2027 年高考一轮复习检测卷（全国二卷 04）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知数据1,2,3,a,8的80%分位数是7，则实数a=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】共5个数，5×80%=4，则第80%分位数是第4个和第5个数的平均数，
因为第80%分位数是7，则必有一数小于7，一数大于7，
a+8
故 =7，得a=6.
2
故选：C
z
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,1)，则复数 的虚部为（ ）
z
3 4 3 4
A． i B．− i C． D．−
5 5 5 5
【答案】D
【详解】由题意，z=2+i，
z 2−i (2−i) 2 3−4i 3 4 4
则 = = = = − i，其虚部为− .
z 2+i (2+i)(2−i) 5 5 5 5
故选：D．
{ |x+2 ))
3．已知集合A= x ≤0 ，B={x∈N∗|2−x≥−1))，则A∩B=（ ）
x−3
A．{0,1,2,3) B．{0,1,2) C．{1,2,3) D．{1,2)
【答案】D
{ |x+2 ))
【详解】由已知A= x ≤0 =[−2,3)，B={x∈N∗|2−x≥−1))={x∈N∗|x≤3)) ={1,2,3)，
x−3所以A∩B={1,2).
4．已知平面向量⃗a=(4,2),⃗b=(1,2)，则向量⃗a在向量(⃗a+2⃗b)上的投影向量为（ ）
(❑√5 ❑√5)
A． , B．(2❑√5,2❑√5) C．(2❑√5,❑√5) D．(3,3)
3 3
【答案】D
【详解】因为⃗a=(4,2),⃗b=(1,2)，
所以⃗a+2⃗b=(6,6)，⃗a⋅(⃗a+2⃗b)=4×6+2×6=36，
|⃗a+2⃗b|=❑√62+62=6❑√2，
⃗a⋅(⃗a+2⃗b) ⃗a+2⃗b 36
所以向量⃗a在向量(⃗a+2⃗b)上的投影向量为 ⋅ = (6,6)=(3,3)．
|⃗a+2⃗b| |⃗a+2⃗b| 6❑√2×6❑√2
故选：D．
x2 y2
5．已知双曲线C： − =1(a>0，b>0)的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此
a2 b2
双曲线的方程为（ ）
x2 x2 y2
A． −y2=1 B． − =1
4 2 4
y2 x2 y2
C．x2− =1 D． − =1
4 4 2
【答案】C
【详解】由题意得，b=2a，渐近线方程bx±ay=0，
bc
焦点(c,0)到bx±ay=0的距离为 =b=2，则a=1，
❑√a2+b2
y2
则此双曲线的方程为x2− =1
4
π
6．已知sin2α=a,cos2α=b，则tan( α+ )=（ ）
4
b 1−a 1+a+b a−b+1
A． B． C． D．
1−a b 1−a+b a+b−1
【答案】C
2sinαcosα 2tanα
【详解】
sin2α=a= =
，
sin2α+cos2α tan2α+1
cos2α−sin2α 1−tan2α
cos2α=b= = ，
sin2α+cos2α tan2α+1
cos2α−sin2α 1−tan2α 2
cos2α+1=b+1= +1= +1= ，
sin2α+cos2α tan2α+1 tan2α+1sin2α a
所以 = =tanα，
cos2α+1 b+1
π a
tanα+tan 1+
π 4 b+1 1+a+b
故tan( α+ )= = = ，
4 π a 1−a+b
1−tanαtan 1−
4 b+1
故选：C
S
7．已知公差大于0的等差数列{a )的前n项和为S ，若S +a =0，{|a ))的前n项和为T ，则 10=（ ）
n n 7 4 n n T
9
3 7 5 11
A． B． C． D．
5 9 7 17
【答案】C
7(a +a )
【详解】因为S = 1 7 =7a ，所以S +a =0⇒a =0，
7 2 4 7 4 4
设数列{a )的公差为d，则a =a +3d=0，所以a =−3d，
n 4 1 1
10×9
S =10a + d=15d，a =a +(n−1)d=(n−4)d，
10 1 2 n 1
所以当n<4时，a <0，当n≥4时，a ≥0，
n n
所以T =|a )+|a )+⋯+|a )+|a )=−a −a −a +a +a +a +a +a +a
9 1 2 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
=3d+2d+d+0+d+2d+3d+4d+5d=21d，
S 15d 5
所以 10= = .
