2
m .
故答案为：
2
x
；2
.
11、平面直角坐标系中，已知直线l 过点
0,4 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l 的方
程为
．
【答案】
2
4
y
x
【详解】
依题意，直线l 的两个截距都不为0，故设直线l 为
1
x
y
a
b
，
则
0
4
1
1
4
2
a
b
a b
，解得
2
4
a
b
，
所以直线l 为
1
2
4
x
y
，即
2
4
y
x
.
故答案为：
2
4
y
x
.
四、解答题
12、求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示.
(1)过点
4,3
P
，斜率
3
k ；
(2)经过点
2, 3
，倾斜角是直线
3
3
y
x
的倾斜角的2 倍；
(3)经过点
5,2
，且平行于y 轴．
【答案】(1)
3
3
4
y
x
；(2)
3
3
2
y
x
；(3)不能用点斜式，
5
x
【详解】（1）因为直线过点
4,3
P
，斜率
3
k ，
由直线的点斜式方程得直线方程为
3
3
4
y
x
．
384
2026 年高二暑假讲义A 版
（2）因为直线
3
3
y
x
的斜率为
3
3
，则直线
3
3
y
x
的倾斜角为30，
可知所求直线的倾斜角为60，故其斜率为
3 .
所以所求直线方程为
3
3
2
y
x
．
（3）因为直线平行于y 轴，则直线的斜率不存在，
所以不能用点斜式方程，直线方程为
5
x .
13、已知点
3,3
A
和直线l：
3
5
4
2
y
x
，求：
(1)过点A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程.
【答案】(1)
3
3
3
4
y
x
；(2)
4
3
3
3
y
x
【详解】（1）因为直线l：y＝3
5
4
2
x
，则直线l 的斜率
3
4
k
，
可知与直线l 平行的直线的斜率
1
3
4
k
，
过点
3,3
A
且与直线l 平行的直线方程为
3
3
3
4
y
x
.
（2）由（1）可知：与直线l 平行的直线的斜率
2
4
3
k
，
过点
3,3
A
且与直线l 垂直的直线方程为
4
3
3
3
y
x
.
14、已知
ABC
V
的顶点坐标为
1,5
2, 1
4,3
A
B
C
､
､
.
(1)求过点B 且与直线AC 平行的直线的方程；
(2)求BC 边上的中线所在直线的方程；
(3)求AB 边上的高所在直线的方程.
【答案】(1)( 16)
，；(2)是；(3)
2
4
y
x
【详解】（1）设
,
D a b ，因为四边形ABCD 为平行四边形，
所以
AB
CD
AD
BC
k
k
k
k
，
，
所以
0
2
4
5 1
3
2
4
0
1
3 5
b
a
b
a
，
，
解得
1
6
a
b
，所以
1,6 .
D
（2）因为
1
1
AC
BD
k
k
，
，
所以
1
AC
BD
k
k
，
385
2026 年高二暑假讲义A 版
所以AC
BD
.所以
ABCD
为菱形.
（3）由于
(1 2),
1,6 .
A
D
，
则直线AD 方程为：6
2
2
1 1
1
y
x
，化简得到直线AD 方程为:
2
4
y
x
.
15、已知直线
1
2
3
1
:
a
y
a
x
l
．
(1)求直线l 所过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求实数a 的取值范围；
(3)若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程．
【答案】(1)
1,2 ；(2) 3 ,
2
；(3) 2
4
0
x
y
【详解】（1）由
:
1
2
3
1
l
a
y
a
x
，即
2
3
1
0
a
x
y
x
y
，
则
2
0
3
1
0
x
y
x
y
，解得
1
2
x
y
，所以直线过定点
1,2 .
（2）因为直线l 不过第四象限，结合图形可知，直线l 的斜率存在，所以
1
a ，
此时，直线l 的方程可化为
1
1
2
1
3
y
a
a
a
x
，记点
1,2
A
，则
2
OA
k
，
由图可得
2
3
0
2
1
a
a
，解得
3
2
a
，因此，实数a 的取值范围是3 ,
2
.
（3）已知直线
:
1
2
3
1
l
a
y
a
x
，且由题意知
1
a ，
令
0
x
，得
1
0
1
y
a
，得
1
a ，
令
0
y
，得
1
0
3
2
x
a
，得
3
2
a
，
则
2
2
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
10
6
5
1
4
4
4
S
a
a
a
a
a
，
所以当
5
4
a
时，S 取最小值，
此时直线l 的方程为5
5
1
2
3
1
4
4
y
x
，即2
4
0
x
y
.
386
2026 年高二暑假讲义A 版
直线的交点坐标和距离公式
1、点与坐标的一一对应关系
几何元素及关系
代数表示
点P
( , )
P a b
直线l
:
0
l Ax
By
C
点P 在直线l 上
0
Aa
Bb
C
直线1l 与2l 的交点是P
方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
的解是x
a
y
b
2、直线的交点与方程的解
求两直线
1
1
1
1
1
1
0(
0)
A x
B y
C
A B C
与
2
2
2
2
2
2
0(
0)
A x
B y
C
A B C
的交点坐标，
只需求两直线方程联立所得方程组
1
1
1
2
2
2
0
0
A x
B y
C
A x
B y
C
的解即可．
若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有
1
1
1
2
2
2
A
B
C
A
B
C ，则方程组无解，此时两直线平行；
若有
1
1
2
2
A
B
A
B ，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．
1、两点间的距离公式
题型1
直线的交点问题
题型5
点关于点、直线对称
题型2
两点间的距离公式
题型6
直线关于点、直线对称
题型3
点到直线的距离公式
题型7
入射光线和反射光线问题
题型4
两平行线的距离公式
题型8 利用对称解决线段和、差最值问题
知识点1
两条直线的交点坐标
知识点2
距离公式
387
2026 年高二暑假讲义A 版
平面内两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
间的距离公式为：
2
2
1
2
1
2
1
2
PP
x
x
y
y
.
特别地，原点
(0,0)
O
与任一点
( , )
P x y 的距离
2
2
|
|
OP
x
y
.
注：
①公式中
1P 和
2P 位置没有先后之分，也可以表示为：
2
2
1
2
2
1
2
1
PP
x
x
y
y
．
②两点间的距离公式的特殊形式：当
1
2
PP
x
轴时,
1
2
2
1
PP
y
y
; 当
1
2
PP
y
轴
时,
1
2
1
2 .
PP
x
x
③已知斜率为k 的直线上的两点
1
1
1
,
P x y
,
2
2
2
,
,
P x y
由两点间的距离公式可得
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
.
PP
x
x
y
y
k
x
x
y
y
k
2、点到直线的距离公式
平面上任意一点
0
0
,
P x
y
到直线
:
0
l Ax
By
C
( A , B 不同时为0 ) 的距离
0
0
2
2
.
Ax
By
C
d
A
B
3、两条平行直线间的距离公式
一般地, 两条平行直线
1
1
2
2
:
0,
:
0
l
Ax
By
C
l
Ax
By
C
( 其中A 与B 不同时为0, 且
(
1
2)
C
C
间的距离
1
2
2
2 .
C
C
d
A
B
注：
①两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且,x y 的系数分别对应相等的
情况,否则必须先化为一般式且系数对应相等才能使用此公式.
②当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时,可利用数形结合来解决.
(1)两直线都与x 轴垂直时, 1
1
:
l
x
x
, 2
2
:
l
x
x
,则
2
1 ;
d
x
x
(2)两直线都与y 轴垂直时, 1
1
:
l
y
y
, 2
2
:
l
y
y
,则
2
1
d
y
y
388
2026 年高二暑假讲义A 版
例1-1、分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系．
(1) 1 : 2
7
l
x
y
和2 :3
2
7
0
l
x
y
；
(2) 1 : 2
6
4
0
x
l
y
和2 : 4
12
8
0
l
x
y
；
(3) 1 : 4
2
4
0
l
x
y
和2 :
2
3
l
y
x
．
【答案】(1)相交，交点坐标为
3, 1
；(2)不相交，重合；(3)不相交，1
2
l
l
∥
【详解】（1）解方程组
2
7
0
3
2
7
0
x
y
x
y
，得
3,
1.
x
y
因此直线1l 和2l 相交，交点坐标为
3, 1
．
（2）方程组
2
6
4
0
4
12
8
0
x
y
x
y
有无数个解，这表明直线1l 和2l 重合．
（3）方程组
4
2
4
0
2
3
0
x
y
x
y
无解，这表明直线1l 和2l 没有公共点，故1
2
l
l
∥．
【变式训练1】直线2
2
0
ax
y
与直线
(
)1
2
0
x
a
y
互相垂直，则这两条直线的交点坐标为
（
）
A．
2
6
,
5
5
B．2 6
,
5 5
C．2
6
,
5
5
D．
2 6
,
5 5
【答案】B
【详解】
1
a 时，直线分别化为：2
2
0 ,
2
0
x
y
x
，此时两条直线不垂直.
1
a 时，由两条直线垂直可得：
1
2
1
1
a
a
，解得
1
a .
综上可得：
1
a .
联立
2
2
0
2
2
0
x
y
x
y
，解得
2
5
x
，
6
5
y
. ∴这两条直线的交点坐标为2 6
,
5 5
.
故选：B
题型1
直线的交点问题
389
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练2】（多选）已知直线1 :
3
0
l
ax
y
a
，直线
2 : 2
1
6
0
l
x
a
y
，则（
）
A．当
3
a
时，1l 与2l 的交点为
3,0
B．直线1l 恒过点
3,0
C．若1
2
l
l
，则
1
3
a
D．存在a R ，使1
2
l
l
//
【答案】ABC
【详解】对于A，当
3
a
时，直线1 :3
9
0
l
x
y
，直线2 : 2
2
6
0
l
x
y
，
联立
3
9
0
2
2
6
0
x
y
x
y
，解得
3
0
x
y
，所以两直线的交点为
3,0 ，故A 正确；
对于B，直线1 :
3
0
l
ax
y
a
，即
3
0
a x
y
，令
3
0
0
x
y
，即
3
0
x
y
，
所以直线1l 恒过点
3,0 ，故B 正确；
对于C：若1
2
l
l
，则2
1
0
a
a
，解得
1
3
a
，故C 正确；
对于D，假设存在a R ，使1
2
l
l
// ，则
1
1 2
0
a a
，解得
2
a
或
1
a ，
当
2
a
，1 : 2
6
0
l
x
y
，2 : 2
6
0
l
x
y
，两直线重合，舍去，
当
1
a 时，1 :
3
0
l
x
y
，即
3
0
x
y
，
2 : 2
2
6
0
l
x
y
，即
3
0
x
y
，两直线重合，舍去，
所以不存在a R ，使1
2
l
l
// ，故D 错误．
故选：ABC．
【变式训练3】若直线1l ：
2
4
0
x
y
与直线2l ：
2
1
0
kx
y
k
的交点位于第一象限，则实数k
的取值范围是（
）
A．
1 1
,
6 2
B．
1 1
,
2 6
C．
1
1
,
,
2
2
D．
1
1
,
,
2
6
【答案】A
390
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】由题意联立
2
4
0
2
1
0
x
y
kx
y
k
，解得
2
4
2
1
6
1
2
1
k
x
k
k
y
k
，
即直线1l ：
2
4
0
x
y
与直线2l ：
2
1
0
kx
y
k
的交点为2
4
6
1
,
2
1 2
1
k
k
k
k
，
由题意可得
2
4
0
2
1
6
1
0
2
1
k
k
k
k
，解得
1
1
6
2
k
，
即实数k 的取值范围是
1 1
,
6 2
，
故选：A
例1-2、已知三条直线
2
8
0
mx
y
，2
10
0
x
y
，
2
0
x
y
相交于一点，则m
.
【答案】3
【详解】由2
10
0
x
y
和
2
0
x
y
联立，解得
4,
2
x
y
，
依题意，点(4, 2)
在直线
2
8
0
mx
y
上，解得
3
m
.
故答案为：3.
【变式训练4】（多选）若三条直线
2
3
5
2
5
0
a
a
x
y
，
2
y
x
，
2
5
x
y
交于一点，则a
的值可为（
）
A．1
B．3
C．1
D．4
【答案】CD
【详解】解：联立直线方程
2
y
x
与
2
5
x
y
，
即
2
2
5
y
x
x
y
，解得
1
2
x
y
，
故直线
2
y
x
与
2
5
x
y
的交点为
1,2 ，
因为三条直线
2
3
5
2
5
0
a
a
x
y
，
2
y
x
，
2
5
x
y
交于一点，
所以将
1,2 代入
2
3
5
2
5
0
a
a
x
y
，
解得
1
a 或4 ，检验符合，
故选：CD.
例1-3、已知直线l 过直线1 :
0
l
x
y
和2 :
2
0
l
x
y
的交点，且与3
4
5
0
x
y
平行，则l 的方程
是（
）
391
2026 年高二暑假讲义A 版
A．3
4
7
0
x
y
B．3
4
7
0
x
y
C．4
3
1
0
x
y
D．4
3
1
0
x
y
【答案】B
【详解】联立直线1l 、2l 的方程，
0
2
0
x
y
x
y
，解得
1
x
y
，
故直线1l 、2l 的交点坐标为
1,1 ，
因为直线l 与直线3
4
5
0
x
y
平行，设直线l 的方程为3
4
0
x
y
m
，
将点
1,1 的坐标代入直线l 的方程可得3
4
0
m
，解得
7
m .
因此，直线l 的方程为3
4
7
0
x
y
.
故选：B.
【变式训练5】经过两条直线2
3
10
0
x
y
与3
4
2
0
x
y
的交点，且垂直于直线
3
7
0
x
y
的
直线的方程为（
）
A．3
4
0
x
y
B．3
4
0
x
y
C．3
4
0
x
y
D．3
8
0
x
y
【答案】B
【详解】联立2
3
10
0
x
y
与3
4
2
0
x
y
，得交点坐标为
2,2
.
又垂直于直线
3
7
0
x
y
的直线的斜率为
1
3
1
3
，
故所求直线的方程为
2
3
2
y
x
，即3
4
0
x
y
.
故选：B
【变式训练6】经过直线
2
6
0
x
y
和
2
2
0
x
y
的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程
为
.
【答案】y
x
或
4
x
y
【详解】联立
2
6
0
2
2
0
x
y
x
y
，解得
2
2
x
y
，
即直线
2
6
0
x
y
和
2
2
0
x
y
的交点坐标为
2,2 ，
当直线过原点时，方程为y
x
，
当直线不过原点时，设直线方程为
1
x
y
a
a
，
392
2026 年高二暑假讲义A 版
则有2
2
1
a
a
，解得
4
a
，
故直线方程为
1
4
4
x
y
，即
4
x
y
，
综上所述，所求直线方程为y
x
或
4
x
y
.
故答案为：y
x
或
4
x
y
.
例2、已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是
3,4 ，则AB （
）
A．10
B．5
C．8
D．6
【答案】A
【详解】设(
)
(
)
,0 ,
0,
A a
B
b ，则
6,
8
a
b
，
即
6,0 ,
0,8
A
B
，
所以
2
2
6
0
0
8
10
AB
.
故选：A
【变式训练7】已知
,2 ,
2, 3 ,
1,1
A a
B
C
三点，且AB
AC
，则a 的值为（
）
A．7
2
B．
11
4
C．
3
2
D．
9
2
【答案】D
【详解】AB
AC
，则
2
2
2
2
2
5
1
1
a
a
，解得
9
2
a
.
故选：D.
【变式训练8】直线1 :3
2
0
l
ax
y
和直线
2 : 2
1
5
1
0
l
a
x
ay
分别过定点A 和B ，则AB （
）
A．13
5
B．17
5
C．11
5
D．
89
5
【答案】A
【详解】直线1 :
3
2
l
y
ax
过定点
0, 2
A
，
直线
2 : 2
1
5
1
0
l
a
x
ay
2
5
1
0
a
x
y
x
，
则
1
2
5
0
2
1
0
5
x
x
y
x
y
，可得2l 过定点
2
1, 5
A
，
题型2
两点间的距离公式
393
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
2
2
2
13
( 1 0)
2
5
5
AB
.
故选：A
【变式训练9】已知四边形ABCD 的四个顶点为
0,0
A
，
3, 2
B
，
5,1
C
，
2,3
D
，则四边形ABCD
的形状是（
）.
A．平行四边形
B．正方形
C．菱形
D．矩形
【答案】B
【详解】依题意，
2
2
|
|
5
1
26
AC
，
2
2
|
|
(3
2)
( 2
3)
26
BD
，即|
| |
|
AC
BD
，
又线段AC 的中点为(5 ,
2
1)
2 ，线段BD 的中点为(5 ,
2
1)
2 ，即线段BD 与AC 互相平分，
因此四边形ABCD 是矩形，而直线AB 的斜率
2
3
AB
k
，直线AD 的斜率
3
2
AD
k
，
即
1
AB
AD
k
k
，则AB
AD
，所以矩形ABCD 是正方形.
故选：B
【变式训练10】已知
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
是直线:
2
l y
x
b
上的两点，若
2
1
3
x
x
，求
AB
.
【答案】3 5
【详解】因为
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
在直线l 上，所以
1
1
2
y
x
b
，
2
2
2
y
x
b
.
由已知
2
1
3
x
x
，得
2
1
2
1
2
1
2
2
2
6
y
y
x
b
x
b
x
x
，
由两点间的距离公式，得
2
2
2
2
2
1
2
1
3
6
3 5
AB
x
x
y
y
.
故答案为：3 5 .
【变式训练11】顺次连接
(3,1),
(5,
),
( ,2)
A
B
m C m
构成一个等腰三角形，则实数m 的一个取值可能
为
．
【答案】5
4 （或6
2 3
，答案不唯一）
【详解】当AB
AC
时，由两点间距离公式可得
2
2
4
(
1)
(
3)
1
m
m
，解得
5
4
m
；
当AB
BC
时，由两点间距离公式可得
2
2
2
4
(
1)
(
5)
(2
)
m
m
m
，
解得
6
2 3
m
；
394
2026 年高二暑假讲义A 版
当AC
BC
时，由两点间距离公式可得
2
2
2
(
3)
1
(
5)
(2
)
m
m
m
，
此时方程无解，综上，m 的取值可能为5 ,6
2 3
4
．
故答案为：5
4 （或6
2 3
，答案不唯一）.
【变式训练12】数学家欧拉（Euler）1765 年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角
形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若
ABC
V
的顶点
2,0 ,
0,4 ,
4,0
A
B
C
，则欧拉线方程为
．
【答案】
2
0
x
y
【详解】因
ABC
V
的顶点
2,0 ,
0,4 ,
4,0
A
B
C
，则其重心为
2
0
4 0
4
0
(
,
)
3
3
G
,即
2 4
( , )
3 3
G
；
显然
ABC
V
的外心M 在线段AC 的中垂线
1
x 上，故可设
(1, )
M
b ，
由|
| |
|
MA
MB
，可得
2
2
2
( 2 1)
1
(
4)
b
b
，解得
1
b ,
则外心坐标为
(1,1)
M
，于是
4
1
3
1
2
1
3
MG
k
,
故欧拉线方程为：
1
(
1)
y
x
，即
2
0
x
y
.
故答案为：
2
0
x
y
.
【变式训练13】已知三角形的顶点为
2,3
A
，
0, 1
B
，
2,1
C
.
(1)求直线AC 的方程；
(2)若直线l 过点B 且与直线AC 交于点E，
3
BE
，求直线l 的方程.
【答案】(1)
2
4
0
x
y
.
(2)直线l 的方程为
0
x
或3
4
4
0
x
y
.
【详解】（1）因为直线AC 的斜率为
1
2
AC
k
，
所以直线AC 的方程为：
1
3
2
2
y
x
，
395
2026 年高二暑假讲义A 版
即直线AC 的方程为：
2
4
0
x
y
.
（2）因为点E 在直线AC 上，直线AC 的方程为：
2
4
0
x
y
，
所以设E 的坐标为
1
,
2
2
t
t
，
3
BE
∵
，
0, 1
B
，
2
2
1
2
1
3
2
t
t
，
解得：
0
t
或
12
5
t
，
E
的坐标为
0,2 或
12 4
,
5 5
，
因为直线l 过点
,
B E ，
当直线l 的斜率不存在时，则
0
x
，
当直线l 的斜率存在时，
4
1
3
5
12
4
5
BE
k
，
所以
3
1
4
y
x
，化简可得3
4
4
0
x
y
.
直线l 的方程为
0
x
或3
4
4
0
x
y
.
例3、点
1,2
M
到直线3
4
6
0
x
y
的距离为（
）
A．2
B．2
C．1
D．1
【答案】D
【详解】由题点
1,2
M
到直线3
4
6
0
x
y
的距离为
2
2
3
1
4 2
6
1
3
4
d
.
故选：D.
【变式训练14】已知
(4,0)
A
到直线4
3
0
x
y
a
的距离等于3，则a 的值为
.
【答案】1
或31
【详解】由距离公式可得，
2
2
4 4
3 0
3
4
3
a
，
即
16
15
a
，解得
1
a 或
31
a
.
故答案为：1
或31
.
题型3
点到直线的距离公式
396
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练15】已知两点
3,2
A
和
1,4
B
到直线
3
0
mx
y
距离相等，则m 值为（
）
A．0 或
1
2
B．1
2 或6
C．
1
2
或1
2
D．0 或1
2
【答案】B
【详解】∵两点
3,2
A
和
1,4
B
到直线
3
0
mx
y
距离相等，
2
2
3
2
3
4
3
1
1
m
m
m
m
，解得
1
2
m
，或
6
m ．
故选：B．
【变式训练16】过点
2,2 3
P
且和原点距离是2 的直线方程是
.
