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专题22 圆锥曲线轨迹全归纳
M 目录
题型一：定义法：圆型.........................................................................................................................................................1
题型二：椭圆定义型.............................................................................................................................................................3
题型三：双曲线定义型.........................................................................................................................................................6
题型四：抛物线定义型.......................................................................................................................................................10
题型五：直接设点型...........................................................................................................................................................13
题型六：相关点代入法.......................................................................................................................................................16
题型七：交轨法...................................................................................................................................................................18
题型八：参数消参法...........................................................................................................................................................22
题型九：空间型：坐标法...................................................................................................................................................25
题型十：空间型：截面型曲线轨迹...................................................................................................................................29
题型十一：空间型：双球圆锥型.......................................................................................................................................34
题型十二：立体几何定角型...............................................................................................................................................38
题型十三：复数中的轨迹...................................................................................................................................................42
题型一：定义法：圆型
1．（22-23 高三·四川绵阳·阶段练习）已知
，若过定点
的动直线
和过定点
的
动直线
交于点
（
与
，
不重合），则错误的是（ ）
A．
点的坐标为
B．点P 的轨迹方程
C．
D．
的最大值为
【答案】B
【分析】求出直线恒过的定点可判断A，由已知可得两条直线互相垂直，由此可验证B、C，由已知可得
，设
，进而求出
的最大值，即可判断D．
【详解】由动直线
，得
，所以定点
，故A 正确；
由动直线
，可得
，
由
和
，满足
所以
，可得
，
所以
，故C 正确；
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所
求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
(1) 若直线含参，参数在x 系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1
(2) 若直线含参，参数在y 的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1
(3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0 与y=-x 平行
1
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设
，则
，
即点P 的轨迹方程为
，而
与
，
不重合，则
，故B 错误；
因为
，设
，
为锐角，则
，
，
所以
，
所以当
时，
取最大值
，故D 正确．
故选：B．
2．（2022 高三·全国·专题练习）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由两直线方程求出
的坐标，由于两直线垂直，所以
，若设
，则
，
，然后表示出
变形后，利用三角函数的性质可求
得其范围.
【详解】解：由题意可知，动直线
经过定点
，
动直线
，即
，经过点定点
，
动直线
和动直线
的斜率之积为
，始终垂直，
又是两条直线的交点，
，
．设
，则
，
，
由
且
，可得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的
关键是由已知得到
，通过三角换元转化为利用三角函数的性质求
的取
值范围，考查数学转化思想，属于较难题.
3．（24-25 高三·福建厦门·阶段练习）已知
，直线
，直线
，若
为
的交点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定P 的轨迹，取点构造相似结合三角形三边关系计算即可.
【详解】因为直线
，直线
，易知
，
且
分别过定点
，取其中点C (−2,0)，易知
，
则P 点在以C 为圆心，3 为半径的圆上，取点
，连接
,
2
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不难发现
，则
，所以
，
则
，
当且仅当
三点共线，且
与线段
和圆C 的交点重合时取得等号.
故选：A.
4．（22-23 高三·福建莆田·阶段练习）已知
，若过定点A 的动直线
和过定点B 的
动直线
交于点P（P 与A，B 不重合），则下列结论中正确的是（ ）
A．A 点的坐标为
B．点P 的轨迹方程
C．
D．
的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】对于选项A：
可以转化为
，
故直线恒过定点A
，故该选项正确；
对于选项C：
恒过定点B
，由
和
, 满
足
，所以
, 可得
, 所以
, 故
正确;
对于选项B：设
, 则
,
即点
的轨迹方程为
, 而
与
不重合, 则挖去A，B 两点 故
错误;
对于选项D：
因为
, 设
为锐角, 则
,
所以
, 所以当
时,
取最大值
,
故
正确.
故选：ACD.
5．（22-23 高三·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
点的轨迹方程是
【答案】
【分析】根据两直线的方程可求得定点
、
的坐标，以及两直线垂直，进而可得
点的轨迹是以
为
直径的圆，即得.
【详解】由
可知
，所以该直线过定点
，
由
可得
，所以该直线过定点
，因为
,
所以直线
与
垂直，所以
，即
点的轨迹是以
为直径的圆，
3
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所以
点的轨迹方程是
，即
.
故答案为：
.
题型二：椭圆定义型
1．（20-21 高三·浙江金华·模拟）如图，
，等边
的边长为2，M 为BC 中点，G 为
的重心，B，C 分别在射线OP，OQ 上运动，记M 的轨迹为
，G 的轨迹为
，则（ ）
A．
为部分圆，
为部分椭圆 B．
为部分圆，
为线段
C．
为部分椭圆，
为线段 D．
为部分椭圆，
也为部分椭圆
【答案】C
【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点
的轨迹方程，由此得
为部分椭圆；
过点
作与
轴垂直的直线分别交
于点
，交
于点
，得等边
，由平面几何可得
是等边
的外心，由此可得点
的轨迹
为
轴在曲线
内的一段线段.
【详解】以
为原点，以
的角平分线为
轴建立平面直角坐标系如图所示.
依题意得直线
的方程为
，直线
的方程为
.
设点
，
，由
得
（*），
设点
，因为
是
的中点，所以
即
.
将其代入（*）得
，即
，故
的轨迹
为椭圆在
内部的部分.
过点
作与
轴垂直的直线分别交
于点
，交
于点
，则
显然也是等边三角形.
下面证明等边
的重心
即等边
的外心.
设
，则
，又
，且
，所以
，
因此
.
在
和
中，
，又
，所以
，则
，同理可
证
，即点
是等边
的外心，所以，点
在
轴上移动，故点
的轨迹
为
轴在曲线
平面内与两个定点F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
的点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
4
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内的一段线段.故选：C.
【点睛】关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键.
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）单位向量
，向量
满足
，若存在两个均满足此条件的向
量
，使得
，设
，
在起点为原点时，终点分别为
.则
的最大值
（ ）
A．
B．
C．4
D．2
【答案】B
【分析】设
，
，整理得
，可知点
在椭圆上，设
关于点
的对称点为
，分析可知
三点共线，结合椭圆性质分析求解.
【详解】由题意不妨设
，
，则
，
因为
，则
，整理得
，
可知向量
的终点
的轨迹为椭圆，且
为椭圆的右焦点，
可知点
在椭圆上，设
关于点
的对称点为
，因为
，则
，
可得
，由
可知
三点共线，
设
，因为
为线段
的中点，则
，
当且仅当
为短轴顶点时，等号成立，所以
的最大值为
.故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点有两点：
1.设
，
，求得向量
的终点
的轨迹为椭圆；
2.设
关于点
的对称点为
，可知
三点共线.