T 21d 7
9
f (2a) 4
8．已知定义在(0,+∞)上的函数f (x)=ex满足 >1，则a2+ 的最小值为（ ）
f (b) b(2a−b)
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【详解】解：∵x∈(0,+∞)，∴ex>1，即f (b)>1，
f (2a)
又 >1，∴f (2a)>f (b)，
f (b)
∵函数f (x)=ex在(0,+∞)单调递增，
∴2a>b>0，即2a−b>0，
m+n
令b=m>0,2a−b=n>0，则a= ，
2
∴a2+
4
=
(m+n) 2
+
4
=
1
m2+
1
n2+
1
mn+
4
b(2a−b) 2 mn 4 4 2 mn√1 1 1 4 4
≥2❑ m2· n2+ mn+ =mn+ ，当且仅当m=n时取等，
4 4 2 mn mn
4 √ 4
又mn+ ≥2❑mn· =4，当mn=2时取等，
mn mn
4
综上，a=b=❑√2时，a2+
取得最小值4．
b(2a−b)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知(1−2x) 9=a +a x+a x2+⋅⋅⋅+a x9，则（ ）
0 1 2 9
A．展开式中所有项的二项式系数和为29
B．展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项
C．a =36
2
D．a +a +a +⋅⋅⋅+a =−1
1 2 3 9
【答案】AB
【详解】对于A，(1−2x) 9的展开式中所有项的二项式系数和为C0+C1+…+C9=29，故A正确；
9 9 9
对于B，(1−2x) 9的展开式中第5项的二项式系数为C4，第6项的二项式系数为C5，是所有项的二项式系数
9 9
中的最大值，故B正确；
对于C，二项式(1−2x) 9的展开式的通项公式为T =Ck19−k(−2x) k=(−2) kCkxk，k=0,1,2,···,9 ，
k+1 9 9
令k=2可得，T =(−2) 2C2x2=144x2，即展开式中含x2的项为144x2，
3 9
所以a =144，故C错误；
2
对于D，由(1−2x) 9=a +a x+a x2+⋅⋅⋅+a x9取x=0可得a =19=1 ，
0 1 2 9 0
取x=1可得a +a +…+a =(−1) 9=−1 ，
0 1 9
∴a +…+a =−1−a =−2 ，故D错误.
1 9 0
10．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开
始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这
一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为a ，第n个图形
n
的边长为b ，第n个图形的周长为L ，第n个图形的面积为S ,n∈N∗．则下列命题正确的是（ ）
n n n
40
A．a =3×4n−1 B．S = S
n 3 27 11 4n
C．b = D．数列{L )的前n项和为 −9
4 81 n 3n−2
【答案】ABD
【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形，
得第n+1个图形，则原来每条边变为4条，即a =4a ，而a =3，则a =3×4n−1，故A正确；
n+1 n 1 n
1
对于B，第2个图形在第1个图形外增加3个边长为 的正三角形，
3
1
第3个图形在第2个图形外增加12个边长为 的正三角形，而所有正三角形都相似，
9
1 2 1 2 40
则S =S +3×( ) S +12×( ) S = S ，故B正确；
3 1 3 1 9 1 27 1
1 1 n−1 1
对于C，由作法知，b = b ，而b =1，则b =( ) ，b = 故C错误；
n+1 3 n 1 n 3 4 27
1 n−1 4 n−1
对于D，由选项AC知，L =a b =3×4n−1×( ) =3×( ) ，
n n n 3 3
4 n
3[1−( )
3 4n
所以数列{L )的前n项和为 = −9，故D正确.