【答案】
2
x
或
3
4 3
3
3
y
x
【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：
2
x
，此时原点到直线的距离为2，满足题意，
当斜率存在时，
所以设直线方程为
2 3
2
y
k x
，即
2
2 3
0
kx
y
k
，又原点到直线的距离等于2，
所以
2
2
2
2 3
2
1
k
k
，解得
3
3
k
．
所以直线方程为
2
x
或
3
4 3
3
3
y
x
．
故答案为：
2
x
或
3
4 3
3
3
y
x
．
【变式训练17】（多选）过点
2,1
M
且与
1,2 ,
3,0
A
B
两点距离相等的直线方程（
）
A．
2
0
x
y
B．
2
0
x
y
C．
1
y
D．
1
x
【答案】BC
【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在，
可设所求直线方程为
(
2) 1
y
k x
，即
2
1
0
kx
y
k
，
因为与点
1,2 ,
3,0
A
B
距离相等，
则
2
2
|
1|
| 5
1|
1
1
k
k
k
k
，可得
1
5
1
k
k
，解得
1
2
k
或
0
k
，
所以所求直线方程为
2
0
x
y
或
1
y .
故选：BC
397
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练18】已知
,
P m n 在直线3
4
15
0
x
y
上，则
2
2
m
n
的最小值为
．
【答案】3
【详解】因为
2
2
m
n
表示点P 到原点
0,0 的距离，而点P 在直线3
4
15
0
x
y
上，
所以
2
2
m
n
的最小值即为原点
0,0 到直线3
4
15
0
x
y
的距离，
2
2
3 0
4 0
15
3
3
4
d
.
所以
2
2
m
n
的最小值为3.
故答案为：3.
例4、已知直线1 :3
4
10
0
l
x
y
，2 :3
4
5
0
l
x
y
，两直线之间的距离为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】直线1 :3
4
10
0
l
x
y
，2 :3
4
5
0
l
x
y
，
根据平行线间的距离公式得
2
2
5 10
3
3
4
d
.
故选：C
【变式训练19】两平行直线1 : 2
4
1
0
l
x
y
，2 :
2
2
0
l
x
y
之间的距离为（
）
A．
5
B．
5
2
C．1
D．1
2
【答案】B
【详解】由题意可知2 :
2
2
0
l
x
y
可以化为2
4
4
0
x
y
，
所以两平行直线1l ，2l 之间的距离
2
2
1
4
5
5
2
2 5
2
4
d
.
故选：B.
【变式训练20】若直线1 : 2
1
0
l
x
y
与直线
2 :
2
0
R
l
kx
y
k
平行，那么这两条直线之间的
距离为（
）
A．3
5
B．1
5
C．3 5
5
D．
5
5
【答案】D
题型4
两平行线的距离公式
398
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】有已知直线1 : 2
1
0
l
x
y
与直线
2 :
2
0
R
l
kx
y
k
平行，则
2 1
1
0
k
，即
2
k ，
此时直线1 : 2
1
0
l
x
y
与直线2
0
: 2
2
l
x
y
，即2 : 2
2
0
l
x
y
满足平行，
则两直线间距离
2
2
2 1
5
5
2
1
d
，
故选：D.
【变式训练21】若两条平行直线1l ：
2
0
x
y
m
与2l ：2
6
0
x
ny
之间的距离是2 5 ，则直线1l
在x 轴上的截距为
．
【答案】7
或13
【详解】由题意，
0
n
，因为1
2
l
l
// ，所以
2
1
2
n
，解得n 4，所以2l ：2
4
6
0
x
y
，即
2
3
0
x
y
，
由两平行直线间的距离公式得
2
2
3
2 5
1
2
m
，解得
7
m
或
13
m
．
在
2
0
x
y
m
中，令
0
y
，得x
m
，故直线1l 在x 轴上的截距为7
或13.
故答案为：7
或13.
【变式训练22】已知直线:
2
3
0
l x
y
.
(1)若直线1l 过点
2, 1
M
，且1l
l
，求直线1l 的方程；
(2)若直线2//
l
l ，且直线2l 与直线l 之间的距离为
5 ，求直线2l 的方程.
【答案】(1)2
3
0
x
y
；(2)
2
8
0
x
y
或
2
2
0
x
y
【详解】（1）易知直线l 的斜率为1
2 ，因为1l
l
，所以直线1l 的斜率为2
，
又因为直线1l 过点
2, 1
M
，所以，直线1l 的方程为
1
2
2
y
x
，即2
3
0
x
y
.
（2）直线2 //
l
l ，设直线2l 的方程为
2
0
x
y
m
，因为直线2l 与直线l 之间的距离为
5 ，
由平行线间的距离公式可得
3
5
5
m
，解得
8
m 或
2
m
，
因此直线2l 的方程为
2
8
0
x
y
或
2
2
0
x
y
.
【变式训练23】已知在
ABC
V
中，AB 边上的高所在的直线方程为
0,
x
y
AC
边上的高所在的直线
方程为3
4
9
0
x
y
，点A 的坐标为
1,2 .求：
(1)边BC 所在的直线方程；
(2)
ABC
V
的面积.
【答案】(1) 2
5
6
0
x
y
；(2)7
399
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）由题意得设AB 边上的高的斜率为1，AC 边上的高的斜率为
3
4
，所以直线
,
AB AC 的
斜率分别为
4
1, 3
.
因为
1,2
A
，所以直线
,
AB AC 的方程分别为
3
0,4
3
2
0
x
y
x
y
.
由
3
0,
3
4
9
0,
x
y
x
y
解得
3,
0,
x
y
即
3,0
B
；由4
3
2
0,
0,
x
y
x
y
解得
2,
2,
x
y
即
2, 2
C
.
所以直线BC 的斜率为2
0
2
2
3
5
，所以直线BC 的方程为
2
3
5
y
x
，即得2
5
6
0
x
y
.
（2）由（1）知，
3,0 ,
2, 2
B
C
，直线BC 的方程为2
5
6
0
x
y
，
所以
2
2
( 2
3)
( 2
0)
29
BC
.因为
1,2
A
，所以点A 到直线BC 的距离
2
2
2 10
6
14
29
2
( 5)
d
.所以
ABC
V
的面积
1
1
14
29
7
2
2
29
S
BC d
.
题型5
点关于点、直线对称
400
2026 年高二暑假讲义A 版
例5-1、已知点
( ,2)
A x
与
( 3, )
B
y
关于坐标原点对称，则x
y
等于（
）
A．5
B．1
C．5
D．1
【答案】B
【详解】由
( ,2)
A x
与
( 3, )
B
y
关于坐标原点对称，则
3,
2
x
y
，所以
1
x
y
.
故选：B
【变式训练24】已知不同的两点
,
P a
b
与
1,
1
Q b
a
关于点
3,4 对称，则ab （
）
A．5
B．14
C．14
D．5
【答案】C
【详解】因为两点
,
P a
b
与
1,
1
Q b
a
关于点
3,4 对称，
可得
1
3
2
1
4
2
a
b
a
b
，即
5
9
a
b
a
b
，解得
7,
2
a
b
，所以
7
2
14
ab
.
故选：C.
例5-2、点
2, 3
P
关于直线:
1
l y
x
的对称点为（
）
A．
3,4
B．
4, 3
C．
4,3
D．
3, 4
【答案】C
【详解】设点
2, 3
P
关于直线:
1
l y
x
的对称点为
,
Q x y ，
则满足
3 1
1
2
3
2
1
2
2
y
x
y
x
，解得
4,
3
x
y
，即
4,3
Q
.
故选：C.
【变式训练25】（多选）若点
,4
A m
和点
1
,3
B
m
关于直线:
3
0
l x
ny
对称，则（
）
A．AB 的中点坐标为
1 7
,
2 2
B．
1
n
C．直线l 的斜率为1
D．
0
m
【答案】ABD
【详解】易知AB 的中点坐标为
1 7
,
2 2
，则点
1 7
,
2 2
在直线l 上，所以
1
7
3
0
2
2
n
，解得
1
n ，
所以直线l 的斜率为1
.又因为AB
l
，所以
3
4
( 1)
1
1
m
m
，解得
0
m
.
故选：ABD
401
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练26】点
1,3
P
关于直线
0
x
y
的对称点为Q ，则点Q 到直线3
2
0
x
y
的距离为
（
）
A．3 5
5
B．3 10
C．3 10
5
D．10
【答案】C
【详解】设
1,3
A
关于直线
0
x
y
的对称点为
,
Q a b ，由对称关系可得
3 1
1
1
1
3
0
2
2
b
a
a
b
，解得
3
1
a
b
．
3, 1
Q
则点
3, 1
Q
到直线l ：3
2
0
x
y
的距离为
2
2
3 3 1 2
3 10
5
3
1
d
．
故选：C．
题型6
直线关于点、直线对称
402
2026 年高二暑假讲义A 版
例6-1、与直线3
4
5
0
x
y
关于坐标原点对称的直线的方程为（
）
A．4
3
5
0
x
y
B．3
4
5
0
x
y
C．4
3
5
0
x
y
D．3
4
5
0
x
y
【答案】D
【详解】设直线3
4
5
0
x
y
上一点
1
1
,
Q x y
关于坐标原点
0,0 对称的点为
,
P x y ，
则
1
0
2
x
x
，
1
0
2
y
y
，解得
1x
x
，
1y
y
，代入3
4
5
0
x
y
，得3
4
5
0
x
y
，
即所求直线的方程为3
4
5
0
x
y
．
故选：D．
【变式训练27】直线l：
2
4
y
x
关于点
(1,0)
A
对称的直线方程为（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
4
y
x
【答案】A
【详解】因为
(1,0)
A
不在直线l：
2
4
y
x
上，所以可设直线l：
2
4
y
x
关于点
(1,0)
A
对称的直线
方程为
2
y
x
b
，则
2
2
2
2
2
0
4
2
0
2
( 1)
2
( 1)
b
，解得
0
b
或
4
b （舍去），故所求直线方程为：
2
y
x
.
故选：A
【变式训练28】直线ax＋y＋3a－1＝0 恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方
程为（
）
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．3x－2y－6＝0
D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0 得
3
1
0
x
a
y
，
由
3
0
1
0
x
y
，得
3
1
x
y
，∴M（－3，1）．设直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方程为
2
3
0
6
x
y
C
C
，∴
6
3
6
6
3
4
9
4
9
C
，解得:C＝12 或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
例6-2、直线
2
1
0
x
y
关于直线
1
x 对称的直线方程是（
）
A．
2
1
0
x
y
B．2
1
0
x
y
C．
2
3
0
x
y
D．
2
3
0
x
y
【答案】D
【详解】设所求直线上任意一点的坐标为
,
P x y ，该点关于直线
1
x 对称的点的坐标为
0
0
,
P x
y
，
403
2026 年高二暑假讲义A 版
则
0
0
1
2
y
y
x
x
,故对称点坐标为
2
,
P
x y
，代入直线
2
1
0
x
y
上，
2
2
1
0
2
3
0
x
y
x
y
，
故选：D
【变式训练29】已知直线:
1
0
l x
y
，1 :
3
0
l
x
y
，2 : 2
1
0
l
x
y
．
（1）求直线1l 关于直线l 的对称直线1l 的方程；
（2）求直线2l 关于直线l 的对称直线2l 的方程．
【答案】（1）
5
0
x
y
；（2）
2
2
0
x
y
．
【详解】（1）因为1//
l
l ，所以1 //
l
l
．设直线1l 的方程为
0
x
y
c
（
3
c
，且
1
c ）．
在直线1l 上取点
0,3
M
，设点M 关于直线l 的对称点为
,
M
a b
，
则
3 1
1
0
3
1
0
2
2
b
a
a
b
，解得
4
1
a
b
，即点M 的坐标为
4
1
,
．
把点M 的坐标代入直线1l 的方程，得
4
1
0
c
，解得
5
c ，
所以直线1l 的方程为
5
0
x
y
．
（2）由2
1
0
1
0
x
y
x
y
，得
0
1
x
y
，
所以2l 与l 的交点坐标为
0, 1
A
．另取2l 上不同于A 的一点
1,1
B
，
设
1,1
B
关于l 的对称点为
,
B m n
，
则
1
1 1
0
2
2
1
1
1
m
n
n
m
，得
2
0
m
n
，
即点B的坐标为
2,0 ．所以过
0, 1
A
与
2,0
B
的直线2l 的方程为
1 0
2
0
2
y
x
，
即
2
2
0
x
y
．
例7、一条光线从点
4,2
P
射出，经过直线y
x
反射后与y 轴相交于点
0, 2
Q
，则入射光线所在
题型7
入射光线和反射光线问题
404
2026 年高二暑假讲义A 版
直线的方程为（
）
A．
3
2
0
x
y
B．3
2
0
x
y
C．
3
2
0
x
y
D．
3
10
0
x
y
【答案】C
【详解】根据题意可得反射光线经过点
0, 2
Q
，易得入射光线所在直线经过点
2,0
Q
，
因为入射光线经过点
4,2
P
，所以入射光线所在直线的方程为
2
4
0
2
2
4
y
x
，即
3
2
0
x
y
.
故选：C .
【变式训练30】已知从点
1,5
发出的一束光线，经过直线2
2
0
x
y
反射，反射光线恰好过点
2,7 ，则反射光线所在的直线方程为（
）
A．2
11
0
x
y
B．4
1
0
x
y
C．4
15
0
x
y
D．
9
0
x
y
【答案】C
【详解】点
1,5
关于2
2
0
x
y
对称的点设为
,x y ，
则
5
1
3
1
2
3
5
1
2
0
2
y
x
x
y
y
x
，反射光线经过点
7
3
3,3 , 2,7 ,
4
2
3
k
，
则反射光线所在的直线方程为
4
3
3
y
x
，即4
15
0
x
y
.
故选:C.
【变式训练31】如图所示，已知点
(2,0), (0,2)
A
B
，从点
(1,0)
P
射出的光线经直线AB 反射后再射到
直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程是（
）
A．3
B．10
C．3 3
D．2 5
【答案】B
【详解】依题意，直线AB 方程为
2
x
y
，设P 关于直线AB 的对称点
( , )
Q a b ，
则
1
1
1
2
2
2
b
a
a
b
，解得
2
1
a
b
，即
(2,1)
Q
，又P 关于y 轴的对称点为( 1,0)
T
，
405
2026 年高二暑假讲义A 版
2
2
( 1 2)
(0 1)
10
QT
，光线所经过的路程即PMN
的周长，
而PMN
的周长为|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
10
MP
MN
NP
MQ
MN
NT
QT
，
所以光线所经过的路程是10 ．
故选：B
例8、已知点
1, 3 ,
5,2
A
B
，点P 在y 轴上，则AP
BP
的最小值为
.
题型8
利用对称解决线段和、差最值问题
406
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】
61
【详解】如图作出点
1, 3
A
关于y 轴的对称点
( 1, 3)
A
，连接A B
，交y 轴于点P ，
连接AP ，则|
| |
|
AP
A P
，此时
2
2
(5 1)
(2
3)
61
AP
BP
A P
BP
A B
即为最小值.
理由：在y 轴上任取点P，连接
,
,
A P AP BP
，易得|
| |
|
AP
A P
，
则AP
BP
A P
BP
A B
AP
BP
，故上述点P 即是使AP
BP
取得最小值的点.
故答案为：
61 .
【变式训练32】已知点P 在直线
1
0
x
y
上，点
(1, 2),
(2,6)
A
B
，则|
|
|
|
PA
PB
的最小值为
【答案】3 5
【详解】如图，设
(1, 2)
A
关于直线
1
0
x
y
的对称点为
( , )
E m n ，则
1
2
1
0
2
2
2 1
1
1
m
n
n
m
，
解得
1
0
m
n
，则
( 1,0)
E
，于是|
|
|
| |
|
|
|
PA
PB
PE
PB
，
结合图形知，当
,
,
B E P 三点共线时，此时|
|
|
|
PE
PB
取得最小值
|
|
3 5
BE
，
即|
|
|
|
PA
PB
取得最小值为3 5
故答案为：3 5
407
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练33】已知在
ABC
V
中，顶点
1,1
A
，点B 在直线
2
0
l x
y
:
上，点C 在x 轴上，则
ABC
V
的周长的最小值为（
）
A．
5
B．2 5
C．4 5
D．5 5
2
【答案】B
【详解】设点A 关于直线
2
0
l x
y
:
的对称点为
1
1
1
,
A x y
，点
1,1
A
关于x 轴的对称点为
2
2
2
,
A
x
y
，
连接
1
2
A A 交l 于B ，交x 轴于C ，
则此时
ABC
V
的周长取最小值，且最小值为
1
2
A A ，
1A
∵
与
1,1
A
关于直线l 对称，
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
2
0
2
2
y
x
x
y
，解得
1
1
1
1,
1,3
3
x
A
y
，易求得
2 1, 1
A
，
1
2
2 5
A A
，即
ABC
V
周长
的最小值为2 5 .
故选：B .
【变式训练34】已知点P 在直线
1
0
x
y
上，点
1, 2
A
，
2,6
B
，则PA
PB
的最小值
为
，此时点P 坐标为
【答案】
3 5
( 3, 4)
【详解】如图，
设
1, 2
A
关于直线
1
0
x
y
的对称点为
,
E m n ，则
1
2 1
0
2
2
2 1
1
1
m
n
n
m
，
408
2026 年高二暑假讲义A 版
解得
1
0
m
n
，则
1,0
E
，于是PA
PB
PE
PB
，
结合图形知，当
,
,
B E P 三点共线时，此时PE
PB
取得最小值
|
|
3 5
BE
，即P 在Q 点位置时，
而
6
0
2
2
1
BQ
k
，直线BQ 为
2
1
2
2
y
x
x
，
由
2
2
1
0
y
x
x
y
，得点
3, 4
Q
，因此PA
PB
取得最小值时点P 坐标为( 3, 4)
.
故答案为：3 5
；( 3, 4)
一、单选题
1、直线2
5
7
0
x
y
和3
2
6
0
x
y
的交点坐标为（
）
A．
4,3
B．
3,4
C．
4,3
D．
4, 3
【答案】C
【详解】由方程组
2
5
7
0
3
2
6
0
x
y
x
y
，得
4
3
x
y
，即交点为
4,3
．
故选：C．
2、已知
ABC
V
三边所在直线方程分别为
:3
AB
x 4
12
0,
:4
3
16
0,
:2
2
0
y
BC
x
y
AC
x
y
，
则AC 边上的高所在直线的方程是（
）
A．
2
4
0
x
y
B．2
4
9
0
x
y
C．4
3
9
0
x
y
D．7
28
0
x
y
【答案】A
【详解】设AC 边上的高所在直线的斜率为k ，则有
2,
1
1,
2
AC
AC
k
k
k k
，
联立AB 、BC 方程
3
4
12
0,
4
3
16
0,
x
y
x
y
，得交点
( 4,0)
B
，
ABC
中AC 边上的高过点
( 4,0)
B
，斜率为
1
2
k
，所在直线的方程为
1 (
4)
2
y
x
，
即
2
4
0
x
y
．
故选：A.
409
2026 年高二暑假讲义A 版
3、点
3
(2,
)
A
关于点
( 1,0)
B
的对称点A的坐标是（
）
A．(5, 6)
B．( 4,3)
C．(3, 3)
D．1
3
,
2
2
【答案】B
【详解】设A点坐标为
,x y ，
则由题意可得
2
1
2
3
0
2
x
y
，解得
4
3
x
y
，
所以A点坐标为
4,3
,
故选：B
4、已知点
2,4
A
关于直线l 对称的点为
1,2
B
，则直线l 的方程为（
）
A．4
6
15
0
x
y
B．6
4
15
0
x
y
C．6
4
15
0
x
y
D．4
6
15
0
x
y
【答案】C
【详解】由题意可知，直线l 为线段AB 的垂直平分线，且
4
2
2
2 1
3
AB
k
，
所以直线l 的斜率为
3
2
，
又因为线段AB 的中点为
1 ,3
2
M
，所以直线l 的方程为
3
1
3
2
2
y
x
，
整理可得6
4
15
0
x
y
.
故选：C.
5、已知直线
4
2
0
mx
y
与2
5
0
x
y
n
互相垂直，垂足为
1,
P
p ，则m
n
p
的值是（
）
A．24
B．0
C．20
D．4
【答案】C
【详解】因为直线
4
2
0
mx
y
与2
5
0
x
y
n
互相垂直，
所以
2
4
5
0
m
，解得
10
m
；
垂足
1,
P
p 在直线10
4
2
0
x
y
上，所以
2
p ，
垂足
1,
P
p 在直线2
5
0
x
y
n
上，所以
5
2
12
n
p
，
所以
10
12
2
20
m
n
p
.
故选：C
410
2026 年高二暑假讲义A 版
6、已知直线
3
1
0
x
ky
k
与
2
2
0
x
y
的交点在第四象限，则实数k 的取值范围为（
）
A．1 ,1
4
B．
1
2, 4
C．
1
, 2
,
4
D．
, 2
1,
【答案】D
【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即
2
k ，
由
3
1
0
2
2
0
x
ky
k
x
y
，解得
8
2
2
3 3
2
k
x
k
k
y
k
，
两直线的交点在第四象限，则有
8
2
0
2
3 3
0
2
k
k
k
k
，解得
2
k 或
1
k ，
所以实数k 的取值范围为
, 2
1,
.
故选：D.