3．（23-24 高三上·上海·模拟）设圆
和圆
是两个定圆，动圆
与这两个定圆都相切，则动圆
的圆心
的轨迹不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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【答案】A
【分析】按动圆
与圆
、圆
内切、外切情况分类，结合椭圆、双曲线定义确定轨迹的可能情况即得.
【详解】设动圆
的半径为，圆
和圆
的半径分别是
，
①当
，且两圆外离时，
，
若圆
与圆
、圆
都外切或都内切，则有
或
，
于是
，此时点
的轨迹是线段
的中垂线；
若圆
与圆
、圆
一个外切一个内切，则有
或
，
于是
，此时点
的轨迹是双曲线，
因此此时点
的轨迹是一条直线和一个双曲线，B 可能；
②当
，且两圆内含时(不妨设
)，
，
若圆
与圆
、圆
都内切，则有
，即有
，此时
点轨迹为椭圆；
若圆
与圆
内切、与圆
外切时，则有
，即有
，此时
点轨迹为椭圆；
因此
点轨迹为两个椭圆，C 可能；
③当两圆
且两圆外离时(不妨设
，
，
若圆
与圆
、圆
都外切或都内切，则有
或
，
有
，
点轨迹为双曲线；
若圆
与圆
、圆
一个外切一个内切，则有
或
，
有
，
点轨迹为双曲线，
因此
点轨迹为两个双曲线，D 可能；
而两个圆相交或相外切时，
点轨迹是被直线
分成的不连续的两段图形，轨迹不可能是完整的椭圆
两圆内切时，
点轨迹是直线
被其中较大的圆分成的在该圆外部的两条射线（不含端点），A 不可能.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及轨迹形状的判断问题，利用基本轨迹定理、椭圆、双曲线及抛物线定义是求解问
题的关键.
4．（23-24 高三·陕西榆林·模拟）已知点
，动点A 在圆M：
上运动，线段AN 的垂
直平分线交AM 于P 点，则P 的轨迹方程为 ；若动点Q 在圆
上运动，则
的最大
值为 .
【答案】
【分析】由题意得出
，得到点
满足
，根据椭圆的定义，求得点
表示
为
焦点的椭圆，即可求解.
将求
最大值的问题，转化为求点P 到圆心
距离最大值的问题，结合点P 满足椭圆方程，转化为
二次函数求给定区间的最大值即可.
【详解】由题意，圆
的圆心为
，点
，线段
的垂直平分线交
于点
，
所以
是
的垂直平分线上的一点，所以
，又由
，所以点
满足
，
6
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根据椭圆的定义，可得点
表示
为焦点的椭圆，其中
，
可得
，所以
，所以椭圆的方程为
.
圆
的方程为
，
圆心
，半径
，设
，则
，
，
到圆心
的距离
，
又
当
时，
取得最大值，
的最大值为：
，
故答案为：
，
题型三：双曲线定义型
1．（22-23 高三·江西·阶段练习）已知点
，点P 为圆
上
一点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】A，B 为两个定点，问题可转化为以A，B 为焦点的双曲线与圆有交点，由此求
的最小值.
【详解】圆C：
，化成标准方程为
，圆心
，半径为1.点
，如图所示：
由
，所以A，B，C 三点共线，有
，
.
问题可以转化为：已知点
，点P 为圆
上一点，求
的最小值，
如图所示：
设
，则点P 轨迹为以A，B 为焦点的双曲线的右支，
平面内与两个定点F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定
点做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
7
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双曲线方程为
，由点P 在圆
上，所以双曲线与圆有交点，
由
，消去y，得
，
，解得
，
则
，所以
的最小值
.
故选：D
【点睛】1.求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线
标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出a，b 的值．
2. 解答曲线与曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助
根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，要强化联立得出一元二次方程后的运算能
力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
2．（21-22 高三·江苏南通·阶段练习）在矩形
中，
，
，把边AB 分成n 等份，在
的延长线上，以
的n 分之一为单位长度连续取点.过边AB 上各分点和点
作直线，过
延长线上的
对应分点和点A 作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P 满足的方程可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，结合题意找出
与
的关系式，即可求解.
【详解】设
，则
，
，根据题意，易得直线
，直线
.
由
，令
，得
，因此边AB 上各分点坐标为
，
由
，令
，得
，因此
延长线上的对应分点坐标为
，
8
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结合题意，可知
，化简得
.
因此点P 满足的方程为：
.
故选：C.
3．（2018 高三上·全国·专题练习）已知定点
，
，
是圆
：
上任意一点，点
关于点
的对称点为
，线段
的中垂线与直线
相交于点
，则点
的轨迹是
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
【答案】D
【分析】由
是圆
上任意—点，可得
，结合已知，由垂直平分线的性质可得
，
从而可得
为定值，由双曲线的定义可得点
的轨迹是以
为焦
点的双曲线.
【详解】
因为N 为
中点，O 为
中点，所以
，
因为P 在线段
的中垂线上，所以
，因此
，即点
的轨迹是双曲
线，故选D.
【点睛】本题主要考查定义法求轨迹方程、双曲线定义的应用，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
，根据题意列出关于
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线
的定义，直接求出方程；③参数法，把
分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将
代入
.
4．（20-21 高三·湖北武汉·模拟）在平面直角坐标系
中，动点
与两个定点
和
连线
的斜率之积等于
，记点
的轨迹为曲线
，直线：
与
交于
，
两点，则（ ）
A．
的方程为
B．
的离心率为
C．
的渐近线与圆
相切
D．满足
的直线有2 条
【答案】CD
【解析】由已知结合斜率的两点式有
，即可得
的方程为
，进而可求
的离心率，利用圆心到
的渐近线距离判断圆与
的渐近线的位置关系，联立直线与曲线
，结合
求
值的个数，由此即可判断各选项的正误.
【详解】令
，由题意得：
，即得
，
A
∴错误，又
，即
，故B 错误，
9
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由E 的渐近线为
，而
圆心为
，半径为1，
∴
到
距离为
，故
的渐近线与圆
相切，故C 正确，
联立曲线E 与直线的方程，整理得：
，
，
∴
，而
，
代入整理：
，即有
或
(由
与
无交点，舍去)，故
，∴D 正确.故选：CD
【点睛】易错点睛：
（1）两点式表示斜率时要保证分母不为0，从而确定曲线E 的轨迹要去掉
.
（2）由
求得
值要考虑曲线E 的轨迹不包含
的情况舍掉增根.
5．（24-25 高三·全国·模拟）过曲线
上一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，若
，则曲线
的方程为 ．
【答案】
（
且
）
【分析】设P 及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k 的方程，由判别式得出
，再由斜率关
系计算即可.