n 4 3n−2
1−
3
11．已知O为坐标原点，点P(a,b)在直线l：kx−y−4=0(k∈R)上，PA，PB是圆x2+ y2=2的两条切
线，A，B为切点，则（ ）
A．直线l恒过定点(0,4)
B．当△PAB为正三角形时，|OP)=2❑√2
C．当PA⊥PB时，k的取值范围为(−∞,−❑√3)∪[❑√3,+∞)
D．当⃗PO⋅⃗PA=14时，a+b的最大值为4❑√2
【答案】BCD
【详解】对于A选项，直线l：kx−y−4=0(k∈R)恒过定点(0,−4)，A错误，
对于B选项，因为△PAB为正三角形时，则∠APO=30∘，所以|OP)=2❑√2，B正确，
对于C选项，因为PA⊥PB，所以四边形OAPB为正方形，则|OP)=❑√2|OA)=2，
所以点P的轨迹方程为x2+ y2=4(x≠0)，问题转化为直线l与点P的轨迹有公共点，
|−4)
所以 ≤2，即k2≥3，所以k的取值范围为(−∞,−❑√3)∪[❑√3,+∞)，C正确，
❑√k2+1
2
对于D选项，因为⃗PO⋅⃗PA=|⃗PO)·|⃗PA)cos∠OPA=|⃗PA) =14，
则|⃗PO) 2 =|⃗PA) 2 +r2=16，即a2+b2=16，a+b 2 a2+b2
由( ) ≤ =8，所以a+b≤4❑√2，当且仅当a=b=2❑√2取等号时，
2 2
点P(2❑√2,2❑√2)代入直线l的方程有k(2❑√2)−2❑√2−4=0，
可解得k=1+❑√2，则该点在直线上，
故a+b可以取到最大值，最大值为4❑√2，D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A(p,❑√2p)，焦点为F，已知|AF|=3，则p=__________．
【答案】2
p
【详解】由抛物线的定义可得准线方程为：x=− ，
2
由A在抛物线上，且|AF)=3,
p
则|AF)= +p=3，解得p=2.
2
故答案为：2
13．已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球O与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球O的表
面积为________．
【答案】12π
【详解】设圆台的高为h,球O的半径为R，作出圆台的轴截面，如图所示，
，
已知圆台的上、下底面半径分别为r=1 R =3，斜边为圆台母线长l，
0
圆台的轴截面等腰梯形的高h 等于球的直径2R,
因为球与圆台侧面相切，所以OE⊥AD ,
则△DOE≅△DOO ,△AOE≅△DOO ，
2 1
所以ED=O D,AE=AO
,
2 1
所以l=AE+ED=AO +DO =r+R =3+1=4，
1 2 0
同时h=2R ，由勾股定理可得h2+(R −r) 2=l2 ,
0
将l=4,R −r=3−1=2, h=2R代入到h2+(R −r) 2=l2 中，
0 0得到(2R) 2+22=42，化简得4R2+4=16，R2=3，
根据球的表面积公式S=4πR2,将R2=3代入公式可得：S=4π×3=12π，
综上，球O的表面积为12π.
故答案为：12π.
14．设a∈R，函数f (x)=2❑√ax2−x−|x−2)+1.若f (x)恰有一个零点，则a的取值范围是_______.
(1 )
【答案】 ,1 ∪{0).
3
【详解】由于函数f (x)=2❑√ax2−x−|x−2)+1恰有一个零点，等价于f (x)=0只有一个解，
令f (x)=0⇒2❑√ax2−x−|x−2)+1=0⇒2❑√ax2−x=|x−2)−1，因此|x−2)−1≥0，可得x≥3或x≤1，
因此，函数f (x)的定义域必须满足x≥3或x≤1，以及ax2−x=x(ax−1)≥0，
①当a=0时，函数f (x)的定义域为x≤0，则f (x)=2❑√−x+x−1，令
f (x)=0⇒2❑√−x+x−1=0⇒x=−1，符合条件.