7、已知直线1 : 4
3
4
0
l
x
y
，
2 :
2
1
2
5
0
R
l
m
x
m
y
m
m
，则下列说法错误的是（
）
A．直线2l 过定点
3, 1
B．当
1
m 时，1
2
l
l
∥
C．当
2
m
时，1
2
l
l
∥
D．当1
2
l
l
∥
时，两直线1l ，2l 之间的距离为1
【答案】B
【详解】对A，
2 :
2
1
2
5
0
R
l
m
x
m
y
m
m
变形为
2
2
5
0,
m x
y
x
y
令
2=0
2
5
0
x
y
x
y
，则
3
1
x
y
，因此直线2l 过定点
3, 1
，故A 正确；
对于B，当
1
m 时，1
2
: 4
3
4
0,
:3
2
7
0
l
x
y
l
x
y
，由于
1
2
4
3
,
3
2
l
l
k
k
，
1
2
l
l
k
k
，故两直线不
平行，故B 错误；
对于C，当
2
m
时，1
2
: 4
3
4
0,
: 4
3
9
0
l
x
y
l
x
y
，
由于4
3
9
4
3
4
，故两直线平行，故C 正确；
411
2026 年高二暑假讲义A 版
对于D，当1
2
l
l
// 时，则满足
1
2
2
5
4
3
4
m
m
m
，解得
2
m
，
此时1
2
: 4
3
4
0,
: 4
3
9
0
l
x
y
l
x
y
，则两直线距离为
2
2
5
1
4
3
，故D 正确；
故选：B.
8、下列说法正确的是（
）
A．直线
2
0
x
y
与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点
0,2 关于直线
1
y
x
的对称点为
1,0
C．直线
2
3
0
x
y
关于直线
3
0
x
y
的对称直线的方程为
2
0
x
y
D．直线
3
3
y
x
关于点
(3,2)
A
的对称直线的方程为3
17
0
x
y
【答案】D
【详解】对于A，直线
2
0
x
y
与两坐标轴交于(2,0),(0, 2)
，则所求三角形面积为1
2
2
2
2
，
A 错误；
对于B，点(0,2) 和(1,0) 的中点1
( ,1)
2
不在直线
1
y
x
上，则点(0,2) 关于直线
1
y
x
的对称点不是
(1,0) ，B 错误；
对于C，在直线
2
3
0
x
y
上取点( 3,0)
，设其关于直线
3
0
x
y
的对称点为( , )
a b ，
则
3
3
0
2
2
1
3
a
b
b
a
，解得
3
6
a
b
，而点(3,6) 不在直线
2
0
x
y
上，C 错误；
对于D，在所求方程的直线上任取点( , )
x y ，则该点关于点
(3,2)
A
的对称点为(6
,4
)
x
y
在直线
3
3
y
x
上，
于是4
3(6
)
3
y
x
，即3
17
0
x
y
，因此所求的直线方程为3
17
0
x
y
，D 正确.
故选：D
二、多选题
9、已知直线:
3
1
0
l x
y
，则下列说法正确的是（
）
A．直线l 在x 轴上的截距为1
B．直线l 与直线1 :
3
2
0
l
x
y
之间的距离为
10
10
C．直线l 的一个方向向量为
(1,3)
n
D．直线l 与直线2 :3
1
0
l
x
y
垂直
【答案】BD
【详解】对于A，令
0
y
得
1
x ，直线l 在x 轴上的截距为1
，故A 错误；
412
2026 年高二暑假讲义A 版
对于B，直线l 与直线1l 平行，直线l 与直线1 :
3
2
0
l
x
y
之间的距离为
2
2
2 1
10
10
1
( 3)
，故B
正确；
对于C，直线l 的斜率为1
3 ，以
(1,3)
n
为方向向量的直线的斜率为3，故C 错误；
对于D，由1 3
( 3) 1
0
，得
2
l
l
，故D 正确．
故选：BD.
10、下列说法中，正确的有（
）
A．直线
3
2
y
ax
a
a
R 必过定点
3,2
B．点
1,1 关于直线
1
0
x
y
对称的点是
3,4
C．直线
3
1
0
x
y
的斜率为
3
3
D．点
1,2 到2
3
0
x
y
的距离是3 5
5
【答案】ACD
【详解】对于A 选项，直线方程可化为
3
2
0
a x
y
，
由
3
0
2
0
x
y
可得
3
2
x
y
，所以，直线
3
2
y
ax
a
a
R 必过定点
3,2 ，A 对；
对于B 选项，设点
1,1 关于直线
1
0
x
y
对称的点的坐标为
,a b ，
则
1
1
1
1
1 1
0
2
2
b
a
a
b
，解得
0
2
a
b
，
所以，点
1,1 关于直线
1
0
x
y
对称的点的坐标为
0,2 ，B 错；
对于C 选项，直线
3
1
0
x
y
的斜率为
1
3
3
3
，C 对；
对于D 选项，点
1,2 到2
3
0
x
y
的距离是
2
2
2
2
3
3 5
5
2
1
，D 对.
故选：ACD.
三、填空题
11、已知三条直线
2
8
0
mx
y
，2
10
0
x
y
，
2
0
x
y
相交于一点，则m
.
413
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】3
【详解】由2
10
0
x
y
和
2
0
x
y
联立，解得
4,
2
x
y
，
依题意，点(4, 2)
在直线
2
8
0
mx
y
上，解得
3
m
.
故答案为：3.
12、斜率为3
，且过两条直线3
4
0
x
y
和
4
0
x
y
交点的直线方程为
．
【答案】3
4
0
x
y
【详解】联立方程组
3
4
0
4
0
x
y
x
y
，解得
0
4
x
y
，
由题意斜率为3
，且过(0,4) 的直线方程为
3
4
y
x
.
即所求直线方程为3
4
0
x
y
.
故答案为：3
4
0
x
y
.
13、已知
2,4 ,
1,1
A
B
，若直线:
2
0
l kx
y
k
与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是
．
【答案】
2 1
,
3 2
【详解】由
:
2
0
1
2
0
l kx
y
k
k x
y
，令
1
0
2
0
x
y
，可知l 过定点
1,2
C
，
要符合题意需直线l 的斜率满足：
BC
AC
k
k
k
，
易知
4
2
2
2 1
1
,
2
1
3
1 1
2
AC
BC
k
k
，
则k 的取值范围为
2 1
,
3 2
.
故答案为：
2 1
,
3 2
.
四、解答题
14、已知直线1
2
:
2
3
0,
: 2
3
8
0
l
x
y
l
x
y
．
414
2026 年高二暑假讲义A 版
(1)经过点
(1,4)
A
且与直线1l 平行的直线；
(2)经过点
(1,4)
A
且与直线2l 垂直的直线；
(3)经过直线1l 与2l 的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．
【答案】(1)
2
7
0
x
y
；(2)3
2
5
0
x
y
；(3)
2
y
x
或
3
0
x
y
【详解】（1）设所求直线的方程为
1
2
0
x
y
C
，
依题意有
1
1 2 4
0
C
，解得
1
7
C
，
所以所求直线方程为
2
7
0
x
y
；
（2）设所求直线方程为
2
3
2
0
x
y
C
，
依题意有
2
3 1 2 4
0
C
，解得
2
5
C
，
所以所求直线方程为3
2
5
0
x
y
；
（3）联立
2
3
0
2
3
8
0
x
y
x
y
，解得
1
2
x
y
，即直线1l 与2l 的交点为
1,2 ，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为y
kx
，代入
1,2 得
2
k
，此时
2
y
x
；
当直线的截距都不为0 时，假设直线方程为
1( ,
0)
x
y
a b
a
b
，
依题意1
2
1
a
b
a
b
，解得
3
a
b
，此时直线方程为
1
3
3
x
y
，即
3
0
x
y
综上所述
2
y
x
或
3
0
x
y
.
15、已知直线:
2
2
0
l x
y
，试求：
(1)点
2, 1
P
关于直线l 的对称点坐标.
(2)直线1 :
2
l
y
x
关于直线l 对称的直线2l 的方程.
(3)直线l 关于点
1,1
A
对称的直线方程.
【答案】(1) 2 19
(
,
)
5
5 ；(2)7
14
0
x
y
；(3)
2
4
0
x
y
．
【详解】（1）设点P 的对称点为
( , )
Q x y ，
则
1
2
2
2
1
2
2
0
2
2
y
x
x
y
，解得
2
5
19
5
x
y
，
415
2026 年高二暑假讲义A 版
所以对称点坐标为2 19
(
,
)
5
5 ；
（2）由
2
2
0
2
x
y
y
x
，解得
2
0
x
y
，即直线l 与1l 的交点为
(2,0)
A
，
点
(0, 2)
E
是直线1l 上的一点，设它关于直线l 的对称点为
( , )
B x y ，
则
2
2
2
2
2
0
2
2
y
x
x
y
，解得
12
5
14
5
x
y
，即
12 14
(
,
)
5
5
B
，
14
5
7
12
2
5
AB
k
，所以直线2l 的方程为
7(
2)
y
x
，即7
14
0
x
y
；
（3）设直线l 关于点
(1,1)
A
对称的直线方程为
2
0
x
y
m
，
由1
2
2
1
2
5
5
m
，解得
2
m （舍去）或
4
m ，
所以对称直线方程为
2
4
0
x
y
．
16、设直线1 :
3
6
0
l
mx
my
与
2
2 : 4
4
0
l
m x
my
m
m
.
(1)若1
2
l
l
// ，求1l 、2l 之间的距离；
(2)当直线2l 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求m 的值.
【答案】(1) 10
10
；；(2)
2
m
.
【详解】（1）由1
2
l
l
// ，则
2
3
4
0
m
m
m
，化简得
2
4
12
0
m
m
，可得
0
m
或
3
m
，
当
0
m
时，不成立，
当
3
m
时，1 :
3
2
0
l
x
y
，2 :
3
3
0
l
x
y
，
此时1
2
,l l 之间的距离为
2
2
2
3
10
10
1
3
d
.
（2）∵直线2l 与两坐标轴的正半轴围成三角形，
0
4
0
m
m
，则0
4
m
，
2l
与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为
2
1
1
4
2
2
2
2
S
m
m
m
，
当
2
m
时，S 有最大.
416
2026 年高二暑假讲义A 版
圆的方程
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，
A
的圆心A 的坐标为
( , )
A a b , 半径为r ,
( , )
M x y 为圆上任意一点，
A
可用集合表示为：
{
||
|
}
P
M
MA
r
1、圆的标准方程：我们把方程
2
2
2
x
a
y
b
r
称为圆心为
,a b ,半径为(
0)
r r
的圆的标
准方程.
2、圆的一般方程：当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
叫做圆的一般方程．
其中
,
2
2
D
E
为圆心，
2
2
1
4
2
D
E
F
为半径．
3、一般方程与标准方程关系：
对方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
的左边配方，并将常数移项到右边，得
2
2
2
2
4
2
2
4
D
E
D
E
F
x
y
，根据圆的标准方程可知：
题型1
由标准方程确定圆心和半径
题型6
点与圆位置的关系的最值问题
题型2
求圆的标准方程
题型7
圆过定点问题
题型3
二元二次方程表示圆的问题
题型8
与圆相关的对称问题
题型4
求圆的一般方程
题型9
与圆相关的轨迹问题
题型5
点与圆位置的关系判断
知识点1
圆定义
知识点2
圆的一般方程
417
2026 年高二暑假讲义A 版
（1）当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程只有实数解
,
2
2
D
E
x
y
.它表示一个点
,
2
2
D
E
．
（2）当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当
2
2
4
0
D
E
F
时，可以看出方程表示以
,
2
2
D
E
为圆心，
2
2
1
4
2 D
E
F
为半径的圆．
注：圆的一般式方程特点：
①
2x 和
2
y 前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；
②没有xy 项；③
2
2
4
0
D
E
F
.
4、对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程的形式如下：
条件
标准方程
一般方程
圆心在原点
2
2
2
0
x
y
r
r
2
2
2
0
0
x
y
r
r
过原点
2
2
2
2
x
a
y
b
a
b
2
2
0
x
y
Dx
Ey
圆心在x 轴上
2
2
2
x
a
y
r
2
2
0
x
y
Dx
F
圆心在y 轴上
2
2
2
x
y
b
r
2
2
0
x
y
Ey
F
圆心在x 轴上且过原点
2
2
2
x
a
y
a
2
2
0
x
y
Dx
圆心在y 轴上且过原点
2
2
2
x
y
b
b
2
2
0
x
y
Ey
与x 轴相切
2
2
2
x
a
y
b
b
2
2
2
0
4
0
x
y
Dx
Ey
F
D
F
与y 轴相切
2
2
2
x
a
y
b
a
2
2
2
0
4
0
x
y
Dx
Ey
F
E
F
1、几何法（优先推荐）
设
0
0
(
,
)
M x
y
到圆心
( , )
A a b 的距离为d ，则
|
|
d
MA
①d
r
则点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A
外
②d
r
则点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A
上
③d
r
则点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A
内
2、代数法
（1）将点
0
0
(
,
)
M x
y
带入
A
：
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
方程内
①点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A
外
2
2
2
0
0
(
)
(
)
x
a
y
b
r
知识点3
点与圆的位置关系
418
2026 年高二暑假讲义A 版
②点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A
上
2
2
2
0
0
(
)
(
)
x
a
y
b
r
③点
0
0
(
,
)
M x
y
在
A
内
2
2
2
0
0
(
)
(
)
x
a
y
b
r
（2）已知点
0
0
(
,
)
M x
y
和圆的一般式方程
C
：
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
（
2
2
4
0
D
E
F
），
则点
0
0
(
,
)
M x
y
与圆的位置关系：
①点
0
0
(
,
)
M x
y
在
C
外
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
②点
0
0
(
,
)
M x
y
在
C
上
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
③点
0
0
(
,
)
M x
y
在
C
内
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
1、轨迹方程和轨迹的定义
已知平面上一动点
( , )
M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标( , )
x y 满足的关系式。轨迹是指点
在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：
（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；
（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
3、坐标法求轨迹方程的步骤
（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；
（2）设点：用( , )
x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；
（3）列式：列出关于.x y 的方程；
（4）化简：把方程化为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
1．圆的对称性：圆关于直径所在的直线轴对称；圆关于圆心中心对称.
2．圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置.
②两圆关于点对称,则此点为两圆圆心连线的中点.
3．圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置.
②两圆关于直线对称,则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
知识点4
轨迹与轨迹方程
知识点5
与圆有关的对称问题
419
2026 年高二暑假讲义A 版
4．常用结论
(1)点关于点的对称
点
0
0
,
P x
y
关于点
,
M m n 的对称点为
0
0
2
,2
.
P
m
x
n
y
(2)点关于直线的对称
点
0
0
,
P x
y
关于直线
0
Ax
By
C
的对称点为
'
,
P
m n , m , n 的值由以下方程组解得：
0
0
0
0
·
·
0,
2
2
·
1.
x
m
y
n
A
B
C
n
y
A
B m
x
设
A
的方程
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
，圆心
( , )
A a b ，点M 是
A
上的动点，点P 为平面内一点；
记
|
|
d
PA
;
1、若点P 在
A
外，则
max
|
|
PM
d
r
;
min
|
|
PM
d
r
2、若点P 在
A
上，则
max
|
|
2
PM
r
;
min
|
|
0
PM
3、若点P 在
A
内，则
max
|
|
PM
d
r
;
min
|
|
PM
r
d
例1、圆
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
的圆心坐标和半径分别为（
）
A．(1,1),2
B．(1,1), 2
C．( 1, 1),2
D．( 1, 1),
2
题型1
由标准方程确定圆心和半径
知识点6
圆上的点到定点的最大、最小距离
420
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】根据圆的标准方程
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
，
即可得圆心坐标为
1, 1
，半径为2 .
故选：D
【变式训练1】若直线
1
0
x
y
是圆
2
2
(
)
(
1)
1
x
m
y
的一条对称轴，则m （
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【详解】由题意可得，直线
1
0
x
y
过圆心
,1
m
，则
1 1
0
m
，解得
0
m
.
故选：A
【变式训练2】给定圆的方程
2
2
8
9
2
y
x
，则过坐标原点和圆心的直线方程为（
）
A．4
0
x
y
＝
B．4
0
x
y
＝
C．
4
0
x
y
＝
D．
4
0
x
y
＝
【答案】B
【详解】由圆的标准方程
2
2
8
9
2
y
x
可知，圆心为
2, 8
，
则过坐标原点和圆心的直线方程的斜率为：
8
0
4
2
0
k
，
由直线的点斜式可得
0
4
0
y
x
，即4
0
x
y
＝
.
故选：B.
例2、圆心为(2,2) 且过原点的圆的方程是（
）
A．
2
2
4
x
y
B．
2
2
8
x
y
C．
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
D．
2
2
(
2)
(
2)
8
x
y
【答案】D
【详解】圆心为(2,2) 的圆的方程为
2
2
2
(
2)
(
2)
x
y
r
，
又因为原点
0,0 在圆上，则
2
2
2
(0
2)
(0
2)
8
r
，
所以
2
2
(
2)
(
2)
8
x
y
.
题型2
求圆的标准方程
421
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：D.
【变式训练3】已知点
2,6
A
，
6,0
B
，则以AB 为直径的圆的方程为（
）
A．
2
2
2
3
25
x
y
B．
2
2
2
3
25
x
y
C．
2
2
2
3
1000
x
y
D．
2
2
2
3
100
x
y
【答案】B
【详解】根据题意，以AB 为直径的圆的圆心为AB 中点
2,3
C
，半径为
2
2
1
1
6
2
0
6
5
2
2
r
AB
，
所以圆的方程为
2
2
2
3
25
x
y
.
故选：B.
【变式训练4】已知圆C 的圆心在x 轴上且经过
1,1 ,
2, 2
A
B
两点，则圆C 的标准方程是（
）
A．
2
2
(
3)
5
x
y
B．
2
2
(
3)
17
x
y
C．
2
2
(
3)
17
x
y
D．
2
2
(
1)
5
x
y
【答案】A
【详解】解：由题意设圆C 的标准方程是
2
2
2
(
)
x
a
y
r
，
因为圆C 经过
1,1 ,
2, 2
A
B
两点，
所以
2
2
2
2
1
1
2
4
a
r
a
r
，解得
2
3
5
a
r
，
所以圆C 的标准方程是
2
2
(
3)
5
x
y
，
故选：A
【变式训练5】
ABC
V
的三个顶点的坐标分别为(
)
1,0
A
，
3,0
B
，
3,4
C
，则
ABC
V
的外接圆方程
是（
）
A．
2
2
2
2
20
x
y
B．
2
2
2
2
20
x
y
C．
2
2
2
2
5
x
y
D．
2
2
2
2
5
x
y
【答案】C
【详解】设
ABC
V
的外接圆方程为
2
2
2
x
a
y
b
r
，
422
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
3
4
a
b
r
a
b
r
a
b
r
，解得
2
2
5
a
b
r
，
所以外接圆的方程为
2
2
2
2
5
x
y
.
故选：C .
【变式训练6】已知圆M 经过
1,1
P
，
7, 5
Q
两点，且圆心M 在直线:
2
1
0
l x
y
，则圆M 的
标准方程是（
）
A．
2
2
2
3
5
x
y
B．
2
2
3
4
13
x
y
C．
2
2
3
2
25
x
y
D．
2
2
3
2
25
x
y
【答案】C
【详解】设圆心为
2
1,
M
m
m
，
由题意得MP
MQ
，即
2
2
2
2
2
1 1
1
2
1 7
5
m
m
m
m
，
解得
2
m ，故圆心
3, 2
M
，
半径为
2
2
3 1
2 1
5
，
故圆M 的标准方程为
2
2
3
2
25
x
y
.
故选：C
例3、下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径．
(1)
2
2
7
2
0
5
x
y
y
；
(2)
2
2
6
7
0
x
xy
y
x
y
；
(3)
2
2
0
x
y
x
；
(4)
2
2
2
2
0
x
y
ax
a
（
0
a
）；
(5)
2
2
2
4
2 3
6
0
x
y
ax
ay
a
．
【答案】(1)方程不表示圆；(2)方程不表示圆；(3)方程表示圆，圆心坐标为1 ,0
2
，半径1
2 ；(4)方程
题型3
二元二次方程表示圆的问题
423
2026 年高二暑假讲义A 版
不表示圆；(5)答案见解析
【详解】（1）
2
2
7
2
0
5
x
y
y
中
2x 与
2y 的系数不相同，故原方程不表示圆.
（2）
2
2
6
7
0
x
xy
y
x
y
中含有xy 项，故原方程不表示圆.
（3）方法一：因为
2
2
2
4
1
1
0
D
E
F
，所以方程表示圆，
所以圆心坐标为
,
2
2
D
E
，即1 ,0
2
，半径
2
2
1
1
4
2
2
r
D
E
F
；
方法二：方程
2
2
0
x
y
x
可化为
2
2
2
1
1
2
2
x
y
，
所以方程表示以1 ,0
2
为圆心，1
2 为半径的圆．
（4）因为
2
D
a
，
0
E
，
2
F
a
，则
2
2
2
2
4
4
4
0
D
E
F
a
a
，
所以方程不表示圆．
（5）方程可变形为
2
2
2
(
2 )
(
3 )
x
a
y
a
a
．
当
0
a
时，方程表示点
0,0 ；
当
0
a
时，方程表示圆心坐标是(2 , 3 )
a
a ，半径是a 的圆．
【变式训练7】若方程
2
2
2
2
0
x
y
x
y
m
表示圆，则m 的取值范围为（
）
A．
2
m
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
【答案】B
【详解】解：因为方程
2
2
2
2
0
x
y
x
y
m
表示圆，
所以
2
2
2
2
4
0
m
，
解得
2
m ，
故选：B
【变式训练8】已知
2
2
2
2
1
2
1
0
a x
a
y
x
表示圆，则实数a 的值为（
）
A．1
B．1
C．1
2
D．
1
2
【答案】D
【详解】由题意知
0
a
，由
2
2
2
2
1
2
1
0
a x
a
y
x
可得
2
2
2
2
2
1
1
0
2
2
a
y
x
x
a
a
a
，
424
2026 年高二暑假讲义A 版
所以
2
1
1
2
a
a
，即
2
2
1
0
a
a
，解得
1
a 或
1
2
a
，
当
1
a 时，方程为
2
2
1
0
2
x
y
x
，可化为
2
2
1
1
2
4
x
y
，不合题意；
当
1
2
a
时，方程为
2
2
4
2
0
x
y
x
，可化为
2
2
2
2
x
y
，符合题意，
所以
1
2
a
.