【详解】设P(x0, y0)，则过点
的切线方程为
，即
，
所以
，得
，
则
是此方程的两根，
，
，即
，
故
，得
，而要满足题意需P 在圆外，则
，
即曲线
的方程为
（
且
）．
故答案为：
(
且
)
题型四：抛物线定义型
1．（21-22 高三下·浙江·阶段练习）已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l
的垂线，垂足为Q，且
，动点P 的轨迹为C，已知圆M 过定点D（0，2），圆心M 在轨
平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线
的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．
10
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迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A、B 两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．2
D．3
【答案】C
【分析】利用数量积运算可得动点P 的轨迹C 方程，设M
进而得到⊙M 的方程为：
，可得A(a+2，0)，B(a－2，0)，利用两点之间的距离公式可得，
，再利用基本不等式即可得出．
【详解】设P(x，y)，则Q(x，－1)，
∵
，∴(0，y+1) (－x，2)＝(x，y－1) (x，－2)，∴2(y+1)＝x2－2(y－1)，∴x2＝4y．
∴动点P 的轨迹C 为：x2＝4y．设M
．（a∈R）．则⊙M 的方程为：
．
化为
．令y＝0，则x2－2ax+a2＝4，解得x＝a+2，或a－2．
取A(a+2，0)，B(a－2，0)．∴|DA|＝l1
，|DB|＝l2
．当a≠0 时，
，当且仅当
a
时取等号．当a＝0 时，
2．综上可得：
的最大值为
．故选：C．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知
是直线
上的一个动点，过点
作抛物线
的两
条切线
，
，切点分别为
，
，则
的重心
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
的重心为
，由定理1.1 知P(
x1+ x2
2
, x1 x2)，再由重心公
式得到
，
，代入直线方程整理即可．
【详解】设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
的重心为
．
11
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由定理1.1 知P(
x1+ x2
2
, x1 x2)，则由三角形的重心坐标公式，
可得
，
．
于是，
，
，
由点
在直线
上得
，即
．
其中定理1.1 及证明：如图，抛物线
上两个不同的点
，
的坐标分别为A(x1, y1)，
B(x2, y2)，
以
，
为切点的切线
，
相交于点
，我们称弦
为阿基米德
的底边．
定理1.1．点
的坐标为
；证明：由
，则
，
所以过点
的切线方程为
，过点
的切线方程为
，联立这两个方程
，消去
，可得
，再将
代入点
处的切线方程，
可得
．这表明，点
的坐标为
．故选：B．
3．（20-21 高三·广西南宁·模拟）抛物线：
的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点
的轨迹方程．
【详解】由抛物线的方程可得焦点
，可得过焦点的直线的斜率不为0，
设直线方程为：
，
设直线与抛物线的交点
，
，
，
，设
的中点
，
联立直线与抛物线的方程可得：
，
，
，
所以可得
，消去
可得
的轨迹方程：y
2=2 x−2，故选：C．
【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求
法；5、参数方程法等等.
4．（2024·浙江·模拟预测）已知曲线
上的点满足：到定点(1,0)与定直线
轴的距离的差为定值
，其中，
点
，
分别为曲线
上的两点，且点
恒在点
的右侧，则（ ）
12
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A．若
，则曲线
的图象为一条抛物线
B．若
，则曲线
的方程为
C．当
时，对于任意的
，
，都有
D．当
时，对于任意的
，
，都有
【答案】AC
【分析】设曲线
上的点P(x , y)，由题意求出
的方程，分
、
化简后逐项判断可得答案.
【详解】对于A，若
，设曲线
上的点P(x , y)，由题意可得
，
化简得
，当
时，
为抛物线，
当
时，
，因为
，所以
，而
，显然不成立，
综上，若
，则曲线
的图象为一条抛物线，故A 错误；
对于B，若
，设曲线
上的点P(x , y)，由题意可得
，
化简得
，当
时，
为抛物线，当
时，
为一条射线，故B 错误；
对于C，若
，设曲线
上的点P(x , y)，由题意可得
，
化简得
，因为
，当
时，
，
为开口向右，顶点为
的抛物线的一部分，，当
时，
，
为开口向左，顶点为
的抛物线的一部分，， 且
与
关于
对称,其图象大致
如下，
因为
，
两点的纵坐标相同，根据对称性可得
，故C 正确；
对于D，若
，设曲线
上的点P(x , y)，由题意可得
，
化简得
，因为
，当
时，
，
为开口向左，顶点为
的抛物线的一部分，当
时，
，
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为开口向右，顶点为
的抛物线的一部分，且
与
关于
对称,其图象大致如
下，
因为
，
两点的纵坐标相同，根据对称性可得
，故D 错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线
上的点P(x , y)，求出
点的轨迹方程，数形结合求出答案.
5．（24-25 高三·全国·模拟）设
，点
在
轴上，点
在
轴上，且
，
，当点
在
轴上运动时，点
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设
，
，
，根据
可得
，根据
可得
，代入即可得结果.
【详解】设
，
，
，则
，
，
，
因为
， 则
，又因为
，则
，即
，
可得
，即
．故点
的轨迹方程是
．故答案为：
.
题型五：直接设点型
14
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1．（24-25 高三上·河北保定·阶段练习）已知曲线
：
，从
上任意一点
向
轴作垂线
段
，
为垂足，点
满足
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
，由题意可得
，代入曲线
中即可得.
【详解】设
，则有
，设
，
则
，由
，则有
，
即
，故有
，即
.
故选：B.
2．（24-25 高三·河南南阳·阶段练习）动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离的
比是常数
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解.
【详解】设
是点
到直线
的距离，根据题意，动点
的轨迹就是集合
.
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述
成含
的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．
（1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．
（2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．
（3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
求解过程：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点P(x , y)
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含x , y的代数式表示，
（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．
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由此得
，将上式两边平方并化简，得
，即
.
所以动点
的轨迹方程为
.故选：B.
3．（23-24 高三·江苏南通·阶段练习）已知等腰
底边两端点的坐标分别为
，
，则顶
点A 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，可得顶点A 的轨迹是
的垂直平分线（除去垂直平分线与线段
的交点），
利用斜率关系与点斜式方程可得．
【详解】
，且
三点不共线，
顶点A 的轨迹是线段
的垂直平分线（除去垂直平分线与线段
的交点，即除去
的中点），
，
，
，所以与直线BC 垂直的直线的斜率为
，
又BC 的中点
，
则线段
的垂直平分线的方程为
，即
.
顶点A 的轨迹方程是
，
故选：D.