1
②当a>0时，由ax2−x=x(ax−1)≥0可得，x≤0或x≥ ，
a
先考虑x≤1的情况，当x=0时，f (x)=0显然不成立，因此，只考虑x≤1且x≠0的情况，
此时方程f (x)=0变为2❑√ax2−x=(2−x)−1=1−x两边平方得
4(ax2−x)=(1−x) 2 ⇒4ax2−4x=1−2x+x2，
x2+2x+1
化简得a= ，
4x2
x2+2x+1 (2x+2)×4x2−(x2+2x+1)×8x x+1
令g(x)= ，则g'(x)= =− ，
4x2 16x4 2x3
令g'(x)=0，得x=−1，
因此当0<x<1时，g(x)单调递减，当−1<x<0时，g(x)单调递增；当x<−1时，g(x)单调递减，
1 (−1) 2+2×(−1)+1 12+2×1+1
且x→−∞时g(x)→ ，x→0时g(x)→+∞，g(−1)= =0，g(1)= =1，
4 4×(−1) 2 4×12
( 1) x2+2x+1
因此当a∈ 0, ∪(1,+∞)时，方程a= 有两个解，即方程f (x)=0有两个解；
4 4x2
[1 ) x2+2x+1
当a∈ ,1 时，方程a= 有唯一解，即方程f (x)=0在x≤1上有唯一解；
4 4x2
再考虑x≥3的情况，此时方程f (x)=0变为2❑√ax2−x=(x−2)−1=x−3，
x2−2x+9
两边平方得4(ax2−x)=(x−3) 2 ⇒4ax2−4x=x2−6x+9，化简得a= ，
4x2
x2−2x+9 (2x−2)×4x2−(x2−2x+9)×8x
x−9
令h(x)= ，则h'(x)= = ，
4x2 16x4 2x3令h'(x)=0，得x=9，
所以当3≤x<9时，h(x)单调递减，当9<x时，h(x)单调递增，
1 32−2×3+9 1 92−2×9+9 2
且x→+∞时，h(x)→ ， h(3)= = ，h(9)= =
4 4×32 3 4×92 9
(2 1) x2−2x+9
所以当a∈ , 时，方程a= 有两个解，即方程f (x)=0有两个解；
9 4 4x2
[1 1) {2) x2−2x+9
当a∈ , ∪ 时，方程a= 有唯一解，即方程f (x)=0在x≥3上有唯一解.
4 3 9 4x2
(1 )
因此，要使函数f (x)恰有一个零点，则a的取值范围只能取 ,1 .
3
1
③当a<0时，由ax2−x=x(ax−1)≥0可得， ≤x≤0，
a
1
先考虑x≤1的情况，则函数f (x)的定义域为 ≤x≤0，
a
x2+2x+1 (x+1) 2
此时方程f (x)=0变为2❑√ax2−x=(2−x)−1=1−x，化简可得a= = ，
4x2 4x2
x2+2x+1 1
由②可知a= 在a<0时没有解，因此不符合条件；再考虑x≥3的情况，由于 ≤x≤0，因此也不
4x2 a
符合条件.
(1 )
综上所述，若函数f (x)恰有一个零点，因此a的取值范围为a∈ ,1 ∪{0).
3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a>c，a2+c2−b2=ac，a+c=6，S =2❑√3.
△ABC
(1)求角B；
(2)求a，c，b的值；
(3)若BD为∠ABC的平分线，且D在边AC上，求BD的长.
4❑√3
【答案】(1)B=60°；(2)a=4，c=2，b=2❑√3；(3)BD=
3
【详解】（1）由余弦定理，b2=a2+c2−2accosB，即a2+c2−b2=2accosB. （2分）
又由题设a2+c2−b2=ac，则得2accosB=ac.