故选：D .
【变式训练9】“关于x
y
，的方程：
2
2
4
8
0
x
y
mx
y
表示圆”是“
4
m
”的（
）条件
A．必要不充分
B．充要
C．充分不必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】由题意有
2
2
2
2
2
4
8
0
2
4
2
4
m
m
x
y
mx
y
x
y
，
所以
2
4
0
4
4
m
m
或
4
m ，
由于
4
m
为
4
m
或
4
m 的真子集，
故方程
2
2
4
8
0
x
y
mx
y
表示圆是
4
m
的必要不充分条件，
故选：A.
例4、已知
0,0
O
，
4,3
A
，
1, 3
B
，则
OAB
△
的外接圆方程为（
）
A．
2
2
4
3
0
x
y
x
y
B．
2
2
3
0
x
y
x
y
C．
2
2
5
5
0
x
y
x
y
D．
2
2
7
0
x
y
x
y
【答案】D
【详解】设
OAB
△
的外接圆方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
因为
0,0
O
，
4,3
A
，
1, 3
B
，
所以
2
2
2
2
0
4
3
4
3
0
1
3
3
0
F
D
E
F
D
E
F
，解得
7,
1,
0
D
E
F
，
所以
OAB
△
的外接圆方程为
2
2
7
0
x
y
x
y
.
题型4
求圆的一般方程
425
2026 年高二暑假讲义A 版
故选：D.
【变式训练10】（多选）已知三点
(4,3),
(5,2),
(1,0)
A
B
C
下列结论正确的是（
）
A．AB 的距离为2
B．直线BC 的一般式方程为
2
1
0
x
y
C．以BC 为直径的圆方程为
2
2
6
2
5
0
x
y
x
y
D．
ABC
V
外接圆的方程为
2
2
6
2
5
0
x
y
x
y
【答案】BCD
【详解】由题意知,AB 的距离为
2
2
(5
4)
(2
3)
2
，故A 错误;
直线BC 的方程为
0
1
2
0
5 1
y
x
,即
2
1
0
x
y
，故B 正确；
以BC 为直径的圆，圆心为(3,1) ，半径为
5 ,
所以圆的方程为
2
2
(
3)
(
1)
5
x
y
,
即
2
2
6
2
5
0
x
y
x
y
,故C 正确;
设
ABC
V
外接圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
代入
(4,3),
(5,2),
(1,0)
A
B
C
三点坐标得，
16
9
4
3
0
25
4
5
2
0
1
0
D
E
F
D
E
F
D
F
,解得
6
2
5
D
E
F
,
所以
ABC
V
外接圆的方程为
2
2
6
2
5
0
x
y
x
y
,故D 正确.
故选：BCD.
【变式训练11】已知点
0,0
A
，
0,2
B
，
3, 1
C
，
4,2
D
在同一个圆上，则这个圆的方程为
.
【答案】
2
2
4
2
0
x
y
x
y
【详解】设圆的方程为
2
2
2
2
0 (
4
0)
x
y
Dx
Ey
F
, D
E
F
,
将点
0,0
A
，
0,2
B
，
3, 1
C
代入得
0
4
2
0
10
3
0
F
E
F
D
E
F
,
426
2026 年高二暑假讲义A 版
解得
4
2
0
D
E
F
,满足
2
2
4
0
D
E
F
，则
2
2
4
2
0
x
y
x
y
，
将
4,2
D
代入
2
2
4
2
0
x
y
x
y
也适合，
故所求圆的方程为
2
2
4
2
0
x
y
x
y
，
故答案为：
2
2
4
2
0
x
y
x
y
例5、点P
1,1 与圆
2
2
1
x
y
的位置关系为（
）
A．点P 在圆外
B．点P 在圆上
C．点P 在圆内
D．无法确定
【答案】A
【详解】因为圆
2
2
1
x
y
的圆心为：
0,0 ，半径为：1.
由点
1,1 与圆心
0,0 的距离为：
2
2
1
0
1
0
2
，
又
2
1
.
所以点
1,1 在圆
2
2
1
x
y
外.
故选：A
【变式训练12】“1
2
b
”是“点
0,
B
b 在圆
2
2
:
1
2
2
C
x
y
内”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】点
0,
B
b 在圆
2
2
:
1
2
2
C
x
y
内
2
2
0 1
2
2
1
3
b
b
，
所以“1
2
b
”是“点
0,
B
b 在圆
2
2
:
1
2
2
C
x
y
内”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式训练13】若点
1,
P
m 在圆
2
2
:
2
2
1
0
C x
y
x
y
内，则m 的取值范围是（
）
A．
, 2
B．
2,0
C．(0,2)
D．( 2,0)
题型5
点与圆位置的关系判断
427
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】由题可知，
2
1
2
2
1
0
m
m
，解得2
0
m
.
故选：D
【变式训练14】若点
1,2
P
在圆
2
2
2
2
0
x
y
x
y
k
的外部，则实数k 的取值范围是（
）
A．
5,
B．
, 5
C．
5
5,8
D．
5
5, 4
【答案】C
【详解】由已知圆
2
2
2
2
0
x
y
x
y
k
，则1
4
8
0
k
，
又点
1,2
P
在圆
2
2
2
2
0
x
y
x
y
k
的外部，
则1
4 1
4
2
0
k
，
即
5
8
0
10
2
0
k
k
，解得
8
5
5
k
，
故选：C．
例6、已知点Q 在圆
2
2
(
3)
(
2)
49
x
y
上，点
(1,5)
P
，则PQ 的值可能为（
）
A．1
B．7
C．13
D．15
【答案】B
【详解】因为
2
2
1
3
5
2
25
49
，所以点
(1,5)
P
在圆内，
又圆心
3,2
，半径为7，点
(1,5)
P
到圆心的距离为
2
2
4
3
5
+
= ，
所以7
5
5
7
PQ
，即PQ 的取值范围为
2,12 ，
所以PQ 的值可能为7.
故选：B.
【变式训练15】已知半径为3 的圆经过点(3,4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】半径为3 的圆经过点(3,4) ，可得该圆的圆心轨迹是
(3,4)
A
为圆心，3 为半径的圆，
题型6
点与圆位置的关系的最值问题
428
2026 年高二暑假讲义A 版
由
5
OA
，
3
R
，
所以圆心到原点距离的最小值是
5
3
2
OA
R
．
故选：B．
【变式训练16】已知圆
2
2
:
1
2
1
C
x
y
，点
7,6
A
，B 为圆C 上的动点，Q 为x 轴上的动点，
则QA
QB
的最小值为
．
【答案】9
【详解】如下图所示：
点A 关于x 轴的对称点为
7, 6
A
，圆C 的圆心为
1,2
C
，半径为
1
r ，
由于Q 为x 轴上的动点，由对称性知QA
QA
，
所以
2
2
7 1
6
2
1
9
QA
QB
QA
QB
CA
r
，
当且仅当B 、Q 分别为线段A C
与圆C 、x 轴的交点时，等号成立，
因此，QA
QB
的最小值为9.
故答案为：9.
【变式训练17】已知直线:
2
2
0(
)
l kx
y
k
k
R 过定点Q ，若P 为圆
2
2
:(
5)
(
6)
4
C
x
y
上任
意一点，则PQ 的最大值为（
）
A．3
B．5
C．7
D．9
429
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】C
【详解】由:
2
2
0(
)
l kx
y
k
k
R ，得
(
2
2)
y
k x
，所以直线l 过定点
(2,2)
Q
，
由
2
2
:(
5)
(
6)
4
C
x
y
，知圆心坐标(5,6) ，半径为2，
所以Q 到圆心的距离为
2
2
(5
2)
(6
2)
5
2
d
，
所以Q 在圆外，故PQ 的最大值为
2
7
d
.
故选：C.
例7、圆
: ²
²
2
5
0
C x
y
ax
ay
恒过的定点为（
）
A．
2,1 , 2, 1
B．
1, 2 , 2,1
C．
1, 2 , 1,2
D．
2, 1 , 2,1
【答案】D
【详解】圆
2
2
:
2
5
0
C x
y
ax
ay
的方程化为
2
2
2
5
0
a x
y
x
y
，
由
2
2
2
0
5
0
x
y
x
y
得
2
1
x
y
或
2
1
x
y
，
故圆C 恒过定点
2, 1 , 2,1
．
故选：D．
【变式训练18】对任意实数m ，圆
2
2
3
6
9
2
0
x
y
mx
my
m
恒过定点，则定点坐标为
．
【答案】
1,1 或1 7
,
5 5
【详解】解：
2
2
3
6
9
2
0
x
y
mx
my
m
，即
2
2
2
(3
6
9)
0
x
y
x
y
m
，
令
2
2
2
0
3
6
9
0
x
y
x
y
，解得
1
x ，
1
y ，或
1
5
x
，
7
5
y
，
所以定点的坐标是
1,1 或1 7
,
5 5
．
故答案为：
1,1 或1 7
,
5 5
.
【变式训练19】已知曲线C ：
2
2
1
1
4
8
0
a x
a y
x
ay
．
(1)当a 取何值时，方程表示圆？
题型7
圆过定点问题
430
2026 年高二暑假讲义A 版
(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．
【答案】(1)
1
a ；(2)证明见解析；
【详解】（1）当
1
a 时，方程为
2
0
x
y
表示一条直线．
当
1
a 时，
2
2
(1
)
(1
)
4
8
0
a x
a y
x
ay
，
整理得
2
2
2
2
2
4
4
16
(
)
(
)
1
1
(
1)
a
a
x
y
a
a
a
，
由于
2
2
4
16
0
(1
)
a
a
，
所以
1
a 时，方程表示圆.
（2）证明：方程变形为
2
2
2
2
4
8
0
x
y
x
a x
y
y
，
由于a 取任何值，上式都成立，则有
2
2
2
2
4
0
8
0
x
y
x
x
y
y
，
解得
0
0
x
y
或
16
5
8
5
x
y
，
所以曲线C 必过定点
0,0
A
，
16
8
,
5
5
B
，
即无论a 为何值，曲线C 必过两定点．
例8、若直线2
1
0
x
y
是圆
2
2
1
x
a
y
的一条对称轴，则a （
）
A．1
2
B．
1
2
C．1
D．0
【答案】A
【详解】圆
2
2
1
x
a
y
的圆心坐标为
,0
a
，
因为直线2
1
0
x
y
是圆
2
2
1
x
a
y
的一条对称轴，
所以直线2
1
0
x
y
过点
,0
a
，
所以2
0 1
0
a
，解得
1
2
a
.
故选:A.
【变式训练20】圆
2
2
4
3
25
x
y
关于原点
0,0 对称的圆的方程为（
）
题型8
与圆相关的对称问题
431
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
2
2
4
3
25
x
y
B．
2
2
4
3
25
x
y
C．
2
2
4
3
25
x
y
D．
2
2
4
3
25
x
y
【答案】B
【详解】圆
2
2
4
3
25
x
y
的圆心为
4, 3
，半径
= 5
r
．
圆心
4, 3
关于原点
0,0 的对称点为
4,3
，即所求圆的圆心为
4,3
，半径为5，
所以所求圆的方程为
2
2
4
3
25
x
y
．
故选：B.
【变式训练21】圆
2
2
:(
1)
(
1)
2
C
x
y
关于直线:
1
l y
x
对称后的方程为（
）
A．
2
2
(
2)
2
x
y
B．
2
2
(
2)
2
x
y
C．
2
2
(
2)
2
x
y
D．
2
2
(
1)
2
x
y
【答案】A
【详解】易知圆
2
2
:(
1)
(
1)
2
C
x
y
的圆心为
1,1
C
，
设
1,1
C
关于直线:
1
l y
x
对称点为
,a b ，
所以
1
1
1
1
1 1
2
2
b
a
b
a
，解得
2
0
a
b
，
因此对称后圆的圆心为
2,0 ，半径为2 ，
即可得方程为
2
2
(
2)
2
x
y
.
故选：A
【变式训练22】已知圆
2
2
:
1
2
1
M
x
y
与圆
2
2
:
3
4
1
N
x
y
关于直线l 对称，则l 的
方程为（
）
A．
2
5
0
x
y
B．
2
5
0
x
y
C．2
5
0
x
y
D．2
5
0
x
y
【答案】D
【详解】圆
2
2
:(
1)
(
2)
1
M
x
y
的圆心为
1, 2
M
，
圆
2
2
:(
3)
(
4)
1
N
x
y
的圆心为
3, 4
N
，所以线段MN 的中点坐标为
1, 3
，
432
2026 年高二暑假讲义A 版
又
4
2
1
3 1
2
MN
k
，则
1
2
l
MN
k
k
，
所以直线l 的方程为
3
2
1
y
x
，即2
5
0
x
y
.
故选：D.
例9、已知
2,0
A
，
2,0
B
，动点M 与点A 的距离是它与点B 的距离的2 倍，则点M 的轨迹方
程为
.
【答案】
2
2
6
32
x
y
【详解】设点M 的坐标为
,x y ，因为
2
MA
MB
，
2,0
A
，
2,0
B
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
，化简得
2
2
12
4
0
x
x
y
，
即
2
2
6
32
x
y
.
故答案为：
2
2
6
32
x
y
.
【变式训练22】已知向量
,
,
2, 4
a
x y
b
，满足
a
a
b
，则动点
,
P x y 的轨迹方程
是
.
【答案】
2
2
2
4
0
x
x
y
y
【详解】
,
2, 4
2,
4
a
b
x y
x
y
，
a
a
b
，故
2
4
0
a
x x
y
a
b
y
，
即
2
2
2
4
0
x
x
y
y
，
故答案为：
2
2
2
4
0
x
x
y
y
【变式训练23】已知过点
1,1
P
的直线l 与圆
2
2
:
6
0
C x
y
x
交于
,
M N 两点，则弦MN 的中点Q
的轨迹方程为
.
【答案】
2
2
1
5
(
2)
2
4
x
y
【详解】由直线l 过点
1,1
P
，圆
2
2
:
6
0
C x
y
x
可知，圆心C 为
3,0
，
设点
,
Q x y ，
题型9
与圆相关的轨迹问题
433
2026 年高二暑假讲义A 版
由题意可知，当点Q 与点P 不重合时，CQ
PQ
，则
3,
1,
1
0
CQ PQ
x
y
x
y
，整理得
2
2
4
3
0
x
y
x
y
，即
2
2
1
5
(
2)
2
4
x
y
，
此时点Q 的轨迹为圆
2
2
1
5
(
2)
2
4
x
y
但不包括点
1,1
P
.
当点Q 与点P 重合时，其坐标满足方程
2
2
1
5
(
2)
2
4
x
y
.
综上，点Q 的轨迹方程为
2
2
1
5
(
2)
2
4
x
y
.
故答案为：
2
2
1
5
(
2)
2
4
x
y
【变式训练24】已知等腰三角形ABC 的一个顶点为
2,2
A
，底边的一个端点为
0,0
B
，则底边的
另一个端点C 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
1
1
x
y
（
0
x
且
1
x ）
B．
2
2
2
2
8
x
y
（
0
x
且
4
x
）
C．
2
2
1
1
1
x
y
（
0
x
且
4
x
）
D．
2
2
2
2
8
x
y
（
0
x
且
2
x
）
【答案】B
【详解】设
,
C x y ，根据题意可知AC
AB
且
, ,
A B C 三点不共线，
可得
2
2
2
2
2
2
0
2
0
2
2 2
x
y
，
因此
2
2
2
2
8
x
y
，
若
, ,
A B C 三点共线，易知AB 斜率存在，所以
AB
BC
k
k
；
即2
0
0
2
0
0
x
y
，可得x
y
；
联立
2
2
2
2
8
x
y
x
y
，解得
0
x
或
4
x
；
又因为
, ,
A B C 三点不共线，所以
0
x
且
4
x
，
因此端点C 的轨迹方程为
2
2
2
2
8
x
y
（
0
x
且
4
x
）.
故选：B
【变式训练25】点P 在圆
2
2
36
x
y
上运动，它与点
(4,0)
Q
所连线段中点为M ，则点M 轨迹方程
434
2026 年高二暑假讲义A 版
为（
）
A．
2
2
(
2)
9
x
y
B．
2
2
(
2)
9
x
y
C．
2
2
(
2)
9
x
y
D．
2
2
(
2)
9
x
y
【答案】A
【详解】设点
,
M x y ，
0
0
,
P x
y
，
因为M 为PQ的中点，
所以
0
0
4
2
2
x
x
y
y
，则
0
0
2
4
2
x
x
y
y
，即
2
4,2
P
x
y
，
又因为动点P 在圆上，所以
2
2
2
4
2
36
x
y
，
则
2
2
4
5
0
x
x
y
，即
2
2
(
2)
9
x
y
，
则点M 轨迹方程为
2
2
(
2)
9
x
y
.
故选：A.
【变式训练26】已知圆C 的圆心为
3,0
C
，且过点
1, 5 .
A
(1)求圆C 的半径及标准方程；
(2)若O 为坐标原点，点
,
P x y 满足
2
PO
PC
，求点P 的轨迹方程.
【答案】(1)
3
r ，
2
2
(
3)
9
x
y
(2)
2
2
8
12
0
x
y
x
【详解】（1）由题意，圆心为
3,0
C
，过点
1, 5
A
，
则半径
2
2
3 1
5
0
3
r
，
所以圆C 的标准方程为
2
2
(
3)
9
x
y
；
（2）设
,
P x y ，则由题意可得
2
2
2
2
2 (
3)
x
y
x
y
，
化简可得
2
2
8
12
0.
x
y
x
一、单选题
1、圆心为
1, 2
，且半径为2 的圆的方程是（
）
435
2026 年高二暑假讲义A 版
A．
2
2
1
2
2
x
y
B．
2
2
1
2
2
x
y
C．
2
2
1
2
2
x
y
D．
2
2
1
2
2
x
y
【答案】D
【详解】由已知圆心为
1, 2
，且半径为2 ，
则圆的方程是
2
2
1
2
2
x
y
.
故选：D.
2、圆C 的圆心在y 轴上，且过
(3,1)
A
，
( 3,5)
B
两点，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
(
1)
17
x
y
B．
2
2
(
3)
17
x
y
C．
2
2
(
1)
13
x
y
D．
2
2
(
3)
13
x
y
【答案】D
【详解】因为圆C 的圆心在y 轴上，设圆的圆心为
0,b ，半径为r ，
则圆的方程为
2
2
2
x
y
b
r
，因为点A 、B 在圆上，
所以有
2
2
2
2
9
1
9
5
b
r
b
r
，整理得：
2
2
2
2
2
10
10
34
b
b
r
b
b
r
，
解得：
2
3
13
b
r
，所以圆C 的方程为：
2
2
(
3)
13
x
y
.
故选：D
3、若点
1,3
A a
在圆
2
2
:
1
C
x
a
y
m
外，则实数m 的取值范围是（
）
A．
, 5
B．
,5
C．
0,5
D．
0, 5
【答案】C
【详解】∵点
(
1,3)
A a
在圆
2
2
:(
)
(
1)
C
x
a
y
m
外，
2
2
(
1
)
(3 1)
a
a
m
且
0
m
，
解得0
5
m
．
故选：C．
4、若圆
2
2
2
2
2
3
2
0
C
x
y
m
x
m
y
m
m
：
过坐标原点，则实数m 的值为（
）
A．1
B．2
C．2 或1
D．－2 或－1
436
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】A
【详解】将
0,0 代入圆方程，得
2
3
2
0
m
m
，解得
1
m 或2，当
2
m
时，
2
2
0
x
y
，舍去，
所以
1
m .
故选：A．
5、已知圆M 的方程为
2
2
5
x
y
，则直线2
3
0
x
y
关于点M 的对称直线方程为（
）
A．
2
6
0
x
y
B．
2
0
x
y
C．2
9
0
x
y
D．2
3
0
x
y
【答案】D
【详解】点M 坐标为
0,0 ，设所求直线方程为2
0
x
y
b
则有
2
2
2
2
3
2
1
2
1
b
两直线不能重合，
3
b
所以
3
b
故选：D.
6、已知圆
2
2
2
2
4
5
9
0
x
y
ax
ay
a
上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为（
）
A．
3
3,
2
B．
3
3,
2
C．
, 3
D．
, 3
【答案】C
【详解】由题意，
在圆
2
2
2
2
4
5
9
0
x
y
ax
ay
a
中，
2
2
2
9
x
a
y
a
，
∴圆心坐标为
, 2
a
a
，半径为3．
∵圆上所有点都在第二象限，
437
2026 年高二暑假讲义A 版
∴
0
2
0
3
0
2
3
0
a
a
a
a
，解得
3
a ．
故选：C.
7、已知圆
2
2
1
2
4
x
y
关于直线
1
0
ax
by
（
0
a
，
0
b
）对称，则1
2
a
b
的最小值为（
）
A．5
2
B．9
C．4
D．8
【答案】B
【详解】圆
2
2
1
2
4
x
y
的圆心为
1, 2
，依题意，点
1, 2
在直线
1
0
ax
by
上，
因此
2
1
0
a
b
，即
2
1
0,
0
a
b
a
b
，
∴
1
2
1
2
2
2
2
2
2
5
5
2
9
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
当且仅当2
2
b
a
a
b
，即
1
3
a
b
时取“=”，
所以1
2
a
b
的最小值为9.
故选：B.