4．（24-25 高三上·山东济南·开学考试）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，直线
，
相交于点
，且它们的斜率之和是
.设动点
的轨迹为曲线
，则（ ）
A．曲线
关于原点对称
B．曲线
关于某条直线对称
C．若曲线
与直线
（
）无交点，则
D．在曲线
上取两点
，
，其中
，
，则
【答案】AC
【分析】利用直接法可得动点的轨迹方程，即可判断AB 选项，联立直线与曲线，可判断C 选项，联立曲
线与单位圆，可得曲线与单位圆交于
与
，此两点间距离恰好为
，即可判断D 选
项.
【详解】由已知
，即
，
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化简可得动点
的轨迹方程为
，
将
代入曲线方程可得
成立，
所以曲线
关于原点对称，A 选项正确，
做出曲线
，易知该曲线可表示渐近线为
及
轴的双曲线，
则对称轴过原点且倾斜角为
或
，而
,
则其对称轴为
，又
，所以曲线不是轴对称图形，
B 选项错误；
联立直线与曲线方程
，得
无解，则
或
，
即
或
，综上
，C 选项正确；
联立曲线与单位圆
，则
，解得
或
，
即曲线与单位圆交于
，
两点，且
，
所以当
，
分别与
，
重合时，
，D 选项错误；
故选：AC.
5．（24-25 高三·江苏常州·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线
上存在动点P
满足条件
，
，且
时，则实数k 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设
，当
时，有
，化简得
，此方程有实数根，可得
，解出即可得出．
【详解】设
，当
时，有
，
化简得
，此方程有解，
，
即
，解得
，所以实数k 的取值范围为
.故答案为：
.
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题型六：相关点代入法
1．（22-23 高三·北京·阶段练习）设
为坐标原点，动点
在椭圆C：
上，过
作
轴的垂线，
垂足为
，点
满足
，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标表示，建立等量关系，代入椭圆方程，整理可得答案.
【详解】设
，
，
，则
，
，
由
，则
，解得
，
由点
在椭圆C：
上，则
，即
，
即点
的轨迹方程是
.
故选：C.
2．（21-22 高三·辽宁沈阳·模拟）设
为坐标原点，动点
在圆
上，过
作
轴的垂线，垂
足为
，点
满足
，则点
的轨迹方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，因为
轴，且
，所以
，又动点
在圆
上，所以
，化简，得
，即点
的轨迹方程为
；故选B.
3．（22-23 高三·四川内江·模拟）已知面积为16 的正方形ABCD 的顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O
为坐标原点，
，则动点P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用相关点法即可求得动点P 的轨迹方程.
如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线
方程），则可以设出P(x , y),用(x , y)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得
到动点P的轨迹方程.
第一步：设所求轨迹的点
，曲线上的动点
；
第二步：找出
与
的关系，由
表示
，即
；
第三步：
满足已知的曲线方程，将
代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．
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【详解】设
，不妨令
，
正方形ABCD 的面积为16，则
，则
，
由
，可得
，即
，
则
，整理得
故选：B
4．（24-25 高三·河北唐山·阶段练习）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个
定点
，
距离之比是常数
（
，且
）的点
的轨迹是圆．若两定点
，
，动点
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．点
的轨迹围成区域的面积为
B．点
的轨迹关于直线
对称
C．点
到原点的距离的最大值为6
D．
面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】设动点
，则
，
，由
，得动点
的轨迹方
程为
，可得圆心坐标和半径，即可判断AB 是否正确；对于D
，只需
，即可判断D 是否正确；对于C：根据圆心到原点的距离加上半径即可求解.
【详解】设动点
，则
，
，
由
，即
，
所以
，所以
，
所以动点
的轨迹方程为
，
所以点
的轨迹是圆且圆心
，半径为
，
对于A：点
的轨迹 区域面积
，故A 正确；
对于B，圆心
在直线
上，故点
的轨迹关于直线
对称，B 正确，
对于C，
,故点
到原点的距离的最大值为
,C 错误，
对于D
，
又
，所以
，而
，则
的最大值为
．D 正确，
故选：ABD
5．（20-21 高三·上海杨浦·模拟）已知△
的顶点
，若顶点
在抛物线
上移动，
则△
的重心的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设
的重心
，
，由重心的性质可得
，代入抛物线方程化简即
可得解.
【详解】设
的重心
，
，则有
，即
，所以
，
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因为点C 在曲线
上，所以有
，即
，故答案为：
.
题型七：交轨法
1．（2024 高三·全国·专题练习）设
是椭圆
与x 轴的两个交点，
是椭圆上垂直于
的弦的端点，则直线
与
交点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先设出
和
根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点
在椭圆上，代入消元即得点
的轨迹方程.
【详解】
如图，设直线
与
的交点为
，则
∵
共线，故
①，又∵
共线，故
②.
由①，② 两式相乘得
（*）,
因
在椭圆
上，则
，可得：
将其代入（*）式，即得：
，化简得：
，即P 的轨迹方程为
.故选：C.
2．（2014·四川·一模）过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
，
两点，分别过
，
作抛物线的
切线，
，则与
的交点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
1. 所求点满足条件方程1
2. 所求点满足条件方程2
3. 动点是方程1、2 两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当
的技巧消去参数得到轨迹的普通方程
4. 参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵
活多变.
20
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【答案】A
【分析】先求出焦点，设直线
与抛物线联立得
，设出
，
，求导
求出切线方程，得到
，变形整理即可.
【详解】抛物线为焦点为
，
设
，代入
得
，即
．
设
，
将
求导得
，
所以
，
两个方程相除得
，
变形整理得
，所以交点
的轨迹方程是
．
故选：A.
3．（22-23 高三·全国·单元测试）已知
，
是椭圆
：
的左右顶点，过点
且斜率不为零
的直线与
交于
，
两点，
，
，
，
分别表示直线
，
，
，
的斜率，则下
列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．直线
与
的交点的轨迹方程是
【答案】ABD
【分析】A 选项，设
，得到
，利用斜率公式表达出
；B 选项，设出直线
：
，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，利用斜率公式表达出
；C 选项，
由AB 选项可得C 错误；D 选项，表达出直线
和直线
方程，联立后得到
，结
合
求出答案.
【详解】对于A：设交点
，因为
在椭圆上，故
，
所以
.选项
正确；
对于B：设
，
，直线
：
，联立
，
消去
，得
，则
①，
②，
21
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所以
，故选项B 正确；
对于C：联立
和
，相除得
，故选项C 错误；
对于D：设直线
方程：
③，
直线
方程：
④，联立③④，消
得，
，
结合选项B 中①②得
，
所以
.D 正确；
故选：ABD.