1
即cosB= ，因B∈(0,180° )，则B=60°.（4分）
2
1 ❑√3
（2）由S = acsinB= ac=2❑√3，可得ac=8，
△ABC 2 4
又a+c=6，则可将a，c看成方程u2−6u+8=0的两个根，解得u=2或u=4.由于a>c，所以a=4，c=2. （6分）
1
再由余弦定理，b2=a2+c2−2accosB=16+4−2×4×2× =12，
2
则b=2❑√3.（8分）
（3）因为∠ABC=60°，BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=30°，（9分）
又S =S +S ，（11分）
△ABC △ABD △ACD
1 1
则 c·BD·sin30°+ a·BD·sin30°=2❑√3，
2 2
8❑√3 8❑√3 4❑√3
则BD= = = .（13分）
a+c 6 3
16．（15分）
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是梯形，PA⊥平面ABCD，且AB=4，BC=3，AD=5，
∠ABC=90°，E为CD的中点.
(1)求证：平面PCD⊥平面PAE；
2
(2)当二面角A−PD−C的余弦值为 时，求直线PE与平面ABCD所成角的正切值.
5
【答案】(1)证明见解析；(2)2
【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，CD在平面ABCD内，所以PA⊥CD，
在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90∘，所以AC=5，
又AD=5，E为CD的中点，所以AE⊥CD，
又AE∩PA=A，
CD在平面ABCD内，所以CD⊥平面PAE，
又CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAE；（6分）
（2）以A为原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴正方向，以AP方向为z轴正方向，建立空间
直角坐标系，
则A(0,0,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，C(4,3,0)，（8分）设P(0,0,t),t>0，平面PCD法向量⃗m=(x,y,z).
{−4x+2y=0)
则⃗CD=(−4,2,0)，⃗DP=(0,−5,t)， ，
−5 y+tz=0
令x=t则⃗m=(t,2t,10)，（10分）
取平面PAD的法向量⃗n=(1,0,0)，
| → →) t 2
所以 cos<m,n ¿¿=| |= ，
❑√100+5t2 5
解得t=4❑√5. （12分）
即P(0,0,4❑√5)，⃗PE=(2,4,−4❑√5)，取平面ABCD的法向量⃗s=(0,0,1)（13分）
设直线PE与平面ABCD所成角为θ，
|4❑√5) 2❑√5
则sinθ=|cos⟨⃗PE,⃗s))= = .
❑√100 5
所以tanθ=2，直线PE与平面ABCD所成角的正切值为2. （15分）
17．（15分）
甲城市足球超级联赛（简称 “甲超”）引发了广泛关注. 在该城市某地区随机抽取了部分市民，调查他们
对赛事的关注情况， 得到如下表格:
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 25 150
女性 50 75
(1)根据小概率值 α=0.001的独立性检验，能否认为关注 “甲超” 赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 3 名市民参加 “渝超”
3 1
赛事知识问答. 已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为 ， ， 每个人是否顺利完成相互
4 2
独立．求3人中顺利完成知识问答的总人数X的分布列及其期望．
n(ad−bc) 2
附:χ2= ,n=a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)认为关注 “渝超” 赛事与性别有关
(2)
X 0 1 2 3
1 7 15 9
P
32 32 32 32
E(X)=2
【详解】（1）整理列联表数据如下：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 25 150 175
女性 50 75 125