二、多选题
8、已知圆的一般方程为
2
2
3
2
3
0
x
y
x
y
，则（
）
A．该圆圆心坐标为3 , 1
2
B．该圆圆心坐标为
3 ,1
2
C．该圆半径为5
D．该圆半径为5
2
【答案】BD
【详解】圆
2
2
3
2
3
0
x
y
x
y
转化为
2
2
2
3
5
(
1)
2
2
x
y
，其圆心坐标为
3,1
2
，半径为5
2 .
故选：BD.
9、在平面直角坐标系中，
ABC
V
的顶点坐标分别为
1,1 ,
2, 1 ,
1,4
A
B
C
，则（
）
A．
ABC
V
为直角三角形
B．
ABC
V
为等腰三角形
438
2026 年高二暑假讲义A 版
C．
ABC
V
的外接圆方程为
2
2
3
3
13
2
2
2
x
y
D．
ABC
V
的重心位于直线y
x
上
【答案】ABC
【详解】因为
2
3
1
3
2
AB
AC
k
k
，所以AB
AC
，则
ABC
V
是以A 为直角顶点的直角三角形，故
A 正确；
因为两点间的距离公式计算得到
13
AB
AC
，所以
ABC
V
是等腰三角形，故B 正确；
由AB
AC
知
ABC
V
的外接圆是以线段BC 为直径的圆，其圆心为3 3
,
2 2
，半径
26
2
2
BC
r
，所
以外接圆方程为
2
2
3
3
13
2
2
2
x
y
，故C 正确；
ABC
V
的重心坐标为
1 2 1 1 1 4
,
3
3
，即2 4
,
3 3
，显然不在直线y
x
上，故D 错误．
故选：ABC．
10、已知实数,x y 满足圆的方程
2
2
1
1
4
x
y
，则（
）
A．圆心( 1,0)
，半径为1
2
B．x 的最大值为3
2
C．
2
2
1
x
y
的最大值为
1
2
2
D．
2
x
y
的最大值为1
2
【答案】BC
【详解】
2
2
1
1
4
x
y
表示圆心为(1,0) ，半径为1
2 的圆，A 错误；
2
2
1
1
1
1
1
1
4
4
2
2
x
y
x
，解得1
3
2
2
x
，即x 的最大值为3
2 ，B 正确；
2
2
1
x
y
表示圆上点( , )
x y 到定点( 0, 1) 的距离，圆心(1,0) 到定点( 0, 1) 的距离为
2
2
(1 0)
(0 1)
2
d =
-
+
-
=
，圆上点( , )
x y 到定点( 0, 1) 的距离的最大值为
1
2
2
d
r
+ =
+
，C 正确；
由
2
2
1
1
4
x
y
得
2
2
1
1
4
y
x
，代入
2
x
y
得
2
2
2
1
3
1
4
4
x
y
x
x
x
x
，1
3
2
2
x
，
因为函数
2
3
4
( )
f x
x
x +
=
-
在1 3
[ , ]
2 2 上单调递增，所以
2
x
y
的最大值为
3
9
3
3
3
2
4
2
4
2
f
，D 错误.
故选：BC
三、填空题
11、已知直线l ：
2
3
0
x
y
平分圆C ：
2
2
3
0
x
y
ay
的周长，则实数a
.
439
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】3
【详解】圆C ：
2
2
3
0
x
y
ay
的圆心为0, 2
a
，
由于直线l 平分圆C 的周长，
所以直线l 过圆心0, 2
a
，
即0
2
3
3
0,
3
2
a
a
a
.
故答案为：3
12、圆
2
2
2
0
x
y
mx
y
m
恒过的定点是
.
【答案】
1,1
【详解】圆方程化为
2
2
1
2
0
m x
x
y
y
，
由
2
2
1
0,
2
0,
x
x
y
y
解得
1,
1.
x
y
故圆恒过
1,1 点.
故答案为：
1,1
13、已知点
1,1
A
，M
的方程为
2
2
1
1
10
x
y
，P，Q 为
M
上的动点，满足
90
PAQ
，
则PQ 中点的轨迹方程为
．
【答案】
2
2
3
x
y
【详解】由题意设线段PQ的中点为
,
B x y ，由
90
PAQ
有BP
BQ
BA
，
连接MB，则MB
PQ
，故
2
2
2
BM
BQ
MQ
，得
2
2
2
BM
BA
MQ
，
又因为
1,1 ,
1, 1 ,
10
A
M
MQ
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
1
10
x
y
x
y
，化简整理有
2
2
3
x
y
.
故答案为：
2
2
3
x
y
.
440
2026 年高二暑假讲义A 版
四、解答题
14、（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：
①
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
；
②
2
2
3
3
6
3
15
0
x
y
x
y
．
（2）已知点
1,2
A
在圆
2
2
2
:
2
C
x
a
y
a
a
的内部，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）①答案见解析；②答案见解析；（2）
5
2
a
．
【详解】（1）①标准方程为
2
2
1
2
9
x
y
，圆心为
1, 2
，半径为3；
②圆
2
2
2
5
0
x
y
x
y
的标准方程为
2
2
1
25
(
1)
(
)
2
4
x
y
，圆心为
1
( 1,
)
2
，半径为5
2 .
（2）由点
1,2
A
在圆
2
2
2
:
2
C
x
a
y
a
a
的内部，
得
2
2
2
0
(1
)
(2
)
2
a
a
a
a
，解得
5
2
a
，
所以实数a 的取值范围是
5
2
a
.
15、已知圆上三点坐标分别为
(1,2), (4,6),
(2,0)
A
B
C
．
(1)求该圆的一般方程；
(2)求弦BC 垂直平分线的方程；
(3)求
ABC
V
的面积．
【答案】(1)
2
2
9
5
14
0
x
y
x
y
；(2)
3
12
0
x
y
；(3)5
【详解】（1）设圆的一般方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
.
将(1,2)
A
，
(4,6)
B
，
(2,0)
C
分别代入方程可得：
1 4
2
0
16
36
4
6
0
4
0
2
0
D
E
F
D
E
F
D
F
解得
5
E ，
9
D ，
14
F
.
所以圆的一般方程为
2
2
9
5
14
0
x
y
x
y
.
（2）先求BC 中点坐标，(4,6)
B
，(2,0)
C
，中点坐标为4
2 6
0
(
,
)
(3,3)
2
2
.
6
0
3
4
2
BC
k
，则弦BC
垂直平分线的斜率为
1
3
.
441
2026 年高二暑假讲义A 版
根据点斜式可得弦BC 垂直平分线的方程为
1
3
(
3)
3
y
x
，即
3
12
0
x
y
.
（3）
2
2
(4
2)
(6
0)
4
36
2 10
BC
.
直线BC 的方程为
0
3(
2)
y
x
，即3
6
0
x
y
.
点(1,2)
A
到直线3
6
0
x
y
的距离
2
2
| 3 1
2
6 |
5
10
3
( 1)
d
.
所以
ABC
V
的面积
1
1
5
2 10
5
2
2
10
S
BC
d
.
16、已知
ABC
V
的三个顶点分别是
4,0 ,
0,2 ,
3,1
A
B
C
．
(1)求
ABC
V
的外接圆G （G 为圆心）的标准方程：
(2)若点P 的坐标是
6,0 ，点Q 是圆G 上的一个动点，点M 满足
1
3
PM
PQ
，求点M 的轨迹方程，
并说明轨迹的形状.
【答案】(1)
2
2
(
3)
25
x
y
(2)
2
2
25
(
4)
(
1)
9
x
y
，轨迹是以
4
1
,
为圆心，半径为5
3 的圆.
【详解】（1）设圆G 的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
（其中
2
2
4
0
D
E
F
）
因为
, ,
A B C 三点都在圆上，可得
4
16
0
2
4
0
3
10
0
D
F
E
F
D
E
F
解得
0,
6,
16
D
E
F
，满足
2
2
4
0
D
E
F
，
所以所求圆G 的方程为
2
2
6
16
0
x
y
y
，即
2
2
(
3)
25
x
y
（2）设M 的坐标是
,x y ，点Q 的坐标是
0
0
,
x
y
，
因为P 的坐标是
6,0 ，且
1
3
PM
PQ
，
所以
0
0
1
6,
6,
3
x
y
x
y
，解得
0
0
3
12,
3
x
x
y
y
，
又因为点Q 在圆G 上运动，所以点Q 的坐标满足圆G 的方程，即
2
2
0
0
3
25
x
y
，
代入得
2
2
(3
12)
(3
3)
25
x
y
，整理得
2
2
25
(
4)
(
1)
9
x
y
，
点M 的轨迹方程是
2
2
25
(
4)
(
1)
9
x
y
，轨迹是以
4
1
,
为圆心，半径为5
3 的圆.
442
2026 年高二暑假讲义A 版
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系的图象
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
1、几何法（优先推荐）
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
2
2
2
)
(
)
(:
r
b
y
a
x
C
；
0
:
C
By
Ax
l
。
圆心
)
,
(
b
a
C
到直线l 的距
离：
2
2
|
|
B
A
C
Bb
Aa
d
。
r
d
圆与直线相交。
2
2
2
)
(
)
(:
r
b
y
a
x
C
；
0
:
C
By
Ax
l
。
圆心
)
,
(
b
a
C
到直线l 的距离：
2
2
|
|
B
A
C
Bb
Aa
d
。
r
d
圆与直线相切。
2
2
2
)
(
)
(:
r
b
y
a
x
C
；
0
:
C
By
Ax
l
。
圆心
)
,
(
b
a
C
到直线l 的距
离：
2
2
|
|
B
A
C
Bb
Aa
d
。
r
d
圆与直线相离。
题型1
判断直线与圆的位置关系
题型5
求切线方程及参数问题
题型2
由直线与圆的位置关系求参数
题型6
切线长问题
题型3
弦长及中点弦问题
题型7
切点弦问题
题型4
弦长相关的参数问题
题型8
直线与半圆相交的问题
知识点1
直线与圆的三种位置关系
C
l
C
l
C
l
知识点2
判断直线与圆的位置关系的两种方法
C
r
l
d
C
l
r
d
C
l
r
d
443
2026 年高二暑假讲义A 版
2、代数法
直线l ：
0
Ax
By
C
；圆M
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
联立
2
2
0
0
Ax
By
C
x
y
Dx
Ey
F
消去“ y ”得到关于“ x ”的一元二次函数
2
0
ax
bx
c
①
0
直线l 与圆M 相交
②
0
直线l 与圆M 相切
③
0
直线l 与圆M 相离
设直线l 的方程为y
kx
b
,圆C 的方程为
2
2
2
0
0
x
x
y
y
r
,求弦长的方法有以下几种：
1．几何法
如图所示,半径长r 、圆心到直线的距离d 、弦长l 三者具有关系式：
2
2
2
2
l
r
d
.
2．代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组,设交点坐标分别为
1
1
,
A x y
,
2
2
,
.
B x y
(1)若交点坐标简单易求,则直接利用两点间的距离公式进行求解.
(2)若交点坐标无法简单求出,则将方程组
2
2
2
0
0
,
,
y
kx
b
x
x
y
y
r
消元后得一元二次方程,由一元
二次方程中根与系数的关系可得
1
2
x
x
,
1
2
x x 或
1
2
y
y
,
1
2
y y 的关系式,则有：
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
AB
x
x
y
y
k
x
x
k
x
x
x x
,
或
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
4
AB
x
x
y
y
y
y
y
y
y y
k
k
.
通常把
2
1
2
1
AB
k
x
x
或
1
2
2
1
1
AB
y
y
k
叫做弦长公式.
知识点3
直线与圆相交
444
2026 年高二暑假讲义A 版
1．自一点引圆的切线的条数
(1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线.
(2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点.
(3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.
2．切线方程的几个重要结论
(1)经过圆
2
2
2
x
y
r
上一点
0
0
,
P x y
的切线方程为
2
0
0
.
x x
y y
r
(2)经过圆
2
2
2
x
a
y
b
r
上一点
0
0
,
P x y
的切线方程为
2
0
0
x
a
x
a
y
b
y
b
r
(3)经过圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
上一点.
0
0
,
P x y
的切线方程为
0
0
0
0
0.
2
2
x
x
y
y
x x
y y
D
E
F
(4)已知圆
2
2
2
x
y
r
的切线的斜率为k ,则圆的切线方程为
2
1.
y
kx
r k
(5)斜率为k 且与圆
2
2
2
x
a
y
b
r
相切的切线方程的求法
①几何法：先设切线方程为y
kx
m
,然后化为一般式
0
kx
y
m
,利用圆心到切线的距离等于
半径,列出方程求m .
②代数法：设切线方程为y
kx
m
,与圆的方程
2
2
2
x
a
y
b
r
联立,化为关于x 的一元二
次方程,再利用判别式为0 ,求出m .
(6)过圆外一点
0
0
,
x y
与圆相切的切线方程的求法
①先假设切线的斜率存在且为k ,有下列两种求k 的方法：
.a 几何法：设切线方程为
0
0 ,
y
y
k x
x
化为一般式
0
0
0.
kx
y
y
kx
因为直线与圆相切,
所以圆心到直线的距离等于半径,由此解出k ;
.b 代数法：设切线方程为
0
0 ,
y
y
k x
x
与圆的方程
2
2
2
x
a
y
b
r
联立,化为关于x 的
一元二次方程,再利用判别式为0 ,求出k .
②若通过上述方法只求出一个斜率k ,则说明另一条切线的斜率一定不存在,此时另一条切线方程为
0
x
x
知识点3
直线与圆相切
445
2026 年高二暑假讲义A 版
3．切线长公式
(1)如图所示,在Rt AOP
和Rt BOP
中,切线长
2
2
PA
PB
PO
r
∣∣∣
∣∣
∣
(2)过圆外一点.
0
0
,
P x y
引圆的两条切线,则切线长为
2
2
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r
4．切点弦方程
过圆
2
2
2
x
y
r
外一点
0
0
,
P x y
引圆的两条切线,切点分别为A , B ,则过A , B 两点的直线方程为
2
0
0
x x
y y
r
例1、直线l：
1
y
x
与圆
2
2
:(
1)
4
C
x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．都有可能
【答案】A
【详解】圆C 的圆心坐标为
1,0 ，半径为2，直线l 的方程为
1
0
x
y
，
圆心到直线l 的距离为1
0
1
2
2
1 1
，
所以直线l 与圆C 的位置关系是相交.
故选：A.
【变式训练1】直线
2
0
x
y
和圆
2
2
2
0
x
y
x
的位置关系为（
）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交且过圆心
【答案】A
【详解】
2
2
2
0
x
y
x
的圆心和半径分别为
1,0 ,
1
r ，
题型1
判断直线与圆的位置关系
446
2026 年高二暑假讲义A 版
则圆心到直线
2
0
x
y
的距离为
2
2
1 0
2
1
1
2
1
1
d
r
，
故直线与圆相交但不经过圆心，
故选：A
【变式训练2】直线: cos
sin
2
0
l x
y
与圆
2
2
:
1
O x
y
的位置关系为（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【答案】A
【详解】由题意知，圆心(0,0) ，半径
1
r ，
所以圆心O到直线l 的距离
2
2
| 2 |
2
1
cos
sin
d
r
，故圆O与直线l 相离.
故选：A.
【变式训练3】已知直线:
1
0
l kx
y
k
和圆
2
2
:
2
4
4
0
C x
y
x
y
，则直线l 与圆C 的位置关
系是（
）
A．相切
B．相交
C．相离
D．相交或相切
【答案】D
【详解】由题意:
1
0
l kx
y
k
，∵直线可化为：
1
1
0
k x
y
，
直线过定点(
)
1, 1
-
，代入圆
2
2
:
2
4
4
0
C x
y
x
y
中，
易知该点为圆上一点，所以直线1 与圆相交或相切.
故选：D.
例2、若直线:
1
0
l mx
y
与圆
2
2
2
4
x
y
相切，则m （
）
A．
3
4
B．1
C．3
4
D．
5
4
【答案】A
【详解】因为直线:
1
0
l mx
y
与圆
2
2
2
4
x
y
相切，
所以圆心到直线的距离
2
2
1
2
1
m
d
m
，解得
3
4
m
.
故选：A
题型2
由直线与圆的位置关系求参数
447
2026 年高二暑假讲义A 版
【变式训练4】已知直线:l y
kx
b
与圆
2
2
1 :
1
C
x
y
和圆
2
2
2 :
(
6)
1
C
x
y
都相切，则k 的值为
（
）
A．2
B．
2
C．2 2
D．2 2
【答案】C
【详解】圆
2
2
1 :
1
C
x
y
的圆心
1(0,0)
C
，半径1
1
r ；圆
2
2
2 :
(
6)
1
C
x
y
的圆心
2(0,6)
C
，半径2
1
r ，
由直线:
0
l kx
y
b
与圆
1
C 、圆
2
C 都相切，则
2
2
1
1
6
1
1
b
k
b
k
，解得
3,
2 2
b
k
.
故选：C
【变式训练5】已知经过点
1,0
P
且倾斜角为3π
4 的直线l 与圆C ：
2
2
6
0
x
y
x
m
相离，则m 的
取值范围为（
）
A．
1,9
B．
,9
C．
1,9
D．
1,
【答案】C
【详解】经过点
1,0
P
且倾斜角为3π
4 的直线l ，则直线l 的方程为=
1
y
x
.
因为圆心为
3,0
C
半径为
36
4
2
m
，所以由题意得
2
2
3 1
36
4
,
2
1
1
36
4
0,
m
m
解得1
9
m
.
故选：C.
【变式训练6】直线
3
y
kx
与圆
2
2
1
1
x
y
相交的充分不必要条件可以是（
）
A．
2
3
k
B．
2
3
k
C．
2
k
D．
1
k
【答案】C
【详解】圆
2
2
1
1
x
y
的圆心坐标为
0,1 ，半径为1，
由直线与圆相交，得
2
|
0 1 3|
1
1
k
k
，即
2
1
2
k
，得
2
3
k ，
结合选项可知：直线
3
y
kx
与圆
2
2
1
1
x
y
相交的充分不必要条件可以是
2
k
.
故选：C.
448
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、已知直线
2
y
x
与圆
2
2
4
x
y
相交于M 、N 两点，则MN
.
【答案】2 2
【详解】圆
2
2
4
x
y
的圆心为(0,0) ，半径
2
r
，则圆心到直线
2
y
x
的距离
2
2
2
2
1
( 1)
d
，
所以
2
2
2
2 2
MN
r
d
.
故答案为：2 2
【变式训练7】直线:3
4
1
0
l
x
y
被圆
2
2
:
4
6
4
0
C x
y
x
y
截得的弦长为（
）
A．2 2
B．4 3
C．2 3
D．4 2
【答案】D
【详解】圆C 的圆心为(2, 3)
，半径为3，圆心到直线l 的距离
2
2
3 2
4 ( 3)
1
1
3
4
d
，
所以直线l 被圆C 截得的弦长为
2
2
2 3
1
4 2
.
故选：D
【变式训练8】已知点
4,7
在圆
: ²
²
4
6
0
C x
y
x
y
a
上，则直线2
4
0
x
y
被C 截得
的弦长为（
）
A．2 15
B．2 10
C．2 5
D．10
【答案】A
【详解】因为点
4,7
在圆
²
²
4
6
0
x
y
x
y
a
上，
所以
4 ²
7²
4
4
6 7
0
a
，
所以
7
a
，
所以圆C 的方程为²
²
4
6
7
0
x
y
x
y
，即
2
2
2
2
3
2 5
x
y
，
所以圆心C 的坐标为
2,3
，半径为2 5 ，
圆心C 到直线2
4
0
x
y
的距离为
2
2
2
2
3
4
5
5
5
2
1
，
题型3
弦长及中点弦问题
449
2026 年高二暑假讲义A 版
所以直线2
4
0
x
y
被C 截得的弦长为
2
2
2
2 5
5
2 15
.
故选：A.
【变式训练9】若
1,2
P
为圆
2
2
:
9
O x
y
的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（
）
A．
2
5
0
x
y
B．2
4
0
x
y
C．
2
5
0
x
y
D．2
4
0
x
y
【答案】C
【详解】由题意知直线AB 的斜率存在，且OP
AB
∴
1
AB
OP
k
k
，
∵
2
0
2
1
0
OP
k
，∴
1
2
AB
k
，
直线AB 的方程为
1
2
1
2
y
x
，即
2
5
0
x
y
，
故选：C.
【变式训练10】已知圆O 的方程是
2
2
8
2
10
0
x
y
x
y
，则圆O 中过点(5,2) 的最短弦所在的直
线方程是（
）
A．
3
0
x
y
B．
7
0
x
y
C．
2
9
0
x
y
D．2
8
0
x
y
【答案】B
【详解】
2
2
8
2
10
0
x
y
x
y
，圆心为
4,1 ，
圆心与(5,2) 连线所在直线斜率为：
1
5
4
1
2 1
k
，
因为
2
2
5
2
8 5
2
2
10
5
0
，
所以点
5,2 在圆内，
所以当过点(5,2) 的直线与过点(5,2) 的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.
所以，最短弦所在的直线斜率
2k 满足：
1
2
1
k
k
×
= - ，所以，
2
1
k
由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：
2
5
y
x
，
整理得：
7
0
x
y
故选：B
450
2026 年高二暑假讲义A 版
例4、直线
1
y
kx
与圆
2
2
1
2
4
x
y
相交于M、N 两点，若
2 3
MN
，则k 等于（
）
A．0
B．-2
C．2 或0
D．-2 或0
【答案】A
【详解】由圆
2
2
1
2
4
x
y
的方程可知，圆心为(1,2) ，半径
2
R
，
则圆心到直线的距离为
2
1
1
k
d
k
，又因为弦长
2 3
MN
，所以
1
d ，
即
2
1
1
1
k
d
k
，解得
0
k
.
故选：A
【变式训练11】若直线4
3
2
0
x
y
m
被圆
2
2
16
x
y
所截得的弦的长度为4 3 ，则m （
）
A．12
B．8
C．12或8
D．8或12
【答案】C
【详解】由题意得，圆
2
2
16
x
y
的圆心坐标为(0,0) ，半径
4
r
.