【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，本题的难点是表达出直线
和
直线
方程，联立后得到
，下一步的处理方法，本题中用到了求轨迹方程的交轨法，
属于较难一些的方法，要结合交点坐标得到
，再代入式子中，即可求解.
4．（2022 高三·全国·专题练习）两条直线
和
的交点的轨迹方程是
【答案】
【分析】由题意
，消去
即可得方程.
【详解】直线方程变形为
，即
，故
，
．
故答案为：
5．（2022 高三·全国·专题练习）由圆外一定点
向圆
作割线，交圆周于
两点，求弦
中点的轨迹
【答案】弦
中点的轨迹是圆
在圆
内的部分.
【分析】根据题意，设
，割线斜率为k（参数），进而点
是
与
的交
点，进而消参求解，并结合实际情况得其轨迹为圆
在圆
内的部分.
【详解】解：设动弦
的中点为
，P 点的轨迹是经过定点
的割线，
设其斜率为k（参数），其方程为
（1）
另一方面，由
为弦
的中点，故P
点是在过O 点到线AB 的弦心距所在的直线上，其斜率为
，方程为
（2）
所以
点是两直线系（1）、（2）相应直线的交点，
22
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所以两式相乘，消去参数，得
，
所以弦
中点的轨迹是圆
在圆
内的部分.
6．（2022 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
上异于坐标原点O 的两不同动点
A、B 满足
，求
得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.
【答案】
【分析】设出点的坐标，根据
结合抛物线方程得到
，利用重心坐标公式，得到轨迹方程.
【详解】设△AOB 的重心为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
则
（1）
∵OA⊥OB ∴
，即
(2)
又点A、B 在抛物线上，有
，
，代入（2）化简得：
，因为
，所以
，所以
所以重心为G 的轨迹方程为
题型八：参数消参法
1．（20-21 高三·上海宝山·模拟）如图，设点
和
为抛物线
上除原点以外的两个动点，已
知
，则点
的轨迹方程为（ ）
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点
常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等）的制约，即动点坐标(x , y)中的x , y分别随另一
变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参
化为轨迹的普通方程F (x , y)=0.
（1）选择坐标系，设动点坐标
；
（2）分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；
（3）建立参数方程；
（4）消去参数得到普通方程；
（5）讨论并判断轨迹．
解题步骤：
1 引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标
；
2.消去参数，得到关于
的方程，即为所求轨迹方程。
23
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A．
（原点除外）
B．
（原点除外）
C．
（原点除外）
D．
（原点除外）
【答案】A
【解析】当斜率存在时，由题意设
，直线
的方程为
，根据直线
与抛物线有两个公
共点，且
，整理可得
，所以
，又
可得
，代入直线方
程，可得
，当斜率不存在时，设直线
的方程为
，
，解得
，
故点
，满足方程
，从而确定动点
的轨迹方程.
【详解】当斜率存在时，设
，直线
的方程为
，
由
得
，联立
和
消去
得
，所以
，
所以
，由
得
，所以
，
所以
，所以
，把
代入得
，
当斜率不存在时，设直线
的方程为
，
，
，
由
得点
在
轴上，即
，
，
，
又点
在抛物线上，故
，
整理得
，
故点
，满足方程
，
综上所述：动点
的轨迹方程为
（除原点外）
故选：A.
【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的
关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用
公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．（2022·河南南阳·三模）
和
是抛物线
上除去原点以外的两个动点，
是坐标原点且满足
，
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设出
，
，
的坐标，由已知得到三点坐标的关系，然后分的斜率存在和不存在分析，当斜
率存在时，设出直线的方程，和抛物线联立后结合根与系数的关系求得
的轨迹．
24
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【详解】解：设
，
，
，由
，
则
①，
②，
当垂直于
轴时，
，
则
，即
，解得
或
（舍去），此时
，即
在
轴上，
当斜率存在时，由题意可知斜率
不为
，则由
，即
，所以
，
设
，代入抛物线方程可得
，
，
，
，
，
即
③，
④，又
点
满足
⑤，
由③④⑤得：
，而
满足上式，
点
的轨迹方程为：
即
．故选：A．
3．（22-23 高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，x 轴正半轴上从左至右四点A､B､C､D
横坐标依次为a-c､a､a+c､2a，y 轴上点M､N 纵坐标分别为m､-2m（m>0），设满足
的动点P
的轨迹为曲线E，满
的动点Q 的轨迹为曲线F，当动点Q 在y 轴正半轴上时，DQ 交曲线E 于
点P0（异于D），且OP0与BQ 交点恰好在曲线F 上，则a：c=（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义，结合点到直线距离公式、结合圆的性质进行求解即可.
【详解】由
，则
，
因为
，所以动点P 的轨迹是以A､C 为焦点的椭圆，且长轴长为
，
因为A､B､C 横坐标依次为
，所以点
是该椭圆的对称中心，
且椭圆方程为
，其中
，
设
，因为
，所以
，
该圆的圆心坐标为
，半径为
，显然原点经过该圆，
当动点Q 在y 轴正半轴上时，此时
，
因为
是直径，所以
，即
，
由
，所以
，
设
，则有
，
因为
在椭圆上，
所以
，代入
中，得
，
故选：A
4．（2022 高三·全国·专题练习）设M 是椭圆C：
上的一点，P、Q、T 分别为M 关于y 轴、原点、
x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E，当M 沿椭圆C 运动时，
求动点E 的轨迹方程.
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【答案】
；
【分析】设点的坐标
，则
由M 和N
满足椭圆方程得
，
求出QN 斜率和方程，联立QN 方程和PT 方程求出x，y，由此用x，y 表示M 的坐标，将M 坐标代入椭圆
方程就可以得E 的轨迹方程.
【详解】设点的坐标
，则
∵M、N 在椭圆C 上，∴
，由(1)－(2)可得
，即
，
又
，MN⊥MQ，∴
，∴
，∴直线QN 的方程为
(3)，
又直线PT 的方程为
(4)，联立(3)和(4)得
.∴
代入椭圆方程可得
此即为所求点E 的轨迹方程.
题型九：空间型：坐标法
1．（2022·北京石景山·模拟）如图，正方体ABCD
A1B1C1D1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM
，
点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A1D1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的
轨迹是（ ）
立体几何内的轨迹，，尝尝从以下方向切入
1. 建系，利用空间坐标系求出方程。
2. 通过转化，把空间关系转化为平面关系，把空间轨迹转化为平面轨迹求解。
26
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A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．椭圆
【答案】B
【分析】作
，
为垂足，作
为垂足，则可得
，以
分别为
轴，建立空间直角坐标系，设
，利用已知条件可求出
的关系式，从而可得答案
【详解】作
，
为垂足，则
平面
，作
为垂足，
因为
∥
，所以
，
因为
，所以
平面
,
因为
平面
，
所以
，
因为
∥
，
所以
.