合计 75 225 300
零假设H ：关注 “甲超” 赛事与性别无关
0
根据卡方公式：
n(ad−bc) 2 300(25×75−150×50) 2
χ2= = ≈25.714，（3分）
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 175×125×75×225
已知小概率值α=0.001，对应临界值k=10.828，
∵χ2≈25.714>10.828，（5分）
根据α=0.001的独立性检验，零假设H 不成立，即认为关注 “甲超” 赛事与性别有关，该推断犯错概
0
率不超过0.001．（7分）
（2）关注赛事的市民中，男性150人，女性75人，性别比例2:1，则抽取3人时，男性2人，女性1人；
X表示顺利完成问答总人数，取值为：0,1,2,3，（8分）
3 1 1 1
已知男性完成概率 ，未完成概率 ，女性完成概率 ，未完成概率 ，且相互独立；
4 4 2 2
(1) 2 1 1
则P(X=0)= × = ；
4 2 32
P(X=1)=C1 ⋅
3
⋅
1
⋅
1
+
(1) 2
⋅
1
=
7
；
2 4 4 2 4 2 32
P(X=2)=
(3) 2
⋅
1
+C1 ⋅
3
⋅
1
⋅
1
=
15
；
4 2 2 4 4 2 32
(3) 2 1 9
P(X=3)= ⋅ = ；（12分）
4 2 32X 0 1 2 3
1 7 15 9
P
32 32 32 32
（13分）
1 7 15 9
数学期望为：E(X)=0× +1× +2× +3× =2．（15分）
32 32 32 32
18．（17分）
x2 y2
已知O为坐标原点，椭圆E： + =1(a>b>0)的右焦点为F(2,0)，短轴长为2．
a2 b2
(1)求E的离心率；
(2)已知M是以OF为直径的圆上一点，P是射线OM上一点，满足|OM|⋅|OP|=a2．
（i）求点P的轨迹方程；
（ii）当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线l，若l与椭圆E在第一象限内有一个交点Q，直线PF与y轴
相交于点N，求证：△NFQ的外接圆经过异于F的一个定点．
2❑√5 5
【答案】(1) ；(2)（i）x= ；（ii）证明见解析
5 2
【详解】（1）由条件知c2=a2−b2=4，且2b=2，所以c=2,b=1,a=❑√5，
c 2❑√5
所以E的离心率e= = ；（3分）
a 5
（2）（i）以OF为直径的圆：(x−1) 2+ y2=1，（4分）
设M(m,n),P(x,y)，由题意设m=λx,n=λy(λ>0)①，（5分）
且有(m−1) 2+n2=1②，(m2+n2)(x2+ y2)=25③，
将①代入②有(λx−1) 2+λ2y2=1，即λ(x2+ y2)−2x=0④，（6分）
①代入③有λ2(x2+ y2) 2 =25，即λ(x2+ y2)=5⑤，（7分）
5 5
联立④⑤有x= ，即点P的轨迹方程为x= ；（8分）
2 2
x2
（ii）由题意，椭圆方程为 + y2=1，
5
(5 )
设E的左焦点为G(−2,0),P ,y ,Q(x ,y ),(x >0,y >0)，（9分）
2 0 0 0 0 0
直线FP的方程为y=2y (x−2)，所以N(0,−4 y )， （11分）
0 0
( 1 )
线段NF的垂直平分线方程为x+2y y+4 y 2−1=0，此直线与y轴相交于点H 0, −2y ，（13
0 0 2y 0
0
分）|HN|= 1 +2y ,△NFG的外接圆方程为x2+ y2+ ( 4 y − 1 ) y−4=0⑥，（15分）
2y 0 0 y
0 0
将Q(x ,y )代入方程⑥，得x2+5 y2−5=0⑦，因为点Q在椭圆E上，所以⑦恒成立，
0 0 0 0
即F,Q,G,N四点始终在同一个圆上，故△NFQ的外接圆过点G(−2,0)．（17分）
19．（17分）
已知函数f(x)=(x+a)eax，a∈R．
(1)判断函数f(x)在(−2,2)上的单调性；
(2)当−2是f(x)的一个极值点时，g(x)=(x−b) 2f(x)，b∈R．
（i）求曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程（用b表示）；
（ii）若x ，x ，x 是g(x)的3个极值点，将x ，x ，x 经过一定顺序排列后成等比数列，且
1 2 3 1 2 3
( 1) (1 )
b∈ −∞,− ∪ ,3 ，求b的值．
2 2
【答案】(1)f (x)在(−2,2)上单调递增.