∵弦长
4 3
l
，
∴圆心到直线的距离
2
2
16 12
2
2
l
d
r
，即点(0,0) 到直线4
3
2
0
x
y
m
的距离为2，
∴
2
2
2
2
4
3
m
d
，解得
12
m
或
8
m .
故选：C.
【变式训练12】已知圆心为C 的圆经过点
(2,0),
(0, 4)
A
B
，且圆心C 在直线
0
x
y
上．
(1)求圆C 的方程；
(2)已知直线l 过点(8,0) 且直线l 截圆C 所得的弦长为2，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
3
3
10
x
y
；(2)
15
15
8
y
x
或
0
y
【详解】（1）由题意圆心在弦AB 的中垂线上，
又
(2,0),
(0, 4)
A
B
中点
1, 2
M
，
4
0
2
0
2
AB
k
，
则弦AB 的中垂线斜率
1
2
k
，故中垂线方程：
1
2
1
2
y
x
，即
1
3
2
2
y
x
，
题型4
弦长相关的参数问题
451
2026 年高二暑假讲义A 版
联立
0
x
y
可得
3
x
，=
3
y
，即
3, 3
C
，
故圆C 的半径
2
2
3
2
3
0
10
AC
.
故圆C 的方程：
2
2
3
3
10
x
y
（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与圆C 不相交；
当直线l 斜率存在时，设l 方程
8
y
k x
，
因为直线l 截圆C 所得的弦长为2，故圆心C 到l 的距离
10 1
3
d
.
则
8
0
kx
y
k
到
3, 3
C
的距离
2
3
3
8
3
1
k
k
k
，
则
2
2
5
3
9 1
k
k
，即
2
2
25
30
9
9
9
k
k
k
，解得
15
8
k
或
0
k
.
故l 方程
15
8
8
y
x
，即
15
15
8
y
x
或
0
y
.
例5、过点
2,1
P
作圆
2
2
:
2
3
0
C x
y
y
的切线，则切线方程为（
）
A．
1
0
x
y
B．
2
0
x
y
C．
2
4
0
x
y
D．
2
0
x
【答案】D
【详解】圆C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
，圆心为
0,1
C
，
因为
2
2
2
1 1
4
，所以，点P 在圆C 上，则
1 1
0
2
0
PC
k
，
所以，所求切线与x 轴垂直，故所求切线的方程为
2
x
.
故选：D.
【变式训练13】若圆
2
2
1
0
x
a
y
a
与直线
3
3
y
x
只有一个公共点，则a 的值为（
）
A．1
B．
3
C．2
D．2 3
【答案】C
题型5
求切线方程及参数问题
452
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】因圆
2
2
(
)
1(
0)
x
a
y
a
与直线
3
3
y
x
只有一个公共点，
则直线
3
0
x
y
与圆
2
2
(
)
1
x
a
y
切线，圆心( ,0)
a
到该直线距离为半径1，
即
2
2
|
|
1
|
| 2
1
(
3)
a
a
，而
0
a
，则有
2
a
，
所以 a 的值为2.
故选：C
【变式训练14】过点
1,1
A
作圆
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y
的切线l ，则直线l 的方程为
.
【答案】4
3
1
0
x
y
【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为
1
1
y
k x
，即
1
0
kx
y
k
，
则圆心
3,4
到切线的距离
2
4
3
5
1
k
k
，得
4
3
k
，
切线方程为4
3
1
0
x
y
；
当直线斜率不存在时，直线方程为
1
x ，则圆心
3,4
到切线的距离
4
5
d
，故直线
1
x 不是切
线.
故直线l 的方程为4
3
1
0
x
y
.
故答案为：4
3
1
0
x
y
.
【变式训练15】（多选）已知直线l 过点(2,1) ，且直线l 与圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
相切，则直线
l 的方程可能是（
）
A．
1
y
B．
2
x
C．4
3
11
0
x
y
D．3
4
3
0
x
y
【答案】AC
【详解】圆
2
2
:(
1)
(
1)
4
C
x
y
的圆心
(1, 1)
C
，半径
2
r
，
当直线l 的斜率不存在时，直线方程为
2
x
，点C 到直线
2
x
的距离为1，不符合题意，
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
1
(
2)
y
k x
，即
2
1
0
kx
y
k
，
由直线l 与圆C 相切得：
2
2
| 2
|
2
( 1)
k
k
，解得
0
k
或
4
3
k
，
所以直线l 的方程为：
1
y 或4
3
11
0
x
y
.
故选：AC
453
2026 年高二暑假讲义A 版
例6、过圆
2
2
:
1
O x
y
外的点
3,3
P
作O 的一条切线，切点为A，则AP （
）
A．2 2
B．17
C．3 2
D．5
【答案】B
【详解】由题意可知：圆O 的圆心为
0,0
O
，半径
1
r ，
所以
2
2
2
18 1
17
AP
OP
r
，即
17
AP
．
故选：B.
【变式训练16】一束光线从点
1,1
A
发出，经直线
1
0
x
y
上的B 点处反射后与圆
2
2
: (
2)
(
6)
1
C
x
y
相切于点P ，则光程长AB
BP
．
【答案】3 7
【详解】如图，设点A 关于直线
1
0
x
y
的对称点
,
A x y
，
则
1
1 1
0
2
2
1
1
1
x
y
y
x
，解得
2
2
x
y
，即
2, 2
A
，
圆心
2,6
C
，半径
1
r ，
则
2
2
2
2
(2
2)
( 2
6)
1
3 7
AB
BP
A B
BP
A P
A C
r
．
故答案为：3 7
【变式训练17】已知直线:
2
1
0
l x
y
及圆
2
2
:
1
2
4
C
x
y
，过直线l 上任意一点P 作圆C
的一条切线PA，A 为切点，则PA 的最小值是（
）
A．4 5
5
B．2 5
5
C．4 70
5
D．2 70
5
题型6
切线长问题
454
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】A
【详解】根据题意，圆
2
2
:
1
2
4
C
x
y
的圆心C(-1，-2)，半径r= 2，
过直线:
2
1
0
l x
y
上任意一点P 向圆引切线PA，切点为A
则
2
2
2
4
PA
PC
r
PC
，
当PC 取得最小值时，
PA 取得最小值，
又由PC 的最小值即点C 到直线l 的距离
2
2
1
2 ( 2) 1
6
5
1
2
d
，
PA 取得最小值为4 5
5
.
故选：A
例7、过点
( 2,0)
P
作圆
2
2
:
4
1
M x
y
y
的两条切线，设切点分别为A，B，则|
|
AB
．
【答案】
30
2
/ 1
30
2
【详解】
2
2
4
1
x
y
y
，即
2
2
(
2)
5
x
y
，故圆心为
(0,2)
M
，半径为
5
r
．
如图，连接MP ，因为
( 2,0)
P
，所以|
|
MP
4
4
2 2
，
故切线长|
| |
|
PA
PB
8
5
3
．
连接MA ，由1
1
·
·
2
2
2
AB
PM
PA MA
（等面积法），
解得
3
5
30
2
2
2 2
AB
．
故答案为：
30
2
.
【变式训练18】如图，圆
2
2
:
2
1
M
x
y
，点
1,
P
t
为直线:
1
l x 上一动点，过动点P 作圆M
题型7
切点弦问题
455
2026 年高二暑假讲义A 版
的两条切线，切点分别为
,
A B ．则直线AB 的方程为
，直线AB 所经过的定点的坐标为
．
【答案】
3
5
0
x
ty
5,0
3
【详解】如图，连接
,
,
AM PM BM ，
方法一：因为
,
PA PB 都是圆M 的切线，所以PA
AM
，PB
BM
，所以
, ,
,
A B M P 四点共圆，
且PM 为直径，所以切点弦AB 实际上是以PM 为直径的圆与圆M 的公共弦，
则以PM 为直径的圆的圆心为1 ,
2 2
t
，半径为
2
2
2
2
1
0
9
2
2
t
t
，
故以PM 为直径的圆的方程为
2
2
2
1
9
2
2
4
t
t
x
y
，
两圆方程相减得直线AB 的方程为3
5
0
x
ty
，
令
0
y
，则
5
3
x
，所以直线AB 过定点5 ,0
3
．
方法二：AB 实际上是以P 为圆心，PA 为半径的圆与圆M 的相交弦．
2,0
M
，
1,
P
t
，所以
2
2
2
2 1
0
9
PM
t
t
，
在
PAM
△
中，
2
2
2
2
9
1
8
PA
PM
AM
t
t
，
所以以P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为
2
2
2
1
8
x
y
t
t
，
两圆方程相减，可得圆P 和圆M 的公共弦AB 所在直线的方程为
2
2
2
2
2
1
2
8 1
x
x
y
t
y
t
，
即3
5
0
x
ty
，令
0
y
，则
5
3
x
，所以直线AB 过定点5 ,0
3
．
456
2026 年高二暑假讲义A 版
方法三：直线AB 的方程为
2
1 2
1
x
ty
，即3
5
0
x
ty
，
令
0
y
，得
5
3
x
，所以直线AB 过定点5 ,0
3
．
故答案为：3
5
0
x
ty
；5 ,0
3
【变式训练19】过直线
1
y
x
上任一点P 向圆
2
2
(
1)
1
x
y
作两条切线，切点为A，B．则|
|
AB
的最小值为
．
【答案】2
【详解】设圆
2
2
(
1)
1
x
y
的圆心为
(0, 1)
C
，半径为1，
由切线长定理可得AP
BP
，
又因为CA
CB
，CP
CP
，则CAP
CBP
≌
，所以
APC
BPC
，
所以CP
AB
，则四边形ACBP 面积为1
2 AB
PC
CA
PA
，
所以
2
2
2
1
2
1
2 1
PC
CA
PA
AB
PC
PC
PC
，
当PC 的长最小时，弦长AB 最小，
而PC 的最小值为圆心
(0, 1)
C
到直线
1
y
x
的距离，
所以
min
2
2
2
PC
，所以
min
1
2 1
2
2
AB
．
故答案为：2 .
例8、直线y
x
b
与曲线
2
1
x
y
恰有1 个交点，则实数b 的取值范围是（
）
A．1
1
b
B．
2
1
b
C．
2
1
b
D．1
1
b
或
2
b
题型8
直线与半圆相交的问题
457
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】曲线
2
1
x
y
，即
2
2
1
x
y
(
0)
x
，
表示一个半圆（单位圆位于y 轴及y 轴右侧的部分），
如图，
设
(0,1)
A
、
(1,0)
B
、
(0, 1)
C
，
当直线y
x
b
经过点A 时，
1
b ，
当直线y
x
b
经过点B 、点C 时，
1
b ，此时有2 个公共点，不符合题意；
所以当1
1
b
时，直线与曲线有一个公共点；
当直线y
x
b
和半圆相切时，
则圆心到直线的距离等于半径，
即
|
|
1
2
b
，求得
2
b
或
2
b
（舍去），
即
2
b
时，只有一个公共点，符合题意，
综上得，实数b 的取值范围为1
1
b
或
2
b
，
故选：D．
【变式训练20】若直线l ：
2
0
kx
y
k
与曲线C ：
2
1
1
x
y
有两个不同的交点，则实数k 的
取值范围是
.
【答案】
4
1, 3
【详解】直线
2
0
kx
y
k
可化为
2 .
y
k x
所以直线过定点A
2 0
，.
曲线
2
: 1
1
C
x
y
可变形整理为
2
2
1
1
1 ,
1,1 .
x
y
y
B
由下图所示：
458
2026 年高二暑假讲义A 版
设直线与圆相切时的斜率为
2,
k
直线过点
1,1
且与圆有两个交点时的斜率为
1,
k 由图可知，当直线
2
0
kx
y
k
与曲线由两个不同交点时，斜率k 满足
1
2.
k
k
k
由圆心
0,1 到直线
2
0
kx
y
k
的距离为
2
1
2
1,
1
k
d
k
解得
2
4.
3
k
1
1 0
1,
1 2
k
所以
4
1
.
3
k
故答案为：
4
1, 3
.
【变式训练21】若直线:
2
0
l kx
y
与曲线
2
: 1
1
1
C
y
x
至少有一个公共点，则实数k 的
取值范围是（
）
A．4 ,2
3
B．4 ,4
3
C．
4
4
2,
,2
3
3
D．4 ,
3
【答案】B
【详解】直线:
2
0
l kx
y
恒过定点
0, 2
，
由
2
1
1
1
y
x
，得到
2
2
1
1
1
x
y
（
1
x ），
所以曲线C 表示以点
1,1 为圆心，半径为1，且位于直线
1
x 右侧的半圆（包括点
1,2 ，
1,0 ），
如下图所示：
当直线l 经过点
1,2 时，l 与曲线C 有一个交点，此时
4
k
，
459
2026 年高二暑假讲义A 版
当l 与半圆相切时，由
2
3
1
1
k
k
，得
4
3
k
，
由图可知，当4
4
3
k
时，l 与曲线C 至少有一个公共点，
故选：B.
一、单选题
1、已知直线:
2
0
l x
y
与圆
2
2
:
2
C x
y
，点
1,1
A
，则下列说法正确的是（
）
A．点A 在圆C 上，直线l 与圆C 相切
B．点A 在圆C 内，直线l 与圆C 相离
C．点A 在圆C 外，直线l 与圆C 相切
D．点A 在圆C 上，直线l 与圆C 相交
【答案】A
【详解】圆心为
0,0
C
，半径为2 ，
圆心C 到直线l 的距离为
2
2
2
2
1
1
d
，所以直线l 与圆C 相切，
因为
2
2
1
1
2
，故点A 在圆C 上.
故选：A.
2、以点
1, 2
A
为圆心，且与直线
0
x
y
相切的圆的方程为（
）
A．
2
2
1
(
1)
(
2)
2
x
y
B．
2
2
9
(
1)
(
2)
2
x
y
C．
2
2
1
(
1)
(
2)
2
x
y
D．
2
2
9
(
1)
(
2)
2
x
y
【答案】A
【详解】由直线
0
x
y
为圆的切线，得圆的半径
2
2
|1 2 |
1
2
1
1
r
，
所以所求圆的方程为
2
2
1
(
1)
(
2)
2
x
y
.
故选：A
3、已知直线y
x
m
被圆
2
2
2
15
0
x
y
x
截得的弦长为4 2 ，则m （
）
A．1
或3
B．2
C．3
或5
D．4
【答案】C
【详解】
2
2
2
2
2
15
0
1
16
x
y
x
x
y
，
460
2026 年高二暑假讲义A 版
则圆心坐标为：
1,0
，半径为r 4.又因弦长为
4
2
l
，
则圆心到弦距离d 满足
2
2
2
16
8
2 2
4
l
d
r
d
.
则由点到直线距离公式可得：
1
2 2
5
2
m
m
或
3
m .
故选：C
4、过点
2,4
P
的直线与圆
2
2
:(
3)
1
O
x
y
相切于点A ，则切线段PA 长为（
）
A．3
B．4
C．17
D．5
【答案】B
【详解】圆心
3,0
O
，半径
1
r ，
2
2
|
|
(2
3)
(4
0)
17
PO
，
由勾股定理得
2
2
|
|
|
|
16
4
PA
PO
r
.
故选：B.
5、过(1,0) 点且与圆
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
相切的直线方程为（
）
A．2
2
0
x
y
B．3
4
3
0
x
y
C．2
2
0
x
y
或
1
x
D．3
4
3
0
x
y
或
1
x
【答案】D
【详解】圆
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
，即圆
2
2
2
2
1
x
y
的圆心坐标，半径分别为
2,2 ,1，
显然过(1,0) 点且斜率不存在的直线为
1
x ，与圆
2
2
2
2
1
x
y
相切，满足题意；
设然过(1,0) 点且斜率存在的直线为
1
y
k x
，与圆
2
2
2
2
1
x
y
相切，
所以
2
2
1
1
k
d
r
k
，所以解得
3
4
k
，
所以满足题意的直线方程为3
4
3
0
x
y
或
1
x .
故选：D.
6、直线
1
0
mx
y
m
被圆
2
2
2
8
0
x
y
x
截得的最短的弦长为（
）
A．10
B．2 3
C．4
D．9
2
【答案】C
461
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】原圆方程配方得
2
2
2
(
1)
3
x
y
，
所以圆心为( 1,0)
，半径
3
r ，
因为直线
(1
)
1
y
m
x
，
所以直线过定点(1,1) ，因为定点和圆心的距离
2
2
( 1 1)
1
5
3
，
所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为
5 ，
所以弦长最短为
2
2
2 3
( 5)
4
.
故选：C.
二、多选题
7、已知圆
2
2
:
6
4
9
0
C x
y
x
y
与直线: 3
4
3
0
l
x
y
，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则（
）
A．圆C 上有两个点到直线l 的距离为2
B．圆C 上只有一个点到直线l 的距离为2
C．
min
2
PQ
D．从点Q 向圆C 引切线，切线长的最小值是2 5
【答案】BC
【详解】圆C 的标准方程为
2
2
3
2
4
x
y
，圆心为
3, 2
C
，半径
2
r
，
对于AB，圆心C 到直线l 的距离
2
2
3
3
4
2
3
4
3
4
d
，
则
min
4
2
2
PO
，故A 错误，B 正确；
对于C，
min
4
2
2
PQ
d
r
，C 正确；
对于D，由切线的性质，得切线长为
2
2
2
2
2
2
|
|
4
2
2 3
CQ
r
d
r
，D 错误.
故选：BC
8、已知直线1 :
l
2
3
0
m
x
y
m
与圆
:
C
2
2
2
3
0
x
y
x
，则（
）
A．直线l 过定点
1,1
B．圆C 的半径为4
C．直线l 与圆C 一定相交
D．圆心C 到直线l 的距离的最大值是1
【答案】ACD
462
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】直线1 :
l
2
3
0
m
x
y
m
变形为1 :
l
1
2
3
0
m x
x
y
，故
1
0
2
3
0
x
x
y
，解得
1,
1
x
y
，故直线l 过定点
1,1 ，A 正确，
圆
:
C
2
2
2
3
0
x
y
x
为
:
C
2
2
1
4
x
y
，故半径为2，B 错误，
由于定点
1,1 在圆内，故直线l 与圆C 一定相交，C 正确，
1,1 到圆心
1,0 的距离为1，故当定点与圆心的连线与直线l 垂直时，距离最大，故圆心C 到直线l
的距离的最大值是1，D 正确，
故选：ACD
三、填空题
9、已知直线
2
0
x
y
与圆
2
2
2
0
x
y
r
r
有且仅有一个公共点，则r
.
【答案】2
【详解】直线
2
0
x
y
与圆
2
2
2
0
x
y
r
r
有且仅有一个公共点，
圆心为
0,0 ，半径为r ，
则0
0
2
1 1
r
，
所以
2
r
.
故答案为：
2 .
10、若直线y
x
b
与曲线
2
2
x
y
有两个公共点，则实数b 的取值范围是
.
【答案】
2
2
b
【详解】曲线
2
2
x
y
即
2
2
2
0
x
y
x
,
463
2026 年高二暑假讲义A 版
如图所示，当即
2
b
时，直线y
x
b
与曲线
2
2
x
y
有两个公共点，
直线向左上移动，当直线y
x
b
与曲线
2
2
x
y
相切时，有一个公共点，
原点到直线y
x
b
的距离为半径，即
2
2
b
，解得
2
b
，
所以，当有两个公共点时
2
2
b
.
故答案为：
2
2
b
.
四、解答题
11、已知圆C 的圆心在直线2
5
0
x
y
上，且经过点
0,3
A
，
4, 1
B
.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)求过原点且与圆C 相切的直线方程.
【答案】(1)
2
2
4
3
16
x
y
；(2)
0
x
或7
24
0
x
y
【详解】（1）线段AB 的中点
2,1 ，直线AB 的斜率
1
3
1
4
0
AB
k
，
则线段AB 的中垂线斜率为
1
1
AB
k
，方程为
1
2
y
x
，即
1
y
x
，
由
1
2
5
0
y
x
x
y
，解得
4
x
，
3
y ，因此圆C 的圆心
4,3
C
，半径
4
r
AC
，
所以圆C 的标准方程为
2
2
4
3
16
x
y
.
（2）过原点且斜率不存在的直线为
0
x
，点
4,3
C
到直线
0
x
的距离为4
r
，
即直线
0
x
与圆C 相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为y
kx
，即
0
kx
y
-
=
，点
4,3
C
到该直线距离为
2
4
3
4
1
k
k
，
解得
7
24
k
，因此切线方程为7
24
0
x
y
，
所以经过原点且与圆C 相切的直线方程为
0
x
或7
24
0
x
y
.
12、已知ABC
的三个顶点坐标为
31
A
，、
0
2
B
，
、
3
5
C
，
(1)求边BC 上的高所在的直线方程；
(2)若圆M 是ABC
的外接圆，且经过点
2 0
P
，的直线l 被圆C 所截得的弦长为4 2 ，求直线l 的方
程.