以
分别为
轴，建立空间直角坐标系，设
，
依题意可得
.
由
可得
，
即
化简可得
.
故选：B.
2．（24-25 高三·重庆·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为2，
、
分别为线段
、
的中点，若点
为正方体表面上一动点，且满足
平面
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出
，从而得到
⊥平面
27
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，从而点
在线段
上时，满足
平面
，点
的轨迹长度为
.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
则
，
故
，
所以
，
又
，
平面
，
所以
⊥平面
，
故当点
在线段
上时，满足
平面
，
点
的轨迹长度为
.
故选：B
3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，已知
，
，
分别是棱
，
，
的中点，
为平面
上的动点，且直线
与直线
的夹角为
，则点
的轨迹长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，由空间向
量的位置关系可证得
平面
，可得点
的轨迹为圆，由此即可得．
【详解】解：以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
、
、
轴，
28
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建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
故
，
，
，设平面
的法向量为⃗m=(x , y , z)，
则
，令
得，
，故
，
因为
，故
平面
，
为平面
上的动点，直线
与直线
的夹角为30°，
平面
，设垂足为，以为圆心，
为半径作圆，
即为点
的轨迹，其中
，由对称性可知，
，故半径
，故点
的轨迹长度为
.故选：C.
4．（24-25 高三·吉林长春·阶段练习）如图，在棱长为1 的正方体
中，
为
边的中点，
点
在底面ABCD 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．不存在点
，使得
B．不存在点
，使得
C．点
在棱
上，且
，若
，则点
的轨迹是圆
D．当
是正方形ABCD 的中心时，
为线段AB 上的动点，则
的最小值为
【答案】ABD
【分析】建系标点，设
，根据空间向量的坐标运算结合位置关系运算求解，进而判断
29
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ABC；对于D：将两个平面翻折成一个平面，结合平面几何性质分析求解.
【详解】如图，以
为坐标原点，
分别为为
轴，为建立空间直角坐标系，
则
，
设
，对于A：因为
，
，则
，
即
与
不垂直，所以不存在点
，使得
，故A 正确；
对于B：因为
，若
，则
，解得
，
不合题意，所以不存在点
，使得
，故B 正确；
对于C：因为
，则
，可得
，
因为
，则
，整理可得
，
可知圆心
，且
，所以轨迹为圆
被四边形
截得的4 段圆弧，故C 错误；
对于D：将正方形
和
翻折至同一平面，如图所示：
可得
，当且仅当
三点共线时，等号成立，
所以
的最小值为
，故D 正确；故选：ABD.
5．（24-25 高三·浙江·阶段练习）如图所示的试验装置中，两个正方形框架
、
的边长都是
，
且它们所在的平面互相垂直.长度为
的金属杆端点
在对角线
上移动，另一个端点
在正方形
内（含边界）移动，且始终保持
，则端点
的轨迹长度为 .
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【答案】
【分析】建系标点，设
，根据垂直关系可得
，结合长度可得
，
分析可知端点
的轨迹是以
为圆心，半径
的圆的
部分，即可得结果.
【详解】以
为坐标原点，
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，设
，
可得
，
因为
，即
，可得
，
则
，则
，整理可得
，
可知端点
的轨迹是以
为圆心，半径
的圆的
部分，
所以端点
的轨迹长度为
.
故答案为：
.
题型十：空间型：截面型曲线轨迹
1．（24-25 高三·湖北·阶段练习）动点
在棱长为3 的正方体
侧面
上，满足
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合图形，计算出
，由点
平面
，得出点
的轨迹为圆弧
，利用弧长公
式计算即得.
【详解】
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如图，易得
平面
,因
平面
，则
，
不妨设
，则
,
，解得
，
又点
平面
，故点
的轨迹为以点
为圆心，半径为
的圆弧
,
故其长度为
.
故选：D.
2．（23-24 高一下·湖北武汉·模拟）已知棱长为4 的正方体
，点
是棱
的中点，点
是棱
的中点，动点
在正方形
（包括边界）内运动，且
平面
，则
的长度范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先过点
作出与平面
平行的平面，然后得出点
的轨迹，最后计算
的长度取值范围即可.
【详解】如图，取
上靠近点
的四等分点
，连接
、
，
由
是棱
的中点，点
是棱
的中点，易得
，
则
平面
，
取
、
中点
、
，取
上靠近点
的四等分点
，
连接
、
、
、
，
由正方体的性质易得
，
，则
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理，
平面
，
又
，
平面
，故平面
平面
，
又
平面
，
平面
，故
，
即点
的轨迹为线段
，设点
到
的距离为
，
有
，故
，
又
，故
的长度范围为
.
故选：C.
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.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是过
作出与平面
平行的平面，从而求得
的运动轨迹，由
此得解.
3．（23-24 高三·浙江宁波·模拟）已知正方体
的棱长为3，以
为球心，
为半径的球
面与正方体表面的交线记为曲线
，则曲线
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，得到以
为球心，
为半径的球面与平面
的交线为以
为圆心，
为半径的
，同理可得另外两段弧，求出弧长即可得到答案.
【详解】如图，在棱
上分别取
，
使得
，
在Rt
中，
，
同理可得
，
因为
⊥平面
，
平面
，
所以
⊥
，
⊥
，
故
，
所以以
为球心，
为半径的球面与平面
的交线为以
为圆心，
为半径的
，
同理，与平面
的交线为
为半径的
，与平面
的交线为
为半径的
，
由
可知
，同理
，
故
，
这三段弧长相等，均为
，
故曲线
的长度为
.
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故选：B
4．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
平
面
，
，
，
，已知点
在平面
上运动，点
在平面
上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若点
到
的距离等于其到平面
的距离，则点
的轨迹为抛物线的一部分
B．若
，则点
的轨迹为圆的一部分
C．若
与
所成的角为30°，则点
的轨迹为椭圆的一部分
D．若
与平面
所成的角为30°，则点
的轨迹为双曲线的一部分
【答案】BCD
【分析】A，过点
作
交
于点
，由立体几何知识可得点H 到平面
的距离为
，即可
判断选项正误；
BCD，建立如图3 所示的空间直角坐标系
，设
，由题分别算出
所在的曲线的表
达式，即可判断选项正误.
【详解】对于A：如图2，过点
作
交
于点
，
则点
到
的距离为
；过点
作
交
于点
，
由于
平面
，
平面
，则
，
，
，
平面
，
所以
平面
，
则点
到平面
的距离为
；
∵
且点
到
的距离等于其到平面
的距离，
∴点
在
的垂直平分线上，故A 错误；
建立如图所示的空间直角坐标系
：
设
，A (0,0,0)，
，
，
.