(2)（i）(2b2−2b)x−y+b2=0（ii）b=−1−❑√3或b=−1+❑√3
【详解】（1）f(x)的定义域为R,f′ (x)=eax+a(x+a)eax=(ax+a2+1)eax. （1分）
1 ( 1 )
当a>0时，由f′ (x)>0得x>−a− ,f(x)在 −a− ,+∞ 上单调递增，
a a
1 1
因为a>0时，a+ ≥2当且仅当a=1时取等号，所以−a− ≤−2.
a a
( 1 )
所以(−2,2)是 −a− ,+∞ 的一个子区间，所以f(x)在(−2,2)上单调递增；（3分）
a
当a=0时，f(x)=x在(−2,2)上单调递增；（4分）
1 ( 1)
当a<0时，由f′ (x)>0得x<−a− ，所以f(x)在 −∞,−a− 上单调递增，
a a
1 1
因为a<0时，−a>0,−a− ≥2，当且仅当−a=− ,a=−1时，取等号.
a a
( 1)
所以(−2,2)是 −∞,−a− 的一个子区间，所以f(x)在(−2,2)上单调递增．
a综上，对于任意实数a,f(x)在(−2,2)上单调递增．（5分）
（2）（i）因为−2是f(x)的一个极值点，所以f′ (−2)=(−2a+a2+1)e−2a=0，
所以a=1，所以g(x)=(x−b) 2f(x)=(x−b) 2 (x+1)ex，g(x)的定义域为R.（6分）
g′ (x)=2(x−b)(x+1)ex+(x−b) 2 (x+2)ex=(x−b)(x2+4x−bx+2−2b)ex
g(0)=b2,g′ (0)=2b2−2b，（8分）
所以曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程为y−b2=(2b2−2b)x，
即(2b2−2b)x−y+b2=0．（9分）
（ii）方程x2+4x−bx+2−2b=0，
b−4−❑√b2+8 b−4+❑√b2+8
即x2+(4−b)x+2(1−b)=0的两个实数根为 , ，
2 2
b−4−❑√b2+8 b−4+❑√b2+8
所以g′ (x)=0的3个根为b, , ，（10分）
2 2
因为g(x)有3个极值点，所以上述3个根互不相等，从而b≠−1，
b−4−❑√b2+8 b−4+❑√b2+8
x = ,x = ,x =b.
1 2 2 2 3
将x ,x ,x 经过一定排列后成等比数列，则x x =x2 或x x =x2 或x x =x2 .（12分）
1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1
(b−4) 2−(b2+8)
当x x =x2 时， =b2,b2+2b−2=0,b=−1±❑√3,x ,x ,x 成等比数列；
1 2 3 4 1 3 2
(b−4−❑√h2+8)b (b−4+❑√b2+8) 2
当x x =x2 时， = ，
1 3 2 2 2
所以(2−b)❑√b2+8=6,(2−b) 2(b2+8)=36，（13分）
令h(x)=(2−x) 2(x2+8)，
则h′ (x)=2(x−2)(x2+8)+2x(x−2) 2=2(x−2)(2x2−2x+8),
当x<2时，h′ (x)<0,h(x)在(−∞,2)上单调递减，
(1) ( 1) 2 (1 ) ( 1) ( 1) 2 (1 )
因为h = 2− +8 <36,h − = 2+ +8 >36，
2 2 4 2 2 4
( 1) (1 )
又b∈ −∞,− ∪ ,3 ，所以满足条件的b不存在；（15分）
2 2
(b−4+❑√b2+8)b (b−4−❑√b2+8) 2
当x x =x2 时， = ,(b−2)❑√b2+8=6，
2 3 1 2 2
由h(x)在(2,+∞)上单调递增，h(3)=17<36，
( 1) (1 )
又b∈ −∞,− ∪ ,3 ，所以满足条件的b不存在．
2 2
综上，b=−1±❑√3．（17分）