【答案】(1)
2
y
x
；(2)
2
x
或3
4
6
0
x
y
464
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）由
0, 2 ,
3, 5
B
C
可得，直线BC 斜率为
2
5
1
0
3
BC
k
，
所以边BC 上的高所在直线的斜率为：
1
1
BC
k
k
，
则边BC 上的高所在直线方程为：
1
3
y
x
，整理得
2
y
x
；
（2）设圆M 的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，代入三点坐标可得：
则
9 1 3
0
4
2
0
9
25
3
5
0
D
E
F
E
F
D
F
F
，解得
6
D ，
4
E
，
4
F
．
圆M 的方程为
2
2
6
4
4
0
x
y
x
y
，化为标准方程：
2
2
(
3)
(
2)
9
x
y
；
当直线l 的斜率不存在时，直线方程为
2
x
，
代入圆M 的方程得：
2
2
(2
3)
(
2)
9
2 2
2
y
y
，
此时直线l 被圆M 所截得的弦长为
2 2
2
2 2
2
4 2
，满足题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线方程为
(
2)
y
k x
，即
2
0
kx
y
k
．
由垂径定理可得，当弦长为4 2 时，可知圆心到直线的距离
2
9
2 2
1
d
再由圆心到直线的距离公式得：
2
| 3
2
2 |
1
1
k
k
d
k
，解得
3
4
k
．
直线方程为3
4
6
0
x
y
．
即直线l 的方程为
2
x
或3
4
6
0
x
y
．
13、已知圆
2
2
:
4
6
12
0
C x
y
x
y
.
(1)若直线AB 方程为3
8
0
x
y
与圆C 相交于A、B 两点，求AB .
(2)在（1）的前提下，若点Q 是
2
2
(
4)
(
3)
10
x
y
圆上的点，求QAB
面积的最大值.
【答案】(1) 3 10
5
；
(2) 81
10 .
【详解】（1）由题意可得圆的标准方程为
2
2
2
3
1
x
y
，所以圆心
2,3
C
，半径
1
r ，
465
2026 年高二暑假讲义A 版
又直线AB 方程为3
8
0
x
y
，
则圆心C 到直线AB 的距离
2
2
6
3 8
10
1
10
3
1
d
，直线AB 与圆相交，
所以
2
2
2
3 10
2
2 1
5
AB
r
d
d
.
（2）圆
2
2
4
3
10
x
y
的圆心
4,3
，半径10 ，
则点
4,3
到直线AB ：3
8
0
x
y
的距离为
2
2
3
4
3 8
17 10
10
3
1
，
所以点Q 到直线AB 距离的最大值为17 10
27 10
10
10
10
，
所以QAB
面积的最大值为1
27 10
81
2
10
10
3 10
5
.
14、已知圆C 经过点
(0, 4)
A
和
( 2,0)
B
，并且圆心在直线
3
0
x
y
上，
(1)求圆C 的标准方程；
(2)直线l 交圆C 于M
N
，
两点，若直线AM
AN
，
的斜率之和为0. 求证：直线l 的斜率是定值，并求
出该定值.
【答案】(1)
2
2
(
3)
25
x
y
；(2)证明见解析，定值为3
4 .
【详解】（1）线段AB 的中点( 1, 2)
，直线AB 的斜率
2
AB
k
，
则线段AB 中垂线方程为
1
2
(
1)
2
y
x
，即
2
3
0
x
y
，
依题意，圆C 的圆心C 在直线
2
3
0
x
y
上，由
2
3
0
3
0
x
y
x
y
，得点
(3,0)
C
，
因此圆C 的半径
2
2
|
|
3
4
5
CA
，
所以圆C 的标准方程是：
2
2
(
3)
25
x
y
.
（2）设直线AM 方程为：
4
y
tx
，由
2
2
4
(
3)
25
y
tx
x
y
消去y 并整理得：
2
2
(
1)
2(4
3)
0
t
x
t
x
，
则有点
2
2
2
6
8
4
6
4
(
,
)
1
1
t
t
t
M t
t
，而直线AN ：
4
y
tx
，同理
2
2
2
6
8
4
6
4
(
,
)
1
1
t
t
t
N t
t
，
于是得直线MN 的斜率
2
2
2
2
2
2
4
6
4
4
6
4
3
1
1
6
8
6
8
4
1
1
MN
t
t
t
t
t
t
k
t
t
t
t
，
所以直线l 的斜率是定值，该定值为3
4 .
466
2026 年高二暑假讲义A 版
467
2026 年高二暑假讲义A 版
圆与圆的位置关系
1、圆与圆相交，有两个公共点；
2、圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
3、圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象
位置关系
图象
位置关系
图象
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
1、几何法：若两圆的半径分别为1r ，2r ，两圆连心线的长为d．
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
交点个数
0
1
2
1
0
d 与1r ，2r 的
关系
1
2
d
r
r
1
2
d
r
r
1
2
1
2
r
r
d
r
r
1
2
d
r
r
1
2
0
d
r
r
题型1
判断圆与圆的位置关系
题型4
公切线的条数问题
题型2
由圆与圆的位置关系求参数
题型5
求公切线方程及长度
题型3
两圆的公共弦问题
题型6
圆系方程
知识点1
圆与圆的位置关系
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
1
C
2
C
知识点2
圆与圆的位置关系的判定
468
2026 年高二暑假讲义A 版
2、代数法
设
1
C
:
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
x
a
y
b
r
；
2
C
:
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
联立
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
x
a
y
b
r
x
a
y
b
r
消去“ y ”得到关于“ x ”的一元二次方程
2
0
px
qx
r
，求出其
2
4
q
pr
①
2
4
0
q
pr
1
C
与设设
1
C
相交
②
2
4
0
q
pr
1
C
与设设
1
C
相切（内切或外切）
③
2
4
0
q
pr
1
C
与设设
1
C
相离（内含或外离）
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2 条外公切线和2 条内公切线，共4 条；
1
C
2
C
（2）两圆外切时，有2 条外公切线和1 条内公切线，共3 条；
1
C
2
C
（3）两圆相交时，只有2 条外公切线；
1
C
2
C
（4）两圆内切时，只有1 条外公切线；
1
C
2
C
（5）两圆内含时，无公切线．
1
C
2
C
知识点3
圆与圆的公切线
469
2026 年高二暑假讲义A 版
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离d
r
求解
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设
1
C
:
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
x
a
y
b
r
2
C
:
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
联立作差得到：
0
Ax
By
C
即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
1、以( , )
a b 为圆心的同心圆圆系方程：
2
2
(
)
(
)
(
0)
x
a
y
b
；
2、与圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
同心圆的圆系方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
；
3、过直线
0
Ax
By
C
与圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
交点的圆系方程为
2
2
(
)
0(
)
x
y
Dx
Ey
F
Ax
By
C
R
4、过两圆
1
C
2
2
1
1
1
0
x
y
D x
E y
F
，圆
2
C ：
2
2
2
2
2
0
x
y
D x
E y
F
交点的圆系方程
为
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
(
)
0
x
y
D x
E y
F
x
y
D x
E y
F
（
1
，此时圆系不含圆
2
C ：
2
2
2
2
2
0
x
y
D x
E y
F
）特别地，当
1
时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
例1、圆
2
2
1 :
4
C
x
y
与圆
2
2
2 : (
1)
(
2)
9
C
x
y
的位置关系是（
）
题型1
判断圆与圆的位置关系
知识点4
圆与圆的公共弦
知识点5
圆系方程
470
2026 年高二暑假讲义A 版
A．内含
B．内切
C．外离
D．相交
【答案】D
【详解】
2
2
1 :
4
C
x
y
的圆心和半径为
1 0,0
C
，
2
r
，
2
2
2 : (
1)
(
2)
9
C
x
y
的圆心和半径为
2
1, 2
C
，
3
R
,
故
2
2
1
2
1
2
5
C C
,1
5
5
,故两圆相交，
故选：D
【变式训练1】圆
2
2
1 :
2 7
6
0
C
x
y
y
与圆
2
2
2 :
6
0
C
x
y
x
的位置关系是（
）
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
【答案】C
【详解】圆
1
C 的标准方程为
2
2
7
1
x
y
，圆心为
1 0,
7
C
，半径为1
1
r ，
圆
2
C 的标准方程为
2
2
3
9
x
y
，圆心为
2 3,0
C
，半径为
2
3
r
，
圆心距为
2
2
1
2
1
2
3
0
0
7
4
C C
r
r
，
故圆
1
C 与圆
2
C 外切.
故选：C.
【变式训练2】已知圆
2
2
1 :
4
4
32
C
x
y
，则以下选项中与圆
1
C 内切的圆的方程为（
）
A．
2
2
2
2
4
x
y
B．
2
2
3
3
18
x
y
C．
2
2
1
3
2
x
y
D．
2
2
1
1
2
x
y
【答案】B
【详解】圆
1
C 的圆心为
1 4,4
C
，半径1
32
4 2
r
.
对A 选项：圆心
2 2,2
C
，半径2
2
r
，因为圆心距
2
2
1
2
4
2
4
2
8
3 2
4 2
2
C C
，
所以两圆不内切，故A 选项不满足条件；
对B 选项：圆心
3 3,3
C
，半径3
18
3 2
r
，因为圆心距
2
2
1
3
4
3
4
3
2
4 2
3 2
C C
，
所以两圆内切，故B 选项满足条件；
对C 选项：圆心
4 1,3
C
，半径4
2
r
，因为圆心距
2
2
1
4
4 1
4
3
10
4 2
2
C C
，所
以两圆不内切，故C 选项不满足条件；
471
2026 年高二暑假讲义A 版
对D 选项：圆心
5
1, 1
C
，半径5
2
r
，因为圆心距
2
2
1
5
4 1
4 1
5 2
4 2
2
C C
，
所以两圆不内切，故D 选项不满足条件.
故选：B
【变式训练3】已知圆
2
1
2
2
2
9
2
: x
m
y
m
m
C
与圆
2
2
2
8
8
34
0
: x
y
x
C
y
m
，则
“
4
m
”是“圆
1
C 与圆
2
C 外切”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】根据题意将圆
2
C 化成标准方程为
2
2
4
4
2
x
y
m
；
易知
2
0
m
，
所以可得圆心
1 2 ,2
C
m
m ，半径为1
3
2
r
m
，圆心
2 4,4
C
，半径为
2
2
r
m
，
可得
2
2
1
2
2
4
2
4
2 2
2
C C
m
m
m
，两半径之和1
2
4
2
r
r
m
；
若
4
m
，圆心距
1
2
4 2
C C
，两半径之和1
2
4 2
r
r
，此时
1
2
1
2
4 2
C C
r
r
，
所以圆
1
C 与圆
2
C 外切，即充分性成立；
若圆
1
C 与圆
2
C 外切，则2 2
2
4
2
m
m
，解得
4
m
或
2
m
（舍），
所以必要性成立；
即“
4
m
”是“圆
1
C 与圆
2
C 外切”的充分必要条件.
故选：C
例2、已知圆
2
2
1
1
C x
y
：
与圆
2
2
2
8
0
C x
y
y
m
：
外切，则m （
）
A．9
B．5
C．7
D．13
【答案】C
【详解】由
2
2
1
1
C
x
y
：
，可得圆的圆心
1 0,0
C
，半径为1
1
r ，
由
2
2
2
8
0
C
x
y
y
m
：
，可得
2
2
16
4
m
x
y
，
所以圆心为
2 0,4
C
，半径为
1
16
16
r
m m
，
题型2
由圆与圆的位置关系求参数
472
2026 年高二暑假讲义A 版
因为两圆外切，所
1
2
1
2
C C
r
r
，所以
2
2
0
4
1
16
m
，
则16
3
m
，解得
7
m
．
故选：C.
【变式训练4】已知圆
2
2
1 :
4
3
9
C
x
y
与圆
2
2
2 :
4
10
0
C
x
y
x
y
m
外离，则m 的取值范
围是（
）
A．
,29
B．
20,
C．
20,29
D．
28,29
【答案】C
【详解】由
2
2
1 :
4
3
9
C
x
y
，圆心为
1
4,3
C
，半径为1
3
r
，
圆
2
2
2 :
4
10
0
C
x
y
x
y
m
，即
2
2
2
5
29
x
y
m
，
则圆心
2 2, 5
C
，半径为
2
29
r
m
，
29
m
，
又
1
2
36
64
10
C C
，且两圆外离，
则
1
2
1
2
C C
r
r
，即10
3
29
m
，解得
20
m
，
所以20
29
m
，即m 的取值范围是
20,29
.
故选：C
【变式训练5】已知圆
1
O ：
2
2
1
x
y
，圆
2
O ：
2
2
3
16
x
y
a
，如果这两个圆有公共点，则
实数a 的取值范围是（
）
A．
4,0
B．
0,4
C．
4,4
D．
2,4
【答案】C
【详解】由
2
2
1 :
1
O
x
y
，则
1
1
0,0 ,
1
O
r ，
由
2
2
2 :
3
16
O
x
y
a
，则
2
2
3,
,
4
O
a
r
，则
2
2
2
1
2
3
0
0
9
O O
a
a
，
因为圆
1
O 与圆
2
O 有公共点，所以2
1
1
2
2
1
r
r
O O
r
r
，
即
2
3
9
5
a
，解得4
4
a
，
所以实数a 取值范围是
4,4
.
故选：C.
473
2026 年高二暑假讲义A 版
例3、若圆
2
2
1 :
4
0
O
x
y
y
，圆
2
2
2 :
6
O
x
y
x
4
4
0
y
的两交点分别为A，B，则|
|
AB （
）
A．2 5
3
B．8 2
3
C．2 2
3
D．8 5
3
【答案】B
【详解】方法一将两圆的方程作差，可得
2
3
x
，即直线AB 的方程为
2
3
x
，圆
1
O 的圆心为
1(0,2)
O
，
半径为2，
则
1
O 到直线
2
3
x
的距离为2
3 ，故
2
2
2
8 2
|
| 2 2
3
3
AB
．
方法二联立
2
2
2
2
4
0,
6
4
4
0,
x
y
y
x
y
x
y
解得
2 ,
3
6
4 2
3
x
y
或
2 ,
3
6
4 2 ,
3
x
y
所以
6
4 2
6
4 2
8 2
|
|
3
3
3
AB
．
故选：B.
【变式训练6】两相交圆
2
2
1 :
4
1
0
C
x
y
x
y
与
2
2
2 :
2
2
1
0
C
x
y
x
y
的公共弦所在的直线
方程为
，以公共弦为直径的圆的方程为
.
【答案】
2
0
x
y
2
2
5
5
6
12
5
0
x
y
x
y
【详解】解：将
2
2
1 :
4
1
0
C
x
y
x
y
与
2
2
2 :
2
2
1
0
C
x
y
x
y
的方程相减，得2
0
x
y
，
即两圆的公共弦所在直线方程为：2
0
x
y
；
因为
2( 1, 1)
C
不在直线2
0
x
y
上，
所以设所求圆的方程为：
2
2
2
2
4
1
(
)
0,
1
2
x
y
x
y
x
x
y
y
，
即：
2
2
(1
)
(1
)
2(2
)
(1
2 )
1
0
x
y
x
y
，
其圆心
)
2
1
(
,
2(
)
2
1
1
C
，
因为圆心
)
2
1
(
,
2(
)
2
1
1
C
在直线2
0
x
y
上，
所以2 (
)
(
)
0
1
2(1
)
2
2
1
，解得
7
2
，
故所求方程为
2
2
5
5
5
3
6
0
2
2
2
x
y
x
y
，
题型3
两圆的公共弦问题
474
2026 年高二暑假讲义A 版
即
2
2
5
5
6
12
5
0
x
y
x
y
.
故答案为：2
0
x
y
；
2
2
5
5
6
12
5
0
x
y
x
y
【变式训练7】（多选）圆
2
2
1 :
2
0
x
y
x
O
和圆
2
2
2 :
2
4
0
O
x
y
x
y
的交点为A，B，则有（
）
A．公共弦AB 所在直线的方程为
0
x
y
B．公共弦AB 所在直线的方程为
1
0
x
y
C．公共弦AB 的长为
2
2
D．若P 为圆
1
O 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为
2
1
2
【答案】AD
【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB 所在直线的方程为4
4
0
x
y
，即
0
x
y
；故A 正确，
B 错误，
由
2
2
2
2
1 :
2
0
1
1
O
x
y
x
x
y
，易知
1 1,0
O
，半径
1
r ，
则点
1 1,0
O
到直线
0
x
y
的距离
2
2
1 0
2
2
1
1
d
，
故弦长
2
2
2
2
AB
r
d
；故C 正确，
当
1
PO
AB
，并在如图所示位置时，
P 到直线AB 的距离最大，为
2
1
2
d
r
；
故选：AD.
【变式训练8】圆
2
2
1 :
4
C
x
y
与圆
2
2
2 :
4
4
C
x
y
x
y
a
的公共弦长为2 2 ，则a 的值为（
）
A．12 或4
B．12 或-4
C．16 或4
D．16 或-4
【答案】B
【详解】两圆方程作差可得4
4
4
x
y
a
，即公共弦所在直线方程为4
4
4
0
x
y
a
，
由圆
2
2
1 :
4
C
x
y
，则圆心
1 0,0
C
，半径1
2
r
，
点
1
C 到公共弦所在直线的距离
4
16 16
a
d
，
公共弦长为
2
2
2
2 2
r
d
，则
2
4
4
2
32
a
，解得
12
a
或4
，
475
2026 年高二暑假讲义A 版
由圆
2
2
2 :
4
4
C
x
y
x
y
a
，整理可得
2
2
2
2
8
x
y
a
，
则
8
0
a
，所以
12
a
或4
.
故选：B.
【变式训练9】已知圆
2
2
:
4
O x
y
与圆
2
2
:
4
3
0
C x
y
x
相交于
,
A B 两点，则
OAB
△
的面积为
（
）
A．7 15
16
B．7 15
15
C．
15
8
D．
15
16
【答案】A
【详解】圆
2
2
:
4
O x
y
的圆心为
0,0
O
，半径1
2
r
，
圆
2
2
:
4
3
0
C x
y
x
即
2
2
2
1
x
y
，则圆心为
2,0
C
，半径2
1
r ，
所以
2
OC
，则
1
2
1
2
r
r
OC
r
r
，所以两圆相交；
联立
2
2
2
2
4
4
3
0
x
y
x
y
x
,相减可得直线AB ：4
7
0
x
，
所以
0,0
O
到直线4
7
0
x
的距离为
7
4
d
，
利用圆
2
2
:
4
O x
y
与直线AB 相交可得：
2
2
2
1
7
15
2
2 4
4
2
AB
r
d
，
所以
1
1
15
7
7 15
2
2
2
4
16
OAB
S
AB d
.
故选：A.
例4、圆C ：
2
2
2
4
x
y
与圆D ：
2
2
8
2
8
0
x
y
x
y
的公切线的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由
2
2
8
2
8
0
x
y
x
y
，可得
2
2
4
(
1)
9
x
y
，
所以圆心
(0, 2),
( 4,1)
C
D
，
设两圆的半径分别为1
2
,
r r ，则1
2
2,
3
r
r
，
圆心距
2
2
1
2
0
4
( 2 1)
5
CD
r
r
，
题型4
公切线的条数问题
476
2026 年高二暑假讲义A 版
所以两圆外切，则公切线的条数为3 条，
故选:C.
【变式训练10】已知圆
1
C ：
2
2
4
x
y
与圆
2
C ：
2
2
(
)
(
4)
9
x
a
y
有两条公切线，则实数a 的取值
范围为（
）
A．(1,5)
B．(
,1)
(5,
)
C．(
)
3,3
D．(
, 3)
(3,
)
【答案】C
【详解】由圆
2
2
1 :
4
C
x
y
与圆
2
2
2 (
)
(
4)
:
9
C
x
a
y
恰有两条公切线，得圆
1
C 与圆
2
C 相交，
而圆心
1(0,0)
C
，半径1
2
r
，圆心
2(
)
, 4
C a
，半径2
3
r
，则
1
2
C C
2
16
a
，
因此
1
2
1
2
1
2
r
r
C C
r
r
，即
2
1
16
5
a
，解得3
3
a
，
所以实数a 的取值范围为(
)
3,3
.
故选：C
【变式训练11】若圆
2
2
1 :
4
C
x
y
与圆
2
2
2 :
1
C
x
a
y
a
有公切线，则实数a 的范围是（
）
A．
2
2
[
,
]
2
2
B．
2
2
,
,
2
2
C．(
,
1]
[1,
)
D．[ 1,1]
【答案】B
【详解】由题意知圆
1
C 的圆心为
0,0 ，半径1
2
r
，圆
2
C 的圆心为
,a
a
，半径2
1
r ，
假设圆
2
2
1 :
4
C
x
y
与圆
2
2
2 :
1
C
x
a
y
a
没有公切线，
此时两圆内含，所以圆心距
1
2
d
r
r
，即
2
2
2 1
a
，解得
2
2
2
2
a
，
所以当圆
1
C 与圆
2
C 有公切线时，实数a 的范围是
2
2
,
,
2
2
，
故选：B.
例5-1、已知圆
2
2
1 :(
1)
1
C
x
y
，圆
2
2
2 :(
4)
16
C
x
y
，则两圆公切线的方程为
.
【答案】
0
x
题型5
求公切线方程及长度
477
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】由
2
2
1 :(
1)
1
C
x
y
，圆心为
1(1,0)
C
，半径为1
1
r ，
由
2
2
2 :(
4)
16
C
x
y
，圆心为
2(4,0)
C
，半径为2
4
r
，
显然
1
2
2
1
|
|
C C
r
r
，即两圆内切，且切点为(0,0) ，
所以两圆公切线的方程为
0
x
.
故答案为：
0
x
【变式训练11】写出与圆
2
2
1
(
1)
(
2)
2
x
y
和圆
2
2
1
(
2)
(
1)
2
x
y
都相切的一条直线方
程
.
【答案】
0
x
y
（或
2
0
x
y
或
4
0
x
y
，任写一条即可，答案不唯一）
【详解】圆
2
2
1
(
1)
(
2)
2
x
y
的圆心为
1,2 ，半径为
2
2 ，
圆
2
2
1
(
2)
(
1)
2
x
y
的圆心为
2,1 ，半径为
2
2 ，
两圆心距为
2
2
1
2
(1
2)
(2 1)
2
r
r
，故两圆外切，
两圆圆心所在直线l 的方程为
2 1
2
1
1
2
y
x
，即
3
0
x
y
，中点为3 3
,
2 2
，
切线1l 垂直于直线l ，且经过中点，所以切线1l 的方程为
0
x
y
；
切线2
3
,
l l 平行于直线l ，且到直线l 的距离为
2
2
r =
，
设平行于直线l 切线方程为
0,
3
x
y
b
b
，
则
3
2 ,
3
2
2
2
b
b
b
或
4
b ，
所以切线2
3
,
l l 的方程分别为
2
0,
4
0
x
y
x
y
.