对于B：∵
，
，
，
平面
，
∴
平面
，即
，
同理：
，又∵
，∴
，
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∴
，即
，化简得
，
即点M 的轨迹为圆的一部分，故B 正确；
对于C，
，
，因为
与
所成的角为30°，
所以
，
化简得
，
的轨迹为椭圆的一部分，故C 正确；
对于D：作
，则
，
平面
，所以
与平面
所成的角即为
，所以
，
，
即
，化简得：
，
则点M 的轨迹为双曲线的一部分，故D 正确.
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：对于立体几何中的轨迹问题，可建立适当坐标系，求出相应轨迹方程.
5．（24-25 高三上·河南·开学考试）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为正方
形，
，点
分别为
的中点，点
为
内的一个动点（包括边界），若
平面
，则点
的轨迹的长度为 .
【答案】
/
【分析】记
的中点为
，点
的轨迹与
交于点
，则平面
平面
，建立空间直角坐标系，
利用
垂直于平面
，的法向量确定点
的位置，利用向量即可得解.
【详解】由题知，
两两垂直，
以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
记
的中点为
，连接
，
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因为
为正方形，
为
中点，所以
，且
，
所以
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
记点
的轨迹与
交于点
，由题知
平面
，
因为
是平面
内的相交直线，所以平面
平面
，
所以
即为点
的轨迹，
因为
，
所以
，设
，
则
，
设
为平面
的法向量，则
，令
得
，
因为
，所以
，解得
，则
，又
所以
，所以
.故答案为：
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点
的轨迹与
的交点位置，然后利用向量运算求解
即可.
题型十一：空间型：双球圆锥型
1．（2023·辽宁阜新·模拟预测）比利时数学家丹德林( Germinal Dandelin)发现：在圆锥内放两个大小不同
且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截线是椭圆．这个
结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20，底面半径为4 的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧
面均相切．若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】椭圆的短轴长即为圆柱的底面的直径即可求解
【详解】由平面与圆柱所截可知椭圆的短轴即为圆柱底面直径的长，即
，
故选：D
2．（19-20 高三·河南·阶段练习）比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相
切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是
椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2 的圆柱体内放球，球与圆柱底面
及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率
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为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，作出圆柱的轴截面，由于
,所以
，而由已知可求出
的长，从而可得
，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得
，由此可求出离
心率.
【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为
，
，延长
与圆柱面相交于
，
，过点
作
，垂足为
.
在直角三角形
中，
，
，
所以
，又因为
，
所以
.
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即
，则可求得
，
所以
，故选：D.
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.
3．（23-24 高三·浙江宁波·模拟）如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何
的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinal dandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，极具
创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于
、
，在截口曲线上任取一点
，过
作圆锥的母线，分别与两个球切于
、
，由球和圆的几何性质，可
以知道，
，
，于是
，由
、
的产生方法可知，它们之间的距
离
是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以
、
为焦点的椭圆.如图2，一个半径为1 的球放在桌面
上，桌面上方有一点光源
，则球在桌面上的投影是椭圆，已知
是椭圆的长轴，
垂直于桌面且与
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球相切，
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】图2 中，设球心为
，球
与
相切于点
，可得
，利用二倍角正切公式可得
，由此可得
，由
可求得，得出离心率.
【详解】图2 中，设球心为
，球
与
相切于点
，作出截面如图所示，
由题意知：
，
，
,又
，
，则
，
又
，则
，
则椭圆的离心率为
.
故选：A.
4．（2024·山东日照·一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线
是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、
截面相切，截面分别与球
，球
切于点E，F（E，F 是截口椭圆C 的焦点）．设图中球
，球
的半
径分别为4 和1，球心距
，则（ ）
A．椭圆C 的中心不在直线
上
B．
C．直线
与椭圆C 所在平面所成的角的正弦值为
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D．椭圆C 的离心率为
【答案】ACD
【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.
【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球
，球
的截面大圆，如图，
点
分别为圆
与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段
是椭圆长轴，
可知椭圆C 的中心（即线段
的中点）不在直线
上，故A 正确；
椭圆长轴长
，
过
作
于D，连
，显然四边形
为矩形，
又
，
则
，
过
作
交
延长线于C，显然四边形
为矩形，
椭圆焦距
，故B 错误；
所以直线
与椭圆C 所在平面所成的角的正弦值为
，故C 正确；
所以椭圆的离心率
，故D 正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关
键.
5．（2020·吉林·模拟预测）如图（1），在圆锥内放两个大小不同且不相切的球,使得它们分别与圆锥的侧
面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到截口曲线是椭圆.理由如下：如图（2），若两个
球分别与截面相切于点
，在得到的截口曲线上任取一点
，过点
作圆锥母线，分别与两球相切于点
，由球与圆的几何性质，得
，
，所以
，且
，由椭圆定义知截口曲线是椭圆，切点
为焦点.这个结论在圆柱中也适用，如图（3），在一
个高为
，底面半径为
的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此
平面截圆柱所得的截口曲线也为一个椭圆，则该椭圆的离心率为 .
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【答案】
【分析】根据题意可得椭圆的长轴长和短轴长，再代入离心率方程，即可得答案；
【详解】如图所示，
根据题意可得椭圆上的点
到两个切点的距离等于
，
，
，
，
故答案为：
.
【点睛】本题考查数学文化、椭圆离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，
考查逻辑推理能力、运算求解能力.
题型十二：立体几何定角型
1．（20-21 高三·浙江宁波·模拟）如图，在棱长为1 的正方体
中，点M 是底面正方形
的中心，点P 是底面
所在平面内的一个动点，且满足
，则动点P 的轨迹为
（ ）
A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．椭圆
【答案】D
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【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量
，
，代入
化简整理
为
的形式，即可通过判别式判断轨迹.
【详解】在点D 处建立如图所示直角坐标系，
正方体的棱长为1，则
，
，设点
，
，
，
，
，
化简得
，等式两边同时平方可得
，
，
上式表示椭圆，即点P 的轨迹方程为椭圆.故选：D
【点睛】(1)如果是标准方程，
是椭圆方程；
或
，是双曲线方程；
(2)如果是一般方程：
，那么要看判别式
的符号：
∆<0，是椭圆；(特殊情况：一点或无图形)
∆>0，是双曲线；(特殊情况：两相交直线)
∆=0，是抛物线；(特殊情况：两平行直线或一直线).