478
2026 年高二暑假讲义A 版
故答案为：
0
x
y
（或
2
0
x
y
或
4
0
x
y
，任写一条即可，答案不唯一）.
例5-2、圆
1
C ：
2
2
1
2
1
x
y
与圆
2
C ：
2
2
2
2
4
x
y
的内公切线长为（
）
A．3
B．5
C．26
D．4
【答案】D
【详解】如图：
由图可知圆
1
C 与圆
2
C 的内公切线有一条为y 轴，
则公切线的长为
4
AB
，
方法二：
2
2
1
2
2 1
2
2
5
C C
，
所以内公切线的长为：
2
2
1
2
2 1
25
9
4
C C
故选：D
【变式训练12】已知圆
2
2
1 :
4
4
1
0
C
x
y
x
y
，圆
2
2
2 :
2
6
9
0
C
x
y
x
y
，直线l 分别与圆
1
C
和圆
2
C 切于
,
M N 两点，则线段MN 的长度为
．
【答案】
6
【详解】圆
2
2
1 :
2
2
9
C
x
y
，圆心
1
2,2
C
，半径1
3
r
，
圆
2
2
2 :
1
3
1
C
x
y
，圆心
2 1,3
C
，半径2
1
r ，
479
2026 年高二暑假讲义A 版
圆心距
2
2
1
2
2 1
2
3
10
C C
，由3 1
10
3 1
，
所以两圆相交，则
2
2
10
3 1
6
MN
.
故答案为：
6
【变式训练13】圆
2
2
1 :
4
C
x
y
与圆
2
2
2 :
4
1
C
x
y
的一条公切线长为
（填入一个答案
即可）．
【答案】15 或
7 （填一个即可）
【详解】由题意得
1 0,0
C
，
2 4,0
C
，1
2
r
，2
1
r ，
1
2
1
2
4
C C
r
r
，故两圆相离，有四条公切
线．如图，
设四条公切线分别为直线AB 、直线
1
1
A B 、直线MN 、直线
1
1
M N ，且MN 交
1
1
M N 于点Q ．
由对称性可知
1
1
AB
A B
，
1
1
MN
M N
．连接
1
AC ，过
2
C 作
2
1
PC
AC
，垂足为P ，连接
2
BC ，
则四边形
2
PABC 为矩形，所以
2
2
2
2
2
1
2
4
2 1
15
AB
PC
C C
OP
．连接
1
2
,
MC NC ．
易知
1
2
C MQ
C NQ
∽
△
△
，所以
1
1
2
2
2
MC
MQ
C Q
NC
NQ
C Q
．又
1
2
4
C Q
C Q
，所以
2
4
3
C Q
．
所以在
2
C NQ
Rt△
中，
2
4
7
1
3
3
NQ
，所以
3
7
MN
NQ
．
故两圆的一条公切线长为15 或
7 ．
故答案为：15 或
7 （填一个即可）.
480
2026 年高二暑假讲义A 版
例6、圆C 经过点( 0, 1) ，且经过两圆
2
2
1 :
4
3
0
C
x
y
x
和圆
2
2
2 :
4
3
0
C
x
y
y
的交点，则圆C
的方程为
．
【答案】
2
2
6
2
3
0
x
y
x
y
【详解】设圆C 的方程为：
2
2
2
2
2
2
4
3
4
3
4
3
0
x
y
x
x
y
x
x
y
y
，
整理得到：
2
2
4
3
4
0
x
y
x
y
x
，
因为圆C 过( 0, 1) ，代入该点得到：2
4
0
即
1
2
，
故圆C 的方程为：
2
2
4
3
2
0
x
y
x
y
x
即
2
2
6
2
3
0
x
y
x
y
，
故答案为：
2
2
6
2
3
0
x
y
x
y
.
【变式训练14】过圆
1
C ：
2
2
6
4
0
x
y
x
和圆
2
C ：
2
2
6
28
0
x
y
y
的交点，且圆心在直线
2
4
0
x
y
上的圆的方程为（
）
A．
2
2
1
2
25
x
y
B．
2
2
1
2
20
x
y
C．
2
2
1
6
25
x
y
D．
2
2
1
6
20
x
y
【答案】A
【详解】经过圆
1
C ：
2
2
6
4
0
x
y
x
和圆
2
C ：
2
2
6
28
0
x
y
y
交点的圆可设为
2
2
2
2
6
4
6
28
0
x
y
x
x
y
y
，即
2
2
6
6
4
28
0
1
1
1
x
y
x
y
，
圆心
3
3
,
1
1
在直线2
4
0
x
y
上，故
6
3
4
0
1
1
，解得
2
，
所以圆的方程为
2
2
1
2
25
x
y
.
故选：A.
【变式训练15】已知圆C：
2
2
1
4
x
y
．
(1)求过点
3, 3
A
且与圆C 相切的直线方程；
(2)求圆心在直线2
0
x
y
上，并且经过圆C 与圆Q：
2
2
2
1
4
x
y
的交点的圆的方程．
【答案】(1)
3
0
y
或12
5
21
0
x
y
；(2)
2
2
2
4
5
0
x
y
x
y
．
题型6
圆系方程
481
2026 年高二暑假讲义A 版
【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为
3
3
y
k x
，
即
3
3
0
kx
y
k
∵圆心
0, 1
C
到切线的距离等于半径2，
∴
2
1
3
3
2
1
k
k
解得
0
k
或
12
5
k
．
因此，所求切线方程为
3
0
y
，或12
5
21
0
x
y
．
当直线无斜率时，则
3
x
，此时直线与圆不相切，不满足题意，
故切线方程为
3
0
y
，或12
5
21
0
x
y
．
（2）法一：
联立
2
2
2
2
1
4
2
1
4
x
y
x
y
，解得
0
1
x
y
或
2
1
x
y
．
∴圆C 与圆Q 的交点为
0,1
A
，
2, 1
B
，
线段AB 的垂直平分线为
1
0
x
y
，设所求圆的圆心为
,
M a b ，半径为r．
由
2
0
1
0
a
b
a
b
，解得
1
2
a
b
，所以圆心为
1, 2
M
，
10
r
MA
．
因此，所求圆的方程为
2
2
1
2
10
x
y
法二：设经过圆C 与圆Q 交点的圆为：
2
2
2
2
1
4
2
1
4
0
x
y
x
y
．（
1
）
即
2
2
2
2
2
3
4
2
1
0
x
y
y
x
y
x
y
即
2
2
1
1
4
2
2
3
0
x
y
x
y
圆心
2
1
,
1
1
代入直线2
0
x
y
，得
1
3
．
因此，所求圆的方程为
2
2
2
4
5
0
x
y
x
y
．
482
2026 年高二暑假讲义A 版
一、单选题
1、已知圆
2
2
1 :
4
0
C
x
y
，圆
2
2
2 :
4
4
8
0
C
x
y
x
y
，则两圆的位置关系是（
）
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【答案】C
【详解】
2
2
1 :
4
C
x
y
，圆心
1 0,0
C
，半径1
2
r
，
2
2
2 :
4
4
8
0
C
x
y
x
y
可化简为
2
2
2
2
16
x
y
，
则圆
2
C 的圆心为
2 2
2
C
，
，半径2
4
r
，
1
2
2
4
2
2 2
4
2
6
C C
，所以两圆相交.
故选：C.
2 、已知圆
2
2
1 :
2
1
0
R
C
x
y
x
my
m
的面积被直线
2
1
0
x
y
平分，圆
2
2
2 :
2
3
25
C
x
y
，则圆
1
C 与圆
2
C 的位置关系是（
）
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
【答案】B
【详解】∵圆
2
2
1 :
2
1
0
R
C
x
y
x
my
m
关于直线
2
1
0
x
y
对称，
圆心
1 1,
2
m
C
在直线
2
1
0
x
y
上，
1
1
0
m
，
2
m
，
圆
2
2
1 :
2
2
1
0
C
x
y
x
y
，即
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y
，圆心为
1 1, 1
C
，半径为1
1
r ．
圆
2
C 的标准方程是
2
2
(
2)
(
3)
25
x
y
，圆心
2
2,3
C
，半径2
5
r
，
所以
2
2
1
2
5 1
2 1
3 1
5
5 1
C C
，
所以圆
1
C 与圆
2
C 的位置关系是相交．
故选：B.
3、已知圆C 的圆心在直线
5
0
x
y
上，并且圆C 经过圆
2
2
6
4
0
x
y
x
与圆
2
2
6
28
0
x
y
y
的交点，则圆C 的圆心是（
）
A．1
9
,
2
2
B．9
1
,
2
2
C．
4
1
,
D．
1, 4
483
2026 年高二暑假讲义A 版
【答案】D
【详解】设圆
2
2
6
4
0
x
y
x
与圆
2
2
6
28
0
x
y
y
的交点为A，B
联立两圆方程，得
2
2
2
2
6
4
0
6
28
0
x
y
x
x
y
y
，解得
1
3
x
y
，或
6
2
x
y
．
不妨记
1,3
A
，
6, 2
B
，
于是AB 的中点为
7 1
,
2 2
，
3
2
1
1 6
AB
k
从而可得AB 的垂直平分线方程为
1
7
2
2
y
x
，即
3
0
x
y
，
联立
5
0
x
y
与
3
0
x
y
，得
5
0,
3
0
x
y
x
y
解得
1
4
x
y
，
即圆心坐标为
1, 4
．
故选：D．
4、若圆
2
2
1 :
1
4
C
x
y
与圆
2
2
2 :
1
1
C
x
y
a
有且仅有2 条公切线，则a 的取值范围是（
）
A．
0,1
1,1
2 2
B．
1
2 2,1
2 2
C．
1 2 2,1
1,1
2 2
D．
1 2 2,1
1,1
2 2
【答案】D
【详解】因为圆
1
C ：
2
2
1
4
x
y
与圆
2
C ：
2
2
1
1
x
y
a
有且仅有2 条公切线，
所以圆
1
C ：
2
2
1
4
x
y
与圆
2
C ：
2
2
1
1
x
y
a
相交，
所以
1
2
2 1
2 1
C C
，
所以
2
2
1
1
1
3
1 2 2
1
a
a
或1
1
2 2
a
.
故选:D.
5、已知圆
2
2
1 :
4
0
C
x
y
与圆
2
2
2 :
4
4
12
0
C
x
y
x
y
交于M 、N 两点，则MN （
）
A．2 2
B．2
C．2 3
D．
3
【答案】A
【详解】圆
2
2
1 :
4
0
C
x
y
即
2
2
4
x
y
，圆心
1 0,0
C
，半径1
2
r
；
圆
2
2
2 :
4
4
12
0
C
x
y
x
y
即
2
2
2
2
20
x
y
，圆心
2 2, 2
C
，半径2
2 5
r
，
484
2026 年高二暑假讲义A 版
因为
1
2
2 2
C C
，则2
1
1
2
2
1
r
r
C C
r
r
，所以两圆相交，
则两圆的公共弦方程为
2
0
x
y
，
则
1 0,0
C
到
2
0
x
y
的距离
2
2
2
2
1
1
d
，
所以
2
2
2
2
1
2
2 2
2
2 2
MN
r
d
.
故选：A
6、已知直线l 与圆
2
2
(
2)
(
3)
1
x
y
和圆
2
2
(
1)
(
1)
36
x
y
均相切，则l 的方程为（）
A．
2
23
0
x
y
B．
2
23
0
x
y
C．3
4
23
0
x
y
D．3
4
23
0
x
y
【答案】C
【详解】圆
2
2
(
2)
(
3)
1
x
y
的圆心为
2,3
M
，半径为
1
1
R ，
圆
2
2
(
1)
(
1)
36
x
y
的圆心为
1, 1
N
，半径为
2
6
R
2
2
2
1
(2 1)
(3 1)
5
MN
R
R
∵
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线l 为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
2
2
2
2
:(
1)
(
1)
(
2)
(
3)
36 1
l
x
y
x
y
整理得:3
4
23
0
l
x
y
，
故选：C .
7、若直线y
x
a
与圆
2
2
1 :
4
C
x
y
及圆
2
2
2 :
4
0
C
x
y
x
共有3 个公共点，则所有符合条件的a
的和为（
）
A．0
B．2 3
C．6
D．4
【答案】D
【详解】
2
2
1 :
4
C
x
y
，圆心(0,0) ，半径1
2
r
由
2
2
2 :
4
0
C
x
y
x
，得
2
2
(
2)
4
x
y
，圆心(2,0) ，半径2
2
r
，
圆心距为2 ，
1
2
1
2
0
2
4
r
r
r
r
，故两圆相交，
直线y
x
a
与圆
2
2
1 :
4
C
x
y
及圆
2
2
2 :
4
0
C
x
y
x
共有3 个公共点，
485
2026 年高二暑假讲义A 版
情形一，与圆
1
C 在下方相切时，则|
|
2
2
a
，得
2 2
a
，
情形二，与圆
2
C 在上方相切时，则| 2
|
2
2
a
，得
2 2
2
a
，
情形三，过两圆的交点时，
两圆相减得
1
x ，代入圆
1
C 得：
3
y
，
则两交点分别为(1, 3),(1,
3)
，代入直线y
x
a
，
得
3 1
a =
- ，或
3
1
a
则所有符合条件的a 的和为2 2
(2 2
2)
( 3
1)
(
3
1)
4
.
故选：D
二、多选题
8、已知圆
2
2
1 :
3
4
16
O
x
y
与圆
2
2
2
2 :
0
O
x
y
r
r
，下列选项正确的有（
）
A．若
1
r ，则两圆外切
B．若
1
r ，则直线
1
x 为两圆的一条公切线
C．若
3
r
，则两圆公共弦所在直线的方程为3
4
9
0
x
y
D．若
3
r ，则两圆公共弦的长度为24
5
【答案】ABD
【详解】由圆
2
2
1 :
3
4
16
O
x
y
，可得圆心
1 3,4
O
，半径1
4
r
，
由圆
2
2
2
2 :
0
O
x
y
r
r
，可得圆心为
2 0,0
O
，
若
1
r ，两圆心间距离为
2
2
1
2
3
0
4
0
5
O O
，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A
正确；
若
1
r ，则两圆心到
1
x 距离分别为0 1
1
，3 1
4
，即两圆心到
1
x 距离分别为圆的半径，
故B 正确；
486
2026 年高二暑假讲义A 版
若
3
r ，则
2
2
2 :
9
O
x
y
，又
2
2
1 :
3
4
16
O
x
y
，
两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为3
4
9
0
x
y
，故C 错误；
3
r
，由选项C 可知两圆的公共弦所在直线方程为3
4
9
0
x
y
，
所以
2 0,0
O
到直线3
4
9
0
x
y
的距离为
2
2
3 0
4 0
9
0
9
5
3
4
，
所以弦长为
2
2
9
24
2 3
5
5
，故D 正确.
故选：ABD.
9、圆
2
2
1 :
2
2
1
0
C
x
y
x
y
与圆
2
2
2 :
4
4
4
0
C
x
y
x
y
相交于A ，B 两点，下列说法正确的
是（
）
A．AB 的直线方程为2
2
3
0
x
y
B．公共弦AB 的长为14
4
C．圆
1
C 与圆
2
C 的公切线段长为1
D．线段AB 的中垂线方程为
0
x
y
【答案】AC
【详解】由
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y
，得
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y
，则
1(1,1)
C
，半径1
1
r ，
由
2
2
4
4
4
0
x
y
x
y
，得
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
，则
2(2,2)
C
，半径2
2
r
，
对于A，公共弦AB 所在的直线方程为
2
2
2
2
2
2
1 (
4
4
4)
0
x
y
x
y
x
y
x
y
，
即2
2
3
0
x
y
，所以A 正确，
对于B，
2(2,2)
C
到直线AB 的距离
2
2
4
4
3
5
2 2
2
2
d
，
所以公共弦AB 的长为
2
2
2
25
14
2
2 4
8
2
AB
r
d
，所以B 错误，
对于C，因为
2
2
1
2
(1 2)
(1 2)
2
C C
，1
1
r ，2
2
r
，
所以圆
1
C 与圆
2
C 的公切线长为
2
2
1
2
1
2
(
)
2 1
1
C C
r
r
，所以C 正确，
对于D，根据题意可知线段AB 的中垂线就是直线
1
2
C C ，因为
1
2
2 1
1
2 1
C C
k
，
所以直线
1
2
C C 为
1
1
y
x
，即
0
x
y
，所以D 错误，
故选：AC.
三、填空题
487
2026 年高二暑假讲义A 版
10、圆
1
C ：
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
与圆
2
2 : (
1)
C
x
2
(
2)
9
y
的公切线条数是
．
【答案】3
【详解】圆
1
C 的圆心
1( 2,2)
C
，半径1
2
r
，圆
2
C 的圆心
2(1, 2)
C
，半径2
3
r
．
因为
2
2
1
2
( 2 1)
(2
2)
C C
1
2
5
r
r
，所以两圆外切，
所以圆
1
C 与圆
2
C 的公切线有3 条．
11、已知圆
2
2
:
(
2)
1
C x
y
和圆
2
2
:
6
10
30
0
D x
y
x
y
，M，N 分别是圆C，D 上的动点，P
为直线
1
y 上的动点，则PM
PN
的最小值是
．
【答案】3 10
3
【详解】
2
2
:
(
2)
1
C x
y
的圆心为
0,2
C
，半径为1.
2
2
2
2
:
6
10
30
0
(
3)
(
5)
4
D x
y
x
y
x
y
，圆心为
3,5
D
，半径为2．
因为
2
2
3
(5
2)
3 2
3
CD
，所以两圆相离，如图所示．
则
3
PM
PN
PC
CM
PD
DN
PC
PD
，
当且仅当
,
,
P M C 三点共线，
,
,
P N D 三点共线且M 在
,
P C 之间，N 在
,
P D之间时，等号成立．
设C 关于直线
1
y 的对称点为
0, 4
C
，
连接C D
，与直线
1
y 交于点P ，此时
2
2
(3
0)
(5
4)
3 10
C D
，
故3 10 即为PC
PD
的最小值，
故PM
PN
的最小值为3 10
3
．
故答案为：3 10
3
.
488
2026 年高二暑假讲义A 版
四、解答题
12、已知圆
2
2
1 :
4
4
C
x
y
，圆
2
2
2 :
2
2
1
C
x
a
y
a
．
(1)若圆
1
C 与圆
2
C 外切，求实数a 的值；
(2)设
2
a
时，圆
1
C 与圆
2
C 相交于A 、B 两点，求AB ．
【答案】(1)3或9
5 ；(2) 14
4
【详解】（1）因圆
2
2
1 :
4
4
C
x
y
，得圆心
1(0,4)
C
，半径1
2
r
.
又圆
2
2
2 :
2
2
1
C
x
a
y
a
，得圆心
2( ,2
2)
C a
a
，半径2
1
r .
所以圆心距
2
2
2
1
2
(2
2
4)
5
24
36
C C
a
a
a
a
，1
2
3
r
r
，
因圆
1
C 与圆
2
C 外切，所以
1
2
1
2
C C
r
r
，得
2
5
24
36
3
a
a
，解得
3
a
或
9
5
a
.
故实数a 的值为3或9
5 .
（2）当
2
a
时，圆
2
2
2 :
2
2
1
C
x
y
，此时两圆的圆心距
1
2
2 2
3
C C
，此时两圆相交.
将两圆方程相减得直线AB 的方程为4
4
5
0
x
y
.
所以圆心
1(0,4)
C
到直线AB 的距离
2
2
0
4 4
5
11 2
8
4
4
d
，且半径1
2
r
，
由圆的弦长公式得
2
2
1
121
14
2
2 4
32
4
AB
r
d
.
故
14
4
AB
.
13、已知圆
2
2
:
9
O x
y
，圆
2
2
:(
5)
16
N
x
y
交于
,
A B 两点，A 在第二象限．
(1)求以AB 为直径的圆的方程；
(2)若过点A 的直线（斜率存在）交圆O于点C ，交圆N 于点D ，且|
| |
|
AC
AD
，求直线CD 的方程．
【答案】(1)
2
2
9
144
5
25
x
y
；(2) 7
24
45
0
x
y
【详解】（1）根据题意，圆
2
2
:
9
O x
y
，圆心为
0,0
O
，半径为3，
圆
2
2
:(
5)
16
N
x
y
，圆心为
5,0
N
，半径为4，两圆方程相减得
9
5
x
，所以直线AB 的方程
为
9
5
x
．
489
2026 年高二暑假讲义A 版
所以所求圆的圆心为
9 ,0
5
，半径为
2
9
12
9
5
5
，
所以以AB 为直径的圆的方程为
2
2
9
144
5
25
x
y
．
（2）A 在第二象限，由（1）可得
9 12
,
5
5
A
，
如图，不妨设点
,
C D 分别在圆O和圆N 上，易知直线CD 的斜率存在，设直线CD 的方程是
12
9
5
5
y
k x
，即5
5
9
12
0
kx
y
k
，则点O到直线CD 的距离为
2
9
12
25
25
k
k
，点N 到直线CD
的距离为
2
2
25
9
12
16
12
25
25
25
25
k
k
k
k
k
．
因为AC
AD
，所以
2
2
2
2
(9
12)
( 16
12)
9
16
25
25
25
25
k
k
k
k
，解得
7
24
k
，
所以直线CD 的方程为7
24
45
0
x
y
．