2．（19-20 高三·安徽黄山·模拟）如图所示正方体
中，设
是底面正方形
所在平面
内的一个动点，且满足直线
与直线
所成的角等于
，则以下说法正确的是（ ）
A．点
的轨迹是圆
B．点
的轨迹是椭圆
C．点
的轨迹是双曲线
D．点
的轨迹是抛物线
【答案】B
【分析】以
为原点建立空间直角坐标系，可利用异面直线夹角的向量求法构造等量关系，整理可得点
的轨迹方程，从而确定轨迹图形.
【详解】以
为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系
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设正方体棱长为，
，则
，
，
左右平方整理可得：
，即点
轨迹为
点
轨迹为椭圆故选：
【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表
示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.
3．（22-23 高三·江西南昌·模拟）已知
是平面
的斜线段，
为斜足，若
与平面
成
角，过定
点
的动直线与斜线
成
角，且交
于点
，则动点
的轨迹是
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】D
【分析】过点
作平面
，且满足
，得直线的轨迹是以
为轴的圆锥，又由已知可得直线与圆
锥的母线平行，则平面
截圆锥的表面即可得到动点的轨迹为抛物线.
【详解】解：过点
作平面，且满足
，又过定点
的动直线与
所成的角为
，则直线的
轨迹是以
为轴的圆锥，又用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；
当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线.此题
与平面
成
角，过定点
的动直线与斜线
成
角，且交
于点
，故可知点
的轨迹为抛物线，
故选D.
【点睛】本题考查空间几何体题的结构特征的应用，其中涉及到圆锥的定义，两直线所成的角和直线与平
面所成的角的概念的应用，解答中把为转化为平面与圆锥的表面的交线得到动点的轨迹是解答的关键，着
重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力.
4．（21-22 高三·江苏南京·阶段练习）如图，在棱长为1 的正方体ABCD—
中，E 为侧面
的
中心，F 是棱
的中点，若点P 为线段
上的动点，N 为ABCD 所在平面内的动点，则下列说法正确
的是（ ）
A．
·
的最小值为
B．若
，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为
C．若
与AB 所成的角为
，则N 点的轨迹为双曲线
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D．若正方体绕
旋转θ 角度后与其自身重合，则θ 的最小值是
【答案】BCD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设
，
，得
，然
后用空间向量法求得
，求得数量积
计算最小值判断A；由线面平行得线线平行，确定截面的形
状、位置，从而可计算出截面面积，判断B；根据
与AB 所成的角为
，运用夹角公式计算并化简，判
断C；结合正方体的对称性，利用
是正方体的外接球直径判断D．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，
则
，
，
，
，
,
对于A，
，设
，
，所以
，
，
，
，
所以
时，
，A 不正确；
对于B，
，则
是
上靠近
的三等分点，
，
取
上靠近
的三等分点
，则
，
，显然
与平面
的法向量
垂直，因此
平面
，
所以截面
与平面
的交线与
平行，作
交
于点
，
设
，则
，由
得
，解得
，
则
与
重合，因此取
中点
，易得
，截面为
，它是等腰梯形，
，
，
，梯形的高为
，
截面面积为
，B 正确；
对于C，
，若
与AB 所成的角为
，则有
，两
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边平方化简整理有
，C 正确；
对于D，
，
，
，
，
，
，
，同理
，
所以
是平面
的一个法向量，即
平面
，设垂足为
，则
，
是正方体的外接球的直径，因此正方体绕
旋转
角度后与其自身重合，至少旋转
．D 正确．
故选：BCD．
5．（22-23 高三下·广东佛山·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，点
是底面
内的
动点，
，则动点
的轨迹的面积为 ，动线段
的轨迹所形成几何体的体积是
.
【答案】
；
【解析】由题意得点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的
个圆和圆的内部，再根据扇形的面积公式以及
圆锥的体积公式求解即可．
【详解】解：∵
，∴
，
即点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的
个圆和圆的内部，∴
的轨迹的面积为
，
的轨迹所形成几何体为
个圆锥，其体积为
，故答案为：
；
．
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式与圆锥的体积公式，属于基础题．
题型十三：复数中的轨迹
1．（2025·广东·模拟预测）设复数z 满足
，z 在复平面内对应的点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
复数中的轨迹，基本是转化为解析几何来求
1、利用复数的模运算转化
2、利用复数的几何意义
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【分析】
，根据模长公式得到
，两边平方得到答案.
【详解】
，则
，
即
，故
.
故选：C
2．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数
在复平面内表示一个圆周，则
在复平面内表
示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周
B．椭圆周
C．双曲线的一部分
D．线段
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义得出故
，进而得出
在直线
上结合自变量范围得
出线段.
【详解】
表示点
，故
，
，由此可知
表示：
，在直线
上，
又
，所以表示一条线段.
故选：D.
3．（24-25 高三上·河北邯郸·开学考试）已知复数
，复数
满足
，则（ ）
A．
B．复数
在复平面内所对应的点的坐标是
C．
D．复数
在复平面内所对应的点为
，则
【答案】C
【分析】根据共轭复数的概念求
，结合复数的乘法公式求
，根据复数的模的公式求
，判断A，
根据复数的几何意义求复数
在复平面内所对应的点的坐标，判断B，根据复数的模的几何意义确定复数
所对应的点的轨迹，由此判断C，结合复数的模的公式，由条件求点
的轨迹方程，判断D.
【详解】因为
，所以
，
所以
，又
，A 错误；
对应的点的坐标为
，B 错误；
由
知
对应的点在以
对应点
为圆心，2 为半径的圆上，
又
，因此
，C 正确；
对应的点的坐标为
，因此
，D 错误，
故选：C．
4．（24-25 高三·安徽马鞍山·阶段练习）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．复数
，则
在复平面内对应的点位于第一象限
B．若复数
，则
C．若复数
满足
，则
D．若复数
满足
，则复数
对应的点所构成的图形面积为
【答案】ABD
【分析】A 选项，得到
，确定其对应的点为
，A 正确；B 选项，设
，
，
得到
，从而求出
，所以
；C 选项，举出反例；D 选项，求出复
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数
对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积.
【详解】A 选项，复数
，则
，
故
在复平面内对应的点为
，位于第一象限，A 正确；
B 选项，设
，
，
，
则
，即
，
故
，
两边平方得
，
故
，所以
，
即
，故
，
其中
，故
，B 正确；
C 选项，设复数
，满足
，
但
，C 错误；
D 选项，
表示原点为圆心，1 为半径的圆的外部，
表示原点为圆心，
为半径的圆的内部，
则复数
对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界），
故面积为
，D 正确.
故选：ABD
5．（24-25 高三上·全国·自主招生）复数
满足
，则
.
C
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